>∑D‘

Ï +
· ` 10e ‘·s>
¡ ‹
∑

bÕsƒ´¡ |ü⁄døÔü £ n_Ûeè~Δ, Á|ü#T· s¡D ø£$T{Ï

Á|ü<ëÛ q ìs¡«Vü≤D≤~Ûø±] : l õ. >√bÕ˝Ÿs¬ &ç,¶
dü+#ê\≈£î\T, sêh $<ä´, |ü]XÀ<Ûqä , •ø£Då dü+dü,ú
Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ, ôV≤’ <äsêu≤<äT
Á|ü<ëÛ q e´eVü‰s¡ ìsê«Vü≤≈£î\T : l _. düT<Ûëø£s,Y
dü+#ê\≈£î\T, Á|üuTÑÛ ‘·« bÕsƒ´¡ |ü⁄düøÔ £ eTTÁ<äD≤\j·T+,
Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ, ôV≤’ <äsêu≤<äT
ø±s¡´ìsê«Vü≤≈£î\T : &Ü.mHé. ñù|+<äss¬Y &ç,¶
Ábıô|dò sü Y, bÕsƒ´¡ Á|üD≤[ø£   bÕsƒ´¡ |ü⁄düøÔ £ $uÛ≤>∑+
sêh $<ä´, |ü]XÀ<Ûqä , •ø£Då dü+düú

#Ûs’Ó à¡ Hé, >∑D‘Ï · Ä<Ûës¡|Áü ‘·+, >∑D‘Ï · bÕsƒ´¡ Á|üD≤[ø£, bÕsƒ´¡ |ü⁄düøÔ £ n_Ûeè~Δ ø£$T{°
Ábıô|dò sü Y. $.ø£qïHé
>∑DÏ‘·+ ` kÕ+K´ø£ XÊg $uÛ≤>∑+ ôV’≤<äsêu≤<äT $X¯«$<ë´\j·T+, ôV’≤<äsêu≤<äT.
eTTK´dü\Vü‰<ës¡T\T
l #·Tø±ÿ sêeTj·T´ &Ü.ôV≤#Y.¬ø.~yêHé
$<ë´y˚‘Ô· $<ë´dü\Vü‰<ës¡T, $<ë´uÛÑeHé kıôd’{° ]k˛s¡T‡ ôd+≥sY
ôV’≤<äsêu≤<äT, Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ. ñ<äjYT|üPsY, sê»kÕúHé

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·« Á|ü#·Ts¡D, ôV’≤<äsêu≤<äT

#·{≤º\qT >ös¡$+#·+&ç $<ä´e\¢ m<ä>±*

Vü≤≈£îÿ\qT bı+<ä+&ç (i) $qj·T+‘√ yÓT\>±*
© Government of Andhra Pradesh, Hyderabad.

New Edition
First Published 2014

All rights reserved.

No part of this publication may be reproduced,

stored in a retrieval system, or transmitted, in any
form or by any means without the prior permission in
writing of the publisher, nor be otherwise circu-
lated in any form of binding or cover other than that
in which it is published and without a similar con-
dition including this condition being imposed on
the subsequent purchaser.
The copy right holder of this book is the Director
of School Education, Hyderabad, Andhra Pradesh.

This Book has been printed on 70 G.S.M. SS Maplitho

Title Page 200 G.S.M. White Art Card

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

Printed in India
at the Andhra Pradesh Govt. Text Book Press,
Mint Compound, Hyderabad,
Andhra Pradesh.
(ii)
 bÕsƒ¡´|ü⁄düÔø£ n_Ûeè~Δ ø£$T{Ï
s¡#s· TT‘·\T
l ‘ê‘ê yÓ+ø£≥ sêeT≈£îe÷sY l >=≥TºeTTø£ÿ\ $._.mdt.mHé.sêE
Á|ü.ñ., õ.|ü.ñ.bÕ., eTT\TeT÷&ç, mdt.|æ.mdt.HÓ\÷¢s¡T mdt.m. |ü⁄s¡bÕ\ø£ ñqï‘· bÕsƒ¡XÊ\, ø£kÕŒ, $»j·Tq>∑s¡+
l k˛eT Á|ükÕ<ä u≤ãT l |ü&Ü\ düTπswt ≈£îe÷sY
|æ.õ.{Ï.m|æ.{Ï.&ÉãT´.ÄsY.mdt., #·+Á<äÁX‚Ks¡|⁄ü s¡+, mdt.|æ.mdt.HÓ\÷¢sT¡ mdt.m., Á|ü.ñ.bÕ.,$»j·Tq>∑søY ±\˙, ôV≤’ <äsêu≤<äT
l >∑&ɶMT~ nq+‘·¬s&ç¶ l ô|<ë›&É &ç.m˝Ÿ.>∑D|ü‹ X¯sà¡
$ÁXÊ+‘· Á|ü.ñ., s¡+>±¬s&ç¶ mdt.m., Á|ü.ñ.bÕ.»$TkÕÔHé|üPsY,e÷DÏπøX¯«sY q>∑sY, ôV’≤<äsêu≤<äT
&Ü. |üP+&É¢ s¡y˚Twt l düsêΔsY <Ûäπsà+Á<ä dæ+>¥
˝…ø£Ãs¡sY, Á|üuÛÑT‘·« ◊.m.mdt.Ç, mdt.|æ.mdt.HÓ\÷¢s¡T mdt.m.,õ.|ü.ñ.bÕ, <äq÷ïs¡T(ãTs¡T®) Ä~˝≤u≤<äT
l ø=e÷+&É÷s¡T l<Ûäsê#ês¡T´\T l Hê>∑T\ s¡$
mdt,m, õ.|ü.ñ.bÕ. s¡+>±j·T|ü*¢, yÓT<äø˘ mdt.m, õ.|ü.ñ.bÕ, ˝ÀπøX¯«s¡+, Ä~˝≤u≤<äT
l ø£+<ë\ sêeTj·T´ l ø±≈£îfi¯es¡+ sêCÒ+<äsY ¬s&ç¶
mdt.m, õ.|ü.ñ.bÕ. ø±d”+<˚$ù|{Ÿ, es¡+>∑˝Ÿ ø√`Ä]¶H˚≥sY, mdt.dæ.Ç.ÄsY.{Ï., ôV’≤<äsêu≤<äT
eTTK´ dü+bÕ<ä≈î£ \T
&Ü.ôV≤#Y.ø¬ .~yêHé
$<ë´dü\Vü‰<ës¡T, $<ë´uÛÑeHé kıôd’{° ]k˛s¡T‡ ôd+≥sY
ñ<äjYT|üPsY, sê»kÕúHé
dü+bÕ<ä≈î£ \T
Ábıô|òdüsY $. •esêeTÁ|ükÕ<äT Ábıô|òdüsY mHé.dæ.ôV≤#Y. |ü{≤º_Ûsêe÷#ês¡T´\T
$ÁXÊ+‘ê#ês¡T´\T, >∑D‘Ï · $uÛ≤>∑+ $ÁXÊ+‘ê#ês¡T´\T, mHé.◊.{Ï., es¡+>∑˝Ÿ
ñkÕàìj·÷ j·÷ìe]‡{°, ôV’≤<äsêu≤<äT
l m. |ü<äàHêuÛÑ+ &Ü.õ.dü÷s¡´Hêsêj·TD eT÷]Ô
$ÁXÊ+‘· >∑DÏ‘· $uÛ≤>∑n~Û|ü‹, $ÁXÊ+‘· Ø&ÉsY, sêC≤.ÄsY.mdt.ÄsY.¬ø.s¡+>±sêe⁄ ø±˝ÒCŸ
eTVü‰sêDÏ ø±˝ÒCŸ, ô|<ë›|ü⁄s¡+, ‘·÷s¡TŒ>√<ëe] u§_“*, $»j·Tq>∑s¡+.

düeTq«j·Tø£s\Ô¡ T
l ø±≈£îfi¯es¡+ sêCÒ+<äsY¬s&ç¶ l ø£+ø£+{Ï Hêsêj·TD¬s&ç¶
ø√`Ä]¶H˚≥sY, mdt.dæ.Ç.ÄsY.{Ï., ôV’≤<äsêu≤<äT ˝…ø£Ãs¡sY, mdt.dæ.Ç.ÄsY.{Ï., ôV’≤<äsêu≤<äT

$<ë´$wüjT· ø£ düV≤ü ø±s¡+ n+~+∫q yês¡T

l Vü≤˙wt bÕ*e˝Ÿ, ≈£îe÷] Á|”‹ $TÁXÊ
$<ë´uÛÑeHé m&ÉT´πøwüHé ]k˛s¡T‡ ôd+≥sY, ñ<äjYT|üPsY. $<ë´uÛÑeHé m&ÉT´πøwüHé ]k˛s¡T‡ ôd+≥sY, ñ<äjYT|üPsY.
leT‹ ùdïVü≤u≤\CÀwæ ≈£îe÷] ‘êq´düπø‡Hê
$<ë´uÛÑeHé m&ÉT´πøwüHé ]k˛s¡T‡ ôd+≥sY, ñ<äjYT|üPsY. $<ë´uÛÑeHé m&ÉT´πøwüHé ]k˛s¡T‡ ôd+≥sY, ñ<äjYT|üPsY.
≈£îe÷] myéT. ns¡Ãq
>∑DÏ‘·+ kÕ+K´ø£XÊg $uÛ≤>∑+, ôV’≤<äsêu≤<äT $X¯«$<ë´\j·T+
u§eTà\T, &çCì’… +>¥ düuTÑÛ ´\T
l Á|üXÊ+‘Y k˛˙
$<ë´uÛÑeHé m&ÉT´πøwüHé ]k˛s¡T‡ ôd+≥sY, ñ<äjYT|üPsY.
l mdt.myéT. ÇÁø£+ l uÛÑyêDÏ X¯+ø£sY
$<ë´uÛÑeHé m&ÉT´πøwüHé ]k˛s¡T‡ ôd+≥sY, ñ<äjYT|üPsY. $<ë´uÛÑeHé m&ÉT´πøwüHé ]k˛s¡T‡ ôd+≥sY, ñ<äjYT|üPsY.
l düT+ø£s¡ ø√fÒX¯«s¡sêe⁄ leT‹ düT+ø£s¡ düT˙‘·
|üeHé Á>±|òæø˘‡, $C≤„Hé|ü⁄]ø±\ì, $<ë´q>∑sY, ôV’≤<äsêu≤<é. |üeHé Á>±|òæø˘‡, $C≤„Hé|ü⁄]ø±\ì, $<ë´q>∑sY, ôV’≤<äsêu≤<é.

(iii)
 eTT+<äTe÷≥
e÷qe $ø±kÕìøÏ, kÕ~Ûø±s¡‘≈· î£ , dü«j·T+ dæ<yΔä TÓ qÆ n_Ûeè~ΔøÏ ª$<ä´μ ˇø£ eT÷˝≤<Ûës¡+. $<ä´≈£î >∑\ á
n<äT“¤‘y· TÓ qÆ X¯øìÔÏ >∑T]Ô+∫ n_Ûeè~Δ |ü<+äÛ ˝À eTT+<äT≈£î kÕπ> nìï düe÷C≤\T ªkÕs¡«»˙q ÁbÕ<∏$ä Tø£ $<ä´μ≈£î n‘·´+‘·
ÁbÕ<Ûëq´‘· ì∫Ã, Á|ür ˇø£ÿ]ø° >∑TD≤‘·àø£ $<ä´qT n+~+#ê\H˚ düŒwüyº TÓ qÆ >∑e÷´ìï ìπs•› +#·T≈£îHêïsTT. BìøÏ ø=qkÕ–+|ü⁄>±
e÷<Û´ä $Tø£ $<ä´qT ≈£L&Ü kÕs¡«»˙q+ #˚j÷· *‡q ÄeX¯´ø£‘· @s¡Œ&ç+~.
$<ë´]ú ÁbÕ<∏$ä Tø£ kÕúsTT es¡≈î£ H˚sT¡ Ã≈£îqï ø£è‘ê´‘·àø£ >∑D‘Ï e· TT Áø£eT+>± ìj·TeTã<ä› >∑D‘Ï +· >± e÷πs+<äT≈£î
e÷<Û´ä $Tø£ kÕúsTT <√Vü≤<ä|&ü TÉ ‘·T+~. >∑D‘Ï ê+XÊ\qT ùV≤‘·Tã<ä+› >± H˚sT¡ Ãø√e&É+, düeTdü´\T $X‚w¢ +æ ∫ kÕ~Û+#·&+É ,
dæ<ëΔ+‘ê\ ‘ê]ÿø£ ìs¡÷|üD e+{Ï$ á kÕúsTT˝À Á|üyX˚ ô¯ |{≤ºsT¡ . á <äX˝¯ À >∑D‘Ï +· ˇø£ Á|ü‘´˚ ø£ uÀ<ÛHä ê $wüjT· +>±
ø±ø£, Ç‘·s¡ $wüj·÷\‘√ n$HêuÛ≤e dü+ã+<ÛäeTT ø£*–, ø±s¡´ø±s¡D dü+ã+<Ûë\T $X‚¢wæ+#˚ düVü≤» $<ÛëHê\T
bı+<äT|üs#¡ ã· &ܶsTT. á $<ÛëHê\ <ë«sê Á|ü‹ $<ë´]ú ø±e\dæq e÷qdæø£ ôdsÌú ê´ìï bı+~, H˚sT¡ Ãø=qï n+XÊ\qT
yê] J$‘êqTuÛyÑ ê\‘√ CÀ&ç+∫ C≤„q ìsêàD≤ìøÏ, ñqï‘· ‘·s>¡ ‘∑ T· \ ø=qkÕ–+|ü⁄q≈£î Áù|s¡D bı+~ ñqï‘· $<ë´e+‘·T˝…’
eT+∫ bÂs¡T\T>± e÷πs+<äT≈£î ø£èwæ #˚j÷· *.
eTq sêh+˝À #·<Tä e⁄‘·Tqï $<ë´s¡T\ú +<äs÷¡ >∑D‘Ï êuÛ´Ñ düHêìï Çwü+º ‘√ ø=qkÕ–+#·&ÜìøÏ, yê] J$‘êqTuÛyÑ ê\qT
CÀ&ç+∫ >∑D‘Ï · düeTdü´\ s¡÷|üø\£ Œq≈£î, yê{Ïì kÕ~Û+#·&ÜìøÏ á >∑D‘Ï · bÕsƒ´¡ |ü⁄døÔü +£ ˝Àì eTÚ*ø£ uÛ≤eq\T ‘√&ÉŒ&É‘êj·Tì
Á|ü>±&Û+É >± $X¯«dædTü HÔ êïeTT.
$<ë´s¡T\ú T >∑D‘Ï êìï øπ e\+ e÷s¡Tÿ\T dü+bÕ~+#·Tø=qT≥≈£î e÷Á‘·yT˚ ø±ø£, >∑D‘Ï · bÕsƒ´¡ Á|üD≤[ø£˝À sTT$T&ç
e⁄qï neT÷s¡Ô ø°\ø£ uÛ≤eq\T H˚sT¡ Ã≈£îH˚ $<Û+ä >± ñbÕ<Ûë´j·TT\T Áb˛‘·‡Væ≤+#·e\dæ ñ+~. >∑D‘Ï · uÀ<ÛHä êuÛ´Ñ düq
Á|üÁøÏjT· ˝À $$<Ûä kÕúsTT\ $<ë´s¡T\ú qT uÛ≤>∑kÕ«eTT\qT #˚jT· &É+, yê]øÏ >∑D‘Ï · |üsq¡ƒ + |ü≥¢ kÕqT≈£L\ <äèø£Œ<∏+ä
ø£*–+#·&+É , yê] yÓj ’ T· TøÏøÔ £ $uÛ<Ò ë\qT, Jeq $<ÛëHê\˝Àì uÛ<Ò ë\qT <äèwæ˝º À e⁄+#·Tø=ì, yê]øÏ $XÊ«dü+ ø£*–+#˚≥≥T¢
uÀ<Ûqä ø=qkÕ–‘˚ n~ yê] Jeq >∑e÷´\ kÕ|ò˝ü ≤´ìøÏ <√Vü≤<ä|&ü TÉ ‘·T+~. á $<Ûyä TÓ qÆ C≤„q ìsêàD≤ìøÏ á
bÕsƒ´¡ |ü⁄düøÔ +£ #˚dqæ Á|üjT· ‘·ï+ MT ø£èwæ‘√ |ò\ü e+‘·eTe⁄‘·T+<äì Ä•düTHÔ êïeTT.
Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ $<ë´Á|üD≤[ø£ |ü]~Û |üÁ‘·+ 2011(APSCF 2011) ≈£î nqT>∑TD+>± $düÔè‘·+>±
s¡÷bı+~+#·ã&çq >∑D‘Ï · Ä<Ûës¡|Áü ‘·+˝Àì n+XÊ\ Ä<Ûës¡+>± ìsêΔ]+∫q $<ë´Á|üe÷D≤\qT Á|ürkÕúsTT˝À kÕ~Û+#ê*‡
ñ+~.
>∑D‘Ï · bÕsƒ´¡ |ü⁄düøÔ ±ìï Äø£s¸¡ Dj
° T· +>±, Á|üe÷D≤\≈£î nqT>∑TD+>± r]Ã~<ä&› +É ˝À n$s¡fi¯ ø£èwæ #˚dqæ bÕsƒ´¡ |ü⁄düøÔ £
n_Ûeè~Δ ø£$T{° düuTÑÛ ´\qT, |ü⁄düøÔ £ s¡÷|üø\£ Œq˝À bÕ\T |ü+#·T≈£îqï ñbÕ<Ûë´j·TT\qT, n<Ûë´|ü≈î£ \qT sêh $<ä´,
|ü]XÀ<Ûqä , •ø£Då dü+düú n_Ûq+~düT+Ô ~. Ç<˚$<Û+ä >± bÕsƒ´¡ |ü⁄düøÔ ±\ s¡÷|üø\£ Œq≈£î |ü]bÕ\Hê |üs+¡ >± düV≤ü ø£]+∫q
õ˝≤¢ $<ë´XÊU≤~Ûø±s¡T\T, eT+&É\ $<ë´XÊU≤~Ûø±s¡T\T, bÕsƒX¡ Ê\\ Á|ü<ëÛ H√bÕ<Ûë´j·TT\≈£î Á|ü‘´˚ ø£ <Ûqä ´yê<ë\T.
bÕsƒ´¡ |ü⁄düøÔ £ n_Ûeè~›˝À eTeTTà\qT eTT+<äT+&ç Áb˛‘·‡Væ≤+∫q ø£MTwüqsY eT]j·TT &Ós¬’ ø£sº ,Y bÕsƒX¡ Ê\ $<ä´, Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ
>±]øÏ, $<ë´uÛeÑ Hé kıôd{’ ,° ñ<äjT· |üPsY, sê»kÕúH≈é î£ ø£è‘·»‘„ \· T. sêuÀj˚T ø±\+˝À bÕsƒ´¡ |ü⁄düøÔ +£ eT]+‘· >∑TD≤‘·àø£+>±
n_Ûeè~Δ #Ó+<ä&ÜìøÏ MT n+<ä] qT+&ç dü\Vü‰\T, dü÷#·q\T ÄVü‰«ìdüTHÔ êïeTT.
dü\ú + : ôV≤’ <äsêu≤<äT dü+#ê\≈£î\T
‘˚~ : 17 nø√ºãsY, 2013 sêh $<ä´, |ü]XÀ<Ûqä , •ø£Då dü+düú
ôV≤’ <äsêu≤<é, Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ
(iv)
 |”]øƒ £

$<ë´s¡T\ú T eT÷&ÉT dü+e‘·‡s¡eTT\T ÁbÕ<Û$ä Tø£ (m*yÓT+≥Ø) (6, 7, 8), ˇø£ dü+e‘·‡s¡eTT e÷<Û´ä $Tø£ kÕúsTT
(9) nuÛ´Ñ düqeTTqT |üP]Ô #˚dæ á bÕsƒ´¡ |ü⁄düøÔ e£ TTqT nuÛ´Ñ dæ+#·uÀqTHêïs¡T. $<ë´s¡T\ú T á dü+e‘·‡s¡eTT‘√ ‘·eT
bÕsƒX¡ Ê\ $<ä´qT |üP]Ô #˚jT· uÀqTHêïs¡T. ø£qTø£ Á|ür $<ë´]ú ø±e\dæq e÷qdæø£ ôdsú’ ´¡ eTT, H˚sT¡ Ãø=qï n+XÊ\qT
yê] J$‘· nqTuÛyÑ ê\‘√ CÀ&ç+∫, C≤„q ìsêàDeTTq≈£î <ëì ø=qkÕ–+|ü⁄≈£î ø£èwæ #˚j÷· *.
>∑D‘Ï e· TT Á|ü‹e´øÏøÔ Ï ÄeX¯´ø£yTÓ qÆ n+X¯eTT. n+<äT#˚ bÕsƒX¡ Ê\ $<ä´˝À e÷<Û´ä $Tø£kÕúsTT es¡≈î£ >∑D‘Ï e· TTqT
ˇø£ uÀ<ÛHä ê+X¯eTT>± #˚sá &ÉyTÓ qÆ ~. Á|üdTü ‘Ô · ø±\eTT˝À ≈£L&Ü >∑D‘Ï · nuÛ´Ñ düeTTqT øÏw¢ eºü TT>±, Ç‘·s¡ $wüj÷· \‘√
b˛*Ñ˚ ø£wyºü TÓ qÆ n+X¯eTT>± |æ\\¢ T, ô|<ä\› T ≈£L&Ü uÛ≤$düTHÔ êïs¡T. |æ\\¢ ≈£î, ñbÕ<Ûë´j·TT\≈£î e÷Á‘·yT˚ ø±ø£
düe÷»eTTq≈£î ≈£L&Ü >∑D‘Ï · nuÛ´Ñ düqeTT ø£wkºü Õ<Û´ä + nqï n+X¯eTT düs«¡ yê´|æ‘e· TsTTq~. á <äX˝¯ À >∑D‘Ï +· ˇø£
Á|ü‘´˚ ø£ uÀ<ÛHä ê $wüjT· +>±H˚ ø±≈£î+&Ü Ç‘·s¡ $wüj÷· \‘√ n$HêuÛeÑ dü+ã+<Ûeä TT ø£*– ñ+&˚, ì‘·´|ü⁄s√>±$T
nj˚T´ C≤„q $uÛ≤>∑eTT>± >∑T]Ô+#·e\dæq ÄeX¯´ø£‘· j·TTqï~. >∑D‘Ï · nuÛ´Ñ düqeTT øπ e\eTT e÷s¡Tÿ\T dü+bÕ~+#·T≥
ø=s¡≈î£ e÷Á‘·yT˚ ø±<äT, bÕsƒX¡ Ê\ ãj·T≥ J$‘·+ (ì»J$‘·+)˝À mH√ï dü+<äsꓤ\˝À ñ|üj÷Ó –+∫ ø±s¡´dæ<Tä \Δ j˚T´
$<Ûeä TT>± rs¡Ã~<ä>› *∑ Z >∑D‘Ï · nuÛ´Ñ düqeTT |ü≥¢ uÛj
Ñ T· + b˛sTT ÄdüøÔÏ ô|s¡T>∑T‘·T+~.
>∑D‘Ï u· À<Ûqä ˝À eTqeTT m<äTs=ÿH˚ düeTdü´\˝À Á|ü<ëÛ qyÓTqÆ ~ >∑D‘Ï · uÛ≤eq\qT e´ø£|Ô ]ü #˚ $<ÛëqeTT. >∑D‘Ï ·
uÀ<Ûqä øπ e\+ dü+K´\T, øÏw¢ ‘ºü s· y¡ TÓ qÆ >∑Dq\T, ìs¡«#·qeTT\T, C≤„|øü e£ TTô|’ Ä<Ûës¡|&ü ˚ dü‘´· eTT\T, Áø£eTj·TT‘·
$<ÛëqeTT\T, düT\Te⁄ |ü<‘Δä T· \T (short cuts) eT]j·TT ñ|ü|‘ü T· \Ô ‘√ ≈£L&çq kÕ<Ûqä \T øπ +ÁBø£è‘·eTT nsTT ñqï~.
nH˚«wüD, ne>±Vü≤q, q÷‘·q Ä˝À#·q\T, uÛ≤eq\ düèwæ\º qT Áb˛‘·‡Væ≤dü÷Ô >∑D‘Ï · düeTdü´\ kÕ<Ûqä ˇπø |ü<‹Δä
ñ+≥T+<äqï nb˛Vü≤qT bÕs¡Á<√* düeTkÕ´ kÕ<Ûqä qT _Ûqï e÷sêZ\˝À #˚jT· e#·TÃqH˚ uÛsÑ √kÕ ø£*Œ+#ê*.
á bÕsƒ´¡ |ü⁄døÔü +£ <ë«sê $<ë´s¡T\ú T düeTkÕ´kÕ<Ûqä ≈£î |ü\T e÷sêZ\T, |ü<‘Δä T· \qT mqTïø=ì >∑D‘Ï · uÛ≤eq\qT
ns¡eú TT #˚dTü ≈£îH˚+<äT≈£î ø±e\dæq neT]ø£\ nH˚«wüD uÛ≤eq\ eT<Û´ä dü+ã+<Ûeä TTqT >∑T]Ô+∫ @s¡Œs¡#T· ≥ eT]j·TT
‘ê]ÿø£ ∫+‘·q bı+<äT‘ês¡T. ñbÕ<Ûë´j·TT\T, $<ë´s¡T\ú T á bÕsƒ´¡ |ü⁄düøÔ £ n<Û´ä j·Tq+ <ë«sê uÛ≤eq\ ne>±Vü≤q.
dü÷Árø£sD¡ eT]j·TT $$<Ûä düeTdü´\≈£î _ÛqïyÓTqÆ kÕ<ÛHä ê $<ÛëqeTT\T ø£qT>=H˚ HÓ|’ ⁄ü D´eTTqT bı+<˚ $<Ûeä TT>±
‘·ØŒ¤<Tä ìyê«*. $<ë´]ú düeTkÕ´kÕ<Ûqä ˝À dü«‘·+Á‘·eTT>±, Á>∑÷|ü⁄\T>± e÷] #·]Ã+∫, $X‚w¢ +æ ∫ ‘ê]ÿø£‘‘· √ ≈£L&ç
düT\uÛyÑ TÓ qÆ $<ÛëqeTTqT ø£qT>=Hê*. $<ë´s¡T\ú T uÛ≤eq\qT #·]Ã+∫ q÷‘·q >∑D‘Ï · düeTdü´\qT ø£qT>=H˚ $<Ûeä TT>±
‘·j÷· s¡T ø±yê\ì Ä•düTHÔ êïeTT. $<ë´s¡T\ú T >∑D‘Ï e· TT nq>± øπ e\+ düeTkÕ´ kÕ<Ûqä j˚T ø±<äT, Ç‘·s¡ $<ë´s¡T\ú T
ø£qT>=qï, ñ|üj÷Ó –+∫q $$<Ûä |ü<‘Δä T· \qT #·sêÃ$<ÛëqeTT\qT $X‚w¢ Dü #˚ùd kÕúsTTì ô|+bı+~+#˚~>± >∑T]Ô+#ê*.
ø£w|ºü &ü ç >∑D‘Ï · nuÛ´Ñ düqeTT #˚jT· T≥ ø£+fÒ Çwü|º &ü ç >∑D‘Ï · nuÛ´Ñ düqeTT kÕπ>˝≤ ø£èwæ #˚j÷· *.

(v)
 |ü<eä ‘·s>¡ ‹∑ , $<ë´s¡T\ú jÓTTø£ÿ ôdø£+&ÉØkÕúsTT˝À ∫e] dü+e‘·‡s¡+. $<ë´s¡T\ú T H˚sT¡ Ãø=qï >∑D‘Ï · uÛ≤eq\qT
ì»J$‘·eTT˝Àì dü+|òTü ≥q\‘√ nq«sTT+#·>\∑ TZ‘ê&ÉT. ø±ì ì»J$‘· dü+|òTü ≥q\ìï+{ÏøÏ >∑D‘Ï · uÛ≤eq\qT
nq«sTT+#·˝eÒ TT. á kÕúsTT |üP]Ô #˚dqæ $<ë´s¡T\ú T ˇø£ nqTwü+–ø£eTTqT (Conditional Statement) @
$<Ûeä TT>± ãTTEe⁄ #˚kÕÔs√, Ä ‘ê]àø£Áø£eTeTTqT sêùd $<ÛëqeTTqT H˚sT¡ Ãø=+{≤s¡T.
>∑D‘Ï · nuÛ´Ñ düqeTT jÓTTø£ÿ eTTK´ ñ<˚X› ´¯ eTT, |”]øƒ £ eT]j·TT 10e ‘·s>¡ ‹∑ bÕsƒ´¡ |ü⁄døÔü e£ TT˝À #Ó|Œæ q $<Ûeä TT>±
$<ë´s¡T\ú T ‘·eT jÓTTø£ÿ >∑D‘Ï êqTuÛyÑ ê\qT, nH˚«wüD\qT >∑DrÏ ø£sD¡ eTT #˚j÷· *. ‘·s>¡ ‹∑ >∑~˝À H˚sT¡ Ãø=qï neT÷s¡Ô
uÛ≤eq\qT ne>±Vü≤q #˚dTü ø=ì, ‘·eT nqTuÛyÑ ê\qT Áø£eTãB›ø]£ +∫, ìsêàD≤‘·àø£ ø£èwæ <ë«sê |ü]|ü⁄wæº #˚j÷· *.
>∑D‘Ï u· ≤Û eq\qT >∑D‘Ï · |ü]uÛ≤wü˝À e´øÏÔ ø£+fÒ kÕeTs¡´ú eTTqT $<ë´s¡T\ú T ø£*Z j·TT+&Ü*. á bÕsƒ´¡ |ü⁄døÔü e£ TT m+<äs√
$wüjT· ì|ü⁄DT\‘√ #·]Ã+∫ yê] neT÷\´ dü\Vü‰\qT Áø√&ûø]£ +∫ Ä<Ûës¡|Áü ‘·+, $<ë´Á|üe÷D≤\T Ä<Ûës¡eTT>±
#˚dTü ø=ì ‘·j÷· s¡T#˚jT· ã&ç+~. $X‚wü nqTuÛeÑ E„\sTTq s¡#s· TT‘·\T y˚T\T ø£\sTTø£\ ø£èwæ |ò*ü ‘·eTT á bÕsƒ´¡ |ü⁄døÔü +£ .
dü~«eTs¡Ù\‘√, dü÷#·q\‘√ á |ü⁄düøÔ e£ TTqT eT]+‘· |ü]|ü⁄wæº #˚ùd n+<ä]øÏ e÷ Vü≤è<äjT· |üPs¡«ø£ n_Ûe+<äHê\T.

Ç≥T¢
bÕsƒ´¡ |ü⁄düøÔ £ n_Ûeè~Δ ø£$T{Ï

(vi)
 >∑D‘Ï +· 10e ‘·s>¡ ‹∑
n<Ûë´j·TeTT $wüjT· dü÷∫ø£ |”]j·T&É¢ dæ\ãdt |üP]Ô #˚jT· T ù|J
dü+K´ dü+K´ HÓ\\T dü+K´

01 yêdüeÔ dü+K´\T 15 pHé 1 - 24

02 dü$T‘·T\T 08 p˝…’ 25 - 46

03 ãVüQ|ü<Tä \T 08 p˝…’ 47 - 72

04 s¬ +&ÉT#·ss¡ êX¯ó\˝À sπ Fj·T düMTø£sD¡ ≤\ »‘· 15 p˝…,’ Ä>∑wßü º 73 - 100

05 es¡Z düMTø£sD¡ ≤\T 12 nø√ºãsY 101 - 124

06 ÁX‚&TÉÛ \T 11 qe+ãsY 125 - 158

07 ìs¡÷|üø£ C≤´$T‹ 12 &çX+¯ ãsY 159 - 190

08 düs÷¡ |ü Á‹uÛTÑ C≤\T 18 Ä>∑wßü º 191 - 224

09 eè‘êÔìøÏ düŒs¡Ùsπ K\T eT]j·TT #Û<˚ qä sπ K\T 15 qe+ãsY 225 - 244

10 πøåÁ‘·$T‹ 10 &çX+¯ ãsY 245 - 268

11 Á‹ø√D$T‹ 15 ôdô|+º ãsY 269 - 293

12 Á‹ø√D$T‹ nqTes¡HÔ ê\T 08 »qe] 294 - 304

13 dü+uÛ≤e´‘· 10 |òÁæ ãe] 305 - 322

14 kÕ+K´ø£ XÊg+ 15 ôdô|+º ãsY 323 - 352

nqTã+<Û+ä >∑D‘Ï · qeT÷Hê $<ÛëHê\T 08 |òÁæ ãe] 353 - 365

»yêãT\T 366 - 384

(vii)
 C≤rj·T ^‘·+
` s¡M+Á<äHê<∏é sƒê>∑÷sY

»q>∑DeTq n~ÛHêj·Tø£ »j·TùV≤!

uÛ≤s¡‘· uÛ≤>∑´$<Ûë‘ê!
|ü+C≤ã,dæ+<Ûé, >∑T»sê‘·, eTsêsƒê,
Á<ë$&É, ñ‘·ÿfi¯, e+>∑!
$+<Ûä´, Væ≤e÷#·\, j·Te≠Hê, >∑+>∑!
ñ#·Ã¤\ »\~Û ‘·s¡+>∑!
‘·e X¯óuÛÑHêy˚T C≤π>!
‘·e X¯óuÛÑ n•wü e÷"π>
>±ùV≤ ‘·e »j·T>±<∏ë!
»q>∑D eT+>∑fi¯<ëj·Tø£ »j·TùV≤!
uÛ≤s¡‘· uÛ≤>∑´ $<Ûë‘ê!
»j·TùV≤! »j·TùV≤! »j·TùV≤!
»j·T »j·T »j·T »j·TùV≤!!

Á|ü‹»„
uÛ≤s¡‘·<˚X¯+ Hê e÷‘·èuÛÑ÷$T, uÛ≤s¡rj·≠\+<äs¡÷ Hê düVü≤À<äs¡T\T.
H˚qT Hê <˚XÊìï Áù|$TdüTÔHêïqT, düTdü+|üqïyÓTÆq, ãVüQ$<ÛäyÓTÆq Hê <˚X¯|ü⁄
yês¡dü‘·« dü+|ü<ä Hê≈£î >∑s¡«ø±s¡D+. BìøÏ ns¡Ω‘· bı+<ä&ÜìøÏ düs¡«<ë H˚qT ø£èwæ #˚kÕÔqT.
Hê ‘·*¢<ä+Á&ÉT*ï, ñbÕ<Ûë´j·≠*ï, ô|<ä›\+<ä]ï >ös¡$kÕÔqT.
Á|ü‹ yê]‘√qT eTsê´<ä>± q&ÉT#·Tø=+{≤qT. »+‘·Te⁄\ |ü≥¢ <äj·T‘√ ñ+{≤qT.
Hê <˚X¯+ |ü≥¢, Hê Á|ü»\ |ü≥¢ ùdyêìs¡‹‘√ ñ+{≤qì Á|ü‹»„ #˚düTÔHêïqT.
yê] ÁX‚jÓ÷_Ûeè<äTΔ˝Ò Hê Äq+<ëìøÏ e∂\+.
(viii)
 yêdüÔe dü+K´\T 1

n<Ûë´j·TeTT

1 yêdüÔe dü+K´\T
(Real Numbers)

1.1 |ü]#·j·T+
eTq+ eTT+<äT ‘·s¡>∑‘·T˝À¢ $$<Ûä s¡ø±˝…’q dü+K´\qT >∑÷]à ‘Ó\TdüT≈£îHêïeTT. n+fÒ düVü≤»dü+K´\T,
|üPsêí+ø±\T, |üPs¡ídü+K´\T, nø£s¡D°j·T, ø£s¡D°j·T dü+K´\qT >∑÷]à H˚s¡TÃ≈£îHêï+. nø£s¡D°j·T, ø£s¡D°j·T
dü+K´\qT >∑T]+∫ eT]ø=ìï $wüj·÷\T »„|æÔøÏ ‘Ó#·TÃ≈£î+<ë+.
p
p, q \T |üPs¡í dü+K´˝…’j·TT+&ç, q ≠ 0 nsTTq dü+<äs¡“¤+˝À q s¡÷|ü+˝À sêj·T>∑\ dü+K´\qT
nø£s¡D°j·T dü+K´\+{≤s¡T. á dü+K´\T |üPs¡ídü+K´\ ø£Hêï ô|<ä› düeT÷Vü≤+>± e⁄+{≤sTT. n<˚$<Ûä+>± @
¬s+&ÉT |üPs¡ídü+K´\ eT<Ûä´HÓ’Hê nH˚ø£ nø£s¡D°j·T dü+K´\T+{≤sTT. nìï nø£s¡D°j·T dü+K´\qT n+‘·eTj˚T´
<äXÊ+XÊ\T>±q÷ ˝Ò<ë n+‘·+ ø±ì Äes¡Ôq <äXÊ+XÊ\T>± >±ì sêj·Te#·TÃqT.
p
q
s¡÷|ü+˝À sêj·T˝Òq≥Te+{Ï dü+K´\qT ø£sD¡ j° T· dü+K´\+{≤s¡T. M{Ï˝À 2, 3, 5 yÓTT<ä\>∑T
dü+K´\T, n<˚$<Ûä+>± >∑DÏ‘· Á|üe÷D≤˝…’q π yÓTTˆˆq$ ≈£L&Ü ñ+{≤sTT. M{Ïì <äXÊ+XÊ\T>± sêùd≥|ü&ÉT
n$ n+‘·+ ø±ì eT]j·TT Äes¡Ôq+ ø±ì <äXÊ+XÊ\T>± ekÕÔsTT. ñ<ëVü≤s¡D≈£î = 1.41421356...
eT]j·TT π = 3.14159... á dü+K´\qT ≈£L&Ü eTq+ dü+U≤´πsKô|’ >∑T]Ô+#·>∑\eTT.
nø£s¡D°j·T, ø£s¡D°j·T dü+K´\T ø£\dæ ñqï düeT÷Vü‰ìï eTq+ yêdüÔe dü+K´\T n+{≤eTT. øÏ+~
|ü≥+˝À M{Ïì eTq+ #·÷&Ée#·TÃ.

nø£Rati°j·T Num
s¡Donal bers
dü+K´\T
Ps¡ídgers
|üInte ü+K´\T ø£s¡D°jional
Irrat ·T
|üPolesêíNum
Wh bers
+ø±\T Num
dü+K´\Tbers

Natu ral
düVNum
ü≤»düber
+K´\T
s

yêdüÔe dü+K´\T

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 2 10e ‘·s¡>∑‹ >∑DÏ‘·+

á n<Ûë´j·TeTT˝À eTq+ ø=ìï dæ<ëΔ+‘ê\qT $_Ûqï |ü<‘Δä T· \˝À ìs¡÷|æ+#·&+É ‘Ó\TdüT≈£î+{≤eTT. Ç<˚$<Û+ä >±
ø£s¡D°j·T, nø£s¡D°j·T dü+K´\ <Ûäsêà\qT sêã≥º&ÜìøÏ á dæ<ëΔ+‘ê\qT ñ|üjÓ÷–+#·T≈£î+{≤eTT. ∫es¡>±
eTq+ dü+es¡eZ ÷Hê\T (logarithms) nH˚ ˇø£ s¡øy£ TÓ qÆ Á|üyT˚ j·÷\qT ‘Ó\TdüTø=ì yê{Ïì XÊg$C≤„q+˝Àq÷,
ì‘·´J$‘· düeTdü´\ kÕ<Ûäq˝Àq÷ @$<Ûä+>± $ìjÓ÷–+#·Tø√e#·TÃH√ ‘Ó\TdüT≈£î+{≤eTT.
yêdüÔe dü+K´\ n<Ûä´j·THêìøÏ eTT+<äT>± eTqeTT ø=ìï düeTdü´\qT kÕ~Û+∫ #·÷<ë›eTT.

nuÛ≤´dü+ - 1.1
1. øÏ+~ nø£s¡D°j·T dü+K´\˝À @~ n+‘·eTj˚T´ <äXÊ+XÊ˝À, @$ n+‘·+ ø±ì Äes¡Ôq <äXÊ+XÊ˝À
‘Ó\|ü+&ç.
2 17 15 7 9
(i) (ii) (iii) (iv) (v)
5 18 16 40 11
2. øÏ+~ »‘·\ dü+K´\ eT<Ûä´q >∑\ @<˚ì ˇø£ nø£s¡D°j·T dü+K´qT ø£qT>=q+&ç.
1 1 2 4
(i) eT]j·TT 1 (ii) 3 eT]j·TT 3 3 (iii) eT]j·TT 2
2 3 9
3. øÏ+~ dü+K´\˝À @$ nø£s¡D°j·÷\T? @$ ø£s¡D°j·÷\T?
1 4
(i) 2 (ii) 24 (iii) 16 (iv) 7.7 (v) (vi) − 30 (vii) − 81
2 9
4. øÏ+~ yêdüÔe dü+K´\qT dü+U≤´ πsKô|’ >∑T]Ô+#·+&ç. nedüs¡yÓTÆ‘˚ Á|ü‹ dü+K´≈£î ˇø£ Á|ü‘˚´ø£yÓTÆq
dü+U≤´πsKqT ^j·T+&ç.
3 −9 27
(i) (ii) (iii) (iv) 5 (v) − 16
4 10 3

Ä˝À∫+∫, #·]Ã+∫, sêj·T+&ç

nìï |üPs¡í dü+K´\qT yêdüÔe dü+K´\˝À #˚s¡Ãe#·TÃHê? m+<äT≈£î?

1.2 yêdüÔe dü+K´\ nH˚«wüD

yêdüÔe dü+K´\qT >∑T]+∫ eT]ìï n+XÊ\qT á $uÛ≤>∑eTT˝À nH˚«wæ<ë›eTT. düVü≤»dü+K´\T
nìïj·T÷ yêdüÔe dü+K´\˝À Ç$T&çe⁄Hêïj·Tì eTq≈£î ‘Ó\TdüT. n+<äT#˚ yê{Ï‘√H˚ ÁbÕs¡+_Û<ë›eTT.

1.2.1 n+ø£>D∑ ‘Ï · ÁbÕ<∏$ä Tø£ dæ<ëΔ+‘·eTT

1 ‘·|üŒ, $T–*q nìï düVü≤»dü+K´\qT yê{Ï Á|ü<Ûëqø±s¡D≤+ø±\ \ãΔ+>± Áyêj·Te#·TÃqì øÏ+~
‘·s¡>∑‘·T\˝À MTs¡T H˚s¡TÃ≈£îHêïs¡T. ñ<ëVü≤s¡D≈£î 3 = 3, 6 R 2 × 3 eT]j·TT 253 R 11 × 23 >±
Áyêj·Te#·TÃ. (Á|ü<Ûëqdü+K´, dü+j·TTø£Ô dü+K´ ø±ì~ ª1μ nì >∑Ts¡TÔ≈£î‘Ó#·TÃø=+&ç)

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 yêdüÔe dü+K´\T 3

Á|ü<ÛëHê+ø±\ |òü÷‘ê\ \ã›+>± sêj·T˝Òì @<Ó’Hê dü+j·TTø£Ôdü+K´ ø£*– e⁄+≥T+<äì MTs¡T

uÛ≤$düTÔHêïsê? eTqeTT ˇø£ düVü≤»dü+K´qT rdüTø=ì ø±s¡D≤+ø±\ \ã›+>± sêdæ, BìøÏ düe÷<ÛëqeTT
|ü]o*<ë›+.
Ç|ü&ÉT eTq+ ø±s¡D≤+ø±\ \ã›+>± sêùd eèø£å∫Á‘êìï yê&ÉT≈£î+<ëeTT. Bìø=s¡≈£î ˇø£ ô|<ä›
dü+K´ 163800 qT rdüTø=ì, ø±s¡D≤+ø±\T>± $uÛÑõ<ë›eTT.
163800

2 81900

2 40950

2 20475

3 6825

3 2275

5 455

5 91

7 13

Bì qT+&ç163800 qT 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 5 × 7 × 13 >± sêj·Te#·TÃ. Ç<˚$<Ûä+>±

á dü+K´qT Á|ü<Ûëq ø±s¡D≤+ø±\ |òü÷‘ê\ \ã›+>± 163800 = 23 × 32 × 52 × 7 × 13 >± sêkÕÔeTT.
eTs=ø£ dü+K´ 123456789 qT rdüTø=ì Á|üj·T‹ï<ë›eTT. Bìì 32 × 3803 × 3607 >±
sêj·Te#·TÃ. nsTT‘˚ MTs¡T 3803 eT]j·TT 3607 dü+K´\T Á|ü<ÛëHê+ø±\T>± dü]#·÷&Ée*‡ e⁄+~! (Ç<˚
$<Ûä+>± MTs¡T eT]ìï dü+K´\qT rdüTø=ì Á|üj·T‹ï+#·+&ç). á |òü*‘ê\ Ä<Ûës¡+>± eTq+ ˇø£ ÁbÕ<∏ä$Tø£
|ü]ø£\Œq (conjecture)qT Á|ü‹bÕ~+#·e#·TÃ. |ü]ø£\ŒqqT ˇπø dü+~>∑› Á|ü‹bÕ<äq nì ≈£L&Ü n+{≤s¡T.
n<˚eT+fÒ ªªÁ|ü‹ dü+j·TTø£Ô dü+K´qT <ëì Á|ü<Ûëq dü+K´\ |òü÷‘ê\ \ã›+>± sêj·Te#·TÃμμ.
á |òü*‘êìï düVü≤» dü+K´\‘√ eTs=ø£ $<Ûä+>± |ü]o*<ë›eTT. ø=ìï Á|ü<Ûëq dü+K´\T 2, 3, 7, 11
eT]j·TT 23 \qT rdüT≈£î+<ëeTT. M{Ï˝À ø=ìï+{Ïì ˝Ò<ë nìï+{Ïì, @ dü+K´ mìïkÕs¡T¢ nsTTqq÷ rdüTø=ì
>∑TDÏùdÔ eTq≈£î n‹ô|<ä› |üPs¡dí +ü K´\qT n|ü]$T‘·+>± sêã≥ºe#·TÃ. M{Ï˝À eTqeTT ø=ìï+{Ïì |ü]o*<ë›eTT.
2 × 3 × 11 = 66 7 × 11 = 77

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 4 10e ‘·s¡>∑‹ >∑DÏ‘·+

7 × 11 × 23 = 1771 3 × 7 × 11 × 23 = 5313

2 × 3 × 7 × 11 × 23 = 10626 23 × 3 × 73 = 8232

22 × 3 × 7 × 11 × 23 = 21252

Ç|ü&ÉT, MTs¡T rdüT≈£îqï ˇø£ Á|ü<Ûëq dü+K´\ düeT÷Vü≤eTT˝À neø±X¯+ >∑\ nìï Á|ü<Ûëqdü+K´\T
e⁄Hêïj·TqT≈£î+<ë+. n≥Te+{Ï düeT÷Vü‰ìï MTs¡T }Væ≤+#·>∑\sê? á düeT÷Vü≤+˝À dü+j·TTø£Ô dü+K´\T
|ü]$T‘· dü+K´˝À e⁄+{≤j·÷? ˝Ò<ë n|ü]$T‘·+>± e⁄+{≤j·÷? ø±ì kÕ<Ûës¡D+>± eTq≈£î n|ü]$T‘·+>±
Á|ü<Ûëqdü+K´\T e⁄+{≤sTT. n+<äT#˚ eTq+ nìï Á|ü<Ûëqdü+K´\qT $_Ûqï Ø‘·T\˝À >∑TDÏùdÔ, eTq≈£î
n|ü]$T‘·+>± dü+j·TTø£Ô dü+K´\T ≈£L&Ü ekÕÔsTT.
á #·sá <ë«sê eTqeTT n+ø£>D∑ ‘Ï · ÁbÕ<∏$ä Tø£ dæ<ëΔ+‘·eTT ªªÁ|ü‹ dü+j·TTø£Ô dü+K´qT Á|ü<ëÛ qø±s¡D≤+ø£
eTT\ \ã›+>±μμ >± ìs¡«∫+|üe#·TÃqT. Bìì eT]+‘· düŒwüº+>± #ÓbÕŒ\+fÒ Á|ü<Ûëq dü+K´\ Áø£eT+
@<Óq’ |üŒ{Ïø° Á|ü‹ dü+j·TTø£Ô dü+K´qT Á|ü<ëÛ q ø±s¡D≤+ø£eTT\ \ã›+>± @¬øø’ e£ TT (unique) >± sêj·Te#·TÃqT.
ñ<ëVü≤s¡D≈£î eTqeTT 210 dü+K´qT ø±s¡D≤+ø£eTT\T>± sêùd≥|ü&ÉT Á|ü<ÛëHê+ø±\ Áø£eTeTT @<Ó’q|üŒ{Ïø°
Bìì 2 × 3 × 5 × 7 ˝Ò<ë 3 × 5 × 7 × 2 ˝Ò<ë eTπs$<Ûä+>± HÓ’qq÷ \ã›eTT>± sêj·Te#·TÃqT.
n+<äT#˚ @ dü+j·TTø£Ô dü+K´qT nsTTqq÷ Á|ü<Ûëq ø±s¡D≤+ø£eTT\ \ã›eTT>± ˇπøˇø£ $<Ûä+>± sêj·Te#·TÃqT.
Bìì eTq+ dæ<ëΔ+‘· |üs¡+>± Ç|ü&ÉT ìs¡«∫<ë›eTT.
dæ<ëΔ+‘·eTT-1.1 : (n+ø£>∑DÏ‘· ÁbÕ<∏ä$Tø£ dæ<ëΔ+‘·eTT) : Á|ü‹ dü+j·TTø£Ô dü+K´qT Á|ü<ÛëHê+ø£eTT\ \ã›+>±
sêj·Te#·TÃqT eT]j·TT Á|ü<Ûëq ø±s¡D≤+ø±\ Áø£eT+ @<Ó’q|üŒ{Ïø° á ø±s¡D≤+ø±\ \ã›+ @¬ø’ø£eTT
Bìì, kÕ<Ûës¡D+>± ˇø£ dü+j·TTø£Ô dü+K´ x qT x = p1p2...pn nì sêj·Te#·TÃ. Bì˝À p1,
p2..., pn nH˚$ Äs√Vü≤D Áø£eT+˝À sêj·Tã&çq Á|ü<ÛëHê+ø±\T, n+fÒ p1 ≤ p2 ≤ ... ≤ pn . á
dü+<äs¡“¤+˝À ˇπø s¡ø£yÓTÆq Á|ü<ÛëHê+ø£eTT\T yê&çq#√ yê{Ïì Á|ü<ÛëHê+ø±\ |òü÷‘ê\T>± sêkÕÔeTT. ˇø£kÕ]
eTq+ á dü+K´\T Äs√Vü≤DÁø£eT+˝À e⁄Hêïj·Tì uÛ≤$ùdÔ, n|ü&ÉT á \ã›+ @¬ø’ø£+ ne⁄‘·T+~.
ñ<ëVü≤s¡D≈£î 163800 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 5 × 7 × 13 = 23 × 32 × 52 × 7 × 13

Á|üj·T‹ï+#·+&ç
2310 qT Á|ü<Ûëq ø±s¡D≤+ø±\ \ã›+>± sêj·T+&ç. á dü+K´qT ˙ ùdïVæ≤‘·T\T @$<Ûä+>±
ø±s¡D≤+ø±\ \ã›+>± sêkÕs√ #·÷&É+&ç. ˙e⁄ #˚dæq≥T¢>±H˚ yês¡T ≈£L&Ü #˚kÕsê ? ∫e] |òü*‘êìï,
˙ ùdïVæ≤‘·T\ |òü*‘·+‘√ dü]#·÷&ÉTeTT. Bì ø=s¡≈£î 3 ˝Ò<ë 4 dü+K´\qT rdüTø=ì Á|üj·T‹ï+#·TeTT. ˙e⁄
@$T >∑eTìkÕÔe⁄?
MTs¡T ‘Ó\TdüT≈£îqï |òü*‘·+ #ê˝≤ düT\uÛÑ+>± ne>±Vü≤q nsTTe⁄+&ç ìs¡«∫+|üã&ç e⁄+&Ée#·TÃqT.
Bì jÓTTø£ÿ nqTes¡Ôq+ >∑DÏ‘·+˝À nH˚ø£ $<Ûë\T>± ñ+~. Bìø=s¡≈£î ¬s+&ÉT ñ<ëVü≤s¡D\T |ü]o*<ë›+.
MTs¡T Ç~ es¡≈£î ¬s+&ÉT <Ûäq|üPs¡ídü+K´\T >∑.kÕ.ø± (>∑]wü˜ kÕe÷q´ ø±s¡D≤+ø£+) eT]j·TT ø£.kÕ.>∑T
(ø£ìwü̃ kÕe÷q´ >∑TDÏ»+) qT n+ø£>∑DÏ‘· ÁbÕ<∏ä$Tø£ dæ<ë›+‘·+ ñ|üjÓ÷–+∫ ø£qT>=q&É+, dü+|üPs¡í ne>±Vü≤q
˝Ò≈£î+&ÜH˚ H˚s¡TÃ≈£îHêïs¡T.

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 yêdüÔe dü+K´\T 5

á |ü<äΔ‹H˚ eTqeTT Á|ü<Ûëqø±s¡D≤+ø±\ \ã›|ü<äΔ‹ n+{≤eTT. øÏ+~ ñ<ëVü≤s¡D <ë«sê eTqeTT á |ü<äΔ‹ì
ˇø£kÕ] >∑Ts¡TÔ≈£î ‘Ó#·TÃ≈£î+<ëeTT.
ñ<ëVü≤s¡D-1. 12 eT]j·TT 18 \ jÓTTø£ÿ >∑.kÕ.ø± eT]j·TT ø£.kÕ.>∑T\qT Á|ü<Ûëq ø±s¡D≤+ø±\ \ã› |ü<䛋˝À
ø£qT>=qTeTT
kÕ<Ûäq : eTq≈£î 12 = 2 × 2 × 3 = 22 × 31
18 = 2 × 3 × 3 = 21 × 32 n>∑TqT
12, 18 \ >∑.kÕ.ø± = 21 × 31 = 6 = dü+K´\ jÓTTø£ÿ kÕe÷q´ ø±s¡D≤+ø£eTT\ ø£ìwü˜
|ò÷ü ‘ê\ \ãΔ+.
12, 18 \ ø£.kÕ.>∑T = 22 × 32 = 36 = dü+K´\ jÓTTø£ÿ kÕe÷q´ ø±s¡D≤+ø£eTT\ >∑]wü˜
|ò÷ü ‘ê\ \ãΔ+
ô|’ ñ<ëVü≤s¡D qT+&ç, MTs¡T ˇø£ dü+ã+<ÛäeTT n+fÒ(12, 18) \ >∑.kÕ.ø±× (12, 18) \ ø£.kÕ.>∑T
= 12 × 18 \ãΔ+ nsTTq<äì MTs¡T >∑eTì+#˚ e⁄+{≤s¡T. nq>± ¬s+&ÉT <Ûäq|üPs¡ídü+K´\T a eT]j·TT b, \T
nsTTq#√ yê{Ï >∑.kÕ.ø±(a,b) × ø£.kÕ.>∑T(a, b) = a × b ne⁄‘·T+<äì dü]#·÷&Ée#·TÃqT. Bìì ã{Ϻ ¬s+&ÉT
<Ûqä |üPs¡dí +ü K´\T, yê{Ï >∑.kÕ.ø± ‘Ó*dæq|ü&ÉT Ä dü+K´\ ø£.kÕ.>∑TqT á |ò*ü ‘·+ Ä<Ûës¡+>± ø£qT>=qe#·TÃqT.
ñ<ëVü≤s¡D` 2. n ˇø£ düVü≤»dü+K´ >± >∑\ dü+K´ 4n rdüTø=+&ç. n jÓTTø£ÿ @ $\Te¬ø’Hê 4n dü+K´ ªdüTqïμ
n+¬ø‘√ n+‘·eTÚ‘·T+<√ ˝Ò<√ dü]#·÷&É+&ç.
kÕ<Ûäq : n düVü≤»dü+K´>± >∑\ dü+K´ 4n düTqï‘√ n+‘·+ ø±yê\+fÒ n~ ª5μ #˚ ìX‚Ùwü+>± uÛ≤–+#·ã&Ü*.
n+fÒ 4n dü+K´ jÓTTø£ÿ Á|ü<Ûëq ø±s¡D≤+ø±\ \ã›+˝À 5 ˇø£ Á|ü<Ûëq dü+K´>± e⁄+&Ü*. ø±ì Ç~ kÕ<Ûä´+
ø±<äT. m+<äTe\q nq>± 4n = (2)2n. n+<äT#˚ 4n jÓTTø£ÿ Á|ü<Ûëqø±s¡D≤+ø±\ \ã›+˝À ˝Òq+<äTq, n @
düVü≤» dü+K´ $\Te¬ø’qq÷ 4n nH˚ dü+K´ ªdüTqïμ‘√ n+‘·eTT ø±H˚s¡<äT.

Á|üj·T‹ï+#·+&ç
@ düVü≤»dü+K´ ªªnμμ≈£î nsTTHê 12n nqT dü+K´ 0 ˝Ò<ë 5 ‘√ n+‘·eTT ø±<äì ìs¡÷|æ+#·+&ç.

nuÛ≤´düeTT - 1.2
1. øÏ+~ yêì˝À Á|ü‹dü+K´qT Á|ü<Ûëq ø±s¡D≤+ø±\ \ã›+>± sêj·T+&ç.
(i) 140 (ii) 156 (iii) 3825 (iv) 5005 (v) 7429
2. øÏ+~ |üPs¡ídü+K´\ jÓTTø£ÿ ø£.kÕ.>∑T eT]j·TT >∑.kÕ.ø± \qT Á|ü<Ûëq ø±s¡D≤+ø±\ \ã› |ü<äΔ‹˝À
ø£qT>=q+&ç.
(i) 12, 15 eT]j·TT 21 (ii) 17, 23 eT]j·TT 29 (iii) 8, 9 eT]j·TT 25
(iv) 72 eT]j·TT 108 (v) 306 eT]j·TT 657

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 6 10e ‘·s¡>∑‹ >∑DÏ‘·+

3. n ˇø£ düVü≤» dü+K´ nsTTq 6n dü+K´ ªdüTqïμ‘√ n+‘·eT>∑TH√, ø±<√ dü]#·÷&É+&ç.

4. 7 × 11 × 13 + 13 eT]j·TT 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5 @$<Ûä+>± dü+j·TTø£Ô
dü+K´\>∑TH√ $e]+#·+&ç.
5. (17 × 11 × 2) + (17 × 11 × 5) nH˚~ ˇø£ dü+j·TTø£Ô dü+K´ nì @$<Ûä+>± ìs¡÷|ækÕÔe⁄?
$e]+#·+&ç.

yêdüÔe dü+K´\qT >∑T]+∫ eT]+‘·>± |ü]XÀ~Û+#·&ÜìøÏ n+ø£>∑DÏ‘· ÁbÕ<∏ä$Tø£ dæ<ëΔ+‘·+qT

$ìjÓ÷–<ë›+. yÓTT<ä{ nø£s¡D°j·T dü+K´\qT n+‘·+>∑\ <äXÊ+XÊ\T>±qT, n+‘·+ ˝Òì Äes¡Ôq <äXÊ+X¯
s¡÷|ü+˝À sêj·TTq|ü⁄&ÉT á dæ<ëΔ+‘·+ @$<Ûä+>± ñ|üjÓ÷>∑|ü&ÉT‘·T+<√ ‘Ó\TdüT≈£î+<ë+. Ç<˚$<Ûä+>± 2 ,
3 eT]j·TT 5 yÓTT<ä\>∑T dü+K´\T ø£s¡D°j·T dü+K´\T>± @$<Ûä+>± ìs¡÷|æ+#·e#·TÃH√ |ü]o*<ë›+.

1.2.2 nø£sD¡ j
° T· dü+K´\T eT]j·TT yê{Ï <äXÊ+X¯ s¡÷bÕ\T
nø£sD¡ j
° T· dü+K´\qT <äXÊ+X¯s÷¡ |ü+˝À e÷s¡TÃq|ü⁄&ÉT @@dü+<äsꓤ\˝À Ç$ n+‘·+ >∑\ <äXÊ+XÊ˝À
˝Ò<ë n+‘·+ ø±ì Äes¡Ôq <äXÊ+XÊ˝À á $uÛ≤>∑+˝À |ü]o*<ë›eTT.
øÏ+~ ø=ìï nø£s¡D°j·Tdü+K´\≈£î n+‘·eTj˚T´ <äXÊ+X¯ s¡÷bÕ\qT |ü]o*<ë›+.
(i) 0.375 (ii) 1.04 (iii) 0.0875 (iv) 12.5 (v) 0.00025
p
Ç|ü&ÉT dü+K´\qT q
s¡÷|ü+˝À sê<ë›+.

375 375 104 104

(i) 0.375 = = 3 (ii) 1.04 = =
1000 10 100 10 2

875 875 125 125

(iii) 0.0875 = = 4 (iv) 12.5 = = 1
10000 10 10 10

25 25
(v) 0.00025 = = 5
100000 10

eTq+ rdüT≈£îqï n+‘·+ >∑\ <äXÊ+XÊ\qT nø£sD¡ j

° T· dü+K´\T>± sêj·TTq|ü⁄&ÉT Vü‰s¡+˝Àì |ò÷ü ‘ê\˙ï
10 uÛÑ÷$T>± e´ø£Ô+ #˚j·Tã&ܶsTT. Ç|ü&ÉT \e, Vü‰sê\qT Á|ü<Ûëq ø±sêD≤+ø£eTT\ \ã›+>± sêdæ,
nø£s¡D°j·T dü+K´\qT dü÷ø£åàs¡÷|ü+˝À sê<ë›+.
375 3×53 3 3
(i) 0.375 = 3
= 3 3= 3=
10 2 ×5 2 8

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 yêdüÔe dü+K´\T 7

104 23 ×13 26 26
(ii) 1.04 = 2 = 2 2 = 2 =
10 2 ×5 5 25

875 53 × 7 7
(iii) 0.0875 = 4
= 4 4
= 4
10 2 ×5 2 ×5

125 53 25
(iv) 12.5 = = =
10 2×5 2

25 52 1 1
(v) 0.00025 = 5
= 5 5
= 5 3=
10 2 ×5 2 ×5 4000
á nø£s¡D°j·T dü+K´\ Vü‰sê\˝À @<Ó’Hê neT]ø£qT MTs¡T >∑eTì+#êsê? ˇø£ <äXÊ+X¯ dü+K´qT
nø£s¡D°j·T dü+K´>± dü÷ø£åàs¡÷|ü+˝À e´ø£Ô|üs¡#·Tq|ü⁄&ÉT p, q \T kÕù|ø£å Á|ü<ÛëHê+ø±\T eT]j·TT Vü‰s¡+
(nq>± q) jÓTTø£ÿ ø±s¡D≤+ø±\T 2 ˝Ò<ë 5 ˝Ò<ë ¬s+&ç+{Ï jÓTTø£ÿ |òü÷‘ê\˝À sêj·TTq|ü⁄&ÉT á neT]ø£qT
|ü]o*+#·e#·TÃqT. m+<äTe\q nq>± 10 |òü÷‘·+>± >∑\ dü+K´ jÓTTø£ÿ Á|ü<Ûëqø±s¡D≤+ø±\T 2 ˝Ò<ë 5
eT]j·TT ¬s+&ç+{Ï |òü÷‘ê\T>± e÷Á‘·y˚T ñ+{≤sTT.
Ç$ #˚j·T+&ç
p
øÏ+~ n+‘·yÓTT+<˚ <äXÊ+XÊ\qT nø£s¡D°j·T dü+K´\T>± ( q , q≠ 0 eT]j·TT p, q \T kÕù|ø£å
Á|ü<ÛëHê+ø±\T) sêj·T+&ç.
(i) 15.265 (ii) 0.1255 (iii) 0.4 (iv) 23.34 (v) 1215.8

á Á|üÁøÏj·T˝À nø£s¡D°j·T dü+K´\ Vü‰sê\qT >∑T]+∫ @$T #Ó|üŒ>∑\s¡T ?

eTq+ Bìì øÏ+~ $<Ûä+>± eTT–<ë›+.
eTq+ BìøÏ dü+ã+~Û+∫ ø=ìï ñ<ëVü≤s¡D\qT e÷Á‘·y˚T |ü]o*+∫q|üŒ{Ïø° @ nø£s¡D°j·T dü+K´
° T· dü+K´ jÓTTø£ÿ Vü‰sêìï 10 jÓTTø£ÿ
jÓTTø£ÿ <äXÊ+X¯ s¡÷|üyTÓ HÆ ê n+‘·yTÓ T+<˚ <äXÊ+X¯+ nsTTq|ü⁄&ÉT Ä nø£sD¡ j
|òü÷‘·+>± >∑\ dü+K´>± sêj·Te#·TÃqT. 10 jÓTTø£ÿ Á|ü<Ûëq ø±s¡D≤+ø£eTT\T 2 eT]j·TT 5 e÷Á‘·y˚T. ø±e⁄q
p
ˇø£ nø£s¡D°j·T dü+K´qT dü÷ø°åàø£]+#·Tq|ü⁄&ÉT Ä dü+K´ q
s¡÷|ü+˝À e⁄+≥÷ q jÓTTø£ÿ Á|ü<Ûëqø±s¡D≤+ø±\
\ã›+ 2n5m s¡÷|ü+˝À e⁄+≥T+~, Ç+<äT˝À n eT]j·TT m \T @yÓ’Hê ¬s+&ÉT s¡TDÒ‘·s¡ |üPs¡í dü+K´\T.
á |òü*‘êìï eTq+ dæ<ëΔ+‘· s¡÷|ü+˝À øÏ+~ $<Ûä+>± ìs¡«∫+#·e#·TÃqT.
dæ<ëΔ+‘·+-1.2 : x nH˚~ ˇø£ nø£s¡D°j·T dü+K´ eT]j·TT Bì <äXÊ+X¯s¡÷|ü+ ˇø£ n+‘·eTj˚T´ <äXÊ+X¯eTT,
p
nsTTq|ü&ÉT x qT p, q\T |üs¡düŒs¡ Á|ü<ÛëHê+ø±\T nsTTe⁄qï q
s¡÷|ü+˝À e´ø£Ô|üs¡#·e#·TÃ. eT]j·TT q

jÓTTø£ÿ Á|ü<Ûëq ø±s¡D≤+ø±\ \ã›+ 2n5m n>∑TqT. Ç+<äT˝À n, m \T nH˚$ s¡TDÒ‘·s¡ |üPs¡ídü+K´\T.
Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ
 8 10e ‘·s¡>∑‹ >∑DÏ‘·+

eT] Bì jÓTTø£ÿ $|üs¡´j·TeTT eTq+ |ü]o*ùdÔ eTq≈£î ˇøÏ+‘· ÄX¯Ãs¡´+ ø£\T>∑ø£ e÷q<äT. n+fÒ
p
q
s¡÷|ü+˝À ˇø£ nø£s¡D°j·T dü+K´j·TT+&ç, q jÓTTø£ÿ s¡÷|ü+ 2n5m (Ç+<äT n, m \T s¡TDÒ‘·s¡ |üPs¡ídü+K´\T)
p
ø£*–e⁄qï q
ˇø£ n+‘·eTj˚T´ <äXÊ+X¯+ ne⁄‘·T+<ë?
p
Bì qT+&ç eTq+ s¡÷|ü+˝À ˇø£ nø£s¡D°j·T dü+K´ e⁄+&ç, q nH˚~ 2n5m s¡÷|ü+˝À e⁄+fÒ
q
a
<ëìøÏ ‘·T\´yÓTÆq ˇø£ nø£s¡D°j·T dü+K´ b ne⁄‘·T+~. Ç+<äT˝À b nH˚~ 10 jÓTTø£ÿ |òü÷‘· dü+K´>±
uÛ≤$+#·+&ç.
Bìì |ü]o*+#·&ÜìøÏ eTq+ eTT+<äT ñ<ëVü≤s¡DqT ‹]– eTs=ø£kÕ] |ü]o*+∫, $|üs¡´j·T+qT
ne>±Vü≤q #˚düT≈£î+<ë+.
25 53 125
(i) = = = 12.5
2 2×5 10
26 26 13× 23 104
(ii) = = = = 1.04
25 52 22 ×52 102
3 3 3× 53 375
(iii) = 3 = 3 3 = 3 = 0.375
8 2 2 ×5 10
7 7 7 ×53 875
(iv) = 4 = 4 4 = 4 = 0.0875
80 2 ×5 2 ×5 10
1 1 52 25
(v) = 5 3 = 5 5 = 5 = 0.00025
4000 2 ×5 2 ×5 10
p
ô|’ ñ<ëVü≤s¡D\T q s¡÷|ü+˝À e⁄+&ç Bì˝À q jÓTTø£ÿ s¡÷|ü+ 2n5m ø£*–q nø£s¡D°j·T dü+K´≈£î
a
ˇø£ ‘·T\´yÓTÆq nø£s¡D°j·T dü+K´ b >± sêj·Te#·TÃ. eT]j·TT Ç+<äT˝À b nH˚~ 10 jÓTTø£ÿ ˇø£ |òü÷‘· dü+K´.
n+<äTe\q Ç≥Te+{Ï nø£s¡D°j·T dü+K´\T n+‘·+>∑\ <äXÊ+XÊ\T>± s¡÷bı+<äT‘êsTT. n+fÒ q nH˚~ 10
p
jÓTTø£ÿ |òü÷‘·dü+K´ nsTT e⁄+&ç q s¡÷|ü+˝À sêj·T>∑*π> ˇø£ nø£s¡D°j·T dü+K´ jÓTTø£ÿ <äXÊ+X¯s¡÷|ü+ ˇø£
n+‘·eTj˚T´ <äXÊ+X¯+ n>∑TqT.
n+<äT#˚, dæ<ëΔ+‘·+ 1.2 jÓTTø£ÿ $|üs¡´j·T+ ≈£L&Ü dü‘·´y˚T. eT] Bìì eTq+ ÁøÏ+~ $<Ûä+>±
ìs¡«∫+#·e#·TÃ.
dæ<ëΔ+‘·eTT 1.3 : n, m \T s¡TDÒ‘·s¡ |üPs¡ídü+K´\T eT]j·TT q jÓTTø£ÿ Á|ü<Ûëqø±s¡D≤+ø±\ \ã› s¡÷|ü+ 2n5m
p
ø£*–q≥Te+{Ï nø£s¡D°j·T dü+K´ x = q
nsTTq, x jÓTTø£ÿ <äXÊ+X¯s¡÷|ü+ ˇø£ n+‘·eTj˚T´ <äXÊ+X¯+
n>∑TqT.

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 yêdüÔe dü+K´\T 9

Ç~ #˚j·T+&ç
p
øÏ+~ nø£s¡D°j·T dü+K´\T q s¡÷|ü+˝À e⁄HêïsTT. Ç+<äT˝À q jÓTTø£ÿ s¡÷|ü+ 2n5m eT]j·TT
Ç+<äT˝À n, m \T s¡TDÒ‘·s¡ |üPs¡ídü+K´\T nsTTq M{Ïì <äXÊ+X¯ s¡÷bÕ\˝ÀìøÏ e÷s¡Ã+&ç.
3 7 51 14 80
(i) (ii) (iii) (iv) (v)
4 25 64 23 81

1.2.3 n+‘·+ø±ì, Äes¡qÔ + #Ó+<˚ <äXÊ+XÊ\qT nø£sD¡ j

° T· dü+K´\T>± sêj·TT≥ 0.1428571
eTq+ Ç|ü&ÉT n+‘·+ ø±ì, Äes¡Ôq+ #Ó+<˚ ø=ìï nø£s¡D°j·T dü+K´\qT, 7 1.0000000
yê{Ï <äXÊ+X¯ s¡÷bÕ\qT |ü]o*<ë›+. Bì ø=s¡≈£î eTq+ ˇø£ ñ<ëVü≤s¡DqT 7
|ü]o\*+∫, @$<Ûä+>± <äXÊ+X¯s¡÷|ü+ @s¡Œ&ç+<√ #·÷<ë›+. 30
1 28
7
jÓTTø£ÿ <äXÊ+X¯s¡÷bÕìï #·÷&É+&ç. 20
1 14
= 0.1428571428571 ..... Ç~ ˇø£ n+‘·+ ø±ì Äes¡Ôq <äXÊ+X¯+.
7 60
uÛ≤>∑|òü\+˝À '142857' n+¬ø\ düeT÷Vü≤+ Äes¡Ôq+ #Ó+<äT≥ >∑eTì+#·+&ç. 56
40
ánø£s¡D°j·T dü+K´˝À Vü‰s¡+ 7 ø±e⁄q, Ç~ 2n5m s¡÷|ü+˝À ˝Ò<äì |ü]o*+#·e#·TÃ.
35

Ç~ #˚j·T+&ç 50
49
øÏ+~ nø£s¡D°j·T dü+K´\qT <äXÊ+XÊ\T>± sêj·T+&ç. uÛ≤>∑|òü\+˝À Äes¡Ôq+
10
#Ó+<˚ n+¬ø\ düeT÷Vü‰ìï ø£qT>=q+&ç.
7
1 2 5 10
(i) (ii) (iii) (iv) 30
3 7 11 13

ô|’q MTs¡T #˚dæq ªÇ~ #˚j·T+&çμ nuÛ≤´dü+ eT]j·TT ô|’q #·÷|æq ñ<ëVü≤s¡D <ë«sê eTq+ øÏ+~
dæ<ëΔ+‘·+qT ìs¡«∫+#·e#·TÃ.
dæ<ëΔ+‘·eTT-1.4 : n, m \T s¡TDÒ‘·s¡ |üPs¡ídü+K´\T eT]j·TT q jÓTTø£ÿ Á|ü<Ûëqø±s¡D≤+ø£eTT\ \ã›+ 2n5m
p
s¡÷|ü+˝À ˝Ò≈£î+fÒ, nø£s¡D°j·T dü+K´ x = q nsTTq x jÓTTø£ÿ <äXÊ+X¯s¡÷|ü+ ˇø£ n+‘·+ø±ì, Äes¡Ôq+
#Ó+<˚ <äXÊ+X¯+ n>∑TqT.
ô|’ #·s¡Ã <ë«sê eTq+ ªªÁ|ü‹ nø£s¡D°j·T dü+K´ ˇø£ n+‘·eTj˚T´ <äXÊ+X¯+μμ ˝Ò<ë ªªn+‘·+ ø±ì
Äes¡Ôq <äXÊ+X¯+μμ >±ì n>∑Tqì ìsêú]+#·e#·TÃqT.

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 10 10e ‘·s¡>∑‹ >∑DÏ‘·+

ñ<ëVü≤s¡D-3. ìs¡«∫+|üã&çq dæ<ë›+‘ê\ Ä<Ûës¡+>±, uÛ≤>∑Vü‰s¡+ #˚j·T≈£î+&ÜH˚ ÁøÏ+~ nø£s¡D°j·T dü+K´\T

n+‘·eTj˚T´ <äXÊ+XÊ˝À, n+‘·+ø±ì Äes¡Ôq <äXÊ+XÊ˝À ‘Ó\|ü+&ç.
16 25 100 41
(i) (ii) (iii) (iv)
125 32 81 75

16 16 16
kÕ<Ûäq : (i) = = 3 = n+‘·eTj˚T´ <äXÊ+X¯+
125 5×5×5 5

25 25 25
(ii) = = 5 = n+‘·eTj˚T´ <äXÊ+X¯+
32 2× 2× 2× 2× 2 2

100 100 10
(iii) = = 4 = n+‘·+ ø±ì Äes¡Ôq <äXÊ+X¯+
81 3× 3× 3× 3 3

41 41 41
(iv) = = = n+‘·+ ø±ì Äes¡Ôq <äXÊ+X¯+
75 3×5× 5 3× 52
ñ<ëVü≤s¡D-4. øÏ+~ nø£s¡D°j·T dü+K´\qT uÛ≤>∑Vü‰s¡+ #˚j·T≈£î+&ÜH˚ <äXÊ+X¯s¡÷|ü+˝À sêj·T+&ç.
35 21 7
(i) (ii) (iii)
50 25 8

35 7 ×5 7 7
kÕ<Ûäq : (i) = = = 1 = 0.7
50 2× 5× 5 2× 5 10

21 21 21× 22 21× 4 84
(ii) = = 2
= 2 2 = 2 = 0.84
25 5×5 5×5× 2 5 ×2 10

7 7 7 7 × 53 7 × 25 875
(iii) 8 = 2× 2× 2 = 23 = 23 ×53 = 2×5 3 = 10 3 = 0.875
( ) ( ) ( )

nuÛ≤´dü+- 1.3
1. øÏ+~ nø£s¡D°j·T dü+K´\qT <äXÊ+X¯s¡÷|ü+˝À sêj·T+&ç. Ç+<äT˝À @$ n+‘·eTj˚T´ <äXÊ+XÊ˝À,
@$ n+‘·+ø±ì Äes¡Ôq <äXÊ+XÊ˝À ‘Ó\|ü+&ç.
3 229 1 2 8
(i) (ii) (iii) 4 (iv) (v)
8 400 5 11 125
2. uÛ≤>∑Vü‰s¡ Á|üÁøÏj·T ˝Ò≈£î+&ÜH˚ ÁøÏ+~ nø£s¡D°j·T dü+K´\˝À y˚{Ïì n+‘·eTj˚T´ <äXÊ+XÊ\T>±
sêj·T>∑\yÓ÷? y˚{Ïì n+‘·+ ø±ì Äes¡Ôq <äXÊ+XÊ\T>± sêj·T>∑\yÓ÷ ‘Ó\|ü+&ç.

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 yêdüÔe dü+K´\T 11

13 11 64 15 29
(i) (ii) (iii) (iv) (v)
3125 12 455 1600 343

23 129 9 36 77
(vi) (vii) (viii) (ix) (x)
23 5 2 22 57 75 15 100 210

3. dæ<ëΔ+‘·+ 1.1qT nqTdü]+∫ øÏ+~ nø£s¡D°j·T dü+K´\ jÓTTø£ÿ <äXÊ+X¯ s¡÷bÕìï ‘Ó\|ü+&ç
13 15 23 7218 143
(i) (ii) (iii) (iv) (v)
25 16 23.52 32.52 110

4. øÏ+~ ø=ìï yêdüÔedü+K´\ <äXÊ+X¯s¡÷bÕ\T Çe«ã&çq$. Á|ü‹ dü+<äs¡“¤+˝Àq÷ Çe«ã&çq dü+K´

p
nø£s¡D°j·TyÓ÷ ø±<√ ‘Ó\|ü+&ç. Ä dü+K´ nø£s¡D°j·TyÓTÆ e⁄+&ç s¡÷|ü+˝À sêj·T>∑*–‘˚ q
q
jÓTTø£ÿ Á|ü<Ûëq ø±s¡D≤+ø±\qT >∑÷]à ˙e⁄ @$T #Ó|üŒ>∑\e⁄?
(i) 43.123456789 (ii) 0.120120012000120000… (iii) 43.123456789

1.3 ø£s¡D°j·T dü+K´\T ` eT]ìï n+XÊ\T

p
p,q \T |üPs¡ídü+K´\T eT]j·TT q ≠ 0 nsTTq q
s¡÷|ü+˝À sêj·T˝Òq≥Te+{Ï yêdüÔe dü+K´\qT
ø£s¡D°j·T dü+K´\T (Q' ˝Ò<ë S) n+{≤s¡ì >∑Ts¡TÔ≈£î ‘Ó#·TÃø√+&ç. MTs¡T Ç~es¡πø ‘Ó\TdüT≈£îqï ø=ìï ø£s¡D°j·T
dü+K´\qT øÏ+<ä ñ<äVü≤]<ë›+.
2
2, 3, 15, π, − , 0.10110111011110…, yÓTTˆˆq$.
3

á $uÛ≤>∑+˝À eTq+ n+ø£>∑DÏ‘· ÁbÕ<∏ä$Tø£ dæ<ë›+‘·+qT nqTdü]+∫ ø=ìï yêdüÔe dü+K´\qT

ø£s¡D°j·T dü+K´\T>± ìs¡÷|æ<ë›+. n+fÒ 2, 3, 5 yÓTTˆˆq$. eTq+ kÕ<Ûës¡D+>± p ˇø£ Á|ü<Ûëq
dü+K´ nsTTq p ˇø£ ø£s¡D°j·T dü+K´ nì #Ó|üŒe#·TÃ.

2
qT eTq+ ø£s¡D°j·T dü+K´>± ìs¡÷|æ+#·T≥≈£î eTT+<äT>± Bìì n+ø£>∑DÏ‘· ÁbÕ<∏ä$Tø£ dæ<ëΔ+‘·+
Ä<Ûës¡+>± ìs¡÷|æ+#·ã&çq Á|üe#·Hêìï ‘Ó\TdüT≈£î+<ë+.
Á|üe#·q+-1 : p nH˚~ ˇø£ Á|ü<Ûëq dü+K´ eT]j·TT a ˇø£ <Ûäq|üPs¡í dü+K´ nsTT‘˚ ªªa2qT p ìX‚Ùwü+>±
uÛ≤–ùdÔ a qT p ìX‚Ùwü+>±μμ uÛ≤–düTÔ+~.

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 12 10e ‘·s¡>∑‹ >∑DÏ‘·+

ìs¡÷|üD: ªaμ nH˚~ ˇø£ <Ûäq |üPs¡ídü+K´ nsTT‘˚ ªaμ jÓTTø£ÿ Á|ü<Ûëq ø±s¡D≤+ø±\ \ã›+qT øÏ+~ $<Ûä+>±
sêj·Te#·TÃ.
a = p1p2 … pn, Ç+<äT˝À p1, p2, …., pn \T Á|ü<ÛëHê+ø±\T eT]j·TT y˚πs«s¡T>± ñ+&Éqedüs¡+ ˝Ò<äT.
n+<äT#˚ a2 = (p1p2 … pn) (p1p2 … pn) = p21p22 … p2n n>∑TqT.
n+ø£>∑DÏ‘· ÁbÕ<∏ä$Tø£ dæ<ë›+‘·+qT nqTdü]+∫ a2 qT p ìX‚Ùwü+>± uÛ≤–+#·Tqì Çe«ã&çq+<äTq,
n+ø£>∑DÏ‘· ÁbÕ<∏ä$Tø£ dæ<ëΔ+‘·+qT nqTdü]+∫ a2 jÓTTø£ÿ ˇø£ Á|ü<Ûëq ø±s¡D≤+ø±\ \ã›+ p1 p2 … pn
n>∑TqT. ø±e⁄q p nH˚~ p1, p2, … pn \˝À ˇø£{Ï>± e⁄+≥T+~.
Ç|ü&ÉT p nH˚~ p1p2 … pn, \˝À ˇø£{Ï>± qTqï+<äTq, Ç~ ªaμ qT ≈£L&Ü ìX‚Ùwü+>± uÛ≤–düTÔ+~.
Ç~ #˚j·T+&ç
p= 2 , p = 5 eT]j·TT a2 = 1, 4, 9, 25, 36, 49, 64 eT]j·TT 81 nsTTq ô|’q ìs¡÷|æ+∫q
Á|üe#·q+qT á $\Te\≈£î dü]#·÷&É+&ç.

eTq+ Ç|ü&ÉT 2 nH˚~ ø£s¡D°j·T dü+K´ nì ìs¡÷|æ+#·T≥≈£î Á|üj·T‹ï<ë›+. Ç≥Te+{Ï ìs¡÷|üD

$<ÛëHêìï eTq+ ª$s√<ëuÛ≤dü+μ (contradiction) n+{≤+.
ñ<ëVü≤s¡D-5. 2 qT ø£s¡D°j·T dü+K´ nì ìs¡÷|æ+#·+&ç.
ìs¡÷|üD : á ìs¡÷|üD ª$s√<ëuÛ≤dü+μ <ë«sê #˚jT· T#·Tqï+<äTq eTq+ ìs¡÷|æ+#·e\dæq |ò*ü ‘êìøÏ $s¡T<ä+› >±
2 nH˚~ ˇø£ nø£s¡D°j·T dü+K´ nì uÛ≤$<ë›+.

r
Ç~ nø£s¡D°j·T+ nsTT‘˚, r eT]j·TT s nH˚ ¬s+&ÉT |üPs¡í dü+K´\T (s ≠ 0) 2 = s nj·T÷´≥≥T¢
e´edæú‘·+ ne⁄‘·T+~.
ˇø£y˚fi¯ r eT]j·TT s \≈£î 1 ø±≈£î+&Ü @<Ó’Hê kÕe÷q´ ø±s¡D≤+ø£+ ñ+fÒ, Ä kÕe÷q´ ø±s¡D≤+ø£+
a
#˚‘· uÛ≤–ùdÔ eTq≈£î 2 = b , Ç+<äT˝À a eT]j·TT b \T |üs¡düŒs¡ Á|ü<ÛëHê+ø±\T >± edüTÔ+~.
Bì qT+&ç b 2 = a ne⁄‘·T+~.
Çs¡TyÓ’|ü⁄˝≤ es¡Z+ #˚dæ, Áø£eT+˝À neTs¡Ã>±, eTq≈£î 2b2 = a2 edüTÔ+~. n+fÒ a2 qT 2 uÛ≤–düTÔ+~.
Ç|ü&ÉT Á|üe#·q+`1qT ã{Ϻ a2 qT 2 uÛ≤–+∫q+<äTq a qT ≈£L&Ü Ç~ uÛ≤–düTÔ+~.
n+<äT#˚ eTq+ ‹]– a = 2c, c nH˚~ ˇø£ |üPs¡ídü+K´>± sêj·Te#·TÃ.
Ç+<äT˝À ªaμ $\TeqT Á|ü‹πøå|æ+#·>±, eTq≈£î 2b2 = 4c2 n+fÒ b2 = 2c2 edüTÔ+~.
n+fÒ b2 qT 2 uÛ≤–düTÔ+~ eT]j·TT bì 2 uÛ≤–düTÔ+~. (Á|üe#·q+`1˝À p= 2).
n+<äTe\q a eT]j·TT b \≈£î 2 ˇø£ kÕe÷q´ ø±s¡D≤+ø£+ nsTTq~.

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 yêdüÔe dü+K´\T 13

a, b \T |üs¡düŒs¡ Á|ü<ÛëHê+ø±\T eT]j·TT 1 ‘·|üŒ M{ÏøÏ m≥Te+{Ï ñeTà&ç ø±s¡D≤+ø±\T ˝Òq+<äTq

eTq+ Á|ü‹bÕ~+∫q 2 nH˚~ nø£s¡D°j·T+ nH˚ uÛ≤eq $s¡T<䛑·≈£î <ë] rdüTÔ+~. n+<äT#˚ 2 nH˚~
ø£s¡D°j·T dü+K´>± ìs¡÷|æ+#·e#·TÃqT.
kÕ<Ûës¡D+>± ªdμ nH˚~ ˇø£ <Ûäq |üPs¡ídü+K´ nsTT e⁄+&ç, @ Ç‘·s¡ |üPs¡ídü+K´≈£î es¡Z+ ø±ì#√ d
ì eTq+ ˇø£ ø£s¡D°j·T dü+K´>± uÛ≤$kÕÔeTT. á dü+<äs¡“¤+˝À 6, 8, 15 24 yÓTTˆˆ\>∑T yê{Ïì
ø£s¡D°j·T dü+K´\T>± #Ó|üŒe#·TÃqT.
øÏ+~ ‘·s¡>∑‘·T\˝À eTq+ ‘Ó\TdüT≈£îqï $<Ûä+>±
• ˇø£ nø£s¡D°j·T, ø£s¡D°j·T dü+K´\ yÓTT‘·Ô+ ˝Ò<ë uÛÒ<ä+ eTs=ø£ ø£s¡D°j·T dü+K´ eT]j·TT
• ˇø£ X¯SH˚´‘·s¡ nø£sD¡ j
° T· , ø£sD¡ j
° T· dü+K´\ \ã›+ eT]j·TT uÛ≤>∑|\üò + ≈£L&Ü eTs=ø£ ø£sD¡ j
° T· dü+K´
n>∑TqT.
eTq+ ø=ìï Á|ü‘˚´ø£ dü+<äsꓤ\˝À M{Ïì ìs¡÷|æ<ë›+.

ñ<ëVü≤s¡D-6. 5– 3 ì ˇø£ ø£s¡D°j·T dü+K´ nì ìs¡÷|æ+#·+&ç.

kÕ<Ûäq: eTq+ ìs¡÷|æ+#ê*‡q uÛ≤eq≈£î $s¡T<ä›+>±, 5– 3 ì ˇø£ nø£s¡D°j·T dü+K´>± }Væ≤+#·+&ç.
a
n+fÒ 5 – 3 = b Ç+<äT˝À a , b \T |üs¡düŒs¡ Á|ü<ÛëHê+ø±\T eT]j·TT b ≠ 0.

a
ø±e⁄q 5 – b
= 3

a 5b − a
düMTø£s¡D+qT ‘ês¡Te÷s¡T #˚ùdÔ, eTq≈£î 3 = 5 −b = b nì edüTÔ+~.
a
a, b \T |üPs¡í dü+K´\T ø±e⁄q eTq≈£î 5− ˇø£ nø£s¡D°j·T dü+K´ ne⁄‘·T+~. ø±e⁄q 3
b
≈£L&Ü nø£s¡D°j·T dü+K´j˚T n>∑TqT. Ç~ ndü‘·´+.
m+<äTø£+fÒ 3 nH˚~ ˇø£ ø£s¡D°j·T dü+K´.
á uÛ≤eq @s¡Œ&É&ÜìøÏ, eTq+ }Væ≤+∫q Á|ü‹bÕ<äq 5 – 3 ˇø£ nø£s¡D°j·T dü+K´ nH˚ uÛ≤eq
‘·|ü. n+fÒ Ç~ ˇø£ $s√<ÛëuÛ≤dü+.
ø±e⁄q 5 – 3 nH˚~ ø£s¡D°j·T dü+K´ nì eTq+ #Ó|üŒe#·TÃqT.
ñ<ëVü≤s¡D`7. 3 2 nH˚~ ˇø£ ø£s¡D°j·T dü+K´ nì ìs¡÷|æ+#·+&ç.
kÕ<Ûäq : eTq+ ìs¡÷|æ+#·e\dæq uÛ≤eq≈£î $s¡T<ä›+>± 3 2 nH˚~ ˇø£ nø£s¡D°j·Tdü+K´>± }Væ≤+#·+&ç.
a
a, b\T |üs¡düŒs¡ Á|ü<Ûëq dü+K´\T eT]j·TT b ≠ 0 nj˚T´≥≥T¢ 3 2 = ne⁄‘·T+~.
b

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 14 10e ‘·s¡>∑‹ >∑DÏ‘·+

a
Áø£eT+˝À neTs¡Ã>±, eTq≈£î 2 = 3b nì edüTÔ+~.
a
Ç+<äT˝À 3, a eT]j·TT b \T |üPs¡ídü+K´\T ø±e⁄q 3b
nH˚~ ˇø£ nø£s¡D°j·T dü+K´ n+<äT#˚
2 ≈£L&Ü ˇø£ nø£s¡D°j·T dü+K´ ne⁄‘·T+~. Ç~ ndü‘·´+.
m+<äTø£+fÒ 2 ˇø£ ø£s¡D°j·T dü+K´ nH˚ dü‘ê´ìøÏ $s¡T<ä›uÛ≤eq n+<äT#˚ Ç~ ˇø£ $s√<Ûëu≤dü+.
ø±e⁄q eTq+ 3 2 nH˚~ ø£s¡D°j·T dü+K´ nì #Ó|üŒe#·TÃqT.

ñ<ëVü≤s¡D-8. 2 + 3 nH˚~ ˇø£ ø£s¡D°j·T dü+K´ nì ìs¡÷|æ+#·+&ç.

kÕ<Ûäq: 2 + 3 nH˚~ ˇø£ nø£s¡D°j·T dü+K´ nì }Væ≤+#·+&ç.
a
2 + 3 = b, Ç+<äT a, b \T |üPs¡ídü+K´\T eT]j·TT b≠0 nì rdüTø=+&ç.
a
ø±e⁄q, 2 = b – 3 n>∑TqT.
Çs¡TyÓ’|ü⁄˝≤ es¡Z+ #˚j·T>±, eTq≈£î
a2 a
2= 2
+ 3− 2 3 e#·TÃqT
b b
Áø£eT+>± neTs¡Ã>±
2a a2
3 = 2 + 3− 2
b b
a2
= +1
b2
a2 + b2
n+fÒ 3=
2 ab
a 2 + b2
a, b \T |üPs¡d
í +ü K´\T ø±e⁄q, nH˚~ ˇø£ nø£sD¡ j
° T· dü+K´ Ç<˚$<Û+ä >± 3 ≈£L&Ü ˇø£
2 ab
nø£s¡D°j·T dü+K´ ne⁄‘·T+~. Ç~ ndü‘·´+. m+<äTø£+fÒ 3 nH˚~ ˇø£ ø£s¡D°j·T dü+K´ nH˚ dü‘ê´ìøÏ
$s¡T<äΔuÛ≤eq. Ç~ ˇø£ $s√<ÛëuÛ≤dü+. ø±e⁄q 2 + 3 nH˚~ ˇø£ ø£s¡D°j·Tdü+K´ n>∑TqT.
>∑eTìø£ :
1. ¬s+&ÉT ø£s¡D°j·T dü+K´\ yÓTT‘·Ô+ m\¢|ü&É÷ ø£s¡D°j·Tdü+K´ ø±ø£b˛e#·TÃqT.
a, b\T ¬s+&ÉTq÷ ø£s¡D°j·T dü+K´\T>± a = 2 eT]j·TT b = − 2 >± rdüT≈£î+fÒ a + b= 0
n>∑TqT. Ç~ ˇø£ nø£s¡D°j·T dü+K´.

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 yêdüÔe dü+K´\T 15

2. ¬s+&ÉT ø£s¡D°j·T dü+K´\ \ã›+ m\¢|ü&É÷ ø£s¡D°j·T+ ø±ø£b˛e#·TÃqT.

ñ<ëVü≤s¡D≈£î, a, b \T ¬s+&ÉT ø£s¡D°j·T dü+K´\T>± a = 2 eT]j·TT b = 8 >± rdüT≈£î+fÒ
ab = 16 = 4, Ç~ ˇø£ nø£s¡D°j·T dü+K´

nuÛ≤´dü+ - 1.4
1. ÁøÏ+~ yêìì ø£s¡D°j·Tdü+K´\T>± ìs¡÷|æ+#·+&ç.
1
(i) (ii) 3+ 5 (iii) 6 + 2 (iv) 5 (v) 3 + 2 5
2

2. p, q \T Á|ü<ÛëHê+ø±\T nsTT‘˚ p+ q ˇø£ ø£s¡D°j·T dü+K´ nì ìs¡÷|æ+#·+&ç.

Á|üj·T‹ï+#·+&ç

ˇø£ dü+K´ nø£s¡D°j·TyÓ÷, ø£s¡D°j·TyÓ÷ ‘Ó\TdüTø=qT≥≈£î á n<Ûë´j·T+˝À nH˚ø£ ñ<ëVü≤s¡D\T,

dü+<äsꓤ\T ‘Ó\TdüT≈£îHêïs¡T. a, b eT]j·TT c \T yêdüÔe dü+K´˝…’ j·TTqï|ü&ÉT MT jÓTTø£ÿ q÷‘·q C≤„Hêìï
$ìjÓ÷–+∫ ~>∑Te |ü{Ϻø£˝À Çe«ã&çq <Ûäsêà\T yêdüÔedü+K´\≈£î e]ÔkÕÔjÓ÷, ˝Ò<√ |ü]o*+#·+&ç. Ç$
e´eø£\q+ eT]j·TT uÛ≤>∑Vü‰sêìøÏ ≈£L&Ü e]ÔkÕÔj·÷? Bì ø=s¡≈£î MTs¡T ø=ìï yêdüÔe dü+K´\qT rdüTø=ì
|ü]XÀ~Û+#·+&ç.
<Ûäs¡à+ dü+ø£\q+ >∑TDø±s¡+
1. dü+eè‘·<säÛ à¡ + a+b=c a.b=c
2. dæú‘·´+‘·s¡ <Ûäs¡à+ a+b=b+a a . b = b.a
3. düV≤ü #·s<¡ säÛ à¡ + a + (b + c) = (a + b) + c a(bc) = (ab).c
4. ‘·‘‡· e÷+X¯+ a+0=0+a=a a.1 = 1.a = a

1
5. $˝ÀeT+ a + (-a) = 0 a. = 1, (a ≠ 0)
a
6. $uÛ≤>∑Hê´j·T+ a (b + c) = ab + ac

1.5 dü+es¡Ze÷Hê\T ` ˇø£ ne>±Vü≤q

øÏ+~ $uÛ≤>∑+˝À eTq+ dü+es¡Ze÷Hê\qT >∑T]+∫ ne>±Vü≤q #˚düT≈£î+<ë+. dü+es¡Ze÷Hê\qT
nìï s¡ø±\ >∑Dq Á|üÁøÏjT· \˝À eTTK´+>± Ç+»˙]+>¥, ôdq’ T‡, yê´bÕs¡+, ns¡Xú Êg+ \˝À $]$>± $ìjÓ÷–kÕÔsT¡ .
#·Áø£e&û¶ì >∑DÏ+#·&ÜìøÏ, |òü÷‘ê\˝À e⁄+&˚ eè~› πs≥TqT, ø°åD‘·qT ‘Ó\TdüTø√e&ÜìøÏ, s¡kÕj·TqXÊg+ pH
$\Te ø£qT>=q&ÜìøÏ eT]j·TT uÛÑ÷ø£+bÕ\ rÁe‘· e+{Ï yê{Ïì ˝…øÏÿ+#·&ÜìøÏ yê&É‘ês¡T.

