Babil matematiği

Dipnotları ile Babil kil tableti YBC 7289. Köşegen 2'nin karekökünün yaklaşık bir değerini dört altmışlık şekilde gösterir, 1 24 51 10, bu yaklaşık altı ondalık basamağa kadar doğrudur.
1 + 24/60 + 51/60 ² + 10/60 ³ = 1.41421296 ... Tablet ayrıca karenin bir kenarının 30 olduğu ve ortaya çıkan köşegenin 42 25 35 veya 42.4263888 ... olduğu örneği içerir.

Babil matematiği (Süryani-Babil matematiği olarak da bilinir), Sümerlerin ilk günlerinden, MÖ 539'da Babil'in düşüşünü izleyen yüzyıllara kadar Mezopotamya halkı tarafından geliştirilen veya uygulanan tüm matematiktir. Babil matematik metinleri bol miktarda bulunur ve iyi düzenlenmiştir. Zaman açısından iki farklı gruba ayrılırlar: biri Eski Babil döneminden (MÖ 1830–1531), diğeri ise MÖ son üç ya da dört yüzyıldan, Seleukoslular döneminden kalmadır. İçerik açısından, iki metin grubu arasında neredeyse hiç fark yoktur. Babil matematiği, karakter ve içerik olarak yaklaşık iki bin yıl boyunca sabit kaldı.

Mısır matematiğindeki kaynakların kıtlığının aksine, Babil matematiği bilgisi, 1850'lerden beri ortaya çıkarılan yaklaşık 400 kil tabletinden elde edilmektedir. Çivi yazısı ile yazılmış tabletler, kil nemliyken yazılır ve fırında veya güneşin ısısıyla sertçe pişirilirdi. Geri kazanılan kil tabletlerin çoğu MÖ 1800 ila 1600 yılları arasına tarihlenir ve kesirler, cebir, ikinci dereceden ve kübik denklemler ile Pisagor teoremini içeren konuları kapsar. Babil tableti YBC 7289, ${\sqrt {2}}$'ye üç anlamlı altmışlık basamağa (yaklaşık altı anlamlı ondalık basamak) doğru bir yaklaşıklık verir.

Babil matematiğinin kökenleri

Babil matematiği, eski Yakın Doğu'da çivi yazısı ile yazılmış bir dizi sayısal ve daha gelişmiş matematiksel uygulamadır. Çalışma, mevcut veri zenginliği nedeniyle tarihsel olarak MÖ 2. binyılın başlarındaki Eski Babil dönemine odaklanmıştır. Tarihçiler, Babil matematiğinin en erken ortaya çıkışıyla ilgili tartışmalar oldu ve tarihçiler MÖ 5. ve 3. bin yıl arasında bir tarih aralığı önerdiler. Babil matematiği, öncelikle Akad veya Sümer dillerinde çivi yazısı ile kil tabletler üzerine yazılmıştır.

"Babil matematiği" belki de yardımcı olmayan bir terimdir, çünkü önerilen en eski kökenler, mühür ve jetonlar gibi muhasebe cihazlarının MÖ 5. binyılda kullanımına dayanmaktadır.

Babil rakamları

Ana madde: Babil rakamları

Babil matematik sistemi seksagesimal (60 tabanında) bir sayı sistemiydi. Buradan dakikada 60 saniye, saatte 60 dakika ve bir daire içinde 360 derecelik modern günlük kullanımı elde ediyoruz. Babilliler matematikte iki nedenden dolayı büyük ilerlemeler kaydetmeyi başardılar. Birincisi, 60 sayısı, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 (kendileri bileşik olanlar dahil) tam bölene sahip olan ve bölümlerle hesaplamaları kolaylaştıran üstün yüksek bir bileşik sayıdır. Ek olarak, Mısırlılar ve Romalılardan farklı olarak, Babilliler, sol sütuna yazılan rakamların daha büyük değerleri temsil ettiği gerçek bir basamak-değer sistemine sahipti (onluk temel sistemimizde olduğu gibi, 734 = 7 × 100 + 3 × 10 + 4 × 1).

Sümer matematiği

Mezopotamya'nın eski Sümerleri, MÖ 3000'den itibaren karmaşık bir metroloji sistemi geliştirdiler. MÖ 2600'den itibaren Sümerler, kil tabletler üzerine çarpım tabloları yazdılar ve geometrik egzersizler ve bölme problemleriyle uğraştılar. Babil rakamlarının en eski izleri de bu döneme aittir.

Eski Babil matematiği (MÖ 2000-1600)

Babil matematiğini tanımlayan kil tabletlerin çoğu Eski Babil'e aittir, bu nedenle Mezopotamya matematiği genellikle Babil matematiği olarak bilinir. Bazı kil tabletler matematiksel listeler ve tablolar içerirken diğerleri problemler ve çalışılmış çözümler içerir.

Pisagor teoremine benzer matematiksel, geometrik-cebirsel içeriğe sahip kil tablet. Tell al-Dhabba'i, Irak. (MÖ 2003-1595), Irak Müzesi

Öklid geometrisine benzer matematiksel, geometrik-cebirsel içeriğe sahip kil tablet, Tell Harmal, Irak. (MÖ 2003-1595), Irak Müzesi

Aritmetik

Babilliler aritmetiğe yardımcı olmak için önceden hesaplanmış tablolar kullandılar. Örneğin, 1854'te Fırat Nehri üzerindeki Senkerah'ta bulunan MÖ 2000'den kalma iki tablet, 59'a kadar sayıların karelerinin ve 32'ye kadar olan sayıların küplerinin listelerini veriyor. Babilliler, aşağıdaki formüllerle birlikte, çarpmayı basitleştirmek için kare listelerini kullandılar:

$ab={\frac {(a+b)^{2}-a^{2}-b^{2}}{2}}$

$ab={\frac {(a+b)^{2}-(a-b)^{2}}{4}}$

Babillilerin uzun bölme için bir algoritması yoktu. Bunun yerine yöntemlerini, evrik sayıların bir tablosuyla birlikte şu gerçeğe dayandırdılar:

${\frac {a}{b}}=a\times {\frac {1}{b}}$

Yalnızca asal çarpanları 2, 3 veya 5 olan sayılar (5-düz veya düzgün sayılar olarak bilinir), altmışlık gösterimde sonlu evrik sayılara sahiptir ve bu evrik sayıların kapsamlı listelerini içeren tablolar bulunmuştur.

1/7, 1/11, 1/13 vb. gibi evrik ifadeler altmışlık gösterimde sonlu gösterime sahip değildir. 1/13'ü hesaplamak veya bir sayıyı 13'e bölmek için Babilliler aşağıdaki gibi bir yaklaşım kullanırlar:

${\frac {1}{13}}={\frac {7}{91}}=7\times {\frac {1}{91}}\approx 7\times {\frac {1}{90}}=7\times {\frac {40}{3600}}={\frac {280}{3600}}={\frac {4}{60}}+{\frac {40}{3600}}.$

Cebir

Ayrıca bakınız: Karekök 2 § Tarihçe

Babil kil tableti YBC 7289 (yaklaşık 1800-1600 BC), altmışlık tabana göre dört imge ile ${\sqrt {2}}$ değerini yaklaşık olarak verir; 1; 24, 51, 10, bu yaklaşık altı ondalık basamağa kadar doğrudur ve ${\sqrt {2}}$'nin olası en yakın üç haneli altmışlık gösterimidir:

$1+{\frac {24}{60}}+{\frac {51}{60^{2}}}+{\frac {10}{60^{3}}}={\frac {30547}{21600}}=1.41421{\overline {296}}.$

Aritmetik hesaplamaların yanı sıra, Babil matematikçileri denklemleri çözmek için cebirsel yöntemler geliştirdiler. Bir kez daha, bunlar önceden hesaplanmış tablolara dayanıyordu.

İkinci dereceden bir denklemi çözmek için Babilliler temelde standart ikinci dereceden formülü kullandılar. Aşağıdaki ikinci dereceden denklemlerin formunu düşündüler:

$\ x^{2}+bx=c$

burada b ve c tam sayı değildir, ancak c her zaman pozitiftir. Bu denklem biçimine bir çözümün olduğunu biliyorlardı:

$x=-{\frac {b}{2}}+{\sqrt {\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}+c}}$

ve bölme ile ortalamayı kullanarak karekökleri verimli bir şekilde buldular. Her zaman pozitif kökü kullandılar çünkü bu "gerçek" problemleri çözerken mantıklıydı. Bu türden sorunlar, bir dikdörtgenin alanı ve uzunluğunun genişliğini ne kadar aştığı verildiğinde boyutlarını bulmaktı.