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 16 10e ‘·s¡>∑‹ >∑DÏ‘·+

nsTT‘˚ dü+es¡Ze÷Hê\qT >∑÷]à ‘Ó\TdüTø√e&ÜìøÏ eTT+<äT>± eTq+ ˇø£kÕ] |òü÷‘ê+ø£ Hê´j·÷\qT

»„|æÔøÏ ‘Ó#·TÃø√e\dæ e⁄qï~. m+<äTe\q n+fÒ dü+es¡Ze÷Hê\T, |òü÷‘ê+ø£ Hê´j·÷\T ˇø£<ëì‘√ ˇø£{Ï
n$HêuÛ≤e dü+ã+<Ûä+ ø£*– e⁄HêïsTT.
1.5.1 |ò÷ü ‘ê\ |ü⁄q]ÙeTs¡Ù
eTq+ 81 dü+K´qT 34 nì dü÷∫ùdÔ Bìì |òü÷‘ê+ø£ s¡÷|ü+˝À sêj·Tã&çq<äì n+{≤+. n+fÒ
81 = 34 . Ç+<äT˝À 4 qT ª|òü÷‘ê+ø£+μ nìj·T÷ 3qT ªuÛÑ÷$Tμ ˝Ò<ë ªÄ<Ûës¡+μ n+{≤s¡T. n+<äT#˚ eTq+
81 qT uÛÑ÷$T 3 jÓTTø£ÿ 4e |òü÷‘·+ ˝Ò<ë 3 jÓTTø£ÿ 4 e |òü÷‘·+ n+{≤+. Ç<˚$<Ûä+>± 27 = 33.
Ç|ü&ÉT, eTq+ 27 qT 81 #˚ >∑TDÏ+#ê* nqTø=+<ë+. eTq+ Bìì kÕ<Ûës¡D|ü<䛋˝À >∑TDÏ+∫,
\ã›+ ø£qT>=qT≥ ˇø£ |ü<äΔ‹. nsTT‘˚ dü+K´\T 27 eT]j·TT 81 \ ø£Hêï ô|<ä› dü+K´˝…’q|ü&ÉT á >∑TDø±s¡+
ø£wüº‘·s¡+ ne⁄‘·T+~. eT] Ç≥Te+{Ï dü+<äsꓤ\˝À |òü÷‘ê+ø±\ <Ûäsêà\qT e⁄|üjÓ÷–+∫ >∑TDÏùdÔ >∑TDø±s¡+
düT\uÛÑ‘·s¡+ ne⁄‘·T+<ë ?
eTq≈£î 81 = 34 eT]j·TT 27 = 33 nì ‘Ó\TdüT.
|òü÷‘ê+ø£ Hê´j·T+ a m × an = a m+n , ñ|üjÓ÷–+∫, eTq+ Bìì
27 × 81 = 33 × 34 = 37 nì sêj·Te#·TÃ.
Ç|ü&ÉT eTq≈£î 3 jÓTTø£ÿ |òü÷‘ê\ $\Te\ |ü{Ϻø£ n+<äTu≤≥T˝À e⁄+fÒ eTq+ 37 jÓTTø£ÿ $\TeqT
yÓ+≥H˚ #Ó|üŒ>∑\+. Bì <ë«sê 81 × 27 = 2187 n>∑TqT.
Ç<˚$<Ûä+>±, 81qT 27#˚ uÛ≤–+#ê\+fÒ eTq+ |òü÷‘ê+ø£ Hê´j·T+ am ÷ a n = am−n , (Ç+<äT˝À
m > n) ñ|üjÓ÷–ùdÔ, n|ü&ÉT 81 ÷ 27 = 34 ÷ 33 = 31 ˝Ò<ë 3 n>∑TqT.
Ç#·Ã≥ eTq+ |òü÷‘ê\qT|üjÓ÷–+#·T≥˝À, >∑TDø±s¡ düeTdü´\˝À |òü÷‘ê+ø±\ dü+ø£\q+ >±q÷,
uÛ≤>∑Vü‰s¡ düeTdü´˝À |òü÷‘ê+ø±\ e´eø£\q+ >±q÷ e÷s¡Ã&ÉyÓTÆq~. n+fÒ |òü÷‘ê+ø±\T 4 eT]j·TT 3\
dü+ø£\q+ eT]j·TT |òü÷‘ê+ø±\T 4, 3 \ e´eø£\q+.

Ç~ #˚j·T+&ç
10, 100, 1000, 10000 eT]j·TT 100000 dü+K´\qT |òü÷‘ê+ø±\ s¡÷|ü+˝À sêj·T+&ç.
Á|ü‹dü+<äs¡“¤+˝Àq÷ uÛÑ÷$T eT]j·TT |òü÷‘ê+ø±ìï ø£qT>=q+&ç.

Á|üj·T‹ï+#·+&ç

(i) >∑TDø±s¡+ #˚j·T≈£î+&Ü, |òü÷‘ê+ø±\qT|üjÓ÷–+∫ 16 I 64 \ã›+ ø£qT>=qTeTT.

(ii) >∑TDø±s¡+ #˚j·T≈£î+&Ü, |òü÷‘ê+ø±\qT|üjÓ÷–+∫ 25 I 125 \ã›+ ø£qT>=qTeTT.
(iii) 128 eT]j·TT 32 \qT 2 jÓTTø£ÿ |òü÷‘ê\T>± sêdæ, 128 ÷ 32 uÛ≤>∑|òü\+qT ø£qT>=q+&ç.

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 yêdüÔe dü+K´\T 17

1.5.2 |ò÷ü ‘ê+ø±\qT dü+es¡eZ ÷Hê\T>± sêj·TT≥

eTq≈£î 10000 =104 nì ‘Ó\TdüT. Ç#·Ã≥ 10 ì uÛ÷Ñ $T, 4 qT |ò÷ü ‘ê+ø£+ n+{≤+. ˇø£ dü+K´qT,
ˇø£ uÛÑ÷$T>± >∑\ dü+K´≈£î ôV≤∫Ã+∫ sêj·T&Üìï |òü÷‘ê+ø£ s¡÷|ü+ n+{≤s¡T. Bìì eTs=ø£ s¡÷|ü+˝À sêùdÔ
yê{Ïì dü+es¡eZ ÷Hê\T n+{≤s¡T.
ñ<ëVü≤s¡D≈£î, eTq+ log10 10000 = 4. nì sêkÕÔeTT.
Bìì 10 uÛÑ÷$T >± >∑\ 10000 jÓTTø£ÿ dü+es¡Ze÷q+ 4” nì ìs¡«∫+#·e#·TÃqT.
Ç#·Ã≥ |òü÷‘ê+ø£ s¡÷|ü+˝À >∑\ dü+K´ jÓTTø£ÿ uÛÑ÷$T, dü+es¡Ze÷q+˝À ≈£L&Ü n<˚ uÛÑ÷$T nsTTq≥T¢
>∑eTì+#·e#·TÃqT.
n+<äT#˚, 10000=104 nH˚~ log1010000 = 4 ≈£î düe÷qeTÚ‘·T+~.
eTq+ kÕ<Ûës¡D+>± dü+es¡Ze÷Hêìï ~>∑Te $<Ûä+>± ìs¡«∫kÕÔeTT
a eT]j·TT x \T <Ûäq|üPs¡ídü+K´˝…’ a ≠ 1 nsTTe⁄+&ç an = x nsTTq logax = n n>∑TqT.
á dü+es¡Ze÷Hê\qT eT]+‘·>± ne>±Vü≤q #˚düTø=qT≥≈£î ø=ìï ñ<ëVü≤s¡D\T |ü]o*<ë›+.
ñ<ëVü≤s¡D-9. i) 64 = 82 ii) 64 = 43 \qT dü+es¡Ze÷qs¡÷|ü+˝À sêj·T+&ç.
kÕ<Ûäq : (i) 64 = 82 jÓTTø£ÿ dü+es¡Ze÷qs¡÷|ü+ log864 = 2.
(ii) 64 = 43 jÓTTø£ÿ dü+es¡Ze÷qs¡÷|ü+ log464 = 3.
á ñ<ëVü≤s¡D˝À, eTq+ 8 uÛÑ÷$T>± >∑\ 64 jÓTTø£ÿ dü+es¡Ze÷q+ 2 eT]j·TT 4 uÛÑ÷$T>± >∑\ 64
jÓTTø£ÿ dü+es¡Ze÷q+ 3. ø±e⁄q y˚πs«s¡T uÛÑ÷eTT\T (Ä<Ûësê\T) ø£*–q ˇø£ dü+K´ jÓTTø£ÿ dü+es¡Ze÷Hê\T
$_Ûqï+>± ñ+{≤sTT.
Ç~ #˚j·T+&ç
16 = 24 qT dü+es¡Ze÷q+ ‘Ó\|ü+&ç. Ç~ log216 ≈£î düe÷q+ ne⁄‘·T+<ë?
ñ<ëVü≤s¡D-10. øÏ+~ yêìì |òü÷‘ê+ø£ s¡÷bÕ\˝À sêj·T+&ç.
(i) log10100 = 2 (ii) log525 = 2 (iii) log22 = 1 (iv) log1010 = 1
kÕ<Ûqä : (i) log10100=2 jÓTTø£ÿ |òü÷‘ê+ø£ s¡÷|ü+ 102 = 100.
(ii) log525=2
jÓTTø£ÿ |òü÷‘ê+ø£ s¡÷|ü+ 52 = 25.
(iii) log22=1 jÓTTø£ÿ |ò÷
ü ‘ê+ø£ s¡÷|ü+ 21 = 2.
(iv) log1010=1 jÓTTø£ÿ |òü÷‘ê+ø£ s¡÷|ü+ 101 = 10.
(iii) eT]j·TT (iv) dü+<äsꓤ\˝À eTq+ log1010 =1 eT]j·TT log22=1 nì >∑eTì+#êeTT. Bì
qT+&ç eTq+ kÕ<Ûës¡D+>±, @ uÛÑ÷$T ªaμ nsTTqq÷ a1 = a , ø±e⁄q loga a = 1 n>∑TqT.
Á|üj·T‹ï+#·+&ç.
a0 = 1 nsTTq loga1=0 nì ìs¡÷|æ+#·+&ç.

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 18 10e ‘·s¡>∑‹ >∑DÏ‘·+

Ç$ #˚j·T+&ç
1. ÁøÏ+~ yêìì dü+es¡Ze÷qs¡÷|ü+˝À sêj·T+&ç.
(i) 112 = 121 (ii) (0.1)2 = 0.01 (iii) ax = b
2. ÁøÏ+~ yêìì |òü÷‘ê+ø£ s¡÷|ü+˝À sêj·T+&ç.
(i) log5125 = 3 (ii) log464 = 3 (iii) logax = b (iv) log22 = 1

ñ<ëVü≤s¡D-11. øÏ+~ dü+es¡Ze÷Hê\ $\Te\qT >∑DÏ+#·+&ç.

(i) log39 (ii) log82 (iii) logc c

kÕ<Ûäq : (i) log39 = x nsTTq Bì |òü÷‘ê+ø£ s¡÷|ü+ 3x = 9 ⇒ 3x = 32 ⇒ x=2

1
(ii) log82=y nsTTq Bì |òü÷‘ê+ø£ s¡÷|ü+ 8y=2 ⇒ (23)y=2 ⇒ 3y=1 ⇒ y = 3
1
1
(iii) logc c =z nsTTq Bì |òü÷‘ê+ø£ s¡÷|ü+ c z = c ⇒ cz = c 2 ⇒ z =
2

1.5.3 dü+es¡eZ ÷q yÓTT<ä{Ï Hê´j·TeTT

eTq+ |òü÷‘ê+ø£ Hê´j·÷\T ‘Ó\TdüT≈£îqïfÒ¢, dü+es¡Ze÷Hê\˝À Á|ü<Ûëq+>± eT÷&ÉT <Ûäsêà\THêïsTT.
ÁøÏ+<ä eTq+ á dü+es¡Ze÷q Hê´j·÷\qT ìs¡÷|æ+#·T≥qT ‘Ó\TdüT≈£î+<ë+.

1.5.3a dü+es¡Ze÷q yÓTT<ä{Ï Hê´j·TeTT

x = an eT]j·TT y = am , Ç+<äT˝À a>0 eT]j·TT a ≠ 1 nsTTq dü+es¡Ze÷Hê\qT ÁøÏ+~ $<Ûä+>±
sêj·Te#·TÃqT.
logax = n eT]j·TT logay = m .............. (1)
|òü÷‘ê+ø£ Hê´j·÷\˝À yÓTT<ä{Ï Hê´j·T+ an × am = an+m qT $ìjÓ÷–ùdÔ
eTq≈£î xy = an × am = an+m i.e. xy = an+m edüTÔ+~.
Bìì dü+es¡Ze÷q s¡÷|ü+˝À sêj·T>±, eTq≈£î
logaxy = n+m .............. (2)
ø±ì (1) qT+&ç n = logax eT]j·TT m=logay rdüT≈£î+fÒ
eTq≈£î logaxy = logax + logay
ø±e⁄q, Bì qT+&ç ¬s+&ÉT dü+K´\qT >∑TDÏ+#ê\+fÒ, Ä \ã›+ jÓTTø£ÿ dü+es¡Ze÷q+ ø£qT>=+{≤+.
Bìø=s¡≈£î Á|ü‹dü+K´ dü+es¡Ze÷q+qT dü+ø£\q+ #˚kÕÔeTT. BìH˚ dü+es¡Ze÷q yÓTT<ä{Ï Hê´j·T+ n+{≤eTT.
logaxy = logax + logay

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 yêdüÔe dü+K´\T 19

x
1.5.3b dü+es¡Ze÷q ¬s+&Ée Hê´j·÷ìï eTq+ loga = logax - logay >± ìs¡«∫kÕÔeTT
y

Á|üj·T‹ï+#·+&ç
an
|òü÷‘ê+ø£ Hê´j·T+ = a n−m ñ|üjÓ÷–+∫ dü+es¡Ze÷q ¬s+&Ée Hê´j·÷ìï ìs¡÷|æ+#·+&ç.
am

1.5.3c dü+es¡Ze÷q eT÷&Ée Hê´j·TeTT

x = an nsTTq logax = n n>∑TqT.
m jÓTTø£ÿ |òü÷‘êìøÏ x = an qT Çs¡TyÓ’|ü⁄˝≤ ôV≤∫Ã+|ü>±,
xm = (an)m
|òü÷‘ê+ø£ Hê´j·÷\qT|üjÓ÷–+∫
xm = anm n>∑TqT.
eTq+ xm qT ˇπø Á|üe÷D+ >∑\ |ü<ä+ nqT≈£î+fÒ, dü+es¡Ze÷q s¡÷|ü+
logaxm = nm ne⁄‘·T+~.
n+fÒ logaxm = m logax (an = x ø±e⁄q logax = n)
Bìì eTq+ eT÷&ÉeHê´j·T+ n+{≤eTT. ˇø£ |òü÷‘· dü+K´ jÓTTø£ÿ dü+es¡Ze÷q+qT Ä|òü÷‘· dü+K´
|òü÷‘ê+ø£+qT, Ä dü+es¡Ze÷q+‘√ >∑TDÏ+#·>± e#·Tà \u≤›ìøÏ düe÷qeT>∑TqT nì ìs¡«∫+#·e#·TÃ.
logaxm = m logax

ñ<ëVü≤s¡D-12. log15 qT $düÔ]+#·+&ç.

kÕ<Ûäq : logaxy = logax + logay nì eTq≈£î ‘Ó\TdüT.
ø±e⁄q, log15 = log (3 × 5)
= log3 + log5
343
ñ<ëVü≤s¡D-13. log 125 qT $düÔ]+#·+&ç.
x
kÕ<Ûäq : loga y
= logax - logay nì eTq≈£î ‘Ó\TdüT.

343
ø±e⁄q, log 125 = log343 – log125

= log73 – log53

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 20 10e ‘·s¡>∑‹ >∑DÏ‘·+

logaxm = m logax ø±e⁄q

= 3log7 – 3log5

343
ø±e⁄q log 125
= 3(log7 – log5).

ñ<ëVü≤s¡D-14. 2log3 + 3log5 – 5log2 qT ˇπø dü+es¡Ze÷q+>± sêj·T+&ç.

kÕ<Ûqä : 2log3 + 3log5 – 5log2
= log32 + log53 – log25 ( m logax=logaxm ø±e⁄q)
= log9 + log125 – log32
= log (9 × 125) – log32 ( logax + logay = logaxy ø±e⁄q)
= log1125 – log32

1125 x
= log (logax – logay = loga ø±e⁄q)
32 y

Ç$ #˚j·T+&ç
1. ÁøÏ+~ \u≤›\qT logax + logay s¡÷|ü+˝À sêj·T+&ç
(i) 8 × 32 (ii) 49 × 343 (iii) 81 × 729

2. øÏ+~ uÛ≤>∑|òü˝≤\qT logax - logay s¡÷|ü+˝À sêj·T+&ç.

(i) 8 ÷ 64 (ii) 81 ÷ 27
3. øÏ+~ |òü÷‘ê+ø£ s¡÷bÕ\qT dü+es¡Ze÷q s¡÷bÕ\˝À sêj·T+&ç
(i) 43 = (22)3 (ii) 362 = (62)2

nuÛ≤´dü+ - 1.5
1. øÏ+~ yêìì dü+es¡Ze÷q s¡÷|ü+˝À sêj·T+&ç.
(i) 35 = 243 (ii) 210 = 1024 (iii) 106 = 1000000

1
(iv) 10-3 = 0.001 (v) 3-2 = (vi) 60 = 1
9
2
1 2 − 1
(vii) 5 =
-1
(viii) 49 = 7 (ix) (x) 32 5
=
5 27 = 9
3
4

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 yêdüÔe dü+K´\T 21

2. øÏ+~ yêìì |òü÷‘·s¡÷|ü+˝À sêj·T+&ç.

(i) log18324 = 2 (ii) log1010000 = 4 (iii) loga x = b

⎛1⎞
(iv) log 48 = x (v) log3 ⎜⎜⎜⎝ ⎠⎟⎟⎟ = y
27

3. øÏ+~ yêì $\Te\qT >∑DÏ+#·+&ç.

⎛1⎞
(i) log255 (ii) log813 (iii) log2 ⎜⎜⎜⎝ ⎠⎟⎟⎟
16

(iv) log71 (v) logx x (vi) log2512

⎛8⎞
(vii) log100.01 (viii) log 2 ⎜⎜ ⎟⎟⎟
⎜⎝ 27 ⎠
3

4. øÏ+~ yêìì log N s¡÷|ü+˝ÀìøÏ dü÷ø°àå ø£]+∫ N $\TeqT ø£qT>=q+&ç. (MTs¡T dü+es¡eZ ÷quÛ÷Ñ $T>±
10 ì rdüTø√e#·TÃ. ø±ì @ uÛÑ÷$T¬ø’qq÷ |òü*‘ê\T ‘·T\´eTe⁄‘êsTT)
(i) log 2 + log 5 (ii) log 16 - log 2 (iii) 3 log 4
(iv) 2 log 3 - 3 log 2 (v) log243 + log1 (vi) log 10 + 2 log 3 - log 2
5. øÏ+~ yêìì $düÔ]+∫ sêj·T+&ç.
⎛ 128 ⎞⎟
⎜⎜
(i) log1000 (ii) log ⎜⎝ 625 ⎠⎟⎟ (iii) logx2y3z4

p 2 q3 x3
(iv) log (v) log
r y2

1.5.4 dü+es¡eZ ÷Hê\≈£î ÁbÕe÷DÏø£ uÛ÷Ñ eTT\T (Ä<Ûës¡+) (|üØø£\å ø=s¡≈î£ ñ<˚•› +#·ã&çq$ ø±e⁄)
dü+es¡Ze÷Hê\≈£î eTq+ kÕ<Ûës¡D+>± ¬s+&ÉT Ä<Ûësê\‘√ (uÛÑ÷eTT\T) ìs¡«∫kÕÔeTT.
Ç$ uÛÑ÷$T 10 eT]j·TT uÛÑ÷$T e
dü+es¡Ze÷Hê\≈£î eTq+ ˇø£ düe÷dü+ log x nì ÁyêùdÔ <ëìì uÛÑ÷$T 10>± ÁyêkÕeTì ns¡ú+.
ø±´*≈£î´˝Ò≥s¡¢˝À eTT+<äT>±H˚ dü+es¡Ze÷Hê\≈£î ‘·–q Áb˛Á>±+ #˚j·Tã&ç ªlogμ nH˚ ªø°μ ñ+≥T+~. Ç~
H=øÏÿ‘˚ ˇø£ dü+K´≈£î 10 uÛÑ÷$T>± >∑\ dü+es¡Ze÷q$\Te ‘Ó\TdüTÔ+~.
ñ<ëVü≤s¡D≈£î
log 2 = 0.301029995664… log 2 eT]j·TT log 3 ø£s¡D°j·Tdü+K´˝ÒHê?

log 3 = 0.4771212547197…

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 22 10e ‘·s¡>∑‹ >∑DÏ‘·+

Çø£ ¬s+&Ée dü+es¡Ze÷q uÛÑ÷$T ‘e’. á >∑Ts¡TÔqT eTq+ |òü÷‘ê+ø£ dæúsê+ø£+ n+{≤eTT. Ç~ ˇø£
ø£s¡D°j·T dü+K´. Ç~ nq+‘·+>± e⁄+&ç n+‘·+ø±ì, Äes¡Ôq+ #Ó+<äì <äXÊ+X¯+>± e⁄+≥T+~. Bì
$\Te düTe÷s¡T>± 2.718 >± rdüT≈£î+{≤s¡T. uÛÑ÷$T ‘e’ ì eTq+ m≈£îÿe>± XÊg, >∑DÏ‘· nqTes¡ÔHê\˝À
$ìjÓ÷–kÕÔsT¡ . uÛ÷Ñ $T ªeμ >± >∑\ dü+es¡eZ ÷Hê\T n+fÒ loge qT eTq+ dü÷ø£àå +>± ‘ln’ nì dü÷∫kÕÔeTT.
ø±e⁄q “ln x” uÛÑ÷$T ‘e’>± ø£*–q dü+es¡Ze÷q+ nì ns¡úeTT. Ç≥Te+{Ï dü+es¡Ze÷Hê\qT ªªdüVü≤»
dü+es¡Ze÷Hê\Tμμ n+{≤s¡T. ø±´*≈£î´˝Ò≥s¡¢˝À ‘ln’ nH˚ ªø°μ düVü≤» dü+es¡Ze÷q $\Te\T ‘Ó\T|ü⁄‘·T+~.
ñ<ëVü≤s¡D≈£î
ln(2) = 0.6931471805599…
ln(2) eT]j·TT ln(3) ø£sD
¡ j
° ÷· ˝ÒHê?
ln(3) = 1.0986122886681…

1.5.5 dü+es¡eZ ÷Hê\ nqTes¡HÔ ê\T (|üØø£\å ø=s¡≈î£ ñ<˚•› +#·ã&çq$ ø±e⁄)
dü+es¡Ze÷Hê\ nqTes¡ÔHê\qT ÁøÏ+~ ø=ìï ñ<ëVü≤s¡D\ <ë«sê ne>±Vü≤q #˚düT≈£î+<ë+.
I
ñ<ëVü≤s¡D-15. uÛ÷Ñ ø£+|ü rÁe‘·qT M=log
S
nH˚ düMTø£sD¡ <ë«sê ø£qT>=qe#·TÃqì 1935 dü+ˆˆ˝À #ê¬sd¢ t
]ø£ºsY ìs¡«∫+#ê&ÉT. Ç+<äT˝À ªIμ nH˚~ uÛÑ÷ø£+|ü rÁe‘· jÓTTø£ÿ ≈£î<äT|ü⁄ eT]j·TT ªSμ nH˚~ ªªuÛÑ÷ø£+|ü πø+Á<ä+
e<ä› rÁe‘·μμ qT ‘Ó\T|ü⁄‘êsTT.
(a) uÛÑ÷ ø£+|ü πø+Á<ä+ e<ä› rÁe‘· ø£Hêï, uÛÑ÷ø£+|ü rÁe‘· jÓTTø£ÿ ≈£î<äT|ü⁄ 10 ¬s≥T¢ e⁄qï#√ rÁe‘·qT
ø£qT>=q+&ç.
(b) uÛÑ÷ø£+|ü rÁe‘· ]ø£ºsY ùdÿ\Tô|’ 10 >± qyÓ÷<Ó’‘˚ πø+Á<ä+ e<ä› rÁe‘·≈£î mìï¬s≥T¢ ≈£î<äT|ü⁄>± e⁄qï≥T¢
#Ó|Œü e#·TÃqT?
kÕ<Ûqä :
(a) uÛÑ÷ø£+|ürÁe‘· ≈£î<äT|ü⁄qT ªIμ >± rdüT≈£î+fÒ
I = 10 S n>∑TqT
uÛÑ÷ø£+|ü rÁe‘· ø£qT>=qT≥≈£î
I
M = log dü÷Á‘·+ ñ|üjÓ÷–ùdÔ
S
∴ uÛÑ÷ø£+|ü rÁe‘·
I
M = log
S
= log 10
=1

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 yêdüÔe dü+K´\T 23

(b) kÕ<Ûës¡D uÛÑ÷ø£+|ü rÁe‘· (πø+Á<ä+ e<ä› @s¡Œ&çq~) ø£Hêï uÛÑ÷ø£+|ü rÁe‘· jÓTTø£ÿ ≈£î<äT|ü⁄ x ¬s≥T¢
e⁄qï<äqT≈£î+fÒ
uÛÑ÷ø£+|ü ≈£î<äT|ü⁄ rÁe‘· I = xS n>∑TqT
eTq≈£î
I
M = log nì ‘Ó\TdüT
S
ø±e⁄q uÛÑ÷ø£+|ü rÁe‘·
xs
M = log
s
˝Ò<ë M = log x
eTq≈£î M = 10 nì Çe«ã&ç+~.
ø±e⁄q log x = 10 n+<äTe\q x = 1010 n>∑TqT.

Á|üj·T‹ï+#·+&ç
ˇø£ Á<ëeD+ jÓTTø£ÿ pH $\TeqT ø£qT>=qT≥≈£î eTq+ pH = -log10 [H+] nì yê&É‘êeTT.
Ç+<äT\˝À pH nH˚~ Á<ëeD+ jÓTTø£ÿ ÄeT¢ dü«uÛ≤e+qT eT]j·TT H+ nH˚~ ôV’≤Á&√»Hé nj·÷Hé
>±&ÛÉ‘·qT ‘Ó*j·TCÒdüTÔ+~.
(i) X¯+ø£sY neTàeTà yê&˚ \ø˘‡düãT“\˝À ôV’≤Á&√»Hé nj·÷Hé >±&ÛÉ‘· 9.2 × 10(-12) nsTT‘˚
<ëì pH $\Te m+‘·?
(ii) ≥e÷≥ |ü+&ÉT jÓTTø£ÿ pH $\Te 4.2 nsTT‘˚ <ëì˝À ôV’≤Á&√»Hé nj·÷Hé >±&ÛÉ‘· m+‘·
ñ+≥T+~?
◊∫äø£ nuÛ≤´dü+
[|üØø£å\ ø=s¡≈£î ìπs›•+#·&çq~ ø±<äT]
1. n ˇø£ düVü≤» dü+K´>± ø£*–q dü+K´ 6n jÓTTø£ÿ ˇø£≥¢ kÕúq+˝À 5 ñ+≥T+<ë? ø±s¡D≤\T ‘Ó\|ü+&ç.
2. 7 × 5 × 3 × 2 + 3 nH˚~ dü+j·TTø£Ô dü+K´ n>∑THê? ˙ »yêãTqT düeT]ú+#·+&ç.
3. @ düVü≤» dü+K´ ªnμ ¬ø’qq÷ 12n jÓTTø£ÿ ˇø£≥¢ kÕúq+˝À '0' n+¬ø e⁄+≥T+<√, ˝Ò<√ dü]#·÷&É+&ç.
4. @<Ó’Hê <Ûäq|üPs¡í dü+K´ n >± ø£*–q dü+K´\T n, n + 2 ˝Ò<ë n + 4 \˝À @<√ ˇø£ dü+K´3#˚
ìX‚Ùwü+>± uÛ≤–+|üã&ÉTqì ìs¡÷|æ+#·+&ç.
5. (2 3+ 5 ) ˇø£ ø£s¡D°j·T dü+K´ nì ìs¡÷|æ+#·+&ç. Ç<˚$<Ûä+>± (2 )(
3+ 5 2 3− 5 )
nø£s¡D°j·TeT>∑TH√, ø£s¡D°j·TeT>∑TH√ dü]#·÷&É+&ç.

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 24 10e ‘·s¡>∑‹ >∑DÏ‘·+

6. uÛ≤>∑Vü‰s¡+ #˚j·T≈£î+&ÜH˚, øÏ+~ nø£s¡D°j·T dü+K´\qT <äXÊ+X¯s¡÷|ü+˝À sêj·TTq|ü⁄&ÉT mìï n+¬ø\

‘·sê«‘· n+‘·yÓTT+<˚ <äXÊ+XÊ\T>± @s¡Œ&É‘êjÓ÷ ‘Ó\|ü+&ç. ‘·sê«‘· uÛ≤>∑Vü‰s¡+ #˚dæ dü]#·÷&É+&ç.
@$T >∑eTìkÕÔs¡T?
5 13 17 13 15 33
(i) (ii) 2 (iii) (iv) (v) (vi) 2
16 2 125 80 32 2 ×5
7. x + y = 6xy nsTTq 2 log (x + y) = logx + logy + 3 log 2
2 2
nì #·÷|ü+&ç.
8. log10 2 = 0.3010 nsTTq 42013 dü+K´˝À mìï n+¬ø\T+{≤jÓ÷ ‘Ó\|ü+&ç.
>∑eTìø£ : ˇø£ dü+K´ dü+es¡Ze÷q+˝À |üPsêí+ø£ uÛ≤>∑+ >∑T]+∫, <äXÊ+X¯ uÛ≤>∑+ >∑T]+∫ MT ñbÕ<Ûë´j·TTìì
n&ç– rdüTø=+&ç.

eTq+ @$T #·]Ã+#ê+

1. n+ø£>∑DÏ‘· ÁbÕ<∏ä$Tø£ dæ<ëΔ+‘·+ Á|üø±s¡+ ªªÁ|ü‹ dü+j·TTø£Ô dü+K´qT Á|ü<Ûëq dü+K´\ ø±s¡D≤+ø±\
\ã›+>± e´ø£Ô|üs¡#·e#·TÃqT eT]j·TT Á|ü<Ûëqø±s¡D≤+ø±\ es¡TdüÁø£eT+ @<Ó’q|üŒ{Ïø° Ç~ @¬ø’ø£+μμ nì
ìs¡«∫+|üe#·TÃqT
2. p ˇø£ Á|ü<Ûëq dü+K´ eT]j·TT a ˇø£ <Ûäq|üPs¡í dü+K´ nsTT e⁄+&ç a2qT p ìX‚Ùwü+>± uÛ≤–ùdÔ
n|ü&ÉT a qT p ìX‚Ùwü+>± uÛ≤–düTÔ+~.
3. x ˇø£ nø£s¡D°j·T dü+K´ eT]j·TT Bì <äXÊ+X¯ s¡÷|ü+ ˇø£ n+‘·yÓTÆ<˚ <äXÊ+X¯+ nsTTq|ü⁄&ÉT x qT
p
p, q \T |üs¡düŒs¡ Á|ü<ÛëHê+ø±\T nsTTe⁄qï q s¡÷|ü+˝À e´ø£Ô|üs¡#·e#·TÃqT eT]j·TT p eT]j·TT
q jÓTTø£ÿ Á|ü<Ûëqø±s¡D≤+ø±\ \ã›+ 2n5m n>∑TqT Ç+<äT˝À n, m \T s¡TDÒ‘·s¡ |üPs¡ídü+K´\T.
4. n, m \T s¡TDÒ‘·s¡ |üPs¡í dü+K´\T eT]j·TT q jÓTTø£ÿ Á|ü<Ûëqø±s¡D≤+ø±\ \ã› s¡÷|ü+ 2n5m
p
ø£*–q≥Te+{Ï nø£s¡D°j·T dü+K´ x = q nsTTq, x jÓTTø£ÿ <äXÊ+X¯s¡÷|ü+ ˇø£ n+‘·eTj˚T´
<äXÊ+X¯+ n>∑TqT.
5. n, m \T s¡TDÒ‘·s¡ |üPs¡í dü+K´\T eT]j·TT q jÓTTø£ÿ Á|ü<Ûëq ø±s¡D≤+ø£eTT\ \ã›+ 2n5m s¡÷|ü+˝À
p
˝Ò≈£î+fÒ, nø£s¡D°j·T dü+K´ x = q nsTTq, x jÓTTø£ÿ <äXÊ+X¯s¡÷|ü+ ˇø£ n+‘·+ ø±ì Äes¡Ôq
<äXÊ+X¯+ n>∑TqT.
6. a, x \T <Ûäq |üPs¡í dü+K´\T eT]j·TT a ≠ 1 nsTTe⁄+&ç an = x nsTTq eTq+ loga x = n nì
ìs¡«∫kÕÔ+.
7. dü+es¡Ze÷q Hê´j·÷\T
x
(i) loga xy = loga x + loga y (ii) loga = loga x − loga y
y
(iii) loga xm = m loga x
8. dü+es¡Ze÷Hê\qT nìï s¡ø±\ >∑DÏ‘· Á|üÁøÏj·T\˝À eTTK´+>± Ç+»˙]+>¥, ôd’qT‡, yê´bÕs¡+,
ns¡úXÊg+\˝À $]$>± $ìjÓ÷–kÕÔs¡T.

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 dü$T‘·T\T 25

n<Ûë´j·TeTT

2 dü$T‘·T\T
(Sets)

2.1 |ü]#·j·T+
ÁøÏ+~ ñ<ëVü≤s¡D\T >∑eTì+#·+&ç.
1. j·T÷øÏ&¢ ,é ô|<’ ëÛ >∑sd¡ ,t >±dt, ˝…_’ ï{Ÿ,® Äs¡´uÛ≥Ñ ,º uÛ≤düÿsê#ês¡´
2. a,e,i,o,u
3. dü+‘√wü+, <äT'K+, ø√|ü+, Ä‘·è‘·, Äq+<ä+, ‹ø£eTø£|&ü ≥É +.
4. ÁøÏø¬ {Ÿ, |ü⁄{Ÿu≤˝Ÿ, UÀ`UÀ, ø£ã&û,¶ u≤ôdÿ{Ÿu≤˝Ÿ
5. 1, 3, 5, 7, 9.....

@+ >∑eTì+#ês¡T? ñ<ëVü≤s¡D 1˝À ø=+‘·eT+~ >∑DÏ‘· XÊgE„\ ù|s¡T¢ ñHêïsTT. ñ<ëVü≤s¡D

2˝À Ä+>∑¢uÛ≤wü˝Àì n#·TÃ\THêïsTT. ñ<ëVü≤s¡D 3˝À ø=ìï ñ<˚«>±\T ñHêïsTT. Á|ü‹ ñ<ëVü≤s¡D˝À ñqï
ù|s¡T¢/n+XÊ\T/ edüTÔe⁄\T @<√ ˇø£ $wüj·T+˝À b˛*ø£qT ø£*– e⁄Hêïj·Tì eTq+ >∑eTì+#·e#·TÃ. nq>±
n$ n˙ï ˇø£ düeTT<ëj·T+>± @s¡Œ&çHêsTT. ñ<ëVü≤s¡D 4, 5 \˝Àì düeTT<ëj·÷\qT @eTqe#·TÃ?
>∑DÏ‘·+˝À ≈£L&Ü eTq+ Ç˝≤+{Ï düeTT<ëj·÷\qT >∑eTì+#·e#·TÃ. ñ<ëVü≤s¡DøÏ düVü≤»dü+K´\T,
Á|ü<ëÛ q dü+K´\T, ˇø£ ‘·\+˝Àì #·‘T· s¡T“¤»eTT\T yÓTT<ä\>∑Tq$. eTq+ Ç|üŒ{Ï es¡≈î£ #·÷dæq ñ<ëVü≤s¡D\ìï
düTìs¡«∫‘· edüTÔe⁄\ düeTT<ëj·÷\T ˝Ò<ë uÛ≤eq˝Ò. ªªdüTìs¡«∫‘· edüTÔe⁄\ düeTT<ëj·÷H˚ïμμ dü$T‹ nì
n+{≤s¡T. >∑DÏ‘·XÊg+˝À dü$T‹ yê<ëH˚ï ˇø£ ø=‘·Ô uÛ≤eq>± #Ó|üŒe#·TÃ. á dü$T‹ yê<ëìï ªC≤]® ø±+≥sYμ
(1845`1918) n_Ûeè~Δ |ü]#ês¡T. á n<Ûë´j·T+˝À eTq+ dü$T‘·T\T, yê{Ï <Ûäsêà\T eT]j·TT düTìs¡«∫‘·
edüTÔe⁄\T, dü$T‘·T\ eT÷˝ø±\T, dü$T‘·T\ s¡ø±\ >∑T]+∫ H˚s¡TÃø=+{≤eTT.
2.2 düTìs¡«∫‘· dü$T‘·T\T
düTìs¡«∫‘· edüTÔe⁄\ düeTT<ëj·÷H˚ï ªdü$T‹μ n+{≤eTì eTq+ ‘Ó\TdüT≈£îHêï+. düTìs¡«∫‘·+
nq>±
1. dü$T‹˝Àì edüTÔe⁄\ìï+{ÏøÏ ˇπø $<ÛäyÓTÆq kÕe÷q´ b˛*ø£ ˝Ò<ë <Ûäs¡à+ ø£*Z ñ+&Ü*. eT]j·TT
2. @<Ó’Hê ˇø£ edüTÔe⁄ dü$T‹øÏ #Ó+~q~, ˝ÒìB ìsêú]+#˚≥≥T¢ ñ+&Ü*.
ªdüTìs¡«∫‘·+μ >∑T]+∫ eTq+ ø=ìï ñ<ëVü≤s¡D\‘√ ne>±Vü≤q #˚düT≈£î+<ë+. ÁøÏ+~ yêø±´ìï
|ü]o*+∫+&ç. ˙ ‘·s¡>∑‹˝À ñqï bı&ÉyÓ’q $<ë´s¡Tú\+<ä] düeTT<ëj·T+.

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 26 10 e ‘·s>¡ ‹∑ >∑D‘Ï +·

ô|’ yêø£´+˝À e⁄qï Çã“+~ @$T{Ï? Çø£ÿ&É mes¡T bı&ÉT>∑T nH˚~ düŒwüº+>± ìs¡«∫+#·˝ÒeTT. ª]#êμ
‘·qø£+fÒ bı&ÉT>±Z ñqï yês¡+<ä]˙ bı&ÉT>∑T yêfi¯ófl>± ìsêú]+∫+~. ]#ê düeT÷Vü≤+˝À 5 eT+~
$<ë´s¡Tú\THêïs¡T. ªj·TXÀ<Ûäs¡μ ≈£L&Ü ‘·qø£+fÒ bı&ÉyÓ’q yêfi¯fl+<ä]ì bı&ÉT>∑T yêfi¯ófl>± ìsêú]+∫+~. Ä<˚
düeT÷Vü≤+˝À 10eT+~ $<ë´s¡Tú\THêïs¡T. ª>∑D|ü‹μ bı&ÉT>∑T yêfi¯fl+fÒ 5 n&ÉT>∑T\ ø£+fÒ m≈£îÿe m‘·TÔ e⁄qï
yêfi¯flì ìsêú]+#ê&ÉT. n‘·ì düeT÷Vü≤+˝À eTT>∑TZs¡T $<ë´s¡Tú\THêïs¡T. $$<Ûä s¡ø±\ e´≈£îÔ\T $$<Ûä s¡ø±\
düeT÷Vü‰\ì dü÷∫+#·T≈£îqï≥T¢>± eTq+ >∑eTì+#·e#·TÃ. n+<äTe\q á düeT÷Vü‰\T düTìs¡«∫‘·+ ø±<äT.
nq>± dü]>± ìs¡«∫+|üã&É˝Ò<äT.
Ç|ü⁄&ÉT á ÁøÏ+~ yêø±´ìï |ü]o*<ë›+ :
˙ ‘·s¡>∑‹˝À ñqï yÓTT‘·Ô+ $<ë´s¡Tú\˝À 5 n&ÉT>∑T\ 6 n+>∑Tfi≤\T ø£+fÒ m‘ÓÔÌq yês¡T ˝Ò<ë m‘ÓÔÌq yê]
düeT÷Vü≤+.
á dü+<äs¡“¤+˝À ]#ê, j·TXÀ<Ûäs¡ eT]j·TT >∑D|ü‹ n+<äs¡÷ ˇπø düeTT<ëj·÷ìï dü÷∫kÕÔs¡T. Ç˝≤+{Ï
düeTT<ëj·÷\T ˇø£ düTìs¡«∫‘· dü$T‹ì @s¡Œs¡TkÕÔsTT.

Ç$ #˚j·T+&ç
1. ˙ ì» J$‘·+˝Àì ªdü$T‘·T\Tμ≈£î 3 ñ<ëVü≤s¡D\T sêj·T+&ç.
2. ÁøÏ+<ä ø=ìï düeT÷Vü‰\T Çe«ã&çq$. yê{Ï˝À düTìs¡«∫‘· dü$T‘·T\TqT >∑T]Ô+∫ (3) ‘√ dü÷∫+#·+&ç.
(i) ˙ ‘·s¡>∑‹˝Àì n+<ä]˝À eT+∫ $<ë´s¡Tú\ düeTT<ëj·T+
(ii) ms¡T|ü⁄, ˙\+, Ä≈£î|ü#·Ã, |üdüT|ü⁄, q\T|ü⁄
(iii) 1,2,3,4,5,6,7,.... (iv) 1, 8, 27, 64, 125, ....

Á|üj·T‹ï+#·+&ç
ÁøÏ+~ düeT÷Vü≤\˝À @$ dü$T‘·T\T ne⁄‘êjÓ÷ dü÷∫+#·+&ç.
(i) nìï dü]dü+K´\T (ii) Äø±X¯+˝Àì qø£åÁ‘ê\T
(iii) 1, 3, 5, ….. uÒdæ <Ûäq |üPs¡í dü+K´\ düeTT<ëj·T+

2.3 dü$T‘·T\T eT]j·TT dü$T‹˝Àì eT÷\ø±\ì dü÷∫+#·&É+

kÕ<Ûës¡D+>± eTq+ dü$T‘·T\qT Ä+>∑¢ uÛ≤wü˝Àì ô|<ä› nø£åsê\T A, B, C, X, Y, Z ‘√ dü÷∫kÕÔ+.
dü$T‘·T\≈£î dü+ã+~Û+∫ ø=ìï ñ<ëVü≤s¡D\T ÁøÏ+<ä Çe«ã&ܶsTT.
- nìï düVü≤»dü+K´\ dü$T‹ì, N‘√ dü÷∫kÕÔ+.
- |üPs¡í dü+K´\ dü$T‹ì, Z‘√ dü÷∫kÕÔ+.
- nø£s¡D°j·T dü+K´\ dü$T‹ì, Q‘√ dü÷∫kÕÔ+.
- yêdüÔe dü+K´\ dü$T‹ì, R‘√ dü÷∫kÕÔ+.
ô|q’ dü÷∫+∫q dü$T‘·T\˙ï düTìs¡«∫‘· düeTT<ëj·÷˝Ò. m+<äTø£+fÒ @<Óq’ Ç∫Ãq dü+K´qT <ä‘dÔ· $ü T‹øÏ
#Ó+<äT‘·T+<ë ˝Ò<ë eTq+ ìsêú]+#·e#·TÃ. eT÷\ø±\≈£î eT]ø=ìï ñ<ëVü≤s¡D\T #·÷<ë›+.
Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ
 dü$T‘·T\T 27

T nH˚ nø£ å s ¡ + ‘√ ÁbÕs¡ + uÛ Ñ + nj˚ T ´ yês¡ + ˝Àì nìï s√E\qT dü ÷ ∫+#˚ dü $ T‹˝ÀøÏ
rdüT≈£îHêïeTqTø=+<ë+. n|ü⁄&ÉT eTq+ ªTuesdayμ eT]j·TT ªThursdayμ e÷Á‘·yT˚ ô|’ dü$T‹˝À ñ+{≤j·Tì,
k˛eTyês¡+ ø±<äì ‘Ó\TdüT. n|ü⁄&ÉT Tuesday eT]j·TT Thursday ì T nø£ås¡+‘√ ÁbÕs¡+uÛÑ+ nj˚T´
yês¡+˝Àì nìï s√E\ dü$T‹øÏ ªªeT÷\ø±\Tμμ n+{≤+.
eT]ø=ìï ñ<ëVü≤s¡D\T |ü]o*<ë›+.
(i) kÕ<Ûës¡D+>± N nH˚~ düV≤ü » dü+U≤´dü$T‹ì dü÷∫düT+Ô <äì eTq≈£î ‘Ó\TdüT. n|ü&ÉT 1,2, 3...
düV≤ü » dü+U≤´dü$T‹øÏ eT÷\ø±\T ne⁄‘êsTT. ø±ì 0 (düTqï) N≈£î eT÷\ø£+ ø±<äT.
(ii) dü$T‹ ªBμ nH˚~ #·‘T· s¡T“¤C≤\ dü$T‹ nqT≈£î+fÒ
B = {#·‘T· s¡Ádü+, Bs¡#
È ‘· T· s¡Ádü+, sê+ãdt, düe÷+‘·s#¡ ‘· T· s¡T“¤»+, ......}
ô|’ dü$T‹(B)˝À eTq+ Á‹uÛTÑ »+, Áf…|õ” j·T+ eT]j·TT X¯+KTe⁄qT #˚sá e#êà ? #˚sá ˝ÒeTT m+<äTø£+fÒ
Á‹uÛTÑ »+ eT]j·TT X¯+KTe⁄ ª Bμ dü$T‹øÏ #Ó+<äe⁄. ø±ì Áf…|õ” j·T+qT ªBμ dü$T‹˝À #˚sá e#·TÃ.
Bìïã{Ϻ eTq+ @<Óq’ ˇø£ edüTeÔ ⁄ ˇø£ dü$T‹øÏ #Ó+~‘˚ <ëìï edüTeÔ ⁄\T / eT÷\ø±\T n+{≤s¡ì
#Ó|Œü e#·TÃ. #Ó+~q~ (belonging to) nì ‘Ó\T|ü{≤ìï eTq+ ∈ >∑Ts¡TqÔ T dü÷∫kÕÔ+.
ø±e⁄q 1 ∈ N nq>± eT÷\ø£+ 1 dü$T‹ N ≈£î #Ó+<äT‘·T+<äì ns¡+ú n<˚$<Û+ä >± 0 ∉ N n+fÒ
eT÷\ø£+ 0(düTqï) dü$T‹ N≈£î #Ó+<ä<Tä nì ns¡+ú .
ªdü$T‘·T*ïμ eTq+ nH˚ø£ $<Ûë\T>± dü÷∫+#·e#·Tà eT]j·TT sêj·Te#·TÃ. ñ<ëVü≤s¡DøÏ eTq+ Ä+>∑u¢ ≤Û wü˝Àì
nìï n#·TÃ\ dü$T‹ì rdæø=+fÒ, <ëìï á ÁøÏ+~ $<Û+ä >± sêj·Te#·TÃ.
(i) V = {a, e, i, o, u}. Çø£ÿ&É eTq+ eT÷\ø±\ìï+{Ï˙ es¡Tdü>±, ˇø£ C≤_‘ê>± (curly) |òe ¢ü sY
Áu≤¬ø{¢˝À dü÷∫+#ê+. Bìï dü$T‘·T\qT ªs√düsº Y s¡÷|ü+˝Àμ sêj·T&É+ n+{≤+. s√düsº Y s¡÷|ü+˝À
dü$T‹øÏ #Ó+~q eT÷\ø±\ìï+{Ïì sêdæ, ªø±e÷μ (,)\˝À y˚sT¡ #˚dæ |òe¢ü sY Áu≤¬ø≥¢˝À ñ+#·T‘êeTT.
(ii) V = {x : x nH˚~ Ä+>∑u ¢ ≤Û wü˝Àì ˇø£ n#·TÃ\T}
˝Òø£ V = {x | x nH˚~ Ä+>∑¢ uÛ≤wü˝Àì ˇø£ n#·TÃ}
ô|’ $<Û+ä >± dü$T‘·T\ì sêj·T{≤ìï ªdü$T‹ ìsêàD s¡÷|ü+μ nì n+{≤+. Çø£ÿ&É dü$T‹˝Àì
eT÷\ø±ìï x ( ˝Òø£ y, z yÓTT<ä\>∑T @yÓq’ >∑Ts¡T\Ô T)>± dü÷∫kÕÔ+. x Á|üøÿ£ q ˇø£ (:) colon ñ+∫ Ä
dü$T‹øÏ #Ó+~q eT÷\ø±\ jÓTTø£ÿ \ø£Då ≤\T ˝Ò<ë <Ûsä êà\qT sêkÕÔ+. yÓTT‘êÔHï˚ |òe¢ü sY { } Áu≤¬ø≥¢˝À
ñ+#·T‘ê+.
C = {2, 3, 5, 7, 11}, 13 ø£+fÒ ‘·≈£îÿyÓ’q Á|ü<Ûëq dü+K´\ dü$T‹ nqTø=+<ë+.
ô|’ dü$T‹ì á ÁøÏ+~ $<Ûä+>± ≈£L&Ü sêj·Te#·TÃ.
C = {x | x, nH˚~13 ø£+fÒ ‘·≈£îÿyÓ’q ˇø£ Á|ü<Ûëqdü+K´ } ˝Ò<ë
C = {x: x, nH˚~ 13 ø£+fÒ ‘·≈£îÿyÓ’q ˇø£ Á|ü<ëqdü+K´}.

ñ<ëVü≤s¡D-1. á ÁøÏ+~ yê{Ïì s√düsº Y eT]j·TT dü$T‹ ìsêàDs¡÷|ü+˝À sêj·T+&ç.

(i) 42 qT uÛ≤–+#·>\ ∑ nìï düV≤ü »dü+K´\ dü$T‹.
(ii) 10 ø£+fÒ ‘·≈£îÿyÓ’q düVü≤»dü+K´\ dü$T‹.

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 28 10 e ‘·s>¡ ‹∑ >∑D‘Ï +·

kÕ<Ûqä :
(i) B nH˚~ 42qT uÛ≤–+#·>\∑ nìï düV≤ü »dü+K´\ dü$T‹ nqTø=+fÒ
B = {1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42} (s√düsº Y s¡÷|ü+)
B = {x : xnH˚~ 42qT uÛ≤–+#·>\∑ düV≤ü »dü+K´\ dü$T‹} (dü$T‹ ìsêàDs¡÷|ü+)
(ii) A nH˚~ 10 ø£+fÒ ‘·≈î£ ÿyÓq
’ düV≤ü »dü+K´\ dü$T‹ nqTø=+fÒ
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} (s√düs º Y s¡÷|ü+)
B = {x : x nH˚~ 10 ø£+fÒ ‘·≈î£ ÿyÓq
’ düV≤ü »dü+K´\ dü$T‹} (dü$T‹ ìsêàDs¡÷|ü+)
>∑eTìø£ : (i) s√düsº Y s¡÷|ü+˝À eT÷\ø±\qT @ Áø£eT+\˝À sêXÊeTT nH˚<ëìøÏ ÁbÕ<Ûëq´‘· ˝Ò<Tä . m˝≤¬>H’ ê
sêj·T#·TÃ. ô|’ ñ<ëVü≤s¡D 1˝À eTq+ {1, 3, 7, 21, 2, 6, 4, 42} nì ≈£L&Ü sêj·T#·TÃ.
(ii) dü$T‹ jÓTTø£ÿ eT÷\ø±\qT s√düºsY s¡÷|ü+˝À sêùd≥|ü⁄&ÉT ˇπø eT÷\ø±ìï eTs¡˝≤ eTs¡˝≤
sêj·T≈£L&É<Tä . ñ<ëVü≤s¡DøÏ “SCHOOL” nH˚ nø£så ê\‘√ @s¡Œ&˚ dü$T‹ì {S, C, H, O,
L} nì dü÷∫+#ê*. {S, C, H, O, O, L} nì ø±<äT.

ñ<ëVü≤s¡D-2. dü$T‹ B = {x : x ˇø£ düVü≤» dü+K´ eT]j·TT x2 < 40} ì s√düºsY s¡÷|ü+˝À sêj·T+&ç.
kÕ<Ûqä : 1 qT+∫ ÁbÕs¡+uÛeÑ Tj˚T´ düV≤ü »dü+K´\T eT]j·TT yê{Ï esêZ\TqT #·÷<ë›+. 7 <ä>sZ∑ ø¡ Ï e#˚Ãdü]øÏ 7
jÓTTø£ÿ es¡+Z 49 ne⁄‘·T+~. eT]j·TT 40 ø£+fÒ mø£îÿe. ø±e⁄q ø±e*‡q düV≤ü »dü+K´\T 1, 2, 3, 4, 5, 6.
s√düsº Y s¡÷|ü+˝À sêj·Tã&çq dü$T‹ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Ç$ #˚j·T+&ç
1. ÁøÏ+~ dü$T‘·T\˝Àì eT÷\ø±\ C≤_‘êqT sêj·T+&ç.
(i) G nH˚~ 20 ≈£î sêj·T>∑\ ø±s¡D≤+ø±\ìï+{Ï ø£*–q dü$T‹.
(ii) F nH˚~ 17 eT]j·TT 61 eT<Û´ä >∑\ 4 jÓTTø£ÿ >∑TDÏC≤\T eT]j·TT 7 #˚ uÛ≤–+#·ã&˚ eT÷\ø±\
dü$T‹
(iii) S = {x : x nH˚~ 'MADAM' nH˚ |ü<ä+˝À >∑\ nø£åsê\ dü$T‹}
(iv) P = {x : x nH˚~ 3.5 eT]j·TT 6.7 eT<Ûä´>∑\ |üPsêí+ø±\ dü$T‹}
2. ÁøÏ+~ dü$T‘·T\qT s√düsº Y s¡÷|ü+˝À sêj·T+&ç.
(i) B nH˚~ ˇø£ dü+e‘·‡s¡+˝À ˇø£ HÓ\øÏ 30 s√E\T>± >∑\ nìï HÓ\\ dü$T‹.
(ii) P nH˚~ 10 ø£+fÒ ‘·≈£îÿyÓ’q nìï Á|ü<Ûëq dü+K´\ dü$T‹.
(iii) X nH˚~ Ç+Á<Ûä<ÛäqdüT‡˝À >∑\ nìï s¡+>∑T\ dü$T‹
3. A nH˚~ 12≈£î ø±s¡D≤\T>± >∑\ dü$T‹. á ÁøÏ+~ yêì˝À @~ ªAμ dü$T‹øÏ #Ó+<ä<Tä .
(A) 1 (B) 4 (C) 5 (D) 12

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 dü$T‘·T\T 29

Á|üj·T‹ï+#·+&ç
1. ;»>∑D‘Ï · eT]j·TT sπ U≤>∑D‘Ï · uÛ≤eq\‘√ ø=ìï dü$T‘·T\qT MTπs mqTïø=ì @s¡Œs¡#+· &ç.
2. s√düsº Y s¡÷|ü+‘√, dü$T‹ ìsêàD s¡÷|ü+qT »‘·|sü #¡ +· &ç.
(i) {P, R, I, N, C, A, L} (a) {x : x ˇø£ <Ûq ä |üPs¡í dü+K´ eT]j·TT 18qT uÛ≤–+#·Tq~}
(ii) {0} í +ü K´ eT]j·TT x2 – 9 = 0}
(b) {x : x ˇø£ |üPs¡d
(iii) {1, 2, 3, 6, 9, 18} (c) {x : x ˇø£ |üPs¡dí +ü K´ eT]j·TT x + 1 = 1}
(iv) {3, -3} (d) {x : x nH˚~ PRINCIPAL nH˚ |ü<+ ä ˝À ñqï nø£så +¡ }

nuÛ≤´dü+ - 2.1
1. ÁøÏ+~ yê{Ï˝À @$ dü$T‘·T\T? MT düe÷<ÛëHêìï düùV≤‘·Tø£+>± düeT]ú+#·+&ç.
(i) “J” nH˚ nø£ås¡+‘√ ÁbÕs¡+uÛÑeTj˚T´ ˇø£ dü+e‘·‡s¡+˝À >∑\ nìï HÓ\\ düeT÷Vü‰\T.
(ii) uÛ≤s¡‘<· X˚ +¯ ˝À >∑\ n‘·´+‘· Á|ü‹uÛ≤e+‘·T˝…q’ 10 eT+~ s¡#s· TT‘·\ düeT÷Vü≤+.
(iii) Á|ü|ü+#·+˝À >∑\ 11 eT+~ u≤>± ÁøϬø{Ÿ Ä&˚≥≥Te+{Ï ªªu≤´{Ÿ‡yÓTHéμμ\ {°yéT.
(iv) ˙ ‘·s¡>∑‹˝À >∑\ n+<äs¡T u≤\Ts¡ düeTT<ëj·T+
(v) nìï dü] |üPs¡í dü+K´\ düeTT<ëj·T+
2. A={0, 2, 4, 6}, B = {3, 5, 7}, C = {p, q, r} nsTTq ÁøÏ+~ U≤∞\˝À ∈ ˝Ò<ë ∉ düs ¬ q’ >∑Ts¡TqÔ T
|üP]+#·+&ç.
(i) 0 ….. A (ii) 3 ….. C (iii) 4 ….. B
(iv) 8 ….. A (v) p ….. C (vi) 7 ….. B
3. ÁøÏ+~ yêø±´\qT >∑Ts¡T\Ô qT|üj÷Ó –+∫ e´ø£|Ô sü #¡ +· &ç.
(i) ‘x’ nH˚ eT÷\ø£+ ‘A’≈£î #Ó+<ä<äT.
(ii) ‘d’ nH˚~ ‘B’ dü$T‹ jÓTTø£ÿ ˇø£ eT÷\ø£+.
(iii) ‘1’ nH˚~ düVü≤» dü+U≤´dü$T‹ ªNμ ≈£î #Ó+<äT‘·T+~.
(iv) ‘8’ nH˚~ P nH˚ Á|ü<Ûëq dü+K´\ dü$T‹øÏ #Ó+<ä<äT.
4. ÁøÏ+~ yêø±´\T dü‘´· e÷? ndü‘´· e÷? ‘Ó\|ü+&ç.
(i) 5 ∉{Á|ü<Ûëqdü+K´\T}
(ii) S = {5, 6, 7} ⇒ 8 ∈ S.
(iii) -5 ∉ W ,‘W’ dü$T‹ |üPsêí+ø±\ dü$T‹.
8
(iv) ∈ Z, ‘Z’ nH˚~ |üPs¡ídü+K´\ dü$T‹.
11

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 30 10 e ‘·s>¡ ‹∑ >∑D‘Ï +·

5. ÁøÏ+~ dü$T‘·T\qT s√düsº Y s¡÷|ü+˝À sêj·T+&ç.

(i) B = {x : x nH˚~ 6 ø£+fÒ ‘·≈£îÿyÓ’q düVü≤»dü+K´}
(ii) C = {x : x nH˚~ ˇø£ ¬s+&É+¬ø\ düVü≤»dü+K´ eT]j·TT ¬s+&É+¬ø\ yÓTT‘·Ô+ 8}.
(iii) D = {x : x nH˚~ 60ì uÛ≤–+#·>∑\ ˇø£ Á|ü<Ûëqdü+K´}.
(iv) E = {BETTER nH˚ |ü<+ ä ˝Àì yÓTT‘·+Ô nø£så ê\T}.
6. ÁøÏ+~ dü$T‘·T\qT dü$T‹ ìsêàD s¡÷|ü+˝À sêj·T+&ç.
(i) {3, 6, 9, 12} (ii) {2, 4, 8, 16, 32}
(iii) {5, 25, 125, 625} (iv) {1, 4, 9, 25, ….. 100}
7. ÁøÏ+~ dü$T‘·T\ ˝Àì eT÷\ø±\ìï+{Ïì s√düsº Y s¡÷|ü+˝À sêj·T+&ç.
(i) A = {x : x nH˚~ 50 ø£+fÒ m≈£îÿe, 100 ø£+fÒ ‘·≈£îÿe nsTTq düVü≤»dü+K´}
(ii) B = {x : x ˇø£ |üPs¡ídü+K´ eT]j·TT x2 = 4}
(iii) D = {x : x nH˚~ “LOYAL” nH˚ |ü<ä+˝Àì ˇø£ nø£ås¡+}
8. s√düsº Y s¡÷|ü+ qT+&ç dü$T‹ìsêàDs¡÷bÕìøÏ »‘·|sü #¡ +· &ç.
(i) {1, 2, 3, 6} (a) {x : x nH˚~ Á|ü<Ûëqdü+K´ eT]j·TT 6ì uÛ≤–düTÔ+~}
(ii) {2, 3} (b) {x : x nH˚~ 10 ø£+fÒ ‘·≈£îÿyÓ’q uÒdæ düVü≤» dü+K´}
(iii) {M, A, T, H, E, I, C, S} (c) {x : x nH˚~ düVü≤» dü+K´ eT]j·TT 6ì uÛ≤–düTÔ+~}
(iv) {1, 3, 5, 7, 9} (d) {x : x nH˚~ MATHEMATICS nH˚ |ü<ä+˝À ˇø£
nø£ås¡+}

2.4 dü$T‘·T\T ` s¡ø±\T

ÁøÏ+~ dü$T‘·T\≈£î dü+ã+~+∫q ø=ìï ñ<ëVü≤s¡D\T |ü]o*<ë›+.
(i) A = {x : x nH˚~ 1 ø£+fÒ ‘·≈î£ ÿyÓq
’ ˇø£ düV≤ü »dü+K´}
(ii) D = {x : x nH˚~ 2 #˚ uÛ≤–+#·ã&˚ uÒdæ Á|ü<ëÛ qdü+K´}
dü$T‹ A, D \˝À mìï eT÷\ø±\THêïsTT? 1 ø£+fÒ ‘·≈î£ ÿyÓq’ düV≤ü »dü+K´. @B ñ+&É<ìä eTq≈£î
‘Ó\TdüT. ø±e⁄q dü$T‹ A ˝À m˝≤+{Ï eT÷\ø±\T+&Ée⁄. Ç≥Te+{Ï dü$T‘·T\qT X¯Sq´dü$T‹ n+{≤+. A
X¯Sq´ dü$T‹.
n<˚$<Û+ä >± 2 #˚ uÛ≤–+#·>\∑ uÒdæ Á|ü<ëÛ qdü+K´\T+&Ée⁄. ø±e⁄q D ≈£L&É X¯Sq´ dü$T‘˚
ˇø£ dü$T‹˝À m˝≤+{Ï eT÷\ø±\T ˝Ò≈£î+fÒ n≥Te+{Ï dü$T‘·T\qT X¯Sq´ dü$T‘·T\+{≤eTT.
X¯Sq´dü$T‹ì φ ˝Ò<ë { } ‘√ dü÷∫kÕÔ+.
Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ
 dü$T‘·T\T 31

ÁøÏ+<ä eT]ø=ìï X¯Sq´ dü$T‘·T\≈£î ñ<ëVü≤s¡D\T Çe«ã&çq$.

(i) A = {x : 1 < x < 2, x ˇø£ düVü≤»dü+K´}
(ii) B = {x : x2 – 2 = 0 eT]j·TT x ˇø£ nø£s¡D°j·Tdü+K´}
(iii) D = {x : x2 = 4, x ˇø£ uÒdæ dü+K´}
>∑eTìø£ : φ eT]j·TT {0} ¬s+&ÉT ≈£L&Ü y˚πs«s¡T dü$T‘·T\T. dü$T‹ {0} ˝À ˇπø ˇø£ eT÷\ø£+ 0 (düTqï)
ñ+~. {} X¯Sq´dü$T‹.
|ü]$T‘· eT]j·TT n|ü]$T‘· dü$T‘·T\T :
ÁøÏ+~ dü$T‘·T\qT |ü]o*<ë›+.
(i) A = {˙ bÕsƒX¡ Ê\˝Àì $<ë´s¡T\ú T} (ii) L = {p,q,r,s}
(iii) B = {x : x ˇø£ dü]dü+K´} (iv) J = {x : x, 7 jÓTTø£ÿ >∑TDÏ»+}
ô|q’ dü÷∫+∫q Á|ü‹ dü$T‹˝Àì eT÷\ø±\ dü+K´\ C≤_‘êqT ˙e⁄ sêj·T>∑\yê? (i) ˝À eT÷\ø±\
dü+K´ ˙ bÕsƒX¡ Ê\˝Àì $<ë´s¡T\ú +<äs÷¡ ne⁄‘ês¡T. (ii)˝À dü$T‹ L ˝À ñqï eT÷\ø±\ dü+K´ 4. Bìï ã{Ϻ
dü$T‹ A eT]j·TT L ˝Àì eT÷\ø±\ dü+K´qT eTq+ ˝…øÿÏ +#·e#·Tà >∑<ë! m+<äTø£+fÒ A , L dü$T‘·T\˝À
|ü]$T‘· dü+K´˝À eT÷\ø±\THêïsTT. Ç˝≤+{Ï dü$T‘·T\qT ª|ü]$T‘· dü$T‘·T\Tμμ n+{≤+.
Ç|ü⁄&ÉT dü$T‹ B˝À |ü]o*+∫q≥¢sTT‘˚ nìï dü]dü+K´\T eT÷\ø±\T>± ñHêïsTT. eTq+ M{Ïì
˝…øÿÏ +#·˝eÒ TT. n+fÒ dü$T‹ ªBμ˝Àì eT÷\ø±\ dü+K´ |ü]$T‘·+>± ˝Ò<Tä . n<˚$<Û+ä >± dü$T‹ ªJμ ˝Àì
eT÷\ø±\qT ≈£L&Ü ˝…øÿÏ +#·˝eÒ TT. Bìïã{Ϻ dü$T‹ B eT]j·TT J ˝Àì eT÷\ø±\ dü+K´ n|ü]$T‘·+ nì
ø£qT>=HêïeTT. Ç˝≤+{Ï dü$T‘·T\qT ªn|ü]$T‘· dü$T‘·T\Tμ nì n+{≤s¡T.
Ç∫Ãq _+<äTe⁄ qT+∫ eTq+ mìï düsfi¡ sπ¯ K˝…H’ ê ^j·Te#·TÃ. n+<äTe\q Ç~ n|ü]$T‘· dü$T‹
ne⁄‘·T+~. n<˚$<Û+ä >± nìï |üPs¡dí +ü K´\ düeT÷Vü‰\˝À ∫es¡ dü]dü+K´ eT]j·TT uÒddæ +ü K´\qT eTq+
ø£qT>=q&É+ kÕ<Û´ä +ø±<äT. n+<äTe\q ˇø£ dü$T‹ |ü]$T‘· dü$T‹ ø±ø£b˛‘˚ n~ n|ü]$T‘· dü$T‹ ne⁄‘·T+<äì
#Ó|üŒe#·TÃ.
eT]ø=ìï ñ<ëVü≤s¡D\T |ü]o*<ë›+.
(i) yês¡+˝Àì s√E\ dü$T‹ì ‘W’ nqT≈£î+fÒ ªWμ |ü]$T‘· dü$T‹ ne⁄‘·T+~.
(ii) x2 – 16 = 0 düMTø£s¡D+ jÓTTø£ÿ kÕ<Ûäq dü$T‹ ‘S’ nqT≈£î+fÒ ªSμ |ü]$T‘· dü$T‹
ne⁄‘·T+~.
(iii) ˇø£ düs¡fiπ̄sKô|’ ñqï _+<äTe⁄\ dü$T‹ì ‘G’ nqT≈£î+fÒ ªGμ n|ü]$T‘· dü$T‹ ne⁄‘·T+~.

ñ<ëVü≤s¡D-3. ÁøÏ+~ dü$T‘·T\˝À @$ |ü]$T‘· dü$T‘·T˝À, ˝Òø£ n|ü]$T‘· dü$T‘·T˝À ù|s=ÿq+&ç.

(i) {x : x ∈ N eT]j·TT (x − 1) (x − 2) = 0}(ii) {x : x ∈ N eT]j·TT x2 = 4}
(iii) {x : x ∈ N eT]j·TT 2x − 2 = 0} (iv) {x : x ∈ N eT]j·TT x Á|ü<Ûëqdü+K´}
(v) {x : x ∈ N eT]j·TT x uÒdædü+K´}
kÕ<Ûqä :
(i) á dü+<äs¡“¤+˝À xøÏ 1 ˝Ò<ë 2 $\Te\T>± rdæø√e#·TÃ. ø±e⁄q {1,2} |ü]$T‘·dü$T‹
ne⁄‘·T+~. Ç~ |ü]$T‘· dü$T‹.
Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ
 32 10 e ‘·s>¡ ‹∑ >∑D‘Ï +·

(ii) x2 = 4 nq>± x = +2 ˝Òø£ −2 ø±ì x ∈ N ˝Ò<ë x ˇø£ düVü≤» dü+K´ ø±ã{Ϻ {2}>±
rdæø√yê*. Ç~ ≈£L&Ü |ü]$T‘· dü$T‘˚.
(iii) <ä‘·Ôdü$T‹ x = 1 ø±ì 1∈ N ø±e⁄q Ç~ ≈£L&Ü |ü]$T‘· dü$T‹.
(iv) <ä‘·Ôdü$T‹˝À nìï Á|ü<Ûëqdü+K´\ dü$T‹>± ñHêïsTT. Á|ü<Ûëqdü+K´\T nq+‘·eTT ø±e⁄q á
dü$T‹ n|ü]$T‘· dü$T‹
(v) <ä‘Ô· dü$T‹˝À nq+‘·yTÓ q Æ uÒdæ dü+K´\THêïsTT. ø±e⁄q á dü$T‹ ≈£L&Ü n|ü]$T‘· dü$T‹j˚T.
ÁøÏ+~ |ü]$T‘· dü$T‘·T\qT |ü]o*<ë›+.
A = {1, 2, 4}; B = {6, 7, 8, 9, 10}; C = {x : x nH˚~ INDIA nH˚ |ü<ä+˝Àì nø£ås¡+}
Çø£ÿ&É,
dü$T‹ A ˝Àì eT÷\ø±\ dü+K´ = 3.
dü$T‹ B ˝Àì eT÷\ø±\ dü+K´ = 5.
dü$T‹ C˝Àì eT÷\ø±\ dü+K´ = 4 (dü$T‹ C˝À ‘I’ eT÷\ø£+ ¬s+&ÉTkÕs¡T¢ edüTÔ+~. ˇø£
dü$T‹˝À ñqï eT÷\ø±\T y˚πs«s¡T>± ñ+&Ü\ì eTq≈£î ‘Ó\TdüTø£<ë. ø±e⁄q dü$T‹ C ˝Àì eT÷\ø±\
dü+K´ 4 ne⁄‘·T+~).
ˇø£ dü$T‹˝Àì eT÷\ø±\ dü+K´qT ‘Ó*ù| <ëìì Ä dü$T‹øÏ ªø±]¶q˝Ÿ dü+K´μ nì n+{≤+.
dü$T‹ A jÓTTø£ÿ ø±]¶q˝Ÿ dü+K´≈£î n(A) = 3 nì dü÷∫kÕÔ+.
n<˚$<Ûä+>±, n(B) = 5, n(C) = 4.
>∑eTìø£ : X¯Sq´dü$T‹˝À eT÷\ø±\T ñ+&Ée⁄. X¯Sq´dü$T‹ jÓTTø£ÿ ø±]¶q˝Ÿ dü+K´ ª0μ(düTqï) ne⁄‘·T+~.
∴ n(φ) = 0

ñ<ëVü≤s¡D-4. A = {1, 2, 3}; B = {a, b, c} nsTTq n(A) eT]j·TT n(B) ø£qT>=q+&ç.

kÕ<Ûqä : dü$T‹ A ˝À 3 y˚sπ «s¡T eT÷\ø±\THêïsTT ∴ n(A) = 3
eT]j·TT dü$T‹ B ˝À 3 y˚sπ «s¡T eT÷\ø±\THêïsTT ∴ n(B) = 3

Ç$ #˚j·T+&ç
1. ÁøÏ+~ yêì˝À X¯Sq´dü$T‘·T\T @$? ˙ düe÷<ÛëHêìï düeT]ú+#·+&ç.
(i) 2 eT]j·TT 3 \ eT<Ûä´qTqï |üPs¡ídü+K´\ dü$T‹.
(ii) 1 ø£+fÒ ‘·≈£îÿyÓ’q düVü≤»dü+U≤´ dü$T‹.
(iii) 2 #˚ uÛ≤–+∫q|ü⁄&ÉT X‚wü+ düTqï e#˚Ã uÒdædü+U≤´ dü$T‹.

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 dü$T‘·T\T 33

2. ÁøÏ+~ dü$T‘·T\˝À @$ |ü]$T‘· dü$T‘·T˝À @$ n|ü]$T‘· dü$T‘·T˝À ‘Ó\|ü+&ç. ˙ düe÷<ÛëHêìøÏ

‘·–q ø±s¡D≤\T Çe«+&ç.
(i) A = {x : x ∈ N eT]j·TT x < 100} (ii) B = {x : x ∈ N eT]j·TT x < 5}
(iii) C = {12, 22, 32, …..} (iv) D = {1, 2, 3, 4}
(v) {x : x yês¡+˝À ˇø£ s√E}.
3. ÁøÏ+~ dü$T‘·T\˝À n|ü]$T‘· dü$T‹ì 3 #˚jT· +&ç.
(A) 10 ø£+fÒ ‘·≈£îÿyÓ’q |üPsêí+ø±\ dü$T‹ (B) 10 ø£+fÒ ‘·≈£îÿyÓ’q Á|ü<Ûëqdü+K´\ dü$T‹
(C) 10 ø£+fÒ ‘·ø£îÿyÓ’q |üPs¡ídü+K´\ dü$T‹ (D) 10 jÓTTø£ÿ ø±s¡D≤+ø±\ dü$T‹

Á|üj·T‹ï+#·+&ç
1. ÁøÏ+~ dü$T‘·T\˝À @$ X¯Sq´dü$T‘·T\T ? MT düe÷<ÛëHêìï düeT]ú+#·+&ç.
(i) A = {x : x2 = 4 eT]j·TT 3x = 9}.

(ii) ˇø£ ‘·\+˝Àì yÓTT‘·+Ô Á‹uÛTÑ C≤\˝À eT÷&ÉT ø√D≤\ yÓTT‘·+Ô 1800 ø£+fÒ ‘·≈î£ ÿyÓq’ Á‹uÛTÑ C≤\
dü$T‹.
2. B = {x : x + 5 = 5} X¯Sq´dü$T‹ ø±<äT. m+<äTe\q ?
Ä˝À∫+∫, #·]Ã+∫, sêj·T+&ç
X¯Sq´ dü$T‹ |ü]$T‘· dü$T‹ ne⁄‘·T+~. á yêø£´+ dü‘´· e÷? ˝Ò<ë ndü‘´· eT÷? m+<äT≈£î ?

nuÛ≤´dü+ - 2.2
1. ÁøÏ+~ dü$T‘·T\˝À @$ X¯Sq´dü$T‘·T˝À, @$ ø±y√ ‘Ó\Œ+&ç.
(i) ˇø£ _+<äTe⁄ >∑T+&Ü yÓfi‚fl düs¡fi¯πsK\ dü$T‹
(ii) 2 #˚ uÛ≤–+#·ã&˚ uÒdæ düVü≤» dü+K´\ dü$T‹.
(iii) {x : x ˇø£ düVü≤»dü+K´, x < 5 eT]j·TT x > 7}
(iv) {x : x @y˚ì ¬s+&ÉT düe÷+‘·s¡ πsK\ ñeTà&ç _+<äTe⁄}
(v) dü] Á|ü<Ûëq dü+K´\ dü$T‹.
2. ÁøÏ+~ dü$T‘·T\˝À @$ |ü]$T‘· dü$T‘·T˝À @$ n|ü]$T‘· dü$T‹˝À ‘Ó\|ü+&ç.
(i) ˇø£ dü+e‘·‡s¡+˝Àì HÓ\\ dü$T‹ (ii) {1, 2, 3, …, 99, 100}
(iii) 99 ø£+fÒ ‘·≈£îÿe>± >∑\ Á|ü<Ûëqdü+K´\ dü$T‹.

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 34 10 e ‘·s>¡ ‹∑ >∑D‘Ï +·

3. ÁøÏ+~ dü$T‘·T\˝À Á|ü‹ dü$T‹ì, |ü]$T‘· dü$T‘√ ˝Ò<√ n|ü]$T‘· dü$T‘√ ‘Ó\Œ+&ç.
(i) Ä+>∑¢ uÛ≤wü˝Àì nø£åsê\ dü$T‹
(ii) X- nøå±ìøÏ düe÷+‘·s¡+>± ñ+&˚ πsK\ dü$T‹
(iii) 5 jÓTTø£ÿ >∑TDÏC≤\ dü$T‹.
(iv) (0, 0) eT÷\_+<äTe⁄ >∑T+&Ü y˚fi‚fl eè‘êÔ\ dü$T‹.

2.5 dü$T‘·T\qT dü÷∫+#·&ÜìøÏ ñ|üjÓ÷–+#˚ ∫Á‘ê\T

Ô ⁄ nsTT‘˚ x ∈ S ˝Òø£
S nH˚~ ˇø£ dü$T‹ ªxμ ˇø£ edüTe
x ∉S ø±yê*. Á|ü‹ dü$T‹ì ˇø£ dü+eè‘· eÁø£+ C ^dæ
•1
dü÷∫+#·e#·TÃ. C ˝Àì eT÷\ø±\qT eÁø£+ ˝À|ü\ _+<äTe⁄\T>± C •2
#·÷|æd÷ü Ô C øÏ #Ó+<äì eT÷\ø±\qT eÁø£+ ãj·T≥ dü÷∫+#ê*. •3
•4 •5
ñ<ëVü≤s¡DøÏ Á|üøÿ£ |ü≥+˝À dü$T‹ C = {1, 2, 3, 4}.
2.6 $X¯«dü$T‹ eT]j·TT ñ|üdü$T‹
˙ bÕsƒX¡ Ê\ qT+&ç ˇø£ ÁøÏø¬ {Ÿ »≥TºqT m+|æø£ #˚j÷· \qTø√+&ç. »≥Tº m+|æø£ #˚j÷· \+fÒ m˝≤+{Ï
dü$T‹ì rdæø√yê* ? ˙ bÕsƒX¡ Ê\˝Àì n+<äsT¡ $<ë´s¡T\ú dü$T‹ì rdæø√yê*. Vü‰ø°»≥TºqT m+|æø£
#˚j÷· \qTø√+&ç. eTs¡˝≤ ˙ bÕsƒX¡ Ê\ ˝Àì $<ë´s¡T\ú +<ä]˝ÀH˚ Vü‰ø°»≥Tº @sêŒ≥T #˚dTü ø√yê*. ø±ã{Ϻ ˙
bÕsƒX¡ Ê\ qT+∫ @ »≥TºqT m+|æø£ #˚j÷· \qï bÕsƒX¡ Ê\˝Àì $<ë´s¡T\ú +<ä] dü$T‹˝À qT+&˚ m+|æø£ #˚dTü ø√yê*.
n+<äTe\q ˙ bÕsƒX¡ Ê\˝Àì $<ë´s¡T\ú +<ä]˙ $X¯«dü$T‹>± nqTø√e#·TÃ.
$X¯«dü$T‹øÏ eT]ø=ìï ñ<ëVü≤s¡D\T #·÷<ë›+.
(i) eTq sêh+˝À $$<Ûä s¡ø±˝…’q, Á|üC≤düeT÷Vü‰\qT n<Ûä´j·Tq+ #˚j·÷\+fÒ, Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ ˝Àì
Á|ü»\+<äs¡÷ $X¯«dü$T‹ ˝ÀøÏ ekÕÔs¡T.
(ii) eTq <˚X¯+˝À $$<Ûä s¡ø±˝…’q Á|üC≤ düeT÷Vü‰\qT n<Ûä´j·Tq+ #˚j·÷\+fÒ uÛ≤s¡‘·<˚X¯+˝À ìedæ+#˚
Á|ü»\+<äs¡÷ $X¯«dü$T‹ ne⁄‘ês¡T.
$X¯«dü$T‹ì ' ∪ ' ˝Ò<ë 'μ' ‘√ dü÷∫kÕÔ+. $X¯«dü$T‹ì
kÕ<Ûës¡D+>± Bs¡#È ‘· T· s¡Ádü+˝À μ #˚ dü÷∫kÕÔeTT. μ
ˇø£yfi˚ ¯ yêdüeÔ dü+U≤´ dü$T‹ R ì $X¯«dü$T‹>± rdüT≈£î+fÒ HOCKEY
CRICKET
eT] ø£sD¡ j
° T· eT]j·TT nø£sD¡ j° T· dü+U≤´ dü$T‘·T\ >∑÷]à @$T #Ó|Œü e#·Tà TEAM
TEAM
?
nø£sD¡ j° T· dü+U≤´ dü$T‹
p
Q = {x : x = , p, q ∈ z eT]j·TT q ≠ 0}
q

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 dü$T‘·T\T 35

p
° T· dü+K´ dü$T‹ì á ÁøÏ+~ $<Û+ä >± #·<Tä e⁄‘êeTT. ‘Q’ nH˚~ nìï dü+K´\T x , x R q eT]j·TT
ô|’ nø£sD¡ j
p, q\T |üPs¡í dü+K´\T eT]j·TT q ≠ 0.
p
˝Òø£ Q nH˚~ x R q p, q ∈ z and q ≠ 0}
n+fÒ Q ˝Àì Á|ü‹ eT÷\ø£+ R˝À ≈£L&Ü eT÷\ø£+ ne⁄‘·T+~. n+<äTe\q Qì RøÏ ñ|üd$ü T‹ n+{≤+.
Q, RøÏ ñ|üd$ ü T‹ nsTT‘˚ <ëìì Q ⊂ R nì sêkÕÔ+.
>∑eTìø£ : eTq kÂø£sê´s¡+ú ‘⇒⇒’ >∑Ts¡Tq
Ô T (Implies) ‘·s#¡ T· >± yê&É#T· Ã. á >∑Ts¡TqÔ T ñ|üj÷Ó –+∫, ñ|üd$ü T‹
jÓTTø£ÿ ìs¡«#·Hêìï ÁøÏ+~ $<Û+ä >± sêj·T#·TÃ.
a ∈A nsTT‘˚ A ⊂ B ⇒ a ∈ B, A, B \T s¬ +&ÉT dü$T‘·T\T
a, A øÏ ˇπø eT÷\ø£yTÓ ‘Æ ˚ A, BøÏ ñ|üd$ü T‹ ne⁄‘·T+~ ⇒ 'a' nH˚~ B øÏ ≈£L&Ü eT÷\ø£+
ne⁄‘·T+~.
yêdüeÔ dü+U≤´dü$T‹ RøÏ #ê˝≤ ñ|üd$ü T‘·T\T ñHêïsTT. ñ<ëVü≤s¡DøÏ,
düV≤ü » dü+U≤´ dü$T‹ N = {1, 2, 3, 4, 5, ……} R
|üPsêí+ø±\ dü$T‹ W = {0, 1, 2, 3, ......} N
|üPs¡í dü+K´\ dü$T‹ Z = {…., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …..}
nø£sD¡ j ° T· dü+K´dü$T‹ Q1 ne⁄‘êsTT.
° T· dü+K´\T ø±ì yêdüeÔ dü+K´\ìï ø£sD¡ j
n+<äTe\q Q1 = {x : x ∈ R eT]j·TT x ∉ Q}. n+fÒ nø£sD¡ j ° T· dü+K´\T ø±ì nìï yêdüeÔ
dü+K´\T. ñ<ë: 2 , 5 eT]j·TT ð.
n<˚$<Û+ä >± düV≤ü » dü+K´ dü$T‹, N nH˚~ |üPsêí+ø±\ dü$T‹ W øÏ ñ|üd$ü T‹ ne⁄‘·T+~. Bìï
N ⊂ W nì sêkÕÔ+. eT]j·TT W, RøÏ ñ|üd$ ü T‹.
R
i.e., N ⊂ W eT]j·TT W ⊂ R W
⇒ N⊂W⊂R W
N N

ø=ìï ñ|üd$ü T‘·T\≈£î dü+ã+~Û+∫q eTTK´yÓTqÆ dü+ã+<Ûë\T #·÷ùdÔ

N ⊂ Z ⊂ Q, Q ⊂ R, Q1 ⊂ R, eT]j·TT N ⊄ Q1.
ñ<ëVü≤s¡D-5. Ä+>∑¢ uÛ≤wü˝À n#·TÃ\ dü$T‹ rdüT≈£îqï≥¢sTT‘˚ V = {a, e, i, o, u}.
Ä+>∑¢ uÛ≤wü˝Àì nø£så ê\˙ï ˇø£ dü$T‹>± rdüT≈£îqï≥¢sTT‘˚ A = {a, b, c, d, ….., z}. á
ñ<ëVü≤s¡D˝À $X¯«dü$T‹ eT]j·TT ñ|üd$ü T‹ì >∑T]Ô+#·+&ç.
kÕ<Ûqä : dü$T‹ V ˝À ñqï Á|ü‹eT÷\ø£+ AøÏ ≈£L&Ü eT÷\ø£+>± ñ+~. ø±ì dü$T‹ A˝À ñqï Á|ü‹eT÷\ø£+
dü$T‹ V˝À ˝Ò<Tä . n+<äTe\q dü$T‹ V, dü$T‹ A ≈£î ñ|üd$ü T‹ eT]j·TT V ⊂ A, nq>± a ∈ V nsTTq|ü⁄&ÉT
a ∈ A ne⁄‘·T+~.

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 36 10 e ‘·s>¡ ‹∑ >∑D‘Ï +·

>∑eTìø£ : X¯Sq´dü$T‹ φ ˝À eT÷\ø±\T @M ñ+&Ée⁄ ø±ã{Ï,º φ Á|ü‹ dü$T‹øÏ ñ|üd$ü T‹ ne⁄‘·T+~.

dü$T‹ A, B dü$T‹øÏ ñ|üd$ü T‹ ø±<äT n+fÒ (A ⊄ B) dü$T‹ A ˝Àì ø£˙dü+ ˇø£ eT÷\ø£yTÓ HÆ ê dü$T‹
B˝À ñ+&É<Tä .
ñ|üd$ü T‘·T\≈£î eT]ø=ìï ñ<ëVü≤s¡D\T #·÷<ë›+.
• dü$T‹ C = {1, 3, 5}, dü$T‹ DøÏ ñ|üdü$T‹, D = {5, 4, 3, 2, 1} nq>± dü$T‹ C øÏ #Ó+~q Á|ü‹
eT÷\ø£+ 1, 3, 5 dü$T‹ D ≈£î ≈£L&Ü #Ó+<äT‘·T+~.
• A = {a, e, i, o, u} eT]j·TT B = {a, b, c, d} nsTTq dü$T‹ A, B dü$T‹øÏ ñ|üdü$T‹ ø±<äT.
Ç+ø± dü$T‹ B ≈£L&Ü A dü$T‹øÏ ñ|üdü$T‹ ø±<äT.

2.6.1 düeTdü$T‘·T\T
ÁøÏ+~ dü$T‘·T\qT >∑eTì<ë›+.
A = {dü∫Hé, Á<ë$&é, ø√Væ≤}¢
B = {Á<ë$&é, dü∫Hé, <Û√ì}
C = {ø=Væ≤,¢ Á<ë$&é, dü∫Hé}
dü$T‘·T\T, A, B, C \˝À MTs¡T @$T |ü]o*+#ês¡T ? dü$T‹ A˝À ñqï Ä≥>±fi¯fl+<äs÷¡ dü$T‹
C ˝À ñHêïs¡T. ø±ì dü$T‹ B˝À ø±<äT, n+fÒ dü$T‹ A eT]j·TT C\˝À ˇπø s¡øy £ TÓ qÆ eT÷\ø±\THêïsTT ø±ì
dü$T‘·T\T A, B\˝À eT÷\ø±\T y˚sπ «s¡T>± ñHêïsTT. ø±ã{Ϻ dü$T‘·T\T A eT]j·TT C \T düeTdü$T‘·T\T. ø±ì
dü$T‘·T\T A, B \T düe÷q+ ø±e⁄.
s¬ +&ÉT dü$T‘·T\T A eT]j·TT C\T düe÷q+ ø±yê\+fÒ A ˝Àì Á|ü‹ eT÷\ø£+ C˝À ñ+&Ü*. n˝≤π>
C˝Àì Á|ü‹ eT÷\ø£+ AøÏ #Ó+<ë*.

A eT]j·TT C \T düeTdü$T‘·T˝…‘’ ˚ A = C nì sêkÕÔ+.

ñ<ëVü≤s¡D-6. ÁøÏ+~ dü$T‘·T\qT rdæ≈î£ +<ë+.
A = {p, q, r} B = {q, p, r}
ô|’ dü$T‘·T\˝À A ˝Àì Á|ü‹ eT÷\ø£+ B˝À ≈£L&Ü ñ+~. ∴ A ⊂ B.
n<˚$<Û+ä >± dü$T‹ B˝Àì Á|ü‹ eT÷\ø£+ A˝À ≈£L&Ü ñ+~. ∴ B ⊂ A.
Bìïã{Ϻ eTq+ B ⊂ A eT]j·TT A ⊂ B ⇔ A = B nì ≈£L&Ü sêj·Te#·TÃ. Çø£ÿ&É ⇔ >∑Ts¡TÔ s¬ +&ÉT
yÓ|’ ⁄ü ˝≤ e]ÔdTü +Ô ~ eT]j·TT Bìì if and only if (“iff”) nì #·<Tä e⁄‘ê+.

ñ<ëVü≤s¡D-7. A = {1, 2, 3, ….} eT]j·TT ªN μ düV≤ü »dü+U≤´ dü$T‹. nsTTq A eT]j·TT N \T

düe÷qeTe⁄‘êj˚TyÓ÷ dü]#·÷&É+&ç?
kÕ<Ûqä : s¬ +&ÉT dü$T‘·T\˝À eT÷\ø±\T ˇø£{.Ï ø±e⁄q A eT]j·TT N dü$T‘·T\T s¬ +&ÉT ≈£L&Ü düV≤ü »dü+U≤´
dü$T‘·T˝Ò. n+<äTe\q dü$T‹ A eT]j·TT dü$T‹ N \T düe÷q+. A = N.
Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ
 dü$T‘·T\T 37

ñ<ëVü≤s¡D-8. dü$T‘·T\T A = {p, q, r, s} eT]j·TT B = {1, 2, 3, 4}\T düe÷qe÷?

kÕ<Ûqä : dü$T‹ A eT]j·TT dü$T‹ B˝˝À ˇπø eT÷\ø±\T ˝Òe⁄. ø±ã{Ϻ A ≠ B.
ñ<ëVü≤s¡D-9. 6 ø£+fÒ ‘·≈î£ ÿyÓq’ Á|ü<ëÛ Hê+ø±\ dü$T‹ì A nqTø√+&ç. eT]j·TT 30øÏ Á|ü<ëÛ q ø±s¡D≤+ø±\T
>∑\ dü$T‹ì P nqTø√+&ç. A eT]j·TT P düe÷qe÷ ? dü]#·÷&É+&ç.
kÕ<Ûqä : 6 ø£+fÒ ‘·≈î£ ÿyÓq’ , Á|ü<ëÛ Hê+ø±\ dü$T‹ A = { 2,3,5}
30øÏ Á|ü<ëÛ q ø±s¡D≤+ø±\T 2, 3 eT]j·TT 5. ø±e⁄q P = { 2,3,5}
dü$T‹ A eT]j·TT P \˝À ˇπø s¡øy£ TÓ qÆ eT÷\ø±\THêïsTT ø±ã{Ϻ A eT]j·TT P düe÷q+.
ñ<ëVü≤s¡D-10. A = {x : x nH˚~ ‘ASSASSINATION’ nH˚ |ü<+ä ˝Àì nø£så +¡ }
B = {x : x nH˚~ STATION nH˚ |ü<+ ä ˝Àì nø£så +¡ }
nsTTq A eT]j·TT B dü$T‘·T\T düe÷q+ nì #·÷|ü+&ç.
kÕ<Ûqä : A = {x : x nH˚~ ‘ASSASSINATION’ nH˚ |ü<+ä ˝Àì nø£så +¡ } nì Çe«ã&çq~.
dü$T‹ Aì á $<Û+ä >± ≈£L&Ü sêj·T#·TÃ. A = {A,S,I,N,T,O} . m+<äTø£+fÒ dü$T‹˝Àì eT÷\ø±\T
eTs¡˝≤ eTs¡˝≤ sêj·T≈£L&É<Tä .
B = {x : x nH˚~ STATION nH˚ |ü<+ ä ˝Àì nø£så +¡ } nì Çe«ã&ç+~.
B = {A,S,I,N,T,O} nì ≈£L&Ü sêj·T#·TÃ.
ø±e⁄q A eT]j·TT B ˝Àì eT÷\ø±\T düe÷q+ A = B

nuÛ≤´dü+ - 2.3
1. ÁøÏ+~ yê≥Ï˝À düeTdü$T‘·T\T @$?
(i) A = {x : x nH˚~ ªFOLLOWμ nH˚ |ü<ä+˝À ˇø£ nø£ås¡+}
(ii) B = {x : x nH˚~ ªFLOWμ nH˚ |ü<ä+˝À ˇø£ nø£ås¡+}
(iii) C = {x : x nH˚~ ªWOLFμ nH˚ |ü<ä+˝Àì ˇø£ nø£ås¡+}
2. ÁøÏ+~ dü$T‘·T\qT |ü]o*+∫, ÁøÏ+<ä Ç∫Ãq yêø±´\T dü]j·T>∑Tq≥T¢ = ˝Ò<ë ≠ ‘√ U≤∞\qT |üP]+#·+&ç.
A = {1, 2, 3}; B = {yÓTT<ä{Ï eT÷&ÉT düV≤ü »dü+K´\T}
C = {a, b, c, d}; D = {d, c, a, b}

E = {a, e, i, o, u}; F = {Ä+>∑u

¢ ≤Û wü˝Àì n#·TÃ\dü$T‹}

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 38 10 e ‘·s>¡ ‹∑ >∑D‘Ï +·

(i) A ...... B (ii) A......E (iii) C ...... D

(iv) D ...... F (v) F...... A (vi) D ...... E
(vii) F ...... B
3. ÁøÏ+<ä Ç∫Ãq Á|ü‹ dü$T‹˝À A = B ne⁄‘·T+<√ ˝Ò<√ ‘Ó\|ü+&ç.
(i) A = {a, b, c, d} B = {d, c, a, b}
(ii) A = {4, 8, 12, 16} B = {8, 4, 16, 18}
(iii) A = {2, 4, 6, 8, 10} B = {x : x ˇø£ <Ûäq dü]|üPs¡í dü+K´ eT]j·TT x < 10}
(iv) A = {x : x, 10 jÓTTø£ÿ >∑TDÏ»+} B = {10, 15, 20, 25, 30, …….}

E = {2, 4, 6} eT]j·TT F = {6, 2, 4} nH˚ dü$T‘·T\qT rdüT≈£îqï≥¢sTT‘˚ E = F nì >∑eTì+#·e#·TÃ.

m+<äTø£+fÒ E ˝Àì Á|ü‹ eT÷\ø£+ F≈£î #Ó+<äT‘·T+~ ø±ã{Ϻ ªEμ, ªFμøÏ ñ|üd$ü T‹ ne⁄‘·T+~. n˝≤π> F ˝Àì
Á|ü‹ eT÷\ø£+ E ≈£î #Ó+<äT‘·T+~. ø±e⁄q F, EøÏ ñ|üd$ü T‹ ne⁄‘·T+~. á $<Û+ä >± Á|ü‹ dü$T‹ <ëìø£<˚
ñ|üd$ü T‹ ne⁄‘·T+<äì eTq+ #·÷|üe#·TÃ.
A eT]j·TT B \˝À
ˇπø eT÷\ø±\Tqï≥¢sTT‘˚, n$ düe÷q+. nq>± A = B. á |ü]o\q e\¢
eTq+ Á|ü‹ dü$T‹ <ëì ø£<˚ ñ|üd$ü T‹ ne⁄‘·T+<äì #Ó|Œü e#·TÃ.
ñ<ëVü≤s¡D-11. φ, A = {1, 3}, B = {1, 5, 9}, C = {1, 3, 5, 7, 9} dü$T‘·T\qT rdæø=+<ë+. ÁøÏ+~ Á|ü‹
dü$T‘·T\ »‘·\˝À ⊂ ˝Ò<ë ⊄ >∑Ts¡TqÔ T ñ+#·+&ç.
(i) φ ….. B (ii) A ….. B (iii) A ….. C (iv) B ….. C

kÕ<Ûqä : (i) φ ⊂ B m+<äTø£+fÒ X¯Sq´ dü$T‹ Á|ü‹dü$T‹øÏ ñ|üd$ü T‹ ne⁄‘·T+~.

(ii) A ⊄ B, m+<äTø£+fÒ 3 ∈ A ø±ì 3 ∉ B.
(iii) A ⊂ C, m+<äTø£+fÒ 1, 3 ∈A eT]j·TT C.
(iv) B ⊂ C, m+<äTø£q>± B ˝À ñqï Á|ü‹ eT÷\ø£+ C˝À ≈£L&Ü ñqï~.

Ç$ #˚j·T+&ç
1. A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4}, C = {1, 2, 3, 4, 7}, F = { }.
nsTTq ÁøÏ+~ U≤∞\qT ⊂ ˝Ò<ë ⊄ \‘√ |üP]+#·+&ç.
(i) A ….. B (ii) C ….. A (iii) B ….. A
(iv) A ….. C (v) B ….. C (vi) φ ….. B
2. ÁøÏ+~ yêø±´\˝À ªdü‘·´yÓTÆqμ yê{Ïì ù|s=ÿq+&ç.
(i) { } = φ (ii) φ=0 (iii) 0={0}

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 dü$T‘·T\T 39

Á|üj·T‹ï+#·+&ç
1. È ‘· T· s¡Ádü+, Áf…|õ” j·T+, sê+ãdt}. A ⊂ B ˝Òø£
A = {#·‘T· s¡T“¤C≤\T}, B = {#·‘T· s¡Ádü+, Bs¡# B
⊂ A ne⁄‘·T+<˚yÓ÷ ù|s=ÿq+&ç. ˙ düe÷<ÛëHêìï düeT]ú+#·+&ç.
2. A = {a, b, c, d} nsTTq A øÏ mìï ñ|üd$
ü T‘·T\THêïsTT? (X¯Sq´dü$T‹ eT]j·TT düeTdü$T‘·T\qT
»„|æÔøÏ ‘Ó#·TÃø√+&ç.)
(A) 5 (B) 6 (C) 16 (D) 65

3. P nH˚~ 5 jÓTTø£ÿ ø±s¡D≤+ø±\ dü$T‹. Q nH˚~ 25 jÓTTø£ÿ ø±s¡D≤+ø±\ dü$T‹. R nH˚~ 125
jÓTTø£ÿ ø±s¡D≤+ø±\ dü$T‹ ÁøÏ+~ yêì˝À @~ ndü‘·´+.
(A) P ⊂ Q (B) Q ⊂ R (C) R ⊂ P (D) P ⊂ R

4. A nH˚~ 10 ø£+fÒ ‘·≈£îÿyÓ’q, Á|ü<ÛëHê+ø±\ dü$T‹ B nH˚~ 10 ø£+fÒ ‘·≈£îÿyÓ’q uÒdæ dü+K´\
dü$T‹. C nH˚~ 10 ø£+fÒ ‘·≈£îÿyÓ’q dü]dü+K´\ dü$T‹. ÁøÏ+~ yêì˝À ªdü‘·´yÓTÆqμ yêø±´˝Ò$?
(i) A ⊂ B (ii) B ⊂ A (iii) A ⊂ C
(iv) C ⊂ A (v) B ⊂ C (vi) X ⊂ A

ÁøÏ+~ dü$T‘·T\qT rdæø=+<ë+.

A = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 3, 4}, C = {1, 2, 3, 4, 5}
A ˝À ñqï eT÷\ø±ìï B ˝À ñHêïsTT ∴ A ⊂ B.
B ˝À ñqï eT÷\ø±\ìï C ˝À ñHêïsTT ∴ B ⊂ C.
A˝À ñqï eT÷\ø±\˙ï C˝À ñHêïsTT ∴ A ⊂ C.
ø±ã{Ϻ, A ⊂ B, B ⊂ C ⇒ A ⊂ C.
nuÛ≤´dü+ - 2.4

1. A = {1, 2, 3, 4} nsTTq ÁøÏ+~ yêø±´\˝À ªdü‘·´yÓTÆqμ yê{Ïì ‘Ó\T|ü+&ç.

(i) 2 ∈ A (ii) 2 ∈ {1, 2, 3, 4}
(iii) A ⊂ {1, 2, 3, 4} (iv) {2, 3, 4} ⊂ {1, 2, 3, 4}

2. ÁøÏ+~ yêø±´\≈£î ‘·>∑T ø±s¡D≤\T ù|s=ÿq+&ç.

(i) {1, 2, 3, …., 10} ≠ {x : x ∈ N eT]j·TT 1 < x < 10}
(ii) {2, 4, 6, 8, 10} ≠ {x : x = 2n+1 eT]j·TT x ∈ N}

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 40 10 e ‘·s>¡ ‹∑ >∑D‘Ï +·

(iii) {5, 15, 30, 45} ≠ {x : x, 15 jÓTTø£ÿ >∑TDÏ»+}

(iv) {2, 3, 5, 7, 9} ≠ {x : x ˇø£ Á|ü<Ûëq dü+K´}

3. ÁøÏ+~ dü$T‘·T\≈£î >∑\ ñ|üdü$T‘·T\ìï+{Ï C≤_‘êqT sêj·T+&ç.

(i) B = {p, q} (ii) C = { x, y, z} (iii) D = {a, b, c, d}
(iv) E = [1, 4, 9, 16] (v) F = {10, 100, 1000}

2.7 yÓHé ∫Á‘ê\T

Ç|üŒ{Ïøπ eTq+ dü$T‘·T\qT dü÷∫+#˚ ø=ìï $<Ûeä TT˝…q’ ∫Á‘ê\qT #·÷XÊ+. Ç|ü⁄&ÉT Ç+ø± $es¡+>±
yê{Ï >∑T]+∫ n<Û´ä j·Tq+ #˚<ë›+. dü$T‘·T\ eT<Û´ä dü+ã+<Ûë\qT dü÷∫+#·{≤ìøÏ ÄsTT\sY ˝Ò<ë yÓHé ∫Á‘ê\qT
eTq+ ñ|üj÷Ó –kÕÔ+. á ∫Á‘ê\˝À Bs¡#È ‘· T· s¡ÁkÕ\T eT]j·TT dü+eè‘· eÁø±\T kÕ<Ûës¡D+>± eè‘êÔ\T
ñ+{≤sTT.
á n<Ûë´j·T+˝À Ç+‘·≈î£ eTT+<˚ dü÷∫+∫q $<Û+ä >±, $X¯«dü$T‹ kÕ<Ûës¡D+>± Bs¡È #·‘T· s¡Ádü+˝À
dü÷∫kÕÔ+.
μ
(i) μ={1, 2, 3, …., 10} $X¯ « dü $ T‹ nì •1 A •3
n+‘·ø£+fÒ A = {2, 4, 6, 8, 10} dü$T‹ •2
•4
$X¯«dü$T‹øÏ ñ|üdü$T‘·T\T ne⁄‘·T+~. Bìï •5 •8 •6
yÓHé ∫Á‘ê\˝À ÁøÏ+~ $<Ûä+>± #·÷|üe#·TÃ. •10 •7
•9

(ii) μ = {1, 2, 3, …., 10} $X¯«dü$T‹, μ

•1 A •3
A = {2, 4, 6, 8, 10} eT]j· T T
B = {4, 6} \T ñ|üd$
ü T‘·T\T eT]j·TT •4
B •5
B ⊂ A. nsTTq eTq+ ÁøÏ+~ yÓHé ∫Á‘·+ •6
<ë«sê ô|’ eyê{Ïì dü÷∫+#·e#·TÃ. •2 •10 •7
•9 •8

μ
(iii) A = {a, b, c, d} eT]j·TT B = {c, d, e, f}. Α Β
•a •c •e
eTq+ á dü$T‘·T\ì yÓHé ∫Á‘ê\˝À ÁøÏ+~ $<Ûä+>± dü÷∫+#·e#·TÃ. •d
•b •f
2.8 dü$T‘·T\˝À ÁbÕ<∏ä$Tø£ |ü]ÁøÏj·T\T
n+ø£>∑DÏ‘·+˝À ≈£L&çø£, rdæy˚‘·, >∑TDø±s¡+ eT]j·TT uÛ≤>∑Vü‰s¡+ ˝≤+{Ï |ü]ÁøÏj·T\T ñ+{≤j·Tì
eTq≈£î ‘Ó\TdüT>∑<ë! n<˚$<Û+ä >± dü$T‘·T\˝À >∑÷&Ü eTq+ düyT˚ àfi¯Hêìï, #Û<˚ Hä êìï eT]j·TT uÛ<Ò ë\ |ü]ÁøÏjT· \qT
ìs¡«∫<ë›+.

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 dü$T‘·T\T 41

2.8.1 dü$T‘·T\ düy˚Tàfi¯q+

ñ<ëVü≤s¡D-12. ˙ ‘·s>¡ ‹∑ $<ë´s¡T\ú ˝À eT+>∑fiy¯ ês¡+ bÕsƒX¡ Ê\≈£î Vü‰»s¡Tø±ì yê]ì dü$T‹ A nì, ãT<Ûyä ês¡+
Vü‰»s¡Tø±ì $<ë´s¡T\ú dü$T‹ B nqTø=+<ë+.
n|ü⁄&ÉT A = {s√C≤, sêeTT. s¡$} eT]j·TT
B = {sêeTT, Á|”‹, Vü≤˙|ò}t
Ç|ü⁄&ÉT eTq+ eT+>∑fiy¯ ês¡+ ˝Òø£ ãT<Ûyä ês¡+ bÕsƒX¡ Ê\≈£î Vü‰»s¡Tø±ì $<ë´s¡T\ú dü$T‹ K, nqT≈£î+fÒ
n|ü⁄&ÉT s√C≤ ∈ Κ ne⁄‘·T+<ë? sêeTT ∈ Κ ne⁄‘·T+<ë? s¡$ ∈ Κ ne⁄‘·T+<ë? Vü≤˙|òt ∈ Κ ne⁄‘·T+<ë?
Á|”‹ ∈ Κ ne⁄‘·T+<ë? nœ\ ∈ Κ ne⁄‘·T+<ë?
s√C≤, sêeTT, s¡$, Vü≤˙|òt eT]j·TT Á|”‹ n+<äs÷¡ K dü$T‹øÏ #Ó+<äT‘ês¡T. ø±ì nœ\ K dü$T‹øÏ
#Ó+<ä<Tä .
n+<äTe\q, K = {s√C≤, sêeTT, s¡V≤” +, |òèü ~Û«}
Çø£ÿ&É eTq+ Kì A, B dü$T‘·T\ düyT˚ àfi¯q+ n+{≤s¡T. A, B dü$T‘·T\ düyT˚ àfi¯qeTq>± A eT]j·TT
B dü$T‘·T\˝Àì ñeTà&ç eT÷\ø±\qT ˇπø kÕ] rdæø=ì s ¬ +&ç+{Ï˝Àì eT÷\ø±\ìï+{Ïì ø£*– e⁄qï dü$T‹
nì ns¡+ú , dü$T‘·T\ düyT˚ àfi¯q+qT ‘μ’ >∑Ts¡T˝Ô À dü÷∫kÕÔ+.
dü+øπ ‘·+>± A ∪ B nì sêdü÷Ô A j·T÷ìj·THé B nì #·<Tä e⁄‘ê+.
A ∪ B = {x : x ∈ A ˝Ò<ë x ∈ B}

ñ<ëVü≤s¡D-13. A = {2, 5, 6, 8} eT]j·TT B = {5, 7, 9, 1} nsTTq A ∪ B ø£qT>=qTeTT.

kÕ<Ûäq : A ∪ B = {1, 2, 5, 6, 7, 8, 9}.
A ∪ B sêùd≥|ü⁄&ÉT A .B dü$T‘·T\˝Àì ñeTà&ç eT÷\ø£yÓTÆq 5ì ˇπøkÕ] rdæø=HêïeTì >∑eTì+#·e#·TÃ.

ñ<ëVü≤s¡D-14. A = {a, e, i, o, u} eT]j·TT B = {a, i, u} nsTTq A ∪ B = A nì #·÷|ü+&ç.

kÕ<Ûäq : A ∪ B = {a, e, i, o, u} = A ne⁄‘·T+~.
á ñ<ëVü≤s¡D <ë«sê dü$T‹ A eT]j·TT <ëì ñ|üdü$T‹ B \ düy˚Tàfi¯q+ dü$T‹ A ne⁄‘·T+<äì
‘Ó\TdüT+Ô ~.
n+fÒ B ⊂ A nsTT‘˚ A ∪ B = A.
dü$T‘·T\ düyT˚ àfi¯q+ yÓHé ∫Á‘ê\˝À ÁøÏ+~ $<Û+ä >± >∑T]Ô+#·ã&ç+~. (ùw&é #˚jT· ã&çq ÁbÕ+‘·+)
A B μ

ñ<ëVü≤s¡D-15. A = {1, 2, 3, 4} eT]j·TT B = {2, 4, 6, 8} nsTTq A ∪ B ì yÓHé ∫Á‘ê\˝À $e]+#·+&ç.

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ
 42 10 e ‘·s>¡ ‹∑ >∑D‘Ï +·

kÕ<Ûqä :
A B μ
•1 •2 •6
•4 A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 6, 8}
•3 •8

2.8.2 dü$T‘·T\ #Û<˚ qä +

eTs=ø£kÕ] ‘·s>¡ ‹∑ øÏ Vü‰»s¡Tø±ì $<ë´s¡T\ú ñ<ëVü≤s¡DqT |ü]o*<ë›+. á kÕ] eTq+ eT+>∑fiy¯ ês¡+
eT]j·TT ãT<Ûyä ês¡+ ≈£L&Ü Vü‰»s¡T ø±ì $<ë´s¡T\ú dü$T‹ì L nqT≈£î+<ë+.
L = {sêeTT} nì ø£qT>=Hêï+.
Çø£ÿ&É, ªLμ ì A, B dü$T‘·T\ #Û<˚ qä + nì n+{≤+.
kÕ<Ûës¡D+>±, dü$T‹ A eT]j·TT dü$T‹ B \˝À ñqï ñeTà&ç eT÷\ø±\qT A, B dü$T‘·T\ #Û<˚ qä +
n+{≤+. nq>± dü$T‹ A eT]j·TT dü$T‹ BøÏ s¬ +&ç+{ÏøÏ #Ó+~q
eT÷\ø±\T. dü$T‘·T\ #Û<˚ Hä êìï eTq+ A ∩ B. (A Ç+≥sYôdø£Hå é A B μ
B nì #·<Tä e⁄‘ê+) nì dü÷∫kÕÔ+.

A ∩ B = {x : x ∈ A eT]j·TT x ∈ B}
Á|üøÿ£ |ü≥+˝À, A, B dü$T‘·T\ #Û<˚ Hä êìï yÓHé ∫Á‘ê\˝Àì
A∩B
ùw&é #˚jT· ã&çq ÁbÕ+‘·+˝À eTq+ #·÷|üe#·TÃ.
ñ<ëVü≤s¡D-16. A = {5, 6, 7, 8} eT]j·TT B = {7, 8, 9, 10} nsTTq A ∩ B ø£qT>=qTeTT.
kÕ<Ûqä : dü$T‘·T\ A, B \˝ÀøÏ ñeTà&ç eT÷\ø±\T 7, 8.
∴ A ∩ B = {7, 8}.

ñ<ëVü≤s¡D-17. A = {1, 2, 3} eT]j·TT B = {3, 4, 5} nsTTq A ∩ Bì yÓHé ∫Á‘ê\˝À $e]+#·+&ç.

kÕ<Ûqä : A, B dü$T‘·T\ #Û<˚ Hä êìï yÓHé ∫Á‘ê\˝À ÁøÏ+~ $<Û+ä ˝À #·÷|üe#·TÃ.

A B μ
1 4
3 A ∩ B = {3}
2 5

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 dü$T‘·T\T 43

2.8.3 $j·TTø£Ô dü$T‘·T\T μ

A R {1, 3, 5, 7} eT]j·TT B = {2, 4, 6, 8} nqTø√+&ç. 1,3,5, 2, 4,
dü$T‹ A eT]j·TT dü$T‹ B\˝À ñeTà&ç eT÷\ø±\T ˝Òeì eTq+ 7
#·÷&É#T· Ã. n˝≤+{Ï dü$T‘·T\qT $j·TTø£Ô dü$T‘·T\T nì n+{≤+. A 6, 8
B
$j·TTø£Ô dü$T‘·T\qT yÓHé ∫Á‘ê\˝À ÁøÏ+~ $<Û+ä >± #·÷|üe#·TÃ.
A∩B=φ
Ç$ #˚j·T+&ç
1. A = {1, 3, 7, 8} eT]j·TT B = {2, 4, 7, 9} nsTTq A ∩ B ø£qTø√ÿ+&ç.
2. A = {6, 9, 11}; B = { } nsTTq A∪φ ø£qTø√ÿ+&ç.
3. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}; B = {2, 3, 5, 7}. A ∩ Bì ø£qT>=ì A ∩ B = B
nì #·÷|ü+&ç.
4. A = {4, 5, 6}; B = {7, 8} nsTTq A ∪ B = B ∪ A nì #·÷|ü+&ç.

Á|üj·T‹ï+#·+&ç.
1. A eT]j·TT B $j·TTø£Ô dü$T‘·T\T nj˚T´≥≥T¢>± ø=ìï dü$T‘·T\T A eT]j·TT B\T, yêì eT÷\ø±\T
mqTïø=ì C≤_‘ê ‘·j·÷s¡T#˚j·T+&ç.
2. A = {2, 3, 5}, nsTTq A ∪ φ eT]j·TT φ ∪ A ø£qT>=ì b˛\Ã+&ç.
3. A = {1, 2, 3, 4}; B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} nsTTq A ∪ B, A ∩ B ø£qT>=q+&ç. |òü*‘·+
qT+&ç MTs¡T @$T >∑eTì+#ês¡T ?
4. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; B = {2, 4, 6, 8, 10}. >± Çe«ã&çq$. A, B\ #Û˚<äHêìï ø£qT>=q+&ç.

Ä˝À∫+∫, #·]Ã+∫, sêj·T+&ç

@yÓH’ ê s¬ +&ÉT $j·TTø£Ô dü$T‘·T\ #Û<˚ qä + X¯Sq´dü$T‹ ne⁄‘·T+~. á yêø£´+ dü‘´· e÷ ? ndü‘´· e÷?

2.8.4 dü$T‘·T\ uÛ<Ò +ä

eT÷\ø±\T dü$T‹ A ≈£î e÷Á‘·+ #Ó+~, B dü$T‹øÏ #Ó+<ä≈î£ +&Ü ñ+&˚ eT÷\ø±\ì A, B dü$T‘·T\
uÛ<Ò +ä nì n+{≤s¡T.
A – B = {x : x ∈ A eT]j·TT x ∉ B}.

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 44 10 e ‘·s>¡ ‹∑ >∑D‘Ï +·

ñ<ëVü≤s¡D-18. A = {1, 2, 3, 4, 5}; B = {4, 5, 6, 7} nqTø=qTeTT. A – Bì ø£qT>=qTeTT.

kÕ<Ûqä : A = {1, 2, 3, 4, 5} eT]j·TT B = {4, 5, 6, 7} nì Çe«ã&çq$. ªAμ dü$T‹øÏ e÷Á‘·yT˚ #Ó+~,
dü$T‹ ªBμ øÏ #Ó+<äì eT÷\ø±\qT e÷Á‘·+ rdæø=Hê*.
∴ A – B = {1, 2, 3}. ∵ 4, 5 eT÷\ø±\T B ˝À ñHêïsTT. ø±ã{Ϻ rdæø√˝Ò<Tä .
n<˚$<Û+ä >± B – A n+fÒ, B dü$T‹˝À ñqï eT÷\ø±\qT e÷Á‘·yT˚ rdæø√yê*.
∴ B – A = {6, 7} (4, 5 eT÷\ø±\T A ˝À ñHêïsTT).
A – B ≠ B – A nì >∑eTì+#·+&ç.
A-B \ yÓHé ∫Á‘·+ ÁøÏ+<ä #·÷|üã&ç+~.
A B A B
1 6 1 6
4 4
2 5 2 5
7 7
3 3

A – B = {1, 2, 3} B – A = {6, 7}
ñ<ëVü≤s¡D-19. ÁøÏ+~ dü$T‘·T\qT |ü]o*+#·+&ç.
A = {3, 4, 5, 6, 7} ∴ n(A) = 5 ∪
A B
B = {1, 6, 7, 8, 9} ∴ n(B) = 5 3 1
6
A ∪ B = {1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}∴n(A ∪ B) = 8 4 8
7
5 9
A ∩ B = {6, 7} ∴ n(A ∩ B) = 2
∴ n(A ∪ B) = 5 + 5 – 2 = 8
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) nì eTq+ |ü]o*+#·e#·TÃ.

Ç$ #˚j·T+&ç.
1. A = {1, 2, 3, 4 ,5}; B = {4, 5, 6, 7}nsTTq A – B eT]j·TT B – A ø£qT>=q+&ç. A – B,
B – A \T ¬s+&ÉT düe÷qe÷?
2. V = {a, e, i, o, u} eT]j·TT B = {a, i,k, u} nsTTq V – B eT]j·TT B – V.

Ä˝À∫+∫, #·]Ã+∫, sêj·T+&ç

dü$T‘·T\T A – B, B – A eT]j·TT A ∩ B |üs¡düŒs¡+ $j·TTø£Ô dü$T‘·T\T ne⁄‘êsTT. ø=ìï
ñ<ëVü≤s¡D\ düVü‰j·T+‘√ á dü‘ê´ìï |ü]o*+#·+&ç

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 dü$T‘·T\T 45

nuÛ≤´dü+ - 2.5
1. A = {1, 2, 3, 4}; B = {1, 2, 3, 5, 6} nsTTq A ∩ B eT]j·TT B ∩ A ø£qT>=q+&ç. ¬s+&ÉT
düe÷qe÷?
2. A = {0, 2, 4}, A ∩ φ eT]j·TT A ∩ A ø£qT>=qTeTT. yê´U≤´ì+#·+&ç.
3. A = {2, 4, 6, 8, 10} eT]j·TT B = {3, 6, 9, 12, 15} nsTTq A – B eT]j·TT B – A\qT
ø£qT>=qTeTT.
4. A eT]j·TT B \T ¬s+&ÉT dü$T‘·T\T, A ⊂ B nsTTq A ∪ B m+‘·?
5. A = {x : x ˇø£ dü] düVü≤»dü+K´}
B = {x : x ˇø£ uÒdæ düVü≤» dü+K´}
C = {x : x ˇø£ uÒdæ düVü≤» dü+K´}
D = {x : x ˇø£ Á|ü<Ûëqdü+K´} nsTTq ÁøÏ+~ yê{Ïì ø£qT>=q+&ç.
A ∩ B, A ∩ C, A ∩ D, B ∩ C, B ∩ D, C ∩ D.
6. A = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21}; B = {4, 8, 12, 16, 20}
C = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}; D = {5, 10, 15, 20} nsTTq ÁøÏ+~ yêìì ø£qT>=qTeTT.
(i) A – B (ii) A – C (iii) A – D (iv) B – A (v) C – A
(vi) D – A (vii) B – C (viii) B – D (ix) C – B (x) D – B
7. ÁøÏ+<ä Çe«ã&çq yêø±´\T dü‘·´e÷ ˝Òø£ ndü‘·´e÷? ‘Ó\T|ü+&ç. MT düe÷<ÛëHê\qT düeT]ú+#·+&ç.
(i) {2, 3, 4, 5} eT]j·TT {3, 6} \T $j·TTø£Ô dü$T‘·T\T
(ii) {a, e, i, o, u} eT]j·TT {a, b, c, d} $j·TTø£Ô dü$T‘·T\T
(iii) {2, 6, 10, 14} eT]j·TT {3, 7, 11, 15} \T $j·TTø£Ô dü$T‘·T\T
(iv) {2, 6, 10} eT]j·TT {3, 7, 11} \T $j·TTø£Ô dü$T‘·T\T.

eTq+ @$T #·]Ã+#ê+

1. düTìs¡«∫‘· edüTÔe⁄\ düeTT<ëj·÷ìï dü$T‹ n+{≤s¡T. düTìs¡«∫‘· eTq>±
(i) dü$T‹˝À ñqï edüTÔe⁄\˙ï ˇπø \ø£åD+ ˝Ò<ë <ÛäsêàH˚ï ø£*Z e⁄+{≤sTT. eT]j·TT
(ii) @<Ó’Hê ˇø£ edüTÔe⁄ dü$T‹øÏ #Ó+<äT‘·T+<√ ˝Ò<ë nì ìsêú]+#·e#·TÃ.
2. dü$T‹˝Àì edüTeÔ ⁄\qT eT÷\ø±\T nì n+{≤+. ª#Ó+<äT‘·T+~μ nì dü÷∫+#·{≤ìøÏ ∈ nH˚ >∑Ts¡TìÔ
ñ|üj÷Ó –kÕÔ+.

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 46 10 e ‘·s>¡ ‹∑ >∑D‘Ï +·

3. dü$T‘·T\qT s√düsº Y s¡÷|ü+˝À sêj·Te#·TÃ. dü$T‹˝Àì eT÷\ø±\ìï+{Ïì sêdæ ø±e÷ (commas)\‘√

y˚sπ #˚d,æ { } (|òe¢ü sY) Áu≤¬ø≥¢˝À ñ+#ê*.
4. dü$T‘·T\qT dü$T‹ ìsêàDs¡÷|ü+˝À ≈£L&Ü sêj·T#·TÃ.
5. ˇø£ dü$T‹˝À eT÷\ø±\T ˝Ò≈î£ +&Ü ñ+fÒ Ä dü$T‹ì X¯Sq´ dü$T‹ n+{≤+.
6. ˇø£ dü$T‹˝Àì eT÷\ø±\qT ˝…øÿÏ +#·>*∑ –‘˚ Ä dü$T‹ì |ü]$T‘· dü$T‹ n+{≤+.
7. |ü]$T‘· dü$T‹ ø±q≥Te+{Ï dü$T‘·T\qT n|ü]$T‘· dü$T‘·T\T nì n+{≤s¡T.
8. ˇø£ dü$T‹˝À >∑\ eT÷\ø±\ dü+K´qT Ä dü$T‹ jÓTTø£ÿ ªø±]¶q˝Ÿμ dü+K´ nì n+{≤+.
9. $X¯«dü$T‹ì 'μ'‘√ dü÷∫kÕÔ+. $X¯«dü$T‹ì kÕ<Ûës¡D+>± Bs¡#È ‘· T· s¡ÁkÕ\˝À dü÷∫kÕÔeTT.
10. dü$T‹ A, Bdü$T‹øÏ ñ|üd$ü T‹ m|ü⁄&Ée⁄‘·T+<ä+fÒ 'a' , dü$T‹ A ˝À eT÷\ø£+ nsTTe⁄+&ç, dü$T‹
B˝À >∑÷&Ü eT÷\ø£+ nsTT‘˚ dü$T‹ A, B dü$T‹øÏ ñ|üd$ ü T‹ ne⁄‘·T+~. Bìï á ÁøÏ+~ $<Û+ä >±
sêkÕÔ+. a ∈A ⇒ a ∈ B nsTT‘˚ A ⊂ B (A, B \T s¬ +&ÉT dü$T‘·T\T)
11. s¬ +&ÉT dü$T‘·T\T A eT]j·TT B düe÷q+ ø±yê\+fÒ A ˝Àì Á|ü‹ eT÷\ø£+ B˝À ñ+&Ü* eT]j·TT
B˝ÀH˚ Á|ü‹ eT÷\ø£+ ≈£L&Ü A˝À ñ+&Ü*.
12. A, B dü$T‘·T\ düyT˚ àfi¯Hêìï A ∪ B nì sêj·Te#·TÃ. A ∪ B= {x : x ∈ A ˝Òø£ x ∈ B}.
13. A, B dü$T‘·T\ #Û< ˚ Hä êìï A ∩ B nì sêj·T#·TÃA ∩ B = {x : x ∈ A eT]j·TT x ∈ B}
14. A, B dü$T‘·T\ uÛ< Ò ëìï A − B ˝Ò<ë B − A \#˚ dü÷∫kÕÔeTT.
15. dü$T‘·T\ ÁbÕ<∏$ä Tø£ Á|üÁøÏjT· \T dü÷∫+#·{≤ìï yÓHé ∫Á‘ê\T kÂø£s´¡ e+‘·+>± ñ+{≤sTT.

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 ãVüQ|ü<Tä \T 47

n<Ûë´j·TeTT

3 ãVüQ|ü<äT\T
(Polynomials)

3.1 |ü]#·j·T+
øÏ+~ dü+<äsꓤ\qT |ü]o*<ë›eTT.
1. ˇø£ |üP\ ‘√≥ Á‹uÛÑTC≤ø±s¡+˝À e⁄+~. n‹ ô|<ä›uÛÑT»eTT, eT<Ûä´uÛÑT»+ ø£+fÒ 3 ¬s≥T¢ ô|<ä›~>±q÷,
n‹∫qï uÛTÑ »+, eT<Û´ä uÛTÑ »+ ø£Hêï 2 j·T÷ì≥T¢ ∫qï~>±q÷ e⁄+~. eT<Û´ä uÛTÑ »+ bı&Ée⁄ P j·T÷ì≥T¢.
nsTT‘˚ á Á‹uÛÑT» #·T≥Tºø=\‘· P Á|üe÷D≤\˝À m+‘· e⁄+≥T+~ ?
2. ˇø£ uÛÀ»qXÊ\ bı&Ée⁄ yÓ&É\TŒ ø£Hêï ¬s+&ÉT ¬s≥T¢ ô|<ä›~. Ä >∑~ yÓ&É\TŒ ªxμ j·T÷ì≥T¢ nsTT‘˚,
<ëì H˚\ yÓ’XÊ\´+ x Á|üe÷D≤\˝À m+‘· e⁄+≥T+~?
ô|’ s¬ +&ÉT dü+<äsꓤ\T |ü]o*ùd,Ô Á|ü‹ <ëì˝À ˇø£ ne´ø£sÔ ê• e⁄+~. yÓTT<ä{Ï dü+<äs“¡ +¤ ˝À, eT<Û´ä uÛTÑ »+
‘P’ j·T÷ì≥T¢ nì Çe«ã&ç+~.
ø±e⁄q, Á‹uÛÑT»#·T≥Tºø=\‘· = uÛÑTC≤\ bı&Ée⁄\ yÓTT‘·ÔeTT

= P + 3P + P – 2
= 5P – 2 3P P-2
P

Ç<˚ $<Ûä+>± ¬s+&Ée dü+<äs¡“¤+˝À bı&Ée⁄, yÓ&É\TŒ≈£î ¬s{Ϻ+|ü⁄

ø±e⁄q, yÓ&É\TŒ = x, nsTT‘˚ bı&Ée⁄ = 2x ne⁄‘·T+~.
Bs¡È#·‘·Ts¡Ádü yÓ’XÊ\´eTT = lb
= (2x) (x)
1234567890123456789
1234567890123456789
= 2 x2 1234567890123456789
1234567890123456789
1234567890123456789
1234567890123456789
2 x2
1234567890123456789 x
1234567890123456789
1234567890123456789
1234567890123456789
1234567890123456789
2x
Bì qT+&ç Á‹uÛÑT» #·T≥Tºø=\‘· 5P – 2 eT]j·TT Bs¡È#·‘·Ts¡Ádü yÓ’XÊ\´eTT 2x2 nH˚$ $_Ûqï |ü]e÷D≤\T >∑\
ãVüQ|ü<äT\T nì #Ó|üŒe#·TÃ.

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 48 10e ‘·s¡>∑‹ >∑DÏ‘·+

3.2 ãVüQ|ü<äT\T n+fÒ @$T{Ï?

#·s¡, dæús¡sêX¯ó\‘√ ì]à‘·yÓTÆq ;Jj·T düe÷kÕ˝Ò ãVüQ|ü<äT\T. #·s¡sêX¯ó\qT ø=ìï dæús¡sêX¯ó\‘√
>∑TDÏ+#·>± e#·Tà >∑TDø±\T eT]j·TT M{Ïì s¡TDÒ‘s· ¡ <Ûqä |üPs¡dí +ü K´\ |ò÷ü ‘ê\≈£î ôV≤∫Ã+∫ $$<Ûä |ü]e÷D≤\≈£î
sêj·Tã&É‘êsTT. ñ<ëVü≤s¡D≈£î, 2x + 5, 3x2 + 5x + 6, - 5y, x3 yÓTTˆˆq$ ãVüQ|ü<äT\T.
1 1 1
2
, , , 3x3 yÓTTˆˆq$ ãVüQ|ü<äT\T ø±e⁄.
x 2x y−1

1
m+<äT≈£î ãVüQ|ü~ ø±<√, MT ùdïVæ≤‘·T\‘√q÷, ñbÕ<Ûë´j·TTì‘√ #·]Ã+#·+&ç.
y −1

Ç$ #˚j·T+&ç
øÏ+~ düe÷kÕ\˝À @$ ãVüQ|ü<äT\T? @$ø±e⁄? ø±s¡D≤\T ‘Ó\Œ+&ç.
1 2 1
(i) 2x3 (ii) (iii) 4 z + (iv) m2 − 2 m + 2 (v) P −2 + 1
x −1 7

3.2.1 ãVüQ|ü~ |ü]e÷DeTT

x #·ss ¡ ê•˝À>∑\ ãVüQ|ü~ p(x)˝À x jÓTTø£ÿ >∑]wü˜ |ò÷ü ‘ê+ø£eTT p(x) ãVüQ|ü~ jÓTTø£ÿ |ü]e÷DeTT
n>∑Tqì >∑Ts¡TÔ≈£î ‘Ó#·TÃø√+&ç. ñ<ëVü≤s¡D≈£î x #·s¡sê•˝À >∑\ ˇø£ ãVüQ|ü~ 3x + 5. Bì |ü]e÷DeTT
1
1, ø±e⁄q Ç~ ˇø£ πsFj·T ãVüQ|ü~. Ç<˚$<Ûä+>± 5x, 2y+5 , P, m + 1 yÓTTˆˆq$ eT]ø=ìï πsFj·T
3
ãVüQ|ü<äT\T. ¬s+&Ée |ü]e÷DeTT >∑\ ãVüQ|ü~ì es¡ZãVüQ|ü~ n+{≤s¡T.
ñ<ëVü≤s¡D≈£î x2 + 5x + 4 nH˚~ x #·s¡sê• >± >∑\ ˇø£ es¡Z ãVüQ|ü~. Ç<˚$<Ûä+>±
1 2 y
2x2 + 3x - , p -1, 3 – z – z2, y2 - + 2 nH˚$ eT]ø=ìï es¡Z ãVüQ|ü<äT\T.
2 3
5x3–4x2+x–1 nH˚ düe÷düeTT x #·s¡sê•>± >∑\ eT÷&Ée |ü]e÷D ãVüQ|ü~. Bìì eTq+
Á‹|ü]e÷D ãVüQ|ü~ n+{≤eTT. Ç<˚$<Ûä+>± 2 – x3, p3, A3 – A2 – A + 5 nH˚$ eT]ø=ìï Á‹|ü]e÷D
ãVüQ|ü<Tä \T.
Á|üj·T‹ï+#·+&ç
@yÓH’ ê eT÷&ÉT Á‹|ü]e÷D, es¡Z ãVüQ|ü<Tä \qT, s¬ +&ÉT sπ Fj·T ãVüQ|ü<Tä \qT $_Ûqï |ü<ë\‘√ sêj·T+&ç.
3 4
eTq+ ãVüQ|ü<Tä \qT @ |ü]e÷D≤ì¬øH’ ê sêj·Te#·TÃ. 7 u 6– u + 4 u2 – 8 nH˚~ 6 e |ü]e÷D
2
ãVüQ|ü~. x10 – 3x8 + 4x5 + 2x2 -1 nH˚~ 10 |ü]e÷D ãVüQ|ü~.
n ˇø£ düV≤ü »dü+K´>± e⁄+&ç x #·ss
¡ ê•‘√ ≈£L&ç n e |ü]e÷D ãVüQ|ü~ì eTq+ sêj·Te#·TÃ.
Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°
 ãVüQ|ü<Tä \T 49

kÕ<Ûës¡D+>±, eTqeTT
p(x) = a0 xn + a1 xn-1 + a2 xn-2 + …….. + an-1 x +an nH˚~ n e |ü]e÷D ãVüQ|ü~
n+{≤eTT. Ç+<äT˝À a0, a1, a2….. an-1, an nH˚$ #·s¡sê• yêdüÔe >∑TDø±\T eT]j·TT a0 ≠ 0

ñ<ëVü≤s¡D≈£î ˇø£ #·ss¡ ê•˝À >∑\ Á|ü<eä∏ T |ü]e÷D ãVüQ|ü~ ax+b ne⁄‘·T+~. Ç+<äT˝À a, b \T
yêdüeÔ dü+K´\T eT]j·TT a ≠ 0.

Á|üj·T‹ï+#·+&ç
1. x #·ss
¡ ê•˝À >∑\ es¡Z ãVüQ|ü~, Á‹|ü]e÷D ãVüQ|ü<Tä \ kÕ<Ûës¡D s¡÷bÕ\qT sêj·T+&ç.
2. n |ü]e÷D+ ø£*–q ˇø£ ãVüQ|ü~ q(z) qT sêj·T+&ç. Ç+<äT˝À #·ss ¡ ê• >∑TDø±\T>± b0...bn
rdüT≈£î+fÒ, yê{ÏøÏ @ ìã+<Ûqä \T e]ÔkÕÔj÷Ó ‘Ó\Œ+&ç.
3.2.2 ãVüQ|ü~ jÓTTø£ÿ $\Te
p(x) = x2 – 2x – 3 nH˚ ãVüQ|ü~ì |ü]o*+#·+&ç. ˇø£ #·s¡sê• $\Te≈£î á ãVüQ|ü~ jÓTTø£ÿ
$\Te @eTÚ‘·T+~? ñ<ëVü≤s¡D≈£î x = 1 nsTTq|ü&ÉT Bì $\Te m+‘·? á ãVüQ|ü~˝À x = 1
Á|ü‹πøå|æ+∫q p(1) = (1)2 – 2(1) – 3 = –4 . Ç~ p(x)˝À >∑\ Á|ü‹|ü<ä+˝À #·s¡sê• x ≈£î ã<äT\T>±
1 Á|ü‹πøå|æ+#·>± e∫Ãq~ n+fÒ x = 1 nsTTq|ü⁄&ÉT x2 – 2x – 3 $\Te – 4 nsTT+~.
Ç<˚$<Ûä+>±, x R 0 $\Te e<ä› p(x) $\Te p(0) = –3 ne⁄‘·T+~.
yêdüÔe dü+K´ nsTTq|ü⁄&ÉT #·s¡sê• ªxμ ≈£î ã<äT\T>± k qT Á|ü‹πøå|æùdÔ e#˚à $\Te p(k) ne⁄‘·T+~.
Bìì p(x) nH˚ ãVüQ|ü~øÏ k e<ä› e#·TÃ $\Te n+{≤eTT.

Ç$ #˚j·T+&ç.
(i) p(x) = x2 – 5x – 6 nsTTq p(1), p(2), p(3), p(0), p(–1), p(–2), p(–3) $\Te\T
ø£qT>=q+&ç.
(ii) p(m) = m2 – 3m + 1 nsTTq p(1) eT]j·TT p(–1) $\Te\T ø£qT>=q+&ç.

3.2.3 ãVüQ|ü~ X¯SHê´\T

x =3 ,– 1 eT]j·TT 2\T e<ä› p(x) = x2 – 2x -3 $\Te\T @$T{Ï?
p(3) = (3)2 – 2(3) – 3 = 9 – 6- 3 = 0
Ç<˚$<Ûä+>± eTq≈£î p(-1) = (-1)2 – 2(-1) - 3 = 1 + 2 – 3 = 0
eT]j·TT p(2) = (2)2 – 2(2) – 3 = 4 – 4 – 3 = -3

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 50 10e ‘·s¡>∑‹ >∑DÏ‘·+

p(3) = 0 eT]j·TT p(-1) = 0

eTq≈£î nsTTq$. n+fÒ x = 3 eT]j·TT x = –1 nH˚$
p(x) = x – 2x -3 nH˚ ãVüQ|ü~ jÓTTø£ÿ X¯SHê´\T
2
nsTTq$.
p(2) ≠ 0 ø±e⁄q 2 nH˚~ p(x) jÓTTø£ÿ ªX¯Sq´+μ ø±˝Ò<äT.
n+<äT#˚, kÕ<Ûës¡D+>± ˇø£ yêdüÔedü+K´ k nH˚~ ãVüQ|ü~ p(x) ≈£î X¯Sq´+ ø±yê\+fÒ
p(k) = 0 ø±yê*.

Ç$ #˚j·T+&ç
(i) p(x) = x2 – 4x + 3 nsTTq p(0), p(1), p(2), p(3) $\Te\T ø£qT>=ì p(x) jÓTTø£ÿ X¯SHê´\T
@y√ ‘Ó\Œ+&ç.
(ii) x2 – 9 nH˚ ãVüQ|ü~øÏ -3 eT]j·TT 3 X¯SHê´\T ne⁄‘êjÓ÷ ø±<√ dü]#·÷&É+&ç.

nuÛ≤´dü+ - 3.1
1. (a) p(x) = 5x7 – 6x5 + 7x - 6 nsTTq øÏ+~ yêìì ø£qT>=q+&ç.
(i) x5 jÓTTø£ÿ >∑TDø£+ (ii) p(x) jÓTTø£ÿ |ü]e÷D+ (iii) dæs
ú |¡ <ü eä TT
(b) eT÷&ÉT yπ̊s«s¡T ãVüQ|ü<Tä \qT Áyêdæ, Á|ü‹ <ëìøÏ eT÷&ÉT Á|üXï¯ \ #=|üq s¡÷bı+~+#·+&ç.
2. øÏ+~ Á|üe#·Hê\˝À @$ dü‘·´+ ? @$ ndü‘·´+ ? ø±s¡D≤\qT ‘Ó\Œ+&ç.
(i) 2 x2– 3x + 1 nH˚ ãVüQ|ü~ |ü]e÷D+ 2 .
(ii) p(x) = 3x3 – 4x2 + 5x + 7 nH˚ ãVüQ|ü~˝À x2 jÓTTø£ÿ >∑TDø£+ 2.
(iii) dæús¡ |ü<ä+ jÓTTø£ÿ |ü]e÷D+ düTqï.
1
(iv) 2 nH˚~ ˇø£ es¡Z ãVüQ|ü~.
x − 5x + 6
(v) ˇø£ ãVüQ|ü~ |ü]e÷DeTT <ëì˝À |ü<ë\ dü+K´ ø£Hêï ˇø£{Ï m≈£îÿe.
3. p(t) = t3 – 1 nsTTq p(1), p(–1), p(0), p(2) eT]j·TT p(–2) $\Te\T ø£qT>=q+&ç.
4. –2 eT]j·TT 2 nH˚$ x4 – 16 nH˚ ãVüQ|ü~øÏ X¯SHê´\T n>∑TH√, ø±<√ dü] #·÷&É+&ç.
5. p(x) = x2 – x – 6 nH˚ ãVüQ|ü~øÏ 3 eT]j·TT –2 nH˚$ X¯SHê´\T n>∑TH√, ø±<√ dü]#·÷&É+&ç.

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 ãVüQ|ü<Tä \T 51

3.3 ãVüQ|ü<äT\‘√ Á|üÁøÏj·T\T

ˇø£ πsFj·T ãVüQ|ü~øÏ ªX¯Sq´eTT\Tμ @$<Ûä+>± ø£qT>=qe˝…H√ Ç~es¡πø H˚s¡TÃ≈£îHêïeTT.
ñ<ëVü≤s¡D≈£î ˇø£ ãVüQ|ü~ p(x) = 2x + 5 q≈£î ªkμ nH˚~ ˇø£ X¯Sq´eTT. nq>± p(k) =0 n|ü&ÉT
−5
2k +5 = 0 i.e., k = n>∑TqT.
2
n+<äT#˚ kÕ<Ûës¡DeTT>± p(x) = ax+b nH˚ ãVüQ|ü~øÏ ªkμ ˇø£ X¯Sq´+ nsTT‘˚
−b −b
p(k) = ak + b = 0, i.e., k = n>∑TqT. ˝Ò<ë ax + b nH˚ πsFj·T ãVüQ|ü~ X¯Sq´ $\Te
a a
n>∑TqT.
Bì qT+&ç eTq≈£î πsFj·T ãVüQ|ü~ X¯Sq´$\Te nH˚~ <ëì #·s¡sê• >∑TDø±\≈£î, dæús¡|ü<ëìøÏ
dü+ã+<Ûä+ ø£*Z e⁄qï<äì ‘Ó\TdüTÔqï~.
Ç<˚ $<ÛäeTT>± m≈£îÿe |ü]e÷DeTT ø£*–q ãVüQ|ü<äT\ X¯Sq´$\Te\≈£î yê{Ï #·s¡sê• >∑TDø±\‘√
@yÓTÆHê dü+ã+<Ûä+ ø£*– e⁄+&ÉTHê? Bì >∑÷]à MT ùdïVæ≤‘·T\˝À #·]Ã+#·+&ç. eTq+ Bì >∑T]+∫ eTs¡˝≤
#·]Ã<ë›eTT.
3.4 ãVüQ|ü~ X¯SHê´\≈£î C≤´$Trj·T nsêú\T
p(x) ãVüQ|ü~, k ˇø£ yêdüÔe dü+K´ nsTTq p(k) = 0 nsTT‘˚ ªkμ qT ãVüQ|ü~ X¯Sq´+ n+{≤s¡ì MTs¡T
‘Ó\TdüT≈£îHêïs¡T. Ç|ü&ÉT πsFj·T eT]j·TT es¡ZãVüQ|ü<äT\qT πsU≤ ∫Á‘ê\˝À ÁbÕ‹ì<Ûä´ |üs¡T#·T≥ <ë«sê,
Äj·÷ ãVüQ|ü<äT\ X¯SHê´\≈£î C≤´$Trj·T nsêú\qT ‘Ó\TdüT≈£î+<ëeTT.

3.4.1. s
π Fj·T ãVüQ|ü~ jÓTTø£ÿ sπ U≤ ∫Á‘·eTT
ax + b, a ≠ 0 nH˚ πsFj·T ãVüQ|ü~ì |ü]o*+#·+&ç. y = ax + b nH˚ ãVüQ|ü~ πsU≤ ∫Á‘·eTT ˇø£
düs¡fi¯πsK nì MTs¡T 9 e ‘·s¡>∑‹˝À ‘Ó\TdüT≈£îHêïs¡T. ñ<ëVü≤s¡D≈£î y = 2x + 3 nH˚ ãVüQ|ü~ πsU≤∫Á‘·+
ˇø£ düs¡fi¯πsK eT]j·TT Ç~ y-nø£å+qT (0, 3) e<ä› K+&çdü÷Ô (–2, –1) eT]j·TT (2, 7) _+<äTe⁄\>∑T+&Ü
b˛‘·Tqï~.
|ü{Ϻø£ 3.1
x –2 0 2

y = 2x + 3 –1 3 7
(x, y) (–2, –1) (0, 3) (2, 7)

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 52 10e ‘·s¡>∑‹ >∑DÏ‘·+

sπ U≤∫Á‘êìï eTq+ |ü]o*ùdÔ Y

y = 2x + 3 nH˚ ãVüQ|ü~ jÓTTø£ÿ 7
(2, 7)
πsU≤ x-nøå±ìï x = –1 6
5
eT]j·TT x = –2 \ eT<Ûä´ qT+&ç
4
−3
K+&ç d ü ÷ Ô ( , 0) >∑ T +&Ü 3 (0, 3)
2
2
−3 ⎛ −3 ⎞
⎜ 2 ,0⎟ 1
b˛‘·Tqï~. nsTT‘˚ x= nH˚~ ⎝ ⎠
2 X' X
0
2x + 3 nH˚ ãVüQ|ü~ jÓTTø£ÿ X¯Sq´ -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
-1
1 2 3 4 5 6 7
$\Te nì MTs¡T Á>∑Væ≤+#·e#·TÃ. (-2, -1)
-2
n+fÒ ãVüQ|ü~ 2x + 3 jÓTTø£ÿ -3
X¯Sq´$\Te Bì πsU≤∫Á‘·eTT x- -4
nøå±ìï K+&ç+#˚ _+<äTe⁄˝À x- -5
ìs¡÷|üø£eTT nsTT q~. -6
-7
Y'

Ç$ #˚j·T+&ç
(i) y = 2x + 5, (ii) y = 2x – 5, (iii) y = 2x nqT ãVüQ|ü<äT\≈£î πsU≤∫Á‘ê\T ^j·T+&ç. á
πsK\T x-nøå±ìï K+&ç+#˚ _+<äTe⁄\T ø£qT>=q+&ç. M{Ï x- ìs¡÷|üø±\T ãVüQ|ü<äT\ X¯Sq´$\Te˝ÒHê?

eTqeTT ax + b, a ≠ 0 nH˚ πsFj·T ãVüQ|ü~ì rdüT≈£î+fÒ y = ax + b nH˚ πsU≤∫Á‘·eTT

⎛ −b ⎞
x-nø£å+qT K∫Ñ·+>± ˇπø _+<äTe⁄ ⎜⎜⎜⎝ , 0⎟⎟⎟ e<ä› K+&çdüTÔ+<äì kÕ<Ûës¡D+>± #ÓãT‘êeTT.
a ⎠

ø±e⁄qax + b, a ≠ 0 nH˚ πsFj·T ãVüQ|ü~øÏ ˇπø ˇø£ X¯Sq´$\Te n+fÒ <ëì πsU≤∫Á‘·eTT
y = ax + b, x - nø£å+qT K+&ç+#˚ _+<äTe⁄ jÓTTø£ÿ x - ìs¡÷|üø£eTT nì #Ó|üŒe#·TÃqT.
3.4.2. es¡ãZ VüQ|ü~ jÓTTø£ÿ sπ U≤∫Á‘·eTT
es¡ZãVüQ|ü~ jÓTTø£ÿ X¯SHê´\≈£î ‘·–q C≤´$Trj·T nsêúìï eTq+ Ç|ü&ÉT ‘Ó\TdüT≈£î+<ë+. x2 – 3x – 4 nH˚
es¡ZãVüQ|ü~ì |ü]o<ë›eTT. Bì jÓTTø£ÿ πsU≤∫Á‘·+ @ $<Ûä+>± ñ+≥T+<√ #·÷<ë›eTT. Bìø=s¡≈£î
y = x2 – 3x – 4 nH˚ ãVüQ|ü~˝À x jÓTTø£ÿ $\Te\≈£î ‘·–q y $\Te\T ø£qT>=+<ëeTT. |ü{Ϻø£ 3.2 qT
|ü]o*+#·+&ç.

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 ãVüQ|ü<Tä \T 53

|ü{Ϻø£ 3.2
x –2 –1 0 1 2 3 4 5

y = x2 – 3x – 4 6 0 –4 –6 –6 –4 0 6
(x, y) (– 2, 6) (– 1, 0) (0, 4) (1, – 6) (2, – 6) (3, – 4) (4, 0) (5, 6)

Y
Á>±|òt ø±–‘·+ô|’ |ü{Ϻø£˝À >∑\ 7
_+<äTe⁄\qT Á|ü‹øπ |å +æ ∫, Áø£eT+˝À (-2, 6)
6 (5, 6)
ø£*|æ #·÷<ë›eTT. áes¡Z ãVüQ|ü~ 5
jÓ T Tø£ ÿ π s U≤∫Á‘· + dü s ¡ fi ¯ π s K
4
nsTTq<ë? Ç~ ˇø£
3
Äø±s¡+˝À >∑\ eÁø£eTT>± e∫Ã+~.
2
Ç~ x-nø£å+qT ¬s+&ÉT _+<äTe⁄\
1
e<ä› K+&ç+∫+~. (-1, 0) (4, 0)
X' X
0
nsTT‘˚ ax 2 + bx + c, -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
-1 1 2 3 4 5 6 7
a ≠ 0 s¡ ÷ |ü + ˝À >∑ \ @es¡ Z -2
ãVüQ|ü~ jÓTTø£ÿ düMTø£s¡D s¡÷|ü+ -3
y = ax 2 + bx + c jÓ T Tø£ ÿ
(0, -4) -4 (3, -4)
π s U≤∫Á‘· e TT nsTTHê ª μ -5
Äø±s¡+˝À ô|’yÓ’|ü⁄q≈£î >±ì, ª μ -6 (2, -6)
Äø±s¡+˝À ÁøÏ+~ yÓ’|ü⁄q≈£î >±ì (1, -6)
-7
e#·TÃ eÁø£eTT>± e⁄+≥T+~. á Y'
Äø±s¡+ a > 0 ˝Ò<ë a < 0 $\Te\ô|’ Ä<Ûës¡|ü&ç e⁄+≥T+~. (á eÁø±\qT eTq+ |üsêe\j·÷\T
n+{≤eTT)
á ãVüQ|ü~ jÓTTø£ÿ X¯SHê´\T -1 eT]j·TT `4 nì eTq+ >∑eTìkÕÔ+. n<˚$<Ûä+>± eÁø£eTT
x-nøå±ìï K+&ç+∫q _+<äTe⁄\ x- ìs¡÷|üø±\T `1 eT]j·TT 4 >± eTq+ >∑eTì+#·e#·TÃqT. n+fÒ
x2 – 3x – 4 es¡ZãVüQ|ü~ jÓTTø£ÿ X¯SHê´\T, á es¡Z ãVüQ|ü~ jÓTTø£ÿ πsU≤∫Á‘·eTT x-nøå±ìï K+&ç+∫q
_+<äTe⁄\T x-ìs¡÷|üø±\T nsTTq$.
n+<äT#˚, eTqeTT kÕ<Ûës¡D+>± ax2 + bx + c, a ≠ 0 nH˚ es¡Z ãVüQ|ü~ jÓTTø£ÿ X¯SHê´\T,á
es¡Z ãVüQ|ü~ düMTø£s¡D+ y = ax2 + bx + c jÓTTø£ÿ πsU≤∫Á‘·eTT x-nøå±ìï K+&ç+#·Tq|ü&ÉT @s¡Œ&ÉT
_+<äTe⁄\ x-ìs¡÷|üø±\T ne⁄‘êj·Tì #Ó|üŒe#·TÃqT.

Á|üj·T‹ï+#·+&ç.
(i) y = x2 – x – 6 (ii) y = 6 – x – x2
\≈£î πsU≤∫Á‘ê\T ^j·T+&ç. Á|ü‹ dü+<äs¡“¤+˝Àq÷
ãVüQ|ü~ X¯SHê´\qT ø£qT>=q+&ç. MTs¡T @$T >∑eTì+#ês¡T?
Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°
 54 10e ‘·s¡>∑‹ >∑DÏ‘·+

eTq+ eTT+<äT>± |ü]o*+∫q <ëìì ã{Ϻ y = ax2 + bx + c jÓTTø£ÿ πsU≤∫Á‘· dæú‹ ‘Ó*ù| eT÷&ÉT
dü+<äsꓤ\T>± eØZø£]+#·e#·TÃqT.
dü+<äs¡“¤+ (i) : á dü+<äs¡“¤+˝À πsU≤∫Á‘·eTT x-nø£å+qT A eT]j·TT A′ nqT ¬s+&ÉT y˚πs«s¡T _+<äTe⁄\ e<ä›
K+&ç+∫+~. n+<äT#˚ á dü+<äs¡“¤+˝À A eT]j·TT A′ _+<äTe⁄\ x ìs¡÷|üø±\qT es¡ZãVüQ|ü~
ax2+bx +c q≈£î ¬s+&ÉT X¯SHê´\T n>∑TqT. á |üsêe\j·TeTT ô|’yÓ’|ü⁄q≈£î >±ì, ÁøÏ+~ yÓ’|ü⁄q≈£î >±ì
$düÔ]+#·ã&ç e⁄+&Ée#·TÃqT.
Y Y

A
X' X X' X
O A' A' O A

Y' Y'
(i) (ii)
dü+<äs¡“¤+ (ii) : á dü+<äs¡“¤eTT˝À πsU≤∫Á‘·eTT x-nø£å+qT ˇπø ˇø£ _+<äTe⁄ e<ä› ‘ê≈£î‘·T+~. nq>± ¬s+&ÉT
_+<äTe⁄\T @ø°uÛÑ$kÕÔsTT. n+<äT#˚ dü+<äs¡“¤+ (i)˝À #·÷|æqq≥T¢ A eT]j·TT A′ _+<äTe⁄\T ¬s+&ÉTq÷
@ø°uÛÑ$+∫ ˇπø _+<äTe⁄ ªAμ>± e÷s¡‘êsTT.
Y Y

X' A X X' X
O O A

Y' Y'
(i) (ii)
n+<äT#˚ á dü+<äs¡“¤+˝À _+<äTe⁄ ªAμ jÓTTø£ÿ x-ìs¡÷|üø£eTT es¡ZãVüQ|ü~ ax2 + bx + c jÓTTø£ÿ ˇπøˇø£
X¯Sq´eTT n>∑TqT.
Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°
 ãVüQ|ü<Tä \T 55

dü+<äs¡“¤eTT (iii) : Ç#·Ã≥, πsU≤∫Á‘·eTT |üP]Ô>± x-nø£å+q≈£î |üP]Ô>± ô|’q >±ì ˝Ò<ë ÁøÏ+<ä≈£î >±ì e⁄+&ç
x-nø£å+qT @ _+<äTe⁄ e<ä›q÷ K+&ç+#·˝Ò<äT.

Y Y

X' O X X' O X

Y' Y'
(i) (ii)
n+<äT#˚ es¡ZãVüQ|ü~ ax2 + bx + c q≈£î á dü+<äs¡“¤eTT˝À ªX¯Sq´eTTμ ìs¡«∫+|üã&É<äT.
ô|’q ‘Ó*Œq eT÷&ÉT dü+<äs¡“¤eTT\qT ã{Ϻ es¡ZãVüQ|ü~ì eTq+ C≤´$Trj·T+>± |ü]o*+∫q BìøÏ ¬s+&ÉT
X¯SHê´\T >±ì, (n+fÒ ˇπø ˇø£X¯Sq´+) ˝Ò<ë X¯SHê´\T ˝Òø£b˛e#·TÃqì ‘Ó\TdüTÔ+~. n+<äT#˚ ¬s+&Ée
|ü]e÷D ãVüQ|ü~øÏ n‘·´~Ûø£+>± ¬s+&ÉT X¯SHê´\T e÷Á‘·y˚T e⁄+{≤j·Tì #Ó|üŒe#·TÃqT.

Á|üj·T‹ï+#·+&ç
1. s¬ +&ÉT X¯SHê´\T ø£*–q @y˚ì eT÷&ÉT ãVüQ|ü<Tä \qT Áyêj·T+&ç.
2. ˇπø ˇø£ X¯Sq´+ ø£*–q ˇø£ ãVüQ|ü~ì Áyêj·T+&ç.
3. ˇø£ ãVüQ|ü~øÏ ˇπø ˇø£ X¯Sq´eTT e⁄+fÒ <ëìì @$<Û+ä >± ìs¡÷|ækÕÔe⁄?
4. yêdüeÔ dü+K´ ªxμ ø£*– e⁄+&ç X¯Sq´+ ˝Òì ãVüQ|ü<Tä \qT @yÓH’ ê eT÷&ç+{Ïì sêj·T+&ç.

3.4.3 |òTü qãVüQ|ü<Tä \ X¯SHê´\≈£î C≤´$Trj·T uÛ≤eeTT

|òüTqãVüQ|ü<äT\ X¯SHê´\qT C≤´$Trj·T+>± ns¡ú+ #˚düTø=qT≥˝À ˙e⁄ @$T Ä•kÕÔe⁄? Ç~
@$<Ûä+>± kÕ<Ûä´yÓ÷ |ü]o*<ë›eTT. ˇø£ |òüTqãVüQ|ü~ x3 – 4x qT rdüT≈£î+<ëeTT. y = x3 – 4x jÓTTø£ÿ
πsU≤∫Á‘·eTT |ü]o*ùdÔ Bì nsêúìï >∑eTì+#·e#·TÃ. |ü{Ϻø£ 3.3 ˝À Ç∫Ãq $<Ûä+>± #·s¡sê• ªxμ ≈£î ø=ìï
$\Te\qT Ç∫Ã<ëìøÏ ‘·–q ªyμ $\Te\T ø£qT>=+<ëeTT.

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 56 10e ‘·s¡>∑‹ >∑DÏ‘·+

|ü{Ϻø£ 3.3
x –2 –1 0 1 2
y = x3 – 4x 0 3 0 –3 0
(x, y) (–2, 0) (–1, 3) (0, 0) (1, –3) (2, 0)

eTq+ |ü{Ϻø£qT |ü]o*ùdÔ |òüTq Y

7
ãVüQ|ü~ x3 – 4x jÓTTø£ÿ
6
X¯SHê´\T –2, 0 eT]j·TT 2 nì
5
‘Ó \ Tdü T Ô q ï~. Bì π s U≤∫Á‘· + 4
(-1, 3)
y = x3 – 4x qT ^ùdÔ, πsU≤∫Á‘·+˝À 3
^j·Tã&çq eÁø£eTT x`nø£å+qT 2
K+&ç+#˚ _+<äTe⁄\ x-ìs¡÷|üø±\T (-2, 0)
1
(2, 0)
` 2, 0 eT]j· T T 2 >± ø£ \ e⁄. X' X
0
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
n+<äT#˚ á ãVüQ|ü~øÏ eT÷&ÉT -1
-2
X¯SHê´\ì #Ó|üŒe#·TÃ.
-3
eT]ìï ñ<ëVü≤s¡D\T rdüTø=ì -4 (1, -3)
|ü]o*<ë›eTT. x3 eT]j·TT x3 – x2 -5
nH˚ |òTü q ãVüQ|ü<Tä \qT rdüTø=+&ç. -6
|ü{Ϻø£ 3.4 eT]j·TT 3.5 \qT -7
Y'
|ü]o*+#·+&ç.

|ü{Ϻø£ 3.4
x –2 –1 0 1 2

y = x3 –8 –1 0 1 8
(x, y) (–2, –8) (–1, –1) (0, 0) (1, 1) (2, 8)

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 ãVüQ|ü<Tä \T 57

|ü{Ϻø£ 3.5
x –2 –1 0 1 2
y = x3 – x2 –12 –2 0 0 4
(x, y) (–2, –12) (–1, –2) (0, 0) (1, 0) (2, 4)

Y (2, 8) Y
7 7
6 6
5 5
(2, 4)
4 4
3 3
2 2
1 (1, 1) 1
X' (0, 0) X X' (1, 0) X
0 0
-4 -3 -2 -1-1 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1-1 1 2 3 4
(-1, -1)
(-1, -2)
-2 -2
-3 -3
-4 -4
-5 -5
-6 -6
-7 -7
(-2, -8) Y' Y'
y = x3 y = x3 – x2
y = x3 πsU≤∫Á‘·eTT |ü]o*ùdÔ, Ç~ x-nøå±ìï ˇπø ˇø£ _+<äTe⁄ e<ä› K+&ç+∫+~. eT]j·TT Bì
x`ìs¡÷|üø£eTT ªdüTqïμ n+<äT#˚ á ãVüQ|ü~øÏ ˇπø ˇø£ X¯Sq´eTT e∫Ãq~. Ç<˚ $<Ûä+>± y = x3 – x πsU≤
∫Á‘êìï |ü]o*ùdÔ, á eÁø£+ x- nøå±ìï ¬s+&ÉT _+<äTe⁄\ e<ä› K+&çùdÔ yê{Ï x-ìs¡÷|üø±\T 0 eT]j·TT 1
nsTTq$. n+<äT#˚ á dü+<äs¡“¤+˝À |òüTqãVüQ|ü~øÏ ¬s+&ÉT X¯SHê´\T sêe&É+ »]–+~.
ô|’q #·÷|æq ñ<ëVü≤s¡D\qT eTqeTT |ü]o*ùdÔ ˇø£ |òüTqãVüQ|ü~øÏ >∑]wü˜eTT>± eT÷&ÉT X¯SHê´\T
e∫Ãq$. Bì qT+&ç eTqeTT @<Ó’q eT÷&Ée |ü]e÷D ãVüQ|ü~øÏ >∑]wü˜+>± eT÷&ÉT X¯SHê´\T ñ+{≤j·Tì
#Ó|Œü e#·TÃqT.

Á|üj·T‹ï+#·+&ç.
πsU≤∫Á‘ê\T ^j·T≈£î+&ÜH˚ ~>∑Te |òüTqãVüQ|ü<äT\≈£î X¯SHê´\qT ø£qT>=q+&ç
(i) – x3 (ii) x2 – x3 (iii) x3 – 5x2 + 6x.

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 58 10e ‘·s¡>∑‹ >∑DÏ‘·+

>∑eTìø£ : n e |ü]e÷DeTT ø£*–q ˇø£ ãVüQ|ü~ p(x) jÓTTø£ÿ πsU≤∫Á‘·eTT nq>± y = p(x) nH˚~ x-nø£å+
qT >∑]wü˜+>± n _+<äTe⁄\ e<ä› K+&çdüTÔ+<äì #Ó|üŒe#·TÃ. n+<äT#˚ n e |ü]e÷D+ >∑\ ˇø£ ãVüQ|ü~ p(x)
q≈£î >∑]wü˜+>± ªnμ X¯SHê´\T+{≤sTT.
ñ<ëVü≤s¡D-1. ÁøÏ+~ |ü≥eTT\˝À Çe«ã&çq πsU≤∫Á‘ê\qT >∑eTì+#·+&ç. Á|ü‹ πsU≤∫Á‘·+ y = p(x) q+<äT
p(x) nH˚~ ˇø£ ãVüQ|ü~. Á|ü‹dü+<äs¡“¤eTT˝Àq÷ x yê´|æÔ‘√ ≈£L&çq ãVüQ|ü~ p(x) q≈£î X¯SHê´\T dü+K´qT
ø£qT>=q+&ç.
Y Y Y

X' O X X' O X X' O X

Y' Y' Y'

(i) (ii) (iii)
Y Y Y

X' O X X' O X X' O X

Y' Y' Y'

(iv) (v) (vi)

kÕ<Ûäq : ô|’q #·÷|æq |ü{≤\˝À x yê´|æÔ‘√ ≈£L&çq πsU≤∫Á‘ê\î

(i) πsU≤∫Á‘·+ x-nø£å+qT ˇø£ _+<äTe⁄qT K+&ç+∫+~. ø±e⁄q X¯SHê´\ dü+K´ 1
(ii) πsU≤∫Á‘·+ x-nø£å+qT ¬s+&ÉT _+<äTe⁄\ e<ä› K+&ç+∫+~. ø±e⁄q X¯SHê´\ dü+K´ 2
(iii) X¯SHê´\ dü+K´ 3. (@$<Û+
ä >± ?)
(iv) X¯SHê´\ dü+K´ 1. (@$<Ûä+>± ?)
(v) X¯SHê´\ dü+K´ 1. (@$<Ûä+>± ?)
(vi) X¯SHê´\ dü+K´ 4. (@$<Ûä+>± ?)

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 ãVüQ|ü<Tä \T 59

ñ<ëVü≤s¡D-2. ÁøÏ+~ ãVüQ|ü<äT\≈£î X¯SHê´\ dü+K´qT ø£qT>=q+&ç eT]j·TT yê{Ï $\Te\qT ‘Ó\|ü+&ç.
(i) p(x) = 2x + 1 (ii) q(y) = y2 – 1 (iii) r(z) = z3

kÕ<Ûäq : ãVüQ|ü<äT\ πsU≤∫Á‘ê\T ^j·T≈£î+&ÜH˚ eTq+ X¯SHê´\qT ø£qT>=+<ëeTT.

(i) p(x) = 2x + 1 nH˚~ ˇø£ πsFj·T ãVüQ|ü~ ø±e⁄q BìøÏ ˇπø ˇø£ X¯Sq´+ e⁄+≥T+~.
p(x) = 0 rdüTø=+&ç.

n+fÒ, 2x + 1= 0

−1
ø±e⁄q x= n>∑TqT.
2

−1
n+<äT#˚ Ç∫Ãq ãVüQ|ü~ jÓTTø£ÿ X¯Sq´+ .
2

(ii) q(y) = y2 – 1 nH˚~ ˇø£ es¡ZãVüQ|ü~.

ø±e⁄q BìøÏ >∑]wü˜+>± ¬s+&ÉT X¯SHê´\T ñ+{≤sTT.
q(y) = 0 nqTø√+&ç

⇒ y2 – 1 = 0

⇒ (y + 1) (y – 1) = 0

⇒ y = –1 ˝Ò<ë y = 1

n+<äT#˚ Ç∫Ãq ãVüQ|ü~ jÓTTø£ÿ X¯SHê´\T –1 eT]j·TT 1 nsTTq$.

(iii) r(z) = z3 nH˚~ ˇø£ |òüTq ãVüQ|ü~ ø±e⁄q BìøÏ >∑]wü˜+>± eT÷&ÉT X¯SHê´\T+{≤sTT.
r(z) = 0 nqTø=q+&ç

⇒ z3 = 0

n+<äT#˚, Ç∫Ãq ãVüQ|ü~ jÓTTø£ÿ X¯Sq´eTT ªdüTqïμ nsTTq~.

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 60 10e ‘·s¡>∑‹ >∑DÏ‘·+

nuÛ≤´dü+ – 3.2
1. ø=ìï ãVüQ|ü<äT\T p(x) jÓTTø£ÿ πsU≤ ∫Á‘ê\T y = p(x) jÓTTø£ÿ |ü{≤\T ~>∑Te Çe«ã&çq$. p(x)
jÓTTø£ÿ X¯SHê´\ dü+K´qT |ü{≤\T |ü]o*+∫ ‘Ó\|ü+&ç.
Y Y Y

X' O X X' O X X' O X

Y' Y' Y'

(i) (ii) (iii)

Y Y Y

X' O X X' O X X' O X

Y' Y' Y'

(iv) (v) (vi)

2. øÏ+~ ãVüQ|ü<äT\ X¯SHê´\qT ø£qT>=q+&ç.
(i) p(x) = 3x (ii) p(x) = x2 + 5x + 6
(iii) p(x) = (x+2) (x+3) (iv) p(x) = x4 – 16
3. øÏ+~ ãVüQ|ü<äT\≈£î ‘·–q πsU≤∫Á‘ê\qT ^∫, X¯SHê´\qT ø£qT>=q+&ç. |òü*‘ê\qT düeT]ú+#·+&ç.
(i) p(x) = x2 – x – 12 (ii) p(x) = x2 – 6x + 9
(iii) p(x) = x2 – 4x + 5 (iv) p(x) = x2 + 3x – 4
(v) p(x) = x2 – 1

1
4. p(x) = 4x2 + 3x –1 nH˚ ãVüQ|ü~øÏ eT]j·TT –1 nH˚$ X¯SHê´\T @$<Ûä+>± n>∑TH√
4
‘Ó\|ü+&ç.

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 ãVüQ|ü<Tä \T 61

3.5 ˇø£ ãVüQ|ü~ >∑TDø±\≈£î, X¯SHê´\≈£î eT<Ûä´dü+ã+<ÛäeTT

b
ax + b nH˚ sπ Fj·T ãVüQ|ü~ jÓTTø£ÿ X¯Sq´eTT – a nì MTs¡T Ç~ es¡≈î£ ‘Ó\TdüT≈£îHêïs¡T. Ç|ü&ÉT
eTqeTT es¡ZãVüQ|ü~ jÓTTø£ÿ >∑TDø±\≈£î, X¯SHê´\≈£î >∑\ dü+ã+<Ûëìï sêã≥º&ÜìøÏ Á|üj·T‹ï<ë›eTT. Bì
ø=s¡≈£î ˇø£ es¡ZãVüQ|ü~ p(x) = 2x2 – 8x + 6 qT rdüTø=+<ëeTT.
es¡Z ãVüQ|ü<äT\ eT<Ûä´ |ü<ëìï $&ÉBj·TT≥ <ë«sê ø±s¡D≤+ø£ $uÛÑ»q #˚j·T&ÉeTT eTq+ 9 e
‘·s¡>∑‹˝À H˚s¡TÃ≈£îHêïeTT. n+<äT#˚ Çe«ã&çq es¡ZãVüQ|ü~˝À eT<Ûä´|ü<äeTT ‘–8x’ qT ¬s+&ÉT |ü<ë\T>±
$uÛÑõ<ë›eTT. M{Ï \ã›+ 6 × 2x2 = 12 x2 ø±yê*.
n+<äT#˚ eTqeTT 2x2 – 8x + 6 = 2x2 – 6x – 2x + 6 = 2x(x – 3) – 2(x – 3)
= (2x – 2) (x – 3) = 2(x – 1) (x – 3)
p(x) = 2x2 – 8x + 6 X¯Sq´eTT ø±yê\+fÒ x – 1 = 0 ˝Ò<ë x – 3 = 0 ø±yê*. n+fÒ x = 1 ˝Ò<ë
x = 3 n>∑TqT. n+<äT#˚ 2x2 – 8x + 6 jÓTTø£ÿ X¯SHê´\T 1 eT]j·TT 3 nsTTq$. Ç|ü&ÉT eTqeTT á
X¯SHê´\≈£î, es¡ZãVüQ|ü~ jÓTTø£ÿ >∑TDø±\≈£î m≥Te+{Ï dü+ã+<ÛäeTT ø£*– e⁄qï<√ |ü]o*<ë›eTT. Ç#·Ã≥
x2 jÓTTø£ÿ >∑TDø£eTT 2, x >∑TDø£eTT –8 eT]j·TT dæús¡|ü<äeTT 6 n+fÒ x0 jÓTTø£ÿ >∑TDø£eTT nqïe÷≥
(nq>± 6x0 = 6)

−(−8) −(x jÓTTø£ÿ >∑TDø£eTT)

Ç#·Ã≥ ãVüQ|ü~ X¯SHê´\ yÓTT‘·ÔeTT = 1 + 3 = 4 = 2
= 2
x jÓTTø£ÿ >∑TDø£eTT

6 dæús¡|ü<äeTT
ãVüQ|ü~ X¯SHê´\ \ã›eTT = 1 × 3 = 3 = =
2 x2 jÓTTø£ÿ >∑TDø£eTT
eTq+ Ç|ü&ÉT eTs=ø£ es¡ZãVüQ|ü~ì rdüTø=ì |ü]o*<ë›eTT.
p(x) = 3x2 + 5x – 2.
eT<Ûä´|ü<äeTTqT $&ÉBdæ sêj·T>±, eTq≈£î
3x2 + 5x – 2 = 3x2 + 6x – x – 2 = 3x(x + 2) – 1(x + 2)
= (3x – 1) (x + 2)
3x + 5x – 2 X¯Sq´eTT ø±yê\+fÒ 3x – 1 = 0 ˝Ò<ë x + 2 = 0
2
ø±yê*
1
n+fÒ x = 3 ˝Ò<ë x = –2 n>∑TqT.
1
n+<äT#˚ 3x2 + 5x – 2 jÓTTø£ÿ X¯SHê´\T 3 eT]j·TT –2
M{Ï qT+&ç eTqeTT ~>∑Te dü+ã+<ÛäeTT #·÷&Ée#·TÃ.
1 − 5 −(x jÓTTø£ÿ >∑TDø£eTT)
X¯SHê´\ yÓTT‘·eÔ TT = 3
+ (-2) =
3
= 2
x jÓTTø£ÿ >∑TDø£eTT
1 −2 dæús¡|ü<äeTT
X¯SHê´\ yÓTT‘·eÔ TT = 3
× (-2) =
3
= 2
x jÓTTø£ÿ >∑TDø£eTT

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 62 10e ‘·s¡>∑‹ >∑DÏ‘·+

Ç$ #˚j·T+&ç
~>∑Te Çe«ã&çq es¡Z ãVüQ|ü<Tä \ jÓTTø£ÿ X¯SHê´\qT ø£qT>=q+&ç. Ç<˚$<Û+ä >± X¯SHê´\ yÓTT‘·eÔ TT
eT]j·TT \ã›eTTqT ø£qT>=ì, ãVüQ|ü~ |ü<ë\ >∑TDø±\≈£î eT<Ûä´q >∑\ dü+ã+<Ûëìï dü]#·÷&É+&ç.
(i) p(x) = x2 – x – 6 (ii) p(x) = x2 – 4x + 3
(iii) p(x) = x2 – 4 (iv) p(x) = x2 + 2x + 1
eTq+ kÕ<Ûës¡DeTT>±, es¡ZdüMTø£s¡DeTT p(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) q≈£î X¯SHê´\T α eT]j·TT
β \T nsTTq#√
(x – α) eT]j·TT (x – β) \qT p(x) jÓTTø£ÿ ø±s¡D≤+ø±\T n>∑TqT.
ø±e⁄q ax2 + bx + c = k (x – α) (x – β), k ˇø£ dæúsê+ø£eTT
= k[x2 – (x + β) x + αβ]
= k x2 – k (α + β) x + k α β
Bìì es¡ZãVüQ|ü~˝À x2, x >∑TDø±\T eT]j·TT dæús¡|ü<äeTT‘√ b˛\Ã>±, eTq≈£î
a = k, b = – k(α+β) eT]j·TT c = kαβ e#·TÃqT.

−b
BìqT+&ç α + β = a
,

c
αβ = nsTTq$.
a
>∑eTìø£ : α eT]j·TT β nH˚$ Á^≈£î nø£åsê\T. M{Ïì ªÄ˝≤Œ¤μ eT]j·TT ª;{≤μ nì #·<äTe⁄‘êeTT.
Ç<˚$<Û+ä >± eTs=ø£ nø£så e¡ TT ‘γ’ qT ≈£L&Ü eTqeTT $ìjÓ÷–kÕÔeTT. Bìì ª>±e÷μ nì #·<Tä e⁄‘êeTT.
−b −(x jÓTTø£ÿ >∑TDø£eTT)
ø±e⁄q, es¡ZãVüQ|ü~ jÓTTø£ÿ X¯SHê´\ yÓTT‘·ÔeTT = α + β = =
a x2 jÓTTø£ÿ >∑TDø£eTT

c dæús¡|ü<äeTT
es¡ZãVüQ|ü~ jÓTTø£ÿ X¯SHê´\ \ã›eTT = αβ = a
= 2
x jÓTTø£ÿ >∑TDø£eTT
øÏ+~ ø=ìï ñ<ëVü≤s¡D\qT |ü]o*<ë›eTT
ñ<ëVü≤s¡D-3. x2 + 7x + 10 nH˚ es¡ZãVüQ|ü~ jÓTTø£ÿ X¯SHê´\qT ø£qT>=ì, X¯SHê´\≈£î, ãVüQ|ü~
>∑TDø±\≈£î dü+ã+<Ûëìï dü]#·÷&É+&ç.
kÕ<Ûäq : eTq≈£î x2 + 7x + 10 = (x + 2) (x + 5) n>∑TqT.

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 ãVüQ|ü<Tä \T 63

ø±e⁄q, x2 + 7x + 10 jÓTTø£ÿ
$\Te X¯Sq´+ ø±yê\+fÒ
x + 2 = 0 ˝Ò<ë x + 5 = 0 ø±yê*
n+fÒ x = –2 ˝Ò<ë x = –5 n>∑TqT.
ø±e⁄q x2 + 7x + 10 jÓTTø£ÿ X¯SHê´\T –2 eT]j·TT –5 n>∑TqT.
−(7) −(x jÓTTø£ÿ >∑TDø£eTT)
Ç|ü&ÉT, X¯SHê´\ yÓTT‘·ÔeTT = –2 + (–5) = – (7) = 1
= 2
x jÓTTø£ÿ >∑TDø£eTT

10 dæús¡|ü<äeTT
X¯SHê´\ \ã›eTT= –2 × (–5) = 10 = 1
= 2
x jÓTTø£ÿ >∑TDø£eTT
ñ<ëVü≤s¡D-4. x2 – 3 nH˚ ãVüQ|ü~ jÓTTø£ÿ X¯SHê´\T ø£qT>=ì, X¯SHê´\≈£î ãVüQ|ü~ >∑TDø±\≈£î eT<Ûä´>∑\
dü+ã+<Ûëìï dü]#·÷&É+&ç.
kÕ<Ûäq : a2 – b2 = (a – b) (a + b) nH˚ düs¡«düMTø£s¡D+ >∑Ts¡TÔ≈£î ‘Ó#·TÃø√+&ç.
Bì qT|üjÓ÷–+∫
x2 – 3 = (x – 3 ) (x + 3) nì Áyêj·Te#·TÃ.
ø±e⁄q x2 – 3 jÓTTø£ÿ X¯SHê´\T x= 3 ˝Ò<ë x= – 3.

á $<Ûä+>±, x2 – 3 jÓTTø£ÿ X¯SHê´\T 3 eT]j·TT – 3 ne⁄‘êsTT..

−(x jÓTTø£ÿ >∑TDø£eTT)
Ç|ü&ÉT, X¯SHê´\ yÓTT‘·eÔ TT = 3 + (– 3 ) = 0 =
x2 jÓTTø£ÿ >∑TDø£eTT

−3 dæús¡|ü<äeTT
X¯SHê´\ \ã›eTT = ( 3 ) × (– 3)=–3= = 2
1 x jÓTTø£ÿ >∑TDø£eTT
ñ<ëVü≤s¡D-5. ˇø£ es¡Z ãVüQ|ü~ jÓTTø£ÿ X¯SHê´\T yÓTT‘·ÔeTT eT]j·TT \ã›eTT es¡Tdü>± –3 eT]j·TT 2
nsTTq Ä es¡Z ãVüQ|ü~ì ø£qT>=q+&ç.
kÕ<Ûäq : α eT]j·TT β\T X¯SHê´\T ø£*–q es¡ZãVüQ|ü~ ax2 + bx + c nqTø√+&ç.
−b
α+β=–3= eT]j·TT
a
c
αβ = 2 = .
a
eTqeTT a = 1 rdüT≈£î+fÒ b = 3
eT]j·TT c = 2 n>∑TqT.
ø±e⁄q Ç∫Ãq ìj·Te÷ìøÏ ˝Àã&ç @s¡Œ&˚ es¡Z ãVüQ|ü~ x2 + 3x + 2 ne⁄‘·T+~.
Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°
 64 10e ‘·s¡>∑‹ >∑DÏ‘·+

Ç<˚$<Ûä+>±, 'a' qT @ yêdüÔe dü+K´‘√HÓ’Hê dü÷∫+#·e#·TÃ. Bìì k nH˚ yêdüÔe dü+K´>± rdüT≈£î+fÒ
−b c
= −3 ˝Ò<ë b = 3k eT]j·TT k =2 ˝Ò<ë c = 2k n>∑TqT. á $\Te\qT Á|ü‹πøå|æùdÔ eTq≈£î kx2 +
k
3kx + 2k nH˚ ãVüQ|ü~ edüTÔ+~.

−1
ñ<ëVü≤s¡D-6. ˇø£ es¡Z ãVüQ|ü~ jÓTTø£ÿ X¯SHê´\T es¡Tdü>± 2 eT]j·TT 3
nsTTq#√ Ä ãVüQ|ü~ì
ø£qT>=q+&ç.
kÕ<Ûäq : α , β \T X¯SHê´\T>± ø£*–q es¡ZãVüQ|ü~
ax2 + bx + c, a ≠ 0 nqTø√+&ç.
−1
Ç#·Ã≥ α = 2, β = 3
⎛ −1⎞⎟ 5
= (α + β) = 2 + ⎜⎜ ⎟ =
X¯SHê´\yÓTT‘·+Ô ⎜⎝ 3 ⎠⎟ 3

⎛ −1⎞⎟ − 2
= (αβ) = 2 ⎜⎜ ⎟ =
X¯SHê´\\ã›+ ⎜⎝ 3 ⎠⎟ 3
ø±e⁄q, es¡Z ãVüQ|ü~ ax2 + bx + c ì
k[x2 – (α + β)x + α β], k ˇø£dæús¡|ü<äeTT >± ÁyêùdÔ
5 2
= k[x2 – x – ] n>∑TqT.
3 3

yêdüeÔ dü+K´ ªkμ ≈£î $$<Ûä $\Te\qT Çe«e#·TÃqT.

k = 3 nsTTq#√ es¡Z ãVüQ|ü~ 3x2 – 5x – 2 ne⁄‘·T+~.

Á|üj·T‹ï+#·+&ç
1
(i) −2 eT]j·TT X¯SHê´\T ø£*–q es¡ZãVüQ|ü~ì ø£qT>=q+&ç.
3
−3
(ii) X¯SHê´\ yÓTT‘·Ô+ 2
eT]j·TT \ã›+ −1 ø£*–q es¡ZãVüQ|ü~ì ‘Ó\|ü+&ç.

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 ãVüQ|ü<Tä \T 65

3.6 |òüTq ãVüQ|ü<äT\T

eTqeTT Ç|ü&ÉT |òüTq ãVüQ|ü<äT\qT |ü]o<ë›eTT. |òüTqãVüQ|ü<äT\ X¯SHê´\≈£î, |ü<ë\ >∑TDø±\≈£î
@yÓTÆHê dü+ã+<Ûä+ ø£*– e⁄qï<˚yÓ÷ #·÷<ë›+.
p(x) = 2x3 – 5x2 – 14x + 8 nH˚ ãVüQ|ü~ì rdüTø=+&ç.
1
x = 4, – 2, , $\Te\ e<ä› p(x) = 0 nsTTq<äì #·÷&Ée#·TÃ.
2
p(x) ˇø£ |òüTq ãVüQ|ü~ nsTTq+<äTq, Bì jÓTTø£ÿ X¯SHê´\T >∑]wü˜+>± eT÷&ÉT ñ+{≤j·Tì eTq≈£î
1
‘Ó\TdüT. n+<äT#˚ 2x3 – 5x2 – 14x + 8 jÓTTø£ÿ X¯SHê´\T 4, – 2 eT]j·TT n>∑TqT.
2
2
1 5 −(−5) −(x jÓTTø£ÿ >∑TDø£eTT)
X¯SHê´\ yÓTT‘·eÔ TT = 4 + (–2) + 2 = 2 = 2 = x3 jÓTTø£ÿ >∑TDø£eTT

1 −8 −(dæús¡|ü<äeTT)
X¯SHê´\ \ã›eTT = 4 × (–2) × =–4= = 3
2 2 x >∑TDø£eTT
M{Ï‘√ u≤≥T, Ç#·Ã≥ eTs=ø£ Á|ü‘´˚ ø£ dü+ã+<Ûeä TT ø£*– e⁄qï~. ãVüQ|ü~ jÓTTø£ÿ X¯SHê´\qT s¬ +&˚dæ
#=|üq rdüTø=ì yê{Ï \u≤›\ yÓTT‘·Ô+qT |ü]o*ùdÔ eTq≈£î á dü+ã+<ÛäeTT ‘Ó\TdüTÔ+~.
⎧
⎪ ⎫ ⎪
1⎪ ⎧1 ⎪ ⎫
n+fÒ {4× (−2)} + ⎨(−2)× ⎬ + ⎨ × 4⎬
⎪⎩⎪ 2⎪
⎪ ⎪
⎭ ⎪2 ⎪
⎩ ⎪
⎭
− 14 x jÓTTø£ÿ >∑TDø£eTT
=–8–1+2=–7= = 3
2 x jÓTTø£ÿ >∑TDø£eTT
Bìì ã{Ϻ ax3 + bx2 + cx + d jÓTTø£ÿ X¯SHê´\T α, β,γ nsTTq|ü&ÉT
−b
α+β+γ= ,
a α, β, γ\T |òTü qãVüQ|ü~ ax3 + bx 2 + cx + d jÓTTø£ÿ X¯SHê´\T. Ç$
c
ãVüQ|ü~ |ü<ë\ >∑TDø±˝…’q a, b, c \‘√ m≥Te+{Ï dü+ã+<Ûä+ ø£*–
αβ + βγ + γα = , e⁄qïy√ |ü]o*<ë›eTT. α, β, γ \T X¯SHê´˝…’q+<äTq, ãVüQ|ü~ì
a
( x − α ) ( x −β) ( x − γ )
−d
αβγ= . = x3 − x 2 ( γ + β + α ) + x (αβ + βγ + αγ ) − αβγ
a
Bìì ãVüQ|ü~‘√ b˛˝≤Ã\+fÒ, Bìì 'a' ‘√ >∑TDÏ+#ê*.
n|ü&ÉT
ax3 − x 2 a ( γ + β + α ) + xa (αβ + βγ + αγ ) − aαβγ ˝Ò<ë
b = − a (γ + β + α ), c = a (αβ + βγ + αγ ), d = − aαβγ n>∑TqT.

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 66 10e ‘·s¡>∑‹ >∑DÏ‘·+

Ç$ #˚j·T+&ç
α, β eT]j·TT γ nH˚$ ˇø£ |òüTq ãVüQ|ü~ jÓTTø£ÿ X¯SHê´˝…’‘˚ ‘·–q $\Te\T ø£qT>=ì |ü{Ϻø£˝À
|üP]+#·+&ç.
e.dü+K´ |òüTqãVüQ|ü~ α+β+γ αβ + βα + γα αβγ
1 x3 + 3x2 – x – 2
2 4x3 + 8x2 – 6x – 2
3 x3 + 4x2 – 5x – 2
4 x3 + 5x2 + 4

øÏ+~ ñ<ëVü≤s¡DqT eTqeTT |ü]o*<ë›eTT.

1
ñ<ëVü≤s¡D-7. |òüTqãVüQ|ü~ p(x) = 3x3 – 5x2 – 11x – 3 jÓTTø£ÿ X¯SHê´\T 3, –1 eT]j·TT – 3 n>∑Tqì
#·÷|ü+&ç. ãVüQ|ü~ >∑TDø±\≈£î X¯SHê´\≈£î eT<Ûä´>∑\ dü+ã+<Ûëìï dü]#·÷&É+&ç.
kÕ<Ûäq : Ç∫Ãq |òüTqãVüQ|ü~ 3x3 – 5x2 – 11x – 3 ì ax3 + bx2 + cx + d ‘√ dü]b˛*Ãq
a = 3, b = – 5, c = – 11, d = – 3 n>∑TqT. Bì qT+&ç

p(3) = 3 × 33 – (5 × 32) – (11 × 3) – 3 = 81 – 45 – 33 – 3 = 0,

p(–1) = 3 × (–1)3 – 5 × (–1)2 – 11 × (–1) – 3 = – 3 – 5 + 11 – 3 = 0,

3 2
⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞
p ⎜⎜− ⎟⎟⎟ = 3×⎜⎜− ⎟⎟⎟ − 5×⎜⎜− ⎟⎟⎟ −11×⎜⎜− ⎟⎟⎟− 3 ,
⎜⎝ 3⎠ ⎝⎜ 3⎠ ⎝⎜ 3 ⎠ ⎝⎜ 3 ⎠
1 5 11 2 2
= − − + −3 = − + = 0 n>∑TqT.
9 9 3 3 3
1
ø±e⁄q 3x3 – 5x2 – 11x – 3 jÓTTø£ÿ X¯SHê´\T 3, –1 eT]j·TT − 3 nì #·÷|ü&ÉyÓTÆq~.
1
Ç|ü&ÉT α = 3, β = –1 eT]j·TT γ=− rdüTø=+fÒ
3
⎛ 1⎞ 1 5 −(−5) −b
α + β + γ = 3 + (–1) + ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟ = 2 − = = = ,
⎝ 3⎠ 3 3 3 a
⎛ 1 ⎞ ⎛ 1⎞ 1 −11 c
αβ + βγ + γα = 3 × (–1) + (–1) × ⎜⎜⎜⎝− ⎠⎟⎟⎟ + ⎜⎜⎜⎝− ⎠⎟⎟⎟ × 3 = – 3 + – 1 = = ,
3 3 3 3 a
⎛ 1⎞ −(−3) −d
α β γ = 3 × (–1) × ⎜⎜⎜− ⎟⎟⎟ = + 1 = = .
⎝ 3⎠ 3 a

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 ãVüQ|ü<Tä \T 67

nuÛ≤´dü+ – 3.3
1. øÏ+~ es¡ZãVüQ|ü<äT\≈£î X¯SHê´\qT ø£qT>=ì ãVüQ|ü~ >∑TDø±\≈£î, X¯SHê´\≈£î >∑\ dü+ã+<Ûëìï
dü]#·÷&É+&ç.
(i) x2 – 2x – 8 (ii) 4s2 – 4s + 1 (iii) 6x2 – 3 – 7x
(iv) 4u2 + 8u (v) t2 – 15 (vi) 3x2 – x – 4
2. ˇø£ es¡Z ãVüQ|ü~ jÓTTø£ÿ X¯SHê´\ yÓTT‘·ÔeTT eT]j·TT \u≤›\T es¡Tdü>± Çe«ã&çq$. Á|ü‹
dü+<äs¡“¤+˝Àq÷ Äj·÷ es¡ZãVüQ|ü<äT\qT ø£qT>=q+&ç.
1 1
(i) ,–1 (ii) 2, (iii) 0, 5
4 3

1 1
(iv) 1, 1 (v) – , (vi) 4, 1
4 4
3. ˇø£ es¡Z ãVüQ|ü~ jÓTTø£ÿ X¯SHê´\T α, β \T ~>∑Te Çe«ã&çq$. Á|ü‹ dü+<äs¡“¤+˝Àq÷ Äj·÷
ãVüQ|ü<äT\qT ø£qT>=q+&ç.
1 1 3
(i) 2, –1 (ii) 3 , – 3 (iii) ,–1 (iv) ,
4 2 2
4. ˇø£ |òüTqãVüQ|ü~ x3 + 3x2 – x – 3 jÓTTø£ÿ X¯SHê´\T 1, –1 eT]j·TT 3 n>∑Tqì dü]#·÷&É+&ç.
Ç<˚$<Ûä+>± ãVüQ|ü~ >∑TDø±\≈£î, X¯SHê´\≈£î eT<Ûä´>∑\ dü+ã+<Ûëìï dü]#·÷&É+&ç.

3.7 ãVüQ|ü<äT\ uÛ≤>∑Vü‰s¡ ìj·TeTeTT

|òüTq ãVüQ|ü<äT\≈£î >∑]wü˜+>± eT÷&ÉT X¯SHê´\T+{≤j·Tì MTs¡T ‘Ó\TdüT≈£îHêïs¡T. eT], @<Ó’Hê
dü+<äs¡“¤+˝À ˇø£ X¯Sq´+ ÇùdÔ $T–*q X¯SHê´\qT @$<Ûä+>± ø£qT>=+{≤s¡T? Bìø=s¡≈£î eTq+ ˇø£ |òüTq
ãVüQ|ü~ x3 + 3x2 – x – 3 ì |ü]o*<ë›eTT.
á ãVüQ|ü~ jÓTTø£ÿ X¯Sq´eTT 1 nsTTq, Bìì (x – 1) ìX‚Ùwü+>± uÛ≤–düTÔ+<äì MT≈£î ‘Ó\TdüT.
Ç∫Ãq ãVüQ|ü~ì (x – 1) #˚ uÛ≤–ùdÔ e#·Tà uÛ≤>∑|òü\eTT x2 – 2x – 3. Bì eT<Ûä´|ü<äeTTqT $uÛÑõ+#·T≥
<ë«sê Bì jÓTTø£ÿ ø±s¡D≤+ø±\T ø£qT>=qe#·TÃqT. ‘·<ë«sê (x + 1) eT]j·TT (x – 3) ø±s¡D≤+ø±\T
ne⁄‘êsTT. n+<äT#˚
x3 + 3x2 – x – 3 = (x – 1) (x2 – 2x – 3)
= (x – 1) (x + 1) (x – 3)
á $<Ûä+>± |òüTqãVüQ|ü~ jÓTTø£ÿ eT÷&ÉT X¯SHê´\T 1, – 1 eT]j·TT 3 n>∑TqT.
ˇø£ ãVüQ|ü~ì eTs=ø£ ãVüQ|ü~#˚ uÛ≤–+#˚ $<ÛëqeTT ˇø£kÕ] ‘Ó\TdüT≈£î+<ëeTT. Bì k˛bÕHê\T
Áyêùd Áø£eT+ ‘Ó\TdüTø=H˚+<äT≈£î ˇø£ ñ<ëVü≤s¡DqT |ü]o*<ë›eTT.

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 68 10e ‘·s¡>∑‹ >∑DÏ‘·+

ñ<ëVü≤s¡D-8. 2x2 + 3x + 1 qT x + 2 #˚ uÛ≤–+#·+&ç. 2 x −1

kÕ<Ûqä : uÛ≤>∑V‰ü s¡+˝À X‚weü TT düTqï e∫Ãqq÷ ˝Ò<ë X‚weü TT jÓTTø£ÿ |ü]e÷DeTT,
$uÛ≤»ø£eTT jÓTTø£ÿ |ü]e÷DeTT ø£Hêï ‘·≈£îÿe nsTTq|ü&ÉT uÛ≤>∑Vü‰s¡eTT x + 2 2 x 2 + 3x + 1
|üPs¡ÔsTTq≥T¢>± uÛ≤$kÕÔeTì >∑T]Ô+#·+&ç. 2x2 + 4 x
Ç#·Ã≥, uÛ≤>∑Vü‰s¡eTT˝À uÛ≤>∑|òü\eTT 2x – 1 eT]j·TT X‚wüeTT 3 nsTTq~. Ç<˚ − −
$<Ûä+>± uÛ≤>∑Vü‰s¡ìj·Te÷ìï dü]#·÷ùdÔ − x +1
(2x – 1) (x + 2) + 3 = 2x2 + 3x – 2 + 3 = 2x2 + 3x + 1 −x−2
+ +
n+fÒ 2x2 + 3x + 1 = (x + 2) (2x – 1) + 3
3
ø±e⁄q, $uÛ≤»´eTT = $uÛ≤»´eTT × uÛ≤>∑|òü\eTT + X‚wüeTT nsTTq~.
Ç<˚$<ÛëHêìï eTqeTT ø=qkÕ–+∫ ˇø£ ãVüQ|ü~ì es¡ãZ VüQ|ü~#˚ uÛ≤–+#·T≥qT
|ü]o*<ë›eTT.
ñ<ëVü≤s¡D-9. 3x3 + x2 + 2x + 5 qT 1 + 2x + x2 #˚ 3x − 5
uÛ≤–+#·+&ç. x 2 + 2 x + 1 3 x3 + x 2 + 2 x + 5
kÕ<Ûäq : yÓTT<ä≥>± eTq+ $uÛ≤»´+ eT]j·TT $uÛ≤»ø±\qT
3 x3 + 6 x 2 + 3x
|ü<ë\ |ü]e÷D≤\ ø£qT>∑TD+>± nes√Vü≤D≤ Áø£eT+˝À neTs¡TÃ
− − −
ø=ì ãVüQ|ü<äT\qT ÁbÕe÷DÏø£ s¡÷|ü+˝À sêdüTø√yê*. Ç∫Ãq
ñ<ëVü≤s¡D˝À $uÛ≤»´eTT ÁbÕe÷DÏø£ s¡÷|ü+˝ÀH˚ e⁄+~. − 5x 2 − x + 5
$uÛ≤»ø±ìï ≈£L&Ü ÁbÕe÷DÏø£ s¡÷|ü+ x2 + 2x + 1 >± sêj·T − 5 x 2 −10 x − 5
e#·TÃqT. + + +
9 x + 10
k˛bÕq+ 1 : uÛ≤>∑|òü\+˝À yÓTT<ä{Ï |ü<ëìï bı+<ä&ÜìøÏ,
$uÛ≤»´+˝À >∑]wü˜ |ü]e÷D |ü<ëìï, (nq>± 3x3) $uÛ≤»ø£+˝À
>∑]wü˜ |ü]e÷D |ü<äeTT (nq>± x2)‘√ uÛ≤–+#ê*. Ç~ 3x ne⁄‘·T+~. á Áø£eT+˝À uÛ≤>∑Vü‰s¡+ ø=qkÕ–ùdÔ
X‚wü+ – 5x2 – x + 5 edüTÔ+~.
k˛bÕq+ 2 : Ç|ü&ÉT, uÛ≤>∑|òü\eTT˝À ¬s+&Ée |ü<ëìï bı+<ä&ÜìøÏ, ø=‘·Ô $uÛ≤»´+˝À >∑]wü˜ |ü]e÷D |ü<äeTT
(nq>± 5x2) qT $uÛ≤»ø£+˝À >∑]wü˜ |ü]e÷D|ü<äeTT (nq>± x2) #˚ uÛ≤–ùdÔ – 5 edüTÔ+~. á Áø£eT+˝À
‹]– uÛ≤>∑Vü‰s¡eTT – 5x2 – x + 5 ‘√ ø=qkÕ–+#ê*.
k˛bÕq+ 3 : $T–*q X‚wüeTT 9x + 10. Bì jÓTTø£ÿ |ü]e÷DeTT ‹]– $uÛ≤»ø£eTT x2 + 2x + 1 jÓTTø£ÿ
|ü]e÷DeTT ø£Hêï ‘·≈£îÿe. n+<äT#˚ ìj·TeTeTT Á|üø±s¡+ uÛ≤>∑Vü‰sêìï ø=qkÕ–+#·˝ÒeTT.
n+<äT#˚ uÛ≤>∑|òü\eTT 3x – 5 eT]j·TT X‚wüeTT 9x + 10 nsTTq~.
Ç˝≤π> (x2 + 2x + 1) × (3x – 5) + (9x + 10) = (3x 3 + 6x 2 + 3x – 5x 2 – 10x – 5 + 9x + 10)
= 3x 3 + x2 + 2x + 5
n+fÒ $uÛ≤»´+ = $uÛ≤»ø£+ × uÛ≤>∑|òü\+ + X‚wü+ nsTTq~.