Belirli kübik denklemleri çözmek için n³ + n² değerlerinin tabloları kullanıldı. Örneğin aşağıdaki denklemi düşünün:

$\ ax^{3}+bx^{2}=c.$

Denklemi a² ile çarpıp b³'e bölersek şunu verir:

$\left({\frac {ax}{b}}\right)^{3}+\left({\frac {ax}{b}}\right)^{2}={\frac {ca^{2}}{b^{3}}}.$

ax/b yerine y yazdığımızda bu aşağıdaki sonucu verir:

$y^{3}+y^{2}={\frac {ca^{2}}{b^{3}}}$

bu denklem şimdi sağ tarafa en yakın değeri bulmak için n³ + n² tablosuna bakarak çözülebilir. Babilliler bunu cebirsel notasyon olmadan başardılar ve dikkate değer bir anlayış derinliği gösterdiler. Bununla birlikte, genel kübik denklemi çözmek için bir yöntemleri yoktu.

Büyüme

Babilliler, üstel büyümeyi, sınırlı büyümeyi (bir tür sigmoid fonksiyonuyla) ve ikiye katlama süresini, sonraki krediler üzerine faizin şartlarını modelledi.

Yaklaşık MÖ 2000'den kil tabletleri, "Aylık 1/60 faiz oranı verildiğinde (bileşik faizsiz), ikiye katlama süresini hesaplayın." alıştırmasını içerir. Bu, yıllık 12/60 = %20'lik bir faiz oranı verir ve dolayısıyla ikiye katlanan %100 büyüme/yıllık %20 büyüme = 5 yıl.

Plimpton 322

Ana madde: Plimpton 322

Plimpton 322 tableti "Pisagor üçlüleri" nin bir listesini içerir, yani $(a,b,c)$ tam sayıları, öyle ki $a^{2}+b^{2}=c^{2}$. Üçlüler çok fazla ve kaba kuvvetle elde edilemeyecek kadar büyüktür.

Bu konu hakkında, tabletin erken dönem trigonometrik bir tablo olarak hizmet edip edemeyeceğine dair bazı spekülasyonlar (belki de kronolojik anlamda hatalı) dahil olmak üzere çok şey yazıldı. Tableti o zamanki yazarların aşina olduğu veya erişebileceği yöntemler açısından görmek için özen gösterilmelidir.

“	[...] "tablet nasıl hesaplandı?" sorusu, "tablet hangi problemleri ortaya koyuyor?" sorusuyla aynı cevaba sahip olmak zorunda değildir. İlki, ilk kez yarım yüzyıl önce önerildiği gibi evrik sayı çiftleri tarafından en tatmin edici şekilde yanıtlanabilir ve ikincisi bir tür dik üçgen problemiyle cevaplanabilir.	„

E. Robson, "Neither Sherlock Holmes nor Babylon: a reassessment of Plimpton 322", Historia Math. 28 (3), s. 202

Geometri

Babilliler hacimleri ve alanları ölçmenin ortak kurallarını biliyorlardı. Bir çemberin çevresini çapının üç katı, alanı da çemberin karesinin on ikide biri olarak ölçtüler, eğer π'nin değeri, 3 olarak alınırsa bu hesaplamalar doğru olurdu. Bunun bir yaklaşım olduğunun farkındaydılar ve 1936'da Susa yakınlarındaki kazıda bulunan eski bir Babil matematiksel tableti (MÖ 19. ve 17. yüzyıllar arasına tarihlenmiştir), π'nin değerini tam değerinin yaklaşık yüzde 0,5 altında, 25/8 = 3.125 olarak alır ve daha iyi bir yaklaşım verir. Bir silindirin hacmi, taban ve yüksekliğin çarpımı olarak alındı, ancak, bir koninin veya bir kare piramidin kesik kısmının hacmi, yüksekliğin ve tabanların toplamının yarısının çarpımı olarak yanlış bir şekilde alındı. Pisagor teoremi, Babilliler tarafından da biliniyordu.