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 ãVüQ|ü<Tä \T 69

Bì qT+&ç eTq+ uÛ≤>∑Vü‰s¡ ìj·Te÷ìï øÏ+~ $<Ûä+>± kÕ<Ûës¡D°ø£]+#·e#·TÃ.

p(x) eT]j·TT g(x) nH˚$ s¬ +&ÉT ãVüQ|ü<Tä \T, g(x) ≠ 0 nsTTq|ü⁄&ÉT eTq+ eT] s¬ +&ÉT ãVüQ|ü<Tä \T
q(x) eT]j·TT r(x) \qT bı+<ë\+fÒ
p(x) = g(x) × q(x) + r(x) >± Áyêj·Te#·TÃ.
Ç+<äT˝À r(x) = 0 ˝Ò<ë r(x) |ü]e÷D+ < g(x) jÓTTø£ÿ |ü]e÷D+ á |òü*‘êìï ãVüQ|ü<äT\
uÛ≤>∑Vü‰s¡ ìj·TeT+>± ù|s=ÿ+{≤eTT.
Ç|ü&ÉT, ô|’q ù|s=ÿqï #·s¡Ã<ë«sê øÏ+~ |òü*‘ê\qT sêã≥ºe#·TÃqT.
(i) q(x) nH˚~ ˇø£ πsFj·T ãVüQ|ü~ nsTTq r(x) = r ˇø£ dæúsê+ø£+.
(ii) q(x) jÓTTø£ÿ |ü]e÷D+ 1 nsTTq p(x) jÓTTø£ÿ |ü]e÷D+ = 1 + g(x) jÓTTø£ÿ
|ü]e÷D+ n>∑TqT.
(iii) p(x) qT (x – a) #˚ uÛ≤–ùdÔ e#˚Ã X‚wü+ p(a) n>∑TqT.
(iv) r = 0 nsTT‘˚ p(x) qT q(x) K∫Ñ·+>± uÛ≤–düTÔ+<äì ˝Ò<ë q(x) nH˚~ p(x) jÓTTø£ÿ
ø±s¡D≤+ø£+ n>∑Tqì #Ó|üŒe#·TÃ.
á uÛ≤>∑Vü‰s¡ìj·Te÷ìï eTq+ ÁøÏ+~ ñ<ëVü≤s¡D\˝À |ü]o*+#·e#·TÃqT.
ñ<ëVü≤s¡D-10. 3x2 – x3 – 3x + 5 qT x – 1 – x2 #˚ uÛ≤–+∫, uÛ≤>∑Vü‰s¡ ìj·Te÷ìï dü]#·÷&É+&ç.
kÕ<Ûäq : Ç∫Ãq ãVüQ|ü<äT\T ÁbÕe÷DÏø£ s¡÷|ü+˝À ˝Òeì
>∑T]Ô+#·+&ç. uÛ≤>∑Vü‰s¡+ ÁbÕs¡+_Û+#·&ÜìøÏ eTT+<äT>± $uÛ≤»´+
eT]j·TT $uÛ≤»ø±\qT |ü]e÷D≤\ Á|üø±s¡+ nes√Vü≤D≤ x−2
Áø£eT+˝À sêj·÷*. −x 2 + x −1 − x 3 + 3 x 2 − 3 x + 5
ø±e⁄q, $uÛ≤»´+ = – x3 + 3x2 – 3x + 5 eT]j·TT
− x3 + x 2 − x
$uÛ≤»ø£+ = – x2 + x – 1 n>∑TqT. + − +
uÛ≤>∑Vü‰s¡ Á|üÁøÏj·T ≈£î&çyÓ’|ü⁄q #·÷|üã&çq~. 2 x2 − 2x + 5
á Áø£ e T+˝À X‚ w ü + jÓ T Tø£ ÿ |ü ] e÷D+ $uÛ ≤ »ø£ + 2 x2 − 2 x + 2
(–x + x – 1) jÓTTø£ÿ |ü]e÷D+ ø£Hêï ‘·≈£îÿe nsTTq+<äTq
2
− + −
uÛ≤>∑V‰ü s¡+ Ä|æyk˚ ÕÔ+.
3
n+<äT#˚, uÛ≤>∑|òü\+ = x – 2, X‚wü+ = 3.
Ç|ü&ÉT,
$uÛ≤»´+ = $uÛ≤»ø£+ × uÛ≤>∑|òü\+ + X‚wü+
= (–x2 + x – 1) (x – 2) + 3
= – x3 + x2 – x + 2x2 – 2x + 2 + 3
= – x3 + 3x2 – 3x + 5
á $<Ûä+>±, uÛ≤>∑Vü‰s¡ìj·TeT+ dü]#·÷&É&ÉyÓTÆq~.

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 70 10e ‘·s¡>∑‹ >∑DÏ‘·+

ñ<ëVü≤s¡D-11. 2x4 – 3x3 – 3x2 + 6x – 2 nqTãVüQ|ü~øÏ 2 eT]j·TT – 2 ¬s+&ÉT X¯SHê´˝…’q $T–*q

nìï X¯SHê´\qT ø£qT>=q+&ç.
kÕ<Ûäq: 2 eT]j·TT – 2 nH˚~ Çe«ã&çq ãVüQ|ü~øÏ ¬s+&ÉT X¯SHê´\T ø±e⁄q, á ãVüQ|ü~ì
(x – 2 ) (x + 2)=x –2
2
#˚ uÛ≤–+#·e#·TÃ.
2 x2 − 3x +1
x 2 − 2 2 x 4 − 3x 3 − 3x 2 + 6 x − 2
2 x4
2x 4
− 4x 2 uÛ≤>∑|òü\+˝À yÓTT<ä{Ï |ü<äeTT = 2x2
x2
− +
− 3 x3 + x 2 + 6 x − 2
− 3 x3 + 6x −3x 3
uÛ≤>∑|òü\+˝À ¬s+&Ée |ü<äeTT = −3 x
+ − x2

x2 − 2
x2 − 2 x2
− + uÛ≤>∑|òü\+˝À eT÷&Ée |ü<äeTT =1
x2
0

ø±e⁄q, 2x4 – 3x3 – 3x2 + 6x – 2 = (x2 – 2) (2x2 – 3x + 1).

Ç|ü&ÉT 2x2 – 3x + 1 –3x ˝À eT<Ûä´|ü<äeTT –3x qT $uÛÑõ+∫ ø±s¡D≤+ø±\T>± sêùdÔ (2x – 1)
1
(x – 1) e#·TÃqT. ø±e⁄q $T–*q ¬s+&ÉT X¯SHê´\T x = eT]j·TT x=1 n>∑TqT. á $<Ûä+>± Ç∫Ãq
2
1
ãVüQ|ü~ jÓTTø£ÿ X¯SHê´\T 2 , – 2 , 1 eT]j·TT ne⁄‘êsTT.
2

nuÛ≤´dü+ – 3.4
1. øÏ+~ Çe«ã&çq ãVüQ|ü<äT\˝À p(x) ãVüQ|ü~ì g(x) ãVüQ|ü~#˚ uÛ≤–+∫ uÛ≤>∑|òü˝≤ìï, X‚cÕìï
ø£qT>=q+&ç.
(i) p(x) = x3 – 3x2 + 5x – 3, g(x) = x2 – 2
(ii) p(x) = x4 – 3x2 + 4x + 5, g(x) = x2 + 1 – x
(iii) p(x) = x4 – 5x + 6, g(x) = 2 – x2

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 ãVüQ|ü<Tä \T 71

2. øÏ+~ ãVüQ|ü<äT\˝À ¬s+&Ée ãVüQ|ü~ì, yÓTT<ä{Ï ãVüQ|ü~#˚ uÛ≤–+∫ Á|ü‹ dü+<äs¡“¤+˝À yÓTT<ä{Ï
ãVüQ|ü~ ø±s¡D≤+ø£+ n>∑TH√, ø±<√ dü]#·÷&É+&ç.
(i) t2 – 3, 2t4 + 3t3 – 2t2 – 9t – 12
(ii) x2 + 3x + 1, 3x4 + 5x3 – 7x2 + 2x + 2
(iii) x3 – 3x + 1, x5 – 4x3 + x2 + 3x + 1

5 5
3. 3x4 + 6x3 – 2x2 – 10x – 5 nqT ãVüQ|ü~øÏ ¬s+&ÉT X¯SHê´\T eT]j·TT − nsTTq
3 3
$T–*q ¬s+&ÉT X¯SHê´\qT ø£qT>=q+&ç.
4. x3 – 3x2 + x + 2 nqT ãVüQ|ü~ì g(x) nH˚ ãVüQ|ü~#˚ uÛ≤–ùdÔ uÛ≤>∑|òü\eTT x – 2 eT]j·TT
X‚wüeTT – 2x + 4 nsTTq g(x) qT ø£qT>=q+&ç.
5. uÛ≤>∑Vü‰s¡ ìj·TeTeTT eT]j·TT ~>∑Te Çe«ã&çq ìj·Te÷\qT ‘·è|æÔ|ü]#˚ $<Ûä+>± p(x), g(x), q(x)
eT]j·TT r(x) ãVüQ|ü<äT\≈£î ‘·–q ñ<ëVü≤s¡D\qT Çe«+&ç
(i) p(x) |ü]e÷DeTT = q(x)|ü]e÷DeTT
(ii) q(x) |ü]e÷DeTT = r(x) |ü]e÷DeTT
(iii) r(x) |ü]e÷DeTT = 0

◊∫äø£ nuÛ≤´düeTT
[á nuÛ≤´düeTT |üØø£å\≈£î ìπsΔ•+#·ã&çq~ ø±<äT]
1. øÏ+~ |òüTq ãVüQ|ü<äT\≈£î Á|üø£ÿq Çe«ã&çq dü+K´\T Äj·÷ ãVüQ|ü<äT\≈£î X¯SHê´\T n>∑TH√, ˝Ò<√
dü]#·÷&É+&ç. Ç<˚ $<Ûä+>± ãVüQ|ü<äT\ |ü<ë\ >∑TDø±\≈£î, X¯SHê´\ø£î eT<Ûä´ >∑\ dü+ã+<Ûëìï
sêã≥º+&ç.
1
(i) 2x3 + x2 – 5x + 2 ( , 1, –2) (ii) x3 + 4x2 + 5x – 2 (1, 1, 1)
2
2. ˇø£ |òüTq ãVüQ|ü~ jÓTTø£ÿ X¯SHê´\ yÓTT‘·ÔeTT, ¬s+&˚dæ X¯SHê´\ \u≤›\ yÓTT‘·ÔeTT eT]j·TT
X¯SHê´\\ã›eTT es¡Tdü>± 2, –7 eT]j·TT –14 nsTTq Ä ãVüQ|ü~ì ø£qT>=q+&ç.
3. x3 – 3x2 + x + 1 nqT ãVüQ|ü~ X¯SHê´\T a – b, a, a + b \T nsTTq a, b $\Te\qT
ø£qT>=q+&ç.
4. x4 – 6x3 – 26x2 + 138x – 35 jÓTTø£ÿ ¬s+&ÉT X¯SHê´\T 2 ± 3 nsTTq $T–*q ¬s+&ÉT X¯SHê´\qT
ø£qT>=q+&ç.
5. x4 – 6x3 – 16x2 + 25x + 10 nH˚ ãVüQ|ü~ì x2 – 2x + k nH˚ eTs=ø£ ãVüQ|ü~#˚ uÛ≤–+#·>±
e#·TÃ X‚wü+ x + a nsTTq ªkμ eT]j·TT ªaμ $\Te\T ø£qT>=q+&ç.
Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°
 72 10e ‘·s¡>∑‹ >∑DÏ‘·+

eTq+ @$T #·]Ã+#ê+

á n<Ûë´j·TeTT˝À MTs¡T ÁøÏ+~ n+XÊ\qT >∑÷]à n<Ûä´j·Tq+ #˚kÕs¡T.
1. ãVüQ|ü~ |ü]e÷D≤\T es¡Tdü>± 1, 2 eT]j·TT 3 ø£*–q yêìì πsFj·T, es¡Z, |òüTq uVüQ|ü<äT\T
n+{≤s¡T.
2. x #·s¡sê• eT]j·TT yêdüÔe >∑TDø±\T ø£*–q es¡Z ãVüQ|ü~ì ax2 + bx + c nì sêkÕÔ+.
Ç+<äT˝À a, b, c \T yêdüÔe dü+K´\T eT]j·TT a ≠ 0.
3. p(x) nqT ãVüQ|ü~ X¯SHê´\T <ëì πsU≤∫Á‘·+ y = p(x), x-nø£å+qT K+&ç+#˚ _+<äTe⁄\ jÓTTø£ÿ
x`ìs¡÷|üø±\T n>∑TqT
4. es¡Z ãVüQ|ü~øÏ >∑]wü˜+>± ¬s+&ÉT X¯SHê´\T, nq>± |òüTqãVüQ|ü~øÏ >∑]wü˜+>± eT÷&ÉT X¯SHê´\T
e⁄+{≤sTT.
5. α eT]j·TT β \T es¡Z ãVüQ|ü~ ax2 + bx + c (a ≠ 0) jÓTTø£ÿ X¯SHê´\T nsTTq#√

b c
α+β=– , αβ = n>∑TqT.
a a
6. α, β eT]j·TT γ \T |òüTqãVüQ|ü~ ax3 + bx2 + cx + d, (a ≠ 0) jÓTTø£ÿ X¯SHê´\T nsTTq#√
−b c
α+β+γ= , αβ + βγ + γα = ,
a a

−d
eT]j·TT αβγ = a
n>∑TqT.
7. p(x)nH˚ ãVüQ|ü~ì eTs=ø£ X¯SH˚´‘·s¡ ãVüQ|ü~ g(x) #˚ uÛ≤–ùdÔ, q(x) eT]j·TT r(x) nH˚
ãVüQ|ü<äT\T>± e#˚à uÛ≤>∑Vü‰s¡ ìj·Te÷ìï eTq+ ÁøÏ+~ $<Ûä+>± ìs¡«∫+#·e#·TÃ.
p(x) = g(x). q(x) + r(x),
Ç+<äT˝À r(x) = 0 ˝Ò<ë r(x) |ü]e÷D+ < g(x) jÓTTø£ÿ |ü]e÷D+ n>∑TqT.

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 ¬s+&ÉT #·s¡sêX¯ó\˝À πsFj·T düMTø£s¡D≤\ »‘· 73

n<Ûë´j·TeTT

4
¬s+&ÉT #·s¡sêX¯ó\˝À πsFj·T
düMTø£s¡D≤\ »‘·
(Pair of Linear Equations in Two Variables)

4.1 |ü]#·j·T+
dæ] ˇø£kÕ] yêfi¯fl Hêqï>±]‘√ ø£*dæ |ü⁄düøÔ ±\ <äTø±D≤ìøÏ yÓ[fl 3 H√≥T |ü⁄düøÔ ±\T 2 ô|qTï\T ø=qï~.
á yÓTT‘·+Ô edüTeÔ ⁄\≈£î yêfi¯fl Hêqï>±s¡T ` 80 #Ó*+¢ ∫Hê&ÉT. ÄyÓT $TÁ‘·Tsê\T \øÏàå Ä H√≥T |ü⁄düøÔ ±\T,
ô|qTï\qT Çwü|º &ü ç ny˚sø¡ +£ 4 H√≥T |ü⁄düøÔ ±\T eT]j·TT 3 ô|qTï\qT `110 \≈£î ø=qï~. ÄyÓT ‘·s>¡ ‹∑ ˝À
ùdïVæ≤‘·iT\T s¡T;Hê ô|qTï\qT, CÀôd|òt H√≥T |ü⁄düøÔ ±\qT ø=Hê\ì Çwü|º &ü ܶsT¡ . yês¡T dæ]ì ˇø£ H√≥T|ü⁄düøÔ e£ TT
yÓ\, ˇø£ ô|qTï yÓ\ n&ç>±s¡T. ø±ì ÄyÓT≈£î yê{Ï $\Te\T $&ç$&ç>± ‘Ó*j·Te⁄. yês¡T yê{Ï yÓ\qT m˝≤
ø£qT>=+{≤s¡T?
á ñ<ëVü≤s¡D˝À ˇø£ H√≥T |ü⁄düøÔ e£ TT yÓ\, ˇø£ ô|qTï yÓ\ ‘Ó*j·T<äT. Ç$ ne´ø£sÔ êX¯ó\T. eTq≈£î
ì‘·´J$‘·+˝À Ç˝≤+{Ï dü+<äsꓤ\T #ê˝≤ m<äTs¡e⁄‘êsTT.
Ä˝À∫+∫, #·]Ã+∫ sêj·T+&ç
á ÁøÏ+<ä s¬ +&ÉT dü+<äsꓤ\T Çe«ã&ܶsTT.
(i) 1øÏ˝À ã+>±fi≤<äT+|ü\T eT]j·TT 2øÏ˝À\ ≥e÷{≤\ yÓTT‘·e Ô TT yÓ\ `30. s¬ +&ÉT s√E\ ‘·sT¡ yê‘·,
2 øÏ˝À\ ã+>±fi≤<äT+|ü\T eT]j·TT 4 øÏ˝À\ ≥e÷{≤\ yÓTT‘·e Ô TT yÓ\ `66.
(ii) myéT.¬ø.q>∑sY ñqï‘· bÕsƒX ¡ Ê\ ÁøÏø¬ {Ÿ »≥Tº •ø£≈å î£ &ÉT 3 u≤´{Ÿ\T eT]j·TT 6 ã+‘·T\qT ` 3900 \≈£î
ø=HÓqT. ‘·sT¡ yê‘· n‘·&TÉ eT]jÓTTø£ u≤´{Ÿ eT]j·TT 2 ã+‘·T\qT `1300 \≈£î ø=HÓqT.
ô|’ Á|ür dü+<äs“¡ +¤ ˝À ne´ø£sÔ êX¯ó\qT >∑T]Ô+#·+&ç.
Á|ür dü+<äs“¡ +¤ ˝À s¬ +&ÉT #·ss¡ êX¯ó\T e⁄+&É{≤ìï eTq+ >∑eTì+#·e#·TÃqT.
4.1.1 ne´ø£Ô sêX¯ó\qT eTq+ m˝≤ ø£qT>=+{≤+ ?
|ü]#·jT· +˝À, dæ] 3 H√≥T|ü⁄düøÔ ±\qT eT]j·TT s¬ +&ÉT ô|qTï\qT `80 \≈£î ø=qï~. ˇø£ H√≥T
|ü⁄düøÔ e£ TT yÓ\ ˝Ò<ë ˇø£ ô|qTï yÓ\ eTq+ m˝≤ ø£qT>=+{≤eTT?
s¡T;Hê, CÀôd|òt yê{Ï yÓ\\qT }Væ≤+#·&ÜìøÏ Á|üjT· ‹ïdüTHÔ êïs¡T. s¡T;Hê Á|ür H√≥T |ü⁄düøÔ +£ yÓ\ `25
ñ+&Ée#·Ãì #Ó|Œæ +~. n|ü⁄&ÉT 3H√≥T |ü⁄düøÔ ±\ yÓ\ ` 75, s¬ +&ÉT ô|qTï\ yÓ\ `5 eT]j·TT Á|ür ô|qTï yÓ\
`2.50 ñ+&Ée#·TÃqT. CÀôd|òt ˇø£ ô|qTï yÓ\ ` 2.50 nH˚~ #ê˝≤ ‘·≈î£ ÿeì uÛ≤$+#ê&ÉT. n+‘·&TÉ ˇø£ ô|qTï
yÓ\ ø£˙dü+ `16 ñ+&Ü\ì uÛ≤$+#ê&ÉT. n|ü&ÉT Á|ürH√≥T |ü⁄düøÔ +£ yÓ\ ≈£L&Ü `16 ne⁄‘·T+~.
á s¡ø+£ >± yÓTT‘·+Ô yÓ\ ` 80 nj˚T´≥≥T¢ ˇø£ H√≥T |ü⁄düøÔ +£ yÓ\ eT]j·TT ˇø£ ô|qTï yÓ\≈£î nH˚ø£
$\Te\T kÕ<Û´ä |ü&‘É êsTT. eT] dæ], \øÏàå \T yê{Ïì ø=qïyÓ\ m+‘√ eTq+ m˝≤ ø£qT>=+{≤eTT? øπ e\+ dæ]
dü+<äsꓤìï rdüTø√e&É+ <ë«sê yê{Ï $\Te\qT $&ç$&ç>± eTq+ ø£qT>=q˝ÒeTT. n+<äTe\¢ eTq+ \øÏàå
dü+<äsꓤìï ≈£L&Ü rdüTø√yê*. ø±ã{Ϻ s¬ +&ÉT #·ss¡ êX¯ó\T ñqï|ü⁄&ÉT ˇπø ˇø£ kÕ<Ûqä ø±yê\+fÒ ø£˙dü+ s¬ +&ÉT
dü«‘·+Á‘· düMTø£sD¡ ≤\T ø±yê*. á ne´ø£Ô #·ss¡ êX¯ó\ $\Te\T ø£qT>=qT≥≈£î ªyÓ÷&É˝Ÿ |ü<‹Δä μ ˇø£ |ü<‹Δä . á

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 74 10e ‘·s¡>∑‹ >∑DÏ‘·+

|ü<‹Δä ˝À ne´ø£sÔ êX¯ó\qT Bs¡#È ‘· T· s¡ÁkÕ\T ˝Ò<ë Bs¡#È ‘· T· s¡Ádü uÛ≤>±\‘√ dü÷∫kÕÔsT¡ . á yÓ÷&É˝Ÿ |ü<‹Δä ˝À yÓTT<ä{Ï
dü+<äsꓤìï |ü]o*<ë›eTT.
4.1.2 s ¬ +&ÉT düMTø£sD¡ ≤\qT ˇπøkÕ] ñ|üj÷Ó –+#·&+É
\øÏàå ≈£L&Ü dæ] ø=qï ˝≤+{Ï H√≥T |ü⁄düøÔ ±\T, ô|qTï\H˚ ø=qï~. ÄyÓT 4 H√≥T |ü⁄düøÔ ±\T eT]j·TT 3
ô|qTï\≈£î `110 #Ó*+¢ ∫q~.
ø±e⁄q eTq≈£îqï s¬ +&ÉT dü+<äsꓤ\qT á ÁøÏ+~ $<Û+ä >± Áyêj·Te#·TÃqT.
(i) 3 H√≥T |ü⁄düøÔ ±\T + 2 ô|qTï\T = `80.

(ii) 4 H√≥T |ü⁄düøÔ ±\T + 3 ô|qTï\T = `110.

Ç$ eTq≈£î ˇø£ ô|qTïyÓ\, ˇø£ H√≥T |ü⁄düøÔ +£ yÓ\ ø£qT>=q&ÜìøÏ ñ|üj÷Ó >∑|&ü ‘É êj·÷?
s¡T;Hê }Væ≤+∫ #Ó|Œæ q yÓ\qT |ü]o*<ë›+. ˇø£ H√≥T |ü⁄düøÔ +£ yÓ\ `25 eT]j·TT ˇø£ ô|qTï yÓ\
` 2.50 n|ü⁄&ÉT

4 H√≥T |ü⁄düøÔ e£ TT\ yÓ\ : 4 × 25 = `100

eT]j·TT 3 ô|qTï\ yÓ\ : 3 × 2.50 = `7.50

dæï>∑ú #Ó|Œæ q~ dü‘´· yÓTqÆ \øÏàå <äTø±D<ës¡Tq≈£î `100 + 7.50 = `107.50 #Ó*+¢ ∫ e⁄+&Ü*. ø±ì ÄyÓT
`110 #Ó*+¢ ∫q~.
Ç|ü&ÉT CÀôd|òt #Ó|Œæ q yÓ\\‘√ #·÷<ë›+.
1 ô|qTï yÓ\ `16 nsTTq 4 H√≥T|ü⁄düøÔ e £ TT\ yÓ\ : 4 × 16 = `64
1ô|qTï yÓ\ `16 nsTTq 3 ô|qTï\ yÓ\ : 3 × 16 = ` 48

CÀôd|òt #Ó|Œæ q~ dü‘´· yÓTqÆ , \øÏàå <äTø±D<ës¡Tq≈£î `64 + 48 = `112 #Ó*+¢ ∫ e⁄+&Ü*. ø±ì Ç~ ÄyÓT
#Ó*+¢ ∫q <ëì ø£Hêï m≈£îÿe.
eT] eTqeTT @$T #˚j÷· *? ˇø£ H√≥T |ü⁄düøÔ e£ TT, 1 ô|qTï\ K∫Ñ·yTÓ qÆ $\TeqT m˝≤ ø£qT>=Hê*?
eTq≈£î ˇπø ˇø£ düMTø£sD¡ eTT e⁄+&ç <ëì˝À s¬ +&ÉT ne´ø£sÔ êX¯ó\T (#·ss¡ êX¯ó\T) e⁄+fÒ <ëìøÏ nH˚ø£
kÕ<Ûqä \T ø£qT>=qe#·TÃqT.
k˛bÕq+-1 : H√≥T |ü⁄düøÔ e£ TT\qT ‘√ ø£\eTT\qT ‘√ dü÷∫+#·TeTT.
dæ] 3 H√≥T |ü⁄düøÔ e£ TT\T, 2 ô|qTï\qT `80 \≈£î ø=qï~.
D80

\øÏàå 4 H√≥T |ü⁄düøÔ e£ TT\T, 3 ô|qTï\qT `110 \≈£î ø=qï~.

D110

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 ¬s+&ÉT #·s¡sêX¯ó\˝À πsFj·T düMTø£s¡D≤\ »‘· 75

k˛bÕq+-2 : s¬ +&ÉT dü+<äsꓤ\˝Àì ˇø£ sê•ì düe÷q+ #˚jT· &ÜìøÏ Ä sêX¯ó\qT nqTbÕ‘·+˝À ô|+#ê*
(˝Ò<ë ‘·–+
Z #ê*) .
V ⁄yÀdK øÔüyÕ¥e£ }L TT\T
(3 |ü 77C 7 × 3) 9 V|üyÀ⁄KdyøÕ¥Ôü e
}L£ 77C
TT\T7 (2 ôZ|
V ‰qTï\T
7wC 7 × 3) 6 ôZ|
V ‰qTï\T
7wC 7
D240
(3×D80)

(4 V|üyÀ⁄KdyÕ¥ø
Ôü }Le£ 77C
TT\T7 × 2) 8 V|üyÀ⁄KdyÕ¥øÔü }Le£ 77C
TT\T7 (3 ôZ|
V ‰qTï\T
7wC 7 × 2) 6 Zô|
V ‰qTï\T
7wC 7
D220
(2×D110)

k˛bÕq+ 2˝À eTq+ ˇø£ kÕ<Ûës¡D nqTbÕ‘· ‘·sêÿìï |ü]o*+#·e#·TÃqT. dæ] 3 |ü⁄düøÔ e£ TT\T eT]j·TT
2 ô|qTï\qT `80 \≈£î ø=qï~ ø±e⁄q 9 |ü⁄düøÔ e £ TT\T eT]j·TT 6 ô|qTï\≈£î
£ TT\T eT]j·TT 3 × 2 = 6 ô|qTï\T, yÓ\ 3 × 80 = `240
3 × 3 = 9 |ü⁄düøÔ e (1)

n<˚$<Û+ä >±, \øÏàå 4 |ü⁄düøÔ e£ TT\T, 3 ô|qTï\qT `110 \≈£î ø=qï~ ø±e⁄q
2 × 4 = 8 |ü⁄düøÔ e £ TT\T eT]j·TT 2 × 3 = 6 ô|qTï\ yÓ\ 2 × 110 = `220 (2)
(1), (2) düMTø£sD ¡ eTT\qT b˛\Ã>±, n<äq+>± e⁄qï 1 H√≥T |ü⁄düøÔ +£ yÓ\
`240 - ` 220 = `20. ø±e⁄q ˇø£ |ü⁄düøÔ + £ yÓ\ `20.
dæ] 3 |ü⁄düøÔ e£ TT\T eT]j·TT 2 ô|qTï\qT `80 \≈£î ø=qï~. Á|ür |ü⁄düøÔ +£ yÓ\ `20 ø£qTø£ 3
|ü⁄düøÔ e£ TT\ yÓ\ ` 60. n|ü⁄&ÉT 2 ô|qTï\ yÓ\ ` 80 - ` 60 = ` 20.
ø±e⁄q Á|ür ô|qTï yÓ\ `20 ÷ 2 = `10.
\øÏàå dü+<äsꓤìï á $\Te\‘√ Á|üjT· ‹ï+#·+&ç. 4 |ü⁄düøÔ e£ TT\ yÓ\ ` 80 eT]j·TT 3 ô|qTï\ yÓ\
` 30 yê{Ï yÓTT‘·e Ô TT ` 110 nH˚~ dü‘´· eTT.
ô|’ >∑Dq\T eT]j·TT #·sá qT ã{Ϻ ˇπø ˇø£ kÕ<Ûqä ø±yê\+fÒ s¬ +&ÉT #·ss¡ êX¯ó\T e⁄qï|ü&ÉT ø£˙dü+ s¬ +&ÉT
dü«‘·+Á‘·´ düMTø£sD¡ ≤\T ø±yê\ì eTq≈£î $X¯<eä Te⁄‘·T+~.
kÕ<Ûës¡D+>± ax + by + c = 0 s¡÷|ü+˝À e⁄+&ç a, b, c \T yêdüeÔ dü+K´˝Ö‘·÷ ø£˙dü+ a ˝Ò<ë b düTqï
ø±q{Ϻ düMTø£sD¡ ≤ìï s¬ +&ÉT #·ss¡ êX¯ó\˝À x, y \˝À sπ Fj·T düMTø£sD¡ + n+{≤s¡T. [á ìã+<Ûqä eTq+
kÕ<Ûës¡D+>± a2 + b2 ≠ 0 nì ÁyêkÕÔeTT].
Á|üj·T‹ï+#·+&ç
á ÁøÏ+~ Á|üXï¯ \≈£î dü]jÓTÆ q düe÷<ÛëHêìï >∑T]Ô+#·+&ç.
1. á ÁøÏ+~ düMTø£sD¡ ≤\˝À @~ sπ Fj·T düMTø£sD¡ + ø±<äT?
a) 5 + 4x = y+ 3 b) x+2y = y − x
c) 3 − x = y2+ 4 d) x + y = 0

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 76 10e ‘·s¡>∑‹ >∑DÏ‘·+

2. á ÁøÏ+~ yê{Ï˝À @~ @ø£ #·ss¡ ê•˝À sπ Fj·T düMTø£sD¡ eTT ?

a) 2x + 1 = y - 3 b) 2t - 1 = 2t + 5
c) 2x - 1 = x2 d) x2 - x + 1 = 0
3. ÁøÏ+~ dü+K´\˝À @~ 2(x + 3) = 18 nH˚ düMTø£sD¡ ≤ìøÏ kÕ<Ûqä ?
a) 5 b) 6 c) 13 d) 21
4. 2x - (4 - x) = 5 - x nH˚ düMTø£sD¡ ≤ìï ‘·è|æ|Ô sü #¡ ˚ x $\Te
a) 4.5 b) 3 c) 2.25 d) 0.5
5. x - 4y = 5 nH˚ düMTø£sD¡ ≤ìøÏ
a) kÕ<Ûq
ä ˝Ò<Tä b) ˇπøˇø£ kÕ<Ûqä
c) s
¬ +&ÉT kÕ<Ûqä \T d) nq+‘·yTÓ q
Æ kÕ<Ûqä \T
4.2 ¬s+&ÉT #·s¡sêX¯ó\˝À πsFj·T düMTø£s¡D≤\ »‘·\≈£î kÕ<Ûäq\T
ÁbÕs¡+uÛ+Ñ ˝À sTT∫Ãq H√≥T|ü⁄düøÔ ±\T, ô|qTï\T ñ<ëVü≤s¡D˝À eTq≈£î mìï düMTø£sD¡ ≤\T e⁄HêïsTT ?
eTq≈£î s¬ +&ÉT düMTø£sD¡ ≤\T ˝Ò<ë s¬ +&ÉT #·ss¡ êX¯ó\˝À sπ Fj·T düMTø£sD¡ ≤\ »‘· e⁄+~. á sπ Fj·T düMTø£sD¡ ≤\
»‘·≈î£ kÕ<Ûqä n+fÒ @$T{Ï?
Á|ür düMTø£sD¡ ≤ìï ñeTà&ç>± ‘·è|æ|Ô sü #¡ ˚ x , y #·ss¡ êX¯ó\ $\Te\ »‘· sπ Fj·T düMTø£sD¡ ≤\ »‘·≈î£ kÕ<Ûqä
ne⁄‘·T+~.

4.2.1 Á>±|òt |ü<‹Δä <ë«sê sπ Fj·T düMTø£sD¡ ≤\ »‘·≈î£ kÕ<Ûqä ø£qT>=qT≥

s¬ +&ÉT #·ss¡ êX¯ó\˝À qTqï sπ Fj·T düMTø£sD¡ ≤\ »‘·≈î£ >∑\ kÕ<Ûqä \ dü+K´ m+‘·? á dü+K´ nq+‘·e÷,
ˇø£{≤ ˝Ò<ë ndü\T kÕ<Ûqä \T e⁄+&Éyê ?
Ç+‘·≈£î eTT+<äs¡ eTq+ πsFj·T düMTø£s¡D≤\ »‘·≈£î kÕ<Ûäq ø£qT>=q&ÜìøÏ yÓ÷&É˝Ÿ |ü<äΔ‹
ñ|üjÓ÷–+#êeTT. Ç|ü&ÉT düMTø£s¡D≤\ kÕ<Ûäq≈£î Á>±|òt\qT ñ|üjÓ÷–<ë›eTT.
a1x + b1y + c1 = 0, (a12 + b12 ≠ 0) eT]j·TT a2x + b2y + c2 = 0— (a22 + b22 ≠ 0) \T ¬s+&ÉT
#·s¡sêX¯ó\˝À >∑\ ˇø£ »‘· πsFj·T düMTø£s¡D≤\T.
s¬ +&ÉT #·ss¡ êX¯ó\˝À >∑\ sπ Fj·T düMTø£sD¡ ≤ìøÏ ^dæq Á>±|òt ˇø£ düsfi¡ sπ̄ K. á sπ Kô|’ >∑\ yêdüeÔ dü+U≤´
Áø£eTj·TT>∑àeTT (x, y) \#˚ dü÷∫+#·ã&˚ _+<äTe⁄\T düMTø£s¡D≤ìøÏ kÕ<Ûäq\T eT]j·TT á πsKô|’ ˝Òì yêdüÔe
dü+U≤´ Áø£eTj·TT>±à\#˚ dü÷∫+#·ã&˚ _+<äTe⁄\T kÕ<Ûäq\T ø±e⁄.
eTq≈£î ˇø£ düMTø£s¡D≤\ »‘· e⁄qï|ü⁄&ÉT, n$ ˇø£ ‘·\+˝À ¬s+&ÉT düs¡fi¯πsK\qT dü÷∫kÕÔsTT. eT] ˇø£
‘·\+˝À ¬s+&ÉT düs¡fi¯πsK\T e⁄+fÒ Ä ¬s+&ÉT πsK\≈£î kÕ<Ûä´eTj˚T´ dü+ã+<Ûë˝Ò$ ? Ä dü+ã+<Ûë\≈£î >∑\
ÁbÕ<Ûëq´‘· @$T{Ï?

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 ¬s+&ÉT #·s¡sêX¯ó\˝À πsFj·T düMTø£s¡D≤\ »‘· 77

ˇø£ ‘·\+˝À ¬s+&ÉT düs¡fi¯πsK\T ^dæq|ü⁄&ÉT, á ÁøÏ+~ eT÷&ÉT dü+<äsê“\˝À ˇø£ÿ{Ï e÷Á‘·y˚T kÕ<Ûä´eTT.
i) Ä ¬s+&ÉT düs¡fi¯πsK\T ˇø£ _+<äTe⁄ e<ä› K+&ç#·Tø√e#·TÃqT.
ii) Ä ¬s+&ÉT düs¡fi¯πsK\T K+&ç+#·Tø√ø£b˛e#·TÃqT nq>±
n$ düe÷+‘·s¡ πsK\T ø±e#·TÃqT.
iii) Ä ¬s+&ÉT düs¡fi¯πsK\T @ø°uÛÑ$+#·e#·TÃqT.
ìC≤ìøÏ Ä ¬s+&ÉT düs¡fi¯πsK\T ˇø£fÒ, yÓTT<ä{Ï ñ<ëVü≤s¡DqT x, y \˝À düMTø£s¡D+>± Áyê<ë›+. Bì˝À
ªxμ ˇø£ H√≥T |ü⁄düÔø£+ yÓ\qT, y ˇø£ ô|qTï yÓ\qT dü÷∫kÕÔsTT nqTø=qTeTT. n|ü&ÉT Ä düMTø£s¡D≤\T
3x + 2y = 80 eT]j·TT 4x + 3y = 110.
3x + 2y = 80 düMTø£s¡D≤ìøÏ 4x + 3y = 110 düMTø£s¡D≤ìøÏ
80 − 3x 110 − 4 x
x y= (x, y) x y= (x, y)
2 3
80 − 3(0) 110 − 4( −10)
0 y= = 40 (0, 40) -10 y = = 50 (-10, 50)
2 3
80 − 3(10 110 − 4(20)
10 y= = 25 (10, 25) 20 y = = 10 (20, 10)
2 3
80 − 3(20) 110 − 4(50)
20 y= = 10 (20, 10) 50 y = = -30 (50, -30)
2 3
80 − 3(30
30 y= = -5 (30, -5) Y
2
60
ô|’ _+<äTe⁄\qT ˇø£ ø±Øºõj·THé ‘·\+˝À 55

>∑T]Ô+#·>± @s¡Œ&çq Á>±|òtqT |ü]o*ùdÔ, Ä ¬s+&ÉT 50

düs¡fi¯πsK\ K+&Éq _+<äTe⁄ (20, 10) nì 45

>∑eTì+#·e#·TÃqT. 40

35
á x eT]j·TT y $\Te\qT düMTø£sD¡ +˝À 30
Á|ü‹πøå|æ+#·>± eTq≈£î 3(20) + 2(10) = 80 25

eT]j·TT 4(20) + 3(10) = 110. 20

15
ø±ã{Ϻ Á>±|òt |ü<‹Δä <ë«sê Á|ür H√≥T |ü⁄døÔü +£ 10 (20, 10)
yÓ\ `20 eT]j·TT Á|ür ô|qTï KØ<äT `10 nì 5
ø£qT>=qã&ç+~. yÓ÷&É˝Ÿ |ü<äΔ‹ <ë«sê ≈£L&Ü XI X
-10 -5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55
eTq≈£î Ç<˚ kÕ<Ûäq e∫Ãq $wüj·÷ìï >∑Ts¡TÔ≈£î -5
‘Ó#T· Ãø√+&ç. -10

(20, 10) _+<äTe⁄ Ä πsK\≈£î @¬ø’ø£ ñ -15

-20
eTà&ç _+<äTe⁄ ø±e⁄q ¬s+&ÉT #·s¡sêX¯ó\˝À >∑\
-25
πsFj·T düMTø£s¡D≤\ »‘·≈£î ˇπø ˇø£ kÕ<Ûäq -30
e⁄+≥T+~. Ç≥Te+{Ï düMTø£s¡D≤\qT dü+>∑‘·
sπ Fj·T düMTø£D≤\ »‘· n+{≤s¡T. M{ÏøÏ m\¢|ü &É÷ |
Y

ˇπø ˇø£ kÕ<Ûäq e⁄+≥T+~.

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 78 10e ‘·s¡>∑‹ >∑DÏ‘·+

Ç|ü⁄&ÉT eTq+ Ä˝À∫+∫, #·]Ã+∫ sêj·T+&ç $uÛ≤>∑+˝À Ç∫Ãq yÓTT<ä{Ï ñ<ëVü≤s¡DqT >∑eTì<ë›+.
eTq+ <ëì˝À 1 øÏ˝À ã+>±fi≤ <äT+|ü\ yÓ\qT, 1 øÏ˝À ≥e÷{≤\ yÓ\qT $&ç$&ç>± ø£qT>=Hê*. 1 øÏ˝À
ã+>±fi≤ <äT+|ü\ yÓ\ `x eT]j·TT 1øÏ˝À ≥e÷{≤\ yÓ\ `y nqTø=qTeTT. n|ü&ÉT @s¡Œ&˚ düMTø£s¡D≤\T
1x+2y=30 eT]j·TT 2x+4y=66.

x + 2y = 30 düMTø£s¡D≤ìøÏ 2x + 4y = 66 düMTø£s¡D≤ìøÏ
30 − x 66 − 2 x
x y= (x, y) x y= (x, y)
2 4
30 − 0 66 − 2(1)
0 y= = 15 (0, 15) 1 y= = 16 (1, 16)
2 4
30 − 2 66 − 2(3)
2 y= = 14 (2, 14) 3 y= = 15 (3, 15)
2 4
30 − 4 66 − 2(5)
4 y= = 13 (4, 13) 5 y= = 14 (5, 14)
2 4
30 − 6 66 − 2(7)
6 y= = 12 (6, 12) 7 y= = 13 (7, 13)
2 4
á dü+<äsꓤìï Á>±|òt˝À dü÷∫+∫q|ü⁄&ÉT ¬s+&ÉT Y

17
düe÷+‘·s¡ πsK\T @s¡Œ&É‘êsTT. á πsK\T ndü\T 16
K+&ç+#·Tø=qe⁄ ø£qTø£ á düMTø£s¡D≤\≈£î ñeTà&ç kÕ<Ûäq 15

˝Ò<äT. nq>± y˚s¡T y˚s¡T s√E\˝À ã+>±fi¯<äT+|ü\T, 14

13
≥e÷{≤\ yÓ\\T y˚s¡Ty˚s¡T>± e⁄+{≤sTT. ì»J$‘·+˝À 12

≈£L&Ü sTT~ dü‘·´y˚T. m+<äTø£+fÒ ≈£Ls¡>±j·T\ <Ûäs¡\T 11

m|ü&É÷ ˇπø $<Ûä+>± e⁄+{≤j·Tì eTq+ uÛ≤$+#·˝ÒeTT. 10

9
n$ m|ü&É÷ e÷s¡T‘·÷ e⁄+{≤sTT. eT]j·TT á e÷s¡TŒ 8

dü«‘·+Á‘· e÷s¡TŒ. 7

6
á $<Û+ä >± kÕ<Ûqä ˝Òì sπ Fj·T düMTø£sD¡ ≤\ »‘·\qT 5

ndü+>∑‘· πsFj·T düMTø£s¡D≤\ »‘·\T n+{≤s¡T. 4

n˝≤π> ªªÄ˝À∫+∫, #·]Ã+∫ sêj·T+&çμμ $uÛ≤>∑+˝Àì 2

¬s+&Ée ñ<ëVü≤s¡D˝À Á|ür u≤´≥T yÓ\qT ` x eT]j·TT 1

X
I

-2 -1 X
Á|ür ã+‹ yÓ\qT ` y nqTø=qTeTT. n|ü&ÉT Ä 0
-1
1 2 3 4 5 6 7 8

düMTø£s¡D≤\qT Áyêj·T>± 3x + 6y = 3900 eT]j·TT -2

x + 2y = 1300. Y
|

3x + 6y = 3900 düMTø£s¡D≤ìøÏ x + 2y = 1300 düMTø£s¡D≤ìøÏ

3900 − 3 x 1300 − x
x y= (x, y) x y= (x, y)
6 2
3900 − 3(100) 1300 − 100
100 y = = 600 (100, 600) 100 y = = 600 (100, 600)
6 2

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 ¬s+&ÉT #·s¡sêX¯ó\˝À πsFj·T düMTø£s¡D≤\ »‘· 79

3900 − 3(200) 1300 − 200

200 y = = 550 (200, 550) 200 y = = 550 (200, 550)
6 2
3900 − 3(300) 1300 − 300
300 y = = 500 (300, 500) 300 y = = 500 (300, 500)
6 2
3900 − 3(400) 1300 − 400
400 y = = 450 (400, 450) 400 y = = 450 (400, 450)
6 2
á düMTø£s¡D≤\T Á>±|òt˝À @ø°uÛÑ$+#˚ πsK\T>± Y

dü ÷ ∫+#· ã &É { ≤ìï eTq+ >∑ e Tì+#· e #· T ÃqT. 700

düMTø£s¡D≤\ kÕ<Ûäq\T ñeTà&ç _+<äTe⁄˝…’‘˚, á 600

dü+<äs¡“¤+˝À ñeTà&ç _+<äTe⁄\T @$ ? 500

400
Á>±|òt qT+&ç, sπ Kô|’ @s¡Œ&çq Á|ür _+<äTe⁄ s¬ +&ÉT
300
düMTø£s¡D≤\≈£î ñeTà&ç kÕ<Ûäq>± ñ+&É&Üìï eTq+
200
>∑eTì+#·e#·TÃqT. ¬s+&ÉT düMTø£s¡D≤\T ‘·T˝≤´\T
100
ø£qTø£ yê{ÏøÏ nq+‘·yÓTÆq kÕ<Ûäq\T e⁄+{≤sTT.
X
I

-200 -100 0 X
100 200 300 400 500 600
Ç≥Te+{Ï düMT≈£s¡D≤\qT ¬s+&ÉT #·s¡sêX¯ó\˝À >∑\
-100
|üs¡düŒsê<Ûë]‘· πsFj·T düMTø£s¡D≤\T n+{≤s¡T. -200

|
Y

Á|üj·T‹ï+#·+&ç
ô|’q Ç∫Ãq ñ<ëVü≤s¡D˝À Á|ür u≤´≥T eT]j·TT Á|ür ã+‹ yÓ\qT MTs¡T ø£qT>=q>∑\sê ?
Ä˝À∫+∫, #·]Ã+∫ sêj·T+&ç
|üs¡düŒsê<Ûë]‘· πsFj·T düMTø£s¡D≤\ »‘· m\¢|ü&É÷ dü+>∑‘· »‘· ne⁄‘·T+<ë ?
m+<äT≈£î ne⁄‘·T+~ (˝Ò<ë) m+<äT≈£î ø±<äT? ø±s¡D≤ìï $e]+#·+&ç.
Ç$ #˚j·T+&ç
1. ÁøÏ+~ düMTø£s¡D≤\ e´edüúqT kÕ~Û+#·+&ç.
i) x - 2y = 0 ii) x + y = 2 iii) 2x - y = 4
3x + 4y = 20 2x + 2y = 4 4x - 2y = 6
2. ˇø£ ¬s’\T e÷s¡Z+˝Àì ¬s+&ÉT ¬s’\T |ü{≤º\qT dü÷∫+#˚ düMTø£s¡D≤\T
x + 2y - 4 = 0 eT]j·TT 2x + 4y- 12 = 0 á dü+<äsꓤìï Á>±|òt <ë«sê dü÷∫+#·+&ç.

4.2.3 >∑TDø£eTT\T eT]j·TT düMTø£sD¡ e´edüú dü«uÛ≤eeTT eT<Û´ä >∑\ dü+ã+<Ûeä TT

a1, b1, c1 eT]j·TT a2, b2, c2 \T Ç∫Ãq ¬s+&ÉT #·s¡sêX¯ó\˝À >∑\ πsFj·T düMTø£s¡D≤\ »‘·˝Àì
a1 b1 c 1
,
>∑TDø£eTT\T nsTTq ô|’ ñ<ëVü≤s¡D\˝Àì a 2 b2 , c 2 \ $\Te\T Áyêdæ yê{Ïì b˛\TÃ<ëeTT.

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 80 10e ‘·s¡>∑‹ >∑DÏ‘·+

a1 b1 c1
düs¡fiπ̄sK\ »‘·\T a2 b2 c2 ìwüŒ‘·T\Ô dü÷∫+#˚ ;»>∑DÏ‘·
b˛*ø£ Á>±|òt $es¡D
3 2 −80 a1 b
1. 3x+2y–80=0 ≠ 1 K+&Éq @¬øø’ £
4 3 −110 a2 b2
4x+3y–110=0 sπ K\T kÕ<Ûäq
1 2 −30 a1 b c
2. 1x+2y–30=0 = 1 ≠ 1 düe÷+‘·s¡ kÕ<Ûäq˝Ò<äT
2 4 −66 a2 b2 c2
2x+4y–66=0 sπ K\T
3 6 3900 a1 b c
3. 3x+6y=3900 = 1 = 1 @ø°u$ÑÛ +#˚ nq+‘·yTÓ qÆ
1 2 1300 a2 b2 c2
x+2y=1300 sπ K\T kÕ<Ûqä \T+&ÉTqT

Ç|ü&ÉT ø=ìï ñ<ëVü≤s¡D\qT |ü]o*<ë›eTT.

ñ<ëVü≤s¡D-1. ÁøÏ+~ düMTø£sD¡ ≤\ »‘· K+&Éqsπ K˝≤, düe÷+‘·s¡ sπ K˝≤ ˝Ò<ë @ø°u$ÑÛ +#˚ sπ K˝≤ dü]#·÷&É+&ç.
Ä düMTø£s¡D≤\T dü+>∑‘·eTT nsTTq yê{Ï kÕ<Ûäq ø£qT>=qTeTT.
2x + y - 5 = 0
3x - 2y - 4 = 0
a1 2 b1 1 c1 −5
kÕ<Ûqä : = = =
a2 3 b2 −2 c2 −4

a1 b
≠ 1 ø±e⁄q n$ K+&Éq πsK\T nq>± dü+>∑‘· πsFj·T düMTø£s¡D≤\ »‘·
a2 b2

2x + y = 5 düMTø£s¡D≤ìøÏ 3x - 2y = 4 düMTø£s¡D≤ìøÏ
4 − 3x
x y = 5 - 2x (x, y) x y= (x, y)
−2
4 − 3(0)
0 y = 5 - 2 (0) = 5 (0, 5) 0 y= = -2 (0, -2)
−2
4 − 3(2)
1 y = 5 - 2(1) = 3 (1, 3) 2 y= =1 (2, 1)
−2
4 − 3(4)
2 y = 5 - 2(2) = 1 (2, 1) 4 y= =4 (4, 4)
−2
3 y = 5 - 2(3) = -1 (3, -1)
4 y = 5 - 2(4) = -3 (4, -3)

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 ¬s+&ÉT #·s¡sêX¯ó\˝À πsFj·T düMTø£s¡D≤\ »‘· 81

á düMTø£s¡D≤\ »‘·≈£î @¬ø’ø£ 3

kÕ<Ûqä (2,1). 2

1 (2, 1)

X
I

-2 -1 X
0 1 2 3 4 5 6 7 8
-1

-2

-3

Y|

ñ<ëVü≤s¡D-2. ÁøÏ+~ düMTø£s¡D≤\ »‘· dü+>∑‘· »‘· ne⁄H√, ø±<√ dü]#·÷&É+&ç.

3x + 4y = 2 eT]j·TT 6x + 8y = 4
Á>±|òt ^j·T&É+ <ë«sê MT »yêãTqT dü]#·÷&É+&ç.
kÕ<Ûqä : 3x + 4y - 2 = 0
6x+8y - 4 = 0
a1 3 1 b1 4 1 c1 −2 1
= = = = = =
a 2 6 2 b2 8 2 c 2 −4 2
a1 b c
= 1 = 1 ø±e⁄q n$ @ø°u$
ÑÛ +#˚ sπ K\T. ø±e⁄q Ç∫Ãq sπ Fj·T düMTø£sD¡ ≤\ »‘· |üsd¡ Œü sê<Ûë]‘·
a2 b2 c2
düMTø£s¡D≤\ »‘·
3x + 4y = 2 düMTø£s¡D≤ìøÏ 6x + 8y = 4 düMTø£s¡D≤ìøÏ
2 − 3x 4 − 6x
x y= (x, y) x y= (x, y)
4 8
2 − 3(0) 1 1 4 − 6(0) 1 1
0 y= = (0, ) 0 y= = (0, )
4 2 2 8 2 2
2 − 3(2) 4 − 6(2)
2 y= = -1 (2, -1) 2 y= = -1 (2, -1)
4 8
2 − 3(4) 4 − 6(4)
4 y= = -2.5 (4, -2.5) 4 y= = -2.5 (4, -2.5)
4 8
2 − 3(6) 4 − 6(6)
6 y= = -4 (6, -4) 6 y= = -4 (6, -4)
4 8

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 82 10e ‘·s¡>∑‹ >∑DÏ‘·+

Y
4

XI
-2 -1 0 X
1 2 3 4 5 6 7 8
-1

-2

-3

-4
|
Y

ñ<ëVü≤s¡D-3. 4x−6y = 15 eT]j·TT 2x−3y = 5 düMTø£s¡D≤\T dü+>∑‘· düMTø£s¡D≤˝ÒyÓ÷ dü]#·÷&É+&ç.

Ç+ø± yê{ÏøÏ Á>±|òt ^j·T+&ç.
kÕ<Ûäq : 4x−6y − 15 = 0
2x − 3y − 5 = 0
a1 4 2 b1 − 6 2
= = = =
a2 2 1 b2 − 3 1
c1 −15 3 a1 b c
= = = 1 ≠ 1
c2 −5 1 a2 b2 c2
Ç$ ndü+>∑‘· düMTø£s¡D≤\T. M{ÏøÏ kÕ<Ûäq˝Ò<äT eT]j·TT M{Ï πsU≤ ∫Á‘·eTT (Á>±|òt) düe÷+‘·s¡ πsK\T.
4x − 6y = 9 düMTø£s¡D≤ìøÏ 2x − 3y = 5 düMTø£s¡D≤ìøÏ

15 − 4x 5 − 2x
x y= (x, y) x y= (x, y)
−6 −3

15 − 0 −5 5 − 2(1)
0 y= = (0, −2.5) 1 y= = −1 (1, −1)
−6 2 −3

15 − 4(3) −1 5 − 2(4)
3 y= = (3, −0.5) 4 y= =1 (4, 1)
−6 2 −3

15 − 4(6) 3 5 − 2(7)
6 y= = (6, 1.5) 7 y= =3 (7, 3)
−6 2 −3

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 ¬s+&ÉT #·s¡sêX¯ó\˝À πsFj·T düMTø£s¡D≤\ »‘· 83

X
I

-2 -1 X
0 1 2 3 4 5 6 7 8
-1

-2

-3

-4
|
Y

Ç$ #˚j·T+&ç
ÁøÏ+~ düMTø£s¡D≤\ »‘·\≈£î @¬ø’ø£ kÕ<Ûäq, nq+‘· kÕ<Ûäq˝≤ ˝Òø£ kÕ<Ûäq\T ˝Òy√ dü]#·÷&É+&ç.
yê{Ïì Á>±|òt |ü<äΔ‹ <ë«sê kÕ~Û+#·+&ç.
(i) 2x+3y = 1 (ii) x + 2y = 6 (iii)3x + 2y = 6
3x-y = 7 2x + 4y = 12 6x+4y = 18

Á|üj·T‹ï+#·+&ç
1. ÁøÏ+~ düMTø£s¡D≤\ »‘·≈£î 'p' jÓTTø£ÿ @ $\Te≈£î @¬ø’ø£ kÕ<Ûäq e⁄+≥T+<√ ø£qT>=q+&ç.
2x + py = − 5 eT]j·TT 3x + 3y = − 6
2. 2x − ky + 3 = 0, 4x + 6y − 5 =0 düMTø£s¡D≤\ »‘·≈£î, k jÓTTø£ÿ @ $\Te≈£î n$ düe÷+‘·s¡
πsK\e⁄‘êjÓ÷ ø£qT>=q+&ç.
3. 'k' jÓTTø£ÿ @ $\Te≈£î, 3x + 4y + 2 = 0 eT]j·TT 9x + 12y + k = 0 πsU≤ düMTø£s¡D≤\ »‘·
@ø°uÛÑ$+#˚ πsK\e⁄‘êjÓ÷ ø£qT>=q+&ç.
4. 'p' jÓTTø£ÿ @ <Ûäq$\Te\≈£î ÁøÏ+~ düMTø£s¡D≤\ »‘·≈£î nq+‘· kÕ<Ûäq\T+{≤jÓ÷ ø£qT>=q+&ç.
px + 3y − (p − 3) = 0
12x + py − p = 0
Ç|ü&ÉT eTq+ eT]ø=ìï ñ<ëVü≤s¡D\T #·÷<ë›+.
ñ<ëVü≤s¡D-4. ˇø£ ‘√≥˝À ø=ìï ‘·TyÓTà<ä\T eT]j·TT |ü⁄e⁄«\T ø£\e⁄. Á|ür |ü⁄e⁄«ô|’ ˇø£ ‘·TyÓTà<ä yê*q|ü⁄&ÉT
ˇø£ ‘·TyÓTà<ä $T–*b˛‘·T+~. Á|ür |ü⁄e⁄«ô|’ ¬s+&ÉT ‘·TyÓTà<ä\T yê*‘˚ ˇø£ |ü⁄e⁄« $T–*b˛‘·T+~. nsTTq
|ü⁄e⁄«˝…ìï ? ‘·TyÓTà<ä˝…ìï ?
kÕ<Ûqä : ‘·TyÓTà<ä\ dü+K´ = x
|ü⁄e⁄«\ dü+K´ = y nqTø=qTeTT.
Á|ür |ü⁄e⁄«ô|’ ˇø£ ‘·TyÓTà<ä yê*q, ˇø£ ‘·TyÓTà<ä $T–*b˛‘·T+~. ø±e⁄q x = y + 1

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 84 10e ‘·s¡>∑‹ >∑DÏ‘·+

nq>± x−y−1=0 (1)

Á|ür |ü⁄e⁄«ô|’ ¬s+&ÉT ‘·TyÓTà<ä\T yê*‘˚, ˇø£ |ü⁄e⁄« $T–*b˛‘·T+~, ø±e⁄q x = 2(y − 1)
nq>± x − 2y + 2 = 0 (2)
x − y − 1 = 0 düMTø£s¡D≤ìøÏ x − 2y + 2 = 0 düMTø£s¡D≤ìøÏ
x+2
x y=x-1 (x, y) x y= (x, y)
2
0+ 2
0 y = 0 - 1 = -1 (0, -1) 0 y= =1 (0, 1)
2
2+2
1 y=1-1=0 (1, 0) 2 y= =2 (2, 2)
2
4+2
2 y=2-1=1 (2, 1) 4 y= =3 (4, 3)
2
6+ 2
3 y=3-1=2 (3, 2) 6 y= =4 (6, 4)
2
4 y=4-1=3 (4, 3)

3 (4, 3)
2

XI

-2 -1 0 1 5 X
2 3 4 6 7 8
-1

-2

-3

-4

Y|

n+<äTe\q ‘·TyÓTà<ä\ dü+K´ 4 eT]j·TT |ü⁄e⁄«\ dü+K´ 3.

ñ<ëVü≤s¡D-5. ˇø£ Bs¡È #·‘·Ts¡ÁkÕø±s¡ düú\eTT #·T≥Tºø=\‘· 32MT. <ëì bı&Ée⁄qT 2MT ô|+∫, yÓ&É\TŒqT
1MT ‘·–Z+#·>± <ëì yÓ’XÊ\´eTT˝À @e÷s¡÷Œ ˝Òø£ j·T<∏ë‘·<∏ä+>± e⁄+&ÉTqT. nsTTq Ä düú\eTT bı&Ée⁄,
yÓ&É\TŒ\qT ø£qT>=qTeTT.
kÕ<Ûäq : Bs¡È#·‘·Ts¡ÁkÕø±s¡ düú\eTT bı&Ée⁄, yÓ&É\TŒ\T es¡Tdü>± l , b nqTø=qTeTT. nsTTq yÓ’XÊ\´eTT = lb
eT]j·TT
#·T≥Tºø=\‘· = 2(l + b) = 32 MT.
l + b = 16 ˝Ò<ë l + b − 16 = 0 (1)

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 ¬s+&ÉT #·s¡sêX¯ó\˝À πsFj·T düMTø£s¡D≤\ »‘· 85

<ëì bı&Ée⁄qT 2 MT., ô|+#·>± @s¡Œ&çq Áø=‘·Ô bı&Ée⁄ l+2. n˝≤π> yÓ&\É TŒqT 1MT ‘·–+Z #·>± @s¡Œ&çq
Áø=‘·Ô yÓ&É\TŒ b - 1.
n|ü⁄&ÉT yÓ’XÊ\´eTT = (l + 2) (b - 1)
ø±ì yÓ’XÊ\´eTT˝À e÷s¡TŒ˝Ò<äT, ø±ã{Ϻ
(l + 2) (b - 1) = lb
lb - l +2b - 2 = lb ˝Ò<ë lb - lb = l - 2b + 2
l - 2b + 2 = 0 (2)
l + b - 16 = 0 düMTø£s¡D≤ìøÏ l - 2b + 2 = 0 düMTø£s¡D≤ìøÏ
l+2
l b = 16 - l (l, b) l b= (l, b)
2
6+ 2
6 b = 16 - 6 = 10 (6, 10) 6 b= =4 (6, 4)
2
8+2
8 b = 16 - 8 = 8 (8, 8) 8 b= =5 (8, 5)
2
10 + 2
10 b = 16 - 10 = 6 (10, 6) 10 b= =6 (10, 6)
2
12 + 2
12 b = 16 - 12 = 4 (12, 4) 12 b= =7 (12, 7)
2
14 + 2
14 b = 16 - 14 = 2 (14, 2) 14 b= =8 (14, 8)
2
ø±e⁄q Ä düú\eTT jÓTTø£ÿ ndü˝…’q bı&Ée⁄, yÓ&É\TŒ\T es¡Tdü>± 10MT eT]j·TT 6MT.
bı&Ée⁄ ø=\‘·\T X`nø£åeTTô|’qqT, yÓ&É\TŒø=\‘·\T Y` nø£åeTTô|’ rdüTø√>±
Y

14

12

10

6 (10, 6)

XI

-2 X
-1 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
-1

-2

-3

-4

Y|

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 86 10e ‘·s¡>∑‹ >∑DÏ‘·+

nuÛ≤´düeTT - 4.1
a1 b1 c1
1. Á>±|òt\T ^j·T≈£î+&Ü, a , b , c ìwüŒ‘·TÔ\qT b˛*Ã, ÁøÏ+<ä sTT∫Ãq πsU≤ düMTø£s¡D≤\ »‘·\T
2 2 2

K+&Éq πsK˝À, düe÷+‘·s¡ πsK˝À ˝Ò<ë @ø°uÛÑ$+#˚ πsK˝À ø£qT>=qTeTT.

a) 5x- 4y + 8 = 0 b) 9x+3y + 12 = 0 c) 6x − 3y + 10 = 0
7x+6y−9 = 0 18x+6y + 24 = 0 2x − y + 9 = 0
2. ÁøÏ+<ä sTT∫Ãq düMTø£s¡D≤\ »‘·\T dü+>∑‘· düMTø£s¡D≤˝À, ndü+>∑‘· düMTø£s¡D≤˝À dü]#·÷&ÉTeTT.
yê{Ïì πsU≤ ∫Á‘· |ü<äΔ‹q (Á>±|òt |ü<äΔ‹˝À) kÕ~Û+#·TeTT.
3 5
a) 3x + 2y = 5 b) 2x − 3y = 8 c) x+ y = 7
2 3
2x − 3y = 7 4x − 6y = 9 9x − 10y = 14

4
d) 5x − 3y = 11 e) x +2y = 8 f) x + y = 5
3
−10x + 6y = −22 2x + 3y = 12 2x + 2y = 10
g) x − y = 8 h) 2x + y−6 = 0 i) 2x − 2y − 2 = 0
3x − 3y = 16 4x − 2y − 4 = 0 4x − 4y − 5 = 0
3. H˚Vü≤ ø=ìï bÕ´+≥T\qT eT]j·TT düÿs¡Tº\qT ø=q&ÜìøÏ <äTø±DeTTq≈£î yÓ[flq~. ÄyÓT $TÁ‘·Tsê\T
bÕ´+≥T\T mìï, düÿs¡Tº\T mìï ø=Hêïeì n&ÉT>∑>± ÄyÓT Ç˝≤ »yê_∫Ã+~. ªªH˚qT ø=qï düÿs¡Tº\
dü+K´, bÕ´+≥¢ dü+K´ ¬s{Ϻ+|ü⁄ ø£Hêï ¬s+&ÉT ‘·≈£îÿe. n˝≤π> düÿs¡Tº\ dü+K´ bÕ´+≥¢ dü+K´≈£î Hê\T>∑T
¬s≥T¢ ø£Hêï Hê\T>∑T ‘·≈£îÿeªª.
H˚Vü≤ mìï bÕ´+≥T\T, mìï düÿs¡Tº\T ø=qï<√ ‘Ó\TdüTø√e&É+˝À ÄyÓT $TÁ‘·Tsê*øÏ düVü‰j·T+ #˚j·T+&ç.
4. |ü<äe‘·s¡>∑‹ #·~y˚ 10 eT+~ $<ë´s¡Tú\T ˇø£ >∑DÏ‘· øÏ«CŸ˝À bÕ˝§ZHêïs¡T. <ëì˝À bÕ˝§Zqï u≤*ø£\
dü+K´, u≤\Ts¡ dü+K´ ø£Hêï 4 m≈£îÿe nsTTq Ä øÏ«CŸ˝À bÕ˝§Zqï u≤*ø£\ dü+K´qT, u≤\Ts¡ dü+K´qT
ø£qT>=q+&ç.
5. 5 ô|ì‡fi¯ófl eT]j·TT 7 ø£\eTT\ yÓTT‘·ÔeTT yÓ\ `50. n˝≤π> 7 ô|ì‡fi¯ófl eT]j·TT 5 ø£\eTT\ yÓTT‘·ÔeTT
yÓ\ (ny˚s¡ø£+) `46 nsTTq Á|ür ô|ì‡˝Ÿ eT]j·TT ø£\eTT yÓ\ ø£qT>=q+&ç.
6. yÓ&É\TŒ ø£Hêï bı&Ée⁄ 4MT m≈£îÿe ø£*–q ˇø£ Bs¡È#·‘·Ts¡ÁkÕø±s¡ ‘√≥ #·T≥Tºø=\‘·˝À dü>∑eTT 36MT.
nsTTq Ä‘√≥ ø=\‘·\T ø£qT>=qTeTT.
7. 2x + 3y - 8 = 0 ˇø£ πsFj·T düMTø£s¡DeTT. Bì‘√ C≤´$Trj·T+>± K+&Éq πsK\qT @s¡Œ]#˚≥≥T¢
y˚s=ø£ πsFj·T düMTø£s¡D≤ìï sêj·T+&ç.
n<˚$<Ûä+>± düe÷+‘·s¡ πsK\T nj˚T´≥≥T¢, @ø°uÛÑ$+#˚ πsK\T nj˚T´≥≥T¢ eT] ¬s+&ÉT düMTø£s¡D≤\qT
sêj·T+&ç.
8. ˇø£ Bs¡È #·‘T· s¡ÁkÕìøÏ bı&Ée⁄ 5j·T÷ì≥T¢ ‘·–+Z ∫, yÓ&\É TŒ 2j·T÷ì≥T¢ ô|+#·>±, yÓX’ Ê\´eTT 80#·<sä |¡ ⁄ü
j·T÷ì≥T¢ ‘·>∑TZqT. bı&Ée⁄qT 10 j·T÷ì≥T¢ ô|+∫, yÓ&É\TŒ 5 j·T÷ì≥T¢ ‘·–Z+#·>±, yÓ’XÊ\´eTT 50
#·<äs¡|ü⁄ j·T÷ì≥T¢ ô|s¡T>∑TqT. nsTTq Ä Bs¡È #·‘·Ts¡ÁdüeTT bı&Ée⁄, yÓ&É\TŒ\qT ø£qT>=qTeTT.
Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ
 ¬s+&ÉT #·s¡sêX¯ó\˝À πsFj·T düMTø£s¡D≤\ »‘· 87

9. 10e ‘·s¡>∑‹˝À, eTT>∑TZπsdæ $<ë´s¡Tú\T ˇø£ u…+∫ô|’ ≈£Ls=Ãq>±, ˇø£ $<ë´]úøÏ ≈£Ls¡TÃH˚+<äT≈£î düú\eTT
e⁄+&É<äT. n˝≤>∑ì ˇø=ÿø£ÿ u…+∫˝À q\T>∑Tπsdæ $<ë´s¡Tú\T ≈£Ls=Ãqï#√, ˇø£ u…+N U≤∞>± $T–*
b˛e⁄qT. nsTTq Ä ‘·s¡>∑‹˝Àì $<ë´s¡Tú˝…+<äs¡T? u…+N˝…ìï ? ø£qT>=qTeTT.
4.3 πsFj·T düMTø£s¡D≤\ »‘·≈£î kÕ<Ûäq ø£qT>=q&ÜìøÏ ;»>∑DÏ‘· |ü<äΔ‘·T\T
Á>±|òt |ü<äΔ‹˝À πsFj·T düMTø£s¡D≤\ »‘·≈£î kÕ<Ûäq m˝≤ ø£qT>=Hê˝À eTq+ H˚s¡TÃ≈£îHêïeTT. ø±ì
kÕ<Ûqä qT dü÷∫+#˚ _+<äTe⁄ ìs¡÷|üø±\T |üPs¡dí +ü K´\T ø±q|ü⁄&ÉT á Á>±|òt |ü<‹Δä n+‘· nqT≈£L\yÓTqÆ ~ ø±<äT.
4 1
ñ<ëVü≤s¡D≈£î kÕ<Ûäq\T ( 3 , 2 7 ), (- 1.75, 3.3), ( 13 , 19 ) .... yÓTT<ä\>∑T s¡÷bÕ\˝À e⁄+fÒ Ä
_+<äTe⁄\qT Á>±|òôt |’ >∑T]Ô+#˚≥|ü&ÉT, Á>±|òt qT+&ç yê{Ïì _+<äT s¡÷|ü+˝À sêùd≥|ü⁄&ÉT ‘·|ü »]π> neø±XÊ\T
#ê˝≤ m≈£îÿe. eT] á kÕ<Ûqä ø£qT>=q&ÜìøÏ @yÓH’ ê sTT‘·s¡ |ü<‘Δä T· \THêïj·÷? nH˚ø£ ;»>∑D‘Ï · |ü<‘Δä T· \THêïsTT.
yê{Ï˝À ø=ìï eTq+ #·]Ã+#·Tø=+<ëeTT.

4.3.1 Á|ü‹øπ |å Dü |ü<‹Δä

¬s+&ÉT #·s¡sêX¯ó\˝À πsFj·T düMTø£s¡D≤\ »‘·≈£î kÕ<Ûäq ø£qT>=qT≥˝À ˇø£ #·s¡sê•ì, ¬s+&Ée #·s¡sê•
|ü<äeTT\˝À düT\uÛÑ+>± sêj·T>∑*–q|ü⁄&ÉT á |ü<äΔ‹ #ê˝≤ ñ|üjÓ÷>∑ø£s¡+. k˛bÕHê\ Á|üø±s¡+ |ü]o*<ë›+.
k˛bÕqeTT-1 : ˇø£ düMTø£s¡D+˝À ˇø£ #·s¡sê•ì y˚s=ø£ #·s¡sê• |ü<äeTT\˝À sêj·TTeTT. #·s¡sê• 'y' ì
#·s¡sê• 'x' |ü<äeTT\˝À sêj·÷*.
k˛bÕqeTT-2 : k˛bÕqeTT 1˝À e∫Ãq #·s¡sê• y $\TeqT ¬s+&Ée düMTø£s¡D+˝À Á|ü‹πøå|æ+#ê*.
k˛bÕqeTT-3 : k˛bÕqeTT 2˝À e∫Ãq düMTø£s¡D≤ìï dü÷ø°åàø£]+∫ x $\Te ø£qT>=Hê*.
k˛bÕqeTT-4 : k˛bÕqeTT 3˝À e∫Ãq ªxμ $\Teì Ç∫Ãq düMTø£s¡D≤\˝À @<√ ˇø£ <ëì˝À Á|ü‹πøå|æ+∫
<ëìì #·s¡sê• y ø=s¡≈£î kÕ~Û+#ê*.
k˛bÕqeTT-5 : e∫Ãq kÕ<Ûäq˝Àì x, y $\Te\qT Ç∫Ãq ¬s+&Ée düMTø£s¡DeTT˝À Á|ü‹πøå|æ+∫ dü]#·÷&ÉTeTT.
ñ<ëVü≤s¡D-6. Ç∫Ãq düMTø£s¡D≤\ »‘·qT Á|ü‹πøå|üD |ü<äΔ‹ <ë«sê kÕ~Û+#·TeTT.
2x − y = 5
3x + 2y = 11
kÕ<Ûäq : 2x − y = 5 (1)
3x + 2y = 11 (2)
(1) e düMTø£s¡D≤ìï á ÁøÏ+~ $<Ûä+>± sêj·Te#·TÃqT
y = 2x − 5 (k˛bÕqeTT 1)
Bìì (2)e düMTø£s¡D+˝À Á|ü‹πøå|æ+#·>±
3x + 2(2x − 5) = 11 (k˛bÕqeTT 2)

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 88 10e ‘·s¡>∑‹ >∑DÏ‘·+

3x + 4x − 10 = 11
7x = 11 + 10 = 21
x = 21/7 = 3. (k˛bÕqeTT 3)
x =3 ì düMTø£s¡D+ (1) ˝À Á|ü‹πøå|æ+#·>±
2(3) − y = 5 (k˛bÕqeTT 4)
y=6−5=1
x, y \ $\Te\T (2)˝À Á|ü‹πøå|æ+#·>± 3(3) G 2(1) R 9 G 2 R11
ø±ã{Ϻ, ø±e\dæq kÕ<Ûäq x = 3 eT]j·TT y = 1.
sTT∫Ãq ¬s+&ÉT düMTø£s¡D≤\qT x = 3 eT]j·TT y = 1 dü+‘·è|æÔ |üs¡TkÕÔsTT (k˛bÕqeTT 5)

Ç$ #˚j·T+&ç
ÁøÏ+<ä sTT∫Ãq Á|ür »‘· düMTø£s¡D≤\qT Á|ü‹πøå|üD |ü<äΔ‹ <ë«sê kÕ~Û+#·+&ç.
1) 3x − 5y = −1 2) x + 2y = - 1 3) 2x+3y = 9
x−y=−1 2x − 3y = 12 3x+4y = 5
6
4) x + =6 5) 0.2x + 0.3y = 13 6) 2 x + 3y = 0
y
8
3x − =5 0.4x + 0.5y = 2.3 3x - 8 y = 0
y
4.3.2 #·ss¡ ê•ì ‘=\–+#·T |ü<‹Δä
á |ü<äΔ‹˝À, düMTø£s¡D≤\˝Àì ˇø£ #·s¡sê• >∑TDø±\qT düe÷q+ #˚j·T&É+ <ë«sê Ä #·s¡sê•ì
‘=\–kÕÔeTT. Bì e\q ˇø£ #·s¡sê•˝À ˇπø düMTø£s¡DeTT @s¡Œ&ÉT‘·T+~. <ëìì kÕ~Û+#·&É+ <ë«sê ¬s+&Ée
#·s¡sê• $\Te edüTÔ+~. á |ü<äΔ‹ì ns¡ú+ #˚düTø√e&ÜìøÏ Bì˝Àì eTTK´k˛bÕHê\T >∑eTì+#·+&ç.
k˛bÕqeTT-1 : Ç∫Ãq ¬s+&ÉT düMTø£s¡D≤\qT ax + by = c s¡÷|ü+˝À sêj·T+&ç.
k˛bÕqeTT-2 : Ä s¬ +&ÉT düMTø£sD¡ ≤\qT dü]jÓTÆ q yêdüeÔ dü+K´\‘√ >∑TDÏ+#·&+É <ë«sê Ä s¬ +&ÉT düMTø£sD¡ ≤\˝Àì
¬s+&ÉT #·s¡sêX¯ó\˝À ‘=\–+#·<ä\∫q ˇø£ #·s¡sê• >∑TDø±ìï düe÷q+ #˚j·T+&ç.
k˛bÕqeTT-3 : eTq+ ‘=\–+#·e\dæq #·s¡sê• >∑TDø±\T ¬s+&ÉT düMTø£s¡D≤\˝À ˇπø >∑Ts¡TÔqT ø£*– e⁄+fÒ
ˇø£ düMTø£s¡D+ qT+&ç y˚s=ø£{Ï rdæy˚j·T&É+ <ë«sê ˇø£ #·s¡sê•˝À ˇø£ düMTø£s¡D+ edüTÔ+~. n<˚ yê{ÏøÏ
e´‹πsø£ >∑Ts¡TÔ\T+fÒ yê{Ïì ≈£L&Ü*.
k˛bÕqeTT-4 : $T–*q #·s¡sê• $\Te ø=s¡≈£î Ä düMTø£s¡D≤ìï kÕ~Û+#·+&ç.
k˛bÕqeTT-5 : á e∫Ãq $\TeqT Ç∫Ãq ¬s+&ÉT düMTø£s¡D≤\˝À ˇø£<ëì˝À Á|ü‹πøå|æ+∫, eTq+ eTT+<äT
‘=\–+∫q #·s¡sê• $\Te ø£qT>=Hê*.
ñ<ëVü≤s¡D-7. ÁøÏ+<ä Ç∫Ãq πsFj·T düMTø£s¡D≤\ »‘·qT #·s¡sê•ì ‘=\–+#˚ |ü<äΔ‹ <ë«sê kÕ~Û+#·+&ç.
3x + 2y = 11
2x + 3y = 4

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 ¬s+&ÉT #·s¡sêX¯ó\˝À πsFj·T düMTø£s¡D≤\ »‘· 89

kÕ<Ûqä : 3x + 2y = 11 (1)
2x + 3y = 4 (2) (k˛bÕqeTT 1)
Ç∫Ãq düMTø£s¡D≤\ qT+&ç #·s¡sê• 'y'ì ‘=\–+#ê\qTø=qTeTT. ¬s+&ÉT düMTø£s¡D≤\˝À 'y' >∑TDø±\T
es¡Tdü>± 2 eT]j·TT 3. yê{Ï ø£.kÕ.>∑T. 6. ø±e⁄q düMTø£s¡DeTT (1) ì 3#˚, düMTø£s¡DeTT (2) ì 2 #˚
>∑TDÏ+#ê*.
düMTø£s¡DeTT (1) × 3 9x + 6y = 33 (k˛bÕqeTT 2)
düMTø£s¡DeTT (2) × 2 4x + 6y = 8
(-) (-) (-) (k˛bÕqeTT 3)
5x = 25
25
x= =5 (k˛bÕqeTT 4)
5
x = 5 $\TeqT düMTø£s¡D+ (1)˝À Áyêj·T>±
3(5) + 2y = 11
−4
2y = 11 − 15 = − 4 ⇒ y = =− 2 (k˛bÕqeTT 5)
2
ø±e⁄q ø±e\dæq kÕ<Ûäq x = 5, y = − 2.

Ç$ #˚j·T+&ç
ÁøÏ+~ Á|ür»‘· πsFj·T düMTø£s¡D≤\qT #·s¡sê•ì ‘=\–+#˚ |ü<äΔ‹ <ë«sê kÕ~Û+#·+&ç.
1. 8x+ 5y = 9 2. 2x + 3y = 8 3. 3x + 4y = 25
3x+2y = 4 4x + 6y = 7 5x - 6y = -9

Á|üj·T‹ï+#·+&ç.
Ç∫Ãq πsFj·T düMTø£s¡D≤\ »‘·qT kÕ~Û+#·+&ç.
(a − b)x + (a + b)y = a2 − 2ab − b2
(a + b) (x + y) = a2 + b2

Ç|ü&ÉT eT]ø=ìï ñ<ëVü≤s¡D\qT #·÷<ë›+.

ñ<ëVü≤s¡D-8. s¡T;Hê u≤´+≈£î qT+&ç `2000 rdüTø=q<ä\∫q~. ÄyÓT ø±´wæj·TsYqT Ä yÓTT‘êÔìøÏ `50
eT]j·TT `100 H√≥T¢ e÷Á‘·y˚T áj·TeTì ø√]q~. yÓTT‘·ÔeTT ÄyÓT≈£î 25 H√≥T¢ e∫Ãq, ÄyÓT≈£î mìï `50
H√≥T¢, mìï `100 H√≥T¢ e∫Ãqy√ #Ó|üŒ>∑\sê ?
kÕ<Ûqä : ÄyÓT≈£î e∫Ãq `50 H√≥¢ dü+K´qT x nì
`100 H√≥¢ dü+K´qT y nì nqTø=qTeTT.
n|ü⁄&TÉ , x + y = 25 (1)
eT]j·TT 50x + 100y = 2000 (2)
Mìì Á|ü‹πøå|üD |ü<äΔ‹˝À kÕ~Û+∫q~.

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 90 10e ‘·s¡>∑‹ >∑DÏ‘·+

(1)
e düMTø£s¡DeTT qT+&ç x = 25 − y
(2)e düMTø£s¡D+˝À Á|ü‹πøå|æ+#·>± 50 (25 − y) + 100y = 2000
1250 − 50y + 100y = 2000
50y = 2000 − 1250 = 750

750
y= = 15
50
x = 25 − 15 = 10
ø±e⁄q s¡T;Hê |ü~ `50 H√≥¢qT, |ü~ùV≤qT `100 H√≥¢qT rdüTø=qï~.
X‚«‘· #·s¡sê•ì ‘=\–+#·T |ü<äΔ‹ <ë«sê Bìì kÕ~Û+∫q~.
düMTø£s¡D≤\˝À, x >∑TDø±\T es¡Tdü>± 1 eT]j·TT 50 ø±e⁄q
düMTø£s¡DeTT (1) × 50 50x + 50y = 1250
düMTø£s¡DeTT (2) × 1 50x + 100y = 2000 ˇπø >∑Ts¡TÔ ø±e⁄q düMTø£s¡D≤ìï rdæy˚j·T>±
(−) (−) (−)
−50y = −750

−750
˝Ò<ë y= = 15
−50
(1)e düMTø£s¡D+˝À y $\TeqT Á|ü‹πøå|æ+#·>± x + 15 = 25
x = 25 − 15 = 10
ø±e⁄q ÄyÓT |ü~ `50 H√≥¢qT, |ü~ùV≤qT `100 H√≥¢qT rdüTø=qï~.
ñ<ëVü≤s¡D-9. ˇø£ b˛{° |üØø£˝å À, Á|ür dü]jÓTÆ q düe÷<ÛëHêìøÏ 3 e÷s¡Tÿ\T y˚jT· >±, Á|ür ‘·|ü düe÷<ÛëHêìøÏ
1 e÷s¡Tÿ ‘·–Z+#Ó<äs¡T. á |üØø£å˝À eT<ÛäT 40 e÷s¡Tÿ\T dü+bÕ~+#ÓqT. Á|ü‹ dü]jÓÆTq düe÷<ÛëHêìøÏ
4 e÷s¡Tÿ\T y˚dæ, Á|ür ‘·|ü düe÷<ÛëHêìøÏ 2 e÷s¡Tÿ\T ‘·–Z+∫q n‘·ìøÏ 50 e÷s¡Tÿ\T e∫à ñ+&˚$ nsTTq
Ä |üØø£å˝À ñqï yÓTT‘·ÔeTT Á|üX¯ï\T mìï? (eT<ÛäT |üØø£å |üÁ‘·eTT˝Àì nìï Á|üX¯ï\≈£î »yêãT\T sêôdqT)
kÕ<Ûqä : dü]jÓÆTq düe÷<ÛëqeTT\ dü+K´ x;
‘·|ü düe÷<ÛëqeTT\ dü+K´ y nqTø=qTeTT.
Á|ür dü]jÓÆTq düe÷<ÛëHêìøÏ 3 e÷s¡Tÿ\T y˚j·T>±, Á|ür ‘·|ü düe÷<ÛëHêìøÏ 1 e÷s¡Tÿ ‘·–Z+#Ó<äs¡T.
n|ü⁄&ÉT n‘·ìøÏ e∫Ãq e÷s¡Tÿ\T 40.
3x − y = 40 (1)
Á|ür dü]jÓÆTq düe÷<ÛëHêìøÏ 4 e÷s¡Tÿ\T y˚j·T>±, Á|ür ‘·|ü düe÷<ÛëHêìøÏ 2 e÷s¡Tÿ\T ‘·–Z+∫q
n‘·ìøÏ 50 e÷s¡Tÿ\T e∫à ñ+&˚$.
4x − 2y = 50 (2)

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 ¬s+&ÉT #·s¡sêX¯ó\˝À πsFj·T düMTø£s¡D≤\ »‘· 91

Á|ü‹øπ |å Dü |ü<‹Δä
(1)e düMTø£s¡DeTT qT+&ç, y = 3x − 40
(2)e düMTø£s¡DeTT˝À Á|ü‹πøå|æ+#·>± 4x − 2 (3x − 40) = 50
4x − 6x + 80 = 50
− 2x = 50 − 80 = −30
−30
x= =15
−2
x $\TeqT (1)e düMTø£s¡D+˝À Á|ü‹πøå|æ+#·>±
3(15) − y = 40
45 − y = 40
y = 45 − 40 = 5
ø±e⁄q |üØøå± |üÁ‘·eTT˝Àì yÓTT‘·ÔeTT Á|üX¯ï\ dü+K´ R 15 G 5 R 20

Ç~ #˚j·T+&ç
ô|’ ñ<ëVü≤s¡D-9 ˝Àì düeTdü´qT #·s¡sê•ì ‘=\–+#˚ |ü<äΔ‹˝À kÕ~Û+#·+&ç.
ñ<ëVü≤s¡D-10. y˚T] ‘·q ≈£L‘·T]‘√ Ç˝≤ #Ó|æŒ+~. ªª7 dü+e‘·‡s¡eTT\ ÁøÏ‘·+ Hê ej·TdüT‡ n|üŒ{Ï ˙
ej·TdüT‡≈£î 7 ¬s≥T¢. n˝≤π> sTT|üŒ{Ï qT+&ç 3 dü+e‘·‡s¡eTT\ ‘·s¡Tyê‘· Hê ej·TdüT‡ ˙ ej·TdüT‡≈£î eT÷&ÉT
¬s≥T¢ ñ+≥T+~μμ nsTTq y˚T] eT]j·TT ÄyÓT ≈£L‘·T] Á|üdüTÔ‘· ej·TdüT‡qT ø£qT>=q+&ç.
kÕ<Ûqä : y˚T] Á|üdüTÔ‘· ej·TdüT‡ x dü+e‘·‡s¡eTT\T
ÄyÓT ≈£L‘·T] ej·TdüT‡ y dü+e‘·‡s¡eTT\T nqTø=qTeTT.
7 dü+e‘·‡s¡eTT\ ÁøÏ‘·+, y˚T] ej·TdüT‡ (x − 7) dü+ˆˆ ÄyÓT ≈£L‘·T] ej·TdüT‡ (y − 7)dü+ˆˆ.
x − 7 = 7(y − 7)
x − 7 = 7y − 49
x − 7y + 42 = 0 (1)
3 dü+e‘·‡s¡eTT\ ‘·s¡Teyê‘·, y˚T] ej·TdüT‡ x + 3 eT]j·TT ÄyÓT ≈£L‘·T] ej·TdüT‡ y + 3.
x + 3 = 3 (y + 3)
x + 3 = 3y + 9
x − 3y − 6 = 0 (2)
#·ss¡ ê•ì ‘=\–+#·T |ü<‹Δä
düMTø£s¡DeTT (1) x − 7y = − 42
düMTø£s¡DeTT (2) x − 3y = 6
(−) (+) (−) x |ü<ëìøÏ ˇπø >∑Ts¡TÔ ø±e⁄q düMTø£s¡D+ (1) qT+&ç
−4y = −48 düMTø£s¡D+ (2)qT rdæy˚j·T>±

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 92 10e ‘·s¡>∑‹ >∑DÏ‘·+

−48
y= = 12
−4
á y $\TeqT (2)e düMTø£s¡D+˝À Á|ü‹πøå|æ+#·>±
x-3 (12) - 6 = 0
x = 36 + 6 = 42
ø±e⁄q y˚T] Á|üdüTÔ‘· ej·TdüT‡ 42 dü+e‘·‡s¡eTT\T eT]j·TT ÄyÓT ≈£L‘·T] ej·TdüT‡ 12 dü+e‘·‡s¡eTT\T.
Ç~ #˚j·T+&ç
ñ<ëVü≤s¡D -10 ˝Àì düeTdü´qT Á|ü‹πøå|üD |ü<äΔ‹ <ë«sê kÕ~Û+#·+&ç.
ñ<ëVü≤s¡D-11. ˇø£ Á|ü#·Ts¡D ø£s¡Ô, Áø=‘·Ô bÕsƒ¡´|ü⁄düÔø±ìï dæ<äΔ+
#˚kÕ&ÉT. <ëì dæús¡ yÓ\ (|ü⁄q]«eTs¡Ù, eTTÁ<äD, f…Æ|æ+>¥ Ks¡TÃ\T edüTeÔ ⁄ ñ‘êŒ<äø‘£ ≈· î£ nsTTq Ks¡TÃ, yê{Ï
yÓTT<ä˝…’q$) ˇø√ÿ |ü⁄düÔø±ìøÏ ` 31.25. Ç$ ø±ø£ n<äq+>±
n‘·&ÉT Ä |ü⁄düÔø£eTT eTTÁ<äD¬ø’ ` 320000 Ks¡Tà #˚ôdqT. Ä neTàø±\ <ë«sê e∫Ãq sêã&ç
|ü⁄düÔø£eTT {À≈£î <Ûäs¡ |ü⁄düÔø±ìøÏ ` 43.75 (Á|ü#·Ts¡D ø£s¡Ô≈£î e#·Tà düe÷q+>± e⁄+&˚ kÕúHêìï düeT‘·T\´‘ê
kıeTTà) Ä Á|ü#·Ts¡D ø£s¡Ô Ks¡TÃ\T, sêã&ç düe÷q+ ø±yê\+fÒ kÕúqeTT n+{≤s¡T.
düeT‘·T\´kÕúq+ #˚s¡e˝…q+fÒ mìï |ü⁄düÔø±\qT ne÷à*?
kÕ<Ûäq : Á|ü#·Ts¡D ø£s¡Ô düeT‘·T\´‘ê kÕúq+ #˚sê\+fÒ Ks¡TÃ\T sêã&ç düe÷q+ ø±yê*.
eTTÁ<äD nsTT neTàø£eTsTTq |ü⁄düÔø±\ dü+K´ x
düeT‘·T\´‘ê kÕúqeTT y nqTø=qTeTT.
n|ü⁄&ÉT Ä Á|ü#·Ts¡D ø£s¡Ô≈£î |ü⁄düÔø£eTTÁ<äD Ks¡TÃ, sêã&ç\ düMTø£s¡D≤\T
eTTÁ<äD düMTø£s¡D+ y = 320000 + 31.25x ...(1)
sêã&ç düMTø£s¡D+ y = 43.75x ... (2)
¬s+&Ée düMTø£s¡DeTT qT+&ç y $\TeqT ˇø£≥e düMTø£s¡D+˝À Á|ü‹πøå|æ+#·>±
43.75x = 3,20,000 + 31.25x
12.5x = 3,20,000
3, 20, 000
x= = 25,600
12.5
25,600 |ü⁄düÔø±\qT eTTÁ~+∫ n$Tàq n‘·&ÉT düeT‘·T\´‘ê kÕúqeTT #˚s¡TqT.
nuÛ≤´dü+ - 4.2
ÁøÏ+~ düeTdü´\˝À Á|ür dü+<äs¡“¤+˝À πsFj·T düMTø£s¡D≤\ »‘·qT Áyêdæ <ëìøÏ kÕ<Ûäq ø£qT>=q+&ç.
1. Ç<ä›s¡T e´≈£îÔ\ Ä<ëj·÷\ ìwüŒ‹Ô 9 : 7 eT]j·TT yê{Ï Ks¡TÃ\ ìwüŒ‹Ô 4 : 3 yês¡T Á|ür ˇø£ÿs¡÷ HÓ\≈£î
`2000 kıeTTà Ä<ë#˚dæq, yê] HÓ\yêØ Ä<ëj·÷\qT ø£qT>=q+&ç.
2. ˇø£ ¬s+&É+¬ø\ dü+K´ eT]j·TT <ëì ˝Àì kÕúHê\qT ‘ês¡Te÷s¡T #˚j·T>± e∫Ãq dü+K´\ yÓTT‘·ÔeTT
66. Ä dü+K´ ˝Àì ¬s+&ÉT n+¬ø\ uÛÒ<äeTT 2 nsTTq Ä dü+K´qT ø£qT>=qTeTT. n≥Te+{Ï dü+K´\T
mìï e⁄+{≤sTT ?
Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ
 ¬s+&ÉT #·s¡sêX¯ó\˝À πsFj·T düMTø£s¡D≤\ »‘· 93

3. ¬s+&ÉT dü+|üPs¡ø£ ø√D≤\˝À ô|<ä› ø√DeTT, ∫qï ø√DeTT ø£Hêï 18° m≈£îÿe. nsTTq Äø√D≤\qT
ø£qT>=q+&ç.
4. ôV’≤<äsêu≤<é˝À {≤ø°‡ #ÛêØ®\T ¬s+&ÉT n+XÊ\T>± e⁄+{≤sTT. yÓTT<ä{Ï~ dæús¡ #ÛêØ® ø±>± ¬s+&Ée~
<ä÷sêìï ã{Ϻ ìs¡ísTT+#˚ #ÛêØ®. 10 øÏ.MT. <ä÷s¡+ Á|üj·÷D+ #˚dæq|ü⁄&ÉT nsTTq yÓTT‘·ÔeTT #Ûê]® `220.
n˝≤π> 15 øÏ.MT. <ä÷s¡+ Á|üj·÷D+ #˚dæq|ü⁄&ÉT nsTTq yÓTT‘·ÔeTT #Ûê]® `310. nsTTq
i. dæús¡ #ÛêØ® $\Te eT]j·TT ˇø£ øÏ˝ÀMT≥s¡T≈£î nj˚T´ #ÛêØ®\ $\Te m+‘· ?
ii. ˇø£ e´øÏÔ 25 øÏ.MT. <ä÷s¡+ Á|üj·÷DÏ+∫q n‘·qT #ÛêØ®\ ì$T‘·Ô+ #Ó*¢+#·e\dæq yÓTT‘·Ô+ m+‘·?

4
5. ˇø£ _Ûqï+˝À \e, Vü‰sê\≈£î 1 ø£*|æq n~ ne⁄‘·T+~. n˝≤π> \e, Vü‰sê\ qT+&ç 5 rdæy˚dæq
5
1
Ä _ÛqïeTT 2
ne⁄‘·T+~. nsTTq Ä _ÛHêïìï ø£qT>=q+&ç.
6. ˇø£ s¡Vü≤<ë]ô|’ A, B nH˚ Á|ü<˚XÊ\T 100 øÏ.MT. <ä÷s¡+˝À e⁄HêïsTT. A qT+&ç ˇø£ ø±s¡T, B
qT+&ç ˇø£ ø±s¡T ˇπø düeTj·T+˝À y˚s¡T y˚s¡T y˚>±\‘√ Á|üj·÷DÏdüTÔHêïsTT. Ä ¬s+&ÉT ø±s¡T¢ ˇπø ~X¯˝À
Á|üj·÷D+ #˚dæq n$ 5 >∑+≥\ ‘·s¡Tyê‘· ø£\TkÕÔsTT. n˝≤ø±ø£ n$ ˇø£ <ëìyÓ’|ü⁄ ˇø£{Ï Á|üj·÷D+
#˚dæq 1 >∑+≥ ‘·s¡Tyê‘· ø£\TkÕÔsTT. nsTTq Ä ¬s+&ÉT ø±s¡¢ y˚>±\qT ø£qT>=q+&ç.
7. ¬s+&ÉT ø√D≤\T |üPs¡ø£ ø√D≤\T. ô|<ä› ø√DeTT ø=\‘·, ∫qï ø√DeTT ¬s{Ϻ+|ü⁄ ø£Hêï 3° ‘·≈£îÿe nsTTq
Ä ¬s+&ÉT ø√D≤\qT ø£qT>=q+&ç.
8. ˇø£ ;»>∑DÏ‘· bÕsƒ¡´|ü⁄düÔø£+˝À yÓTT‘·ÔeTT 1382 ù|J\T e⁄HêïsTT. Bìì ¬s+&ÉT uÛ≤>±\T #˚dæq ¬s+&Ée
uÛ≤>∑eTT˝À, yÓTT<ä{Ï uÛ≤>∑eTT ø£Hêï 64 ù|J\T m≈£îÿe e⁄HêïsTT. nsTTq Á|ür uÛ≤>∑eTT˝Àì ù|J\
dü+K´qT ø£qT>=q+&ç.
9. ˇø£ s¡kÕj·THê\T ny˚Tà <äTø±D<ës¡Tì e<ä› ¬s+&ÉT s¡ø±\ ôV’≤Á&√ø√¢]ø˘ ÄeT¢ Á<ëeD≤\THêïsTT. ˇø£{Ï
50% Á<ëeDeTT eT]j·TT ¬s+&Ée~ 80% Á<ëeDeTT. 100$T.©. 68% Á<ëeD+ ø±yê\qï Ä
¬s+&ÉT Á<ëeD≤\qT m+‘· |ü]e÷D+˝À rdüTø√yê* ?
10. ˙ e<ä› <ë#·Tø=qT≥≈£î `12000 kıeTTà ø£\<äqTø=qTeTT. <ëì˝À ø=+‘· yÓTT‘êÔìï 10% e&û¶πs≥T≈£î
$T–*q~ 15% e&û¶ πs≥T e#·TÃq≥T¢ bı<äT|ü⁄ #˚j·÷*. nsTT‘˚ yÓTT‘·ÔeTT MT<ä bı<äT|ü⁄ 12% e&û¶
πs≥T sêyê\+fÒ @ e&û¶ πs≥Tq m+‘· kıeTTà <ë#·Tø√yê* ?
4.4 ¬s+&ÉT #·s¡sêX¯ó\˝À πsFj·T düMTø£s¡D≤\ »‘·\T>± e÷s¡Ã>∑*π> düMTø£s¡D≤\T
ø=ìï düMTø£s¡D≤\ »‘·\T πsFj·T düMTø£s¡D≤\Tø±e⁄. ø±ì dü]jÓÆTq Á|ü‹πøå|üD\ <ë«sê yê{Ïì
πsFj·T düMTø£s¡D≤\ »‘·\T>± e÷s¡Ãe#·TÃqT. n≥Te+{Ï düMTø£s¡D≤\ kÕ<ÛäqqT #·]Ã<ë›eTT. ˇø£
ñ<ëVü≤s¡D #·÷&É+&ç.
2 3
ñ<ëVü≤s¡D-12. ÁøÏ+~ düMTø£s¡D≤\ »‘·qT kÕ~Û+#·+&ç. + = 13
x y
5 4
− = −2
x y
kÕ<Ûäq : Ç∫Ãq düMTø£s¡D≤\ »‘·qT |ü]o*+#·+&ç. n$ πsFj·T düMTø£s¡D≤\T ø±e⁄. (m+<äT≈£î?)

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 94 10e ‘·s¡>∑‹ >∑DÏ‘·+

⎛1⎞ ⎛1⎞
eTq≈£î Ç∫Ãq düMTø£s¡D≤\T 2 ⎜ ⎟ + 3 ⎜ ⎟ = 13 (1)
⎝x⎠ ⎝ y⎠

⎛1⎞ ⎛1⎞
5 ⎜ ⎟ - 4 ⎜ ⎟ = -2 (2)
⎝x⎠ ⎝ y⎠

1 1
eTq+ =p eT]j·TT =q Á|ü‹πøå|æ+#·>±, ÁøÏ+~ πsFj·T düMTø£s¡D≤\ »‘· @s¡Œ&ÉT‘·T+~.
x y
2p + 3q = 13 (3)
5p - 4q = -2 (4)
q >∑TDø±\T 3, 4 eT]j·TT yê{Ï ø£.kÕ.>∑T. 12. #·s¡sê•ì ‘=\–+#˚ |ü<äΔ‹ <ë«sê
düMTø£s¡D+ (3) × 4 8p + 12q = 52
düMTø£s¡D+ (4) × 3 15p - 12q = -6 'q' |ü<äeTT\≈£î
y˚s¡Ty˚s¡T >∑Ts¡TÔ\THêïsTT. ø±e⁄q
23p= 46 Ä düMTø£s¡D≤\qT ø£\T|ü>±
46
p= =2
23
p $\TeqT düMTø£s¡D+ (3)˝À Á|ü‹πøå|æ+#·>±
2(2) +3q = 13
3q = 13 - 4 = 9

9
q= =3
3

1 1
ø±ì, x =p=2 ⇒x=
2

1 1
=q=3 ⇒y=
y 3

ñ<ëVü≤s¡D-13. ø£$‘· ‘·q Ç+{Ï˝À eT] ¬s+&ÉT >∑<äT\qT ì]à+#ê\qTø=+~. ÄyÓT >∑èVü≤ìsêàD ≈£L©\
>∑T]+∫ Äsê rj·T>± 6 >∑Ts¡T |ü⁄s¡Twüß\T eT]j·TT 8 eT+~ Åd”Ô\T ø£*dæ Ä |üìì 14s√E\˝À |üP]Ô
#˚j·T>∑\s¡ì ‘Ó*dæ+~. ø±ì nyÓT≈£î ‘·q Ç+{Ï˝Àì >∑<äT\ ìsêàD |üì 10 s√E\˝ÀH˚ |üP]Ôø±yê*.
8eT+~ |ü⁄s¡Twüß\T eT]j·TT 12 eT+~ Åd”Ô\T ø£*dæ Ä |üìì 10 s√E\˝À |üP]Ô #˚j·T>∑\s¡ì ‘Ó\TdüTø=+~.
|ü⁄s¡Twüß&ÉT ˝Ò<ë Åd”Ô ˇø£ÿπs Ä |üìì |üP]Ô #˚j·÷\+fÒ m+‘· ø±\+ |ü&ÉT‘·T+<√? ø£qTø√ÿ+&ç.
kÕ<Ûäq : |ü⁄s¡Twüß&ÉT ˇø£ÿ&˚ Ä |üìì |üP]Ô #˚j·TT≥≈£î |ü≥Tº ø±\+ = x s√E\T nqTø=qTeTT.

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 ¬s+&ÉT #·s¡sêX¯ó\˝À πsFj·T düMTø£s¡D≤\ »‘· 95

1
|ü⁄s¡Twüß&ÉT ˇø£ÿ&˚ ˇø£s√E˝À #˚j·T>∑*–q |üì = ne⁄‘·T+~.
x
Åd”Ô ˇø£ÿπs Ä|üìì |üP]Ô #˚j·TT≥≈£î |ü≥Tº ø±\+ =y s√E\T nqTø=ìq
1
Åd”Ô ˇø£ÿπs ˇø£ s√E˝À #˚j·T>∑*–q |üì = ne⁄‘·T+~.
y
8 eT+~ |ü⁄s¡Twüß\T eT]j·TT 12 eT+~ Åd”Ô\T Ä|üìì 10 s√E\˝À |üP]Ô #˚j·T>∑\s¡T.
nq>± 8 eT+~ |ü⁄s¡Twüß\T eT]j·TT 12 eT+~ Åd”Ô\T ˇø£s√E˝À
1
#˚j·T>∑*–q |üì = (1)
10

1 8
8 eT+~ |ü⁄s¡Twüß\T ˇø£ s√E˝À #˚j·T>∑*–q |üì 8× . =
x x

1 12
n<˚$<Ûä+>± 12 eT+~ Åd”Ô\T ˇø£ s√E˝À #˚j·T>∑*–q |üì 12 × y
=
y
8 eT+~ |ü⁄s¡Twüß\T eT]j·TT 12 eT+~ Åd”Ô\T ˇø£ s√E˝À #˚j·T
8 12
>∑*–q yÓTT‘·ÔeTT |üì = + (2)
x y

⎛ 8 12 ⎞ 1
(1), (2) düMTø£s¡D≤\ qT+&ç ⎜ + ⎟=
⎝ x y ⎠ 10

⎛ 8 12 ⎞
10 ⎜ + ⎟ = 1
⎝x y ⎠

80 120
+ =1 (3)
x y
n˝≤π>, 6 >∑Ts¡T |ü⁄s¡Twüß\T eT]j·TT 8 eT+~ Åd”Ô\T Ä |üìì 14 s√E\˝À |üP]Ô #˚j·T>∑\s¡T.
6 8 1
6 >∑Ts¡T |ü⁄s¡Twüß\T eT]j·TT 8 eT+~ Åd”Ô\T ˇø£ s√E˝À #˚j·T>∑*–q |üì = + =
x y 14

⎛6 8⎞
⇒ 14 ⎜ + ⎟ = 1
⎝x y⎠
⎛ 84 112 ⎞
⎜ + ⎟ =1 (4)
⎝ x y ⎠

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 96 10e ‘·s¡>∑‹ >∑DÏ‘·+

(3), (4) düMTø£sD

¡ ≤\qT |ü]o*+#·+&ç. n$ sπ Fj·T düMTø£sD¡ ≤˝ÒHê ? yê{Ï kÕ<Ûqä eTq+ m˝≤ ø£qT>=+{≤eTT?
1 1
= u eT]j·TT =v Á|ü‹πøå|æ+#·&É+ <ë«sê yê{Ïì eTq+ πsFj·T düMTø£s¡D≤\T>± e÷s¡Ãe#·TÃqT.
x y
(3) e düMTø£s¡D≤ìï πsFj·T düMTø£s¡D+ e÷s¡Ã>± 80u + 120v = 1 (5)
(4) e düMTø£s¡D≤ìï πsFj·T düMTø£s¡D+ e÷s¡Ã>± 84u + 112v = 1 (6)
80 eT]j·TT 84 \ ø£.kÕ.>∑T. 1680. #·s¡sê•ì ‘=\–+#·T |ü<äΔ‹ <ë«sê
düMTø£s¡D+ (3) × 21 (21 × 80)u + (21 × 120)v = 21
düMTø£s¡D+ (4) × 20 (20 × 84)u + (20 × 112)v = 20
1680u+2520v = 21
1680u+2240v = 20 u≈£î ˇπø >∑Ts¡TÔ ø±e⁄q rdæy˚j·T>±
(-) (-) (-)
280v = 1
1
v=
280

⎛ 1 ⎞
düMTø£sD¡ + (5) ˝À Á|ü‹πøå|æ+#·>± 80u + ⎜120 × 280 ⎟ = 1
⎝ ⎠
3 7−3 4
80u = 1 − = =
7 7 7
1
4 1 1
u= × =
7 80 140
20

ø±e⁄q |ü⁄s¡Twüß&=ø£ÿ&˚ Ä |üìì 140 s√E\˝À, Åd”Ô ˇø£ÿπs Ä |üìì 280 s√E\˝À |üP]Ô #˚j·T>∑\s¡T.
ñ<ëVü≤s¡D-14. ˇø£ e´øÏÔ 370 øÏ.MT. <ä÷sêìï ø=+‘· <ä÷s¡+ ¬s’\T˝À, ø=+‘·<ä÷s¡+ ø±s¡T˝À Á|üj·÷DÏ+#ê&ÉT.
n‘·qT 250øÏ.MT <ä÷sêìï ¬s’\T˝À, $T–*q <ä÷sêìï ø±s¡T˝À Á|üj·÷DÏ+#·>± n‘·ìøÏ 4 >∑+≥\T |ü{Ϻq~.
n<˚ n‘·qT 130 øÏ.MT <ä÷s¡+ ¬s’\T˝À, $T–*q <ä÷s¡+ ø±s¡T˝À Á|üj·÷DÏùdÔ n‘·ìøÏ 18 ì$TcÕ\ ø±\+
m≈£îÿe |üfÒº~. ¬s’\T eT]j·TT ø±s¡T\ y˚>±ìï ø£qT>=q+&ç.
kÕ<Ûäq : ¬s’\T y˚>∑+ x øÏ.MT/>∑+. , ø±s¡T y˚>∑+ y øÏ.MT/>∑+. nqTø=qTeTT.
ø±\eTT = <ä÷s¡eTT nì eTq≈£î ‘Ó\TdüTqT.
y˚>e∑ TT
250
1e dü+<äs¡“¤+˝À, ¬s’\T Á|üj·÷D≤ìøÏ |ü{Ϻq ø±\+ = >∑+.
x
120
ø±s¡T Á|üj·÷D≤ìøÏ |ü{Ϻq ø±\+ = >∑+.
y

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 ¬s+&ÉT #·s¡sêX¯ó\˝À πsFj·T düMTø£s¡D≤\ »‘· 97

250 120
yÓTT‘·Ô+ ø±\+ = ¬s’\T Á|üj·÷D≤ìøÏ |ü{Ϻqø±\+ + ø±s¡T Á|üj·÷D≤ìøÏ |ü{Ϻq ø±\+ = +
x y
ø±ì yÓTT‘·Ô+ Á|üj·÷D≤ìøÏ |ü{Ϻq ø±\+ 4 >∑+≥\T ø±e⁄q
250 120
+ =4
x y
125 60
+ =2 → (1)
x y
eTs¡\ 130 øÏ.MT <ä÷s¡+ ¬s’\T˝À $T–*q <ä÷s¡+ ø±s¡T˝À Á|üj·÷DÏ+∫q|ü⁄&ÉT
130
130 øÏ.MT ¬s’\T Á|üj·÷D≤ìøÏ |ü{Ϻq ø±\+ = >∑+.
x
240
240 øÏ.MT (370 − 130) ø±s¡T Á|üj·÷D≤ìøÏ |ü{Ϻq ø±\+ = >∑+.
y
130 240
yÓTT‘·Ô+ ø±\+ = +
x y
18 3
ø±ì Á|üj·÷D≤ìøÏ |ü{Ϻq yÓTT‘·Ô+ ø±\+ 4 >∑+≥\ 18 ì$TcÕ\T 4 =4 >∑+ˆˆ
60 10
130 240 43
nq>±, + = (2)
x y 10

1 1
(1) (2) düMTø£s¡D≤\˝À =a eT]j·TT = b Á|ü‹πøå|æ+#·>±
x y

125a + 60b = 2 (3)

130a + 240b = 43/10 (4)

60, 240 \ ø£.kÕ.>∑T. 240. #·s¡sê•ì ‘=\–+#˚ |ü<äΔ‹ì ñ|üjÓ÷–+#·>±

düMTø£s¡DeTT (3) × 4 500a+240b= 8
43
düMTø£s¡DeTT (4) × 1 130a+240b =
10
(ˇπø >∑Ts¡TÔ ø±e⁄q rdæy˚j·T>±)
(-) (-) (-)

43 80 − 43 37
370a = 8 − = =
10 10 10

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 98 10e ‘·s¡>∑‹ >∑DÏ‘·+

37 1 1
× =
a = 10 370 100
10

1
a= qT düMTø£s¡D+ (3)˝À Á|ü‹πøå|æ+#·>±
100

⎛ 5 ⎞
⎜ 125 × 1 ⎟
⎜ 100 ⎟ + 60b = 2
⎝ 4 ⎠

5 8−5 3
60b = 2 − = =
4 4 4

3 1 1
× =
b= 4 60 80
20

1 1
ø±e⁄q a = 100 eT]j·TT b=
80

1 1 1 1
= eT]j·TT =
x 100 y 80
x = 100 øÏ.MT/>∑+. eT]j·TT y = 80 øÏ.MT/>∑+.
ø±e⁄q ¬s’\T y˚>∑+ 100 øÏ.MT/>∑+. eT]j·TT ø±s¡T y˚>∑+ 80 øÏ.MT/>∑+.

nuÛ≤´dü+ - 4.3
ÁøÏ+~ düMTø£sD¡ ≤\ »‘·\qT, sπ Fj·T düMTø£sD¡ ≤\ »‘·\T>± e÷s¡Ã&É+ <ë«sê yê{ÏøÏ kÕ<Ûqä ø£qT>=q+&ç.
5 1 x+ y
i) + =2 ii) =2
x −1 y−2 xy
6 3 x− y
- =1 =6
x −1 y − 2 xy

2 3
iii) +
x y =2 iv) 6x + 3y = 6xy

4 9
-
x y = −1 2x + 4y = 5xy

5 2 2 3
v) - = −1 vi) + = 13
x+ y x− y x y

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 ¬s+&ÉT #·s¡sêX¯ó\˝À πsFj·T düMTø£s¡D≤\ »‘· 99

15 7 5 4
+ = 10 x≠0, y≠0 nsTTq - = −2 x≠0, y≠0 nsTTq
x+ y x− y x y
10 2 1 1 3
vii) + =4 viii) + =
x+ y x− y 3x + y 3x − y 4

15 5 1 1 −1
- = −2 - =
x+ y x− y 2 ( 3 x + y ) 2(3 x − y ) 8
2. ÁøÏ+~ düeTdü´\≈£î düMTø£s¡D≤\ »‘·\qT Áyêdæ yê{ÏøÏ kÕ<Ûäq ø£qT>=q+&ç.
i. ˇø£ |ü&e É ˙{Ï˝À Á|üyêVü≤eTTq≈£î n_ÛeTTKeTT>± 30 øÏ.MT <ä÷s¡eTTqT eT]j·TT Á|üyêVü≤|ü⁄yê\T˝À
44 øÏ.MT. <ä÷s¡eTT Á|üj÷ · DÏ+#·T≥≈£î 10 >∑+≥\T |ü≥TºqT. n<˚ |ü&eÉ ≈£î 40 øÏ.MT n_ÛeTTKeTT>±,
55 øÏ.MT. Á|üyêVü≤|ü⁄ yê\T˝À Á|üj·÷DÏ+#·T≥≈£î 13 >∑+≥\T ø±\eTT |ü≥TºqT nsTTq
Á|üyêVü≤y˚>∑eTTqT, ì\ø£&É ˙{Ï˝À |ü&Ée y˚>∑eTTqT ø£qT>=qTeTT.
ii. s¡V”≤yéT ‘·q sTT+{ÏøÏ b˛e⁄≥≈£î 600 øÏ.MT <ä÷s¡eTT˝À, ø=+‘· <ä÷s¡eTT ¬s’\T˝À eT]j·TT
ø=+‘·<ä÷s¡eTT ø±s¡T˝À Á|üj·÷DÏ+#·TqT. 120 øÏ.MT. <ä÷s¡eTT ¬s’\T˝À $T–*q <ä÷s¡eTT ø±s¡T˝À
Á|üj·÷DeTTq≈£î n‘·ìøÏ 8 >∑+≥\T |ü≥TºqT. n<˚ 200øÏ.MT. <ä÷s¡eTT ¬s’\T˝À $T–*q <ä÷s¡eTT
ø±s¡T˝À Á|üj·÷DeTT #˚dæq n‘·ìøÏ 20 ì$TcÕ\ ø±\eTT m≈£îÿe |ü≥TºqT. nsTTq ø±s¡T eT]j·TT
¬s’\T\ y˚>∑eTT\qT ø£qT>=q+&ç.
iii. Ç<ä›s¡T Åd”Ô\T eT]j·TT 5 >∑Ts¡T |ü⁄s¡Twüß\T ˇø£ ≈£î≥Tº|üìì 4 s√E\˝À #˚j·T>± eTT>∑TZs¡T Åd”Ô\T
eT]j·TT 6>∑Ts¡T |ü⁄s¡Twüß\T <ëìì 3s√E\˝À #˚ôd<äsT¡ . ÅdÔ” ˇø£ÿsπ ˝Ò<ë |ü⁄s¡Twüß&ÉT ˇø£ÿ&˚ Ä |üìì
|üP]Ô #˚j·TT≥≈£î |ü≥Tºø±\eTTqT ø£qT>=qTeTT.

◊∫äø£ nuÛ≤´düeTT
[|üØø£\
å ≈£î ìπs•› +|üã&çq~ ø±<äT]
1. ÁøÏ+~ düMTø£s¡D≤\qT kÕ~Û+#·+&ç:-
2x y x +1 y −1
(i) + =2 (ii) + =8
a b 2 3
x y x −1 y +1
- =4 + =9
a b 3 2

x y
(iii) + =5 (iv) 3x - 2y = 3
7 3
x y
- =6 5x + 3 y = 3
2 9

ax by
(v) - =a+b (vi) 2x + 3y = 17
b a
ax − by = 2ab 2x+2 − 3y+1 = 5

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 100 10e ‘·s¡>∑‹ >∑DÏ‘·+

2. ˇø£ Á|üjÓ÷>∑+˝À »+‘·Te⁄\≈£î ìπs›•+∫q ÄVü‰sêìï sTTyê«*. Á|ür »+‘·Te⁄≈£î $T–*q yê{Ï‘√bÕ≥T
20Á>±eTT\ Áb˛{°qT¢, 6Á>±eTT\ Áø=e⁄« sTTyê«*. Ä Á|üjÓ÷>∑XÊ\ |ü]o\≈£î\T A, B nH˚ ¬s+&ÉT
s¡ø±\ ÄVü‰s¡ $TÁX¯e÷\qT ø=Hêïs¡T. $TÁX¯eT+ A ˝À 10% Áb˛{°qT¢ eT]j·TT 6% Áø=e⁄«e⁄HêïsTT.
$TÁX¯eT+ B ˝À 20% Áb˛{°qT¢, 2% Áø=e⁄« e⁄HêïsTT. nsTTq yês¡T Á|ür $TÁX¯e÷ìøÏ mìï Á>±eTT\T
ñ|üjÓ÷–+#ê*?

eTq+ @$T #·]Ã+#ê+

1. ˇπø s¡ø£yÓTÆq ¬s+&ÉT #·s¡sêX¯ó\T >∑\ ¬s+&ÉT πsFj·T düMTø£s¡D≤\qT ¬s+&ÉT #·s¡sêX¯ó\˝À πsFj·T
düMTø£s¡D≤\ »‘· n+{≤s¡T.
a1x + b1y + c1 = 0 (a12 + b12 ≠ 0)
a2x + b2y + c2 = 0 (a22 + b22 ≠ 0)
Bì˝À a1, a2, b1, b2, c1, c2 \T yêdüÔe dü+K´\T.
2. ¬s+&ÉT #·s¡sêX¯ó\˝À πsFj·T düMTø£s¡D≤\ »‘·\qT kÕ~Û+#·&ÜìøÏ nH˚ø£ |ü<äΔ‘·T\THêïsTT.
3. s¬ +&ÉT #·ss¡ êX¯ó\˝À sπ Fj·T düMTø£sD¡ ≤\ sπ U≤ ∫Á‘·eTT (Á>±|ò)t s¬ +&ÉT düsfi¡ sπ̄ K\#˚ dü÷∫+|üã&ÉT‘·T+~.
i. ¬s+&ÉT düs¡fi¯πsK\T ˇø£ _+<äTe⁄ e<ä› K+&ç+#·Tø=+fÒ yê{ÏøÏ ˇπø kÕ<Ûäq e⁄+≥T+~. n|ü&ÉT Ä
düMTø£s¡D≤\T dü+>∑‘· düMTø£s¡D≤\T.
ii. s¬ +&ÉT sπ K\T @ø°u$ÑÛ ùdÔ yê{ÏøÏ nq+‘·yTÓ qÆ kÕ<Ûqä \T+{≤sTT. Ä sπ Kô|’ e⁄+&˚ Á|ür _+<äTe⁄ kÕ<Ûqä
ne⁄‘·T+~. n|ü⁄&ÉT Ä düMTø£s¡D≤\T |üs¡düŒsê<Ûë]‘· düMTø£s¡D≤\T.
iii. ¬s+&ÉT πsK\T düe÷+‘·s¡ πsK˝…’q, Ä düMTø£s¡D≤\»‘·≈£î kÕ<Ûäq˝Ò<äT. n|ü⁄&ÉT Ä düMTø£s¡D≤\ »‘·
ndü+>∑‘· düMTø£s¡D≤\T.
4. πsFj·T düMTø£s¡D≤\ »‘·≈£î kÕ<Ûäq ø£qT>=q&ÜìøÏ eTq+ ÁøÏ+~ |ü<äΔ‘·T\qT #·]Ã+#ê+.
i. yÓ÷&É˝Ÿ |ü<äΔ‹
ii. πsU≤∫Á‘·+ (Á>±|òt) |ü<äΔ‹
iii. ;»>∑DÏ‘· |ü<äΔ‘·T\T ` Á|ü‹πøå|üD |ü<äΔ‹ eT]j·TT #·s¡sê•ì ‘=\–+#˚ |ü<äΔ‹.
5. düMTø£s¡D≤\˝Àì #·s¡sêX¯ó\ >∑TDø±\≈£î, düMTø£s¡D≤\ dü«uÛ≤yêìøÏ eT<Ûä´ dü+ã+<ÛäeTT e⁄+≥T+~.
a1 b1
i. ≠ nsTTq Ä πsFj·T düMTø£s¡D≤\ »‘· dü+>∑‘· düMTø£s¡D≤\T
a2 b2

a1 b c
ii. = 1 ≠ 1 nsTTq Ä πsFj·T düMTø£s¡D≤\ »‘· ndü+>∑‘· düMTø£s¡D≤\T
a2 b2 c2
a b c
iii. a = b = c
1 1 1

2 2 2
nsTTq Ä πsFj·T düMTø£s¡D≤\ »‘· dü+>∑‘· düMTø£s¡D≤\T eT]j·TT
|üs¡düŒsê<Ûë]‘· düMTø£s¡D≤\T
6. ì‘·´J$‘·+˝À nH˚ø£ dü+<äsꓤ\qT >∑D‘Ï · >∑Ts¡T\Ô ‘√ s¬ +&ÉT düMTø£sD¡ ≤\T>± sêdæq|ü⁄&ÉT n$ ÁbÕs¡+uÛ+Ñ ˝À
sπ Fj·T düMTø£sD¡ ≤\T>± e⁄+&Ée⁄. ø±ì yê{Ïì dü]jÓTÆ q Á|ü‹øπ |å Dü #˚jT· &É+ <ë«sê sπ Fj·T düMTø£sD¡ ≤\
»‘·\T>± e÷s¡Ãe#·TÃqT.
Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ
 es¡Z düMTø£sD¡ ≤\T 101

n<Ûë´j·TeTT

5 es¡Z düMTø£sD
¡ ≤\T
(Quadratic Equations)

5.1 |ü]#·j·T+
ø£kÕŒ |ü⁄s¡bÕ\ø£ bÕsƒX¡ Ê\ Áø°&\É ø£$T{° bÕsƒX¡ Ê\ Äes¡D˝À 29 MT. × 16 MT. ø=\‘·\‘√ ˇø£ UÀ`UÀ
ø√s¡ T º q T ì]à+#ê\ì uÛ ≤ $+∫+~.
Ç+<äT≈£î>±qT yê]øÏ 558 #·.MT. yÓX’ Ê\´+>∑\ x
ˇø£ Bs¡È #·‘T· s¡ÁkÕø±s¡ dü\ú + n+<äTu≤≥T˝À
e⁄+~. n+<äTe\¢ yês¡T UÀ`UÀ ø√s¡Tº #·T≥÷º
16+2x MT.

Áù|ø£≈å î£ \ ø=s¡≈î£ ø=+‘· U≤∞ dü\ú eTTqT ≈£L&Ü

16 MT.

e<ä˝≤\ì uÛ≤$+#ês¡T. nsTT‘˚ Ç˝≤ e~˝Ò x

U≤∞ dü\ú + jÓTTø£ÿ yÓ&\É TŒ ø√s¡Tº #·T≥÷º ˇπø
$<Û+ä >± e⁄+&˚≥≥T¢ e~*‘˚ <ëì yÓ&\É TŒ m+‘·
e⁄+&Ü*. 29 MT.

U≤∞ dü\ú eTT jÓTTø£ÿ yÓ&\É TŒ x MT, 29+2x MT.

nqTø=ìq |ü≥+ qT+∫ Bs¡#È ‘· T· s¡ÁkÕø±s¡ dü\ú eTT jÓTTø£ÿ bı&Ée⁄ R (29 + 2x) MT.
eT]j·TT yÓ&\É TŒ = (16 + 2x) MT.
Bs¡#È ‘· T· s¡ÁkÕø±s¡ dü\ú eTT jÓTTø£ÿ yÓX’ Ê\´eTT = bı&Ée⁄ × yÓ&\É TŒ
= (29 + 2x) (16 + 2x)
nsTT‘˚ á dü\ú eTT jÓTTø£ÿ yÓX’ Ê\´eTT = 558 MT. nì Çe«ã&çq~
∴ (29 + 2x) (16 + 2x) = 558
∴ 4x2 + 90x + 464 = 558
4x2 + 90x − 94 = 0
2x2 + 45x − 47 = 0 (Çs¡TyÓ| ’ ⁄ü ˝≤ 2‘√ uÛ≤–+#·>±)
2
2x + 45 x − 47 = 0 ..... (1)
eTq+ ÁøÏ+~ ‘·s>¡ ‘∑ T· \˝À ax + b = c s¡÷|ü+˝À e⁄qï sπ Fj·T düMTø£sD¡ ≤\qT kÕ~Û+∫ x $\TeqT
ø£qT>=Hêï+. n<˚$<Û+ä >± ô|’ düMTø£sD¡ + (1)ì kÕ~Û+∫ x $\TeqT ø£qT>=q>∑*–‘˚ n~ Áù|ø£≈å î£ \ ø=s¡≈î£
øπ {≤sTT+∫q U≤∞ dü\ú + jÓTTø£ÿ yÓ&\É TŒqT ÇdüT+Ô ~.
MTs¡T Ç˝≤+{Ï düMTø£sD¡ ≤\T e#˚Ã eT]ø=ìï ñ<ëVü≤s¡D\qT }Væ≤+#·>\∑ sê?
eT]jÓTTø£ ñ<ëVü≤s¡DqT |ü]o*<ë›+.
sêDÏ e<ä› ˇø£ #·‘T· s¡ÁkÕø±s¡|⁄ü ˝ÀVü≤|ü⁄ sπ ≈£î >∑\<äT. |ü≥+˝À #·÷|æq $<Û+ä >± Bì Hê\T>∑T eT÷\\
qT+∫ 9 ôd+.MT. uÛTÑ »+>∑\ #·‘T· s¡ÁkÕ\qT ‘=\–+∫ $T–*q uÛ≤>∑+‘√ ˇø£ eT÷‘·˝ìÒ ô|f…qº T ‘·j÷· s¡T#˚d+æ ~.
Ç˝≤ ‘·j÷· s¬ q’ ô|f…º jÓTTø£ÿ |òTü q|ü]e÷DeTT 144 |òTü .ôd+.MT. nsTTq yÓTT<ä≥ rdüT≈£îqï ˝ÀVü≤|ü⁄ sπ ≈£î jÓTTø£ÿ
uÛTÑ »+ bı&Ée⁄qT ø£qT>=q>∑\e÷ ?

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 102 10e ‘·s>¡ ‹∑ >∑D‘Ï +·

#·‘T· s¡ÁkÕø±s¡|⁄ü ˝ÀVü≤|ü⁄ sπ ≈£î uÛTÑ »+ bı&Ée⁄ x ôd+.MT.

nqTø=ìq ‘·j÷· s¡T#˚jT· ã&çq ô|f…º jÓTTø£ÿ ø=\‘·\T
9 ôd+.MT. × (x-18) ôd+.MT. × (x-18) ôd+.MT. 9 ôd+.MT. 9 ôd+.MT.

x ôd+.MT.
ô|f…º jÓTTø£ÿ |òTü q|ü]e÷DeTT 144 ôd+.MT
ø£qTø£ 9 (x-18) (x-18) = 144
(x-18)2 = 16 9 ôd+.MT. 9 ôd+.MT.

x2 - 36x + 308 = 0 ..... (2)

nq>± ô|’ düMTø£sD¡ eTTqT ‘·è|æ|Ô sü #¡ ˚ ‘x’ $\Ty˚ yÓTT<ä≥ x ôd+.MT.
rdüT≈£îqï ˝ÀVü≤|ü⁄ sπ ≈£î jÓTTø£ÿ uÛTÑ »+ ne⁄‘·T+~.
düMTø£sD¡ + (1) eT]j·TT (2) \˝Àì LHS \qT |ü]o*+#·+&ç?
n$ es¡Z ãVüQ|ü<Tä ˝ÒHê ?
9 ôd+.MT.
ax2 + bx + c, a ≠ 0 s¡÷|ü+˝À e⁄qï Ç˝≤+{Ï es¡Z ãVüQ|ü<Tä \qT
>∑T]+∫ eTqeTT Ç+‘·≈î£ eTT+<äT n<Ûë´j·T+˝À #·]Ã+∫ j·TTHêï+.
(1) eT]j·TT (2) düMTø£sD ¡ ≤\˝Àì LHS\T es¡Z ãVüQ|ü<Tä \T ø£qTø£ á

8
-1
x - 18

x
düMTø£sD¡ ≤\qT es¡Z düMTø£sD¡ ≤\T n+{≤+.
á n<Ûë´j·T+˝À es¡Z düMTø£sD¡ ≤\qT >∑T]+∫ yêìøÏ kÕ<Ûqä \qT ø£qT>=H˚ $$<Ûä |ü<‘Δä T· \qT >∑T]+∫
#·]ÃkÕÔ+.

5.2 es¡Z düMTø£s¡DeTT\T (QUADRATIC E QU

ADRATIC ATIONS)
QUA

Ô dü+K´˝…’ a ≠ 0 nsTTq ax2 + bx + c = 0 qT ªxμ ˝À es¡Z düMTø£sD¡ eTT n+{≤eTT.

a, b, c \T yêdüe
ñ<ëVü≤s¡DøÏ 2x2 + x − 300 = 0 ˇø£ es¡Z düMTø£s¡DeTT. n<˚ $<Ûä+>± 2x2 − 3x + 1 = 0,
4x − 3x2 + 2 = 0 eT]j·TT 1 − x2 + 300 = 0 \T ≈£L&Ü es¡Z düMTø£sD¡ ≤˝Ò.
yêdüyÔ êìøÏ p(x) ˇø£ ~«|ü]e÷D ãVüQ|ü~ ne⁄‘·÷ p(x) = 0 s¡÷|ü+˝À e⁄qï yêìqìï+{Ïì es¡Z
düMTø£sD¡ ≤\T n+{≤+. nsTT‘˚ p(x) ˝Àì |ü<ë\qT yêì |ü]e÷D≤\ Ä<Ûës¡+>± nes√Vü≤D Áø£eT+˝À sêùdÔ
<ëìì es¡Z düMTø£sD¡ + jÓTTø£ÿ ÁbÕe÷DÏø£ s¡÷|ü+ n+{≤+. nq>± ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0 qT es¡Z
düMTø£sD¡ + jÓTTø£ÿ ÁbÕe÷DÏø£ s¡÷|ü+ n+{≤+ eT]j·TT y = ax2 + bx + c qT es¡Z Á|üyT˚ j·TeTT n+{≤eTT.

Á|üj·T‹ï+#·+&ç
ÁøÏ+~ düMTø£sD¡ ≤\T es¡Z düMTø£sD¡ ≤˝À ø±<√ ‘Ó\|ü+&ç.
(i) x2 − 6x − 4 = 0 (ii) x3 − 6x2 + 2x − 1 = 0

1
(iii) 7x = 2x2 (iv) x2 + =2
x2
(v) (2x + 1) (3x + 1) = b(x − 1) (x − 2) (vi) 3y2 = 192

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 es¡Z düMTø£sD¡ ≤\T 103

es¡Z düMTø£sD¡ ≤\/Á|üyT˚ j·÷\T ñ|üj÷Ó >±\T #ê˝≤ ø£\e⁄. yêì˝À ø=ìï :
1. Á|üj÷ Ó –+#·ã&çq sê¬ø{Ÿ jÓTTø£ÿ e÷s¡eZ TT, m‘·T\Ô T ˇø£ es¡Z düMTø£sD¡ +/Á|üyT˚ j·T+#˚
ìs¡«∫+#·ã&ÉT‘êsTT.
2. ñ|üÁ>∑V‰ü \ qT+∫ dæ>ï∑ ˝Ÿ‡qT d”«ø£]+#˚ &çwt >=&ÉT>∑T\ Äø±sê\T, f…*k˛ÿ|t\˝À
yê&˚ |üsêes¡qÔ n<ë›\ Äø±sê\T, ø£fifl¯ CÀ&ÉT˝À ø£≥ø±\ Äø±sê\T, K>√fi¯ edüTeÔ ⁄\
ø£ø±å ´ e÷sêZ\T es¡Z düMTø£sD¡ ≤\#˚ ìs¡«∫+#·ã&ÉT‘êsTT.

&çwt >=&ÉT>∑T |üsêes¡qÔ n<äe› TT ø£fiC¢¯ À&ÉT˝Àì ø£≥ø±\T

ø£èÁ‹eT
ñ|üÁ>∑V≤ü eTT uÛ÷Ñ $T
uÛ÷Ñ $T
dü÷s¡T´&ÉT
3. ˇø£ Á|üπøå|üø£eTT jÓTTø£ÿ e÷s¡ZeTT ˇø£ es¡Z düMTø£s¡D+#˚
dü÷∫+#·ã&ÉT‘·T+~.

4. ˇø£ yêVü≤qeTTq≈£î ÁuÒ≈î£ \T y˚dqæ |ü⁄&ÉT n~ Äπ> <ä÷s¡eTTqT

>∑D+Ï #·T≥˝À es¡Z düMTø£sD¡ + ñ|üj÷Ó >∑|&ü TÉ ‘·T+~.

ñ<ëVü≤s¡D-1. ÁøÏ+~ yêìøÏ dü]j·T>∑T düMTø£sD¡ ≤\qT sêj·TTeTT/ø£qT>=qTeTT.

i. sêE eT]j·TT sêCÒ+<äsY Ç<ä] › e<ä› ø£\dæ 45 >√∞\T ø£\e⁄. nsTT‘˚ Ç<äs› ÷¡ #Ó] 5 >√∞\qT
b˛>=≥Tº≈î£ Hêïs¡T. Ç<ä]› e<ä› $T–*q >√∞\ dü+K´\ jÓTTø£ÿ \ã›eTT 124 nsTTq Ç<ä]› e<ä›
yÓTT<ä≥ e⁄qï >√∞\ dü+K´qT ø£qT>=qT≥≈£î nedüse¡ Tj˚T´ düMTø£sD¡ eTTqT ø£qT>=qTeTT/sêj·TTeTT.
ii. ˇø£ \+ãø√D Á‹uÛTÑ »eTT jÓTTø£ÿ ø£seí¡ TT 25 ôd+.MT. $T–*q s¬ +&ÉT uÛTÑ C≤\ bı&Ée⁄\ uÒ<eäÛ TT 5
ôd+.MT. nì Çe«ã&ç+~. nsTTq $T–*q s¬ +&ÉT uÛTÑ C≤\ bı&Ée⁄\qT ø£qT>=qT≥≈£î nedüse¡ Tj˚T´
düMTø£sD¡ eTTqT sêj·TTeTT?
kÕ<Ûqä : i. sêE e<ä› >∑\ >√∞\ dü+K´ ªxμ nqTø=ìq

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 104 10e ‘·s>¡ ‹∑ >∑D‘Ï +·

sêCÒ+<äsY e<ä› >∑\ >√∞\ dü+K´ = 45 – x (m+<äT≈£î?).

5 >√∞\qT bı>=≥Tº≈î£ qï ‘·sT¡ yê‘· sêE e<ä› e⁄+&˚ >√∞\ dü+K´ = x – 5
n<˚$<Û+ä >± sêCÒ+<äsY e<ä› e⁄+&˚ >√∞\ dü+K´ = (45 – x) – 5
= 40 – x
∴ $T–*q >√∞\ dü+K´\ \ã›+ = (x – 5) (40 – x)
= 40x – x2 – 200 + 5x
= – x2 + 45x – 200
nq>± – x2 + 45x – 200 = 124 (<ä‘êÔ+X¯eTT)
∴ – x2 + 45x – 324 = 0
∴ x2 – 45x + 324 = 0 (Çs¡TyÓ|
’ ⁄ü ˝≤ ª`μ #˚ >∑TDÏ+#·>±)
2
nq>± x – 45x + 324 = 0 düMTø£sD¡ eTTq≈£î ‘·è|æÔ |üs#¡ ˚ ‘x’ $\Tej˚T sêE e<ä› yÓTT<ä≥ e⁄qï
>√∞\ dü+K´qT ÇdüT+Ô ~.
∴ x2 – 45x + 324 = 0 ø±e\dæq >∑D‘Ï · düMTø£sD¡ + ne⁄‘·T+~.
ii. ∫qï uÛTÑ »eTT jÓTTø£ÿ bı&Ée⁄qT x ôd+.MT. nqTø=ìq
ô|<ä› uÛTÑ »+ bı&Ée⁄ = (x + 5) ôd+.MT.
Çe«ã&çq ø£seí¡ TT jÓTTø£ÿ bı&Ée⁄ = 25 ôd+.MT.
\+ãø√D Á‹uÛTÑ »eTT˝À
(uÛTÑ »eTT)2 + (uÛTÑ »eTT)2 = (ø£se
í¡ TT)2
nì eTq≈£î ‘Ó\TdüT.
x+5 ôd+.MT.

25
ô
d+
ø£qTø£ x2 + (x + 5)2 = (25)2 .MT
.
x2 + x2 + 10x + 25 = 625
2x2 + 10x − 600 =0 x

x2 + 5x − 300 =0
ô|’ düMTø£sD¡ +qT kÕ~Û+#·T≥ <ë«sê bı+<˚ x $\Te Ä<Ûës¡+>± \+ãø√D Á‹uÛTÑ »+˝Àì $T–*q s¬ +&ÉT
uÛTÑ C≤\ bı&Ée⁄\qT >∑D+Ï #·e#·TÃ.

ñ<ëVü≤s¡D-2. ÁøÏ+~$ es¡dZ Mü Tø£sD¡ ≤˝Òy÷Ó |ü]o*+#·+&ç.

i. (x – 2)2 + 1 = 2x – 3 ii. x(x + 1) + 8 = (x + 2) (x – 2)
iii. x (2x + 3) = x2 + 1 iv. (x + 2)3 = x3 – 4
kÕ<Ûqä : i. LHS = (x – 2)2 + 1 = x2 – 4x + 4 + 1 = x2 – 4x + 5
nq>± (x – 2)2 + 1 = 2x – 3 ì
x2 – 4x + 5 = 2x – 3 >± sêj·T#·TÃ.

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 es¡Z düMTø£sD¡ ≤\T 105

⇒ x2 – 6x + 8 = 0
Ç~ ax2 + bx + c = 0
s¡÷|ü+˝À e⁄+~ ø£qTø£ Ç~ ˇø£ es¡Z düMTø£sD¡ +.
ii. Ç#·Ã≥ LHS = x(x + 1) + 8 = x2 + x + 8
eT]j·TT RHS = (x + 2)(x – 2) = x2 – 4
∴ x2 + x + 8 = x2 – 4

x2 + x + 8 − x2 + 4 = 0
∴ x + 12 = 0

Ç~ ax2 + bx + c = 0 s¡÷|ü+˝À ˝Ò<Tä ø£qTø£ Ç~ es¡Z düMTø£sD¡ + ø±<äT.

iii. Ç#·Ã≥ LHS = x (2x + 3) = 2x2 + 3x
nq>± x (2x + 3) = x2 + 1 qT
2x2 + 3x = x2 + 1 nì sêj·Te#·TÃ.
nq>± x2 + 3x – 1 = 0
Ç~ ax2 + bx + c = 0 s¡÷|ü+˝À e⁄+~
ø£qTø£ Ç~ ˇø£ es¡Z düMTø£sD¡ +.
iv. Ç#·Ã≥, LHS = (x + 2)3 = (x + 2)2 (x + 2)
= (x2 + 4x + 4) (x + 2)
= x3 + 2x2 + 4x2 + 8x + 4x + 8
= x3 + 6x2 + 12x + 8
ø£qTø£, (x + 2)3 = x3 – 4 qT
x3 + 6x2 + 12x + 8 = x3 – 4 >± sêj·Te#·TÃ.
2
⇒ 6x + 12x + 12 = 0 ˝Ò<ë x2 + 2x + 2 = 0
Ç~ ax2 + bx + c = 0 s¡÷|ü+˝À e⁄+~ ø£qTø£ Ç~ ˇø£ es¡Z düMTø£sD¡ +.
dü÷#·q: ô|’ ñ<ëVü≤s¡D (ii)˝À Ç∫Ãq düMTø£sD¡ + es¡Z düMTø£sD¡ + ˝≤>± ø£q|ü&TÉ ‘·T+~. ø±˙ Ç~ es¡Z
düMTø£sD¡ + ø±<äT. n<˚ $<Û+ä >± ñ<ëVü≤s¡D (iv)˝À Ç∫Ãq düMTø£sD¡ + |òTü q düMTø£sD¡ + ˝≤>± ø£q|ü&TÉ ‘·T+~
ø±˙ Ç~ es¡Z düMTø£sD¡ y˚T.
ô|’ ñ<ëVü≤s¡D\ qT+∫ Ç∫Ãq düMTø£sD¡ + es¡Z düMTø£sD¡ + ne⁄qT ø±<√ ìs¡sí TT+#·T≥≈£î eTT+<äT
<ëìì dü÷ø°àå ø£]+#·≥eTT eT+∫<äì eTq+ >∑T]Ô+#·>\∑ +.

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 106 10e ‘·s>¡ ‹∑ >∑D‘Ï +·

nuÛ≤´düeTT - 5.1
1. ÁøÏ+~ düMTø£D≤\T es¡Z düMTø£sD¡ ≤\T ne⁄H√, ø±<√ ìs¡sí TT+#·+&ç.
i. (x + 1)2 = 2(x – 3) ii. x2 – 2x = (–2) (3 – x)
iii. (x – 2)(x + 1) = (x – 1)(x + 3) iv. (x – 3)(2x +1) = x(x + 5)
v. (2x – 1)(x – 3) = (x + 5)(x – 1) vi. x2 + 3x + 1 = (x – 2)2
vii. (x + 2)3 = 2x (x2 – 1) viii. x3 – 4x2 – x + 1 = (x – 2)3
2. ÁøÏ+~ yêìøÏ dü]j·T>∑T es¡Z düMTø£sD¡ ≤\qT ø£qT>=qTeTT ?
i. ˇø£ Bs¡È#·‘·Ts¡ÁkÕø±s¡ düú\eTT jÓTTø£ÿ yÓ’XÊ\´eTT 528 #·.MT. Bì bı&Ée⁄, yÓ&É\TŒjÓTTø£ÿ ¬s{Ϻ+|ü⁄
ø£+fÒ ˇø£ MT≥s¡T m≈£îÿe. nsTTq <ëì bı&Ée⁄, yÓ&É\TŒ\qT ø£qT>=qT≥≈£î nedüs¡yÓTÆq es¡Z
düMTø£s¡DeTTqT ≈£qT>=qTeTT?
ii. ¬s+&ÉT es¡Tdü <Ûäq |üPs¡í dü+K´\ \ã›eTT 306. nsTTq Ä dü+K´\qT ø£qT>=qT≥≈£î nedüs¡eTj˚T´
es¡Z düMTø£s¡DeTTqT ø£qT>=qTeTT/sêj·TTeTT?
iii. s√Vü≤Hé ‘·*,¢ s√Vü≤Hé ø£+fÒ 26 dü+ˆˆ\T ô|<ä~ › . 3 dü+ˆˆ\T ‘·sT¡ yê‘· yê]<ä]› ej·TdüT‡\ \ã›+ 360.
nsTTq s√Vü≤Hé jÓTTø£ÿ Á|üdTü ‘Ô · ej·TdüT‡qT ø£qT>=qT≥≈£î nedüse¡ Tj˚T´ es¡dZ Mü Tø£sD¡ eTTqT sêj·TTeTT?
iv. 480 øÏ.MT. <ä÷s¡eTTqT ˇø£ s ¬ \’ T @ø£Ø‹ y˚>e∑ TT‘√ Á|üj÷· DÏdTü +Ô ~. ˇø£yfi˚ ¯ Ç<˚ s¬ \’ T Ç|üŒ{Ï y˚>+∑
ø£+fÒ 8 øÏ.MT ‘·≈£îÿe y˚>∑eTT‘√ Á|üj·÷DÏùdÔ >∑eT´+ #˚s¡T≥≈£î |üfÒº ø±\+ 3 >∑+ˆˆ\T ô|s¡T>∑T‘·T+~.
nsTTq ¬s’\T y˚>∑eTTqT ø£qT>=qT≥≈£î ø±e\dæq es¡Z düMTø£s¡DeTTqT ø£qT>=qTeTT?
5.3 ø±s¡D≤+ø£ |ü<äΔ‹q es¡Z düMTø£s¡DeTTqT kÕ~Û+#·T≥
ì»J$‘·+˝À »]π> m<äTs¡jT˚ ´ ø=ìï dü+|òTü ≥q\qT / düeTdü´\qT >∑D‘Ï |· sü +¡ >± ‘Ó*j·Tì #·ss¡ ê• ‘x’ qT
ñ|üj÷Ó –+∫ es¡Z düMTø£sD¡ ≤\ s¡÷|ü+˝À m˝≤ ‘Ó*j·TCÒjT· e#√à eTq H˚sT¡ Ã≈£îHêï+. Ç|ü⁄&ÉT x $\TeqT
@$<Û+ä >± ø£qT>=+{≤yÓ÷ |ü]o*<ë›+. 2x2 – 3x + 1 = 0 es¡Z düMTø£sD¡ eTTqT rdüT≈£î+<ë+. Bì˝À
x ã<äT\T ª1μ Á|ü‹øπ | å +æ ∫q (2 × 12) – (3 × 1) + 1 = 0 = RHS. x = 1 øÏ düMTø£sD¡ + dü+‘·è|æÔ #Ó+~q~
ø£qTø£ x = 1 qT 2x2 – 3x + 1 = 0 ≈£î eT÷\eTT ˝Ò<ë kÕ<Ûqä n+{≤+.
á düeTj·T+˝À x = 1 nqTq~ 2x2 – 3x + 1 es¡Z ãVüQ|ü~ jÓTTø£ÿ X¯Sq´$\Te ≈£L&Ü ne⁄‘·T+<äì
>∑Ts¡T≈Ô î£ ‘Ó#T· Ãø√+&ç.
kÕ<Ûës¡D+>± ax2 + bx + c = 0— a ≠ 0 ≈£î aα2 + b α + c = 0 nsTTq α qT es¡Z düMTø£sD¡ + jÓTTø£ÿ
eT÷\eTT n+{≤+. eT]j·TT x = α es¡Z düMTø£sD¡ + jÓTTø£ÿ kÕ<Ûqä nì ≈£L&Ü n+{≤+. ˝Ò<ë ªαμ es¡Z
düMTø£sD¡ eTTqT ‘·è|æÔ |üsT¡ düT+Ô ~ n+{≤+.
ax2 + bx + c es¡Z ãVüQ|ü~ jÓTTø£ÿ X¯Sq´$\Te\T, ax2 + bx + c = 0 es¡Z düMTø£sD ¡ + jÓTTø£ÿ
eT÷˝≤\T ˇø£ÿfÒ nì >∑T]Ô+#·>\∑ s¡T.
3e n<Ûë´j·T+˝À ˇø£ es¡Z ãVüQ|ü~øÏ s ¬ +&ÉT X¯Sq´ $\Te\T+{≤sTTì eTq+ >∑ì+#ê+ ø£qTø£ es¡Z
düMTø£sD¡ eTTq≈£î ≈£L&Ü s¬ +&ÉT eT÷˝≤˝Ò e⁄+{≤sTT (m+<äT≈£î?)

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 es¡Z düMTø£sD¡ ≤\T 107

eTq+ 9e ‘·s>¡ ‹∑ ˝À eT<Û´ä |ü<eä TTqT s¬ +&ç+{Ï>± $&É>=≥Tº≥ <ë«sê ˇø£ es¡Z ãVüQ|ü~ jÓTTø£ÿ
ø±s¡D≤+ø±\qT m˝≤ ø£qT>=qe#√à H˚sT¡ Ã≈£îHêïeTT. Ç<˚ |ü<‹›ä ì ñ|üj÷Ó –+∫ ˇø£ es¡Z düMTø£sD¡ eTT jÓTTø£ÿ
eT÷˝≤\qT m˝≤ ø£qT>=qe#√à #·÷<ë›+.

ñ<ëVü≤s¡D-3. ø±s¡D≤+ø£ |ü<‹Δä q 2x2 – 5x + 3 = 0 jÓTTø£ÿ eT÷˝≤\qT ø£qT>=qTeTT.

kÕ<Ûqä : yÓTT<ä≥>± eT<ä´|ü<eä TTqT s¬ +&ç+{Ï>± $&É>=≥Tº<ë+. ax2+bx+c ˇø£ es¡Z ãVüQ|ü~ nsTT‘˚ eT<ä´
|ü<eä TTqT $&É>=≥Tº≥≈£î p + q = b eT]j·TT p × q = a × c nj˚T´ $<Û+ä >± p, q nH˚ s¬ +&ÉT dü+K´\qT
ø£qT>=Hê\ì >∑Ts¡T≈Ô î£ ‘Ó#T· Ãø√+&ç. n+fÒ 2x2 – 5x + 3 ˝À eT<Û´ä |ü<eä TTqT $&É>=≥Tº≥≈£î p + q = b = –5
eT]j·TT p × q = a × c = 2 × 3 = 6 nj˚T´ $<Û+ä >± p, q nH˚ s¬ +&ÉT dü+K´\qT ø£qT>=Hê*.. Bìø=s¡≈î£
6 jÓTTø£ÿ ø±s¡D≤+ø±\ »‘·\ C≤_‘êqT ‘·j÷· s¡T#˚<ë›+. n$ (1, 6), (–1, –6); (2, 3); (–2, –3). á
C≤_‘ê˝À (–2, –3)— nH˚ »‘· p + q = –5 eT]j·TT p × q = 6 \qT ‘·è|æÔ |üsT¡ düT+Ô <äì >∑T]Ô+#·>\∑ +. ø£qTø£
eT<ä´|ü<eä TT ‘–5x’ qT ‘–2x – 3x’ >± sêj·Te#·TÃ.
2x2 – 5x + 3 = 2x2 – 2x – 3x + 3 = 2x (x – 1) –3(x – 1) = (2x – 3)(x – 1)

nq>± 2x2 – 5x + 3 = 0 qT (2x – 3)(x – 1) = 0 >± sêj·Te#·TÃ.

nq>± 2x – 3 = 0 ˝Ò<ë x – 1 = 0.
3
⇒ x= eT]j·TT x = 1 \T Ç∫Ãq es¡dZ Mü Tø£sD¡ + jÓTTø£ÿ kÕ<Ûqä \T
2
3
˝Ò<ë 1 eT]j·TT 2
\T 2x2 – 5x + 3 = 0 jÓTTø£ÿ eT÷˝≤\T.
Á|üj·T‹ï+#·+&ç.
3
1 eT]j·TT 2
\T 2x2 – 5x + 3 = 0 jÓTTø£ÿ eT÷˝≤\e⁄‘ê@yÓ÷ dü]#·÷&É+&ç.

Ç#·Ã≥ 2x2 – 5x + 3 qT s¬ +&ÉT sπ Fj·T ø±s¡D≤+ø±\ \ã›+>± sêdæ Á|ür sπ Fj·T ø±s¡D≤+ø±ìï
düTHêï≈£î düe÷q+ #˚jT· ≥+ <ë«sê 2x2 – 5x + 3 = 0 jÓTTø£ÿ eT÷˝≤\qT ø£qT>=HêïeTì >∑eTì+#·+&ç.

1 1
ñ<ëVü≤s¡D`4 : x-
3x
=
6
es¡Z düMTø£sD¡ + jÓTTø£ÿ eT÷˝≤\qT ø£qT>=qTeTT ?

1 1
kÕ<Ûqä : Ç∫Ãq düMTø£sD¡ eTT : x− = ⇒ 6x2 − x − 2 = 0
3x 6

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 108 10e ‘·s>¡ ‹∑ >∑D‘Ï +·

6x2 – x – 2 = 6x2 + 3x – 4x – 2
= 3x (2x + 1) – 2 (2x + 1)
= (3x – 2)(2x + 1)
nq>± (3x – 2)(2x + 1) = 0 nj˚T´ $<Û+ä >± e⁄qï x $\Te˝Ò 6x2 – x – 2 = 0 jÓTTø£ÿ
eT÷˝≤\e⁄‘êsTT.
∴ 3x – 2 = 0 ˝Ò<ë 2x + 1 = 0,
2 1
⇒ x= ˝Ò<ë x= −
3 2
2 1
2
∴ 6x – x – 2 = 0 jÓTTø£ÿ eT÷˝≤\T eT]j·TT − .
3 2
2 1
6x2 – x – 2 = 0 ˝À x = eT]j·TT x = − 2 \qT Á|ü‹øπ |å +æ ∫ dü÷ø°àå ø£]+#·T≥ <ë«sê n$
3
düMTø£sD¡ eTTq≈£î eT÷˝≤\T ne⁄‘êjÓ÷ ˝Òy√ dü]#·÷&É>\∑ eTT.
ñ<ëVü≤s¡D-5. o]¸ø£ 5.1 ˝À #·]Ã+∫q düeTdü´˝Àì Áù|ø£≈å î£ \ ø=s¡≈î£ e~*q U≤∞ dü\ú eTT jÓTTø£ÿ yÓ&\É TŒqT
ø£qT>=qTeTT ?
kÕ<Ûqä : 5.1 o]¸ø˝£ À #·]Ã+∫q düeTdü´˝Àì Áù|ø£≈å î£ \ ø=s¡≈î£ e~*q U≤∞ dü\ú eTT jÓTTø£ÿ yÓ&\É TŒ x MT
nqTø=ìq n~ 2x2 + 45x - 47 = 0 qT ‘·è|æÔ |ü]#˚ ˇø£ $\Te. ø±s¡D≤+ø£ |ü<‹Δä ì á düMTø£sD¡ +q≈£î
nqTe]Ô+|ü#d˚ qæ
2x2 − 2x + 47x − 47 = 0
2x (x − 1) + 47 (x − 1) = 0
i.e., (x − 1) (2x + 47) = 0
−47
nq>± x = 1 eT]j·TT x = 2 \T 2x2 − 2x + 47x − 47 = 0 jÓTTø£ÿ eT÷˝≤\T. nsTT‘˚ x nH˚~
Áù|ø£≈å î£ \ ø=s¡≈î£ e~*q U≤∞ dü\ú eTT jÓTTø£ÿ yÓ&\É TŒ ø£qTø£ Bì $\Te ãTTD≤‘·àø£+ ø±C≤\<äT
ú + jÓTTø£ÿ yÓ&\É TŒ R x = 1 MT.
∴ U≤∞ dü\
nuÛ≤´düeTT- 5.2
1. ø±s¡D≤+ø£ |ü<‹Δä q ÁøÏ+~ es¡Z düMTø£sD¡ ≤\ eT÷˝≤\qT ø£qT>=qTeTT ?
i. x2 – 3x – 10 = 0 ii. 2x2 + x – 6 = 0 iii. 2 x2 + 7 x + 5 2 = 0
2 1
iv. 2 x − x + =0 v. 100x2 – 20x + 1 = 0 vi. x(x + 4) = 12
8
3
vii. 3x2 – 5x + 2 = 0 viii. x − =2 ix. 3(x – 4)2 – 5(x – 4) = 12
x

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 es¡Z düMTø£sD¡ ≤\T 109

2. yÓTT‘·eÔ TT 27, \ãΔeTT 182 nj˚T´ $<Û+ä >± s¬ +&ÉT dü+K´\qT ø£qT>=qTeTT.
3. s¬ +&ÉT es¡Tdü <Ûqä |üPs¡í dü+K´\ esêZ\ yÓTT‘·eÔ TT 613 nsTTq Ä dü+K´\qT ø£qT>=qTeTT.
4. ˇø£ \+ãø√D Á‹uÛTÑ »+ jÓTTø£ÿ m‘·TÔ <ëì uÛ÷Ñ $T ø£+fÒ 7 ôd+.MT. ‘·≈î£ ÿe. ø£seí¡ TT bı&Ée⁄ 13 ôd+.MT
nsTTq $T–*q s¬ +&ÉT uÛTÑ C≤\qT ø£qT>=qTeTT.
5. ˇø£ ≈£î{°s¡ |ü]ÁX¯eT˝À Á|ü‹s√E ˇø£ ìj·T$T‘· dü+K´˝À edüTeÔ ⁄\qT ‘·j÷· s¡T #˚kÕÔsT¡ . ˇø£ s√E—
‘·j÷· s¬ q’ ˇø=ÿø£ÿ edüTeÔ ⁄ KØ<äT (s¡÷bÕsTT\˝À) Äs√E ‘·j÷· s¬ q’ edüTeÔ ⁄\ dü+K´≈£î s¬ {Ï+º |ü⁄ ø£+fÒ
3 m≈£îÿe. Ä s√E ‘·j÷· s¬ q’ yÓTT‘·+Ô edüTeÔ ⁄\ KØ<äT ` 90 nsTTq Ä s√E ‘·j÷· s¬ q’ yÓTT‘·+Ô edüTeÔ ⁄\
dü+K´ eT]j·TT ˇø=ÿø£ÿ edüTeÔ ⁄ KØ<äTqT ø£qT>=qTeTT?
6. ˇø£ Bs¡È #·‘T· s¡ÁdüeTT jÓTTø£ÿ #·T≥Tºø=\‘· 28 MT eT]j·TT <ëì yÓX’ Ê\´+ 40 #·.MT. nsTTq Bs¡#È ‘· T· s¡ÁdüeTT
jÓTTø£ÿ ø=\‘·\qT ø£qT>=qTeTT?
7. ˇø£ Á‹uÛTÑ »eTT jÓTTø£ÿ uÛ÷Ñ $T, <ëì m‘·TÔ ø£+fÒ 4 ôd+.MT.m≈£îÿe. á Á‹uÛTÑ » yÓX’ Ê\´eTT 48 #·.ôd+.MT.
nsTTq <ëì uÛ÷Ñ $Tì, m‘·TqÔ T ø£qT>=qTeTT?
8. s¬ +&ÉT s¬ fi’ ó¯ ¢ ˇø£ ùdwº Hü é qT+∫ ˇπø düeTj·T+˝À ˇø£{Ï |ü&eÉ Ts¡≈î£ eT]ˇø£{Ï ñ‘·sÔ +¡ yÓ|’ ⁄ü ≈£î ãj·T\T<˚sT¡ qT.
yÓTT<ä{Ï s¬ \’ T, s¬ +&Ée s¬ \’ T ø£+fÒ 5 øÏ.MT./>∑+≥ m≈£îÿe y˚>+∑ ‘√ Á|üj÷· DÏdTü +Ô ~. n$ ãj·T\T<˚]q
s¬ +&ÉT >∑+≥\ ‘·sT¡ yê‘· ˇø£<ëìø=ø£{Ï 50 øÏ.MT. <ä÷s¡+˝À e⁄qï ˇø=ÿø£ÿ s¬ \’ T dü>≥∑ T y˚>+∑ m+‘·?
9. 60 eT+~ $<ë´s¡T\ú T >∑\ ‘·s>¡ ‹∑ ˝À Á|ü‹ nu≤“sTT, ne÷àsTT\ dü+K´≈£î düe÷qyÓTqÆ kıeTTàqT, Á|ü‹
ne÷àsTT, nu≤“sTT\ dü+K´≈£î düe÷qyÓTqÆ kıeTTàqT #·+<ë>± Ç#êÃs¡T. yÓTT‘·+Ô edü÷˝…q’ kıeTTà
` 1600 nsTTq ‘·s> ¡ ‹∑ ˝À m+‘· eT+~ nu≤“sTT\T >∑\s¡T ?
10. >∑+≥≈£î 3 øÏ.MT y˚>+∑ ‘√ Á|üj÷· DÏdTü qÔ ï ˇø£ q~˝À ˇø£ yÓ÷{≤s¡T uÀ≥T 24øÏ.MT. <ä÷s¡eTTqT Á|üj÷· DÏ+∫
‹]– ãj·T\T<˚]q kÕúHêìøÏ sêe&ÜìøÏ |ü{qºÏ ø±\+ 6 >∑+≥˝…q’ uÀ≥T dæsú y¡ >˚ +∑ ˝À Á|üj÷· DÏ+∫q<äì
uÛ≤$+∫ <ëì y˚>e∑ TTqT ø£qT>=qTeTT?

5.4 es¡ZeTTqT |üP]Ô #˚j·TT≥ <ë«sê es¡Z düMTø£s¡DeTTqT kÕ~Û+#·T≥

Ç+‘·≈î£ eTT+<äT eTqeTT ˇø£ es¡Z düMTø£sD¡ eTTqT ø±s¡D≤+ø£ |ü<‹Δä q m˝≤ kÕ~Û+#·e#√à ‘Ó\TdüT≈£îHêïeTT.
nsTT‘˚ á |ü<‹Δä ì ñ|üj÷Ó –+∫ nìï düMTø£sD¡ ≤\qT kÕ~Û+#·>\∑ e÷ ? x2 + 4x − 4 = 0 qT ø±s¡D≤+ø£
|ü<‹Δä ì kÕ~Û+#·T≥≈£î Á|üjT· ‹ï<ë›+. Ç∫Ãq es¡dZ Mü Tø£sD¡ eTT x2 + 4x − 4 = 0 qT ø±s¡D≤+ø£ |ü<‹›ä q
kÕ~Û+#·e˝…qqï yÓTT<ä≥ eTqeTT
p + q = 4 — p × q = -4 nj˚T´ $<Û+ ä >± p, q $\Te\qT ø£q>=qe˝…qT. nsTT‘˚ Ç~ kÕ<Û´ä + ø±<äT.
2
ø£qTø£ x + 4x − 4 = 0 qT ø±s¡D≤+ø£ |ü<‹Δä ì kÕ~Û+#·˝eÒ TT. n+<äTe\¢ eTqeTT Ç+ø=ø£ y˚sπ |ü<‹Δä ì
|ü]o*+#·e\dæ e⁄qï~.

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 110 10e ‘·s>¡ ‹∑ >∑D‘Ï +·

ÁøÏ+~ ñ<ëVü≤s¡DqT |ü]o*<ë›+.

s¬ +&ÉT dü+e‘·‡sê\ ÁøÏ‘+· düT˙‘· ej·TdüT‡, eT]j·TT 4dü+ˆˆ\ nq+‘·se¡ TT ÄyÓT ej·TdüT‡\ \ã›+, ÄyÓT
Á|üdTü ‘Ô · ej·TdüT‡≈£î s¬ {Ï+º |ü⁄ ø£+fÒ ª1μ m≈£îÿe nsTTq ÄyÓT Á|üdTü ‘Ô · ej·TdüT‡ m+‘·?
BìøÏ »yêãTqT ø£qT>=qT≥≈£î ÄyÓT Á|üdTü ‘Ô · ej·TdüT‡qT ªxμ dü+ˆˆ\T nqT≈£î+<ë+. nsTTq s¬ +&ÉT
dü+ˆˆ\ ÁøÏ‘+· ÄyÓT ej·TdüT‡ R (x - 2) dü+ˆˆ\T eT]j·TT 4dü+ˆˆ\ nq+‘·s+¡ ÄyÓT ej·TdüT‡ = (x + 4)
dü+ˆˆ\T.
<ä‘êÔ+X¯eTT Á|üø±s¡eTT (x – 2)(x + 4) = 2x + 1
⇒ x2 + 2x – 8 = 2x + 1
∴ x2 – 9 = 0
nq>± x2 – 9 = 0 qT ‘·è|æÔ |üs#¡ ˚ x $\Ty˚ düT˙‘· jÓTTø£ÿ Á|üdTü ‘Ô · ej·TdüT‡qT ÇdüT+Ô ~. á
düMTø£sD¡ +qT x2 = 9 >± sêj·Te#·TÃ. Çs¡TyÓ|’ ⁄ü ˝≤ es¡eZ T÷\eTT\qT rdüTø√e&É+ <ë«sê x = 3 ˝Ò<ë x =
ä ê‘·àø£+ ø£qTø£ x = 3 qT e÷Á‘·yT˚ |ü]>∑D˝ÀìøÏ rdüT≈£î+{≤+.
– 3 \qT bı+<äe#·TÃ. nsTT‘˚ ej·TdüT‡ <ÛH
nq>± düT˙‘· ej·TdüT‡ 3 dü+ˆˆ\T
Ç|ü⁄&ÉT (x + 2)2 – 9 = 0 nH˚ eTs=ø£ es¡Z düMTø£sD¡ eTTqT |ü]o*<ë›+.
(x + 2)2 – 9 = 0 ⇒ (x + 2)2 = 9.
∴ x + 2 = 3 ˝Ò<ë x + 2 = – 3.
∴ x = 1 ˝Ò<ë x = –5
nq>± (x + 2)2 – 9 = 0 jÓTTø£ÿ eT÷˝≤\T 1 eT]j·TT – 5.
ô|’ s¬ +&ÉT ñ<ëVü≤s¡D\˝Àì x ø£*–q |ü<ë\T K∫Ñ· esêZ\ s¡÷|ü+˝À e⁄HêïsTT. ø±e⁄q Çs¡TyÓ|’ ⁄ü ˝≤
es¡Z eT÷˝≤\qT rdüTø√e&É+ <ë«sê düT\uÛ+Ñ >± yêìì kÕ~Û+#ê+. nsTT‘˚ Ç<˚ |ü<‹Δä q x2 + 4x – 4 = 0 qT
kÕ~Û+#·>\∑ e÷? Ç+ø± á düMTø£sD¡ eTTqT ø±s¡D≤+ø£ |ü<‹Δä ì ≈£L&Ü kÕ~Û+#·˝eÒ TT. ø£qTø£ Bìì ˇø£ K∫Ñ·
es¡sZ ÷¡ |ü+˝ÀøÏ e÷]ÃkÕ~<ë›+. á |ü<‹›ä H˚ es¡+Z qT |üP]Ô #˚jT· T≥ <ë«sê es¡dZ Mü Tø£sD¡ eTTqT kÕ~Û+#·&+É >±
|æ\TkÕÔ+. düMTø£sD¡ + jÓTTø£ÿ m&ÉeT uÛ≤>∑eTT ˇø£ dü+|üPs¡í es¡eZ TT nj˚T´ $<Û+ä >± e÷s¡TÃ≥j˚T á |ü<‹Δä ˝Àì
yÓTfi¯ó≈£îe/ñbÕj·TeTT.
á |ü<‹Δä á ÁøÏ+~ $<Û+ä >± ñ+≥T+~.
x2 + 4x – 4 = 0
⇒ x2 + 4x = 4
x2 + 2. x . 2 = 4
Ç|ü⁄&ÉT düMTø£sD¡ + jÓTTø£ÿ m&ÉeTuÛ≤>∑eTT a2 + 2ab s¡÷|ü+˝À e⁄+~. BìøÏ b2 qT ø£*|æ‘˚ n~
a + 2ab + b2 nsTT ˇø£ dü+|üPs¡í / K∫Ñ· es¡e
2
Z TT ne⁄‘·T+~. ø£qTø£ düMTø£sD¡ +q≈£î Çs¡TyÓ|’ ⁄ü ˝≤
b2 = 22 = 4 qT ø£\T|ü>±
x2 + 2.x.2 + 22 = 4 + 4

⇒ (x + 2)2 = 8 ⇒ x + 2 = ± 8

⇒ x = –2 ± 2 2

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 es¡Z düMTø£sD¡ ≤\T 111

Ç|ü⁄&ÉT Ç+ø=ø£ es¡dZ Mü Tø£sD¡ eTT 3x2 – 5x + 2 = 0qT rdüT≈£î+<ë+. Bì˝À x2 >∑TDø£eTT ª1μ ø±<äT. x2
>∑TDø£eTT ª1μ >± bı+<äT≥≈£î düMTø£sD¡ + yÓTT‘êÔìï Çs¡TyÓ|’ ⁄ü ˝≤ ª3μ #˚ uÛ≤–<ë›+.
5 2
∴ x2 − x + = 0
3 3
5 −2
⇒ x2 − x =
3 3
5 −2
⇒ x 2 − 2.x. =
6 3
2 2 2
2 5 ⎛5⎞ −2 ⎛ 5 ⎞ ⎛ 5⎞
⇒ x − 2.x. + ⎜ ⎟ = +⎜ ⎟ (Çs¡TyÓ|
’ ⁄ü ˝≤ ⎜ ⎟ qT ø£\T|ü>± )
6 ⎝6⎠ 3 ⎝6⎠ ⎝6⎠
2
⎛ 5⎞ −2 25
⎜x− ⎟ = +
⎝ 6⎠ 3 36

⎛ 5⎞
2
(12 × −2) + ( 25 × 1)
⎜⎝ x − ⎟⎠ =
6 36
2
⎛ 5⎞ −24 + 25
⎜⎝ x − ⎟⎠ =
6 36
2
⎛ 5⎞ 1
⎜x− ⎟ =
⎝ 6⎠ 36
5 1
x− = ± (Çs¡TyÓ|
’ ⁄ü ˝≤ es¡eZ T÷\eTTqT rdüTø=q>±)
6 6
5 1 5 1
nq>±, x= + ˝Ò<ë x= −
6 6 6 6
4
∴ x = 1 ˝Ò<ë x =
6
2
⇒ x = 1 ˝Ò<ë x =
3

2
∴ Ç∫Ãq düMTø£sD¡ + jÓTTø£ÿ eT÷˝≤\T R 1 eT]j·TT 3
.

ô|’ ñ<ëVü≤s¡D qT+∫ á |ü<‹Δä øÏ nedüse¡ Tj˚T´ n˝Ÿ>±]<∏yä Té qT ÁøÏ+~ $<Û+ä >± s¡÷bı+~+#·Tø√e#·TÃ.
Ä˝Ÿ>±]<∏yä Té : Ç∫Ãq es¡Z düMTø£sD¡ eTTqT ax2 + bx + c = 0 nqTø=qTeTT.
k˛bÕq+-1 : düMTø£sD¡ eTTqT Çs¡TyÓ|’ ⁄ü ˝≤ ‘a’ #˚ uÛ≤–+#·TeTT.

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 112 10e ‘·s>¡ ‹∑ >∑D‘Ï +·

k˛bÕq+-2 : dæsú |¡ <ü eä TT c qT ≈£î&çy|’Ó ⁄ü q≈£î rdüTø=ìs¡eTTà.

a
2
⎡ 1 ⎛ b ⎞⎤
k˛bÕq+-3 : m&ÉeT uÛ≤>∑eTT ˇø£ dü+|üPs¡/í K∫Ñ· es¡eZ Te⁄≥≈£î düMTø£sD¡ eTTq≈£î Çs¡TyÓ|’ ⁄ü ˝≤ ⎢ 2 ⎜ a ⎟⎥
⎣ ⎝ ⎠⎦
qT ≈£L&ÉTeTT.
k˛bÕq+-4 : m&ÉeT uÛ≤>±ìï es¡+Z >± sêdæ ≈£î&çu≤Û >±ìï dü÷ø°àå ø£]+#·TeTT.
k˛bÕq+-5 : kÕ~Û+#·TeTT.

ñ<ëVü≤s¡D-6.es¡eZ TTqT |üP]Ô #˚jT· T≥ <ë«sê es¡Z düMTø£sD¡ eTTqT kÕ~Û+#˚ |ü<‹Δä <ë«sê 5x2 – 6x – 2 = 0
qT kÕ~Û+#·TeTT.
kÕ<Ûqä : Çe«ã&çq düMTø£sD¡ eTT : 5x2 – 6x – 2 = 0
ô|’ n˝Ÿ>±]<∏yä Té Ä<Ûës¡+>± Bìì kÕ~<ë›+.
6 2
k˛bÕq+-1 : x2 − x − = 0 (Çs¡TyÓ|
’ ⁄ü ˝≤ 5#˚ uÛ≤–+#·>±)
5 5

6 2
k˛bÕq+-2 : x2 − 5 x = 5
2 2 2
62 ⎛3⎞ 2 ⎛3⎞ ⎛ 3⎞
k˛bÕq+-3 : x − 5 x + ⎜ 5 ⎟ = 5 + ⎜ 5 ⎟ (Çs¡TyÓ|’ ⁄ü ˝≤ ⎜ ⎟ qT ≈£L&É>±)
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝5⎠

2
⎛ 3⎞ 2 9
k˛bÕq+-4 : ⎜ x − 5 ⎟ = 5 + 25
⎝ ⎠

2
⎛ 3 ⎞ 19
k˛bÕq+-5 : ⎜ x − 5 ⎟ = 25
⎝ ⎠

3 19
x− =±
5 25

3 19 3 19
x= + or x = −
5 5 5 5

3 + 19 3 − 19
∴ x= or x =
5 5

ñ<ëVü≤s¡D-7. 4x2 + 3x + 5 = 0 qT es¡eZ TTqT |üP]Ô #˚jT· T≥ <ë«sê kÕ~Û+#·TeTT.

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 es¡Z düMTø£sD¡ ≤\T 113

kÕ<Ûqä : Çe«ã&çq düMTø£sD¡ + 4x2 + 3x + 5 = 0

3 5
x2 + x+ = 0
4 4
3 −5
x2 + x=
4 4
2 2
3 ⎛ 3⎞ −5 ⎛ 3 ⎞
x2 + x+⎜ ⎟ = +⎜ ⎟
4 ⎝8⎠ 4 ⎝8⎠

2
⎛ 3⎞ −5 9
⎜x+ ⎟ = +
⎝ 8⎠ 4 64

2
⎛ 3⎞ −71
⎜x+ ⎟ = <0
⎝ 8⎠ 64

2
⎛ 3⎞
nsTT‘˚ x jÓTTø£ÿ @ yêdüeÔ $\Te¬øq’ ⎜x+ ⎟ ãTTD≤‘·àø£+ ø±<äT(m+<äT≈£î?) nq>± x jÓTTø£ÿ @
⎝ 8⎠
yêdüeÔ $\TeHÓH’ ê ô|’ düMTø£sD¡ +qT ‘·è|æÔ |üs#¡ <· Tä . ø£qTø£ Ç∫Ãq düeMTø£sD¡ eTTq≈£î yêdüeÔ eT÷˝≤\T ˝Òe⁄.

Ç$ #˚j·T+&ç.
es¡eZ TTqT |üP]Ô #˚jT· T≥ <ë«sê ÁøÏ+~ es¡Z düMTø£sD¡ ≤\qT kÕ~Û+#·TeTT.
(i) x2 − 10x + 9 = 0 (ii) x2 − 5x + 5= 0
(iii) x2 + 7x − 6 = 0

eTq+ Ç|üŒ{Ï es¡≈L£ es¡eZ TTqT |üP]Ô #˚jT· T≥ <ë«sê nH˚ø£ es¡Z düMTø£sD¡ ≤\qT kÕ~Û+#ê+. Ç|ü⁄&ÉT
Ç<˚ |ü<‹Δä ì ÁbÕe÷DÏø£ es¡Z düMTø£sD¡ s¡÷|üyTÓ qÆ ax2+bx+c=0 ≈£î nqTe]Ô+|ü#d˚ æ <ëìì kÕ~<ëΔ+.
k˛bÕq+-1 : ax2+bx+c=0 (Çs¡TyÓ|’ ⁄ü ˝≤ a #˚ uÛ≤–+#·>±)
b c
x2 + x+ = 0
a a

b c
k˛bÕq+-2 : x 2 + a x = − a
2 2 2
b 2 ⎡1 b⎤ c ⎡1 b ⎤ ⎛1 b⎞
k˛bÕq+-3 : x + a x + ⎢ 2 a ⎥ = − a + ⎢ 2 a ⎥ (Çs¡TyÓ|’ ⁄ü ˝≤ ⎜ ⎟ qT ≈£L&É>±)
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎝2 a⎠

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 114 10e ‘·s>¡ ‹∑ >∑D‘Ï +·

2 2
2 b ⎛ b ⎞ c ⎛ b ⎞
⇒ x + 2. x. + ⎜ ⎟ = − + ⎜
2a ⎝ 2a ⎠ a ⎝ 2a ⎟⎠

2
⎛ b ⎞ b2 − 4ac
k˛bÕq+-4 : ⎜ x + 2a ⎟ =
⎝ ⎠ 4a 2

k˛bÕq+-5 : b2 − 4ac > 0 nqTø=ì Çs¡TyÓ|’ ⁄ü ˝≤ es¡eZ T÷˝≤\eTTqT rdüTø=q>±

b ± b 2 − 4ac
x+ =
2a 2a

−b ± b 2 − 4ac
∴ x=
2a

2 2 −b + b 2 − 4ac
∴ b – 4ac > 0 nsTTq|ü⁄&ÉT ax + bx + c = 0 jÓTTø£ÿ eT÷˝≤\T eT]j·TT
2a

−b − b 2 − 4ac
,
2a

ˇø£yfi˚ ¯ b2 – 4ac < 0 nsTTq düMTø£sD¡ +q≈£î yêdüeÔ eT÷˝≤\T e⁄+&Ée⁄ (m+<äT≈£î ?)

− b ± b 2 − 4ac
ø£qTø£ b2 – 4ac > 0 nsTTq|ü⁄&ÉT ax2 + bx + c = 0 jÓTTø£ÿ eT÷˝≤\T .
2a
ô|’ dü÷Á‘·eTTqT ñ|üj÷Ó –+∫ @ es¡Z düMTø£sD¡ + jÓTTø£ÿ eT÷˝≤\HÓH’ ê düT\uÛ+Ñ >± ø£qT>=qe#·TÃ.
ø=ìï ñ<ëVü≤s¡D\qT |ü]o*<ë›+.
ñ<ëVü≤s¡D-8. nuÛ≤´düeTT 5.1 ˝Àì 2(i) e Á|üXï¯ qT ô|’ dü÷Á‘·eTTqT ñ|üj÷Ó –+∫ kÕ~Û+#·TeTT.
kÕ<Ûqä : Bs¡È #·‘T· s¡ÁkÕø±s¡ dü\ú + jÓTTø£ÿ yÓ&\É TŒ ªxμ MT. nqTø=ìq
<ëì bı&Ée⁄ R (2x + 1) MT.
<ëì yÓX’ Ê\´eTT 528 #·.MT. ø£qTø£
x(2x + 1) = 528,
⇒ 2x2 + x – 528 = 0.
á düMTø£sD¡ + ax2 + bx + c = 0 s¡÷|ü+˝À ø£\<äT. Ç#·Ã≥ a = 2, b = 1, c = – 528.
ô|’ dü÷Á‘·+ qT+∫

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 es¡Z düMTø£sD¡ ≤\T 115

−1 ± 1 + 4(2)(528) −1 ± 4225 −1 ± 65
x= = =
4 4 4
64 −66
∴ x= ˝Ò<ë x = 4
4
33
⇒ x = 16 ˝Ò<ë x= −
2
yÓ&\É TŒ ãTTD≤‘·àø£+ ø±<äT ø£qTø£ x = 16 qT |ü]>∑D˝ÀìøÏ rdüT≈£î+{≤+.
∴ yÓ&\ É TŒ R x = 16 MT.
eT]j·TT bı&Ée⁄ R (2x + 1) = 33MT.
düeTdü´˝Àì wüs‘¡ T· \ Ä<Ûës¡+>± á kÕ<Ûqä \T dü]jÓTÆ qey√, ø±y√ MTs¡T dü]#·÷&Ée#·TÃ.

Ä˝À∫+∫, #·]Ã+∫, sêj·T+&ç

ˇø£ es¡Z düMTø£sD¡ eTTqT kÕ~Û+#·T≥≈£î ô|’ eT÷&ÉT |ü<‘Δä T· \˝À ˙e⁄ @ |ü<‹Δä ì ñ|üj÷Ó –kÕÔe⁄?
m+<äT≈£î?

ñ<ëVü≤s¡D-9. s¬ +&ÉT es¡Tdü <Ûqä uÒddæ +ü K´\ yÓTT‘·eÔ TT 290 nsTTq Ä dü+K´\qT ø£qT>=qTeTT.
kÕ<Ûqä : yÓTT<ä{Ï uÒdæ dü+K´ì ªxμ nqTø=ìq s¬ +&Ée uÒddæ +ü K´ (x + 2) ne⁄‘·T+~.
2 2
∴ x + (x + 2) = 290
n+fÒ x2 + x2 + 4x + 4 = 290
n+fÒ 2x2 + 4x – 286 = 0
n+fÒ x2 + 2x – 143 = 0
Ç~ x ˝À ˇø£ es¡Z düMTø£sD¡ eTT.
−b ± b 2 − 4ac
∴ x= dü÷Á‘·+ Á|üø±s¡+
2

−2 ± 4 + 572 −2 ± 576 −2 ± 24
x= = =
2 2 2
∴ x = 11 ˝Ò<ë x = – 13
nsTT‘˚ x ˇø£ <Ûqä uÒdæ dü+K´ ø£qTø£ x = 11
∴ x + 2 = 11 + 2 = 13.
∴ s¬ +&ÉT es¡Tdü <Ûqä uÒdæ dü+K´\T R 11, 13
dü]#·÷#·T≥ : 112 + 132 = 121 + 169 = 290.

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 116 10e ‘·s>¡ ‹∑ >∑D‘Ï +·

ñ<ëVü≤s¡D-10. ˇø£ Bs¡È #·‘T· s¡ÁkÕø±s¡ bÕs¡Tÿ ‘·j÷· s¡T #˚jT· ã&ÉT‘·T+~. Bì yÓ&\É TŒ, bı&Ée⁄ ø£+fÒ 3 MT.
‘·≈î£ ÿe. Bì yÓX’ Ê\´eTT, Bì yÓ&\É TŒø£T düe÷qyÓTqÆ uÛ÷Ñ $T eT]j·TT12 MT. m‘·TÔ >∑\ ˇø£ düeT~«u≤VüQ Á‹uÛTÑ »
yÓX’ Ê\´+ ø£+fÒ 4 #·.MT. m≈£îÿe. nsTTq Bs¡#È ‘· T· s¡ÁkÕø±s¡ bÕs¡Tÿ jÓTTø£ÿ bı&Ée⁄, yÓ&\É TŒ\qT ø£qT>=qTeTT ?
kÕ<Ûqä : Bs¡È #·‘T· s¡ÁkÕø±s¡ bÕs¡Tÿ yÓ&\É TŒ x MT. nqTø=ìq
bı&Ée⁄ = (x + 3) MT.
∴ Bs¡È #·‘T· s¡ÁkÕø±s¡ bÕs¡Tÿ yÓX’ Ê\´eTT = x(x + 3) #·.MT. = (x2 + 3x) #·.MT.
düeT~«u≤VüQ Á‹uÛTÑ »eTT jÓTTø£ÿ uÛ÷Ñ $T = x MT.

∴ düeT~«u≤VüQ Á‹uÛTÑ » yÓX’ Ê\´eTT = 1 × x × 12 = 6 x #·.MT.

2
nsTT‘˚ <ä‘êÔ+X¯eTT Á|üø±s¡eTT
12
x2 + 3x = 6x + 4
∴ x2 – 3x – 4 = 0
∴ dü÷Á‘·+ qT+∫

x+3
3 ± 25 3 ± 5
x= = = 4 ˝Ò<ë – 1
2 2
nsTT‘˚ x ≠ – 1 (m+<äT≈£î?) ø£qTø£ x = 4.
x
∴ Bs¡È #·‘T· s¡ÁkÕø±s¡ bÕs¡Tÿ yÓ&\ É TŒ = 4MT.
eT]j·TT bı&Ée⁄ x + 3 = 4 + 3 = 7MT.
dü]#·÷#·T≥ : Bs¡È #·‘T· s¡ÁkÕø±s¡ bÕs¡Tÿ yÓX’ Ê\´eTT = 28 #·.MT.
Á‹uÛTÑ » yÓX’ Ê\´eTT = 24 MT2 = (28 – 4) #·.MT.

ñ<ëVü≤s¡D-11. ÁøÏ+~ es¡Z düMTø£sD¡ ≤\≈£î eT÷˝≤\T e⁄+fÒ yêìì dü÷Á‘·eTT <ë«sê ø£qT>=qTeTT ?
(i) x2 + 4x + 5 = 0 (ii) 2x2 – 2 2x + 1 = 0
kÕ<Ûqä :
(i) x2 + 4x + 5 = 0 Ç#·Ã≥ a = 1, b = 4, c = 5. ø£qTø£ b2 – 4ac = 16 – 20 = – 4 < 0.
@ yêdüeÔ dü+K´ jÓTTø£ÿ es¡yZ TÓ qÆ q÷ ãTTD≤‘·àø£eTT ø±H˚s<¡ Tä ø£qTø£ b2 − 4ac yêdüeÔ $\Te\qT
ø£*– j·TT+&É<Tä .
∴ Ç∫Ãq es¡Z düMTø£sD ¡ eTTq≈£î yêdüeÔ eT÷˝≤\T ˝Òe⁄.
(ii) 2x2 – 2 2 x + 1 = 0. Ç#·Ã≥ a = 2, b = −2 2 , c = 1.

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 es¡Z düMTø£sD¡ ≤\T 117

2
∴ b – 4ac = 8 – 8 = 0

2 2± 0 2 1
∴ x= = ±0 ⇒ x = .
4 2 2

1 1
∴ eT÷˝≤\T , .
2 2

ñ<ëVü≤s¡D-12. ÁøÏ+~ düMTø£sD¡ ≤\ eT÷˝≤\qT ø£qT>=qTeTT.

1 1 1
(i) x + = 3, x ≠ 0 (ii) − = 3, x ≠ 0, 2
x x x−2
kÕ<Ûqä :
1
(i) x + = 3 . düMTø£sD¡ + yÓTT‘·eÔ TTqT x #˚ >∑TDÏ+∫q
x
x2 + 1 = 3x
⇒ x2 – 3x + 1 = 0
Ç#·Ã≥ a = 1, b = – 3, c = 1 ø£qTø£
b2 – 4ac = 9 – 4 = 5 > 0

3± 5
∴ x= (m+<äT≈£î ?)
2

3+ 5 3− 5
∴ eT]j·TT \T eT÷˝≤\T.
2 2

1 1
(ii) − = 3, x ≠ 0, 2.
x x−2
x ≠ 0, 2, ø£qTø£ x (x – 2) #˚ düMTø£sD¡ + Çs¡TyÓ|’ ⁄ü ˝≤ >∑TDÏ+∫q
(x – 2) – x = 3x (x – 2)
= 3x2 – 6x
2
⇒ 3x – 6x + 2 = 0
Ç#·Ã≥ a = 3, b = – 6, c = 2. ø£qTø£, b2 – 4ac = 36 – 24 = 12 > 0

6 ± 12 6± 2 3 3± 3
∴ x= = = .
6 6 3

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 118 10e ‘·s>¡ ‹∑ >∑D‘Ï +·

3+ 3 3− 3
∴ eT÷˝≤\T R eT]j·TT .
3 3

ñ<ëVü≤s¡D-13. ìX¯Ã\ ˙{Ï˝À ˇø£ yÓ÷{≤s¡T uÀ≥T jÓTTø£ÿ y˚>e∑ TT >∑+≥≈£î 18 øÏ.MT. ˙{Ï Á|üyêVü≤eTTq≈£î
m<äTs¡T>± 24 øÏ.MT. Á|üj÷· DÏ+#·T≥≈£î |üfºÒ ø±\eTT, ‹]– ãj·T\T<˚]q kÕúqeTTq≈£î e#·TÃ≥≈£î |üfºÒ ø±\+
ø£+fÒ 1 >∑+≥ m≈£îÿe. nsTTq ˙{Ï y˚>y∑ TÓ +‘· ?
kÕ<Ûqä : ˙{Ï y˚>e∑ TT >∑+≥≈£î x øÏ.MT. nqTø=ìq
˙{Ï Á|üyêVü≤eTTq≈£î m<äTs¡T>± b˛e⁄q|ü⁄&ÉT uÀ≥T y˚>e∑ TT = (18 – x) øÏ.MT.
eT]j·TT ‹s¡T>∑T Á|üj÷· D+˝À uÀ≥T y˚>e∑ TT = (18 + x) øÏ.MT.
24
˙{Ï Á|üyêVü≤eTTq≈£î m<äTs¡T>± b˛e⁄q|ü⁄&ÉT |üfºÒ ø±\eTT = <äy˚÷>s¡+∑ + =
18 − x
>∑+ˆˆ
24
‹s¡T>∑T Á|üj÷· D+q≈£î |üfºÒ ø±\eTT = 18 + x >∑+≥\T.
<ä‘êÔ+X¯eTT Á|üø±s¡+
24 24
− =1
18 − x 18 + x
⇒ 24(18 + x) – 24(18 – x) = (18 – x) (18 + x)
⇒ x2 + 48x – 324 = 0
∴ dü÷Á‘·eTT qT+∫
−48 ± 482 + 1296 −48 ± 3600
x= =
2 2
−48 ± 60
= =6 ˝Ò<ë −54
2
˙{Ï Á|üyêVü≤eTT jÓTTø£ÿ y˚>e∑ TT ãTTD≤‘·àø£eTT ø±H˚s<¡ Tä ø±e⁄q x = 6
nq>± ˙{Ï Á|üyêVü≤eTT jÓTTø£ÿ y˚>e∑ TT = 6 øÏ.MT/>∑+≥.

nuÛ≤´düeTT - 5.3
1. ÁøÏ+~ düMTø£sD¡ ≤\≈£î eT÷˝≤\T e⁄+&˚ yêìì es¡+Z qT |üP]Ô #˚jT· T≥ <ë«sê ø£qT>=qTeTT.
i. 2x2 + x – 4 = 0 ii. 4 x 2 + 4 3x + 3 = 0
iii. 5x2 − 7x − 6 = 0 iv. x2 + 5 = −6x

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 es¡Z düMTø£sD¡ ≤\T 119

2. dü÷Á‘·eTTqT ñ|üj÷Ó –+∫ 1e Á|üXï¯ ˝Àì düMTø£sD¡ ≤\ eT÷˝≤\qT ø£qT>=qTeTT ?

3. ÁøÏ+~ düMTø£sD¡ ≤\ eT÷˝≤\qT ø£qT>=qTeTT ?
1 1 1 11
(i) x − = 3, x ≠ 0 (ii) − = , x ≠ −4, 7
x x + 4 x − 7 30
4. 3 dü+ˆˆ\ ÁøÏ‘e· TT s¡V≤ü e÷Hé ej·TdüT‡ jÓTTø£ÿ e⁄´Á‘·ÿeTeTT, 5 dü+ˆˆ\ ‘·sT¡ yê‘· n‘·ì ej·TdüT‡ jÓTTø£ÿ
1
e⁄´Á‘·ÿeTeTT\ yÓTT‘·eÔ TT 3
nsTTq n‘·ì Á|üdTü ‘Ô · ej·TdüT‡ m+‘· ?
5. eTÚ[ø£≈î£ >∑D‘Ï e· TT˝À eT]j·TT Ç+^¢wßü ˝À e∫Ãq e÷s¡Tÿ\ yÓTT‘·eÔ TT 30. ÄyÓT≈£î ˇø£yfi˚ ¯ >∑D‘Ï +· ˝À 2
e÷s¡Tÿ\T m≈£îÿe>±, Ç+^¢wßü ˝À 3 e÷s¡Tÿ\T ‘·≈î£ ÿe>± e∫à e⁄+fÒ Ä s¬ +&ç+{Ï jÓTTø£ÿ \ãΔeTT 210 nsTT
e⁄+&˚~. nsTTq ÄyÓT≈£î s¬ +&ÉT düã≈® î£ \º ˝À e∫Ãq e÷s¡Tÿ\qT ø£qT>=qTeTT?
6. ˇø£ Bs¡È #·‘T· s¡ÁkÕø±s¡ dü\ú eTT jÓTTø£ÿ ø£seí¡ TT <ëì yÓ&\É TŒ ø£+fÒ 60 MT m≈£îÿe eT]j·TT bı&Ée⁄, yÓ&\É TŒ
ø£+fÒ 30 MT. m≈£îÿe nsTTq Bs¡È #·‘T· s¡ÁkÕø±s¡ dü\ú eTT jÓTTø£ÿ ø=\‘·\qT ø£qT>=qTeTT?
7. s¬ +&ÉT dü+K´\ esêZ\ uÛ<Ò eä TT 180. ∫qï dü+K´ jÓTTø£ÿ es¡eZ TT, ô|<ä<› ëìøÏ 8 s¬ ≥T¢ nsTTq Ä
dü+K´\qT ø£qT>=qTeTT?
8. ˇø£ s¬ \’ T 360 øÏ.$T <ä÷s¡eTTqT @ø£Ø‹ y˚>e∑ TT‘√ Á|üj÷· DÏ+#·TqT. Bì y˚>e∑ TT >∑+≥≈£î 5 øÏ.MT.
ô|]–q n<˚ <ä÷s¡eTTqT Á|üj÷· DÏ+#·T≥≈£î |ü≥Tº ø±\eTT 1 >∑+≥ ‘·>T∑ qZ T. nsTTq s¬ \’ T y˚>e∑ TTqT
ø£qT>=qTeTT?
3
9. s¬ +&ÉT ≈£îfi≤sTT\T ø£\dæ ˇø£ ˙fi¯¢ {≤´+≈£îqT 9 8 >∑+ˆˆ\˝À ì+|ü⁄qT. m≈£îÿe yê´düeTTqï ≈£îfi≤sTT
ˇø£ÿfÒ, ‘·≈î£ ÿe yê´düeTTqï ≈£îfi≤sTT ì+ù| düeTj·TeTTq≈£î 10 >∑+ˆˆ ‘·≈î£ ÿe düeTj·T+˝À ì+|ü⁄qT.
nsTT‘˚ ˇø=ÿø£ÿ ≈£îfi≤sTT $&ç$&ç>± {≤´+≈£îqT ì+|ü⁄≥≈£î |üfºÒ ø±\eTTqT ø£qT>=qTeTT?
10. yÓTdÆ ÷ü s¡T, u…+>∑Tfi¯Ss¡T eT<Û´ä 132 øÏ.MT. <ä÷s¡eTTqT Á|üj÷· DÏ+#·T≥≈£î ˇø£ mø˘‡Áô|dt s¬ \’ T, bÕ´dæ+»sY
s¬ \’ T ø£+fÒ 1 >∑+≥ düeTj·TeTT ‘·≈î£ ÿe rdüTø=+≥T+~. (eT<Û´ä ˝À Äπ> düeTj·÷\qT ˝…øÿ£ ˝ÀøÏ rdüTø√˝Ò<Tä )
mø˘‡Áô|dt s¬ \’ T dü>≥∑ T y˚>e∑ TT, bÕ´dæ+»sY s¬ \’ T y˚>+∑ ø£+fÒ 11øÏ.MT / >∑+≥ m≈£îÿe nsTTq s¬ +&ÉT s¬ fi’ ¢¯
y˚>±\qT ø£qT>=qTeTT.
11. s¬ +&ÉT #·‘T· s¡ÁkÕ\ yÓX’ Ê˝≤´\ yÓTT‘·+Ô 468 #·.MT yêì #·T≥Tº ø=\‘·\ uÒ<eäÛ TT 24 MT. nsTTq Ä s¬ +&ÉT
#·‘T· s¡ÁkÕ\ uÛTÑ C≤\qT ø£qT>=qTeTT?
12. 96 MT. m‘·T> Ô \∑ ˇø£ Ç+{Ï ô|’ uÛ≤>∑+ qT+∫ 80MT/ôdø£qT ‘=* y˚>e∑ TT‘√ ô|ø’ Ï $dæ] y˚jT· ã&ç+~. ªtμ
ôdø£q¢ ‘·sT¡ yê‘· <ëìøÏ uÛ÷Ñ $TøÏ eT<Û´ä >∑\ <ä÷s¡eTT S = 96 + 80t − 16t2. nsTT‘˚ n~ mìï ôdø£q¢
‘·sT¡ yê‘· uÛ÷Ñ $Tì ‘ê≈£î‘·T+~.
1
13. ‘n’ uÛTÑ C≤\T>∑\ ˇø£ ãVüQuÛTÑ õ ˝Àì ø£sêí\ dü+K´ 2 n (n−3). nsTT‘˚ 65 ø£sêí\T >∑\ ãVüQuÛTÑ õ
jÓTTø£ÿ uÛTÑ C≤\ dü+K´ m+‘·? 50 ø£sêí\T >∑\ ãVüQuÛTÑ õ e´edæ‘ú e· TÚ‘·T+<ë ?

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 120 10e ‘·s>¡ ‹∑ >∑D‘Ï +·

5.5 eT÷˝≤\ dü«uÛ≤eeTT

ax2 + bx + c = 0 jÓTTø£ÿ eT÷˝≤\T
−b ± b 2 − 4ac
x=
2a
nì eTqeTT Ç+‘·≈î£ eTT+<äT uÛ≤>∑+˝À ‘Ó\TdüT≈£îHêï+. Ç|ü⁄&TÉ Mì jÓTTø£ÿ dü«uÛ≤eeTTqT ns¡+› #˚dTü ø√e&ÜìøÏ
Á|üjT· ‹ï<ë›+.
uÛ≤>∑+-1 : b2 − 4ac > 0 nsTTq s¬ +&ÉT y˚sT¡ y˚sT¡ eT÷˝≤\T+&ÉTqT. n$
−b + b 2 − 4ac −b − b 2 − 4ac
,
2a 2a
ãVüQ|ü~ X¯Sq´$\Te\q>± ãVüQ|ü~ $\Te X¯Sq´+ nj˚T´ $\Te\ì ns¡eú TT. eT]j·TT Ä ãVüQ|ü~øÏ
Á>±|òt ^ùdÔ n~ X-nø£eå TTqT K+&ç+#˚ $\Te\ì ≈£L&Ü >∑Ts¡T≈Ô î£ ‘Ó#T· Ãø√+&ç.
n<˚ $<Û+ä >± ˇø£ es¡Z düMTø£sD¡ + jÓTTø£ÿ eT÷˝≤\+fÒ Ä es¡Z düMTø£sD¡ eTTq≈£î Á>±|òt ^ùdÔ n~
X-nø£+ å qT K+&ç+#˚ $\Te\ì >∑T]Ô+#·+&ç.
b2 − 4ac > 0 nsTTq düeTj·T+˝À ◊∫Ãq es¡Z düMTø£sD ¡ eTTq≈£î Á>±|òt ^ùdÔ eTq+ ÁøÏ+~ |ü{≤\qT
bı+<ä>\∑ +.

|ü{≤\ qT+∫ eÁø£eTT X-nø£e

å TTqT s¬ +&ÉT y˚sT¡ y˚sT¡ _+<äTe⁄\ e<ä› ‘ê≈£î‘·T+<äì >∑eTì+#·>\∑ s¡T.
uÛ≤>∑+-2 : b2 − 4ac = 0 nsTTq
−b + 0
x=
2a
−b −b
⇒ x= ,
2a 2a
|ü{≤\ qT+∫ eÁø£eTT X-nø£e
å TTqT ˇπø _+<äTe⁄ e<ä› ‘ê≈£î‘·T+<äì >∑eTì+#·>\∑ s¡T.
uÛ≤>∑+-3 : b2 − 4ac < 0
nsTTq eT÷˝≤\T yêdüeÔ dü+K´\T ø±e⁄. dü+ø°sí¡ dü+K´\T.