"Babil mili", yaklaşık 11,3 km'ye (veya yaklaşık yedi modern mile) eşit bir mesafe ölçüsüdür. Mesafeler için yapılan bu ölçüm, nihayetinde Güneş'in yolculuğunu ölçmek için kullanılan ve dolayısıyla zamanı temsil eden bir "zaman miline" dönüştürüldü.

Antik Babilliler yüzyıllardır benzer üçgenlerin kenarlarının oranları ile ilgili teoremleri biliyorlardı, ancak bir açı ölçüsü kavramından yoksundular ve sonuç olarak üçgenlerin kenarlarını incelediler.

Babil gök bilimcileri, göksel kürede ölçülen açısal mesafelerle aşinalık gerektiren yıldızların yükselişi ve yerleşimi, gezegenlerin hareketi ve güneş ile ay tutulmalarının ayrıntılı kayıtlarını tuttu.

Ayrıca 1950'lerde Otto Neugebauer tarafından keşfedilen gök günlüğü (astronomik konum tabloları) hesaplamak için bir çeşit Fourier analizi kullandılar. Babiller, gök cisimlerinin hareketlerini hesaplamak için temel aritmetik ve göklerin, güneşin ve gezegenlerin içinden geçtiği kısım olan ekliptiğe dayalı bir koordinat sistemi kullandılar.

British Museum'da tutulan tabletler, Babillilerin soyut bir matematiksel uzayda bir nesne kavramına sahip olacak kadar ileri gittiğine dair kanıt sağlıyor. Tabletler, Babillerin geometriyi daha önce düşünülenden daha önce anladıklarını ve kullandıklarını ortaya koyan MÖ 350 ile 50 yılları arasına tarihleniyor. Babilliler, daha önce 14. yüzyıl Avrupa'sında ortaya çıktığına inanılan bir teknik olan, altına bir yamuk çizerek bir eğrinin altındaki alanı tahmin etmek için bir yöntem kullandılar. Bu tahmin yöntemi, örneğin, Jüpiter'in belirli bir sürede kat ettiği mesafeyi bulmalarına izin verdi.

Etki

Babil medeniyetinin yeniden keşfedilmesiyle, Yunan ve Helenistik matematikçiler ve astronomların, özellikle Hipparchus'un Babillilerden büyük ölçüde etkilendikleri ve ödünç aldıkları ortaya çıktı.

Franz Xaver Kugler, Babil ay hesaplaması (Almanca: Die Babylonische Mondrechnung, İngilizce: The Babylonian lunar computation, Freiburg im Breisgau, 1900) adlı kitabında şunları gösterdi: Batlamyus'un Almagest IV.2'de belirttiği üzere Hipparchus, daha önce "Keldaniler" tarafından ve kendisi tarafından yapılan tutulma gözlemlerini karşılaştırarak "daha eski gökbilimcilerin" Ay dönemlerine ait değerlerini geliştirdi. Bununla birlikte, Kugler, Batlamyus'un Hipparchus'a atfettiği dönemlerin Babil gök günlüklerinde, özellikle günümüzde "Sistem B" olarak adlandırılan (bazen Kidinnu'ya atfedilen) metin koleksiyonunda kullanıldığını buldu. Görünüşe göre, Hipparchus yalnızca yeni gözlemleriyle Kaldelilerden öğrendiği dönemlerin geçerliliğini doğruladı.

Hipparchus'un (ve ondan sonra Batlamyus'un) yüzyılları kapsayan tutulma gözlemlerinin, esasen eksiksiz bir listesine sahip olduğu açıktır. Büyük ihtimalle bunlar "günlük" tabletlerinden derlenmiştir: Bunlar, Keldanilerin rutin olarak yaptığı tüm ilgili gözlemleri kaydeden kil tabletlerdir. Korunan örnekler MÖ 652'den MS 130'a kadar uzanıyor, ancak muhtemelen kayıtlar Babil kralı Nabonassar'ın saltanatına kadar uzanmaktadır: Batlamyus, kronolojisine Nabonassar'ın ilk yılının Mısır takvimindeki ilk günüyle, yani 26 Şubat MÖ 747 ile başlar.