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 es¡Z düMTø£sD¡ ≤\T 121

á düeTj·T+˝À ^j·Tã&çq eÁø£eTT X-nø£+å qT ‘êø£øb£ ˛e≥+ >∑eTì+#·>\∑ s¡T.

b2 – 4ac nH˚~ ax2 + bx + c = 0 ≈£î yêdüe Ô eT÷˝≤\T e⁄+{≤jÓ÷ ˝Ò<√ ìs¡sí TT+#·T≥≈£î ‘√&ÉŒ&ÉT‘·T+~.
ø£qTø£ Bìì es¡Z düMTø£sD¡ + jÓTTø£ÿ $#·øDå£ Ï n+{≤+.
nq>± ax2 + bx + c = 0 es¡Z düMTø£sD¡ +
i. b2 – 4ac > 0 nsTTq s ¬ +&ÉT y˚sT¡ y˚sT¡ yêdüeÔ eT÷˝≤\qT ø£*– ñ+≥T+~.
ii. b2 – 4ac = 0 nsTTq s ¬ +&ÉT düe÷q yêdüeÔ eT÷˝≤\qT ø£*– ñ+≥T+~.
iii. b2 – 4ac < 0 nsTTq yêdüe Ô eT÷˝≤\qT ø£*– e⁄+&É<Tä .

ø=ìï ñ<ëVü≤s¡D\qT |ü]o*<ë›+.

ñ<ëVü≤s¡D-14. 2x2 – 4x + 3 = 0 jÓTTø£ÿ $#·øDå£ ìÏ ø£qT>=ì ‘·<ë«sê eT÷˝≤\ dü«uÛ≤eeTTqT #·]Ã+#·TeTT.
kÕ<Ûäq : Ç∫Ãq düMTø£s¡DeTT ax2 + bx + c = 0 s¡÷|ü+˝À e⁄+~. Ç#·Ã≥ a = 2, b = – 4 —
c = 3 ø£qTø£ $#·øD
å£
b2 – 4ac = (– 4)2 – (4 × 2 × 3) = 16 – 24 = – 8 < 0

∴ Ç∫Ãq düMTø£sD¡ + yêdüeÔ eT÷˝≤\qT ø£*– e⁄+&É<Tä .

ñ<ëVü≤s¡D-15. 13 ôd+.MT. yê´dü+ >∑\ ˇø£ eè‘êÔø±s¡ bÕs¡Tÿ dü]Vü≤<äT› MT<ä ˇø£ dü+Ô uÛeÑ TTqT @sêŒ≥T
#˚j÷· \qT≈£îHêïs¡T. bÕs¡Tÿ jÓTTø£ÿ dü]Vü≤<äT› MT<ä m<äTs¬ <äTs¡T>± nq>± ˇø£ yê´dü+ jÓTTø£ÿ ∫e] _+<äTe⁄\ e<ä›
@sêŒ≥T #˚jT· ã&çq A eT]j·TT B nH˚ s¬ +&ÉT >π ≥¢ qT+∫ á dü+Ô uÛeÑ TT es¡≈L£ >∑\ <ä÷sê\ uÒ<eäÛ TT 7 MT.
e⁄+&ÉTq≥T¢ dü+Ô uÛeÑ TTqT @sêŒ≥T #˚jT· >∑\e÷? ˇø£yfi˚ ¯ #˚jT· >∑*–‘˚ s¬ +&ÉT >π ≥¢ qT+∫ á dü+Ô uÛ+Ñ m+‘·
<ä÷s¡+˝À e⁄+≥T+~?
kÕ<Ûqä : eTT+<äT>± ‘·–q ∫Á‘êìï ^<ë›+. B

dü+Ô uÛeÑ TTqT @sêŒ≥T #˚ùd _+<äTe⁄ P nqT≈£î+<ë+. B >π ≥T qT+∫ P 13

es¡≈L£ >∑\ <ä÷s¡eTTqT x MT. nqT≈£î+<ë+. nq>± BP = x MT. <ä‘êÔ+X¯eTT A

P
Á|üø±s¡eTT AP, BP \ eT<Û´ä uÛ<Ò eä TT 7MT. ø£qTø£ AP R x G 7 MT ne⁄‘·T+~
AB = 13MT, eT]j·TT AB yê´dü+ ø£qTø£
∠APB = 900 (m+<äT≈£î?)
∴ ô|<’ ë∏ >∑sd¡ t dæ<ëΔ+‘·eTT Á|üø±s¡eTT AP2 + PB2 = AB2

⇒ (x + 7)2 + x2 = 132
⇒ x2 + 14x + 49 + x2 = 169
∴ 2x2 + 14x – 120 = 0

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 122 10e ‘·s>¡ ‹∑ >∑D‘Ï +·

ô|’ düMTø£sD¡ +qT ‘·è|æÔ |ü]#˚ x $\Tej˚T B >π ≥T qT+∫ P es¡≈L£ >∑\ <ä÷s¡+ ne⁄‘·T+~.
nq>± x2 + 7x – 60 = 0
düMTø£sD¡ +q≈£î yêdüeÔ eT÷˝≤\T e⁄qï|ü⁄Œ&˚ dü+Ô uÛeÑ TTqT @sêŒ≥T #˚jT· &ÜìøÏ M\e⁄‘·T+~. nsTT‘˚ á
düMTø£sD¡ eTTq≈£î yêdüeÔ eT÷˝≤\T e⁄qïB ˝ÒìB Bì $#·øDå£ Ï Ä<Ûës¡+>±H˚ ‘Ó\TdüTø√>∑\+. ø£qTø£ eTT+<äT>±
Bìì $#·øDå£ ìÏ |ü]o*<ë›+.
∴ $#·øD å£ Ï b2 – 4ac = 72 – 4 × 1 × (– 60) = 289 > 0.
nq>± á es¡Z düeTø£sD¡ +q≈£î s¬ +&ÉT $_Ûqï yêdüeÔ eT÷˝≤\T e⁄+{≤sTT. n+fÒ düeTdü´˝À Ç∫Ãq
wüs‘¡ T· \≈£î nqT>∑TD+>± dü+Ô uÛeÑ TTqT @sêŒ≥T #˚jT· &É+ kÕ<Û´ä y˚T.
dü÷Á‘·eTTqT ñ|üj÷Ó –+∫ x2 + 7x – 60 = 0 qT kÕ~ÛùdÔ
−7 ± 289 −7 ± 17
x= =
2 2
x = 5 ˝Ò<ë – 12.
nsTT‘˚ x <ä÷s¡eTTqT dü÷∫düT+Ô ~. ø£qTø£ Ç~ K∫Ñ·+>± <ÛHä ê‘·àø£eTT.
∴ x = 5.
nq>± B qT+∫ 5MT <ä÷s¡+˝À eT]j·TT A qT+∫ 12 MT. <ä÷s¡+˝À dü+Ô uÛ+Ñ qT @sêŒ≥T #˚j÷· *.

Á|üj·T‹ï+#·+&ç
1. ˇø£ es¡Z düMTø£sD¡ eTTqT kÕ~Û+#·{≤ìøÏ eTT+<äT <ëì jÓTTø£ÿ $#·øDå£ ìÏ ø£qT>=qT≥+ e\¢ ø£*>π ˝≤uÛ+Ñ
@$T{À $e]+#·+&ç ? Bì $\Te m+<äT≈£î eTTK´yÓTqÆ ~ ?
2. eT÷&ÉT y˚sT¡ y˚sT¡ es¡Z düMTø£sD¡ ≤\qT ‘·j÷· s¡T#˚jT· TeTT. n+<äT˝À ˇø£{Ï s¬ +&ÉT y˚sT¡ y˚sT¡ yêdüeÔ
eT÷˝≤\qT, eT]ˇø£{Ï s¬ +&ÉT düe÷q yêdüeÔ eT÷˝≤\qT Ç+ø=ø£{Ï yêdüeÔ eT÷˝≤\qT ø£*–˝Òì
$<Û+ä >± e⁄+&Ü*.
1
ñ<ëVü≤s¡D-16. 3x2 − 2 x + =0 jÓTTø£ÿ $#·øDå£ ìÏ ø£qT>=qTeTT ? ‘·<ë«sê eT÷˝≤\ dü«uÛ≤eeTTqT
3
‘Ó\T|ü⁄eTT ? ˇø£yfi˚ ¯ eT÷˝≤\T yêdüeÔ dü+K´˝…‘’ ˚ yêìì ø£qT>=qTeTT?
1
kÕ<Ûqä : Ç#·Ã≥ a = 3, b = – 2 eT]j·TT c=
3
1
$#·øDåÏ Ï b 2 − 4ac = (−2) 2 − 4 × 3 × = 4 − 4 = 0.
3
Ç∫à es¡Z düMTø£sD¡ +qT s¬ +&ÉT düe÷q yêdüeÔ eT÷˝≤\T e⁄+{≤sTT.
−b −b 2 2 1 1
n$ , , ⇒ , , ⇒ , .
2a 2a 6 6 3 3

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 es¡Z düMTø£sD¡ ≤\T 123

nuÛ≤´dü+ - 5.4
1. ÁøÏ+~ düMTø£sD¡ ≤\ eT÷˝≤\ dü«uÛ≤eeTTqT ‘Ó\T|ü⁄eTT ? ˇø£ y˚fi¯ yêdüeÔ eT÷˝≤\T e⁄+fÒ ø£qT>=qTeTT.
(i) 2x2 – 3x + 5 = 0 (ii) 3 x 2 − 4 3x + 4 = 0
(iii) 2x2 – 6x + 3 = 0
2. ÁøÏ+~ es¡Z düMTø£sD¡ ≤\˝À s¬ +&ÉT düe÷q yêdüeÔ eT÷˝≤\T e⁄+fÒ k $\TeqT ø£qT>=qTeTT ?
(i) 2x2 + kx + 3 = 0 (ii) kx (x – 2) + 6 = 0
3. e÷$T&ç |ü+&Éq¢ T ì\«#˚jT· T≥≈£î 800 #·.MT. yÓX’ Ê\´+ e⁄+≥÷, bı&Ée⁄ yÓ&\É TŒ ø£+fÒ s¬ +&ÉT s¬ ≥T¢
e⁄+&˚ $<Û+ä >± ˇø£ Bs¡È #·‘T· s¡ÁkÕø±s¡ dü\ú eTTqT @sêŒ≥T #˚jT· >∑\e÷? #˚jT· >∑*–‘˚ <ëì bı&Ée⁄,
yÓ&\É TŒ\qT ø£qT>=qTeTT?
4. Ç<ä]› $TÁ‘·T\ ej·TdüT‡\ yÓTT‘·+Ô 20 dü+ˆˆ\T. Hê\T>∑T dü+e‘·‡sê\ ÁøÏ‘+· yê] ej·TdüT‡\ \ã›+ 48.
Ç~ kÕ<Û´ä y˚THê? ˇø£yfi˚ ¯ kÕ<Û´ä yÓT‘Æ ˚ yê] ej·TdüT‡\qT ø£qT>=qTeTT.
5. #·T≥Tºø=\‘· 80 MT. yÓX’ Ê\´eTT 400 #·.MT e⁄+&ÉTq≥T¢ ˇø£ Bs¡#È ‘· T· s¡ÁkÕø±s¡ bÕs¡TÿqT ‘·j÷· s¡T
#˚jT· >∑\e÷? #˚jT· >∑*–‘˚ <ëì bı&Ée⁄, yÓ&\É TŒ\qT ø£qT>=qTeTT?

◊∫äø£ nuÛ≤´düeTT
[Ç~ |üØø£å ø=s¡≈£î ñ<˚›•+∫q~ ø±<äT]
1. ˇø£ ‘·\+˝À ø=ìï _+<äTe⁄\T >∑T]Ô+#·ã&çq$. Á|ü‹ _+<äTe⁄ $T–*q nìï _+<äTe⁄\‘√ sπ U≤
K+&Ü\#˚ ø£\T|üã&ç+~. á $<Û+ä >± #˚jT· ≥+ e\¢ yÓTT‘·+Ô 10 sπ U≤K+&Ü\T @s¡Œ&ç‘˚ yÓTT‘·+Ô
_+<äTe⁄\T mìï ?
2. ˇø£ s¬ +&É+ø¬ \ dü+K´˝À n+¬ø\ \ã›+ 8. á dü+K´≈£î 18 ø£*|æq e#˚à dü+K´ yÓTT<ä{Ï dü+K´˝Àì
n+¬ø\qT ‘ês¡T e÷s¡T #˚jT· >± e#˚Ã dü+K´ ˇø£ÿfÒ. nsTTq yÓTT<ä{Ï dü+K´qT ø£qT>=qTeTT?
3. 8 MT. bı&Ée⁄ e⁄qï r>∑≈î£ s¬ +&ÉT eTTø£ÿ\T>± ø£‹]Ô +#ês¡T. Á|ü‹ eTTø£ÿqT ‹]– ˇø£ #·‘T· s¡ÁkÕø±s¡+>±
e+#ês¡T. Ç˝≤ @s¡Œ&çq s¬ +&ÉT #·‘T· s¡ÁkÕ\ yÓX’ Ê˝≤´\ yÓTT‘·+Ô 2 #·.MT. ø±e˝…qqï Á|ü‹ eTTø£ÿ bı&Ée⁄
m+‘· e⁄+&Ü*?
⎡ 2
⎛ x⎞ ⎛ y⎞
2 2
⎛ x⎞ ⎛ 8 − x⎞
2
⎤
⎢ x + y = 8, ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = 2 ⇒ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = 2⎥ .
⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠ ⎝ 4 ⎠
⎣⎢ ⎥⎦
4. $qjYT eT]j·TT Á|üMDY\T ø£\dæ ˇø£ Ç+{ÏøÏ s¡+>∑T\T y˚ùd |üìì 6 s√E\˝À |üP]Ô #˚jT· >∑\s¡T. $qjYT
ˇø£ÿ&˚ Ä |üìì Á|üMDY ø£+fÒ 5 s√E\T eTT+<äT>± |üP]Ô #˚jT· >∑\&ÉT. nsTTq $qjYT ˇø£ÿ&˚ Ä |üìì
mìï s√E\˝À |üP]Ô #˚jT· >∑\&ÉT.
ª −b μ
5. ˇø£ es¡Z düMTø£sD¡ + jÓTTø£ÿ eT÷˝≤\T yÓTT‘·+Ô a nì #·÷|ü⁄eTT?

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 124 10e ‘·s>¡ ‹∑ >∑D‘Ï +·

‘c’
6. ˇø£ es¡Z düMTø£sD¡ + jÓTTø£ÿ eT÷˝≤\ \ã›+ a nì #·÷|ü⁄eTT ?
7. ˇø£ _ÛqïeTT˝À Vü‰s¡eTT, \eeTT jÓTTø£ÿ s¬ {Ï+º |ü⁄ ø£+fÒ ˇø£{Ï m≈£îÿe. Ä _ÛqïeTT eT]j·TT <ëì
e⁄Á‘·ÿe÷\ yÓTT‘·eÔ TT 2 16 nsTTq Ä _ÛqïeTTqT ø£qT>=qTeTT.
21

eTq+ @$T #·]Ã+#ê+

á n<Ûë´j·T+˝À á ÁøÏ+~ $wüj÷· \qT eTqeTT #·]Ã+∫HêeTT.

1. #·ss¡ ê• ªxμ ˝À es¡Z düMTø£sD¡ + jÓTTø£ÿ ÁbÕe÷DÏø£ s¡÷|ü+ : ax2 + bx + c = 0. Ç#·Ã≥ a, b, c \T
yêdüeÔ dü+K´\T eT]j·TT a ≠ 0.
2. @<ÓH’ ê ˇø£ yêdüeÔ dü+K´ ªαμ ≈£î aα2 + bα + c = 0 nsTTq ªαμ qT ax2 + bx + c es¡Z düMTø£sD¡ +
jÓTTø£ÿ eT÷\eTT n+{≤eTT. ax2 + bx + c nH˚ es¡Z ãVüQ|ü~ jÓTTø£ÿ X¯Sq´ $\Te\T, ax2 + bx + c
= 0 nH˚ es¡Z düMTø£sD ¡ + jÓTTø£ÿ eT÷˝≤\T ˇø£ÿfÒ.
3. ax2 + bx + c, a ≠ 0 qT s ¬ +&ÉT sπ Fj·T ø±s¡D≤+ø±\ \ã›+>± sêdæ Á|ü‹ <ëìøÏ düTHêï≈£î düe÷q+
2
#˚jT· ≥+ <ë«sê ax + bx + c = 0 jÓTTø£ÿ eT÷˝≤\qT ø£qT>=q>∑\T>∑T‘êeTT.
4. ˇø£ es¡Z düMTø£sD¡ eTTqT es¡eZ TTqT |üP]Ô #˚jT· T≥ <ë«sê ≈£L&Ü kÕ~Û+#·e#·TÃ.
5. b2 – 4ac > 0 nsTTq|ü⁄&ÉT ax2 + bx + c = 0 jÓTTø£ÿ eT÷˝≤\T

−b ± b 2 − 4ac
.
2a
6. ax2 + bx + c = 0 es¡Z düMTø£sD¡ +
(i) b2 – 4ac > 0 nsTTq ¬s+&ÉT y˚s¡T y˚s¡T yêdüÔe eT÷˝≤\qT ø£*– e⁄+≥T+~.
(ii) b2 – 4ac = 0, nsTTq ¬s+&ÉT düe÷q yêdüÔe eT÷˝≤\qT ø£*– e⁄+≥T+~.
(iii) b2 – 4ac < 0 nsTTq yêdüÔe eT÷˝≤\qT ø£*– e⁄+&É<äT.

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 ÁX‚&TÉÛ \T 125

n<Ûë´j·TeTT

6 X
Á &
‚ TÉÛ \T
(Progressions)

6.1 |ü]#·j·T+
Á|üø£è‹˝À #ê˝≤ edüTÔe⁄\T neT]ø£\qT bÕ{Ï+#·&É+ eTq+ >∑eTì+#˚ e⁄+{≤eTT. ñ<ëVü≤s¡D≈£î
Ábı<äT› ‹s¡T>∑T&ÉT |ü⁄e⁄«˝Àì |üP\¬sø£ÿ\T, ‘˚HÓ‘·Tf…º˝Àì s¡+Á<Ûë\T, yÓTTø£ÿC§qï ø£+øÏ˝Àì $‘·ÔHê\T, nHêdü
(pineapple) eT]j·TT <˚e<ës¡T (pine) |ü+&É¢MT~ dü]Œ˝≤ø±sê\T.
ô|’ Á|ür ñ<ëVü≤s¡D˝Àì neT]ø£qT >∑eTì+#êsê? düV≤ü » dæ<yΔä TÓ qÆ Ç˝≤+{Ï neT]ø£\T |ü⁄qsêeè‘·+
ne⁄‘êsTT >±˙ |ü⁄s√>∑$T+#˚ $<Ûä+>± e⁄+&Ée⁄. Ábı<äT› ‹s¡T>∑T&ÉT |ü⁄e⁄«˝À ˇπø s¡ø£yÓTÆq ¬sø£ÿ\T ˇπø
<ä÷s¡+˝À ô|s¡T>∑T‘êsTT. ‘˚HÓ‘·Tf…º˝Àì wü&ÉT“¤C≤ø±s¡ s¡+Á<Ûë\˙ï wü&ÉT“¤C≤ø±s¡+˝À kÂwüºe+>± e⁄+{≤sTT.
n<˚$<Ûä+>± nHêdü|ü+&ÉT MT~ düVü≤»dæ<ä›yÓTÆq dü]Œ˝≤ø±s¡ neT]ø£\qT eTq+ >∑eTì+#·e#·TÃ.
ì‘·´J$‘·+˝À m<äTs¡j˚T´ Ç˝≤+{Ï eT]ø=ìï neT]ø£\qT |ü]o*<ë›+.
(i) 4, 42, 43, 44, 45, 46 ..... $\Te\ jÓTTø£ÿ ˇø£≥¢ kÕúq+˝Àì n+¬ø\T es¡Tdü>±
4, 6, 4, 6, 4, 6, ......

(ii) y˚T] u≤´+≈£î ñ<√´>±\ ns¡Ω‘· |üØø£å≈£î düqï<ä›eTÚ‘·T+~. n+<äT˝À uÛ≤>∑+>± neT]ø£\ MT<ä
düeTdü´\qT kÕ~Ûdü÷Ô e⁄+~. yêì˝À ˇø£ düeTdü´ á ÁøÏ+~ $<Ûä+>± ñ+~.
1, 2, 4, 8, 10, 20, 22 .......

(iii) ñwü ˇø£ ñ<√´>±ìøÏ <äs¡U≤düTÔ #˚dæ+~. ÄyÓT HÓ\≈£î ` 8000/` #=|üq eT]j·TT dü+e‘·‡s¡eTTq≈£î
` 500 ô|+#˚ $<Ûä+>± e⁄qï ñ<√´>∑+˝À ìj·T$T‘·Tsê˝…’+~. nsTTq ÄyÓT J‘·+ yÓTT<ä{Ï, ¬s+&Ée,
eT÷&Ée .... dü+e‘·‡sê\˝À HÓ\≈£î 8000, 8500, 9000 .....
(iv) ˇø£ ì#ÓÃq yÓT≥¢ jÓTTø£ÿ bı&Ée⁄ ÁøÏ+<ä qT+∫ ô|’øÏ Áø£eT+>± 2 ôd+.MT. ‘·>∑TZ‘·÷ e⁄+~. ÁøÏ+<ä
qT+∫yÓTT<ä{Ï yÓTT≥Tº jÓTTø£ÿ bı&Ée⁄ 45 ôd+.MT nsTTq ÁøÏ+<ä qT+∫ Áø£eT+>± yÓTT<ä{Ï, ¬s+&Ée,
eT÷&Ée ....... mì$T<äe yÓT≥¢ bı&Ée⁄\T es¡Tdü>± 45, 43, 41, 39, 37, 35, 33, 31.

ô|’ dü+K´\ neT]ø£\˝Àì |ü<ë\ eT<Ûä´ MTπsyÓTÆHê dü+ã+<Ûëìï >∑eTì+#êsê ?

ñ<ëVü≤s¡D (i) ˝À ¬s+&ÉT dü+K´\T 4 eT]j·TT 6 n<˚ Áø£eT+˝À |ü⁄qsêeè‘·eTe⁄‘·THêïsTT.

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 126 10e ‘·s>¡ ‹∑ >∑D‘Ï +·

ñ<ëVü≤s¡D (ii) ˝Àì neT]ø£qT ø£qT>=qT≥≈£î Á|üj·T‹ï+#·+&ç. ñ<ëVü≤s¡D (iii), (iv) \˝Àì
neT]ø£\˝À dü+K´\T Áø£eT+>± dæús¡+>± |ü⁄s√>∑$Tdü÷Ô e⁄HêïsTT. C≤_‘ê 8000, 8500, 9000, .... ˝À Á|ür
|ü<äeTT (yÓTT<ä{Ï |ü<ä+ ‘·|üŒ) <ëì eTT+<äTqï |ü<äeTTq≈£î 500 qT ø£\|ü≥+ e\¢ edüTÔHêïsTT. n<˚$<Ûä+>±
C≤_‘ê 45, 43, 41, ..... ˝À Á|ür |ü<ä+ (yÓTT<ä{Ï |ü<ä+ ‘·|üŒ) <ëì eTT+<äTqï |ü<äeTTq≈£î ‘-2’ qT ø£\|ü≥+
e\¢ edüTÔ+~. Ç˝≤+{Ï |ü⁄s√>∑eTq neT]ø£\T eT]ø=ìï+{Ïì eTq+ #·÷<ë›+.
5
(a) ˇø£ ùd$+>¥ d”ÿeTT˝À kıeTTà eT÷&ÉT dü+ˆˆ\≈£î ˇø£kÕ] 4 ¬s≥T¢ ô|s¡T>∑T‘·T+~. á d”ÿeTT˝À
` 8000 qT ô|≥Tºã&ç>± ô|{Ϻq 3, 6, 9 eT]j·TT12 dü+ˆˆ\ ‘·s¡Tyê‘· e#˚à yÓTT‘·Ô+ kıeTTà es¡Tdü>±
10000, 12500, 15625, 19531.25.
(b) 1, 2, 3, .... j·T÷ì≥T¢ uÛÑTC≤\T>± >∑\ #·‘·Ts¡ÁkÕ\˝Àì j·T÷ì{Ÿ #·‘·Ts¡ÁkÕ\ dü+K´ es¡Tdü>±
12, 22, 32, ....

(c) ùV≤eT ‘·q ≈£L‘·Ts¡T yÓTT<ä{Ï |ü⁄{Ϻq s√E ` 1000 \qT ‘·q ≈£L‘·Ts¡T jÓTTø£ÿ &ÉãT“\ ô|f…º˝À
e⁄+∫+~. Á|ür dü+ˆˆeTT á $<Ûä+>± e⁄+#˚ kıeTTà ` 500 ô|+#·T‘·÷ b˛sTTq yÓTT<ä{Ï, ¬s+&Ée,
eT÷&Ée, Hê\Ze ..... |ü⁄{Ϻq s√Eq ô|f…º˝À e⁄+#˚ kıeTTà es¡Tdü>±
1000, 1500, 2000, 2500, .....
(d) á ÁøÏ+<ä Çe«ã&çq |ü≥+˝À ùw&é #˚j·Tã&çq #·‘·Ts¡ÁdüuÛ≤>±\ $\Te\T _Ûqï s¡÷|ü+˝À es¡Tdü>±
1 1 1 1
, , , , ....
4 16 64 256

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 ÁX‚&TÉÛ \T 127

(e) ˇø£ ≈£î+<˚fifl¯ »+≥ s¬ +&Ée HÓ\ qT+∫ Á|ü‹ HÓ\ eT]ˇø£ ≈£î+<˚fifl¯ »+≥qT ñ‘·Œ‹Ô #˚dTü +Ô <äqTø=qTeTT.
Ç˝≤ ñ‘·Œ‹Ô nsTTq ≈£î+<˚\¢ »+≥ ≈£L&Ü ‹]– ¬s+&Ée HÓ\ qT+∫ Á|ü‹HÓ\ Ç+ø=ø£ ≈£î+<˚fi¯fl
»+≥qT ñ‘·Œ‹Ô #˚düTÔ+<äqTø=qTeTT. yÓTT<ä{Ï HÓ\˝À ˇπøˇø£ »+≥ e⁄+<äqTø=ì @ ≈£î+<˚fi¯fl »+≥
#·ìb˛˝Ò<äì uÛ≤$ùdÔ 1, 2, 3, 4, 5, 6,....., e HÓ\˝À e⁄+&˚ ≈£î+<˚fi¯fl »+≥\ dü+K´\T es¡Tdü>±
1, 1, 2, 3, 5, 8

ô|’ ñ<ëVü≤s¡D\˝À eTq+ ø=ìï neT]ø£\qT >∑eTì+#·>∑\+. ø=ìï+{Ï˝À Á|ür |ü<äeTT <ëì
eTT+<äTe⁄qï |ü<ëìøÏ ˇø£ dæús¡ |ü<ëìï ø£\e≥+ e\¢ \_ÛkÕÔsTT. ø=ìï+{Ï˝À Á|ür |ü<äeTTqT ˇø£ dæús¡ |ü<ä+#˚
>∑TDÏ+#·≥+ e\¢ ‘·s¡Tyê‘· |ü<ë\qT bı+<ä>∑\+. eT]ø=ìï+{Ï˝À es¡Tdü dü+K´\ esêZ\qT >∑eTì+#·>∑\+.
á n<Ûë´j·T+˝À Á|ür |ü<äeTT <ëì eTT+<äTqï |ü<ëìøÏ ˇø£ dæús¡ |ü<ëìï ø£\|ü≥+ e\¢ \_Û+#˚
neT]ø£\qT, eT]j·TT Á|ür |ü<eä TTqT ˇø£ dæsú |¡ <ü eä TT#˚ >∑TDÏ+#·&+É e\¢ ‘·sT¡ yê‘· |ü<ë\qT bı+<˚ neT]ø£\qT
yêì jÓTTø£ÿ n e |ü<ë\qT eT]j·TT n |ü<ë\ yÓTT‘êÔ\qT >∑T]+∫ #·]ÃkÕÔ+.
#·]Á‘· : 400 dü+ˆˆ\≈£î |üPs¡«y˚T u≤_˝Àìj·Tq¢≈£î n+ø£ÁX‚&Ûç, >∑TDÁX‚&ÛÉT\qT >∑T]+∫ ‘Ó*dæq≥T¢>±
Ä<Ûësê\THêïsTT. uÀ<∏qÓ T‡ (570 AD) Á|üø±s¡eTT á ÁX‚&TÉÛ \qT >∑T]+∫ |üPs¡«|ü⁄ Á^≈£î s¡#s· TT‘·\≈£î
‘Ó*dæq≥T¢>± ns¡e› TÚ‘·T+~. yÓTT≥ºyTÓ T<ä{kÏ Õ] Á|üeTTK uÛ≤s¡rj·T ÁbÕNq >∑D‘Ï y· ‘˚ Ô· Äs¡´uÛ≥Ñ º (Áø°.X¯. 470)
yÓTT<ä{kÏ Õ] yÓTT<ä{Ï düV≤ü » dü+K´\ esêZ\ yÓTT‘·eÔ TT, |òTü Hê\ yÓTT‘·eÔ TTq≈£î dü÷Á‘ê\qT Ç∫Ãq≥T¢>± ‘·q
s¡#q· Äs¡´uÛ{Ñ j º° T· + (Áø°.X¯ 499) qT+∫ ‘Ó\TdüT+Ô ~. Ç+ø± n+ø£ÁX‚&˝çÛ À p e |ü<+ä qT+∫ ne |ü<+ä es¡≈L£
>∑\ |ü<ë\ yÓTT‘·eÔ TTqT ø£qT>=qT≥≈£î nedüsy¡ TÓ qÆ dü÷Á‘·eTTqT áj·Tq Çe«≥+ »]–+~. ÁãVü≤à>∑T|ü⁄&Ô TÉ ,
(Áø°.X¯.598) eTVü‰Ms¡ (Áø°.X¯.850) eT]j·TT uÛ≤düÿs¡ (Áø°.X¯. 1114`1185) e+{Ï ÁbÕNq uÛ≤s¡rj·T
>∑D‘Ï y· ‘˚ \Ô· T yÓTT<ä{Ï düV≤ü »dü+K´\ esêZ\ yÓTT‘·eÔ TT eT]j·TT |òTü Hê\ yÓTT‘·+Ô \qT >∑T]+∫ #·]Ã+∫q≥T¢>±
‘Ó\TdüT+Ô ~.

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 128 10e ‘·s>¡ ‹∑ >∑D‘Ï +·

6.2 n+ø£ÁX‚&ÛÉT\T
ÁøÏ+~ dü+K´\ C≤_‘ê\qT |ü]o*+#·+&ç.
(i) 1, 2, 3, 4, . . . (ii) 100, 70, 40, 10, . . .
(iii) – 3, –2, –1, 0, . . . (iv) 3, 3, 3, 3, . . .
(v) –1.0, –1.5, –2.0, –2.5, . . .
C≤_‘ê˝Àì Á|ür dü+K´qT ˇø£ |ü<+ä n+{≤+.
Ç∫Ãq |ü<ë\ Ä<Ûës¡+>± Á|ü‹ C≤_‘ê˝À ‘·sT¡ yê‘· |ü<eä TTqT sêj·T>∑\sê? sêj·T>∑*–‘˚ m˝≤ sêj·T>∑\s¡T?
ãVüQXÊ neT]ø£˝Àì ìj·TeT+ Ä<Ûës¡+>± sêj·T>∑\s¡T. Ä ìj·TeT+ @$T{À |ü]o*<ë›+.
(i)˝À Á|ü‹ |ü<e ä TT (yÓTT<ä{Ï |ü<+ä ‘·|Œü ) <ëì eTT+<äTqï |ü<ëìø£+fÒ ª1μ m≈£îÿe
(ii)˝À Á|ü‹ |ü<e ä TT, <ëì eTT+<äTqï |ü<eä TT ø£+fÒ 30 ‘·≈î£ ÿe.
(iii) ˝À Á|ü‹ |ü<e ä TT, <ëì eTT+<äTqï |ü<ëìøÏ ª1μ ø£\|ü≥+ e\¢ edüT+Ô ~.
(iv) ˝À nìï |ü<ë\T 3j˚T. nq>± Á|ür |ü<e ä TT <ëì eTT+<äTqï |ü<ëìøÏ düTqï (ª0μ) ø£\|ü≥+ e\¢ edüT+Ô ~.
(v)˝À Á|ü‹ |ü<e ä TT <ëì eTT+<äT e⁄qï |ü<ëìøÏ ª– 0.5μ qT ø£\|ü≥+ e\¢ (nq>± 0.5 qT rdæyj ˚ T· ≥+ e\¢)
edüT+Ô ~.
ô|’ nìï C≤_‘ê\˝À Á|ü‹ C≤_‘ê˝ÀqT Á|ü‹ |ü<eä TT, <ëì eTT+<äTqï |ü<ëìøÏ ˇø£ dæsú ¡ dü+K´qT ø£\|ü≥+
e\¢ >±˙ ˝Ò<ë rdæyj ˚ T· ≥+ e\¢>±˙ edüTHÔ êïsTT. Ç˝≤+{Ï dü+K´\ C≤_‘êqT n+ø£ÁX‚&çÛ n+{≤eTT.

Á|üj·T‹ï+#·+&ç
(i) ÁøÏ+~ yêì˝À @$ n+ø£ÁX‚&TÉÛ \T? m+<äT≈£î?
(a) 2, 3, 5, 7, 8, 10, 15, ...... (b) 2, 5, 7, 10, 12, 15......
(c) −1, −3, −5, −7, ......
(ii) @yÓH
’ ê eT÷&ÉT n+ø£ÁX‚&TÉÛ \qT sêj·TTeTT ?
6.2.1 n+ø£ÁX‚&çÛ nq>± H˚$T ?
ô|’ |ü]o\q\ <äècÕº´ ªªˇø£ dü+K´\ C≤_‘ê˝À yÓTT<ä{Ï |ü<+ä ‘·|Œü $T–*q nìï |ü<ë\T yêì eTT+<äTqï
|ü<ëìøÏ @<√ ˇø£ dæsú ¡ dü+K´qT ø£\|ü≥+ e\¢ edü÷Ô e⁄+fÒ Ä C≤_‘êqT n+ø£ÁX‚&çÛ n+{≤eTTμμ.
ø£*ù| dæsú d¡ +ü K´qT kÕe÷q´ uÛ<Ò eä TT ˝Ò<ë |ü<ë+‘·se¡ TT n+{≤eTT. Ç~ <ÛHä ê‘·àø£eTT ˝Ò<ë ãTTD≤‘·àø£eTT
˝Ò<ë düTqï ø±e#·TÃ.
ˇø£ n+ø£ÁX‚&˝çÛ Àì yÓTT<ä{Ï |ü<eä TT a1, s¬ +&Ée |ü<eä TTqT a2, . . ., ne |ü<eä TTqT an eT]j·TT kÕe÷q´
uÛ<Ò eä TT d nqTø=ìq n+ø£ÁX‚&çÛ : a1, a2, a3, . . ., an.
eT]j·TT, a2 – a1 = a3 – a2 = . . . = an – an – 1 = d.
Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°
 ÁX‚&TÉÛ \T 129

eT]ìï n+ø£ÁX‚&TÉÛ \qT |ü]o*<ë›+.

(a) ˇø£ bÕsƒX¡ Ê\˝À ÁbÕs¡Hú ê düeTj·T+˝À es¡Tdü>± ì\ã&çq $<ë´s¡T\ú m‘·T\Ô T (ôd+.MT.\˝À) 147 ,
148, 149, . . ., 157.
(b) ˇø£ |ü≥Dº eTT˝À »qe] e÷dü+˝À ˇø£ yês¡+˝À qyÓ÷<Óq’ ø£ìwü˜ ñc˛íÁ>∑‘\· Äs√Vü≤D Áø£eTeTT
– 3.1, – 3.0, – 2.9, – 2.8, – 2.7, – 2.6, – 2.5
(c) ` 1000 \ n|ü 5% kıeTTàqT Á|ür HÓ\ #Ó*d
¢ Tü qÔ ï, Á|ü‹ HÓ\ ∫es¡ Ç+ø£q÷ #Ó*+¢ #·e\dæq kıeTTà
950, 900, 850, 800, . . ., 50.
(d) ˇø£ bÕsƒX¡ Ê\˝À 1 qT+∫ 12 e ‘·s>¡ ‹∑ es¡≈L£ Á|ü‹ ‘·s>¡ ‹∑ ˝À n‘·´~Ûø£ e÷s¡Tÿ\T kÕ~Û+∫q yê]øÏ
Ç#˚Ã ãVüQeT‘·T\ $\Te es¡Tdü>± 200, 250, 300, 350, . . ., 750.
(e) 10 HÓ\˝À Á|ü‹ HÓ\˝À ` 50 \T #=|üq bı<äT|ü⁄ #˚dq æ Á|ü‹ HÓ\ ∫es¡˝À e⁄+&˚ yÓTT‘·+Ô kıeTTà
es¡Tdü>± 50, 100, 150, 200, 250, 300, 350, 400, 450, 500.

Ä˝À∫+∫, #·]Ã+∫, sêj·T+&ç

1. ô|q’ ù|s=ÿqã&çq Á|ü‹ C≤_‘ê @$<Û+ä >± A.P. ne⁄‘·T+<√ Ä˝À∫+#·TeTT ? MT $TÁ‘·Tì˝À
#·]Ã+#·TeTT?
2. ô|q’ Çe«ã&çq Á|ü‹ C≤_‘ê≈£î kÕe÷q´uÛ<Ò +ä qT ø£qT>=qTeTT? kÕe÷q´uÛ<Ò +ä m|ü&ÉT <ÛHä ê‘·àø£y÷Ó
Ä˝À∫+#·TeTT ?
3. kÕe÷q´ uÛ<Ò +ä ˇø£ ∫qï <ÛHä ê‘·àø£ $\Te e⁄+&˚≥≥T¢ ˇø£ AP ì ‘·j÷· s¡T#˚jT· TeTT.
4. kÕe÷q´ uÛ<Ò +ä ˇø£ ô|<ä› <ÛHä ê‘·àø£ $\Te>± e⁄+&˚≥≥T¢ ˇø£ n+ø£ÁX‚&ìçÛ ‘·j÷· s¡T #˚jT· TeTT?
5. kÕe÷q´ uÛ<Ò +ä ãTTD≤‘·àø£+>± e⁄+&˚≥≥T¢ ˇø£ A.Pì sêj·TTeTT.
n+ø£ÁX‚&çÛ jÓTTø£ÿ kÕe÷q´ s¡÷|üeTT : n+ø£ÁX‚&TÉÛ \ìï+{Ïì á ÁøÏ+~ s¡÷|ü+˝À sêj·Te#·Ãì MTs¡T
>∑eTì+#˚ e⁄+{≤s¡T.
a, a + d, a + 2d, a + 3d, . . .
BìH˚ n+ø£ÁX‚&çÛ jÓTTø£ÿ kÕ<Ûës¡D s¡÷|üeTT n+{≤+. Ç+<äT˝À ªaμ yÓTT<ä{Ï |ü<eä TT, d kÕe÷q´ uÛ<Ò +ä
˝Ò<ë |ü<ë+‘·se¡ TT.
ñ<ëVü≤s¡D≈£î 1, 2, 3, 4, 5, .... ˝À yÓTT<ä{Ï |ü<+ä ˇø£{Ï eT]j·TT kÕe÷q´uÛ<Ò +ä ≈£L&Ü ˇø£{j
Ï T˚ .
n<˚ $<Û+ä >± 4, 6, 8, 10, ...... ˝À yÓTT<ä{Ï |ü<+ä m+‘·? kÕe÷q´ uÛ<Ò +ä m+‘·?
ø£è‘·´eTT
(i) n–Z|⁄ü \¢\ düV‰ü j·T+‘√ ÁøÏ+~ Äø±sê\qT @s¡Œs¡#T· eTT ?

(ii) Á|ü‹ Äø±sêìøÏ ø±e\dæq n–Z |ü⁄\¢\ dü+K´qT es¡Tdü>± sêj·TTeTT?

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 130 10e ‘·s>¡ ‹∑ >∑D‘Ï +·

(iii) C≤_‘ê˝À s¬ +&√ es¡Tdü dü+K´\ eT<Û´ä >∑\ uÛ<Ò +ä ˇπø $<Û+ä >± (dæsú +¡ >±) e⁄+<ë?
(iv) á dü+K´\ C≤_‘ê ˇø£ n+ø£ÁX‚&çÛ ne⁄‘·T+<ë?
6.2.2 n+ø£ÁX‚&çÛ Ä<Ûës¡|&ü ˚ n+XÊ\T
6.2.1 o]¸ø£ (a) qT+∫ (e) es¡≈L£ Çe«ã&çq C≤_‘ê\ìï ≈£L&Ü |ü]$T‘· dü+K´˝À |ü<ë\qT ø£*–
e⁄HêïsTT. Ç˝≤+{Ï n+ø£ÁX‚&TÉÛ \qT |ü]$T‘· n+ø£ÁX‚&TÉÛ \T n+{≤s¡T. Mì˝À ∫e] |ü<eä TT e⁄+≥T+~. nsTT‘˚
6.2 o]¸ø˝£ À (i) qT+∫ (v) es¡≈L£ Çe«ã&çq C≤_‘ê˝˝À |ü<ë\ dü+K´ n|ü]$T‘·eTT. Ç˝≤+{Ï n+ø£ÁX‚&TÉÛ \qT
nq+‘· n+ø£ÁX‚&TÉÛ \T n+{≤+. Bì˝À ∫e] |ü<eä TT e⁄+&É<Tä .

Ç$ #˚j·T+&ç
|ü]$T‘· n+ø£ÁX‚&øçÛ Ï 3 ñ<ëVü≤s¡D\T, nqs‘· n+ø£ÁX‚&øçÛ Ï 3 ñ<ëVü≤s¡D\T ÇeTTà.
ˇø£ n+ø£ÁX‚&ìçÛ >∑T]+∫ ‘Ó*j·÷\+fÒ eTq≈£î @y˚T$T nedüse¡ TT! á ÁX‚&çÛ jÓTTø£ÿ yÓTT<ä{Ï |ü<eä TT ‘Ó*ùdÔ
dü]b˛‘·T+<ë? ˝Ò<ë kÕeTq´uÛ<Ò +ä ‘Ó*ùdÔ dü]b˛‘·T+<ë?
nsTT‘˚ ˇø£ n+ø£ÁX‚&çÛ >∑T]+∫ ‘Ó*j·÷\+fÒ ˝Ò<ë <ëìì |üP]Ô #˚j÷· \+fÒ eTq≈£î s¬ +&É÷ ` nq>±
<ëì yÓTT<ä{Ï |ü<eä TT ªaμ eT]j·TT kÕe÷q´uÛ<Ò +ä ªd μ ‘Ó*j·÷\ì eTq+ >∑eTì+#·>\∑ +. ñ<ëVü≤s¡D≈£î
yÓTT<ä{Ï |ü<eä TT a $\Te 6 eT]j·TT kÕe÷q´uÛ<Ò +ä d $\Te 3 nsTTq n+ø£ÁX‚&çÛ :
6, 9,12, 15, . . .
eT]j·TT yÓTT<ä{Ï |ü<eä TT a R 6 — kÕe÷q´ uÛ<Ò +ä d R – 3 nsTTq
n+ø£ÁX‚&çÛ : 6, 3, 0, –3, . . .
n<˚$<Û+ä >±
a = – 7, d = – 2, nsTTq n+ø£ÁX‚&çÛ – 7, – 9, – 11, – 13, . . .
a = 1.0, d = 0.1, nsTTq n+ø£ÁX‚&çÛ 1.0, 1.1, 1.2, 1.3, . . .
1 1 1
a = 0, d=1 , nsTTq n+ø£ÁX‚&çÛ 0, 1 , 3, 4 , 6, . . .
2 2 2
a = 2, d = 0, nsTTq n+ø£ÁX‚&çÛ 2, 2, 2, 2, . . .
nq>± a, d $\Te\T ‘Ó*dæq eTq+ n+ø£ÁX‚&ìçÛ sêj·T>∑\+.
Ç+ø=ø£ e÷s¡eZ TTqT Á|üjT· ‹ï<ë›+. ˇø£yfi˚ ¯ dü+K´\ C≤_‘ê ÇùdÔ n~ n+ø£ÁX‚&çÛ ne⁄‘·T+<ë? ˝Ò<ë? nì
m˝≤ ø£qT>=+{≤+ ? ñ<ëVü≤s¡D≈£î
6, 9, 12, 15, . . . ,
yÓTT<ä≥>± eTq+ s¬ +&ÉT es¡Tdü dü+K´\ uÛ<Ò +ä qT ø£qT>=+<ë+.

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 ÁX‚&TÉÛ \T 131

a2 – a1 = 9 – 6 = 3,
n<˚ $<Û+ä >± a3 – a2 = 12 – 9 = 3,
a4 – a3 = 15 – 12 = 3
nq>± a2 − a1 = a3 − a2 = an − a3 ... = 3

Ç∫Ãq @ s¬ +&ÉT es¡Tdü dü+K´\ uÛ<Ò yä TÓ HÆ ê dæsú +¡ >± e⁄+~. nq>± @ dü+<äs“¡ +¤ ˝À HÓH’ ê <ëì $\Te
eT÷&˚. n+<äTe\¢ Ç∫Ãq dü+K´\ C≤_‘ê ˇø£ n+ø£ÁX‚&çÛ ne⁄‘·T+~. Bì˝À yÓTT<ä{Ï |ü<eä TT a R 6 eT]j·TT
kÕe÷q´ uÛ<Ò +ä d R 3.
eT]ˇø£ C≤_‘ê : 6, 3, 0, – 3, . . ., qT |ü]o*<ë›+.
Ç#·Ã≥ a2 – a1 = 3 – 6 = – 3,
a3 – a2 = 0 – 3 = – 3
a4 – a3 = –3 – 0 = –3
a2 − a1 = a3 − a2 = a4 − a3 = −3
nq>± Ç~ ≈£L&Ü ˇø£ n+ø£ÁX‚&j
çÛ T˚ . Bì˝À yÓTT<ä{Ï |ü<eä TT a R 6, eT]j·TT kÕe÷q´ uÛ<Ò +ä
d R –3.
n+fÒ ˇø£ dü+K´\ C≤_‘ê˝À s¬ +&ÉT es¡Tdü dü+K´\ uÛ<Ò +ä dæsú y¡ TÓ qÆ n~ ˇø£ n+ø£ÁX‚&çÛ ne⁄‘·T+~.
nq>± kÕ<Ûës¡D+>± a1, a2, . . ., an ˇø£ n+ø£ÁX‚&çÛ nsTTq
d = ak + 1 – ak
Ç#·Ã≥ ak + 1, ak \T es¡Tdü>± (k + 1) eT]j·TT k |ü<ë\T eT]j·TT k > 1
1, 1, 2, 3, 5, . . . . dü+K´\ C≤_‘êqT |ü]o*+#·+&ç. Bì˝À s¬ +&ÉT es¡Tdü |ü<ë\ eT<Û´ä uÛ<Ò +ä
dæsú +¡ >± (ˇπø $<Û+ä >±) ˝Ò<Tä . n+<äTe\¢ Ç~ n+ø£ÁX‚&çÛ ø±<äT.
>∑eTìø£ : n+ø£ÁX‚&çÛ 6, 3, 0, – 3, . . .,˝À d ì ø£qT>=qT≥≈£î eTqeTT 3 qT+∫ 6qT rdæyd˚ Hæ êeTT. n+‘˚ø±˙
6 qT+∫ 3qT ø±<äT. nq>± (k + 1)e |ü<e ä TT ∫qï<Óq’ |üŒ{Ïø° Bì qT+#˚ k e |ü<eä TTqT rdæyj
˚ ÷· *. Ç+ø±
ˇø£ n+ø£ÁX‚&˝çÛ À d ì ø£qT>=qT≥≈£î a2–a1, a3–a2,.... \qT nìï+{Ïì ø£qT>=qe\dæq nedüs+¡ ˝Ò<Tä .
yêì˝À @<ÓH’ ê ˇø£<ëì $\TeqT ø£qT>=+fÒ dü]b˛‘·T+~.

Ç$ #˚j·T+&ç
1. @<ÓH’ ê ˇø£ n+ø£ÁX‚&ìçÛ rdüTø=qTeTT?
2. C≤_‘ê˝Àì Á|ü‹ |ü<eä TTq≈£î @<ÓH’ ê ˇø£ dæsú ¡ dü+K´qT ø£\T|ü⁄eTT ? |ò*ü ‘· dü+K´\qT C≤_‘ê
s¡÷|ü+˝À sêj·TTeTT?
3. n<˚ $<Û+ä >± n+ø£ÁX‚&˝çÛ À Á|ü‹ |ü<eä TT qT+∫ @<ÓH’ ê ˇø£ dæsú ¡ dü+K´qT rdæyd˚ æ |ò*ü ‘· dü+K´\qT
C≤_‘ê>± sêj·TTeTT?
4. n+ø£ÁX‚&˝çÛ Àì Á|ü‹ |ü<eä TTqT @<ÓH’ ê ˇø£ dæsú ¡ dü+K´#˚ >∑TDÏ+∫ |ò*ü ‘· dü+K´\qT C≤_‘ê>± sêj·TTeTT?
eT]j·TT n+ø£ÁX‚&˝çÛ Àì Á|ü‹ |ü<eä TTqT @<ÓH’ ê ˇø£ dæsú ¡ dü+K´#˚ uÛ≤–+∫ |ò*ü ‘· dü+K´\qT C≤_‘ê>±
sêj·TTeTT.

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 132 10e ‘·s>¡ ‹∑ >∑D‘Ï +·

5. Áø=‘·>Ô ± @s¡Œ&çq C≤_‘ê\ìï n+ø£ÁX‚&TÉÛ \T ne⁄‘êj˚TyÓ÷ |ü]o*+#·TeTT?

6. ∫es¡>± ˙ n_ÛÁbÕj·T+ @$T{Ï?
Ç|ü⁄&ÉT ø=ìï ñ<ëVü≤s¡D\qT |ü]o*<ë›+.
1 −1 −3 −5
ñ<ëVü≤s¡D-1. n+ø£ÁX‚&çÛ , , , ........, ˝À yÓTT<ä{Ï |ü<eä TT a qT kÕe÷q´ uÛ<Ò +ä d \qT
4 4 4 4
ø£qT>=qTeTT?
1 −1 1 −1
kÕ<Ûqä : Ç#·Ã≥ a = eT]j·TT d= − =
4 4 4 2
Ç∫Ãq~ n+ø£ÁX‚&çÛ nì ‘Ó\TdüT ø£qTø£ d ì ø£qT>=qT≥≈£î a2 – a1 qT e÷Á‘·yT˚ ñ|üj÷Ó –+#êeTT.

ñ<ëVü≤s¡D-2. ÁøÏ+~ yêì˝À @$ n+ø£ÁX‚&TÉÛ \T? ˇø£yfi˚ ¯ n+ø£ÁX‚&çÛ nsTT‘˚ ‘·sT¡ yê‘· e#˚à s¬ +&ÉT |ü<ë\qT
ø£qT>=qTeTT?
(i) 4, 10, 16, 22, . . . (ii) 1, – 1, – 3, – 5, . . .(iii) – 2, 2, – 2, 2, – 2, . . .

(iv) 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, . . . (v) x, 2x, 3x, 4x ......

kÕ<Ûqä : (i) Ç#·Ã≥ a2 – a1 = 10 – 4 = 6

a3 – a2 = 16 – 10 = 6
a4 – a3 = 22 – 16 = 6
nq>± ak + 1 – ak $\Te Á|ürkÕ] dæsú e¡ TT / düe÷qeTT.
Ç∫Ãq C≤_‘ê ˇø£ n+ø£ÁX‚&çÛ ne⁄‘·T+~. Bì kÕe÷q´ uÛ<Ò +ä d = 6.
C≤_‘ê˝À ‘·sT¡ yê‘· e#˚à s¬ +&ÉT |ü<ë\T : 22 + 6 = 28 eT]j·TT 28 + 6 = 34.
(ii) a2 – a1 = – 1 – 1 = – 2
a3 – a2 = – 3 – ( –1 ) = – 3 + 1 = – 2
a4 – a3 = – 5 – ( –3 ) = – 5 + 3 = – 2
nq>± ak + 1 – ak $\Te Á|ü‹kÕ] dæsú e¡ TT ˝Ò<ë düe÷qeTT.
Ç∫Ãq C≤_‘ê ˇø£ n+ø£ÁX‚&çÛ ne⁄‘·T+~. Bì kÕe÷q´ uÛ<Ò +ä d = – 2.
C≤_‘ê˝À ‘·sT¡ yê‘· e#˚à s¬ +&ÉT |ü<ë\T
– 5 + (– 2 ) = – 7 eT]j·TT – 7 + (– 2 ) = – 9

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 ÁX‚&TÉÛ \T 133

(iii) a2 – a1 = 2 – (– 2) = 2 + 2 = 4
a3 – a2 = – 2 – 2 = – 4
Ç#·Ã≥ a2 – a1 ≠ a3 – a2, nq>± Ç∫Ãq dü+K´\ C≤_‘ê n+ø£ÁX‚&ìçÛ @s¡Œs¡#<· Tä .
(iv) a2 – a1 = 1 – 1 = 0
a3 – a2 = 1 – 1 = 0
a4 – a3 = 2 – 1 = 1
Ç#·Ã≥, a2 – a1 = a3 – a2 ≠ a4 – a3.
nq>± Ç∫Ãq dü+K´\ C≤_‘ê n+ø£ÁX‚&ìçÛ @s¡Œs¡#<· Tä .
(v) a2 – a1 = 2x – x = x
a3 – a2 = 3x – 2x = x
a4 – a3 = 4x – 3x = x
Ç#·Ã≥ nìï dü+<äsꓤ\˝À ak+1 – ak düe÷qeTT. ø£qTø£ Ç∫Ãq C≤_‘ê ˇø£ n+ø£ÁX‚&çÛ ne⁄‘·T+~.
‘·sT¡ yê‹ s¬ +&ÉT |ü<ë\T : 4x + x = 5x eT]j·TT 5x + x = 6x.

nuÛ≤´düeTT - 6.1
1. á ÁøÏ+~ dü+|òTü ≥q\˝À @ dü+|òTü ≥q˝À @s¡Œ&˚ dü+K´\ C≤_‘ê n+ø£ÁX‚&çÛ ne⁄‘·T+~? m+<äT≈£î?
(i) ˇø£ {≤ø°‡øÏ yÓTT<ä{Ï >∑+≥ Á|üj·÷D≤ìøÏ ` 20 #=|üq ‘·s¡Tyê‘· Á|ü‹ >∑+≥≈£î ` 8
#=|üq #Ó*¢+#·e\dæ e⁄qï Á|ü‹ øÏ˝ÀMT≥s¡T≈£î #Ó*¢+#·e\dæq kıeTTà.
1
(ii) ˇø£ yê≈£L´yéT |ü+|ü⁄ dæ˝…+&És¡T˝À e⁄+&˚ >±* qT+∫ 4 e+‘·T rdæy˚j·TTqT. nsTTq
Á|ü‹kÕØ dæ˝…+&És¡T˝À $T–* e⁄+&˚ >±* |ü]e÷DeTT.
(iii) ˇø£ u≤$ì ‘·e«&ÜìøÏ yÓTT<ä≥ MT≥s¡T≈£î ` 150 e+‘·Tq Äô|’ Á|ü‹ MT≥s¡T≈£î ` 50
e+‘·Tq #Ó*¢+#ê*. nsTTq Á|ü‹ MT≥s¡T≈£î #Ó*¢+#·e\dæq kıeTTà.
(iv) ˇø£ u≤´+≈£î˝À `10000 \qT dü+e‘·‡sêìøÏ 8 XÊ‘·+ #·Áø£e&û¶ Á|üø±s¡+ bı<äT|ü⁄ #˚dæq Á|ü‹
dü+e‘·‡s¡eTT ∫es¡˝À U≤‘ê˝À e⁄+&˚ kıeTTà.
2. n+ø£ÁX‚&TÉÛ \ jÓTTø£ÿ yÓTT<ä{Ï |ü<eä TT a eT]j·TT kÕe÷q´uÛ<Ò +ä d $\Te\T ÁøÏ+<ä Çe«ã&çq$.
nsTTq ÁX‚&˝çÛ Àì yÓTT<ä{Ï Hê\T>∑T |ü<ë\qT ø£qT>=qTeTT?
(i) a = 10, d = 10 (ii) a = –2, d = 0
1
(iii) a = 4, d = – 3 (iv) a = – 1, d =
2
(v) a = – 1.25, d = – 0.25

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 134 10e ‘·s>¡ ‹∑ >∑D‘Ï +·

3. ÁøÏ+<ä Çe«ã&çq n+ø£ÁX‚&TÉÛ \≈£î yÓTT<ä{Ï |ü<eä TTqT, kÕe÷q´ uÛ<Ò +ä qT ø£qT>=qTeTT ?
(i) 3, 1, – 1, – 3, . . . (ii) – 5, – 1, 3, 7, . . .

1 5 9 13
(iii) , , , ,.... (iv) 0.6, 1.7, 2.8, 3.9, . . .
3 3 3 3
4. ÁøÏ+~ C≤_‘ê\˝À @$ n+ø£ÁX‚&TÉÛ \T? ˇø£yfi˚ ¯ n+ø£ÁX‚&çÛ nsTTq kÕe÷q´ uÛ<Ò +ä d qT, ‘·sT¡ yê‘· q#˚Ã
eT÷&ÉT |ü<ë\qT ø£qT>=qTeTT?
5 7
(i) 2, 4, 8, 16, . . . (ii) 2, ,3, ,....
2 2
(iii) – 1.2, – 3.2, – 5.2, – 7.2, . . . (iv) – 10, – 6, – 2, 2, . . .
(v) 3, 3 + 2,3 + 2 2,3 + 3 2,.... (vi) 0.2, 0.22, 0.222, 0.2222, . . .

1 1 1 1
(vii) 0, – 4, – 8, –12, . . . (viii) − , − , − , − ,....
2 2 2 2
(ix) 1, 3, 9, 27, . . . (x) a, 2a, 3a, 4a, . . .
(xi) a, a2, a3, a4, . . . (xii) 2, 8, 18, 32,.....

(xiii) 3, 6, 9, 12,.....

6.3 n+ø£ÁX‚&Ûç jÓTTø£ÿ n e |ü<äeTT

o]¸ø£ 6.1˝À #·]Ã+∫q ªñwüμ $wüj÷· ìï eT] ˇø£kÕ] |ü]o*<ë›+. áyÓTqT HÓ\≈£î ` 8000 #=|üq
eT]j·TT dü+e‘·‡s¡eTTq≈£î ` 500 #=|üq ô|+#˚ $<Û+ä >± e⁄qï ñ<√´>∑+˝À ìj·T$T+#·≥+ »]–+~. nsTT‘˚
ñ<√´>∑+˝À #˚]q ‘·sT¡ yê‘· 5 e dü+ˆˆeTT˝À ÄyÓT J‘·+ m+‘· e⁄+&Ée#·TÃ. BìøÏ düe÷<Ûëq+ ø£qT>=Hê\+fÒ
eTT+<äT ñ<√´>∑+˝À #˚]q ‘·sT¡ yê‘· s¬ +&Ée dü+e‘·‡s¡eTT˝À ÄyÓT J‘·eTTqT ø£qT>=Hê*.
n~ ` (8000 + 500) = ` 8500.
Ç<˚ $<Û+ä >± 3e, 4e, 5e dü+ˆˆ\˝À ÄyÓT J‘·eTTqT eTT+<äT dü+e‘·‡s¡eTT˝À e⁄qï J‘êìøÏ ` 500
ø£\|ü≥+ <ë«sê ø£qT>=qe#·TÃ.
∴ 3e dü+ˆˆ˝À ÄyÓT J‘·eTT = ` (8500 + 500)
= ` (8000 + 500 + 500)
= ` (8000 + 2 × 500)
= ` [8000 + (3 – 1) × 500] (3e dü+e‘·‡s¡eTT)
= ` 9000
4e dü+ˆˆ˝À ÄyÓT J‘·eTT = ` (9000 + 500)
= ` (8000 + 500 + 500 + 500)

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 ÁX‚&TÉÛ \T 135

= ` (8000 + 3 × 500)
= ` [8000 + (4 – 1) × 500] (4e dü+e‘·‡s¡eTT)
= ` 9500
5e dü+ˆˆ˝À ÄyÓT J‘·eTT = ` (9500 + 500)
= ` (8000+500+500+500 + 500)
= ` (8000 + 4 × 500)
= ` [8000 + (5 – 1) × 500] (5e dü+e‘·‡s¡eTT)
= ` 10000
ô|’ yêì qT+∫ ˇø£ dü+K´\ C≤_‘ê @s¡Œ&É≥+ eTq+ >∑eTì+#·e#·TÃqT. n~ ÁøÏ+~ $<Û+ä >± e⁄+≥T+~.
8000, 8500, 9000, 9500, 10000, . . .
Ç~ ˇø£ n+ø£ÁX‚&.çÛ
ô|’ neT]ø£ Ä<Ûës¡+>± 6 e, 15e dü+ˆˆ\˝À ÄyÓT jÓTTø£ÿ J‘·eTTqT ø£qT>=q>∑\e÷? ÄyÓT ˇø£yfi˚ ¯ 25
dü+e‘·‡s¡eTT\ bÕ≥T n<˚ ñ<√´>∑+˝À ø=qkÕ–‘˚ 25 e dü+e‘·‡s¡eTT˝À ÄyÓT J‘·eTTqT ø£qT>=q>∑\e÷? Á|ü‹
dü+e‘·‡s¡eTT ÄyÓT J‘·eTTqT eTT+<äTqï dü+e‘·‡s¡eTT˝À ÄyÓT J‘êìøÏ ` 500 ø£\|ü≥+ <ë«sê ø£qT>=qe#·TÃ.
nsTT‘˚ Bìì M˝…q’ +‘· ‘·≈î£ ÿe düeTj·T+˝À M˝…q’ +‘· düT\uÛ+Ñ >± ø£qT>=q>∑\e÷? ô|’ Á|üÁøÏjT· \˝À J‘·eTTqT
ø£qT>=H˚ $<Ûëq+ eTq≈£î ø=+‘· ne>±Vü≤q nsTTq~ ø£qTø£ <ëìì ñ|üj÷Ó –<ë›+.
15e dü+e‘·‡s¡eTT˝À J‘·eTT = 14e dü+ˆˆeTT\T J‘·eTT + ` 500
⎡ ⎤
= ` ⎢8000 + 500 + 500 + 500 + ... + 500 ⎥ + ` 500
⎢⎣ 13 kÕs¡T¢ ⎥⎦
= ` [8000 + 14 × 500]
= ` [8000 + (15 – 1) × 500] = ` 15000
nq>± yÓTT<ä{Ï J‘·+ + (15 – 1) × dü+e‘·‡s¡eTTq≈£î ô|]π>~.
n<˚$<Û+ä >± 25e dü+e‘·‡s¡eTT˝À ÄyÓT J‘·+
` [8000 + (25 – 1) × 500] = ` 20000
=
yÓTT<ä{Ï J‘·+ + (25 – 1) × dü+e‘·‡s¡eTTq≈£î ô|]π>~
á ñ<ëVü≤s¡D ˇø£ n+ø£ÁX‚&˝çÛ À15e |ü<eä TTqT, 25e |ü<eä TTqT sêj·TT≥≈£î ø±e\dæq ˇø£ düT\Te⁄ |ü<‹Δä ì
Ç∫Ã+~. Ç<˚ |ü<‹Δä ì ñ|üj÷Ó –+∫ ˇø£ n+ø£ÁX‚&çÛ jÓTTø£ÿ n e |ü<eä TTqT ø£qT>=+<ë+.
a1, a2, a3, . . . nH˚ ˇø£ n+ø£ÁX‚&ì
çÛ rdüT≈£î+<ë+.
Bì˝À yÓTT<ä{Ï |ü<+ä a1 R a eT]j·TT kÕe÷q´uÛ<Ò +ä R d nqT≈£î+<ë+.

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 136 10e ‘·s>¡ ‹∑ >∑D‘Ï +·

∴ s¬ +&Ée |ü<+ä a2 = a + d = a + (2 – 1) d
eT÷&Ée |ü<+ä a3 = a2 + d = (a + d) + d = a + 2d = a + (3 – 1) d
Hê\Ze |ü<+ä a4 = a3 + d = (a + 2d) + d = a + 3d = a + (4 – 1) d
........
........
ô|’ neT]ø£ Ä<Ûës¡+>± n e |ü<+ä an = a + (n – 1) d nì #Ó|Œü e#·TÃ.
nq>± yÓTT<ä{Ï |ü<+ä a, kÕe÷q´ uÛ<Ò +ä d >± e⁄+fÒ n+ø£ÁX‚&çÛ jÓTTø£ÿ ne |ü<eä TT
an = a + (n – 1) d.
an qT n+ø£ÁX‚&çÛ jÓTTø£ÿ kÕ<Ûës¡D |ü<e
ä TT nì≈£L&Ü n+{≤+.
ˇø£ n+ø£ÁX‚&˝çÛ À m |ü<ë\Tqï me |ü<eä TT ∫e] |ü<+ä ne⁄‘·T+~. Bìì ø=ìïkÕs¡T¢ ªlμ #˚‘· ≈£L&Ü
dü÷∫kÕÔsT¡ .
n+ø£ÁX‚&˝çÛ À |ü<ë\qT ø£qT>=qT≥ : ô|’ dü÷Á‘·eTTqT ñ|üj÷Ó –+∫ ˇø£ n+ø£ÁX‚&˝çÛ Àì $$<Ûä |ü<ë\qT
ø£qT>=qe#·TÃ.
ø=ìï ñ<ëVü≤s¡D\qT |ü]o*<ë›+.
ñ<ëVü≤s¡D-3. 5, 1, –3, –7 . . .n+ø£ÁX‚&˝çÛ À 10e |ü<eä TTqT ø£qT>=qTeTT.
kÕ<Ûqä : Ç#·Ã≥, a = 5, d = 1 – 5 = – 4 eT]j·TT n = 10.
an = a + (n – 1) d qT+∫
a10 = 5 + (10 – 1) (–4) = 5 – 36 = –31
∴ n+ø£ÁX‚&˝çÛ À 10e |ü<eä TT R – 31.

ñ<ëVü≤s¡D-4. 21, 18, 15, . . . n+ø£ÁX‚&˝çÛ À mqïe |ü<eä TT ª– 81μ ne⁄‘·T+~?

@<ÓH’ ê ˇø£ |ü<eä TT ª0μ ne⁄‘·T+<ë? ˙ düe÷<ÛëqeTTq≈£î ø±s¡D≤*eTTà ?
kÕ<Ûqä : Ç#·Ã≥ a = 21, d = 18 – 21 = – 3 eT]j·TT an = – 81,
an = a + ( n – 1) d,
– 81 = 21 + (n – 1)(– 3)
– 81 = 24 – 3n
– 105 = – 3n
∴ n = 35
nq>± ô|’ n+ø£ÁX‚&˝çÛ À 35e |ü<eä TT – 81 ne⁄‘·T+~.
‘·sT¡ yê‘· an = 0 nj˚T´ $<Û+ä >± n qT ø£qT>=Hê*.
⇒ 21 + (n – 1) (–3) = 0,
3(n – 1) = 21
n=8
nq>± n+ø£ÁX‚&˝çÛ À 8e |ü<eä TT düTHêï ne⁄‘·T+~.

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 ÁX‚&TÉÛ \T 137

ñ<ëVü≤s¡D-5. 3e |ü<eä TT 5— 7 e |ü<eä TT 9>± e⁄+&ÉTq≥T¢ ˇø£ n+ø£ÁX‚&ìçÛ ø£qT>=qTeTT.

kÕ<Ûqä :
a3 = a + (3 – 1) d = a + 2d = 5 (1)
a7 = a + (7 – 1) d = a + 6d = 9 (2)
düMTø£sD¡ ≤\T (1) eT]j·TT (2) \ qT+∫
a = 3, d = 1

∴ ø±e\dæq n+ø£ÁX‚&çÛ : 3, 4, 5, 6, 7, . . .
ñ<ëVü≤s¡D-6. 5, 11, 17, 23, . . . C≤_‘ê˝À 301 e⁄+≥T+<√ ˝Ò<√ ø£qT>=qTeTT?
kÕ<Ûqä : Ç#·Ã≥
a2 – a1 = 11 – 5 = 6, a3 – a2 = 17 – 11 = 6, a4 – a3 = 23 – 17 = 6
nq>± k = 1, 2, 3,.... \≈£î (ak + 1 – ak) dæsú e¡ TT.
∴ Çe«ã&çq dü+K´\ C≤_‘ê ˇø£ n+ø£ÁX‚&çÛ ne⁄‘·T+~.
á n+ø£ÁX‚&˝çÛ À a = 5 eT]j·TT d = 6
Çø£ 301 á C≤_‘ê˝À e⁄+≥T+<√? e⁄+&É<√ ? ø£qT>=Hê*. Bìì ìs¡sí TT+#·T≥≈£î 301 á
C≤_‘ê˝À ne |ü<+ä >± e⁄+<äqT≈£î+<ë+. nq>± an = 301.
nsTT‘˚
an = a + (n – 1) d nì eTq≈£î ‘Ó\TdüT.
∴ 301 = 5 + (n – 1) × 6
˝Ò<ë 301 = 6n – 1

302 151
∴ n= =
6 3
nsTT‘˚ n ˇø£ <Ûqä |üPs¡í dü+K´ ø±e˝…qT (m+<äT≈£î?)
ø£qTø£ 301Ç∫Ãq C≤_‘ê˝À e⁄+&É<Tä .
ñ<ëVü≤s¡D-7. 3 #˚ uÛ≤–+#·ã&˚ s¬ +&É+ø¬ \ dü+K´\T mìï?
kÕ<Ûqä : 3 #˚ uÛ≤–+#·ã&˚ s¬ +&É+ø¬ \ dü+K´\ C≤_‘ê :
12, 15, 18, . . . , 99
çÛ T˚ Hê? ne⁄qT. Ç#·Ã≥, a = 12, d = 3, an = 99.
Ç~ ˇø£ n+ø£ÁX‚&j

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 138 10e ‘·s>¡ ‹∑ >∑D‘Ï +·

an = a + (n – 1) d nì eTq≈£î ‘Ó\TdüT.
99 = 12 + (n – 1) × 3
87 = (n – 1) × 3
87
n–1= = 29
3
n = 29 + 1 = 30
nq>± 3#˚ uÛ≤–+#·ã&˚ s¬ +&É+ø¬ \ dü+K´\T 30 >∑\e⁄.
ñ<ëVü≤s¡D-8. 10, 7, 4, . . ., – 62 n+ø£ÁX‚&˝çÛ À ∫e] qT+∫ 11e |ü<eä TTqT ø£qT>=qTeTT?
kÕ<Ûqä : Ç#·Ã≥, a = 10, d = 7 – 10 = – 3, l = – 62,
∫e] qT+∫ 11e |ü<eä TTqT ø£qT>=qe˝…qqï eTT+<äT>± ÁX‚&˝çÛ À mìï |ü<ë\T e⁄qïy√ ø£qT>=qe˝…qT.
nsTT‘˚
l = a + (n – 1) d nì eTq≈£î ‘Ó\TdüT.
– 62 = 10 + (n – 1)(–3)
– 72 = (n – 1)(–3)
n – 1 = 24
n = 25
nq>± Çe«ã&çq n+ø£ÁX‚&˝çÛ À 25 |ü<ë\T e⁄+{≤sTT.
n+fÒ ∫e] qT+∫ 11e |ü<eä TT yÓTT<ä{Ï qT+∫ 15e |ü<+ä ne⁄‘·T+~. (14e |ü<+ä ø±<äT
m+<äT≈£î?)
∴ a15 = 10 + (15 – 1)(–3) = 10 – 42 = – 32
∫e] qT+∫ 11e |ü<eä TT R – 32.
>∑eTìø£ : ô|’ ÁX‚&˝çÛ À 11e |ü<eä TT— – 62 yÓTT<ä{Ï |ü<+ä >±, kÕe÷q´ uÛ<Ò +ä 3 >± >∑\ ÁX‚&˝çÛ À 11e |ü<eä TT
düe÷qeTT.
ñ<ëVü≤s¡D-9. ` 1000 \≈£î dü+e‘·‡sêìøÏ 8% u≤s¡T e&û¶ Á|üø±s¡eTT Á|ü‹ dü+e‘·‡sêìøÏ nj˚T´ e&ûì¶
ø£qT>=qTeTT? á e&û\¶ C≤_‘ê ˇø£ n+ø£ÁX‚&çÛ ne⁄‘·T+<ë? ˇø£yfi˚ ¯ n+ø£ÁX‚&çÛ nsTT‘˚ 30 e dü+ˆˆeTT ∫es¡
nj˚T´ e&ûì¶ ø£qT>=qTeTT?
P×R ×T
kÕ<Ûqä : u≤s¡Te&ûì¶ ø£qT>=qT≥≈£î dü÷Á‘·eTT 100
nì eTq≈£î ‘Ó\TdüT.
1000 × 8 × 1
1e dü+ˆˆeTT ∫es¡ nj˚T´ e&û¶ = ` = Rs 80
100
1000 × 8 × 2
2e dü+ˆˆeTT ∫es¡ nj˚T´ e&û¶ = ` = `160
100

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 ÁX‚&TÉÛ \T 139

1000 × 8 × 3
3e dü+ˆˆeTT ∫es¡ nj˚T´ e&û¶ = ` = ` 240
100
á $<Û+ä >± 4e, 5e .... dü+ˆˆ\ ∫es¡ nj˚T´ e&û\¶ ≈£î ø£qT>=qe#·TÃ. nq>± 1e, 2e, 3e, . . .dü+ˆˆ\
∫es¡ nj˚T´ e&û\¶ $\Te es¡Tdü>±
80, 160, 240, . . .
ô|’ C≤_‘ê˝À s¬ +&ÉT es¡Tdü |ü<ë\ uÒ<eäÛ TT 80 dæsú e¡ TT ø£qTø£ Ç~ ˇø£ n+ø£ÁX‚&çÛ ne⁄‘·T+~.
Ç#·Ã≥ a = 80 — d = 80.
nq>± 30 dü+ˆˆ\ ∫es¡ nj˚T´ e&ûì¶ ø£qT>=qe˝…qqï eTqeTT a30ì ø£qT>=qe˝….
∴ a30 = a + (30 – 1) d = 80 + 29 × 80 = 2400

∴ 30 dü+ˆˆeTT\ ∫es¡ nj˚T´ e&û¶ R ` 2400.

ñ<ëVü≤s¡D-10. ˇø£ |üP\bÕ<äT˝À yÓTT<ä{Ï es¡Tdü˝À 23 >∑T˝≤; #Ó≥T¢ s¬ +&Ée es¡Tdü˝À 21, eT÷&Ée es¡Tdü˝À
19 ...... e⁄HêïsTT. ∫e] es¡Tdü˝À 5 #Ó≥T¢ e⁄qï mìï es¡Tdü\˝À >∑T˝≤; #Ó≥T¢ ø£\e⁄?
kÕ<Ûqä : 1e, 2e, 3e, . . ., ∫e] es¡Tdü˝Àì #Ó≥¢ dü+K´ es¡Tdü>±
23, 21, 19, . . ., 5
Ç~ ˇø£ n+ø£ÁX‚&çÛ (m+<äT≈£î ?).
|üP\bÕ<äT˝Àì es¡Tdü\ dü+K´ n nqTø=ìq
a = 23, d = 21 – 23 = – 2, an = 5

∴ an = a + (n – 1) d
5 = 23 + (n – 1)(– 2)

⇒ – 18 = (n – 1)(– 2)

⇒ n = 10

∴ |üP\ bÕ<äT˝Àì es¡Tdü\ dü+K´ R 10.

nuÛ≤´düeTT - 6.2
1. yÓTT<ä{Ï |ü<eä TT a, kÕe÷q´ uÒ<eäÛ TT d , ne |ü<eä TT an nsTTq ÁøÏ+~ |ü{øºÏ q£ T |üP]+|ü⁄eTT.
S. No. a d n an
(i) 7 3 8 ...
(ii) – 18 ... 10 0

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 140 10e ‘·s>¡ ‹∑ >∑D‘Ï +·

(iii) ... –3 18 –5
(iv) – 18.9 2.5 ... 3.6
(v) 3.5 0 105 ...

2. ø£qT>=qTeTT
(i) 10, 7, 4 ...... n+ø£ÁX‚&Ûç˝À 30e |ü<äeTT.
−1
(ii) −3, , 2,..... n+ø£ÁX‚&Ûç˝À 11e |ü<äeTT.
2
3. ÁøÏ+~ yêìì ø£qT>=qTeTT.
(i) a1 = 2; a3 = 26 nsTTq a2 qT ø£qT>=qTeTT
(ii) a2 = 13; a4 = 3 nsTTq a1, a3 \qT ø£qT>=qTeTT
1
(iii) a1 = 5; a4 = 9 nsTTq a2, a3 \qT ø£qT>=qTeTT
2
(iv) a1 = −4; a6 = 6 nsTTq a2, a3, a4, a5 \qT ø£qT>=qTeTT
(v) a2 = 38; a6 = −22 nsTTq a1, a3, a4, a5 \qT ø£qT>=qTeTT
4. 3, 8, 13, 18, . . .
n+ø£ÁX‚&˝çÛ À mqïe |ü<eä TT 78 ne⁄‘·T+~?
5. ÁøÏ+<ä Çe«ã&çq n+ø£ÁX‚&TÉÛ \˝Àì |ü<ë\ dü+K´qT ø£qT>=qTeTT?
1
(i) 7, 13, 19, . . . , 205 (ii) 18, 15 , 13, ..., −47
2
6. 11, 8, 5, 2 . . .n+ø£ÁX‚&˝
çÛ À ª–150μ ˇø£ |ü<+ä >± e⁄+≥T+<√ ˝Ò<√ |ü]o*+#·TeTT/ø£qT>=qTeTT?
7. ˇø£ n+ø£ÁX‚&˝çÛ À 11e |ü<eä TT 38 eT]j·TT 16e |ü<eä TT 73 nsTTq 31e |ü<eä TTqT ø£qT>=qTeTT?
8. ˇø£ n+ø£ÁX‚&˝çÛ À 3e, 9 e |ü<ë\T es¡Tdü>± 4, – 8 nsTTq mqïe |ü<eä TT ª0μ (düTHêï) ne⁄‘·T+~?
9. ˇø£ n+ø£ÁX‚&˝çÛ À 17e |ü<eä TT 10e |ü<+ä ø£+fÒ 7 m≈£îÿe. nsTTq kÕe÷q´ uÛ<Ò +ä m+‘·?
10. s¬ +&ÉT n+ø£ÁX‚&TÉÛ \ kÕe÷q´ uÛ<Ò +ä düe÷qeTT. yêì 100e |ü<ë\ eT<Û´ä uÛ<Ò +ä 100 nsTTq yêì
1000e |ü<ë\ eT<Û´ä uÛ< Ò +ä yÓT+‘·?
11. 7 #˚ uÛ≤–+#·ã&˚ eT÷&É+ø¬ \ dü+K´\T mìï ø£\e⁄?
12. 10 eT]j·TT 250 \ eT<Û´ä >∑\ 4 jÓTTø£ÿ >∑TDÏC≤\ dü+K´qT ø£qT>=qTeTT?
13. 63, 65, 67, . .. eT]j·TT 3, 10, 17, . . . n+ø£ÁX‚&TÉÛ \ ne |ü<ë\T düe÷qeTT nsTTq n $\TeqT
ø£qT>=qTeTT?
14. 3 e |ü<eä TT 16 >± — 7e |ü<eä TT, 5e |ü<eä TT ø£+fÒ 12 m≈£îÿe e⁄+&ÉTq≥T¢>± ˇø£ n+ø£ÁX‚&ìçÛ
ø£qT>=qTeTT?
15. 3, 8, 13, . . ., 253 n+ø£ÁX‚&çÛ jÓTTø£ÿ ∫es¡ qT+∫ 20e |ü<e ä TTqT ø£qT>=qTeTT?

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 ÁX‚&TÉÛ \T 141

16. ˇø£ n+ø£ÁX‚&˝çÛ À 4e, eT]j·TT 8e |ü<ë\ yÓTT‘·eÔ TT 24 eT]j·TT 6e, 10e |ü<ë\ yÓTT‘·eÔ TT 44
nsTTq yÓTT<ä{Ï eT÷&ÉT |ü<ë\qT ø£qT>=qTeTT?
17. düTu≤“sêe⁄ 1995 edü+ˆˆ˝À HÓ\≈£î ` 5000 J‘·+‘√ ñ<√´>∑+˝À #˚sê&ÉT. n‘·ì J‘·eTT dü+ˆˆeTTqø≈£î
` 200 ô|]–q n‘·ì J‘·eTT @ dü+ˆˆeTT\˝À ` 7000 ne⁄‘·T+~?
6.4 ˇø£ n+ø£ÁX‚&Ûç˝À yÓTT<ä{Ï n |ü<ë\ yÓTT‘·ÔeTT
o]¸ø£ 6.1 ˝À #·]Ã+∫q ùV≤eT $wüj÷· ìï eT]jÓTTø£ kÕ] |ü]o*<ë›+.
áyÓT ‘·q ≈£L‘·Ts¡T yÓTT<ä{Ï |ü⁄{Ïqº s√Eq ` 1000 \T s¬ +&Ée |ü⁄{Ïqº s√Eq
`1500 , eT÷&Ée |ü⁄{Ïq º s√Eq `2000 .... ˇø£ &ÉãT“\T ô|f…˝º À e⁄+#·T‘·÷
b˛sTT+~. nsTT‘˚ ÄyÓT ≈£L‘·Ts¡T jÓTTø£ÿ 21 e |ü⁄{Ïqº s√E nq+‘·se¡ TT
&ÉãT“\ ô|f…˝º Àì kıeTTà yÓTT‘·+Ô m+‘· e⁄+≥T+~?
Ç#·Ã≥ yÓTT<ä{,Ï s¬ +&Ée, eT÷&Ée ..... |ü⁄{Ïqº s√Eq ô|f…˝º À e⁄+∫q
kıeTTà $\Te\T es¡Tdü>± 1000, 1500, 2000, . . . Ç˝≤ 21e |ü⁄{Ïqº
s√E es¡≈L£ ø=qkÕ–+#·ã&ç+~. 21e |ü⁄{Ïqº s√E nq+‘·s+¡ ô|f…˝º Àì
yÓTT‘·+Ô kıeTTàqT ø£qT>=qe˝…qqï ô|’ C≤_‘ê˝À 21 |ü<ë\qT es¡Tdü>± sêdæ
yêì yÓTT‘·eÔ TTqT ø£qT>=qe\dæ e⁄+≥T+~. á $<Û+ä >± #˚jT· ≥+ düeTj·T+ eè<Ûë #˚jT· ≥y˚T ø±≈£î+&Ü
ø£wyºü TÓ qÆ ~>± MTs¡T uÛ≤$+#·≥+ ˝Ò<ë? Bìì ‘·≈î£ ÿe düeTj·T+˝À düT\uÛ+Ñ >± #˚jT· ˝Òe÷?
6.4.1 ª>±dtμ |ü<ë\ yÓTT‘·+Ô ø£qT>=qï $<Ûëq+
>±dt 10 dü+ˆˆ\ ej·TdüT‡˝À kÕ~Û+∫q ˇø£ düeTdü´qT Ç|ü⁄&ÉT eTqeTT
|ü]o*<ë›+. Ç‘·qT 10dü+ˆˆ\ ej·TdüT‡˝À e⁄qï|ü⁄&ÉT 1 qT+∫ 100 es¡≈L£ >∑\
nìï dü+K´\ yÓTT‘·+Ô m+‘·? nì Ç‘·ìì Á|ü•ï+#·≥+ »]–+~. Ç‘·qT <ëìøÏ
düe÷<Ûëq+>± 5050 nì #Ó|Œæ Hê&ÉT. n‘·qT @$<Û+ä >± düe÷<Ûëq+ #ÓbÕŒ&√
}Væ≤+#·>\∑ sê ?
n‘·qT <ëìì á ÁøÏ+~ $<Û+ä >± sêkÕ&ÉT.
S = 1 + 2 + 3 + . . . + 99 + 100 ø±sY¢ Áô|&ò ]É ø˘ >±dt
(1777`1855) Á|üU≤´‘·
‹]– n‘·qT BìH˚ ‹]– ÁøÏ+<ä $<Û+ä >± sêkÕ&ÉT. »s¡àHé >∑D‘Ï · XÊgE„&TÉ
S = 100 + 99 + . . . + 3 + 2 + 1
n‘·qT á s¬ +&ç+{Ï˙ ≈£L&ç dü÷ø°àå ø£]+∫ |ò*ü ‘·eTTqT á ÁøÏ+~ $<Û+ä >± ø£qT>=Hêï&ÉT.
2S = (100 + 1) + (99 + 2) + . . . + (3 + 98) + (2 + 99) + (1 + 100)
= 101 + 101 + . . . + 101 + 101 (100 kÕs¡T)¢
(Bìì Ä˝À∫+#·TeTT eT]j·TT dü]#·÷&ÉTeTT)
100 × 101
S= = 5050, yÓTT‘·eÔ TT = 5050.
2

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 142 10e ‘·s>¡ ‹∑ >∑D‘Ï +·

6.4.2 n+ø£ÁX‚&˝çÛ À n |ü<ë\ yÓTT‘·eÔ TT

eTq+ ≈£L&Ü a, a + d, a + 2d, . . . ÁX‚&˝çÛ À n |ü<ë\ yÓTT‘êÔìï ø£qT>=qT≥≈£î >±dt |ü<‹Δä H˚ bÕ{Ï<ë›+.
ô|’ ÁX‚&çÛ jÓTTø£ÿ ne |ü<eä TT an nqTø=ìq, an = a + (n – 1)d

ô|’ ÁX‚&˝çÛ À yÓTT<ä{Ï n |ü<ë\ yÓTT‘·eÔ TT Sn nqTø=ìq

Sn = a + (a + a ) + (a + 2d ) + ... + a + (n − 1)d

Sn = (a + (n − 1)d ) + (a + (n − 2)d + ... + a

≈£L&É>± 2Sn = (2a + (n − 1)d ) + (2a + (n − 1)d ) + .... + (2a + (n − 1)d ) (n kÕs¡T¢)
= n(2a + (n − 1)d )

n n
∴ Sn = [2a + ( n − 1) d ] = [a + a + (n − 1)d ]
2 2

n
= [yÓTT<ä{|
Ï <ü +ä + ne |ü<+ä ] = n (a+ an)
2 2

n
Sn = [2a + ( n − 1) d ] [ ∵ an = a + (n−1)d]
2
ˇø£ n+ø£ÁX‚&˝ç À yÓTT<ä{Ï |ü<eä TT, ∫e] |ü<eä TT\T e÷Á‘·yT˚ ‘Ó*dæ kÕe÷q´ uÛ<Ò +ä ‘Ó*j·TTq|ü⁄&ÉT
n
Sn = (a+ an) dü÷Á‘·eTTqT ñ|üj÷Ó –+∫ SnqT düT\uÛ+Ñ >± ø£qT>=qe#·TÃ.
2

ùV≤eT ≈£L‘·Ts¡T jÓTTø£ÿ kıeTTà

‹]– eTq Á|üXï¯ ≈£î |ü]o*<ë›+.
ùV≤eT ≈£L‘·Ts¡T jÓTTø£ÿ 1e, 2e, 3e, 4e, . . ., |ü⁄{Ïqº s√Eq ô|f…˝º À e⁄+#˚ kıeTTà es¡Tdü>±
1000, 1500, 2000, 2500, . . .,
Ç~ ˇø£ n+ø£ÁX‚&.çÛ eTqeTT ùV≤eT ≈£L‘·Ts¡T jÓTTø£ÿ 21e |ü⁄{Ïqº s√E nq+‘·se¡ TT ô|f…˝º Àì yÓTT‘·+Ô
kıeTTàqT ø£qT>=Hê*.
Ç#·Ã≥, a = 1000, d = 500 eT]j·TT n = 21
n
Sn = [2a + ( n − 1) d ],
2
21
S= [2 × 1000 + (21 − 1) × 500]
2
21
= [2000 + 10000]
2

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 ÁX‚&TÉÛ \T 143

21
= [12000] = 126000
2
21e |ü⁄{Ïq
º s√E nq+‘·se¡ TT ô|f…˝º Àì yÓTT‘·+Ô kıeTTà R ` 1,26,000.
S ã<äT\T>± Sn qT yê&ÉT<ë+. Bìe\¢ mìï |ü<ë\ yÓTT‘·+ Ô eTq+ ø£qT>=+≥THêïyÓ÷ ‘Ó\TdüT+Ô ~.
yÓTT<ä{Ï 20 |ü<ë\ yÓTT‘·eÔ TTqT ø£qT>=qT≥≈£î eTq+ S20 ì yê&É‘ê+. eTq+ n+ø£ÁX‚&˝çÛ À yÓTT<ä{Ï n |ü<ë\
yÓTT‘êÔìï ø£qT>=qT≥≈£î ñ|üj÷Ó –+#˚ dü÷Á‘·eTT˝À Hê\T>∑T sêX¯ó\T ø£\e⁄. n$ Sn, a, d eT]j·TT n .
Mì˝À @yÓH’ ê eT÷&ÉT sêX¯ó\ $\Te\T ‘Ó*|æq Hê\Ze sê•ì ø£qT>=q>∑\+.
>∑eTìø£ : ˇø£ n+ø£ÁX‚&˝çÛ À yÓTT<ä{Ï n |ü<ë\ yÓTT‘·+Ô qT+∫ yÓTT<ä{Ï (n – 1) |ü<ë\ yÓTT‘êÔìï rdæyd˚ qæ ÄÁX‚&çÛ
jÓTTø£ÿ ne |ü<eä TT edüT+Ô ~. nq>± an = Sn – Sn – 1.

Ç$ #˚j·T+&ç
ÁøÏ+<ä Çe«ã&çq Á|ü‹ n+ø£ÁX‚&˝çÛ À ù|s=ÿqï |ü<ë\ yÓTT‘·eÔ TTqT ø£qT>=qTeTT.
(i) 16, 11, 6 .....; 23 |ü<ë\T (ii) −0.5, −1.0, −1.5, .....; 10 |ü<ë\T
1 3
(iii) −1, , ....., 10 |ü<ë\T
4 2

ø=ìï ñ<ëVü≤s¡D\qT |ü]o*<ë›+.

ñ<ëVü≤s¡D-11. ˇø£ n+ø£ÁX‚&˝çÛ À yÓTT<ä{Ï |ü<+ä 10 eT]j·TT yÓTT<ä{Ï 14 |ü<ë\ yÓTT‘·eÔ TT 1050 nsTTq 20e
|ü<eä TTqT ø£qT>=qTeTT.
kÕ<Ûqä : Ç#·Ã≥ Sn = 1050; n = 14, a = 10
n
Sn = [2a + ( n − 1) d ]
2
14
1050 = [2a + 13d ] = 140 + 91d
2
910 = 91 d
∴ d = 10
∴ a20 = 10 + (20 − 1) I 10 = 200
ñ<ëVü≤s¡D-12. 24, 21, 18, . . . n+ø£ÁX‚&˝çÛ À mìï |ü<ë\qT
rdüT≈£îqï yêì yÓTT‘·+Ô 78 ne⁄‘·T+~?
kÕ<Ûqä : Ç#·Ã≥, a = 24, d = 21 – 24 = –3, Sn = 78. n jÓTTø£ÿ $\TeqT ø£qT>=Hê*.
n
Sn = [2a + ( n − 1) d ] nì eTq≈£î ‘Ó\TdüT
2
n n
78 = [48 + (n − 1(−3)] = [51 − 3n]
2 2
2
3n – 51n + 156 = 0

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 144 10e ‘·s>¡ ‹∑ >∑D‘Ï +·

⇒ n2 – 17n + 52 = 0
⇒ (n – 4)(n – 13) = 0
∴ n = 4 or 13
n jÓTTø£ÿ
s¬ +&ÉT $\Te\qT |ü]>∑D˝ÀìøÏ rdüTø√e#·TÃ. nq>± |ü<ë\ dü+K´ R 4 ˝Ò<ë 13.
>∑eTì+∫q n+XÊ\T
1. Ç#·Ã≥ 4 |ü<ë\ yÓTT‘·eÔ TT R 13 |ü<ë\ yÓTT‘·eÔ TT = 78.
2. á ÁX‚&˝çÛ À 5e |ü<+ä qT+∫ 13e |ü<+ä es¡≈L£ >∑\ |ü<ë\ yÓTT‘·+Ô düTHêï (0). m+<äTø£q>± Ç#·Ã≥
kÕe÷q´uÒ<eäÛ TT jÓTTø£ÿ $\Te ãTTD≤‘·àø£eTT. Bìe\¢ ø=ìï |ü<ë\T <ÛHä ê‘·àø£eTT, eT]ø=ìï |ü<ë\T
ãTTD≤‘·àø£+ ne⁄‘·÷ |ò*ü ‘·+ X¯Sq´+ ø±e#·TÃ.
ñ<ëVü≤s¡D-13. ÁøÏ+~ yêì yÓTT‘êÔ\qT ø£qT>=qTeTT.
(i) yÓTT<ä{Ï 1000 <Ûqä |üPs¡í dü+K´\T (ii) yÓTT<ä{Ï n <Ûqä |üPs¡dí +ü K´\T
kÕ<Ûqä :
(i) S = 1 + 2 + 3 + . . . + 1000 nqTø=qTeTT.

n
Sn = (a + l ) qT ñ|üj÷Ó –+∫q
2

1000
S1000 = (1 + 1000) = 500 × 1001 = 500500
2
yÓTT<ä{Ï 1000 <Ûqä |üPs¡í dü+K´\ yÓTT‘·+Ô R 500500.
(ii) Sn = 1 + 2 + 3 + . . . + n nqTø=qTeTT.
Ç#·Ã≥ a = 1 eT]j·TT ∫e] |ü<eä TT l R n.
n(1 + n) n( n + 1)
∴ Sn = (˝Ò<ë) Sn =
2 2

n(n + 1)
nq>± yÓTT<ä{Ï n <Ûqä |üPs¡í dü+K´\ yÓTT‘·+Ô Sn =
2
ñ<ëVü≤s¡D-14. an = 3 + 2n qT n e |ü<+ä >± ø£*–q ÁX‚&çÛ jÓTTø£ÿ yÓTT<ä{Ï 24 |ü<ë\ yÓTT‘êÔìï ø£qT>=qTeTT?
kÕ<Ûqä : an = 3 + 2n,
a1 = 3 + 2 = 5
a2 = 3 + 2 × 2 = 7
a3 = 3 + 2 × 3 = 9

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 ÁX‚&TÉÛ \T 145

dü+K´\ C≤_‘ê : 5, 7, 9, 11, . . .

Ç#·Ã≥, 7 – 5 = 9 – 7 = 11 – 9 = 2 .......
nq>± á C≤_‘ê ˇø£ n+ø£ÁX‚&.çÛ Bì yÓTT<ä{Ï |ü<+ä a = 5, kÕe÷q´ uÒ<eäÛ TT d = 2.
24
S24 = [2 × 5 + (24 − 1) × 2] = 12(10 + 46) = 672
2
Ç∫Ãq ÁX‚&˝çÛ À 24 |ü<ë\ yÓTT‘·eÔ TT R 672.
ñ<ëVü≤s¡D-15. ˇø£ f…*$»Hé ‘·j÷· Ø ø£+ô|˙ 3e dü+ˆˆ˝À 600 f…*$»q¢qT 7e dü+ˆˆeTT 700 ôd≥¢qT
‘·j÷· s¡T #˚d+æ ~. Ç~ ‘·j÷· Ø #˚ùd f…*e»q¢ dü+K´ Á|ür dü+ˆˆeTT dæsú +¡ >± ô|s¡T>∑T‘·÷ e⁄+fÒ
(i) 1e dü+ˆˆ\˝À n~ ‘·j÷· s¡T #˚dqæ f…*$»Hé¢ dü+K´
(ii) 10e dü+ˆˆe n~ ‘·j÷ · s¡T #˚dqæ f…*$»Hé dü+K´
(iii) yÓTT<ä{Ï 7 dü+ˆˆ dü+e‘·‡sê\˝À n~ ‘·j÷ · s¡T #˚dqæ yÓTT‘·+Ô ôd≥¢ dü+K´qT ø£qT>=qTeTT?
kÕ<Ûqä : (i) Á|ü‹ dü+e‘·‡s¡eTT ‘·j÷· s¡T#˚ùd f…*$»Hé ôd≥¢ dü+K´ ˇø£ dæsú ¡ $\Te‘√ ô|s¡T>∑T‘·÷ e⁄+fÒ 1e,
2e, 3e, . . ., dü+ˆˆ\˝À ‘·j÷ · s¡jT˚ ´ f…*$»Hé ôd≥¢ dü+K´\ C≤_‘ê ˇø£ n+ø£ÁX‚&ìçÛ @s¡Œs¡TdüT+Ô ~.
n e dü+ˆˆ˝À ‘·j÷ · s¡T#˚ùd f…*$»Hé ôd≥¢ dü+K´qT an nqTø=ìq
a3 = 600 eT]j·TT a7 = 700 >± Çe«ã&çq~.

⇒ a + 2d = 600
eT]j·TT a + 6d = 700
ô|’ düMTø£sD¡ ≤\qT kÕ~Û+∫q d = 25 eT]j·TT a = 550 e#·TÃqT.
∴ yÓTT<ä{Ï dü+ˆˆ˝À ‘·j÷ · s¬ q’ f…*$»Hé ôd≥¢ dü+K´ R 550.
(ii) a10 = a + 9d = 550 + 9 × 25 = 775

nq>± 10 e dü+ˆˆ˝À ‘·j÷· s¡T#˚dqæ f…*$»Hé¢ dü+K´ R 775.

7
(iii) S7 = [2 × 550 + (7 − 1) × 25]
2
7
= [1100 + 150] = 4375
2
yÓTT<ä{Ï 7 dü+ˆˆ\˝À ‘·j÷· s¬ q’ yÓTT‘·+Ô f…*$»Hé¢ dü+K´ R 4375.