Bu işlenmemiş malzemenin tek başına kullanımı zor olmalı ve şüphesiz Kaldelilerin kendileri, örneğin tüm gözlenen tutulmaların esaslarını derlemişlerdir (Güneş ve ay tutulmalarının tekrarları arasındaki yaklaşık 18 yıllık dönemi (sarosu) kapsayan bir süre içinde tüm tutulmaların bir listesini içeren bazı tabletler bulunmuştur). Bu, olayların periyodik tekrarlarını tanımalarına izin verdi. Sistem B'de kullandıklarının dışında (cf. Almagest IV.2):

• 223 sinodik ay = anormalide 239 dönüş (anomalistik ay) = enlemde 242 dönüş (drakonik ay). Bu artık tutulmaları tahmin etmek için yararlı olan saros dönemi olarak biliniyor.
• 251 (sinodik) ay = anomalide 269 dönüş.
• 5458 (sinodik) ay = enlemde 5923 dönüş.
• 1 sinodik ay = 29; 31,50,08,20 gün (seksagesimal; 29,53059413 ... ondalık sayılarla = 29 gün 12 saat 44 dk 3⅓ sn, Not: gerçek zaman 2,9 sn, yani 0,43 saniye daha az)

Babilliler, muhtemelen bir ay-güneş takvimi kullandıkları için tüm dönemleri sinodik aylarda ifade ettiler. Yıllık olgularla ilgili çeşitli ilişkiler, yılın uzunluğu için farklı değerlere yol açtı.

Benzer şekilde, gezegenlerin dönemleri arasında çeşitli ilişkiler biliniyordu. Batlamyus'un Almagest IX.3'te Hipparchus'a atfettiği ilişkilerin tümü, Babil kil tabletlerinde bulunan tahminlerde zaten kullanılmıştı.

Tüm bu bilgiler, muhtemelen Büyük İskender'in fethinden kısa bir süre sonra (MÖ 331) Yunanlara aktarıldı. Geç klasik dönem filozofu Simplicius'a (MS 6. yüzyılın başları) göre, İskender, tarihî astronomik kayıtların tercümesini, onu amcası Aristoteles'e gönderen tarih yazarı Olynthus'lu Callisthenes'in gözetiminde emretti. Simplicius çok geç bir kaynak olmasına rağmen, hesabı güvenilir olabilir. Sürgünde bir süre Sasani (Pers) mahkemesinde kaldı ve Batı'da kaybolan kaynaklara erişmiş olabilir. Tarihsel bir eser için garip bir isim olan, ancak Babilce MassArt başlığının korumayı ve aynı zamanda gözlemlemeyi ifade eden uygun bir çevirisi olan tèresis (Yunanca bekçi) başlığından bahsetmesi dikkat çekicidir. Her neyse, Aristoteles'in öğrencisi Kizikoslu Callippus, o zamanlar 19 yıllık Metonik döngüsünde gelişen 76 yıllık döngüsünü tanıttı. İlk döngünün ilk yılını MÖ 28 Haziran 330 (Proleptik Jülyen takvim tarihi) yaz gündönümünde başlattı, ancak daha sonra İskender'in MÖ 331 sonbaharında Gaugamela'daki kararlı savaşından sonraki ilk aydan itibaren ay aylarını saymış gibi görünüyor. Yani Callippus, verilerini Babil kaynaklarından almış olabilir ve takvimi Kidinnu tarafından önceden tahmin edilmiş olabilir. Ayrıca Berossus olarak bilinen Babil rahibinin MÖ 281 civarında yeni hükümdar I. Antiohos için Babil'in (daha ziyade mitolojik) tarihi olan Babilce üzerine Yunanca bir kitap yazdığı biliniyor. Daha sonra Yunanistan'ın Kos adasında bir astroloji okulu kurduğu söyleniyor. Yunanlara Babil astronomisini/astrolojisini öğretmek için bir başka aday, MÖ 3. yüzyılın sonlarında I. Attalos'un sarayında bulunan Sudines idi.

Her halükarda, astronomik kayıtların çevirisi çivi yazısı, dil ve prosedürler hakkında derin bilgi gerektirdi, bu yüzden bazı kimliği belirsiz Keldaniler tarafından yapılmış gibi görünüyor. Şimdi, Babilliler gözlemlerini ayların ve yılların değişen uzunluklara sahip olduğu (sırasıyla 29 veya 30 gün; 12 veya 13 ay) ay-gün takvimlerinde tarihlendirdiler. O zamanlar normal bir takvim kullanmadılar (daha sonra yaptıkları gibi Metonik döngüye dayalı olanlar gibi), ancak Yeni Ay gözlemlerine dayanarak yeni bir aya başladılar. Bu, olaylar arasındaki zaman aralığını hesaplamayı çok can sıkıcı ve zor hale getirdi.