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 146 10e ‘·s>¡ ‹∑ >∑D‘Ï +·

nuÛ≤´düeTT - 6.3
1. ÁøÏ+~ n+ø£ÁX‚&TÉÛ \˝À ù|s=ÿqï |ü<ë\ yÓTT‘êÔ\qT ø£qT>=qTeTT?
(i) 2, 7, 12, . . ., 10 |ü<ë\T. (ii) –37, –33, –29, . . ., 12 |ü<ë\T.
1 1 1
(iii) 0.6, 1.7, 2.8, . . ., 100 |ü<ë\T. (iv) , , , ....., |ü<ë\T.
15 12 10
2. ÁøÏ+~ yêì yÓTT‘êÔ\qT ø£qT>=qTeTT?
1
(i) 7 + 10 + 14 + .... + 84 (ii) 34 + 32 + 30 + . . . + 10
2
(iii) –5 + (–8) + (–11) + . . . + (–230)
3. ˇø£ n+ø£ÁX‚&˝çÛ À
(i) a = 5, d = 3, an = 50 nsTTq n eT]j·TT Sn \qT ø£qT>=qTeTT ?
(ii) a = 7, a13 = 35 nsTTq d ì eT]j·TT S13 qT ø£qT>=qTeTT?
(iii) a12 = 37, d = 3 nsTTq a qT eT]j·TT S12 qT ø£qT>=qTeTT?
(iv) a3 = 15, S10 = 125 nsTTq d eT]j·TT a10 qT ø£qT>=qTeTT?
(v) a = 2, d = 8, Sn = 90 nsTTq n eT]j·TT anqT ø£qT>=qTeTT?
(vi) an = 4, d = 2, Sn = –14 nsTTq n eT]j·TT a qT ø£qT>=qTeTT ?
(vii) l = 28, S = 144 eT]j·TT |ü<ë\ dü+K´ 9 nsTTq a ø£qT>=qTeTT ?
4. ˇø£ n+ø£ÁX‚&˝çÛ À yÓTT<ä{Ï ∫e] |ü<ë\T es¡Tdü>± 17 eT]j·TT 350. kÕe÷q´ uÛ<Ò +ä 9 nsTTq ÁX‚&˝çÛ Àì
|ü<ë\ dü+K´qT, |ü<ë\ yÓTT‘·eÔ TTqT ø£qT>=qTeTT?
5. ˇø£ n+ø£ÁX‚&˝çÛ À 2e, 3e |ü<ë\T es¡Tdü>± 14 eT]j·TT 18 nsTTq 51 |ü<ë\ yÓTT‘·eÔ TTqT
ø£qT>=qTeTT?
6. ˇø£ n+ø£ÁX‚&˝çÛ À yÓTT<ä{Ï 7 |ü<ë\ yÓTT‘·eÔ TT 49 eT]j·TT 17 |ü<ë\ yÓTT‘·eÔ TT 289 nsTTq yÓTT<ä{Ï
n |ü<ë\ yÓTT‘·e Ô TTqT ø£qT>=qTeTT?
7. an ÁøÏ+~ $<Û+ ä >± ìs¡«∫+#·ã&ç‘˚ a1, a2, . . ., an, n+ø£ÁX‚&çÛ ne⁄‘·T+<äì #·÷|ü+&ç. eT]j·TT
yÓTT<ä{Ï 15 |ü<ë\ yÓTT‘·eÔ TTqT ø£qT>=q+&ç.
(i) an = 3 + 4n (ii) an = 9 – 5n
8. ˇø£ n+ø£ÁX‚&˝çÛ À yÓTT<ä{Ï n |ü<ë\ yÓTT‘·eÔ TT 4n – n2 nsTTq yÓTT<ä{Ï |ü<+ä m+‘·? (S1$\Ty˚
yÓTT<ä{Ï |ü<eä TT ne⁄‘·T+<äì >∑Ts¡T≈Ô î£ ‘Ó#T· Ãø√+&ç) yÓTT<ä{Ï s¬ +&ÉT |ü<ë\ yÓTT‘·+Ô m+‘· ? s¬ +&Ée
|ü<eä TT m+‘·? n<˚$<Û+ä >± 3e |ü<eä TTqT, 10e |ü<eä TTqT eT]j·TT ne |ü<eä TTqT ø£qT>=qTeTT?
9. 6 #˚ uÛ≤–+#·ã&˚ yÓTT<ä{Ï 40 <Ûq
ä |üPs¡í dü+K´\ yÓTT‘·eÔ TTqT ø£qT>=qTeTT?
10. ˇø£ bÕsƒX¡ Ê\˝À $<ë´$wüjT· ø£ dü+ã+~Û‘· $wüj÷· \˝À n‘·T´qï‘· Á|ü‹uÛÑ ø£q|ü]∫q yê]øÏ yÓTT‘·+Ô
700 s¡÷bÕj·T\≈£î 7 ãVüQeT‘·T\T Çyê«\ì uÛ≤$+#ês¡T. Á|ü‹ ãVüQeT‹ $\Te <ëì eTT+<äTqï
<ëìøÏ ` 20 ‘·≈î£ ÿe nsTTq Á|ü‹ ãVüQeT‹ $\TeqT ø£qT>=qTeTT?

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 ÁX‚&TÉÛ \T 147

11. ˇø£ bÕsƒX¡ Ê\ Äes¡D˝À |üsê´es¡D |ü]s¡øDå£ ≈£î $<ë´s¡T\ú T #Ó≥T¢ Hê{≤\ì uÛ≤$+#ês¡T. Á|ü‹ ôdø£qå T
$<ë´s¡T\ú T yês¡T #·<Tä e⁄‘·Tqï ‘·s>¡ ‹∑ dü+K´≈£î düe÷qyÓTqÆ #Ó≥q¢ T nq>± 1e ‘·s>¡ ‹∑ #·<Tä e⁄#·Tqï ˇø£
ôdø£Hå é $<ë´s¡T\ú T 1 #Ó≥TºqT, s¬ +&Ée ‘·s>¡ ‹∑ #·<Tä e⁄#·Tqï ˇø£ ôdø£Hå é $<ë´s¡T\ú T 2#Ó≥q¢ T Hê{≤\ì á
$<Û+ä >± 12e ‘·s>¡ ‹∑ es¡≈L£ #˚j÷· \ì ìs¡sí TT+#·T≈£îHêïs¡T. nsTT‘˚ Á|ü‹ ‘·s>¡ ‹∑ ˝À eT÷&ÉT ôdø£qå T¢
e⁄qï yÓTT‘·+Ô Hê{Ïq #Ó≥T¢ mìï?
12. ns¡Δ eè‘êÔ\#˚ ˇø£ dü]Œ˝≤ø±s¡eTT ‘·j÷· s¡T#˚jT· ã&ç+~. 3 A
|ü≥+˝À #·÷|æq $<Û+ä >± ns¡eΔ è‘êÔ\ øπ +Á<ë\T A e<ä›
ÁbÕs¡+_Û+#·ã&ç A, B \ eT<Û´ä e÷s¡T‘·÷ e⁄HêïsTT. nq>± 1 A
yÓTT<ä{Ï ns¡e› è‘·Ô øπ +Á<äeTT A, s¬ +&Ée ns¡eΔ è‘·Ô øπ +Á<äeTT B A B
eT÷&Ée ns¡eΔ è‘·Ô øπ +Á<äeTT A ...... eT]j·TT ns¡eΔ è‘êÔ\
yê´kÕsêΔ\T es¡Tdü>± 0.5 ôd+.MT, 1.0 ôd+.MT, 1.5 ôd+.MT, 2A
2.0 ôd+.MT, . . . á $<Û+ ä >± yÓTT‘·+Ô 13 ns¡eΔ è‘êÔ\T e⁄qï A 4

22
dü]Œ˝+ yÓTT‘·+Ô bı&Ée⁄ m+‘·?( π = 7 )
[dü÷#·q : es¡Tdü ns¡e› è‘êÔ\ bı&Ée⁄\T l1, l2, l3, l4, . . . eT]j·TT Mì øπ +Á<ë\T es¡Tdü>±
A, B, A, B, . . ..]
13. 200 #Óøÿ£ yÓTT<äT\› qT ÁøÏ+~ |ü≥+˝À #·÷|æq $<Û+ä >± neTsêÃs¡T. nìï+{Ï ø£+fÒ ÁøÏ+<ä e⁄qï
es¡Tdü˝À 20 #Óøÿ£ yÓTT<äT\› qT, <ëìô|’ 19 yÓTT<äT\› qT, <ëìô|q’ 18 yÓTT<äT\› qT ..... neT]Ãq yÓTT‘·+Ô
200 yÓTT<äT\ › qT neTs¡TÃ≥≈£î mìï es¡Tdü\T ø±yê*? nìï+{Ïø+£ fÒ ô|q’ e⁄qï es¡Tdü˝À mìï #Óøÿ£
yÓTT<äT\› T ø£\e⁄ ?

14. ã+‹ eT]j·TT u¬ø{Ÿ Ä≥˝À, ÁbÕs¡+uÛ+Ñ ˝À ˇø£ ã¬ø{Ÿ <ëìøÏ 5MT. <ä÷s¡+˝À ˇø£ ã+‹ e⁄+#·ã&çq$.
yÓTT‘·+Ô 10 ã+‘·T\˝À $T–*q ã+‘·T\T ˇø£<ëìø=ø£{Ï 3MT. <ä÷s¡+˝À |ü≥+˝À #·÷|æq $<Û+ä >±
neTs¡Ãã&çq$. Ä≥˝À bÕ˝§ZH˚ e´øÏÔ yÓTT<ä{ ã¬ø{Ÿ e<ä› qT+∫ ãj·T\T<˚] yÓTT<ä{Ï ã+‹e<ä≈› î£ b˛sTT

5m 3m 3m

<ëìì rdüTø=ì yÓqTø£≈î£ e∫à ã¬ø{Ÿ˝À y˚j÷· *. ‘·sT¡ yê‘· ‹]– ã¬ø{Ÿ qT+∫ ãj·T\T<˚] s¬ +&Ée
ã+‹ e<ä≈› î£ b˛sTT <ëìì rdüTø=ì e∫à ã¬ø{Ÿ˝À y˚j÷· *. á $<Û+ä >± nìï ã+‘·T\qT ã¬ø{Ÿ˝À
y˚jT· e˝…qqï Ä e´øÏÔ |ü]>¬ ‘·eÔ \dæq yÓTT‘·+Ô <ä÷s¡+ m+‘·?
[dü÷#·q : yÓTT<ä{,Ï s
¬ +&Ée ã+‘·T\qT rdüTø=ì sêe&ÜìøÏ Ä≥ Ä&˚ e´øÏÔ |ü]>¬ ‘·eÔ \dæ <ä÷s¡eTT
es¡Tdü>± 2 × 5 + 2 × (5 + 3)]

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 148 10e ‘·s>¡ ‹∑ >∑D‘Ï +·

6.5 >∑TDÁX‚&ÛÉT\T
ÁøÏ+~ C≤_‘ê\qT |ü]o*+#·+&ç.
1 1 1 1
(i) 30, 90, 270, 810 ..... (ii) , , , .....
4 16 64 256
(iii) 30, 24, 19.2, 15.36, 12.288
ô|’ Á|ü‹ C≤_‘ê˝À ‘·sT¡ yê‘· e#˚à |ü<eä TTqT sêj·T>∑\e÷?
(i)˝À Á|ü‹ |ü<e
ä TTqT (yÓTT<ä{Ï |ü<+ä ‘·|Œü ) <ëì eTT+<äTe⁄qï |ü<eä TTqT 3#˚ >∑TDÏ+#·≥+ e\¢ bı+<äe#·TÃ.
1
(ii) ˝À Á|ü‹|ü<e
ä TTqT(yÓTT<ä{Ï |ü<+ä ‘·|Œü )<ëì eTT+<äTe⁄qï |ü<eä TTqT #˚ >∑TDÏ+#·≥+ e\¢ bı+<äe#·TÃ.
4
(iii) Á|ü‹ |ü<e
ä TTqT (yÓTT<ä{Ï |ü<+ä ‘·|Œü )<ëì eTT+<äTqï |ü<eä TTqT 0.8#˚ >∑TDÏ+#·≥+ e\¢ bı+<äe#·TÃ.
ô|’ Á|ü‹ C≤_‘ê˝À Á|ü‹ |ü<eä TTqT (yÓTT<ä{Ï |ü<+ä ‘·|Œü ) <ëì eTT+<äTqï |ü<eä TTqT ˇø£ dæsú ¡ dü+K´#˚
>∑TDÏ+#·≥+ e\¢ bı+<ä>\∑ T>∑T‘·THêïeTT. Ç˝≤+{Ï dü+K´\ C≤_‘êqT >∑TDÁX‚&çÛ n+{≤eTT. Ä dæsú ¡ dü+K´qT
kÕe÷q´ ìwüŒ‹Ô ‘r’ n+{≤eTT. nq>± ô|q’ ñ<äV≤ü ]+∫q (i), (ii), (iii) \˝À kÕe÷q´ ìwüŒ‹Ô es¡Tdü>±
1
3, , 0.8.
4
>∑TDÁX‚&˝çÛ Àì yÓTT<ä{Ï |ü<eä TTqT a #˚‘,· kÕe÷q´ ìwüŒ‹Ôì ª r μ #˚‘· dü÷∫ùdÔ s¬ +&Ée |ü<eä TTqT
bı+<äe˝…qqï yÓTT<ä{Ï |ü<eä TT a qT kÕe÷q´ìwüŒ‹Ô r #˚‘· >∑TDÏ+#·e˝…qT.
∴ s ¬ +&Ée |ü<eä TT = ar
n<˚ $<Û+ä >± eT÷&Ée |ü<eä TT R ar . r R ar2
a, ar, ar2 ..... qT >∑TDÁX‚&çÛ jÓTTø£ÿ kÕ<Ûës¡D s¡÷|üeTT n+{≤+.
ô|’ >∑TDÁX‚&˝çÛ À @<ÓH’ ê ˇø£ |ü<eä TT, <ëì eTT+<äTqï |ü<ëìøÏ >∑\ ìwüŒ‹Ô ‘r’.
ar ar 2
nq>± = = .......... = r
a ar
ˇø£yfi˚ ¯ ˇø£ >∑TDÁX‚&˝çÛ Àì yÓTT<ä{Ï |ü<eä TTqT a1 #˚‘,· s¬ +&Ée |ü<eä TTqT a2 #˚‘· ..... ne |ü<e
ä TTqT an
#˚‘· dü÷∫ùdÔ
a2 a3 a
= = ...... = n = r
a1 a2 an−1
∴ a1, a2, a3 .... an ... ˇø£ >∑TDÁX‚&çÛ ø±e˝…qqï Á|ü‹ |ü<eä TT X¯SH˚´‘·se¡ TT ne⁄‘·÷
an
=r ø±e˝…qT.
an −1

Ç#·Ã≥ n @<ÓH’ ê ˇø£ düV≤ü »dü+K´ eT]j·TT n > 2.

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 ÁX‚&TÉÛ \T 149

Ç$ #˚j·T+&ç.
ÁøÏ+~ yêì˝À >∑TDÁX‚&TÉÛ \T ø±ìy˚y√ ø£qT>=qTeTT?
1. 6, 12, 24, 48, ..... 2. 1, 4, 9, 16, ......
3. 1, −1, 1, −1, ..... 4. −4, −20, −100, −500, .....

>∑TDÁX‚&TÉÛ \≈£î eT]ø=ìï ñ<ëVü≤s¡D\T :

(i) ˇø£ e´øÏÔ ‘·q q\T>∑Ts¡T $TÁ‘·T\≈£î $&ç$>± ñ‘·sÔ ê\T sêdæ, yê]ì ≈£L&Ü Á|ü‹ ˇø£ÿs¡T eT] q\T>∑Ts¡T
y˚sT¡ y˚sT¡ e´≈£î\Ô ≈£î Ç<˚ ñ‘·sÔ êìï sêdæ |ü+|æ+#·eTì ø√sê&ÉT. á >=\TdüT Ç<˚$<Û+ä >± ø=qkÕ–+#·ã&ç‘˚
yÓTT<ä{,Ï s¬ +&Ée, eT÷&Ée, Hê\Ze, .... kÕúsTT˝Àì ñ‘·sÔ ê\ dü+K´ es¡Tdü>±
1, 4, 16, 256 ..............
(ii) ` 500 \qT dü+e‘·‡s¡eTTq≈£î 10 XÊ‘·+ #·Áø£e&û¶ Á|üø±s¡+ ˇø£ u≤´+ø˘˝À bı<äT|ü⁄ #˚dqæ yÓTT<ä{,Ï
s¬ +&Ée, eT÷&Ée .... dü+ˆˆ\ ∫es¡ <ëì yÓTT‘·+Ô $\Te\T es¡Tdü>±
550, 605, 665.5 ......
(iii) |ü≥+˝À #·÷|æq $<Û+ä >± yÓTT<ä{Ï #·‘T· s¡Ádü+ jÓTTø£ÿ uÛTÑ C≤\ eT<Û´ä _+<äTe⁄\qT ø£\|ü≥+ e\¢ s¬ +&Ée
#·‘T· s¡ÁdüeTT jÓTTø£ÿ uÛTÑ C≤\ eT<Û´ä _+<äTe⁄\qT ø£\|ü≥+ e\¢ eT÷&Ée #·‘T· s¡ÁdüeTT @s¡Œ&çq$. Ç<˚
$<ÛëqeTTqT nq+‘·eTT>± ø=qkÕ–+#·ã&ç+~. yÓTT<ä{Ï
#·‘T· s¡ÁdüuTÑÛ »eTT 16 ôd+.MT. nsTTq yÓTT<ä{,Ï s¬ +&Ée, eT÷&Ée,
Hê\Ze ..... #·‘T· s¡ÁkÕ\ yÓX’ Ê\´\T es¡Tdü>±
256, 128, 64, 32, .....

(iv) ˇø£ >∑&j

ç ÷· s¡+ jÓTTø£ÿ ˝À\ø£+ yÓTT<ä{Ï &√\q+˝À #˚dqæ eÁø£+/
#ê|ü+ bı&Ée⁄ 18 ôd+.MT. ‘·sT¡ yê‘· Á|ü‹ &√\q+˝À @s¡Œ&˚
#ê|ü+ bı&Ée⁄ <ëì eTT+<äT &√\q+˝À @s¡Œ&ɶ #ê|ü+ bı&Ée⁄˝À
0.9 e e+‘·T e⁄+&ÉTqT. nsTTq yÓTT<ä{,Ï s ¬ +&Ée, eT÷&Ée,
Hê\Ze ....... &√\Hê\˝À @s¡Œ&ÉT #êbÕ\ bı&Ée⁄\T es¡Tdü>±
18, 16.2, 14.58, 13.122......

Ä˝À∫+∫, #·]Ã+∫, sêj·T+&ç

1. ô|q’ #·]Ã+∫q Á|ü‹ C≤_‘ê m+<äT≈£î >∑TDÁX‚&çÛ ne⁄‘·T+<√ $e]+#·TeTT?
2. ˇø£ >∑TDÁX‚&ìçÛ ìs¡sí TT+#·T≥≈£î ø±e\dæq n+XÊ˝Ò$T{Ï?

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 150 10e ‘·s>¡ ‹∑ >∑D‘Ï +·

Ç|ü&ÉT yÓTT<ä{Ï |ü<eä TT a, kÕe÷q´ ìwüŒ‹Ô r, ‘Ó*dæq|ü⁄&ÉT ˇø£ >∑TDÁX‚&ìçÛ m˝≤ ì]à+#ê˝À eT]j·TT
Ç∫Ãq dü+K´\ C≤_‘ê >∑TDÁX‚&çÛ ne⁄‘·T+<√ ˝Ò<√ m˝≤ ìs¡sí TTkÕÔy÷Ó #·÷<ë›+.
ñ<ëVü≤s¡D-16. yÓTT<ä{Ï |ü<eä TT a = 3, kÕe÷q´ ìwüŒ‹Ô r = 2 nsTTq >∑TDÁX‚&ìçÛ sêj·TTeTT ?
kÕ<Ûqä : yÓTT<ä{Ï |ü<+ä ‘a’ ø£qTø£ <ëìì düT\uÛ+Ñ >± sêj·Te#·TÃ.
‘·sT¡ yê‘· >∑TDÁX‚&˝çÛ À Á|ü‹ |ü<eä TT, <ëì eTT+<äTqï |ü<eä TTqT, kÕe÷q´ ìwüŒ‹Ô#˚ >∑TDÏ+#·≥+ e\¢
bı+<äe#·TÃ. nq>± s¬ +&Ée |ü<eä TT ø±e˝…qqï eTqeTT yÓTT<ä{Ï |ü<eä TT a = 3 qT kÕe÷q´ ìwüŒ‹Ô r = 2 #˚
>∑TDÏ+#·e˝…qT.
∴ s ¬ +&Ée |ü<eä TT = ar = 3 ×2 = 6
n<˚ $<Û+ä >± eT÷&Ée |ü<eä TT = s¬ +&Ée |ü<eä TT × kÕe÷q´ìwüŒ‹Ô
= 6 × 2 = 12
Ç<˚ $<ÛëHêìï ø=qkÕ–ùdÔ @s¡Œ&˚ >∑TDÁX‚&çÛ :
3, 6, 12, 24,..... .

−1
ñ<ëVü≤s¡D-17. a = 256, r =
2
nsTTq >∑TDÁX‚&ìçÛ sêj·TTeTT ?
kÕ<Ûqä : >∑TDÁX‚&çÛ kÕ<Ûës¡D s¡÷|üeTT = a, ar, ar2, ar3, .....
2 3
⎛ −1 ⎞ ⎛ −1 ⎞ ⎛ −1 ⎞
= 256, 256 ⎜ ⎟ , 256 ⎜ ⎟ , 256 ⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
= 256, −128, 64, −32 ......

−1
ñ<ëVü≤s¡D-18. >∑TDÁX‚&çÛ 25, −5, 1, jÓTTø£ÿ kÕe÷q´ ìwüŒ‹Ôì ø£qT>=qTeTT.
5
kÕ<Ûqä : ˇø£ >∑TDÁX‚&˝çÛ À yÓTT<ä{,Ï s¬ +&Ée, eT÷&Ée .... |ü<ë\T es¡Tdü>± a1, a2, a3 .... nsTTq kÕe÷q´
a2 a3
ìwüŒ‹Ô r= = = .....
a1 a2

Ç#·Ã≥ a1 = 25, a2 = −5, a3 = 1 ø£qTø£.

−5 1 −1
kÕe÷q´ ìwüŒ‹Ô r= = = .
25 −5 5

ñ<ëVü≤s¡D-19. ÁøÏ+~ C≤_‘ê\˝À @$ >∑TDÁX‚&TÉÛ \T ne⁄‘êsTT ?

(i) 3, 6, 12, ..... (ii) 64, −32, 16,

1 1 1
(iii) , , ,......
64 32 8

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 ÁX‚&TÉÛ \T 151

kÕ<Ûqä : (i) a1, a2, a3, .....an ..... \T >∑TDÁX‚&çÛ ø±e˝…qqï |ü<ë\ìï düTHêï\T ø±≈£L&É<Tä eT]j·TT
a2 a a
= 3 = ..... n = r
a1 a2 an −1

Ç#·Ã≥ n˙ï düTHêï ø±˙ |ü<ë˝Ò. Ç+ø±

a2 6
= =2
a1 3

a3 12
eT]j·TT = =2
a2 6
a2 a3
= = 2
a1 a2

nq>± Çe«ã&çq C≤_‘ê ˇø£ >∑TDÁX‚&ìçÛ @s¡Œs¡TdüT+Ô ~. Bì kÕe÷q´ìwüŒ‹Ô R 2.

(ii) nìï |ü<ë\T düTHêï ø±˙ |ü<ë˝Ò, eT]j·TT
a2 −32 −1
= =
a1 64 2

a3 16 −1
eT]j·TT = =
a1 −32 2
a2 a3 −1
∴ = =
a1 a2 2
−1
nq>± Çe«ã&çq C≤_‘ê ˇø£ >∑TDÁX‚&ìçÛ @s¡Œs¡TdüT+Ô ~. Bì kÕe÷q´ ìwüŒ‹Ô R .
2
(iii) nìï |ü<ë\T düTHêï ø±ì |ü<ë˝Ò. eT]j·TT
1
a2
= 32 = 2
a1 1
64

1
a3
= 8 =4
a2 1
32
a2 a
Ç#·Ã≥ ≠ 3
a1 a2
nq>± Çe«ã&çq dü+K´\ C≤_‘ê >∑TDÁX‚&ìçÛ @s¡Œs¡#<· Tä .

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 152 10e ‘·s>¡ ‹∑ >∑D‘Ï +·

nuÛ≤´düeTT - 6.4
1. á ÁøÏ+~ dü+|òTü ≥q\˝À @s¡Œ&˚ dü+K´\ C≤_‘ê\˝À @$ >∑TDÁX‚&TÉÛ \qT @s¡Œs¡TkÕÔsTT?
(i) wü]à\ jÓTTø£ÿ yÓTT<ä{Ï dü+ˆˆeTT J‘·eTT 5,00,000/- Ä ‘·s¡Teyê‘· Á|ü‹ dü+ˆˆeTT eTT+<äTqï
dü+ˆˆeTT jÓTTø£ÿ J‘·eTT˝À 10% ô|s¡T>∑T‘·T+~.
(ii) 30 yÓT≥T¢ e⁄qï ˇø£ yÓT≥¢ e+‘Óq˝À nìï+{Ï ø£+fÒ ÁøÏ+<ä e⁄qï yÓT≥Tº ìsêàD≤ìøÏ 100
Ç≥Tø£\T nedüs¡+. Ä ô|’ Á|ü‹ ô|’yÓT≥Tº ìsêàD≤ìøÏ <ëì ÁøÏ+<ä yÓT≥Tº ìsêàD≤ìøÏ
ø±e\dæq yêì ø£+fÒ 2 Ç≥Tø£\ ‘·≈£îÿe nedüs¡yÓTÆq Á|ü‹ yÓT≥Tº ìsêàD≤ìøÏ nedüs¡eTj˚T´
Ç≥Tø£\ dü+K´\ C≤_‘ê.
(iii) 24 ôd+.MT uÛÑT»+ bı&Ée⁄>∑\ ˇø£
düeTu≤VüQ Á‹uÛÑT»eTT, jÓTTø£ÿ uÛÑTC≤\
eT<Ûä´ _+<äTe⁄\qT ø£\|ü≥+ e\¢ 24 24
s¬ +&Ée Á‹uÛTÑ »eTT, <ëì uÛTÑ C≤\ eT<Û´ä
_+<äTe⁄\qT ø£\|ü≥+ e\¢ eT÷&Ée
Á‹uÛÑT»y˚Ts¡Œ&ÉTqT. á $<ÛëHêìï
nq+‘·+>± ø=qkÕ–ùdÔ yÓTT<ä{,Ï s¬ +&Ée,
eT÷&Ée .... Á‹uÛTÑ C≤\ #·T≥Tºø=\‘·\T. 24

2. >∑TDÁX‚&çÛ jÓTTø£ÿ yÓTT<ä{Ï |ü<eä TT a, kÕe÷q´ìwüŒ‹Ô r \T ÁøÏ+<ä Çe«ã&ܶsTT. nsTTq yÓTT<ä{Ï eT÷&ÉT
|ü<ë\qT sêj·TTeTT?
1
(i) a=4 r=3 (ii) a= 5 r=
5
−1 1
(iii) a = 81 r = (iv) a= r=2
3 64
3. ÁøÏ+~ yêì˝À @$ >∑TDÁX‚&TÉÛ \T? >∑TDÁX‚&çÛ nsTT‘˚ ‘·sT¡ yê‘· e#˚à eT÷&ÉT |ü<ë\qT sêj·TTeTT?
1 −1 1
(i) 4, 8, 16 ..... (ii) , , .....
3 6 12
(iii) 5, 55, 555, .... (iv) −2, −6, −18 .....

1 1 1
(v) , , ..... (vi) 3, −32, 33, .....
2 4 6

1 1 8
(vii) x, 1, ,..... (viii) , − 2, .....
x 2 2
(ix) 0.4, 0.04, 0.004, .....

4. x, x + 2, x + 6 \T ˇø£ >∑TDÁX‚&Ûç˝À eT÷&ÉT es¡Tdü |ü<ë˝…’q x $\TeqT ø£qT>=qTeTT ?

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 ÁX‚&TÉÛ \T 153

6.6 >∑TDÁX‚&Ûç jÓTTø£ÿ n e |ü<äeTT

ˇø£ düeTdü´qT |ü]o*<ë›+. Á|ü‹ >∑+≥≈£î 3 s¬ ≥T¢ nj˚T´ ˇø£ u≤´ø°]º j·÷ ø£\ÃsY˝À yÓTT<ä{Ï >∑+≥˝À
30 u≤´ø°]º j·÷\T e⁄qï 4e >∑+≥ düeTj·T+˝À e⁄+&˚ u≤´ø°]º j·÷\ dü+K´ m+‘· ?
BìøÏ düe÷<Ûëq+ ø=s¡≈î£ yÓTT<ä{ s¬ +&Ée >∑+≥˝À u≤´ø°]º j·÷\ dü+K´qT ø=qT>=+<ë+.
Á|ü‹ >∑+≥≈£î 3 s¬ ≥T¢ ne⁄‘·T+~ ø£qTø£
s¬ +&Ée >∑+≥˝À u≤´ø°]º j·÷ dü+K´ = 3 × yÓTT<ä{Ï >∑+≥˝Àì u≤´ø°]º j·÷ dü+K´
= 3 × 30 = 30 × 31
= 30 × 3(2-1)
= 90
eT÷&Ée >∑+≥˝À u≤´ø°]º j·÷ dü+K´ = 3 × s¬ +&Ée >∑+≥˝Àì u≤´ø°]º j·÷ dü+K´
= 3 × 90 = 30 × (3×3)
= 30 × 32 = 30 × 3(3-1)
= 270
Hê\Ze >∑+≥˝À u≤´ø°]º j·÷ dü+K´ = 3 × eT÷&Ée >∑+≥˝À u≤´ø°]º j·÷ dü+K´
= 3 × 270 = 30 × (3×3×3)
= 30 × 33 = 30 × 3(4-1)
= 810
Ç#·Ã≥ eTq+ ˇø£ dü+K´\ C≤_‘êqT bı+<ä≥+ >∑eTì+#·>\∑ +. n~
30, 90, 270, 810, ....
ô|’ C≤_‘ê ˇø£ >∑TDÁX‚&çÛ (m+<äT≈£î ?)
ô|’ neT]ø£ qT+∫ 20 >∑+≥\ düeTj·TeTT˝À e⁄+&˚ u≤´ø°]º j·÷ dü+K´qT ø£qT>=q>∑\yê ?
ô|’ $<ÛëHêìï nqTdü]+∫ ˝Ò<ë ô|’ neT]ø£ Ä<Ûës¡+>± düT\uÛ+Ñ >± eTq+ 20 >∑+ˆˆ\ düeTj·T+˝À e⁄+&˚
u≤´ø°]º j·÷ dü+K´qT ÁøÏ+~ $<Û+ä >± ø£qT>=q>∑\+.
= 30 × (3 × 3 × ... × 3)
19 kÕs¡T¢

= 30 × 319 = 30 × 3(20-1)
á ñ<ëVü≤s¡D qT+∫ eTq+ düT\uÛ+Ñ >± 25e |ü<eä TTqT, 35e |ü<eä TTqT Ç+ø± ne |ü<eä TTqT
≈£L&Ü ø£qT>=q\+.
a1, a2, a3 ..... ˇø£ >∑TDÁX‚&çÛ eT]j·TT Bì kÕe÷q´ ìwüŒ‹Ôì r nqT≈£î+<ë+.

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 154 10e ‘·s>¡ ‹∑ >∑D‘Ï +·

s¬ +&Ée |ü<+ä a2 = ar = ar(2-1)

eT÷&Ée |ü<+ä a3 = a2×r = (ar) × r = ar2 = ar(3-1)
Hê\Ze |ü<+ä a4 = a3×r = ar2 × r = ar3 = ar(4-1)
................................................
................................................
ô|’ neT]ø£ qT+∫ n e |ü<eä TT an = arn-1 nì ìsê›]+#·>\∑ eTT.
nq>± yÓTT<ä{Ï |ü<eä TT a, kÕe÷q´ ìwüŒ‹Ô r >± >∑\ ˇø£ >∑TDÁX‚&çÛ jÓTTø£ÿ ne |ü<eä TT an = arn-1.

Ç|ü⁄&ÉT ø=ìï ñ<ëVü≤s¡D\qT |ü]o*<ë›+.

5 5 5
ñ<ëVü≤s¡D-20. , , ....... >∑TDÁX‚&çÛ jÓTTø£ÿ 20e |ü<eä TTqT eT]j·TT ne |ü<eä TTqT ø£qT>=qTeTT?
2 4 8

5
5 1
kÕ<Ûqä : Ç#·Ã≥ a= eT]j·TT r= 4 =
2 5 2
2

19
5⎛1⎞ 5
∴ a20 = ar 20−1 = ⎜ ⎟ =
2⎝ 2⎠ 210

n −1
5⎛1⎞ 5
eT]j·TT an = ar n−1 = ⎜ ⎟ =
2⎝ 2⎠ 2n

ñ<ëVü≤s¡D-21. 2, 2 2 , 4 ..... >∑TDÁX‚&˝çÛ À mqïe |ü<eä TT 128 ne⁄‘·T+~?

2 2
kÕ<Ûqä : Ç#·Ã≥ a=2 r= = 2
2
ne |ü<eä TT R 128 nqTø=ìq
an = arn−1 = 128

2.( 2)n−1 = 128

( 2) n−1 = 64
n−1
(2) 2 = 26

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 ÁX‚&TÉÛ \T 155

n −1
⇒ =6
2
∴ n = 13.
nq>± 13e |ü<eä TT 128 ne⁄‘·T+~.
ñ<ëVü≤s¡D-22. ˇø£ >∑TDÁX‚&˝çÛ À 3e |ü<eä TT 24 eT]j·TT 65 e |ü<eä TT 192 nsTTq 10e |ü<eä TTqT
ø£qT>=qTeTT?
kÕ<Ûqä : Ç#·Ã≥ a3 = ar2 = 24 ...(1)
a6 = ar5 = 195 ...(2)

ar 5 195
(2) qT (1) uÛ≤–+#·>± =
ar 2 24
⇒ r3 = 8 = 2 3
⇒ r =2
r $\TeqT (1)˝À Á|ü‹øπ |å +æ ∫ dü÷ø°àå ø£]+#·>± a = 6.
9 9
∴ a10 = ar = 6(2) = 3072.

nuÛ≤´düeTT -6.5

1. ÁøÏ+<ä Çe«ã&çq Á|ü‹>∑TDÁX‚&øçÛ Ï kÕe÷q´ìwüŒ‹Ôì, n e |ü<eä TTqT ø£qT>=qTeTT ?

3 3 3
(i) 3, , , ......... (ii) 2, −6, 18, −54
2 4 8
4 8
(iii) −1, −3, −9, −18 .... (iv) 5, 2, , .........
5 25
2. 5, 25, 125, ..... nH˚ >∑TDÁX‚&çÛ jÓTTø£ÿ 10e, ne |ü<ë\qT ø£qT>=qTeTT ?
3. ÁøÏ+~ >∑TDÁX‚&\çÛ ˝À ù|s=ÿqï |ü<ë\qT ø£qT>=qTeTT?
1 1
(i) a1 = 9; r = ; nsTTq a7 (ii) a1 = −12; r = ; nsTTq a6
3 3

4. (i) 2, 8, 32, ..... >∑TDÁX‚&˝

çÛ À mqïe |ü<eä TT 512 ne⁄‘·T+~ ?
(ii) 3, 3, 3 3 ...... >∑TDÁX‚&˝
çÛ À mqïe |ü<eä TT 729 ne⁄‘·T+~ ?
1 1 1 1
(iii) , , ..... >∑TDÁX‚&˝çÛ À mqïe |ü<eä TT ne⁄‘·T+~ ?
3 9 27 2187

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 156 10e ‘·s>¡ ‹∑ >∑D‘Ï +·

5. ˇø£ >∑TDÁX‚&çÛ jÓTTø£ÿ 8e |ü<eä TT 192 eT]j·TT kÕe÷q´ ìwüŒ‹Ô 2 nsTTq 12e |ü<eä TTqT ø£qT>=qTeTT?
2 16
6. ˇø£ >∑TDÁX‚&˝çÛ À Hê\Ze |ü<eä TT eT]j·TT 7e |ü<eä TT 81 nsTTq Ä ÁX‚&ìçÛ ø£q>=qTeTT ?
3

2 2 2
7. 162, 54, 18 ..... >∑TDÁX‚&çÛ eT]j·TT , , .... >∑TDÁX‚&TÉÛ \ n e |ü<ë\T düe÷qeTT nsTTq n
81 27 9
$\TeqT ø£qT>=qTeTT ?

◊∫äø£ nuÛ≤´düeTT
[Ç~ |üØø£å ø=s¡≈î£ ñ<˚•
› +∫q~ ø±<äT]
1. 121, 117, 113, . . ., n+ø£ÁX‚&˝
çÛ À mqïe |ü<eä TT
yÓTT<ä{Ï ãTTD|ü<eä TT ne⁄‘·T+~.
[dü÷#·q : an < 0 nj˚T´ $<Ûä+>± n $\Te 25 ôd+.MT.
ø£qT>=qTeTT]
2. ˇø£ n+ø£ÁX‚&˝çÛ À 3e, 7e |ü<ë\ yÓTT‘·eÔ TT 6
eT]j·TT yêì \ã›eTT 8 nsTTq yÓTT<ä{Ï 16
|ü<ë\ yÓTT‘·eÔ TT ø£qT>=qTeTT ?
3. ˇø£ ì#ÓÃq≈£î 25 yÓT≥T¢ ø£\e⁄. yÓT≥¢ jÓTTø£ÿ 1
bı&Ée⁄ ÁøÏ+<ä qT+∫ ô|ø’ Ï @ø£Ø‹q ‘·>T∑ ‘Z ÷· e⁄+∫, 2 MT.
2
ÁøÏ+<ä qT+∫ yÓTT<ä{Ï yÓT≥Tº bı&Ée⁄ 45 ôd+.MT.
eT]j·TT ô|q’ T+∫ yÓTT<ä{Ï yÓT≥Tº bı&Ée⁄
1
¬ +&ç+{Ï eT<Û´ä <ä÷s¡eTT 2
25 ôd+.MT. á s
2
MT.
nsTTq nìï yÓT≥¢ ‘·j÷· ØøÏ ø±e\dæq #Óøÿ£ bı&Ée⁄
m+‘·?)
25ôd+.MT.
250
[dü÷#·q : yÓT≥¢ dü+K´ = +1]
25 45 ôd+.MT.

4. ø=ìï Ç+&ÉT¢ ˇø£ es¡Tdü˝À ø£\e⁄. BìøÏ 1 qT+∫

49 es¡≈L£ dü+K´\qT øπ {≤sTT+#·≥+ »]–+~. @<ÓH’ ê ˇø£ Ç+{ÏøÏ øπ {≤sTT+∫q dü+K´qT x nqTø=+fÒ—
á Ç+{ÏøÏ eTT+<äT (Preceeding) e⁄qï Ç+&É¢ dü+K´\ yÓTT‘·eÔ TT, ‘·sT¡ yê‘· e⁄qï Ç+&É¢ dü+K´\ yÓTT‘·eÔ TT
düe÷q+ nj˚T´ $<Û+ä >± Ä Ç+{Ï dü+K´ x e´edæ‘ú e· Tì #·÷|ü+&ç? eT]j·TT x $\TeqT ø£qT>=qTeTT.
[dü÷#·q : Sn – 1 = S49 – Sn]

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 ÁX‚&TÉÛ \T 157

5. ÁøÏ+~ |ü≥eTT\T #·÷|æq $<Û+ä >± ˇø£ |ò⁄ü {Ÿu≤˝Ÿ Á>ö+&é˝À 15 yÓT≥T¢ >∑\ ˇø£ yÓT≥¢ k˛bÕqeTT ø£\<äT.
1 1
Bì˝À Á|ü‹ yÓT≥Tº bı&Ée⁄ 50 MT. eT]j·TT yÓ&\É TŒ 2 MT. yÓTT<ä{Ï yÓT≥Tº uÛ÷Ñ $T qT+∫ 4
MT. m‘·T˝Ô À
1
eT]j·TT Á|ü‹ yÓT≥Tº <ëì eTT+<äTqï yÓT≥Tº≈î£ 4 MT. m‘·T˝Ô À e⁄qï Ä yÓT≥¢ k˛bÕHêìï ì]à+#·&ÜìøÏ
ø±e\dæq ø±+Áø°{Ÿ jÓTTø£ÿ |òTü q|ü]e÷DeTTqT ø£qT>=qTeTT ?
1 1 3
[dü÷#·q : yÓTT<ä{Ï k˛bÕq+ ì]à+#·T≥ø≈£î ø±e*‡q ø±+Áø°≥T |òTü q|ü]e÷D+ = × × 50 MT. ]
4 2

1
m
MT.
50m
T.
2
M
1
m
MT.
4

6. ˇø£ |üìì |üP]Ô #˚jT· T≥≈£î 150 eT+~ ≈£L©\qT ìj·T$T+#ês¡T. nsTT‘˚ s¬ +&Ée s√E yê]‘√ 4
>∑Ts¡T |üì˝ÀøÏ sêe≥+ e÷qT≈£îHêïs¡T. eT÷&Ée s√E eT] q\Tx>∑Ts¡T e÷qT≈£îHêïs¡T. Á|ü‹s√p
á $<Û+ä >± »s¡>≥∑ + e\¢ Ä |üì |üP]Ô ø±e&ÜìøÏ nqT≈£îqï s√E\ ø£+fÒ 8 s√E\T m≈£îÿe nedüs+¡
nsTT´+~. nsTTq Ä |üì |üP]Ô ø±e&ÜìøÏ |ü{qºÏ yÓTT‘·+Ô s√E mìï ?
[dü÷#·q : ÁbÕs¡+uÛ+
Ñ ˝À |üì |üP]Ô ø±e&ÜìøÏ nedüse¡ Tj˚T´ s√E\ dü+K´qT ‘x’ nqTø=+fÒ
x+8
150 x = [2 × 150 + ( x + 8 − 1)( −4)]
2
[»yêãT: x = 17 ⇒ x + 8 = 17 + 8 = 25]
7. ˇø£ j·T+Á‘·eTT yÓ\ Rs. 5,00,000/-. yÓTT<ä{Ï dü+e‘·‡s¡eTT Bì yÓ\˝À ‘·>T∑ <Z \ä 15%, s¬ +&Ée
1
dü+e‘·‡s¡eTT 13 2 % , eT÷&Ée dü+ˆˆeTT 12% .... á $<ÛëqeTT ø=qkÕ–+#·ã&çq 10 dü+e‘·‡s¡eTT\
nq+‘·se¡ TT <ëì yÓ\ m+‘·? Çe«ã&çq XÊ‘ê\˙ï ÁbÕs¡+uÛyÑ \Ó ô|q’ H˚ ù|s=ÿq&É+ »]–+~.
1
[dü÷#·q : yÓTT‘·+Ô ‘·>T∑ <Z \ä = 15 + 13 2 +12+....10 |ü<ë\T
10
Sn = [30 − 13.5] = 82.5%
2
∴ 10 dü+ˆˆ nq+‘·se
¡ TT <ëì yÓ\ =100 − 82.5 = 17.5 (nq>± 5,00,000 ˝À 17.5%)

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 158 10e ‘·s>¡ ‹∑ >∑D‘Ï +·

eTq+ @$T #·]Ã+#ê+

á n<Ûë´j·T+˝À eTqeTT #·]Ã+∫q n+XÊ\T
1. ˇø£ dü+K´\ C≤_‘ê˝À yÓTT<ä{Ï |ü<eä TT ‘·|Œü $T–*q |ü<ë\T nqìï yêì eTT+<äTqï |ü<ë\≈£î ˇø£
dæsú ¡ dü+K´qT ø£\|ü≥+ e\¢ @s¡Œ&ÉT‘·÷ e⁄+&˚ Ä C≤_‘êqT n+ø£ÁX‚&çÛ n+{≤s¡T. ø£*ù| dæsú ¡ dü+K´qT
kÕe÷q´uÒ<eäÛ TT n+{≤s¡T.
AP ˝À |ü<ë\T es¡Tdü>± a, a + d, a + 2d, a + 3d, . . .
2. a1, a2, a3, . . . dü+K´\ C≤_‘ê˝À a2 – a1, a3 – a2, a4 – a3, . . ., $\Te\T düe÷qyÓTq Æ nq>±
ak + 1 – ak $\Te dæs ú y¡ TÓ qÆ Ä C≤_‘êqT n+ø£ÁX‚&çÛ n+{≤eTT.
3. yÓTT<ä{Ï |ü<eä TT a >±, |ü<ë+‘·se¡ TT d >± >∑\ ˇø£ n+ø£ÁX‚&˝çÛ À n e |ü<eä TT an = a + (n – 1) d.
4. n+ø£ÁX‚&˝çÛ À yÓTT<ä{Ï n |ü<ë\ yÓTT‘·eÔ TT
n
S = [2a + ( n − 1) d ]
2
5. ˇø£ n+ø£ÁX‚&˝çÛ À ∫e] |ü<ë\ yÓTT‘·eÔ TT l nsTTq |ü<ë\ yÓTT‘·eÔ TT
n
S= ( a + l ) . Ç#·Ã n |ü<ë\ dü+K´.
2
6. ˇø£ dü+K´\ C≤_‘ê˝À yÓTT<ä{Ï |ü<eä TT ‘·|Œü $T–*q |ü<ë\T n˙ï yêì eTT+<äTqï |ü<ë\qT ˇø£ dæsú ¡
dü+K´#˚ >∑TDÏ+#·≥+ e\¢ @s¡Œ&ÉT‘·÷ e⁄+fÒ Ä C≤_‘êqT >∑TDÁX‚&çÛ n+{≤s¡T. Ä dæsú ¡ dü+K´qT
kÕe÷q´ ìwüŒ‹Ô n+{≤s¡T.
7. yÓTT<ä{Ï |ü<eä TT a , kÕe÷q´ ìwüŒ‹Ô r >± >∑\ >∑TDÁX‚&˝çÛ À ne |ü<eä TT an = arn-1.

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 ìs¡÷|üø£ sπ U≤>∑D‘Ï +· 159

n<Ûë´j·TeTT

7 ìs¡÷|üø£ sπ U≤>∑D‘
Ï +·
(Coordinate Geometry)

7.1 |ü]#·j·T+
MT≈£î #·<sä +¡ >∑+ >∑T]+∫ ‘Ó\TdüT ø£<÷ä ! n+<äT˝À >∑Ti¿+ ‘L’ Äø±s¡+˝À (¬s+&ÉT k˛bÕHê\T eTT+<äT≈£î
ˇø£ k˛bÕq+ Á|üøÿ£ ≈£î »s¡T>∑T‘·T+~) ø£<Tä \T‘·T+~. |ü≥+ #·÷&É+&ç.
Ç+ø± á >∑Ti¿+ $T>∑‘ê bÕe⁄\MT~ qT+&ç <äT$TøÏ b˛‘·T+~
≈£L&Ü. n<˚$<Ûä+>± ˇ+f… mìï k˛bÕHê\ es¡≈£î M\sTT‘˚
n+‘·es¡≈î£ ø£sêí\ yÓ+ã&ç ø£<Tä \T‘·T+~.
A B
#·<äs¡+>∑+˝À $T–*q bÕe⁄\T m˝≤ ø£<äT\T‘êjÓ÷ H C

‘Ó\TdüTø√+&ç. n<˚$<Û+ä >± >∑Ti¿+, ˇ+f… eT]j·TT $T–*q bÕe⁄\

kÕúHê\qT #·<sä +¡ >∑+ uÀs¡Tô¶ |’ >∑T]Ô+∫ n$ m˝≤ ø£<Tä \T‘êjÓ÷
G D
>∑eTì+#·+&ç.
F E
i. >∑Ti¿+ jÓTTø£ÿ kÕúq+ eT÷\_+<äTe⁄ (0, 0) e<ä› ñqï<äqT
ø=+<ë+. <ëì jÓTTø£ÿ ø£<*ä ø£ Hê\T>∑T yÓ|’ ⁄ü ˝≤ m˝≤ ñ+<√
|ü≥+˝À #·Tø£ÿ\ ^‘·˝‘√ #·÷|üã&çq~. >∑Ti¿+ jÓTTø£ÿ $$<Ûä ø£<*ä ø£\ ‘·sê«‘· <ëì kÕúHê\qT |ü]o*+∫,
ÄkÕúHê\ ìs¡÷|üø±\qT ø£qT>=q+&ç.
Ç$ #˚jT· +&ç
i. Á|üøÿ£ |ü≥+ qT+&ç A, B, C, D, E, F, G, H _+<äTe⁄\ ìs¡÷|üø±\T ø£qT>=q+&ç.
ii. 8 ø£<*
ä ø£\‘·sê«‘· >∑Ti¿+ ø£~*q <ä÷s¡+ ø£qT>=q+&ç.
nq>± eT÷\_+<äTe⁄ (0, 0) qT+&ç A, B, C, D, E, F, G, H _+<äTe⁄\ eT<Û´ä <ä÷s¡+qT ø£qT>=q+&ç.
iii. _+<äTe⁄\T H eT]j·TT C \ eT<Û´ä <ä÷s¡yTÓ +‘·? n˝≤π> _+<äTe⁄\T A eT]j·TT B \ eT<Û´ä <ä÷s¡yTÓ +‘· ?

7.2 ¬s+&ÉT _+<äTe⁄\ eT<Ûä´ <ä÷s¡+

_+<äTe⁄\T A(2, 0) eT]j·TT B(6, 0) X-nø£+å ô|’ (|ü≥+˝À #·÷|æq≥T¢>±) ñqï≥¢sTT‘˚ _+<äTe⁄\T A
eT]j·TT B eT<Û´ä <ä÷s¡+ 4 j·T÷ì≥T¢ nì |ü≥+ <ë«sê düT\uÛ+Ñ >± ‘Ó\TdüTø√e#·TÃ.
@yÓH’ ê s¬ +&ÉT _+<äTe⁄\T X-nø£+å ô|’ ñqï≥¢sTT‘˚ Ä _+<äTe⁄\˝Àì x-ìs¡÷|üø±\ eT<Û´ä e´‘ê´dü+
Ä _+<äTe⁄\ eT<Û´ä <ä÷sêìï ‘Ó\T|ü⁄‘·T+~.

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 160 10e ‘·s>¡ ‹∑ >∑D‘Ï +·

Y
_+<äTe⁄\ A(−2, 0) eT]j·TT B(−6, 0) 9
8
eT<Û´ä <ä÷s¡yTÓ +‘·? 7
6
ô|’ _+<äTe⁄\˝Àì x ìs¡÷|üø±\ eT<Û´ä 5
e´‘ê´dü+ (−6) − (−2) = −4 (ãTTD$\Te) 4
3
2
<ä÷sêìï eTqyÓT|ü&É÷ ãTTD$\Te\˝À 1 A(2, 0) B(6, 0)
1
dü÷∫+#·eTT. X X
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-1
-2
n+<äTe\¢, <ä÷s¡+ jÓTTø£ÿ |üse¡ TeT÷\´ -3
$\TeqT ˝…øÿÏ kÕÔeTT. -4
-5
-6
ø±ã{Ϻô|’ A eT]j·TT B _+<äTe⁄\ -7
eT<Û´ä <ä÷s¡+ -8
-9
1
Y
= | (− 6) − (−2)| = |−4| = 4 j·T÷ì≥T¢

kÕ<Ûës¡D+>± X-nø£+å ô|’ ñqï _+<äTe⁄\T A(x1, 0), B(x2, 0) nsTT‘˚ yê{Ï eT<Û´ä <ä÷s¡+ |x2 − x1|
n<˚ $ <Û ä + >± , ¬ s +&É T _+<ä T e⁄\T 9
Y

Y`nø£+ å ô|’ ñqï≥¢sTT‘˚ Ä _+<äTe⁄\˝Àì Y 8

B (0, 7) 7
ìs¡ ÷ |ü ø ±\ eT<Û ä ´ e´‘ê´kÕìï Ä ¬ s +&É T 6
5
_+<äTe⁄\ eT<Û´ä <ä÷s¡+>± ‘Ó\T|üe#·TÃ. 4
3
_+<ä T e⁄\T (0, y 1), (0, y 2) \ A (0, 2) 2
1
eT<Û´ä <ä÷s¡+ |y2 − y1| ne⁄‘·T+~. X
1
X
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-1
ñ<ëVü ≤ s¡ D ≈£ î ¬ s +&É T _+<ä T e⁄\T -2
-3
A(0, 2) eT]j·TT B(0, 7) ñHêïj·TqTø√+&ç. -4
-5
A, B \ eT<Û´ä <ä÷s¡+ |7 − 2| = 5 j·T÷ì≥T¢. -6
-7
-8
-9
1
Y

Ç$ #˚j·T+&ç
1. (−4, 0), (2, 0), (6, 0), (−8, 0) _+<äTe⁄\T ìs¡÷|üø£ ‘·\+˝À mø£ÿ&É ñ+{≤sTT?
2. (−4, 0), (6, 0) _+<äTe⁄\ eT<Û´ä <ä÷s¡yTÓ +‘·?

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 ìs¡÷|üø£ sπ U≤>∑D‘Ï +· 161

Á|üj·T‹ï+#·+&ç.
1. (0, −3), (0, −8), (0, 6), (0, 4) _+<äTe⁄\T ìs¡÷|üø£ ‘·\+˝À mø£ÿ&É ñ+{≤sTT?
2. (0, −3), (0, −8) _+<äTe⁄\ eT<Û´ä <ä÷s¡yTÓ +‘·? n˝≤π> Y-nø£+å ô|’ ñqï _+<äTe⁄\ eT<Û´ä <ä÷s¡+
|y2 − y1| ne⁄‘·T+<äì #Ó|Œü >∑\yê?

Ä˝À∫+∫, #·]Ã+∫, sêj·T+&ç

s¬ +&ÉT _+<äTe⁄\˝Àì x ˝Ò<ë y ìs¡÷|üø±\T düe÷q+>± (0 ø±≈£î+&Ü) ñ+fÒ yê{Ï eT<Û´ä <ä÷s¡+
m˝≤ ø£qT>=+{≤e⁄?
7.3 ìs¡÷|üø£ nøå±\≈£î düe÷+‘·s¡+>± ñqï πsKô|’ >∑\ _+<äTe⁄\ eT<Ûä´<ä÷s¡+
s¬ +&ÉT _+<äTe⁄\T A(x1, y1) eT]j·TT B(x2, y1) ñHêïj·TqT≈£î+<ë+. M{Ï˝À y ìs¡÷|üø±\T düe÷q+
ø±ã{Ϻ á _+<äTe⁄\T X-nø£+å q≈£î düe÷+‘·s+¡ >± ñ+&˚ sπ Kô|’ ñ+{≤sTT.
X nø£+ å q≈£î \+ã+>± AP eT]j·TT BQ \qT ^j·T+&ç.
|ü{≤ìï |ü]o*+#·+&ç. A eT]j·TT B \ eT<Û´ä <ä÷s¡+ nH˚~ P eT]j·TT Q \ eT<Û´ä <ä÷sêìøÏ düe÷q+
ne⁄‘·T+~.
ø±ã{Ϻ,
A, B\ eT<Û´ä <ä÷s¡+=P, Q \ eT<Û´ä <ä÷s¡+
Y
= |x2 − x1| (x ìs¡÷|üø±\ eT<Ûä´ 9
8
e´‘ê´dü+) 7
6
5 A (x1, y1) B (x2, y1)
4
n<˚$<Û+ä >±, s¬ +&ÉT _+<äTe⁄\T A(x1, y1) 3
2
eT]j·TT B(x1, y2) \qT ø£\T|ü⁄ sπ K 1
1
X X
y` nøå±ìøÏ düe÷+‘·s+¡ >± ñ+≥T+~. -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 P 4 5 6 Q 8 9
-1
-2 (x2 - x1)
n|ü⁄&ÉT yê{Ï eT<Û´ä <ä÷s¡+ R |y2 − y1| -3
-4
-5
(yì ìs¡÷|üø±\ eT<Û´ä e´‘ê´dü+). -6
-7
-8
-9
1
Y

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 162 10e ‘·s>¡ ‹∑ >∑D‘Ï +·

ñ<ëVü≤s¡D-1. A (4,0) eT]j·TT B (8, 0) _+<äTe⁄\ eT<Û´ä <ä÷s¡+ m+‘·?

kÕ<Ûqä : ô|’ _+<äTe⁄\˝Àì x ` ìs¡÷|üøe£ TT\ eT<Û´ä e´‘ê´dü+ |x2 - x1| = |8 − 4| = 4 j·T÷ì≥T¢.

ñ<ëVü≤s¡D-2. A eT]j·TT B _+<äTe⁄\T es¡Tdü>± (8, 3), (−4, 3). A , B \ eT<Û´ä <ä÷sêìï ø£qTø√ÿ+&ç.
kÕ<Ûqä : (8, 3), (−4, 3) _+<äTe⁄\T ìs¡÷|üø£ ‘·\+˝À s¬ +&ÉT y˚sπ «s¡T bÕ<ë\˝À ñ+{≤sTT. eT]j·TT
y ìs¡÷|üø±\T düe÷q+.
AB eT<Û´ä <ä÷s¡+ = |x2 − x1| = |−4 − 8| = |−12| = 12 j·T÷ì≥T¢.

Ç$ #˚j·T+&ç.
øÏ+~ _+<äTe⁄\ eT<Û´ä <ä÷s¡+ ø£qT>=q+&ç.
i. (3, 8), (6, 8) ii. (−4,−3), (−8,−3) iii. (3, 4), (3, 8) iv. (−5,−8), (−5,−12)

A eT]j·TT B _+<äTe⁄\T es¡Tdü>± (4, 0),

Y
(0, 3) eT]j· T T eT÷\_+<ä T e⁄ ‘O’ 9
8
ñHêïj·TqT≈£î+<ë+. 7
|ü≥+ qT+&ç ΔAOB \+ãø√DÁ‹uÛTÑ »+ 6
5
OA = 4 j·T÷ì≥T¢ (x-ìs¡÷|üø+ £) 4
B (0, 3) 3
OB = 3 j·T÷ì≥T¢ (y-ìs¡÷|üø+ £) 2
1 A (4, 0)
nsTTq AB eT<Û´ä <ä÷s¡+ = ? X
1
X
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-1
ô|<’ ë∏ >∑sd¡ t dæ<ë›+‘·+qT ñ|üj÷Ó –+∫q -2
-3
AB2 = AO2 + OB2 -4

AB2 = 42 + 32 -5
-6
-7
AB = 16 + 9 = 25 = 5 ⇒ A, B\ -8
eT<Û´ä <ä÷s¡+ R 5j·T÷ì≥T¢. -9
Y
1

Ç$ #˚j·T+&ç
øÏ+<ä _+<äTe⁄\ eT<Û´ä <ä÷s¡+ ø£qT>=q+&ç.
(i) A(−2, 0) eT]j·TT B(0, 4) (ii) P(0, 5) eT]j·TT Q(−12, 0)

Á|üj·T‹ï+#·+&ç
eT÷\_+<äTe⁄ ‘O’ eT]j·TT _+<äTe⁄ A (7, 4) \ eT<Û´ä <ä÷s¡+ ø£qT>=q+&ç.

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 ìs¡÷|üø£ sπ U≤>∑D‘Ï +· 163

Ä˝À∫+∫, #·]Ã+∫, sêj·T+&ç

s¬ +&ÉT _+<äTe⁄\T ìs¡÷|üø‘£ \· +˝Àì y˚sπ «s¡T bÕ<ë\˝À ñ+fÒ yê{Ï eT<Û´ä <ä÷s¡+ m˝≤ ø£qT>=+{≤s¡T?
7.4 ìs¡÷ø£‘·\+˝Àì @y˚ì ¬s+&ÉT _+<äTe⁄\ (ˇø£πsKô|’ >∑\) eT<Ûä´<ä÷s¡+
A(x1, y1) eT]j·TT B(x2, y2)\T ìs¡÷|üø‘£ \· +˝À ˇø£sπ Kô|’ ñqï _+<äTe⁄\T nqTø=+fÒ (|ü≥+˝À
#·÷|æq≥T¢)
X-nø£+ å ô|ø’ Ï AP eT]j·TT BQ \+ãπsK\qT ^j·T+&ç.
_+<äTe⁄ A qT+&ç BQ sπ Kô|ø’ Ï \+ãπsK (Re<ä≈› î£ ) AR qT ^j·T+&ç.
n|ü⁄&ÉT OP = x1, OQ = x2(m+<äT≈£î?)
n˝≤π> PQ = OQ − OP = x2 − x1
|ü ≥ +˝À APQR Äø±sêìï
Y
|ü]o*+#·+&ç. APQR ˇø£ Bs¡#È ‘· T· s¡Ádü+. 9
8
ø±ã{Ϻ PQ = AR = x2 − x1. 7
B (x2, y2)
6
n˝≤π> QB = y2, QR = y1, 5
(y2 - y1)
A (x1, y1)
BR = QB − QR = y2 − y1 4 R
3 (x2 - x1)
ΔARB \+ãø√DÁ‹uÛTÑ »+ qT+&ç 2
1
AB2 = AR2 + RB2 X
1
X
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 P 4 5 6 Q 8 9
(ô|<
’ ë∏ >∑sd¡ t dæ<ëΔ+‘·+ qT+&ç) -1
-2 (x2 - x1)
AB2 = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 -3
-4
-5
∴ AB = ( x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2 -6
-7
ø±ã{Ï º A eT]j· T T B _+<ä T e⁄\ -8
eT<Û´ä <ä÷s¡+q≈£î -9
1
Y

dü÷Á‘·+ d = ( x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2 .

Ä˝À∫+∫, #·]Ã+∫, sêj·T+&ç

1. sêeTT, _+<äTe⁄ P(x1, y1) eT]j·TT eT÷\_+<äTe⁄ O(0, 0) \ eT<Û´ä <ä÷s¡+ x2 + y 2 nì ‘Ó*ô|qT.
˙e⁄ sêeTT ‘Ó*|æq <ëì‘√ @ø°u$ÑÛ düTHÔ êïyê? ˝Ò<ë? m+<äT≈£î?
2. sêeTT s¬ +&ÉT _+<äTe⁄\ eT<Û´ä <ä÷sêìï á$<Û+ä >± sêXÊ&ÉT.
AB = ( x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2 m+<äT≈£î?

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 164 10e ‘·s>¡ ‹∑ >∑D‘Ï +·

ñ<ëVü≤s¡D-3. _+<äTe⁄\T A(4, 2) eT]j·TT B(8, 6) \ eT<Û´ä <ä÷sêìï ø£qT>=q+&ç.

kÕ<Ûqä : ô|’ _+<äTe⁄\qT (x1, y1), (x2, y2)\‘√ b˛\Ã>±
x1 = 4, x2 = 8, y1 = 3, y2 = 6
s¬ +&ÉT _+<äTe⁄\ eT<Û´ä <ä÷s¡+ ø£qT>=qT dü÷Á‘·+ ñ|üj÷Ó –+∫q
AB eT<Û´ä <ä÷s¡+ = d = ( x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2

= (8 − 4)2 + (6 − 3)2 = 42 + 32

= 16 + 9 = 25 = 5 j·T÷ì≥T¢.

Ç$ #˚j·T+&ç
øÏ+<ä Çe«ã&çq _+<äTe⁄\ eT<Û´ä <ä÷s¡+ ø£qT>=q+&ç.
(i) (7, 8) eT]j·TT (−2, 3) (ii) (−8, 6) eT]j·TT (2, 0)

Á|üj·T‹ï+#·+&ç
ˇø£ sπ U≤K+&É+ AB jÓTTø£ÿ ‘=*, ∫e] _+<äTe⁄\T A(1, −3) eT]j·TT B(−4, 4). nsTTq
AB eT<Û´ä <ä÷sêìï <ä>]
Z∑ <äXÊ+XÊ\≈£î ø£qT>=q+&ç.

Ä˝À∫+∫, #·]Ã+∫, sêj·T+&ç

l<Ûsä Y s¬ +&ÉT_+<äTe⁄\T T(5, 2) eT]j·TT R(−4, −1) \ eT<Û´ä <ä÷s¡+ 9.5 j·T÷ì≥T¢>± ˝…øÿÏ +#ê&ÉT.
Ç|ü⁄&ÉT MTs¡T s¬ +&ÉT _+<äTe⁄\T P (4, 1) eT]j·TT Q (−5, −2)\ eT<Û´ä <ä÷sêìï ø£qT>=q+&ç. MTs¡T
≈£L&Ü l<Ûsä Y bı+~q düe÷<ÛëHêH˚ï bı+<ësê? m+<äT≈£î?

Ç|ü&ÉT ø=ìï ñ<ëVü≤s¡D\T |ü]o*<ë›+.

ñ<ëVü≤s¡D-4. _+<äTe⁄\T A (4, 2), B (7, 5) eT]j·TT C (9, 7) ˇπø düsfi¡ sπ¯ Kô|’ ñHêïj·Tì #·÷|ü+&ç.
kÕ<Ûqä :A, B, C \T ˇπø sπ Kô|’ ñqï$ nqTø=ìq Bì qT+&ç AB G BC R AC
Ç|ü⁄&ÉT eTq+ AB, BC, AC \ eT<Û´ä <ä÷s¡+ ø£qT>=+<ë+.
_+<äTe⁄\ eT<Û´ä <ä÷s¡+ dü÷Á‘·+ = d = ( x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 ) 2 qT ñ|üj÷Ó –+∫

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 ìs¡÷|üø£ sπ U≤>∑D‘Ï +· 165

d = AB = (7 − 4) 2 + (5 − 2)2 = 32 + 32 = 9 + 9 = 18

= 9× 2 = 3 2 j·T÷ì≥T¢.
BC = (9 − 7)2 + (7 − 5) 2 = 22 + 22 = 4 + 4 = 8 = 2 2 j·T÷ì≥T¢
AC = (9 − 4)2 + (7 − 2) 2 = 52 + 52 = 25 + 25 = 50

= 25 × 2 = 5 2 j·T÷ì≥T¢.
Ç|ü⁄&ÉT AB + BC = 3 2 + 2 2 = 5 2 = AC.
Bì qT+&ç AB + BC R AC ì dü+‘·è|æ|Ô sü T¡ düT+Ô ~. ø±ã{Ϻ _+<äTe⁄\T (4, 2), (7, 5) eT]j·TT
(9, 7) \T ˇπø düsfi
¡ sπ¯ Kô|’ ñqï$.
(ˇπø düsfi¡ sπ¯ Kô|’ ñqï _+<äTe⁄\qT düsπ Fj·T _+<äTe⁄\T n+{≤s¡T).
ñ<ëVü≤s¡D-5. _+<äTe⁄\T (3, 2), (−2, −3) eT]j·TT (2, 3) \T Á‹uÛTÑ C≤ìï @s¡Œs¡TkÕÔj÷· ?
kÕ<Ûqä : Ç∫Ãq _+<äTe⁄\T P(3, 2), Q(−2, −3), R(2, 3) \‘√ dü÷Á‘êqTï|üj÷Ó –+∫ PQ, QR, PR \
eT<Û´ä <ä÷s¡+ ø£qT>=+<ë+.
PQ= ( −2 − 3)2 + ( −3 − 2 )2 = ( −5)2 + ( −5)2 = 25 + 25 = 50 =7.07j·T÷ì≥T¢ (düTe÷s¡T>±)

( 2 − ( −2) ) + ( 3 − ( −3) )
2 2
QR = = ( 4 )2 + ( 6 )2 = 52 = 7.21 j·T÷ì≥T¢ (düTe÷s¡T>±)

PR = ( 2 − 3 )2 + ( 3 − 2 ) 2 = ( −1)2 + 12 = 2 = 1.41 j·T÷ì≥T¢ (düTe÷s¡T>±)

ô|’ yê{Ï jÓTTø£ÿ <ä÷s¡eTT\≈£î #Ó+~q $\Te\˝À @ s¬ +&ÉT $\Te\ yÓTT‘·+Ô eT÷&Ée<ëìø£+fÒ m≈£îÿe.
nì >∑eTì+#·e#·TÃ. (ªªÁ‹uÛTÑ »+˝À @yÓH’ ê s¬ +&ÉT uÛTÑ »eTT\ bı&Ée⁄\ yÓTT‘·+Ô eT÷&Ée <ëìø£+fÒ m≈£îÿeμμ.)
ø±ã{Ïôº |’ _+<äTe⁄\T P, Q eT]j·TT R \T ˇø£ $wüeTu≤VüQ Á‹uÛTÑ C≤ìï @s¡Œs¡TkÕÔsTT.
ñ<ëVü≤s¡D-6. _+<äTe⁄\T (1, 7), (4, 2), (−1, −1) eT]j·TT (−4, 4)\T ˇø£ #·‘T· s¡Ádü+ jÓTTø£ÿ osê¸\T
ne⁄‘êj·Tì #·÷|ü+&ç
kÕ<Ûqä : Ç∫Ãq _+<äTe⁄\T A(1, 7), B(4, 2), C(−1, −1) eT]j·TT D(−4, 4) \T nqT≈£î+<ë+.
ô|’ _+<äTe⁄\T #·‘T· s¡ÁdüeTTqT @s¡Œs¡#ê\+fÒ yê{Ï <ë«sê @s¡Œ&˚ #·‘T· s¡T“¤»+˝Àì nìï uÛTÑ C≤\ bı&Ée⁄\T
düe÷q+ ø±yê* eT]j·TT ø£sêí\ bı&Ée⁄\T ≈£L&Ü düe÷q+ ø±yê*.
ø±ã{Ï,º uÛTÑ C≤\ bı&Ée⁄\T
AB = d = (1 − 4)2 + (7 − 2)2 = 9 + 25 = 34 j·T÷ì≥T¢

BC = (4 + 1)2 + (2 + 1)2 = 25 + 9 = 34 j·T÷ì≥T¢

CD = (−1 + 4)2 + (−1 − 4)2 = 9 + 25 = 34 j·T÷ì≥T¢

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 166 10e ‘·s>¡ ‹∑ >∑D‘Ï +·

( −4 − 1) + ( 4 − 7 )
2 2
DA = = 25 + 9 = 34 j·T÷ì≥T¢
eT]j·TT ø£sêí\T AC = (1 + 1)2 + (7 + 1)2 = 4 + 64 = 68 j·T÷ì≥T¢
BD = (4 + 4)2 + (2 − 4)2 = 64 + 4 = 68 j·T÷ì≥T¢

uÛTÑ C≤\ AB = BC = CD = DA eT]j·TT ø£sêí\T AC = BD. ø±ã{Ϻ @s¡Œ&çq #·‘T· s¡T“¤»+˝À Hê\T>∑T
uÛTÑ C≤\ bı&Ée⁄\T düe÷q+ eT]j·TT ø£sêí\ bı&Ée⁄\T ≈£L&Ü düe÷q+ nì ‘Ó\TdüT+Ô ~. ø±ã{Ϻ ABCD
nH˚~ ˇø£ #·‘T· s¡Ádü+ ne⁄‘·T+~.

ñ<ëVü≤s¡D-7. Á|üøÿ£ |ü≥+ ˇø£ ‘·s>¡ ‹∑ >∑~˝Àì &Ódÿt \

jÓTTø£ÿ neT]ø£qT #·÷|ædTü +Ô ~. 10

9
e÷<ÛTä ], MTq, |ü\$¢ \T es¡Tdü>± A(3, 1), B(6, 4)
8
eT]j·TT C(8, 6) kÕúHê\˝À ≈£Ls¡TÃHêïs¡T.
7
yês¡T eTT>∑TsZ ÷¡ ˇπø düsfi¡ sπ¯ K˝À ≈£Ls¡TÃHêïs¡ì MTs¡T 6
C

uÛ≤$düTHÔ êïsê ? 5

4 B
MT düe÷<ÛëHêìøÏ düs¬ q’ ø±s¡D+ ‘Ó\|ü+&ç.
3
kÕ<Ûqä : s¬ +&ÉT _+<äTe⁄\ eT<Û´ä <ä÷s¡+ dü÷Á‘·+qT|üj÷Ó –+∫
2

( 6 − 3) + ( 4 − 1) = 9 + 9 = 18 = 3 2
2 2
AB= 1
A

j·T÷ì≥T¢ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

BC= (18 − 6 ) + ( 6 − 4 )
2 2
= 4+4 = 8 = 2 2 j·T÷ì≥T¢
(8 − 3) + ( 6 − 1)
2 2
AC= = 25 + 25 = 50 = 5 2 j·T÷ì≥T¢
Bì qT+&ç AB + BC = 3 2 + 2 2 + 5 2 = AC. ø±ã{Ϻ A, B, C _+<äTe⁄\T düsπ Fj·÷\T.
ø±ã{Ϻ yês¡T eTT>∑TsZ T¡ ˇπø düsfi¡ sπ¯ K˝À ≈£Ls¡TÃHêïs¡T.

ñ<ëVü≤s¡D-8. _+<äTe⁄ (x, y) nqTq~ _+<äTe⁄\T (7, 1) eT]j·TT (3, 5) \≈£î düe÷q<ä÷s¡+˝À ñqï~
nsTTq x eT]j·TT y \ eT<Û´ä dü+ã+<Ûeä TTqT ø£qT>=q+&ç.
kÕ<Ûqä : _+<äTe⁄ P(x, y) nqTq~ _+<äTe⁄\T A(7, 1) eT]j·TT B(3, 5) \≈£î düe÷q<ä÷s¡+˝À ñqï~.
Bì qT+&ç AP = BP ø±ã{Ϻ, AP2 = BP2
(x – 7)2 + (y – 1)2 = (x – 3)2 + (y – 5)2
2 2 2 2
⇒ (x – 14x + 49) + (y – 2y + 1) = (x – 6x + 9) + (y – 10y + 25)
2 2 2
⇒ (x2 + y - 14x - 2y + 50) - (x + y - 6x - 10y + 34) = 0

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 ìs¡÷|üø£ sπ U≤>∑D‘Ï +· 167

⇒ –8x + 8y = –16
∴ x – y = 2 (ø±e\dæq dü+ã+<Ûeä TT)
ñ<ëVü≤s¡D-9. A(6, 5) eT]j·TT B(– 4, 3) \≈£î düe÷q<ä÷s¡+˝À y-nø£+å ô|’ qTqï _+<äTe⁄ ìs¡÷|üø±\T
ø£qT>=q+&ç.
kÕ<Ûqä : Y-nø£+å ô|’ ñqï _+<äTe⁄ jÓTTø£ÿ ìs¡÷|üø±\T (0, y) ne⁄‘êj·Tì eTq≈£î ‘Ó\TdüT. ø±ã{Ϻ
A eT]j·TT B _+<äTe⁄\≈£î düe÷q<ä÷s¡+˝À qTqï _+<äTe⁄ P(0, y) nqTø=ìq, n|ü⁄&ÉT

(6 − 0) + (5 − y )
2 2
PA =

( −4 − 0 ) + (3 − 4)
2 2
PB =

PA2 = PB2
ø±ã{Ϻ (6 – 0)2 + (5 – y)2 = (– 4 – 0)2 + (3 – y)2
2 2
⇒ 36 + 25 + y – 10y = 16 + 9 + y – 6y
⇒ 4y = 36
∴ y=9
ø±e\dæq _+<äTe⁄ (0, 9).
Bìï dü]#·÷<ë›+ : AP = (6 − 0)2 + (5 − 9)2 = 36 + 16 = 52

BP = (−4 − 0)2 + (3 − 9)2 = 16 + 36 = 52

_+<äTe⁄ (0, 9) nH˚ _+<äTe⁄\T (6, 5) eT]j·TT (4, 3) \≈£î düe÷q<ä÷s¡+˝À ñ+≥T+~.
nuÛ≤´dü+ 7.1
1. øÏ+<ä Çe«ã&çq _+<äTe⁄\ eT<Û´ä <ä÷s¡+qT ø£qT>=q+&ç.
(i) (2, 3) eT]j·TT (4, 1)
(ii) (−5, 7) eT]j·TT (−1, 3)
(iii) (−2, −3) eT]j·TT (3, 2)
(iv) (a, b) eT]j·TT (−a, −b)
2. _+<äTe⁄\T (0, 0) eT]j·TT (36, 15) \ eT<Û´ä <ä÷sêìï ø£qT>=q+&ç.
3. _+<äTe⁄\T (1, 5), (2, 3) eT]j·TT (−2, −1) \T düsπ Fj·÷˝À ø±<√ dü]#·÷&É+&ç.

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 168 10e ‘·s>¡ ‹∑ >∑D‘Ï +·

4. _+<äTe⁄\T (5, −2), (6, 4) eT]j·TT (7, −2) \T ˇø£ düeT~«u≤VüQ Á‹uÛTÑ »+ jÓTTø£ÿ osê¸\T ne⁄‘êjÓ÷?
ø±y√? #·÷&É+&ç. 10

5. |ü≥+˝À #·÷|æq≥T¢, ˇø£ ‘·s>¡ ‹∑ ˝À q\T>∑Ts¡T ùdïVæ≤‘·Tsêfi¯ófl 9

A, B, C, D kÕúHê˝À¢ ‘·s> ¡ ‹∑ ˝À n≥÷ Ç≥÷ ‹s¡T>∑T‘·÷ 87 B

ø=ìï ìeTTcÕ\T |ü]o*+∫q ‘·sê«‘·, »ØHê |òDü ìÏ Ç˝≤ 6

n&ç–+~. ªªABCD ˇø£ #·‘·Ts¡Ádü+ ne⁄‘·T+<äì ˙e⁄ 5 A C
4
uÛ≤$+#·&+É ˝Ò<ë?μμ n+<äT≈£î |òDü Ï ˇ|üø√˝Ò<Tä .
3

_+<äTe⁄\ eT<Û´ä <ä÷s¡+q≈£î dü÷Á‘êqTï|üj÷Ó –+∫ me] 2

D
1
düe÷<Ûëq+ düs¬ q’ ~? m+<äT≈£î? ‘Ó\|ü+&ç. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

6. _+<äTe⁄\T A(a, 0), B(−a, 0), C(0, a 3 ) nqTq$ ˇø£

düeTu≤VüQ Á‹uÛTÑ C≤ìï @s¡Œs¡#>· \∑ eì #·÷|ü+&ç.
7. _+<äTe⁄\T (−7, −3), (5, 10), (15, 8) eT]j·TT (3, −5) \T es¡Tdü>± ˇø£ düe÷+‘·s¡ #·‘T· s¡T“¤C≤ìøÏ
osê¸\T ne⁄‘êj·Tì #·÷|ü+&ç.
8. _+<äTe⁄\T (−4, −7), (−1, 2), (8, 5) eT]j·TT (5, −4) \T es¡Tdü>± ˇø£ düeT#·‘T· s¡T“¤»+ (sê+ãdt)
jÓTTø£ÿ osê¸\T ne⁄‘êj·Tì #·÷|ü+&ç. <ëì yÓX’ Ê\´+ ø£qT>=q+&ç.
(dü÷#·q : sê+ãdt yÓX’ Ê\´+ R 1 I ø£seí¡ TT\ \ãΔ+)
2
9. ÁøÏ+<ä Çe«ã&çq _+<äTe⁄\‘√ @s¡Œ&˚ #·‘T· s¡T“¤»+ @s¡øy£ TÓ qÆ <√? <ëì ù|s¡TqT ‘Ó\|ü+&ç. MT düe÷<ÛëHêìøÏ
düs¬ q’ ø±s¡D+ ‘Ó\|ü+&ç.
(i) (−1, −2), (1, 0), (−1, 2), (−3, 0) (ii) (−3, 5), (3, 1), (0, 3), (−1, −4)

(iii) (4, 5), (7, 6), (4, 3), (1, 2)

10. x-nø£+
å ô|’ñ+≥÷ _+<äTe⁄\T (2, −5) eT]j·TT (−2, 9) \≈£î düe÷q <ä÷s¡+˝À qTqï _+<äTe⁄qT
ø£qT>=q+&ç.
11. _+<äTe⁄\T (x, 7) eT]j·TT (1, 15) \ eT<Û´ä <ä÷s¡+ 10 j·T÷ì≥T¢, nsTTq x $\Te m+‘·?
12. _+<äTe⁄\T P(2, −3) eT]j·TT Q(10, y) \ eT<Û´ä <ä÷s¡+ 10 j·T÷ì≥T¢, nsTTq y $\Te m+‘·?
13. _+<äTe⁄ (−5, 6) >∑T+&Üb˛e⁄ eè‘·+Ô jÓTTø£ÿ øπ +Á<ä+ (3, 2) nsTTq <ëì yê´kÕs¡+ú qT ø£qT>=q+&ç.
14. _+<äTe⁄\T (1, 5), (5, 8) eT]j·TT (13, 14) ˝‘√ Á‹uÛTÑ »eTTqT ^j·T>∑\e÷? ø±s¡D+ ‘Ó\Œ+&ç.
15. _+<äTe⁄\T (x, y) (−2, 8) eT]j·TT (−3, −5) ˝≈£î düe÷q<ä÷s¡+˝À ñqï~. nsTTq x eT]j·TT y \
eT<Û´ä dü+ã+<Ûeä TTqT ø£qTø√ÿ+&ç.

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 ìs¡÷|üø£ sπ U≤>∑D‘Ï +· 169

7.5 $uÛÑ»q dü÷Á‘·+

Y
ˇø£ f…©bò˛Hé ø£+ô|˙ yês¡T A eT]j·TT
B eT<Û´ä ˝À P e<ä› ˇø£ ]˝Ò ≥esYqT @sêŒ≥T B(36, 15)
#˚j÷· \qT≈£îHêïs¡T. Ä ≥esYqT yês¡T A
qT+&ç P øÏ >∑\ <ä÷s¡+ ø£Hêï s¬ {Ï+º |ü⁄ <ä÷s¡+ 15−y
P qT+&ç B eT<Û´ä ñ+&˚ $<Û+ ä >± @sêŒ≥T
#˚<ë›eTqT≈£îHêïs¡T. P nH˚ _+<äTe⁄ AB sπ Kô|’ (x , y ) P C 15 øÏ.MT.
ñqï≥¢sTT‘˚ Ä _+<äTe⁄ AB sπ KqT 1 : 2 36-x
y y
ìwüŒ‹Ô˝À (|ü≥+˝À #·÷|æq≥T¢)$uÛõÑ düT+Ô ~. A x
A qT eT÷\_+<äTe⁄ ªOμ e<ä› ñqï<äqT X
O D 36-x
ø=ìq eT]j·TT ¬s+&ÉT nøå±\ô|’ 1 øÏ.MT 36 øÏ.MT.
<ä÷sêìï 1 j·T÷ì{Ÿ>± rdüTø=ìq, n˝≤π>
_+<äTe⁄ B ìs¡÷|üø±\T (36, 15) nsTTq#√
]˝Ò≥esY jÓTTø£ÿ kÕúHêìï ‘Ó\TdüTø√yê\+fÒ eTq+ _+<äTe⁄ P jÓTTø£ÿ ìs¡÷|üø±\qT ‘·|Œü ø£ ‘Ó\TdüTø√yê*. eT] á
ìs¡÷|üø±\qT m˝≤ ‘Ó\TdüT≈£î+{≤+?
_+<äTe⁄ P jÓTTø£ÿ ìs¡÷|üø±\qT (x, y) nqT≈£î+<ë+. P qT+&ç eT]j·TT B qT+&ç es¡Tdü>±
x-nø£+å ô|ø’ Ï D eT]j·TT E e<ä› ø£*ùd˝≤ \+u≤\qT ^j·T+&ç. P qT+&ç C e<ä≈› î£ BE øÏ \+ã+>± ñ+&˚˝≤
ˇø£sπ KqT ^j·T+&ç. Ç|ü⁄&ÉT 6e n<Ûë´j·T+˝À H˚sT¡ Ã≈£îqï ø√DeTT, ø√DeTT düs÷¡ |üø‘£ · ìj·TeT+ <ë«sê ΔPOD
eT]j·TT ΔBPC \T düs÷¡ |ü Á‹uÛTÑ C≤\T ne⁄‘êsTT.
OD OP 1 PD OP 1
n+<äTe\¢, = = eT]j·TT = =
PC PB 2 BC PB 2
x 1 y 1
ø±ã{Ϻ, = = .
36 − x 2 15 − y 2
2x = (36 − x) 2y = 15 − y
3x = 36 3y = 15
x = 12 y=5
á düMTø£s¡D≤\ <ë«sê x = 12
eT]j·TT y = 5 nì ‘Ó\TdüTqÔ ï~. Y
_+<äTe⁄ P(12, 5) sπ KqT OP : PB B(x2,y2)
= 1 : 2 ìwüŒ‹Ô˝À $uÛõ
Ñ düT+Ô <äqï ìj·Te÷ìï (x, y) m2
MTs¡T dü]#·÷&Ée#·TÃqT. P
m1 C
@y˚ì s¬ +&ÉT _+<äTe⁄\TA(x1, y1)
eT]j·TT B(x2, y2) nqTø=qTeTT. @<˚ì A Q
_+<ä T e⁄ P (x, y) nH˚ ~ AB ì (x1,y1)
n+‘· s ¡ + >± m 1 : m 2 , ìwü Œ ‹Ô ˝ À
$uÛõÑ düT+Ô <äqTø=ì
PA m1
=
PB m2 (|ü≥+˝À #·÷&É+&ç). R S X
O

AR, PS eT]j·TT BT \qT x-nø£+

å ô|ø’ Ï
\+ã+>± ^j·T+&ç.

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 170 10e ‘·s>¡ ‹∑ >∑D‘Ï +·

AQ eT]j·TT PC \qT X-nø£+

å q≈£î düe÷+‘·s+¡ >± ñ+&˚˝≤ ^j·T+&ç. Ç|ü⁄&ÉT ø√D+, ø√D+ düs÷¡ |üø‘£ ·
ìj·TeT+ qT+&ç
ΔPAQ ~ ΔBPC

PA AQ PQ
n+<äTe\¢, = = .....(1)
BP PC BC

Ç|ü⁄&ÉT, AQ = RS = OS – OR = x – x1

PC = ST = OT – OS = x2 – x
PQ = PS – QS = PS – AR = y – y1
BC = BT– CT = BT – PS = y2 – y
ô|’ $\Te\qT (1)˝À, Á|ü‹øπ |å +æ #·>±, eTq≈£î
m1 x − x1 y − y1
= =
m2 x2 − x y2 − y

m1 x − x1 m1 x2 + m2 x1
= rdüTø=ìq ⇒ x=
m2 x2 − x m1 + m2

m1 y − y1 m1 y2 + m2 y1
n<˚$<Û+ä >± = , rdüTø=ìq ⇒ y=
m2 y2 − y m1 + m2

ø±ã{Ϻ A(x1, y1) eT]j·TT B(x2, y2) \#˚ @s¡Œ&ÉT sπ KqT n+‘·s+¡ >± m1 : m2 ìwüŒ‹Ô˝À $uÛõÑ +#˚
_+<äTe⁄ P(x, y) jÓTTø£ÿ ìs¡÷|üø±\T
⎛ m1 x2 + m2 x1 m1 y2 + m2 y1 ⎞
⎜ , ⎟ .....(2)
⎝ m1 + m2 m1 + m2 ⎠

Ç<˚ $uÛ»Ñ q dü÷Á‘·eTT

Y - nø£+
å ô|ø’ Ï A, P eT]j·TT B \ qT+&ç \+ãπsK\qT ^dæ ô|’ |ü<‹›ä <ë«sê ≈£L&Ü á dü÷Á‘·eTTqT
sêã≥ºe#·TÃqT.
AB s
π KqT P _+<äTe⁄ k:1 ìwüŒ‹Ô˝À $uÛõÑ düTqÔ ï≥¢sTT‘˚ n|ü⁄&ÉT P _+<äTe⁄ ìs¡÷|üø±\T
⎛ kx2 + x1 ky2 + y1 ⎞
⎜ , ⎟.
⎝ k +1 k +1 ⎠

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 ìs¡÷|üø£ sπ U≤>∑D‘Ï +· 171

Á|ü‘´˚ ø£ dü+<äs“¡ +¤ : ˇø£sπ K jÓTTø£ÿ eT<Û´ä _+<äTe⁄ Ä sπ U≤K+&Üìï 1 : 1 ìwüŒ‹Ô˝À $uÛõÑ düT+Ô ~. n+<äTe\¢
_+<äTe⁄\T A(x1, y1) eT]j·TT B(x2, y2) \#˚ @s¡Œ&˚ sπ K jÓTTø£ÿ eT<Û´ä _+<äTe⁄ P ìs¡÷|üø±\T
⎛ 1.x1 + 1.x2 1. y1 + 1. y2 ⎞ ⎛ x1 + x2 y1 + y2 ⎞
⎜ , ⎟ =⎜ , ⎟.
⎝ 1+1 1+1 ⎠ ⎝ 2 2 ⎠

Ç|ü⁄&ÉT, $uÛ»Ñ q dü÷Á‘êqTï|üj÷Ó –+∫ ø=ìï düeTdü´\qT kÕ~Û<ë›+.

ñ<ëVü≤s¡D-10. _+<äTe⁄\T (4, −3) eT]j·TT (8, 5) \#˚ @s¡Œ&ÉT sπ U≤K+&ÉeTTqT 3 : 1 ìwüŒ‹Ô˝À n+‘·s+¡ >±
$uÛõÑ +#·T _+<äTe⁄ ìs¡÷|üø±\qT ø£qT>=q+&ç.
kÕ<Ûqä : ø±e\dæq _+<äT ìs¡÷|üø±\T P(x, y) nqTø=ìq $uÛ»Ñ qdü÷Á‘·+ <ë«sê
⎛ m x + m2 x1 m1 y 2 + m2 y1 ⎞
P( x, y ) = ⎜ 1 2 , ⎟
⎝ m1 + m2 m1 + m2 ⎠ ,

3(8) + 1(4) 24 + 4 28
x= = = = 7,
3 +1 4 4
3(5) + 1(−3) 15 − 3 12
y= = = =3
3 +1 4 4
ø±e\dæq _+<äTe⁄ P(x, y) = (7, 3).

ñ<ëVü≤s¡D-11. _+<äTe⁄\T (3, 0) eT]j·TT (-1, 4) \#˚ @s¡Œ&ÉT sπ U≤K+&É+ jÓTTø£ÿ eT<Û´ä _+<äTe⁄qT
ø£qT>=q+&ç.
kÕ<Ûqä : _+<äTe⁄\T (3, 0) eT]j·TT (-1, 4) \#˚ @s¡Œ&ÉT sπ U≤K+&É+ jÓTTø£ÿ eT<Û´ä _+<äTe⁄ M(x, y) nqTø=ìq,
⎛ x1 + x2 y1 + y2 ⎞
eT<Û´ä _+<äTe⁄ M(x, y) = ⎜ , ⎟
⎝ 2 2 ⎠

⎛ 3 + (−1) 0 + 4 ⎞ ⎛ 2 4 ⎞
∴ M(x, y) = ⎜ , ⎟ = ⎜ , ⎟ = (1, 2) .
⎝ 2 2 ⎠ ⎝2 2⎠

Ç$ #˚j·T+&ç
1 _+<äTe⁄\T (3, 5) eT]j·TT (8, 10) \#˚ @s¡Œ&ÉT sπ U≤K+&ÉeTTqT 2 : 3 ìwüŒ‹Ô˝À n+‘·s+¡ >± $uÛõÑ +#·T
_+<äTe⁄qT ø£qT>=q+&ç.
2. _+<äTe⁄\T (2, 7) eT]j·TT (12, −7) \#˚ @s¡Œ&ÉT sπ U≤K+&É+ jÓTTø£ÿ eT<Û´ä _+<äTe⁄qT ø£qT>=q+&ç.

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 172 10e ‘·s>¡ ‹∑ >∑D‘Ï +·

Á|üj·T‹ï+#·+&ç
_+<äTe⁄\T A(4, 2), B(6, 5) eT]j·TT C(1, 4) \T ΔABC jÓTTø£ÿ osê¸\T.
1. A qT+&ç BC ô|ø’ Ï ^dæq eT<Û´ä >∑‘· s π K De<ä› ø£\TdüT+Ô ~. nsTTq D A
_+<äTe⁄ ìs¡÷|üø±\T ø£qT>=q+&ç.
F E
2. AP : PD = 2 : 1 nj˚T´$<Û+ ä >± AD sπ Kô|’ P_+<äTe⁄ ìs¡÷|üø±\qT P
ø£qT>=q+&ç.
3. n<˚$<Û+ä >± BE eT]j·TT CF eT<Û´ä >∑‘· sπ K\ô|’ Q eT]j·TT R _+<äTe⁄\qT B D
C

>∑T]Ô+#·+&ç.
4. BE s π KqT 2 : 1 ìwüŒ‹Ô˝À $uÛõÑ +#·T _+<äTe⁄qT eT]j·TT CF sπ KqT 2 : 1 ìwüŒ‹Ô˝À $uÛõÑ +#·T
_+<äTe⁄qT ø£qT>=q+&ç.
5. MTπs$T >∑eTì+#ês¡T?
ªªˇø£ Á‹uÛTÑ »+˝Àì Á|ü‹ eT<Û´ä >∑‘· sπ KqT 2 : 1 ìwüŒ‹Ô˝À $uÛõÑ +#·T _+<äTe⁄ Ä Á‹uÛTÑ »+ jÓTTø£ÿ
>∑Ts¡T‘·« øπ +Á<ä+ ne⁄‘·T+~μμ.
7.6 Á‹uÛÑT»+ jÓTTø£ÿ >∑Ts¡T‘·«πø+Á<ä+
A(x1,y1)
ˇø£ Á‹uÛTÑ »+˝Àì eT<Û´ä >∑‘· sπ K\ $T[‘· _+<äTe⁄qT
2
(K+&Éq _+<äTe⁄) >∑Ts¡T‘·«øπ +Á<ä+ n+{≤s¡T.
_+<ä T e⁄\T A(x1, y1 ), B(x2, y2) eT]j· T T G 1
C(x 3 , y 3 ) \T Δ ABC jÓ T Tø£ ÿ osê¸\T (Bx ,y ) C
D (x3,y3)
2 2
nqTø=qTeTT.
AD nH˚ eT<Û´ä >∑‘· s
π K Á‹uÛTÑ » uÛ÷Ñ $T BCì düeT~«K+&Éq #˚jT· TqT.
⎛ x + x y + y3 ⎞
ø±e⁄q D=⎜ 2 3, 2 ⎟
⎝ 2 2 ⎠

AD eT<Û´ä >∑‘· s
π Kô|’ 2 : 1 ìwüŒ‹Ô˝À n+‘·s+¡ >± $uÛõÑ +#·T _+<äTe⁄ (>∑Ts¡T‘·«øπ +Á<ä+) G(x, y)nqTø=ìq
⎡ ⎛ x2 + x3 ⎞ ⎛ y + y3 ⎞ ⎤
⎢ 2 ⎜ 2 ⎟ + 1( x1 ) 2⎜ 2 ⎟ + 1( y1 ) ⎥
⎝ ⎠ ⎝ 2 ⎠
G(x, y) = ⎢ , ⎥
⎢ 2 + 1 2 +1 ⎥
⎢⎣ ⎥⎦

⎡ x1 + x2 + x3 y1 + y2 + y3 ⎤
= ⎢ , ⎥
⎣ 3 3 ⎦

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 ìs¡÷|üø£ sπ U≤>∑D‘Ï +· 173

>∑Ts¡T‘·« øπ +Á<ä+ jÓTTø£ÿ ìs¡÷|üø±\T

⎡ x1 + x2 + x3 y1 + y2 + y3 ⎤
⎢ , ⎥.
⎣ 3 3 ⎦

ñ<ëVü≤s¡D-12. _+<äTe⁄\T (3, −5), (−7, 4), (10, −2) \T osê¸\T>± >∑\ Á‹uÛTÑ »+ jÓTTø£ÿ >∑Ts¡T‘·«
øπ +Á<ä+qT ø£qT>=q+&ç.
kÕ<Ûqä : >∑Ts¡T‘·«øπ +Á<ä+ ìs¡÷|üø±\T
⎛ x + x + x y + y2 + y3 ⎞
= ⎜ 1 2 3, 1 ⎟
⎝ 3 3 ⎠

⎛ 3 + (−7) + 10 (−5) + 4 + (−2) ⎞

⎜ , ⎟ = (2, −1)
⎝ 3 3 ⎠
∴ >∑Ts¡T‘·«øπ +Á<ä+ (2, −1).

Ç$ #˚j·T+&ç
_+<äTe⁄\T (−4, 6), (2, −2) eT]j·TT (2, 5) \T osê¸\T>± >∑\ Á‹uÛTÑ »+ jÓTTø£ÿ >∑Ts¡T‘·« øπ +Á<ä+qT
ø£qT>=q+&ç.

Á|üj·T‹ï+#·+&ç
_+<äTe⁄\T (2, 3), (x, y), (3, −2) \T osê¸\T>± >∑\ Á‹uÛTÑ »+ jÓTTø£ÿ >∑Ts¡T‘·«øπ +Á<ä+ eT÷\_+<äTe⁄
nsTTq (x, y)ì ø£qT>=q+&ç.

ñ<ëVü≤s¡D-13. _+<äTe⁄\T A(– 6, 10) eT]j·TT B(3, – 8) \#˚ @s¡Œ&ÉT sπ KU≤K+&ÉeTTqT _+<äTe⁄
(– 4, 6) @ ìwüŒ‹Ô˝À $uÛõ
Ñ düT+Ô ~?
kÕ<Ûqä : AB sπ U≤K+&ÉeTTqT _+<äTe⁄ (– 4, 6) n+‘·s+¡ >± m1 : m2 ìwüŒ‹Ô˝À $uÛõÑ düT+Ô <äqTø=ìq
⎛ 3m1 − 6m2 −8m1 + 10m2 ⎞
( −4, 6) = ⎜ , ⎟ .....(1)
⎝ m1 + m2 m1 + m2 ⎠

(x, y) = (a, b) nsTT‘˚ x = a eT]j·TT y = b nì eTq≈£î ‘Ó\TdüT..

3m1 − 6m2 −8m1 + 10m2
ø±e⁄q, −4 = eT]j·TT 6=
m1 + m2 m1 + m2

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 174 10e ‘·s>¡ ‹∑ >∑D‘Ï +·

3m1 − 6m2
Ç|ü⁄&ÉT, −4 = BìqT+&ç
m1 + m2

– 4m1 – 4m2 = 3m1 – 6m2

nq>± 7m1 = 2m2

m1 2
=
m2 7

nq>± m1 : m2 = 2 : 7

á ìwüŒ‹Ô y ìs¡÷|üø±ìøÏ ≈£L&Ü dü+‘·è|æ|Ô sü T¡ düT+Ô <äì #·÷|üe#·TÃ.

m1
−8 + 10
−8m1 + 10m2 m2
Ç|ü⁄&ÉT, = (Çs¡TyÓ|
’ ⁄ü ˝≤ m2#˚ uÛ≤–+#·>±)
m1 + m2 m1
+1
m2

2 −16
−8 × + 10 + 10
= 7 7 −16 + 70 54
2 = 9 = = =6
+1 9 9
7 7

ø±e⁄q _+<äTe⁄\T A(−6, 10) eT]j·TT B (3, −8) \#˚ @s¡Œ&ÉT sπ U≤K+&É+qT _+<äTe⁄ (−4, 6)
nqTq~ 2 : 7 ìwüŒ‹Ô˝À $uÛõÑ düT+Ô ~.