Hipparchus'un yapmış olabileceği şey, bu kayıtları her zaman 365 günlük sabit bir yıl kullanan (12 ay 30 gün ve 5 ekstra günden oluşan) Mısır takvimine dönüştürmektir: bu, hesaplama zaman aralıklarını çok daha kolay hale getirir. Batlamyus, bu takvimdeki tüm gözlemleri tarihlendirdi. Ayrıca, "Onun (= Hipparchus) yaptığı tek şey, daha kullanışlı bir şekilde düzenlenmiş gezegen gözlemlerinin bir derlemesini yapmaktı" (Almagest IX.2) diye yazıyor. Pliny (Naturalis Historia II.IX (53)) tutulma tahminleri hakkında şunları söylüyor: "Onların (= Thales) zamanından sonra, her iki yıldızın (= Güneş ve Ay) 600 yıllık rotaları Hipparchus tarafından kehanet edildi,…". Bu, Hipparchus'un 600 yıllık bir süre boyunca tutulmaları öngördüğünü ima ediyor gibi görünüyor, ancak gereken muazzam hesaplama miktarı düşünüldüğünde, bu pek olası değil. Aksine, Hipparchus, Nabonasser'in zamanından kendi zamanına kadar tüm tutulmaların bir listesini çıkarırdı.

Hipparchus'un çalışmalarında Babil uygulamasının diğer izleri ise şunlardır:

• Daireyi 360 derece 60 ark dakika olarak bölmenin ilk bilinen Yunan kullanımı.
• Seksagesimal (altmışlık) sayı sisteminin ilk tutarlı kullanımı.
• Yaklaşık 2° veya 2½° birim pechus (arşın) kullanımı.
• 248 günlük kısa bir süre kullanımı = 9 anomalistik ay.

Ayrıca bakınız

• Babil
• Matematik tarihi

Kaynakça

• Berriman, A. E. (1956). The Babylonian quadratic equation. 
• Boyer, C. B. (1989). Merzbach, Uta C. (Ed.). A History of Mathematics. 2. New York: Wiley. ISBN 0-471-09763-2.  (1991 pbk ed. 0-471-54397-7).
• Høyrup, Jens. "Pythagorean 'Rule' and 'Theorem' – Mirror of the Relation Between Babylonian and Greek Mathematics". Renger, Johannes (Ed.). Babylon: Focus mesopotamischer Geschichte, Wiege früher Gelehrsamkeit, Mythos in der Moderne. 2. Internationales Colloquium der Deutschen Orient-Gesellschaft 24.–26. März 1998 in Berlin (PDF). Berlin: Deutsche Orient-Gesellschaft / Saarbrücken: SDV Saarbrücker Druckerei und Verlag. ss. 393-407. 25 Şubat 2021 tarihinde kaynağından arşivlendi (PDF). Erişim tarihi: 4 Eylül 2020. 
• Joseph, G. G. (2000). The Crest of the Peacock. Princeton University Press. ISBN 0-691-00659-8. 
• Joyce, David E. (1995). "Plimpton 322". 8 Mart 2011 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 4 Eylül 2020. 
• Neugebauer, Otto (1969) [1957]. The Exact Sciences in Antiquity. 2. Dover Publications. ISBN 978-0-486-22332-2. 
• O'Connor, J. J.; Robertson, E. F. (Aralık 2000). "An overview of Babylonian mathematics". MacTutor History of Mathematics. 5 Ekim 2008 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 4 Eylül 2020. 
• Robson, Eleanor (2001). "Neither Sherlock Holmes nor Babylon: a reassessment of Plimpton 322". Historia Math. 28 (3). ss. 167-206. doi:10.1006/hmat.2001.2317. MR 1849797. 
• Robson, E. (2002). "Words and pictures: New light on Plimpton 322". American Mathematical Monthly. 109 (2). Washington. ss. 105-120. doi:10.1080/00029890.2002.11919845. JSTOR 2695324. 
• Robson, E. (2008). Mathematics in Ancient Iraq: A Social History. Princeton University Press. 
• Toomer, G. J. (1981). Hipparchus and Babylonian Astronomy.