Ä˝À∫+∫, #·]Ã+∫, sêj·T+&ç

_+<äTe⁄\T A(6, 9) eT]j·TT B(−6, −9) \qT ø£\T|ü⁄ sπ U≤K+&ÉeTTqT

(a) eT÷\_+<äTe⁄ @ìwüŒ‹Ô˝À $uÛõÑ düT+Ô ~? Ä sπ KK+&ÉeTTq≈£î eT÷\_+<äTe⁄qT @eT+{≤s¡T?
(b) _+<äTe⁄ P(2, 3) @ ìwüŒ‹Ô˝À $uÛõÑ düT+Ô ~ ?
(c) _+<äTe⁄ Q(-2, -3) @ ìwüŒ‹Ô˝À $uÛõÑ düT+Ô ~?
(d) _+<äTe⁄\T P, Q \T AB ì mìï düe÷quÛ≤>±\T>± $uÛõÑ kÕÔsTT ?
(e ) P, Q \qT @eT+{≤s¡T ?

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 ìs¡÷|üø£ sπ U≤>∑D‘Ï +· 175

7.7 πsK jÓTTø£ÿ Á‹<∏ëø£s¡D _+<äTe⁄\T

ˇø£ sπ U≤K+&ÉeTTqT eT÷&ÉT düe÷quÛ≤>±\T>± $uÛõÑ +#·T _+<äTe⁄\qT ªªÁ‹<∏ëø£sD¡ _+<äTe⁄\Tμμ n+{≤+.
ñ<ëVü≤s¡D-14. _+<äTe⁄\T A(2,−2) eT]j·TT B(−7, 4) \#˚ @s¡Œ&ÉT sπ U≤K+&ÉeTT jÓTTø£ÿ Á‹<∏ëø£sD¡ _+<äTe⁄\T
ø£qT>=q+&ç.
kÕ<Ûqä : AB sπ U≤K+&É+ jÓTTø£ÿ Á‹<∏ëø£sD¡ _+<äTe⁄\T P eT]j·TT Q\T nqTø=ìq
AP=PQ=QB (|ü≥+˝À #·÷|æq≥T¢). A P Q B
(2, −2) (−7, 4)

n+<äTe\¢ AB s
π U≤K+&Üìï _+<äTe⁄ P n+‘·s+¡ >± 1 : 2 ìwüŒ‹Ô˝À $uÛõÑ düT+Ô ~.
ø±e⁄q $uÛ»Ñ q dü÷Á‘·+ qT+&ç
⎛ m x + m2 x1 m1 y 2 + m2 y1 ⎞
P( x, y ) = ⎜ 1 2 , ⎟
⎝ m 1 + m2 m1 + m2 ⎠

⎛ 1( −7) + 2(2) 1(4) + 2(−2) ⎞

⎜ , ⎟
⎝ 1+ 2 1+ 2 ⎠
⎛ −7 + 4 4 − 4 ⎞ ⎛ −3 0 ⎞
⇒ ⎜ 3 , 3 ⎟ = ⎜ 3 , 3 ⎟ = ( −1, 0 )
⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Ç|ü⁄&ÉT _+<äTe⁄ Q ≈£L&Ü AB sπ U≤K+&Üìï n+‘·s+¡ >± 2:1 ìwüŒ‹Ô˝À $uÛõÑ düT+Ô ~.
n+<äTe\¢ _+<äTe⁄ Q jÓTTø£ÿ ìs¡÷|üø±\T
⎛ 2( −7) + 1(2) 2(4) + 1( −2) ⎞
=⎜ , ⎟
⎝ 2 +1 2 +1 ⎠
⎛ −14 + 2 8 − 2 ⎞ ⎛ −12 6 ⎞
nq>± ⎜ , ⎟=⎜ , ⎟ = ( −4, 2 )
⎝ 3 3 ⎠ ⎝ 3 3⎠

ø±ã{Ï,º AB sπ U≤K+&ÉeTT jÓTTø£ÿ Á‹<∏ëø£sD¡ _+<äTe⁄\T P(-1, 0) eT]j·TT Q(-4, 2)

Ç$ #˚j·T+&ç.
1. _+<äTe⁄\T (2, `6) eT]j·TT (`4, 8) \qT ø£\T|ü⁄ sπ U≤K+&É+ jÓTTø£ÿ Á‹<∏ëø£sD¡ _+<äTe⁄\qT
ø£qT>=q+&ç.
2. _+<äTe⁄\T (`3, `5), (`6, `8) \qT ø£\T|ü⁄ sπ U≤K+&ÉeTT jÓTTø£ÿ Á‹<∏ëø£sD¡ _+<äTe⁄\qT ø£qT>=qTeTT.

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 176 10e ‘·s>¡ ‹∑ >∑D‘Ï +·

ñ<ëVü≤s¡D-15. _+<äTe⁄\T (5, −6) eT]j·TT (1, −4) \#˚ @s¡Œ&ÉT sπ U≤K+&ÉeTTqT Y`nø£eå TT @ ìwüŒ‹Ô˝À
$uÛõÑ düT+Ô ~? Ä K+&Éq _+<äTe⁄qT ø£qT>=q+&ç.
kÕ<Ûqä : _+<äTe⁄\T A(5, −6) eT]j·TT B(1, −4) \#˚ @s¡Œ&ÉT sπ U≤K+&ÉeTT AB ì Y`nø£+å ô|q’ Tqï
_+<äTe⁄ K : 1. ìwüŒ‹Ô˝À $uÛõÑ düT+Ô <äqTø=ìq Ä _+<äTe⁄ jÓTTø£ÿ ìs¡÷|üø±\T
⎛ K(−1) + 1(5) K( −4) + 1( −6) ⎞
⎜ , ⎟
⎝ K +1 K +1 ⎠
⎛ − K + 5 −4K − 6 ⎞
nq>±, ⎜ , ⎟
⎝ K +1 K +1 ⎠
ø±ì Y-nø£+å ô|’ qTqï _+<äTe⁄ jÓTTø£ÿ ìs¡÷|üø±\˝À x-ìs¡÷|üø+£ düTqï ª0μ nì eTq≈£î ‘Ó\TdüT.
−K + 5
ø±ã{Ϻ =0
K +1
-K + 5 = 0 ⇒ K = 5.
n+<äTe\¢ K : 1 = 5 : 1
K = 5 $\TeqT ô|’ _+<äTe⁄ ìs¡÷|üø±\˝À Á|ü‹øπ |
å +æ #·>±
⎛ −5 + 5 −4(5) − 6 ⎞ ⎛ −20 − 6 ⎞ ⎛ −26 ⎞ ⎛ −13 ⎞
=⎜ , ⎟ = ⎜ 0, ⎟ = ⎜ 0, ⎟ = ⎜ 0, ⎟
⎝ 5 +1 5 +1 ⎠ ⎝ 6 ⎠ ⎝ 6 ⎠ ⎝ 3 ⎠

ñ<ëVü≤s¡D-16. _+<äTe⁄\T A(7, 3), B(6, 1), C(8, 2) eT]j·TT D(9, 4) \T es¡Tdü>± düe÷+‘·s¡ #·‘T· s¡T“¤»+
jÓTTø£ÿ osê¸\ì #·÷|ü+&ç.
kÕ<Ûqä : _+<äTe⁄\T A(7, 3), B(6, 1), C(8, 2) eT]j·TT D(9, 4) \T es¡Tdü>± ˇø£ düe÷+‘·s¡ #·‘T· s¡T“¤»+
osê¸\T nqTø=ìq
düe÷+‘·s¡ #·‘T· s¡T“¤»+˝À ø£sêí\T |üsd¡ Œü s¡+ düeT~«K+&Éq #˚dTü ≈£î+{≤j·Tì ‘Ó\TdüT.
∴ n+<äTe\¢ ø£sêí\T AC eT]j·TT DB \ eT<Û´ä _+<äTe⁄\T düe÷q+ ø±yê*.

⎛ x1 + x2 y1 + y2 ⎞
Ç|ü⁄&ÉT ⎜ , ⎟ dü÷Á‘·eTTqT|üj÷Ó –+∫ ø£sêí\T AC eT]j·TT DB \ eT<Û´ä _+<äTe⁄qT
⎝ 2 2 ⎠
ø£qT>=+<ë+. D(9, 4) C(8, 2)
⎛ 7 + 8 3 + 2 ⎞ ⎛ 15 5 ⎞
AC eT<Û´ä _+<äTe⁄ = ⎜ , ⎟=⎜ , ⎟
⎝ 2 2 ⎠ ⎝ 2 2⎠

⎛ 9 + 6 4 + 1 ⎞ ⎛ 15 5 ⎞
DB eT<Û´ä _+<äTe⁄ = ⎜ , ⎟=⎜ , ⎟
⎝ 2 2 ⎠ ⎝ 2 2 ⎠ A(7,3) B(6, 1)

Bì qT+&ç, AC eT<Û´ä _+<äTe⁄ = DB eT<Û´ä _+<äTe⁄.

ø±ã{Ϻ _+<äTe⁄\T A, B, C, D \T düe÷+‘·s¡ #·‘T· s¡T“¤»+ jÓTTø£ÿ osê¸\T ne⁄‘êsTT.

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 ìs¡÷|üø£ sπ U≤>∑D‘Ï +· 177

ñ<ëVü≤s¡D-17. _+<äTe⁄\T A(6, 1), B(8, 2), C(9, 4) eT]j·TT D(p, 3) \T es¡Tdü>± düe÷+‘·s¡
#·‘T· s¡T“¤»+ jÓTTø£ÿ osê¸\sTTq P jÓTTø£ÿ $\TeqT ø£qT>=q+&ç.
kÕ<Ûqä : düe÷+‘·s¡ #·‘T· s¡T“¤»+˝À ø£sêí\T |üsd¡ Œü s¡+ düeT~«K+&Éq #˚dTü ≈£î+{≤j·Tì eTq≈£î ‘Ó\TdüT.
ø±ã{Ϻ AC eT<Û´ä _+<äTe⁄ = BD eT<Û´ä _+<äTe⁄

nq>± ⎛⎜ 6 + 9 , 1 + 4 ⎞⎟ ⎛ 8 + p 5⎞
=⎜ , ⎟
⎝ 2 2 ⎠ ⎝ 2 2⎠

⎛ 15 5⎞ ⎛ 8 + p 5⎞
⎜⎝ , ⎟ =⎜ , ⎟
2 2⎠ ⎝ 2 2⎠

15 8 + p
=
2 2

15 = 8 + p ⇒ p = 7.

nuÛ≤´dü+ - 7.2
1. _+<äTe⁄\T (−1, 7) eT]j·TT (4, −3) \#˚ @s¡Œ&ÉT sπ U≤K+&ÉeTTqT 2 : 3 ìwüŒ‹Ô˝À $uÛõÑ +#·T _+<äTe⁄
ìs¡÷|üø±\qT ø£qT>=q+&ç.
2. _+<äTe⁄\T (4, −1) eT]j·TT (−2, −3) \#˚ @s¡Œ&ÉT sπ U≤K+&ÉeTT jÓTTø£ÿ Á‹<∏ëø£sD¡ _+<äTe⁄\
ìs¡÷|üø±\qT ø£qT>=q+&ç.
3. _+<äTe⁄\T (−3, 10) eT]j·TT (6, −8) \#˚ @s¡Œ&ÉT sπ U≤K+&ÉeTTqT _+<äTe⁄ (−1, 6) @ ìwüŒ‹Ô˝À
$uÛõÑ düT+Ô <√ ø£qT>=q+&ç.
4. _+<äTe⁄\T (1, 2), (4, y), (x, 6) eT]j·TT (3, 5) \T es¡Tdü>± ˇø£ düe÷+‘·s¡ #·‘T· s¡T“¤»+ jÓTTø£ÿ
osê¸\sTTq x, y\ $\Te\T ø£qT>=q+&ç.
5. AB yê´dü+>± >∑\ eè‘·+Ô jÓTTø£ÿ øπ +Á<äeTT (2, −3) eT]j·TT eè‘·+Ô ô|’ qTqï ˇø£ _+<äTe⁄ B(1, 4)
nsTTq A _+<äTe⁄ jÓTTø£ÿ ìs¡÷|üø±\T ø£qT>=q+&ç.
3
6. _+<äTe⁄\T A, B\T es¡Tdü>± (−2, −2) eT]j·TT (2, −4). AB sπ U≤K+&É+ô|’ AP =
7
nj˚T´
$<Û+ä >± P _+<äTe⁄ ìs¡÷|üø±\qT ø£qT>=q+&ç.
7. _+<äTe⁄\T A(−4, 0) eT]j·TT B(0, 6) \#˚ @s¡Œ&ÉT sπ U≤K+&ÉeTTqT Hê\T>∑T düeTuÛ≤>±\T>± $uÛõÑ +#·T
_+<äTe⁄\ ìs¡÷|üø±\qT ø£qT>=q+&ç.

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 178 10e ‘·s>¡ ‹∑ >∑D‘Ï +·

8. _+<äTe⁄\T A(−2, 2) eT]j·TT B(2, 8) \#˚ @s¡Œ&ÉT sπ U≤K+&ÉeTTqT Hê\T>∑T düe÷q uÛ≤>±\T>± $uÛõÑ +#·T
_+<äTe⁄\ ìs¡÷|üø±\T ø£qT>=q+&ç.
9. _+<äTe⁄\T (a + b, a − b) eT]j·TT (a − b, a + b) \#˚ @s¡Œ&ÉT sπ U≤K+&ÉeTTqT n+‘·s+¡ >± 3:2
ìwüŒ‹Ô˝À $uÛõÑ +#·T _+<äTe⁄ ìs¡÷|üø±\T ø£qT>=q+&ç.
10. øÏ+<ä Çe«ã&çq _+<äTe⁄\‘√ @s¡Œ&ÉT Á‹uÛTÑ »+ jÓTTø£ÿ >∑Ts¡T‘·« øπ +Á<äeTTqT ø£qT>=q+&ç.
i. (-1, 3), (6, -3) eT]j·TT (-3, 6) ii. (6, 2), (0, 0) eT]j·TT (4, -7)
iii. (1, -1), (0, 6) eT]j·TT (-3, 0)

7.8 Á‹uÛÑT»+ jÓTTø£ÿ yÓ’XÊ\´+

|ü≥+˝À #·÷|æd≥ü T¢ _+<äTe⁄\T A(0, 4) eT]j·TTB(6, 0) \T
eT÷\_+<äTe⁄ O ‘√ ˇø£ Á‹uÛTÑ C≤ìï @s¡Œs¡TdüT+Ô <äì nqTø=qTeTT.
A(0, 4)
ΔAOB Á‹uÛTÑ » yÓX’ Ê\´eTT m+‘· ?

4 j·T÷ì≥T¢
ΔAOB ˇø£ \+ãø√DÁ‹uÛTÑ »+. <ëì uÛ÷ Ñ $T 6 j·T÷ì≥T¢
(x ìs¡÷|üø+
£ ) eT]j·TT m‘·TÔ 4 j·T÷ì≥T¢ (y ìs¡÷|üø+£ ).
6j·T÷ì≥T¢ B(6, 0)
1
∴ ΔAOB Á‹uÛTÑ »yÓX
’ Ê\´+ = 2 I uÛ÷Ñ $T I m‘·TÔ
1
= × 6 × 4 =12 #·<sä |¡ ⁄ü j·T÷ì≥T¢.
2

Á|üj·T‹ï+#·+&ç
@<˚ì ˇø£ _+<äTe⁄ AqT X`nø£+å ô|,’ eTs=ø£ _+<äTe⁄ BqT Y`nø£+å ô|’ rdüTø=ì Á‹uÛTÑ »+ yÓX’ Ê\´+
ø£qT>=q+&ç. MT $TÁ‘·T\T #˚dqæ yê{Ïì >∑eTì+#·+&ç. MTπs+ >∑eTì+#ês¡T?

Ä˝À∫+∫, #·]Ã+∫, sêj·T+&ç

Y
_+<äTe⁄\T A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3). A(x1,y1)
ìs¡÷|üø‘£ \· +ô|’ ñqïeqTø=qTeTT. nsTTq øÏ+~ Á‹uÛTÑ C≤\
jÓTTø£ÿ yÓX’ Ê\´eTTqT ø£qT>=q+&ç. eT]j·TT yê{Ï yÓX’ Ê\´eTT\ X' X
C(x3,y3) B(x2,y2)
>∑T]+∫ Á>∑÷|ü⁄\˝À MTùdïVæ≤‘·T\‘√ #·]Ã+#·+&ç.
(i)
Y'

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 ìs¡÷|üø£ sπ U≤>∑D‘Ï +· 179

Y Y Y
A

B A
A B C
B
X' X X' X X' X
C

C
(iv)
(ii) (iii)
Y' Y' Y'

Á‹uÛTÑ » yÓX’ Ê\´+ :`

@<˚ì ˇø£ Á‹uÛTÑ »+ ABC >± rdüT≈£î+<ë+.
n~ _+<äTe⁄\T A(x1, y1), B(x2, y2) eT]j·TT Y

C(x3, y3) osê¸\T>± >∑\ Á‹uÛTÑ »+ nqT≈£î+<ë+. A(x1,y1)

S
A, B eT]j·TT C \ qT+&ç es¡Tdü>± x-nø£+ å ô|ø’ Ï
AP, BQ eT]j·TT CR nH˚ \+ãπsK\T ^j·T+&ç. T C(x3,y3)

|ü≥+˝À #·÷|æq≥T¢>± ABQP, APRC U

B(x2,y2)
eT]j·TT BQRC \T Áf…|õæ j·T+\qT @s¡Œs¡TkÕÔsTT.
Ç|ü&ÉT |ü≥+ qT+&ç
X′ X
ΔABC yÓX ’ Ê\´+ = Áf…|õ” j·T+ ABQP yÓX’ Ê\´+ Q P R
+ Áf…|”õj·T+ APRC yÓ’XÊ\´+ − Áf…|”õj·T+
BQRC yÓX ’ Ê\´+
Ç|ü&ÉT |ü≥+ qT+&ç Y′

1 1 1
ΔABC yÓX
’ Ê\´+ = (BQ + AP)QP + (AP + CR)PR − (BQ + CR)QR
2 2 2
1
(∵ Áf…|õ” j·T+ yÓX’ Ê\´+ = 2 (düe÷+‘·s¡ uÛTÑ C≤\ bı&Ée⁄\ yÓTT‘·+Ô ) ( yê{Ï eT<Û´ä \+ã<ä÷s¡+))
Ç|ü⁄&ÉT, |ü≥+ qT+&ç
BQ = y2, AP = y1, QP = OP − OQ = x1 − x2
CR = y3, PR = OR − OP = x3 − x1
QR = OR − OQ = x3 − x2
ø±ã{Ï,º
1 1 1
= ( y2 + y1 ) ( x1 − x2 ) + ( y1 + y3 ) ( x3 − x1 ) − ( y3 + y3 ) ( x3 − x2 )
2 2 2
1
= x1( y2 − y3 ) + x2 ( y3 − y1 ) + x3 ( y1 − y2 )
2

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 180 10e ‘·s>¡ ‹∑ >∑D‘Ï +·

ø±ã{Ï,º ΔABC yÓX’ Ê\´+qT <ëì $\TeqT ø£qT>=qT≥≈£î dü÷Á‘·+

1
x1 ( y2 − y3 ) + x2 ( y3 − y1 ) + x3 ( y1 − y2 )
2

Ç|ü⁄&ÉT ø=ìï ñ<ëVü≤s¡D düeTdü´\ kÕ<Ûqä |ü]o*<ë›+.

ñ<ëVü≤s¡D-18. _+<äTe⁄\T (1, −1), (−4, 6) eT]j·TT (−3, −5) osê¸\T>± >∑\ Á‹uÛTÑ »+ jÓTTø£ÿ yÓX’ Ê\´+
ø£qT>=q+&ç.
kÕ<Ûqä : ΔABC Á‹uÛTÑ » osê¸\T A(1, −1), B(−4, 6), C(−3, −5), \T nqTø=ì <ëì yÓX
’ Ê\´+ ø£qT>=qT≥≈£î
dü÷Á‘·+
1
= x1 ( y2 − y3 ) + x2 ( y3 − y1 ) + x3 ( y1 − y2 )
2
1
= 1(6 + 5) + ( −4) (−5 + 1) + ( −3)( −1 − 6)
2
1
= 11 + 16 + 21 = 24
2
ø±ã{Ϻ ΔABC yÓX’ Ê\´+ 24 #·<sä |¡ ⁄ü j·T÷ì≥T¢.

ñ<ëVü≤s¡D-19. _+<äTe⁄\T A(5, 2), B(4, 7) eT]j·TT C(7, −4)\T osê¸\T>± >∑\ Á‹uÛTÑ » yÓX’ Ê\´+
ø£qT>=q+&ç.
kÕ<Ûqä : _+<äTe⁄\T A(5, 2), B(4, 7) eT]j·TT C(7, −4) \T osê¸\T>± >∑\ Á‹uÛTÑ »yÓX’ Ê\´+
1
5(7 + 4) + 4(−4 − 2) + 7(2 − 7)
2
1 −4
= 55 − 24 − 35 = = −2
2 2
yÓX’ Ê\´eTT nH˚~ ø=\‘·\≈£î dü+ã+~Û+∫q~. Bìì ãTTD$\Te\‘√ dü÷∫+#·˝eÒ TT ø±ã{Ϻ Bì
|üse¡ TeT÷\´ $\Te‘√ dü÷∫kÕÔeTT. n+<äTe\¢
|−2| = 2.
n+<äTe\¢, Á‹uÛTÑ »yÓX’ Ê\´+ = 2 #·<sä |¡ ⁄ü j·T÷ì≥T¢.
Ç$ #˚j·T+&ç
øÏ+<ä Çe«ã&çq osê¸\T >∑\ Á‹uÛTÑ »yÓX’ Ê\´+ ø£qT>=q+&ç.
1. (5, 2) (3, −5) eT]j·TT (−5, −1)
2. (6, −6), (3, −7) eT]j·TT(3, 3)

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 ìs¡÷|üø£ sπ U≤>∑D‘Ï +· 181

ñ<ëVü≤s¡D-20. _+<äTe⁄\T A(−5, 7), B(−4,−5), C(−1, −6) eT]j·TT D(4,5) \T ˇø£ #·‘T· s¡T“¤»+
jÓTTø£ÿ osê¸\T nsTTq ABCD #·‘T· s¡T“¤»+ yÓX
’ Ê\´+ ø£qT>=q+&ç.
kÕ<Ûqä : _+<äTe⁄\T B, D \qT ø£*|æq#√ eTq≈£î ΔABD eT]j·TT ΔBCD nH˚ s¬ +&ÉT Á‹uÛTÑ C≤\T @s¡Œ&É‘êsTT.
A
ΔABD Á‹uÛTÑ »yÓX
’ Ê\´+ D

1
= −5( −5 − 5) + ( −4)(5 − 7) + 4(7 + 5)
2
1 106
= 50 + 8 + 48 = = 53 #·<sä |¡ ⁄ü j·T÷ì≥T¢
2 2 B C

n<˚$<Û+ä >± ΔBCD yÓX’ Ê\´+ 1

= −4( −6 − 5) − 1(5 + 5) + 4( −5 + 6)
2
1
= 44 − 10 + 4 = 19 #·<sä |¡ ⁄ü j·T÷ì≥T¢.
2

Ç|ü⁄&ÉT ΔABD yÓX

’ Ê\´+ + ΔBCD yÓX’ Ê\´+= 53+19 = 72 #·<sä |¡ ⁄ü j·T÷ì≥T¢
n+<äTe\¢ ABCD #·‘T· s¡T“¤»+ yÓX’ Ê\´+ = 72 #·<sä |¡ ⁄ü j·T÷ì≥T¢

Á|üj·T‹ï+#·+&ç
_+<äTe⁄\T (0, −1), (2, 1) (0, 3) eT]j·TT (−2, 1) \T osê¸\T>± >∑\ #·‘T· s¡ÁdüeTT jÓTTø£ÿ yÓX’ Ê\´eTT
ø£qT>=q+&ç.

Ä˝À∫+∫, #·]Ã+∫, sêj·T+&ç

øÏ+~ _+<äTe⁄\‘√ @s¡Œ&˚ Á‹uÛTÑ »yÓX’ Ê˝≤´ìï ø£qT>=q+&ç.
(i) (2, 0), (1, 2) (−1, 6)
(ii) (3, −1), (5, 0), (1, −2)
(iii) (−1.5, 3), (6, −2), (−3, 4)
MTπs+ >∑eTì+#ês¡T ?
á _+<äTe⁄\qT eT÷&ÉT y˚sπ «s¡T Á>±|ò⁄ü \˝À >∑T]Ô+#·+&ç.
MTπs+ >∑eTì+#ês¡T. MT $TÁ‘·T\‘√ #·]Ã+#·+&ç.
yÓX’ Ê\´+ 0(düTHêï) #·.j·T÷ì≥T¢ >∑\ Á‹uÛTÑ »eTTqT ^j·T>∑\e÷? eT] Bì ns¡yú T˚ $T{Ï ?

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 182 10e ‘·s>¡ ‹∑ >∑D‘Ï +·

7.8.1. _+<äTe⁄\ düπsFj·T‘·

_+<äTe⁄\T A(x1, y1), B(x2, y2) eT]j·TT C(x3, y3) ˇπø sπ Kô|’ ñqïeqT≈£î+<ë+. n|ü⁄&ÉT n$
Á‹uÛTÑ C≤ìï @s¡Œs¡#˝· eÒ ⁄. nq>± ΔABC Á‹uÛTÑ »yÓX’ Ê\´+ düTHêï ª0μ.
m|ü&Ó‘’ ˚ eT÷&ÉT _+<äTe⁄\‘√ @s¡Œ&ÉT Á‹uÛTÑ » yÓX’ Ê\´+ düTHêï ª0μ ne⁄‘·T+<√ n|ü&ÉT Ä eT÷&ÉT
_+<äTe⁄\qT düsπ Fj·T _+<äTe⁄\T n+{≤+.

ñ<ëVü≤s¡D-21. ˇø£ ‘·\+˝À ñqï _+<äTe⁄\T (3, −2) (−2, 8) eT]j·TT (0, 4)\T düsπ Fj·T _+<äTe⁄\T nì
#·÷|ü+&ç.
kÕ<Ûqä : Á‹uÛTÑ »yÓX’ Ê\´+ ø£qT>=qT dü÷Á‘·+qT|üj÷Ó –+∫
1
= 3(8 − 4) + ( −2)(4 − ( −2)) + 0(( −2) − 8)
2
1
= 12 − 12 = 0
2
Á‹uÛTÑ »yÓX’ Ê\´+ düTHêï ª0μ. ø±ã{Ϻ ô|q’ ù|s=ÿqï _+<äTe⁄\T düsπ Fj·T _+<äTe⁄\T.

Ç$ #˚j·T+&ç
øÏ+<ä Çe«ã&çq _+<äTe⁄\T düsπ Fj·÷\T ne⁄‘êj·÷? ø±yê? dü] #·÷&É+&ç.
(i) (1, −1) (4, 1), (−2, −3)
(ii) (1, −1), (2, 3), (2, 0)
(iii) (1, −6), (3, −4), (4, −3)

7.8.2. Á‹uÛTÑ »yÓX

’ Ê\´+ ` ªªôV≤sêHé dü÷Á‘·+μμ
Á‹uÛTÑ »yÓX’ Ê\´+ ø£qT>=qT≥≈£î dü÷Á‘·+ 1 IuÛ÷Ñ $T I m‘·TÔ nì eTq≈£î ‘Ó\TdüT.
2
ˇø£yfi˚ ¯ Ç∫Ãq Á‹uÛTÑ »+ \+ãø√D Á‹uÛTÑ »+, düeTu≤VüQ
Á‹uÛTÑ »+, düeT~«u≤VüQ Á‹uÛTÑ C≤\‘√ @<ÓH’ ê ø±e#·TÃ. n|ü⁄&ÉT
Ä Á‹uÛTÑ » yÓX’ Ê\´+ eTq+ ø£qT>=q>∑\e÷ ?
Á‹uÛTÑ »+ jÓTTø£ÿ uÛ÷Ñ $T, m‘·T\Ô T ‘Ó*dæq|ü⁄&TÉ yê{Ï $\Te\qT
ô|’ dü÷Á‘·+˝À Á|ü‹øπ |å +æ ∫ düT\uÛ+Ñ >± Ä Á‹uÛTÑ » yÓX’ Ê\´+qT
eTq+ ‘Ó\TdüT≈£î+{≤+.
ñ<ëVü≤s¡D≈£î Ç∫Ãq Á‹uÛÑT»+ $wüeTu≤VüQ Á‹uÛÑT»+
nsTT‘˚ <ëì jÓTTø£ÿ uÛTÑ C≤\ bı&Ée⁄\T e÷Á‘·yT˚ ‘Ó\TkÕÔsTT.
ø±ì m‘·TÔ ‘Ó*j·T<äT.
n|ü⁄&ÉT, <ëì yÓX’ Ê\´+ m˝≤ ø£qT>=+{≤+ ?
ô|q’ ‘Ó*|æq yÓX’ Ê\´+ dü÷Á‘·+˝À $\Te\T Á|ü‹øπ |å +æ #ê\+fÒ ‘·|Œü ≈£î+&Ü Á‹uÛTÑ »+ m‘·TÔ eTq≈£î ‘Ó*dæ
ñ+&Ü*.

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 ìs¡÷|üø£ sπ U≤>∑D‘Ï +· 183

ø±ã{Ï,º ªªôV≤sêHéμμ nH˚ Á^≈£î >∑D‘Ï · XÊgy˚‘Ô· a, b, c uÛTÑ C≤\ bı&Ée⁄\T ø£\*–q Á‹uÛTÑ »yÓX’ Ê\´+
ø£qT>=qT≥≈£î dü÷Á‘·eTTqT ø£qT>=Hêï&ÉT. n~
⎛ a+b+c⎞
A = S(S − a)(S − b)(S − c) , ⎜∵ S = ⎟
⎝ 2 ⎠
ñ<ëVü≤s¡D≈£î, 12MT, 9MT, 15MT bı&Ée⁄\T >∑\ uÛTÑ C≤\‘√ @s¡Œ&çq Á‹uÛTÑ » yÓX’ Ê\´+qT ªªôV≤sêHé
dü÷Á‘·+μμ qT ñ|üj÷Ó –+∫ ø£qTø=ÿ+<ë+.
⎛ a+b+c⎞
A = S(S − a)(S − b)(S − c) , ⎜∵ S = 2 ⎟
⎝ ⎠
12 + 9 + 15 36
S= = = 18 MT
2 2
n|ü⁄&ÉTS − a = 18 − 12 = 6MT.
S − b = 18 − 9 = 9MT
S − c = 18 − 15 = 3MT.

A = 18(6)(9)(3) = 2916 = 54 #·<sä |¡ ⁄ü MT≥s¡T.¢

Ç$ #˚j·T+&ç
(i) 15MT, 17MT, 21MT uÛTÑ C≤\T>± >∑\ Á‹uÛTÑ »+ yÓX
’ Ê\´+ (ôV≤sêHé dü÷Á‘·+ <ë«sê) ø£qT>=q+&ç. eT]j·TT
1
MT düe÷<ÛëHêìï A = bh ˝À Á|ü‹øπ |å +æ ∫ dü]#·÷düTø√+&ç.
2
(ii) _+<äTe⁄\T (0, 0), (4, 0) eT]j·TT (4, `3)\‘√ @s¡Œ&ÉT Á‹uÛTÑ » yÓX’ Ê\´+qT ôV≤sêHé dü÷Á‘·+ <ë«sê
ø£qT>=q+&ç.
ñ<ëVü≤s¡D-22. _+<äTe⁄\T (1, 2), (−1, b), (−3, −4) düsπ Fj·÷˝…‘’ ˚ ªbμ $\TeqT ø£qT>=q+&ç.
kÕ<Ûqä : Ç∫Ãq _+<äTe⁄\T A(1, 2), B(−1, b), C(−3, −4) nqTø=qTeTT.
x1 = 1, y1 = 2, x2 = −1, y2 = b, x3 = −3, y3 = −4 ne⁄‘êsTT.
1
Çø£ ΔABC yÓ’ R x1 ( y2 − y3 ) + x2 ( y3 − y1 ) + x3 ( y1 − y2 ) nì ‘Ó\TdüT.
2
1
∴ 1(b + 4) + (−1)(−4 − 2) + ( −3)(2 + b) = 0 ne⁄‘·T+~. (∵Ç∫Ãq _+<äTe⁄\T düsπ Fj·÷\T)
2
b + 4 + 6/ − 6/ + 3b = 0

4b + 4 = 0
4b + 4 = 0
b = −1.

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 184 10e ‘·s>¡ ‹∑ >∑D‘Ï +·

nuÛ≤´dü+ - 7.3
1. øÏ+<ä Çe«ã&çq _+<äTe⁄\T osê¸\T>± ø£*–q Á‹uÛTÑ » yÓX’ Ê\´+ ø£qTø√ÿ+&ç.
(i) (2, 3) (−1, 0), (2, −4) (ii) (−5, −1), (3, −5), (5, 2)
(iii) (0, 0), (3, 0) eT]j·TT (0, 2)
2. øÏ+<ä Çe«ã&çq _+<äTe⁄\T düsπ Fj·÷˝…‘’ ˚ ‘K’ $\TeqT ø£qT>=q+&ç.
(i) (7, −2) (5, 1) (3, K) (ii) (8, 1), (K, −4), (2, −5)
(iii) (K, K) (2, 3) eT]j·TT (4, −1).
3. _+<äTe⁄\T (0, −1), (2, 1) eT]j·TT (0, 3) osê¸\T ø£*–q Á‹uÛTÑ »yÓX’ Ê\´+, eT]j·TT <ëì uÛTÑ C≤\
eT<Û´ä _+<äTe⁄\qT ø£\T|ü>± @s¡Œ&çq Á‹uÛTÑ » yÓX’ Ê˝≤´\ ìwüŒ‹Ôì ø£qT>=q+&ç.
4. _+<äTe⁄\T (−4, −2), (−3, −5), (3, −2) eT]j·TT (2, 3) osê¸\T>± >∑\ #·‘T· s¡T“¤»+ jÓTTø£ÿ yÓX’ Ê\´+
ø£qT>=q+&ç.
5. _+<äTe⁄\T (8, −5), (−2,7) eT]j·TT (5, 1) \#˚ @s¡Œ&ÉT Á‹uÛTÑ »yÓX’ Ê˝≤´ìï ôV≤sêHé dü÷Á‘êqTï|üj÷Ó –+∫
ø£qTø√ÿ+&ç.
7.9 düs¡fi¯πsK
uÛsÑ <¡ ë«CŸ eT]j·TT MTHê\T s¬ +&ÉT #·\sêX¯ó\T ø£*qZ sπ Fj·T düMTø£sD¡ +q≈£î kÕ<Ûqä \T ø£qT>=q&É+
>∑T]+∫ #·]Ã+#·Tø=+≥THêïs¡T.
uÛsÑ <¡ ë«CŸ : ˙e⁄ 2x + 3y = 12 ≈£î kÕ<Ûqä \T ø£qT>=q>∑\yê?
MTq : ne⁄qT, H˚qT Ç˝≤ #˚XÊqT, #·÷&ÉT x 0 3 6 −3
y 4 2 0 6
Y
2x+3y = 12 9
8
3y = 12 - 2x 7
D(-3,6)
12 − 2 x 6
y= 5
A(0,4)
3 4
3
MTq : ˙e⁄ á kÕ<Ûqä \qT Áø£eTj·TT>±à\ s¡÷|ü+˝À B(3,2)
2
sêj·T>∑\yê? 1
1
C(6,0)
X X
uÛÑs¡<ë«CŸ : ne⁄qT (0, 4), (3, 2), (6, 0), -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-1
(−3, 6) -2
-3
MTHê, ˙e⁄ á _+<äTe⁄\qT ìs¡÷|üø£ -4
-5
‘·\+ô|’ >∑T]Ô+#·>\∑ yê ? -6
-7
MTq: H˚qT Ç˝≤ #˚XÊqT. á _+<äTe⁄\qT -8
ø£\T|ü⁄‘·÷ sπ KqT ^kÕqT. #·÷&ÉT -9
1
Y

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 ìs¡÷|üø£ sπ U≤>∑D‘Ï +· 185

uÛsÑ <¡ ë«CŸ : á sπ K <˚ìì dü÷∫düT+Ô ~

MTq : Ç~ ˇø£ düsfi¡ sπ¯ K
uÛsÑ <¡ ë«CŸ : á sπ Kô|’ eT]ø=ìï _+<äTe⁄\qT >∑T]Ô+#·>\∑ yê ?
á sπ Kô|’ eT]ø=ìï _+<äTe⁄\T >∑T]Ô+#·&+É ˝À MTs¡T MTHê≈£î düV‰ü j·T|ü&>É \∑ sê?
..................., ..................., ..................., ...................
á sπ K˝À AB ì @eT+{≤s¡T?
AB nqTq~ ˇø£ düsfi
¡ sπ¯ U≤K+&ÉeTT
Ç$ #˚j·T+&ç
øÏ+<ä˙j·Tã&çq _+<äTe⁄\qT ìs¡÷|üø‘£ \· +ô|’ >∑T]Ô+∫ yê{Ïì ø£\T|ü⁄eTT
(1) A(1, 2), B(−3, 4), C(7, −1)
(2) P(3, −5) Q(5, −1), R(2, 1), S(1, 2)
Ç+<äT˝À @~ düsfi¡ sπ¯ KqT dü÷∫düT+Ô ~ ? @~ dü÷∫+#·<Tä ? m+<äT≈£î?

Ä˝À∫+∫, #·]Ã+∫, sêj·T+&ç

y=x+7 düMTø£sD¡ + ˇø£ düsfi¡ sπ¯ KqT dü÷∫düT+Ô <ë? ìs¡÷|üø‘£ \· +˝À ^dæ #·÷&É+&ç.
á düsfi¡ sπ¯ K X `nøå±ìï @ _+<äTe⁄ e<ä› K+&çdTü +Ô ~? n<˚ $<Û+ä >± á düsfi¡ sπ¯ K Y`nø£+å ‘√ m+‘·
ø√D+ #˚dTü +Ô ~? MT $TÁ‘·T\‘√ #·]Ã+#·+&ç.

7.9.1 düsfi¡ sπ¯ Kyê\T

MTs¡T bÕs¡Tÿ˝À C≤s¡T&ÉT ì#ÓÃq #·÷ùd e⁄+{≤s¡T. Çø£ÿ&É s¬ +&ÉT C≤s¡T&ÉT ì#ÓÃq\T Çe«ã&çq$. <˚ì
MT~ qT+&ç MTs¡T y˚>+∑ >± C≤s¡>\∑ s¡T?

MTs¡T #Óù|Œ~ ªª¬s+&Ée~μμ nì ne⁄qT ø£<÷ä ! m+<äT≈£î ?

øÏ+~ sπ K\qT |ü]o*+#·+&ç.

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 186 10e ‘·s>¡ ‹∑ >∑D‘Ï +·

X O X
O

OX ‘√ @ sπ K m≈£îÿe ø√D+ #˚jT· T#·Tqï~ ?

OX ‘√ sπ K “l” #˚ùd ø=D+ ø£Hêï sπ K ‘m’ #˚ùd ø√D+ m≈£îÿe. n+<äTe\¢
OX <äècÕº´ sπ K ‘l’ ø£Hêï sπ K ‘m’ yê\T m≈£îÿe.

ˇø£ sπ K jÓTTø£ÿ yê\TqT m˝≤ ø£qT>=+{≤+?

ø£è‘·´+
|ü≥+˝Àì sπ KqT |ü]o*+∫ <ëìô|’ >∑\ _+<äTe⁄\qT >∑T]Ôd÷ü Ô øÏ+~ |ü{øºÏ q£ T |üP]+#·+&ç.
x ìs¡÷|üø+
£ 1 - - 4 -
y ìs¡÷|üø+£ 2 3 4 - 6

x ìs¡÷|üø±\T e÷s¡T‘·Tqï ø=\~ y ìs¡÷|üø±\T e÷s¡T‘·Tqïeì eTq+ >∑eTì+#·e#·TÃ.

y ìs¡÷|üø±\T y1 = 2 qT+&ç y2 = 3≈£î ô|]–q|ü⁄&ÉT

y ìs¡÷|üø+
£ ˝À uÛ<Ò +ä = ........................
Y
9
n|ü&ÉT x ìs¡÷|üø+£ ˝À uÛ<Ò +ä = ... 8
7
y ìs¡÷|üø+£ ˝À uÛ<
Ò ä+ 6
∴ = .................. 5
x ìs¡÷|üø±\˝À uÛÒ<+ä 4
3
2
y ìs¡÷|üø±\T y1 = 2, y3 = 4 ≈£î ô|]–q|ü⁄&ÉT 1
1
X X
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 6 7 8 9
y ìs¡÷|üø+
£ ˝À uÛ<Ò +ä = .................. -1
-2
-3
n|ü&ÉT x ìs¡÷|üø+£ ˝À uÛ<Ò +ä ............ -4
-5
y ìs¡÷|üø+£ ˝À uÛÒ<ä+ -6
∴ =............... -7
x ìs¡÷|üø±\˝À uÛÒ<ä+
-8
-9
1
Y

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 ìs¡÷|üø£ sπ U≤>∑D‘Ï +· 187

Ç+ø± ÄπsKô|’ eT]ø=ìï _+<äTe⁄\qT >∑T]Ô+∫ @yÓH’ ê s¬ +&ÉT _+<äTe⁄\˝À ìs¡÷|üø±\qT >∑eTìdü÷Ô øÏ+~
|ü{øºÏ q£ T |üP]Ô#j
˚ T· +&ç.
y ìs¡÷|üø+
£ ˝À x ìs¡÷|üø+
£ ˝À y ìs¡÷|üø±\˝À uÛÒ<ä+
y ìs¡÷|üø+
£ x x ìs¡÷|üø±\˝À uÛÒ<ä+
uÛ<Ò +ä uÛ<Ò +ä
2 4 - 1 2 1 -
- - - - - - -
- - - - - - -

ô|’ ø£è‘·´+ qT+&ç MTπs$T Á>∑V≤æ +#ês¡T ?

ˇø£sπ Kô|’ qTqï _+<äTe⁄\ ìs¡÷|üø±\˝À y ìs¡÷|üø±\ e÷s¡TŒ≈£î eT]j·TT x ìs¡÷|üø±\˝À e÷s¡TŒ≈£î >∑\
ìwüŒ‹Ôø,Ï ÄπsK X-nø£+å ‘√ #˚sTT#·Tqï ø√D≤ìøÏ dü+ã+<Û+ä ñ+~.
Á‹ø√D$T‹ n<Ûë´j·T+˝À MTs¡T tan θ uÛ≤eqqT H˚sT¡ Ã≈£î+{≤s¡T.
ø√D+ ªθμ ≈£î m<äT{ÏuÑÛT»+ y ìs¡÷|üø±\˝À uÛÒ<ä+
nq>± ⇒ tan θ R R
ø√D+ ªθμ ≈£î ÄdüqïuÛÑT»+ x ìs¡÷|üø±\˝À uÛÒ<ä+

7.9.2 s¬ +&ÉT _+<äTe⁄\qT ø£*ù| sπ K yê\T

sπ K ‘l’ ô|’ A(x1, y1) eT]j·TT B(x2, y2) s ¬ +&ÉT _+<äTe⁄\qT ≈£î+<ë+ (|ü≥+˝À #·÷|æq≥T¢)
y ìs¡÷|üø±\˝À uÛÒ<+ä
sπ K jÓTTø£ÿ yê\T = x ìs¡÷|üø±\˝À uÛÒ<ä+ Y
y2 − y1 2)
sπ U≤K+&É+ AB yê\T = m = x − x
2 ,y
x

2 1
B(

yê\TqT ‘m’ ‘√ dü÷∫kÕÔsT¡ . eT]j·TT sπ K ‘l’ X y2 - y1

1)
1 ,y

`nø£+å ‘√ ªθμ ø√D+ #˚dTü +Ô ~.

x
A(

x2 - x1 C
n+<äTe\¢ sπ U≤K+&É+ AB nqTq~ sπ K AC θ
‘√ ≈£L&Ü ªθμ ø√D+ #˚dTü +Ô ~. X′ X
ø√D+ ªθμ ≈£î m<äT{ÏuÛÑT»+
∴tan θ R
ø√D+ ªθμ ≈£î ÄdüqïuÛÑT»+
BC y −y
= = 2 1
AC x2 − x1
y2 − y1
∴ tan θ = x − x = m Y′
2 1
y2 − y1
∴ m = tanθ =
x2 − x1
Ç~ _+<äTe⁄\TA(x1, y1) eT]j·TT B (x2, y2) \#˚ @s¡Œ&çq sπ U≤K+&É+ AB jÓTTø£ÿ yê\TqT ø£qT>=qT≥≈£î
dü÷Á‘·+.
å ‘√ sπ K #˚jT· T ø√D+ ªθμ nsTT‘˚, n|ü⁄&ÉT yê\T m = tan θ.
X-nø£+

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 188 10e ‘·s>¡ ‹∑ >∑D‘Ï +·

ñ<ëVü≤s¡D-23. ˇø£ sπ U≤K+&É+ jÓTTø£ÿ ‘=*, ∫e]_+<äTe⁄\T es¡Tdü>± (2, 3), (4, 5). Ä sπ U≤K+&É+ jÓTTø£ÿ
yê\TqT ø£qT>=q+&ç.
kÕ<Ûqä : sπ U≤K+&É+ jÓTTø£ÿ ‘=*, ∫e] _+<äTe⁄\T (2, 3), (4, 5) nsTTq Ä sπ U≤K+&É+ yê\T
y2 − y1 5 − 3 2
m= = = =1
x2 − x1 4 − 2 2
Ç∫Ãq sπ U≤K+&É+ jÓTTø£ÿ yê\T R 1.

Ç$ #˚j·T+&ç.
øÏ+~ _+<äTe⁄\‘√ @s¡Œ&ÉT sπ U≤K+&ÉeTT AB yê\TqT ø£qT>=q+&ç.
1. A(4, −6) B(7, 2) 2. A(8, −4), B(−4, 8)
3. A(−2, −5), B(1, −7)

Á|üj·T‹ï+#·+&ç
øÏ+<ä Çe«ã&çq _+<äTe⁄\T AB sπ Kô|’ ñqï$. AB sπ K yê\T ø£qT>=q+&ç.
1. A(2, 1), B(2, 6) 2. A(−4, 2), B(−4, −2)
3. A(−2, 8), B(−2, −2)
4. ªªÇ∫Ãq _+<äTe⁄\‘√ @s¡Œ&ÉT AB sπ U≤K+&É+ Y`nøå±ìøÏ düe÷+‘·s+¡ >± ñ+≥T+~μμ. á
yêø£´eTT düs¬ q’ <˚Hê? m+<äT≈£î? nsTT‘˚ yê\T @$<Û+ä >± ñ+≥T+~.

Ä˝À∫+∫, #·]Ã+∫, sêj·T+&ç

_+<äTe⁄\T A(3, 2), (−8, 2) \T AB sπ Kô|’ ñqï#√ Ä sπ K yê\TqT ø£qT>=q+&ç.
AB s π K m|ü&ÉT X-nø£eå TTq≈£î düe÷+‘·s+¡ >± ñ+≥T+~? m+<äT≈£î? MT ùdïVæ≤‘·T\‘√ Á>∑÷|ü⁄\˝À
#·]Ã+#·+&ç.

ñ<ëVü≤s¡D-24. _+<äTe⁄\T P(2, 5) eT]j·TT Q(x, 3) \ >∑T+&Ü b˛j˚T sπ Kyê\T 2 nsTTq x $\TeqT
ø£qT>=qTeTT.
kÕ<Ûqä : _+<äTe⁄\T P(2, 5) eT]j·TT Q(x, 3) \ >∑T+&Ü b˛j˚Tsπ K yê\T 2.
Çø£ÿ&É, x1 = 2, y1 = 5, x2 = x, y2 = 3
y2 − y1 3 − 5 −2
PQ s
π Kyê\T = =2= =
x2 − x1 x−2 x−2
2
⇒ = 2 ⇒ − 2 = 2x − 4 ⇒ 2 x = 2 ⇒ x = 1
x−2

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 ìs¡÷|üø£ sπ U≤>∑D‘Ï +· 189

nuÛ≤´dü+ - 7.4
1. s¬ +&ÉT _+<äTe⁄\qT ø£\T|ü⁄#·÷ ^j·Tã&çq sπ Kyê\T ø£qT>=q+&ç
(i) (4, −8) eT]j·TT (5, −2)

(ii) (0, 0) eT]j·TT ( 3,3)

(iii) (2a, 3b) eT]j·TT (a, −b)
(iv) (a, 0) eT]j·TT (0, b)
(v) A(−1.4, −3.7), B(−2.4, 1.3)
(vi) A(3, −2), B(−6, −2)

⎛ 1 ⎞ ⎛ 1⎞
(vii) A ⎜ −3 , 3 ⎟ , B ⎜ −7, 2 ⎟
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2⎠

(viii) A(0, 4), B(4, 0)

◊∫äø£ nuÛ≤´dü+
[ánuÛ≤´dü+˝Àì Á|üXï¯ \T |üØø£˝å À Çe«&É+ ø√dü+ ø±<äT]
1. eè‘·sÔ 'Q' jÓTTø£ÿ øπ +Á<ä+ Y`nø£+å ô|’ ñqï~. eT]j·TT á eè‘·+Ô _+<äTe⁄\T (0, 7) eT]j·TT
(0, `1)\ >∑T+&Ü b˛‘·T+~. eè‘·+Ô 'Q' <Ûqä X`nøå±ìï _+<äTe⁄ (P, 0) e<ä› K+&ç+∫q 'P' $\Te
m+‘·?
2. _+<äTe⁄\T A(2, 3), B(−2, −3) eT]j·TT C(4, 23) osê¸\‘√ Á‹uÛTÑ »+ ΔABC @s¡Œ&çq~. uÛTÑ »+
BC eT]j·TT os¡¸+ A jÓTTø£ÿ ø√D düeT~«K+&Éq s π K\ K+&Éq _+<äTe⁄qT ø£qT>=q+&ç.
3. düeTu≤VüQ Á‹uÛTÑ »+ ΔABC jÓTTø£ÿ uÛTÑ »+ BC X` nøå±ìøÏ düe÷+‘·s+¡ >± ñ+~. <ëì uÛTÑ C≤\T BC,
CA, AB\ >∑T+&Ü b˛j˚T düsfi ¡ sπ¯ K\ yê\T\T ø£qT>=qTeTT.
4. a > b nj˚T´≥≥T¢ uÛTÑ C≤\T 'a', 'b' \T ø£*–q ˇø£ \+ãø√D Á‹uÛTÑ »+ ΔABC ñ+~. <ëì˝À
\+ãø√D+ jÓTTø£ÿ düeT~«K+&Éq sπ K <ë«sê @s¡Œ&çq s¬ +&ÉT ∫qï Á‹uÛTÑ C≤\ \+ãπø+Á<ë\ eT<Û´ä <ä÷sêìï
ø£qT>=qTeTT.
5. 2x + 3y − 6 = 0 nqT düsfi ¡ sπ¯ K ìs¡÷|üø±øå±\‘√ #˚ùd Á‹uÛTÑ »+ jÓTTø£ÿ >∑Ts¡T‘·« øπ +Á<ä+qT ø£qT>=qTeTT.
eTq+ @$T #·]Ã+#ê+

1. s¬ +&ÉT _+<äTe⁄\T P(x, y) eT]j·TT Q(x2, y2) \ eT<Û´ä <ä÷s¡+ ( x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2 .

2. eT÷\_+<äTe⁄ qT+&ç ˇø£ _+<äTe⁄ (x, y)\ eT<Û´ä <ä÷s¡+ x2 + y 2 .

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 190 10e ‘·s>¡ ‹∑ >∑D‘Ï +·

3. Y-nø£+
å q≈£î düe÷+‘·s+¡ >± ñ+&ç (x1, y1) eT]j·TT (x1, y2) _+<äTe⁄\ eT<Û´ä <ä÷s¡+ |y2 - y1|.
4. X- nø£+
å q≈£î düe÷+‘·s+¡ >± ñ+&ç (x1, y1) eT]j·TT (x2, y2) _+<äTe⁄\ eT<Û´ä <ä÷s¡+ |x2 - x1|.
5. _+<äTe⁄\T A (x1, y1), B(x2, y2) \#˚ @s¡Œ&ÉT sπ U≤K+&ÉeTTqT _+<äTe⁄ P(x, y) m1 : m2 ìwüŒ‹Ô˝À
⎡ m1 x2 + m2 x1 m1 y2 + m2 y1 ⎤
n+‘·s+¡ >± $uÛõÑ ùdÔ P _+<äTe⁄ ìs¡÷|üø±\T ⎢ , ⎥
⎣ m 1 + m2 m1 + m2 ⎦ .

6. ¬s+&ÉT _+<äTe⁄\T (x1, y1) eT]j·TT (x2, y2) \#˚ @s¡Œ&ÉT πsU≤K+&É+ jÓTTø£ÿ eT<Ûä´_+<äTe⁄
⎛ x1 + x2 y1 + y2 ⎞
⎜ , ⎟.
⎝ 2 2 ⎠
7. ˇø£ Á‹uÛTÑ »+˝Àì eT<Û´ä >∑‘sπ· K\qT 2:1 ìwüŒ‹Ô˝À $uÛõÑ +#·T _+<äTe⁄ <ëì >∑Ts¡T‘·«øπ +Á<ä+.
8. ˇø£ Á‹uÛTÑ »+ jÓTTø£ÿ eT<Û´ä >∑‘sπ· K\ $T[‘· _+<äTe⁄qT Ä Á‹uÛTÑ »+ jÓTTø£ÿ >∑Ts¡T‘·« øπ +Á<ä+ n+{≤s¡T.
⎛ x1 + x2 + x3 y1 + y2 + y3 ⎞
>∑Ts¡T‘·«øπ +Á<ä+ ìs¡÷|üø±\T ⎜⎝ , ⎟.
3 3 ⎠
9. _+<äTe⁄\T (x1, y1) (x2, y2), (x3, y3) \#˚ @s¡Œ&ÉT Á‹uÛTÑ » yÓX’ Ê\´+
1
R [x (y - y ) + x2 (y3 - y1) + x3 (y1 - y2)]
2 1 2 3
10. Á‹uÛTÑ » yÓX’ Ê\´+ ` ôV≤sêHé dü÷Á‘·+
⎛ a+b+c⎞
A = S ( S-a ) ( S-b ) ( S-c ) ⎜∵ S = ⎟
⎝ 2 ⎠
(a, b, c \T ΔABC jÓTTø£ÿ uÛTÑ C≤\T)
y2 − y1
11. düsfi¡ sπ¯ K yê\T m= x −x
2 1

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 düs÷¡ |ü Á‹uÛTÑ C≤\T 191

n<Ûë´j·TeTT

8 düs÷¡ |ü ‹
Á uÛTÑ C≤\T
(Similar Triangles)

8.1 |ü]#·j·T+
D
dæï>∑ú yêfi¯fl Ç+{Ï ô|s¡{À¢ ˇø£
bı&ÉyÓ’q #Ó≥Tº e⁄+~. dæï>∑ú <ëì A

bı&Ée⁄ m+‘√ ‘Ó\TdüTø√yê\ì nqT

ø=+~, ø±ì <ëìì m˝≤ ø£qTø√ÿyê˝À
ÄyÓT≈£î ‘Ó*j·T<äT. Ç+‘·˝À ÄyÓT
e÷ej·T´ sTT+{ÏøÏ e#êÃ&ÉT. dæï>∑ú B C E
yêfi¯fl e÷ej·T´qT sT÷ #Ó≥Tº bı&Ée⁄
ø£qTø√ÿe&É+˝À düV‰ü j·T+ #˚jT· eTì n&ç–+~. n‘·qT ø=+‘·ùd|ü⁄ Ä˝À∫+∫, ÄyÓTqT ˇø£ n<ä+› ‘ÓeTàì
#ÓbÕŒ&ÉT. n‘·qT Ä n<ë›ìï H˚\ô|’ #Ó≥Tº yÓTT<ä\T qT+&ç ø=+‘· <ä÷s¡+˝À e⁄+#ê&ÉT. n|ü⁄&ÉT dæï>∑qΔ T n<ë›ìøÏ
ne‘·*yÓ|’ ⁄ü @ kÕúq+ qT+&ç n<ä+› ˝À #Ó≥Tºô|’ uÛ≤>±ìï #·÷&É>\∑ <√ nø£ÿ&É ì\ã&ÉeTì #ÓbÕŒ&ÉT.
eTq+ |ü{≤ìï ^dæq|ü⁄&ÉT, u≤*ø£ (AB) qT+&ç n<ä+› (C) eT]j·TT n<ä+› qT+&ç #Ó≥Tº (DE) es¡≈î£
^dæq ô|’ |ü≥+˝À e˝… Á‹uÛTÑ »eTT\T ABC eT]j·TT DEC \qT >∑eTì+#·e#·TÃqT. eT] sT÷ s¬ +&ÉT
Á‹uÛTÑ C≤\ >∑T]+∫ MTs¡T @MT #Ó|Œü >∑\s¡T ? n$ düs«¡ düe÷q Á‹uÛTÑ C≤˝≤ ? ø±<äT ø£<ë m+<äTø£+fÒ yê{Ï
Äø±sê\T ˇø£fÒ ø±ì |ü]e÷D≤\T e÷Á‘·+ y˚sT¡ >± e⁄HêïsTT. Ç˝≤ Äø±sê\T ˇø£fÒ e⁄+&ç ˇπø |ü]e÷D+
e⁄+&Éqedüs+¡ ˝Òì C≤´$Trj·T |ü{≤\qT @eT+{≤s√ MT≈£î ‘Ó\TkÕ ? n$ düs÷¡ |ü |ü{≤\T.
#Ó≥T¢ eT]j·TT ø=+&É\ m‘·TqÔ T, dü÷s¡T´&ç˝≤ <ä÷s¡+>± qTqï yê{Ï eT<Û´ä <ä÷sê\qT m˝≤ ø£qT>=+{≤s√
˙e⁄ }Væ≤+#·>\∑ yê ? M{Ïì eTq+ Á|ü‘´· ø£+å >± fÒ|⁄ü düV‰ü j·T+‘√ ø=\e>∑\e÷ ? ìC≤ìøÏ á m‘·T\Ô T
eT]j·TT <ä÷sê\qT eTq+ |üs√ø£å |ü<‘Δä T· \ <ë«sê ø£qT>=+{≤eTT. á |üs√ø£å |ü<‘Δä T· \˙ï düs÷¡ |ü |ü{≤\
ìj·Te÷\ô|’ Ä<Ûës¡|&ü qç y˚.
8.2 düs¡÷|ü |ü{≤\T

(i) (ii) (iii)

ô|q’ Ç∫Ãq edüTeÔ ⁄ (ø±s¡T) |ü{≤ìï |ü]o*+#·+&ç.

<ëìyÓ&\É TŒqT e÷s¡Ã≈£î+&Ü, bı&Ée⁄qT s¬ {Ï+º |ü⁄ #˚dqæ |ü⁄&ÉT n~ |ü≥eTT (ii)˝À e˝… ø£ì|ædTü +Ô ~.
Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê] ñ∫‘· |ü+|æDÏ
 192 10e ‘·s>¡ ‹∑ >∑D‘Ï +·

n<˚ |ü≥eTT (i)˝Àì bı&Ée⁄qT n˝≤π> e⁄+∫, yÓ&\É TŒqT s¬ {Ï+º |ü⁄ #˚dqæ |ü⁄&ÉT n~ |ü≥eTT(iii)˝À e˝… ø£ì|ædTü +Ô ~.
eT] |ü≥eTT (ii) eT]j·TT |ü≥eTT (iii) \ >∑T]+∫ MTs¡T @$T #Ó|Œü >∑\s¡T? n$ |ü≥eTT(i)ì b˛*
e⁄Hêïj·÷? |ü≥eTT $s¡÷|üeTe&Üìï >∑eTì+#·e#·TÃqT. n$ düs÷¡ bÕ\ì MTs¡T #Ó|Œü >∑\sê? ˝Ò<Tä ø£<ë
m+<äTø£+fÒ n$ ˇπø Äø±sêìï ø£*– e⁄qï|üŒ{Ïø° düs÷¡ bÕ\T ø±e⁄.
ˇø£ bò˛{ÀÁ>±|òüsY ˇπø |òæ˝Ÿà (HÓ¬>{Ïyé) qT+&ç y˚s¡T y˚s¡T |ü]e÷D≤\T >∑\ bò˛{À\qT m˝≤
eTTÁ~+#·>\∑ T>∑T‘·T+<√ Ä˝À∫+#·+&ç. MTs¡T sT÷ bò˛{À\˝À kÕº+|t ôdE ’ , bÕdtb˛sYº ôdE
’ , ø±s¡T¶ ôdE
’ bò˛{À\
>∑T]+∫ $H˚ e⁄+{≤s¡T. ÄyÓT kÕ<Ûës¡D+>± bò˛{ÀqT 35 $T.MT. |ü]e÷D+ ø£*–q ∫qï |ò˝æ Ÿàô|’ rdüTø=+≥T+~.
‘·sT¡ yê‘· <ëìì 45 $T.MT (˝Ò<ë 55 $T.MT)≈£î ô|<ä~› >± #˚dTü +Ô ~. Ä ∫qï bò˛{ÀÁ>±|ò˝t Àì Á|ür sπ U≤ K+&ÉeTT
35 : 45 (˝Ò<ë 35 : 55) ìwüŒ‹Ô˝À ô|<ä~
› ø±e&Üìï eTq+ >∑eTì+#·e#·TÃqT. Ç+ø± s¬ +&ÉT y˚sT¡ y˚sT¡
|ü]e÷D≤\T ø£\ Ä bò˛{ÀÁ>±|ò\t ˝À ø√D≤\T düe÷q+>± e⁄+&É&Üìï eTq+ >∑eTì+#·e#·TÃqT. n+fÒ Ä
bò˛{ÀÁ>±|ò\t T düs÷¡ bÕ\T.

(i) (ii) (iii)

n<˚ $<Û+ä >± C≤´$T‹˝À, uÛTÑ C≤\ dü+K´ düe÷q+>± e⁄qï s¬ +&ÉT ãVüQuÛTÑ E\T düs÷¡ bÕ\T ø±yê\+fÒ
yê{Ï nqTs¡÷|ü ø√D≤\T düe÷q+>± e⁄+&Ü* eT]j·T nqTs¡÷|ü uÛTÑ C≤\T ˇπø ìwüŒ‹Ô˝À (˝Ò<ë) nqTbÕ‘·+˝À
e⁄+&Ü*.
ˇø£ ãVüQuÛTÑ õ˝À uÛTÑ C≤\˙ï eT]j·TT ø√D≤\˙ï düe÷q+>± e⁄+fÒ <ëìì Áø£eT ãVüQuÛTÑ õ n+{≤s¡T.
nqTs¡÷|ü uÛTÑ C≤\ ìwüŒ‹Ôì kÕ<Ûës¡D+>± ùdÿ\T (˝Ò<ë) ùdÿ\T >∑TDø£+ (˝Ò<ë) Á|ü‘ê´e÷ïj·T >∑TDø£+ n+{≤s¡T.
ì»J$‘·+˝À ˇø£ uÛeÑ Hêìï ì]à+#·&ÜìøÏ eTT+<äT>± <ëìì ø±–‘·eTTô|’ ùdÿ\Tq≈£î ^j·TT<äTs¡T. <ëìH˚ eTq+
ã÷¢Á|æ+≥T n+{≤eTT.

Ä˝À∫+#·+&ç, #·]Ã+#·+&ç.
ì» J$‘·+˝À Ç˝≤ ªùdÿ\TμqT e⁄|üj÷Ó –+#˚ dü+<äsꓤ\≈£î eT]ø=ìï ñ<ëVü≤s¡D\T #Ó|Œü >∑\sê?
düe÷q dü+K´˝À uÛTÑ C≤\T ø£\ nìï Áø£eT ãVüQuÛTÑ E\T m|ü&É÷ düs÷¡ bÕ˝Ò. ñ<ëVü≤s¡D≈£î nìï
#·‘T· s¡ÁkÕ\T düs÷¡ bÕ\T n˝≤π> nìï düeTu≤VüQ Á‹uÛTÑ C≤\T düs÷¡ bÕ\T yÓTT<ä˝q’… $.
ˇπø yê´kÕs¡eú TT ø£*–q eè‘êÔ\T düs«¡ düe÷Hê\T, ø±ì y˚sT¡ y˚sT¡ yê´kÕsêú\T >∑\ eè‘êÔ\T düs«¡ düe÷Hê\T
ø±<ä T . ø±ì Ä eè‘êÔ \ ìï+{° ø ° ˇπ ø
Äø±s¡eTT+≥T+~ ø±e⁄q n$ n˙ï düs÷¡ bÕ\T.
Ç+ø± dü s ¡ « dü e ÷q |ü { ≤\˙ï
düs÷¡ bÕ\ì eTq+ #Ó|Œü >∑\eTT, ø±˙ nìï
dü s ¡ ÷ |ü |ü { ≤\T, dü s ¡ « dü e ÷q |ü { ≤\T düs÷¡ |ü #·‘T· s¡ÁkÕ\T düs÷¡ |ü düeT
ø±qedüs+¡ ˝Ò<Tä . düs÷¡ |ü eè‘êÔ\T
u≤VüQ Á‹uÛTÑ C≤\T

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê] ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 düs÷¡ |ü Á‹uÛTÑ C≤\T 193

á düs÷¡ |ü |ü{≤\ >∑T]+∫ eT]+‘· düŒwü+º >± ns¡+ú #˚dTü ø√e&ÜìøÏ á ÁøÏ+~ ø£è‘ê´ìï #˚<ë›eTT.

ø£è‘·´eTT
O
MT ‘·s>¡ ‹∑ >∑~˝Àì ô|’ ø£|ü ≈£î neT]Ãq ã\T“≈£î dü]>±Z ÁøÏ+<ä≈î£ e#˚Ã≥≥T¢
ã\¢qT neTs¡TÃeTT. ˇø£ düeT‘·\+>± qTqï <äfid¯ ]ü n≥º qT+&ç ˇø£ ãVüQuÛTÑ õ
(ABCD nqTø=qTeTT)ì ø£‹] Ô +#·TeTT. <ëìì H˚\≈£î düeT÷+‘·s+¡ >± ã\T“≈£î A B
eT]j·TT ã\¢≈î£ eT<Û´ä ˝À neTs¡TÃeTT. n|ü⁄&ÉT ã\¢ô|’ #·‘T· s¡T“¤»eTT ABCD ˙&É D C
A ′ B′
@s¡Œ&ÉTqT. Ä ˙&É jÓTTø£ÿ n+#·T\qT ^dæ Ä #·‘T· s¡T“¤C≤ìøÏ A′ B′ C′ D′ nì ù|s¡T D′ C′
ô|≥TºeTT.
á #·‘T· s¡T“¤eTT A′ B′ C′ D′ nH˚~ #·‘T· s¡T“¤»eTT ABCD ø£Hêï ô|<ä~› ˝Ò<ë eè~Δ #Ó+~q~. Ç+ø±
JJJG
ã\T“ kÕúqeTT ‘O’ nqT≈£î+fÒ A′ nH˚~ øÏsD¡ eTT OA ô|’ e⁄+&ÉTqT. n˝≤π> B′ nH˚~ OB ô|,’ C′ nH˚~
JJJG JJJG
OC ô|’ eT]j·TT D′ nH˚~ OD ô|’ e⁄+&ÉTqT. #·‘T· s¡T“¤»eTT\T ABCD eT]j·TT A ′ B′ C′ D′ \T ˇπø
Äø±s¡eTT eT]j·TT $$<Ûä |ü]e÷DeTT \≈£î #Ó+~q |ü≥eTT\T.
A ′ nH˚~ os¡¸eTT A ≈£î nqTs¡÷|üeTT. Bìì eTq+ >∑D‘ Ï · ∫Vü‰ï\˝À A′ ↔ A nì ÁyêkÕÔeTT. n˝≤π>
B′ ↔ B, C′ ↔ C eT]j·TT D′ ↔ D.
ì»+>± ø√D≤\qT eT]j·TT uÛTÑ C≤\qT ø=*∫ eTq+
(i) ∠A = ∠A′ , ∠B = ∠B′ , ∠C = ∠C′ , ∠D = ∠D′ eT]j·TT
(ii) AB BC CD DA nì ìsêú]+#·Tø=qe#·TÃqT.
= = =
A′ B′ B′C′ C′D′ D′A′

Bì qT+&ç düe÷q dü+K´˝À uÛTÑ C≤\T ø£\ s¬ +&ÉT ãVüQuÛTÑ E\T düs÷¡ bÕ\T ø±yê\+fÒ
(i) yê{Ï nqTs¡÷|ü ø√D≤\˙ï düe÷q+>± e⁄+&Ü*.
(ii) yê{Ï nqTs¡÷|üuTÑÛ C≤\˙ï ˇπø ìwüŒ‹Ô˝À e⁄+&Ü* (nqTbÕ‘·+˝À e⁄+&Ü*) nì <Ûèä e|ü&TÉ ‘·T+~.
ˇø£ #·‘T· s¡ÁdüeTT, Bs¡#È ‘· T· s¡ÁkÕìøÏ düs÷¡ |üe÷? Ä s¬ +&ÉT |ü{≤\\˝À nqTs¡÷|üø√D≤\T düe÷qeTT ø±ì
nqTs¡÷|üuTÑÛ C≤\T ˇπø ìwüŒ‹Ô ˝À e⁄+&Ée⁄. ø£qTø£ n$ düs÷¡ bÕ\T ø±e⁄. s¬ +&ÉT ãVüQuÛTÑ E\T düs÷¡ bÕ\T
ø±yê\+fÒ ô|’ s¬ +&ÉT ìj·Te÷˝À¢ @ ˇø£ÿ ìj·TeT+ dü]b˛<äT. s¬ +&ÉT ìj·Te÷\T ‘·|Œü ì dü]>± bÕ{Ï+|üã&Ü*.

Ä˝À∫+∫, #·]Ã+∫ sêj·T+&ç

ˇø£ #·‘T· s¡ÁdüeTT, sê+ãdt düs÷¡ bÕ\ì ˙e⁄ #Ó|Œü >∑˝yê ? ˙ $TÁ‘·T\‘√ #·]Ã+#·TeTT. Ä ìj·Te÷\T
m+<äT≈£î dü]b˛‘êsTT ˝Ò<ë m+<äT≈£î dü]b˛y√ ø±s¡D≤\T Áyêj·TTeTT.

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê] ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 194 10e ‘·s>¡ ‹∑ >∑D‘Ï +·

Ç$ #˚j·T+&ç
1. ÁøÏ+~ U≤∞\qT düs÷¡ bÕ\T / düs÷¡ bÕ\T ø±e⁄ #˚ |üP]+#·+&ç.
(i) nìï #·‘·Ts¡ÁkÕ\T m\¢|ü&É÷ ........................
(ii) nìï düeTu≤VüQ Á‹uÛÑTC≤\T m\¢|ü&É÷ ........................
(iii) nìï düeT~«u≤VüQ Á‹uÛÑTC≤\T ........................
(iv) düe÷q dü+K´˝À uÛTÑ C≤\T ø£*–q s ¬ +&ÉT ãVüQuÛTÑ E\˝À nqTs¡÷|üø√D≤\T düe÷qeTT eT]j·TT
nqTs¡÷|üuÛÑTC≤\T düe÷qeTT nsTTq n$ ........................
(v) |ü]e÷DeTT ‘·–+ Z #·ã&çq ˝Ò<ë ô|+#·ã&çq ˇø£ edüTeÔ ⁄ jÓTTø£ÿ bò˛{ÀÁ>±|ò\t T ........................
(vi) sê+ãdt eT]j·TT #·‘·Ts¡ÁkÕ\T ˇø£<ëìø=ø£{Ï........................
2. ÁøÏ+~ Á|üe#·Hê\T dü‘´· yÓ÷, ndü‘´· yÓ÷ sêj·T+&ç.
(i) ¬s+&ÉT düs¡÷|ü|ü{≤\T düs¡«düe÷Hê\T
(ii) ¬s+&ÉT düs¡«düe÷q |ü{≤\T düs¡÷bÕ\T
(iii) ¬s+&ÉT ãVüQuÛÑTE\≈£î nqTs¡÷|üø√D≤\T düe÷Hê˝…’q n$ düs¡÷bÕ\T.
3. á ÁøÏ+~ yê{ÏøÏ s¬ +&ÉT y˚sT¡ y˚sT¡ ñ<ëVü≤s¡D*e«+&ç.
(i) düs¡÷|ü |ü{≤\T (ii) düs¡÷|ü |ü{≤\T ø±ì$

8.3 Á‹uÛÑTC≤\ düs¡÷|ü‘·

eTT+<äT ^∫q Á‹uÛTÑ C≤\˝À s¬ +&ÉT Á‹uÛTÑ C≤\T düs÷¡ |üø£ <Ûsä êàìï Á|ü<]ä Ù+#êsTT. s¬ +&ÉT Á‹uÛTÑ C≤\T
düs÷¡ bÕ\T ø±yê\+fÒ
(i) yê{Ï nqTs¡÷|ü ø√D≤\T düe÷q+>± e⁄+&Ü*.
(ii) yê{Ï nqTs¡÷|ü uÛTÑ C≤\T ˇπø ìwüŒ‹Ô˝À e⁄+&Ü* (nqTbÕ‘·+˝À e⁄+&Ü*) nì eTq≈£î ‘Ó\TdüT.
|ü]#·jT· +˝À ΔABC eT]j·TT ΔDEC \˝À
∠A = ∠D , ∠B = ∠E , ∠ACB = ∠DCE D
A
DE EC DC
Ç+ø± = = = K (ùdÿ\T >∑TDø£+)
AB BC AC
n|ü⁄&ÉT ΔABC, ΔDEC \T düs÷¡ bÕ\T ne⁄‘êsTT. B C E
BìH˚ eTq+ >∑Ts¡T\Ô ˝À ΔABC ~ ΔDEC nì ÁyêkÕÔeTT.
(‘~’ >∑Ts¡Tq
Ô T eTq+ ªdüs÷¡ |üeTTμ nì #·<Tä e⁄‘êeTT)
K nH˚~ ùdÿ\T >∑TDø£+ ø±e⁄q
K > 1 nsTTq ô|<ä$ › #˚jT· ã&çq |ü{≤\T
K = 1 nsTTq düs«¡ düe÷q |ü{≤\T
K < 1 nsTTq ∫qï$ #˚jT· ã&çq |ü{≤\T @s¡Œ&É‘êsTT.

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê] ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 düs÷¡ |ü Á‹uÛTÑ C≤\T 195

Ç+ø± ΔABC eT]j·TT ΔDEC \˝À nqTs¡÷|ü ø√D≤\T düe÷qeTT. ÁbÕ<∏$ä Tø£ nqTbÕ‘·
n+<äTøπ yê{Ïì düeTø√D°jT· Á‹uÛTÑ »eTT\T n+{≤s¡T. s¬ +&ÉT düeTø√D Á‹uÛTÑ C≤˝˝À dæ<ëΔ+‘·eTT ?
s¬ +&ÉT nqTs¡÷|üuTÑÛ C≤\ ìwüŒ‹Ô jÓTÆ Hê ˇπø˝≤ e⁄+≥T+~. Bì ìs¡÷|üD≈£î
ÁbÕ<∏$ä Tø£ nqTbÕ‘· dæ<ëΔ+‘·eTT nedüse¡ TT. BìH˚ eTqeTT <∏˝˚ Ÿ‡ dæ<ëΔ+‘·eTT
nì ≈£L&Ü n+{≤eTT.
á ÁbÕ<∏$ä Tø£ nqTbÕ‘· dæ<ëΔ+‘·eTT ˝Ò<ë <∏˝˚ Ÿ‡ dæ<ëΔ+‘·eTTqT ns¡+ú
#˚dTü ø√e&ÜìøÏ á ÁøÏ+~ ø£è‘ê´ìï #˚<ë›eTT.

ø£è‘·´eTT
ˇø£ s¡÷fi¯fl ø±–‘êìï rdüTø=ì, <ëì˝À @<Ó’Hê ˇø£ ^‘·‘√ uÛÑ÷$T A

@ø°u$ÑÛ +#˚≥≥T¢ ˇø£ Á‹uÛTÑ C≤ìï ^j·T+&ç. á Á‹uÛTÑ »eTT ABC nH˚ø£ ^‘·\qT Q
P
‘ê≈£î‘·÷ e⁄+≥T+~. á ^‘·\˝À @<ÓH’ ê ˇø£ ^‘·qT m+#·Tø=ì n~ Á‹uÛTÑ »
uÛTÑ C≤\T AB, AC \qT ‘ê≈£î _+<äTe⁄\≈£î P, Q nì ù|s¡T ô|≥TºeTT.
AP AQ B C
, ìwüŒ‘·T\Ô qT ø£qT>=qTeTT. MTs¡T @$T >∑eTì+#ês¡T? Ä
PB QC
ìwüŒ‘·T\Ô T düe÷q+>± e⁄+{≤sTT. m+<äT≈£î? Ç~ m|ü&É÷ ì»y˚THê? Ä Á‹uÛTÑ »eTTqT ‘ê≈£î $$<Ûä ^‘·\qT
rdüTø=ì Á|üjT· ‹ï+#·TeTT. ˇø£ s¡÷fi¯fl ø±–‘·eTTô|’ nìï ^‘·\T düe÷+‘·s¡ sπ K\T nì eTq≈£î ‘Ó\TdüT. Ç+ø±
Á|ürkÕØ Ä ìwüŒ‘·T\Ô T düe÷q+>± e⁄+&É{≤ìï eTq+ >∑eTì+#·e#·TÃqT.
ø±e⁄q ΔABC ˝À, PQ || BC nsTTq AP = AQ .
PB QC
Ç<˚ ÁbÕ<∏$ä Tø£ nqTbÕ‘· dæ<ëΔ+‘·eTT jÓTTø£ÿ |ò*ü ‘·eTT.
8.3.1 ÁbÕ<∏$ä Tø£ nqTbÕ‘· dæ<ëΔ+‘·eTT (<∏˝˚ Ÿ‡ dæ<ëΔ+‘·eTT)
dæ<ëΔ+‘·eTT-8.1 : ˇø£ Á‹uÛTÑ »+˝À ˇø£ uÛTÑ C≤ìøÏ düe÷+‘·s+¡ >± ^dæq sπ K $T–*q s¬ +&ÉT uÛTÑ C≤\qT y˚sT¡ y˚sT¡
_+<äTe⁄\˝À K+&ç+∫q, Ä $T–*q s¬ +&ÉT uÛTÑ C≤\T ˇπø ìwüŒ‹Ô˝À $uÛõÑ +|üã&É‘êsTT.
<ä‘êÔ+X¯eTT : ΔABC ˝À DE || BC, DE sπ K AB, AC uÛTÑ C≤\qT es¡Tdü>± D eT]j·TT E e<ä› K+&ç+#·TqT.
AD AE
kÕsê+X¯eTT: =
DB EC
ìsêàDeTT : B, E eT]j·TT C, D \qT ø£\T|ü⁄eTT
eT]j·TT DM ⊥ AC, EN ⊥ AB ^j·TTeTT. A
1 N M
ñ|ü|‹ü Ô : ΔADE yÓX’ Ê\´eTT = 2 × AD × EN
D E
1
’ Ê\´eTT = 2 × BD × EN
ΔBDE yÓX
B C

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê] ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 196 10e ‘·s>¡ ‹∑ >∑D‘Ï +·

1
(ΔADE) yÓ’XÊ\´eTT × AD × EN AD
= 2 =
ø±e⁄q 1 ...(1)
(ΔBDE) yÓ’XÊ\´eTT
× BD × EN BD
2

1
eTs¡\ ΔADE yÓX
’ Ê\´eTT = × AE × DM
2

1
ΔCDE yÓX
’ Ê\´eTT = × EC × DM
2

1
(ΔADE) yÓX’ Ê\´eTT × AE × DM AE
= 2 = ...(2)
(ΔCDE) yÓX’ Ê\´eTT 1
× EC × DM EC
2

ΔBDE, ΔCDE \T ˇπø uÛ÷Ñ $T DE eT]j·TT düeT÷+‘·s¡ sπ K\T BC eT]j·TT DE\ eT<Û´ä e⁄qï≥T¢
>∑eTì+#·e#·TÃqT..
ø±e⁄q ΔBDE yÓX’ Ê\´eTT = ΔCDE yÓX
’ Ê\´eTT ...(3)
(1), (2), (3) \ qT+&ç
AD AE
=
DB EC
ø±e⁄q dæ<ëΔ+‘·eTT ìs¡÷|æ+#·ã&çq~.
ô|’ dæ<ëΔ+‘·eTT jÓTTø£ÿ $|üs´¡ j·TeTT ≈£L&Ü dü‘´· y˚THê ? Bìì ìsêú]+#·Tø=qT≥≈£î eTs=ø£ ø£è‘ê´ìï
#˚<ë›eTT.
ø£è‘·´eTT
MT H√≥T |ü⁄düøÔ +£ ˝À ø√DeTT XAY ì ^j·T+&ç. Ç+ø± øÏsD¡ eTT AX ô|’ AB1 = B1B2 = B2B3
= B3B4 = B4B = 1ôd+.MT (nqTø=qTeTT) e⁄+&ÉTq≥T¢ _+<äTe⁄\T B1, B2, B3, B4 eT]j·TT B \qT
>∑T]Ô+#·TeTT. n˝≤π> øÏsD¡ eTT AY ô|’ , AC1 = C1C2 = C2C3 = C3C4 = C4C = 2 ôd+.MT (nqTø=qTeTT)
e⁄+&ÉTq≥T¢ _+<äTe⁄\T C1, C2, C3, C4 eT]j·TT C \qT >∑T]Ô+#·TeTT.
B1, C1 eT]j·TT B, C _+<äTe⁄\qT ø£\T|ü⁄eTT.

AB1 AC1 1
= = nì >∑eTì+#·TeTT. eT]j·TT B1C1 || BC
B1B C1C 4

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê] ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 düs÷¡ |ü Á‹uÛTÑ C≤\T 197

n<˚ $<Û+ä >± B2C2, B3C3 eT]j·TT B4C4 \qT ø£\T|ü⁄eTT.

Y
AB2 AC 2 2 C
= = eT]j·TT B2C2 || BC C4
B2 B C 2 C 3 C3
C2
C1
AB3 AC3 3
= = eT]j·TT B3C3 || BC A X
B3 B C3C 2 B1 B2 B3 B4 B

AB4 AC 4 4
= = eT]j·TT B4C4 || BC nì MTs¡T #·÷&Ée#·TÃqT.
B4 B C 4 C 1

Bì qT+&ç á ÁøÏ+~ dæ<ëΔ+‘·eTT nq>± <∏˝˚ Ÿ‡ dæ<ëΔ+‘·eTT jÓTTø£ÿ $|üs´¡ j·TeTTqT bı+<äe#·TÃqT.

dæ<ëΔ+‘·eTT-8.2 : ˇø£ Á‹uÛTÑ »eTT˝À @yÓH’ ê s¬ +&ÉT uÛTÑ C≤\qT ˇπø ìwüŒ‹Ô˝À $uÛõÑ +#·T düsfi¡ sπ¯ K, eT÷&Ée uÛTÑ C≤ìøÏ
düe÷+‘·s+¡ >± e⁄+&ÉTqT.
AD AE
<ä‘êÔ+X¯eTT : ΔABC˝À, = n>∑Tq≥T¢ ^j·Tã&çq düsfi¡ sπ¯ K DE.
DB EC

kÕsê+X¯eTT : DE || BC A
ñ|ü|‹ü Ô : DE, BC øÏ düe÷+‘·se
¡ TT ø±<äT nqTø=qTeTT. E
1

D E
n|ü⁄&ÉT BC øÏ düe÷+‘·s+¡ >± DE1 qT ^j·TTeTT

AD AE ′
n|ü⁄&TÉ = (m+<äT≈£î ?)
DB E′C B C

AE AE ′
∴ = (m+<äT≈£î ?)
EC E′C

Çs¡TyÓ|’ ⁄ü ˝≤ ª1μ ø£\T|ü>±, E eT]j·TT E ′ \T ‘·|Œü ìdü]>± @ø°u$ÑÛ +#ê* nì ‘Ó\TdüT+Ô ~.(m+<äT≈£î ?)

Á|üj·T‹ï+#·+&ç
1. ΔPQR ˝À uÛTÑ C≤\T PQ eT]j·TT PR \ô|’ _+<äTe⁄\T es¡Tdü>± E eT]j·TT F. á ÁøÏ+~ yê{Ï˝À Á|ü‹
dü+<äs“¡ +¤ ˝À EF ||QR ne⁄H√, ø±<√ ‘Ó\Œ+&ç.

(i) PE = 3.9 ôd+.MT EQ = 3 ôd+.MT PF = 3.6 ôd+.MT, FR = 2.4 ôd+.MT

(ii) PE = 4 ôd+.MT, QE = 4.5 ôd+.MT, PF = 8 ôd+.MT, RF = 9 ôd+.MT.

(iii) PQ = 1.28 ôd+.MT PR = 2.56 ôd+.MT PE = 1.8 ôd+.MT, PF = 3.6 ôd+.MT.

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê] ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 198 10e ‘·s>¡ ‹∑ >∑D‘Ï +·

2. á ÁøÏ+~ |ü{≤\˝À DE || BC.

(i) EC ì ø£qT>=qTeTT A (ii) AD ì ø£qT>=qTeTT A

M.T.
ôdc+m.
1.5
E
D D E

M.T.
T.
+m.M.

ôdc+m.
3 ôcd

7.2
B C B C

ìsêàDeTT : sπ U≤K+&ÉeTTqT $uÛõÑ +#·T≥ (<∏˝˚ Ÿ‡ dæ<ëΔ+‘·eTTqT|üj÷Ó –+∫)

e÷<ÛTä ] ˇø£ sπ U≤K+&ÉeTTqT ^dæq~. <ëìì 3 : 2 ìwüŒ‹Ô˝À
$uÛõÑ +#ê\qTø=+~. ùdÿ\T düV‰ü j·T+‘√ Ä sπ U≤K+&ÉeTTqT ø=*∫ 9
<ëìì ø±e\dæq ìwüŒ‹Ô˝À $uÛõÑ +∫q~. Ç+‘·˝À ÄyÓT nø£ÿ e∫à 8
ÄyÓTqT ÄπsU≤ K+&ÉeTTqT ø=\e≈£î+&Ü ø±e\dæq ìwüŒ‹Ô˝À 7
$uÛõÑ +#·>\∑ yê ? nì n&ç–+~. ø±ì e÷<ÛTä ]øÏ m˝≤ #˚j÷· ˝À 6
B1
‘Ó*nj·Tø£ yêfi¯fl nø£ÿH˚ #Ó|Œü eTì n&ç–+~. n|ü&ÉT yêfi¯fl nø£ÿ 5
Ç˝≤ #Ó|Œæ +~. MTs¡T ≈£L&Ü á ø£è‘ê´ìï #˚jT· e#·TÃqT. 4
P1
3
ø£è‘·´eTT 2
1
A1
ˇø£ s¡÷fi¯fl ø±–‘·eTTqT rdüTø=qTeTT. n&ÉT>∑Tq e⁄qï ^‘·≈î£ 0
‘0’ sTT∫à nìï ^‘·\≈£î es¡Tdü>± dü+K´\T 1, 2, 3, 4, ...\qT
Áyêj·TTeTT.
ˇø£ <äfid¯ ]ü n≥ºqT rdüTø=ì Ç∫Ãq sπ U≤K+&ÉeTT AB yÓ+ã&ç
e⁄+∫, Ä sπ U≤ K+&ÉeTT ∫es¡\qT n≥ºô|’ >∑T]Ô+#·TeTT. Ä _+<äTe⁄ A B
\qT A1, B1 nì rdüTø=qTeTT. A
1
B
1

Ç|ü&ÉT A1 _+<äTe⁄qT s¡÷fi¯flø±–‘·eTTô|’ ‘O’ sπ K e<ä›

e⁄+∫ ø±s¡Tq¶ T A1 #·T≥÷º ÁuÛeÑ TD+ #˚d÷ü Ô B1 _+<äTe⁄ 5e sπ Kô|’
e#·TÃq≥T¢ #˚jT· e˝…qT. (3 + 2).
n|ü⁄&ÉT eT÷&Ée sπ K Ä <äfid¯ ]ü n≥ºqT mø£ÿ&É ‘ê≈£îH√ Ä _+<äTe⁄qT P1 >± >∑T]Ô+#·TeTT.
eTs¡\ á n≥ºqT Ç∫Ãq sπ U≤K+&ÉeTT yÓ+ã&ç A1 eT]j·TT A, B1eT]j·TT B \T @ø°u$ÑÛ +#·Tq≥T¢ e⁄+∫,
P1 _+<äTe⁄≈£î nqT>∑TD+>± s π U≤K+&ÉeTTô|’ ªPμ _+<äTe⁄qT >∑T]Ô+#·TeTT.
eTq≈£î ø±e\dæq _+<äTe⁄ ªPμ . Ç~ Ç∫Ãq sπ U≤ K+&ÉeTTqT 3:2 ìwüŒ‹Ô˝À $uÛõÑ +#·T _+<äTe⁄.
sTT|ü⁄&ÉT á ìsêàDeTT m˝≤ #˚kÕÔs√ H˚sT¡ Ã≈£î+<ëeTT.
sπ U≤K+&ÉeTT AB Ç∫Ãq, <ëìì eTq+ m : n ìwüŒ‹Ô˝À $uÛõÑ +#ê*. (m, n \T <Ûqä |üPs¡í dü+K´) m
= 3 eT]j·TT n = 2 nqTø=qTeTT.
A B
k˛bÕHê\T :
1. sπ U≤ K+&ÉeTT AB ‘√ n\Œø√DeTT #˚jT· Tq≥T¢ øÏsD¡ eTT
AX qT ^j·TTeTT.
X

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê] ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 düs÷¡ |ü Á‹uÛTÑ C≤\T 199

2. ‘A’ øπ +Á<äeTT>± @<ÓH

’ ê ø=\‘·\ øÏsD¡ eTT AX ô|’ ˇø£ #ê|üeTTqT A B
A B ^j·TTeTT. #ê|üeTT,
A1
A1 øÏsD¡ eTTqT K&ç+&ç+∫q
A2
A3 _+<äTe⁄ A1.
A4 X
A5 X 3. A1 øπ +Á<ä+>± n<˚ ø=\‘·‘√ eTs¡\ øÏsD¡ eTTô|’ #ê|üeTTqT
^j·TTeTT. #ê|üeTT, øÏsD¡ eTTqT K+&ç+∫q _+<äTe⁄ A2 .
4. á $<Û+ä >± 5 _+<äTe⁄\qT >∑T]Ô+#·TeTT (5=m + nR 3G2) Ä 3 C 2
5 _+<äTe⁄\T A1, A2, A3, A4, A5 eT]j·TT Ç$ A B

AA1 = A1A2 = A2A3 = A3A4 = A4A5 nj˚T´≥≥T¢ e⁄+&ÉTqT. A1

A2
A3
5. A5, B _+<äTe⁄\qT ø£\T|ü⁄eTT. A3 _+<äTe⁄ >∑T+&Ü(m = 3 ø±e⁄q) A5B øÏ A4
A5 X
düe÷+‘·s+¡ >± ˇø£ sπ KqT ^j·TTeTT ( ∠A A5 BøÏ düe÷qyÓTqÆ ø√DeTT ì]à+#·T≥
<ë«sê). Ç~ AB ì C _+<äTe⁄ e<ä› ‘ê≈£îqT eT]j·TT AC : CB = 3 : 2.
Ç|ü⁄&ÉT eTq+ <∏˝˚ Ÿ‡ dæ<ëΔ+‘·eTT eT]j·TT <ëì $|üs´¡ j·TeTT\ô|’ ø=ìï ñ<ëVü≤s¡D\T #˚<ë›+.
AD 3 A
ñ<ëVü≤s¡D-1. ΔABC ˝À, DE || BC eT]j·TT = .
DB 5
AC = 5.6. nsTTq AE $\Te m+‘·?
D E
kÕ<Ûqä : ΔABC ˝À, DE || BC
AD AE
⇒ = (ÁbÕ<∏$
ä Tø£ nqTbÕ‘· dæ<ëΔ+‘·eTT qT+&ç)
DB EC B C
AD 3 AE 3
ø±ì = ø±e⁄q =
DB 5 EC 5
AC = 5.6 eT]j·TT AE : EC = 3 : 5.
AE 3
=
AC − AE 5
AE 3
= (n&É>
¶ T∑ Dø±s¡+ #˚jT· >±)
5.6 − AE 5
5AE = (3 × 5.6) − 3AE
8AE = 16.8

16.8
AE = = 2.1 ôd+.MT.
8

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê] ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 200 10e ‘·s>¡ ‹∑ >∑D‘Ï +·

B
ñ<ëVü≤s¡D-2. Ç∫Ãq |ü≥+˝À LM || AB
AL = x − 3, AC = 2x, BM = x − 2 M
eT]j·TT BC = 2x + 3 nsTTq x $\TeqT ø£qT>=qTeTT.
kÕ<Ûqä : ΔABC ˝À, LM || AB
C A
AL BM L
⇒ = (ÁbÕ<∏$
ä Tø£ nqTbÕ‘· dæ<ëΔ+‘·eTT qT+&ç)
LC MC
x −3 x−2
=
2 x − ( x − 3) (2 x + 3) − ( x − 2)
x −3 x−2
= (n&É>¶ T∑ Dø±s¡+ #˚jT· >±)
x+3 x +5
(x − 3) (x + 5) = (x − 2) (x + 3)
x2 + 2x − 15 = x2 + x − 6
⇒ 2x − 15 = x − 6
x=9

Ç$ #˚j·T+&ç
C
1. Ç∫Ãq |ü≥+˝À x jÓTTø£ÿ @ $\Te(\T)≈£î DE || AB n>∑TqT ?
AD = 8x + 9, CD = x + 3 D E
C
BE = 3x + 4, CE = x.
E A B
2. ΔABC ˝À DE || BC. AD = x, DB = x − 2,
AE = x + 2 eT]j·TT EC = x − 1.
nsTTq x $\TeqT ø£qT>=qTeTT. A B
D

ñ<ëVü≤s¡D-3. ˇø£ #·‘T· s¡T“¤»eTT ABCD ˝À ø£seí¡ TT\T ‘O’ _+<äTe⁄ e<ä› K+&ç+#·Tø=qTqT eT]j·TT
AO CO
= nsTTq n~ ˇø£ Áf…|õ” j·T+ nì #·÷|ü+&ç.
BO DO
AO CO
kÕ<Ûqä : <ä‘êÔ+X¯eTT : #·‘T· s¡T“¤»eTT ABCD ˝À, = .
BO DO
kÕsê+X¯eTT : ABCD ˇø£ Áf…|õ” j·T+.
ìsêàDeTT : ‘O’ _+<äTe⁄ >∑T+&Ü ABøÏ düe÷+‘·s+¡ >± sπ KqT ^dæq n~ DA qT _+<äTe⁄ ªXμ e<ä›
K+&ç+#·TqT.
ñ|ü|‹ü Ô : ΔDAB˝À, XO || AB (ìsêàDeTT qT+&ç)

DX DO
⇒ = (ÁbÕ<∏$
ä Tø£ nqTbÕ‘· dæ<ëΔ+‘·eTT qT+&ç)
XA OB

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê] ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 düs÷¡ |ü Á‹uÛTÑ C≤\T 201

D C
AX BO
= ..... (1)
XD OD X
O
AO CO
eTs¡\ = (<ä‘êÔ+X¯eTT) A B
BO DO

AO BO
= ..... (2)
CO OD
(1) (2) \ qT+&ç

AX AO
=
XD CO

AX AO
ΔADC ˝À, = n>∑Tq≥T¢ XO sπ K e⁄qï~
XD OC
⇒ XO || DC (ÁbÕ<∏$
ä Tø£ nqTbÕ‘· dæ<ëΔ+‘·eTT $|üs´¡ j·TeTT qT+&ç)
⇒ AB || DC
#·‘T· s¡T“¤»eTT ABCD ˝À, AB || DC
⇒ ABCD ˇø£ Áf…|õ ” j·T+ (ìs¡«#·q+ Á|üø±s¡+)
ø±e⁄q s¡TEe⁄ #˚jT· ã&çq~.
ñ<ëVü≤s¡D-4. Áf…|õ” j·T+ ABCD˝À, AB || DC. E eT]j·TT F _+<äTe⁄\T es¡Tdü>± EF || AB n>∑Tq≥T¢,
AE BF
düeT÷+‘·s+¡ ø±ì uÛTÑ C≤\T AD, BC \ô|’ qTqï$. nsTTq = nì #·÷|ü+&ç.
ED FC
kÕ<Ûqä : A, C _+<äTe⁄\qT ø£\T|ü>± @s¡Œ&çq sπ U≤K+&ÉeTT EF qT G e<ä› K+&ç+∫q~.
AB || DC eT]j·TT EF || AB (<ä‘êÔ+X¯eTT)
⇒ EF || DC (ˇπø sπ K≈£î düeT÷+‘·s+¡ >± qTqï sπ K\T düe÷+‘·sê\T)
ΔADC ˝À, EG || DC A B

AE AG E F
ø±e⁄q = (ÁbÕ<∏$
ä Tø£ nqTbÕ‘· dæ<ëΔ+‘· Á|üø±s¡+) G
ED GC ...(1)
n<˚$<Û+ä >±, ΔCAB ˝À, GF || AB D C

CG CF AG BF
= (ÁbÕ<∏$
ä Tø£ nqTbÕ‘· dæ<ëΔ+‘· Á|üø±s¡+) nq>± = ...(2)
GA FB GC FC

(1), (2) AE BF .
\ qT+&ç, =
ED FC

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê] ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 202 10e ‘·s>¡ ‹∑ >∑D‘Ï +·

nuÛ≤´düeTT - 8.1 P

PS PT
1. ΔPQR ˝À = n>∑Tq≥T¢ ST
SQ TR
S T
ˇø£ düsfi¡ sπ¯ K. Ç+ø£q÷ ∠PST = ∠PRQ .
nsTTq ΔPQR ˇø£ düeT~«u≤VüQ Á‹uÛTÑ »eTì #·÷|ü+&ç.
B
Q R
M

2. Ç∫Ãq |ü≥+˝À, LM || CB eT]j·TT LN || CD

A L C
AM AN
nsTTq = nì #·÷|ü+&ç.
N AB AD A
D

3. Ç∫Ãq |ü≥+˝À, DE || AC eT]j·TT DF || AE

D
nsTTq BF = BE
nì #·÷|ü+&ç.
FE EC

B C
F F E
A .
+.MT 4. Ç∫Ãq |ü≥+˝À, AB || CD || EF.
3 ôd
T.

T.
+.M

ôd+.M

C AB = 7.5 ôd+.MT DC = y ôd+.MT

ôd

.
+.MT
7.5

4.5

x ôd EF = 4.5 ôd+.MT, BC = x ôd+.MT.

y ôd+.
MT.
B D E
nsTTq x , y $\Te\qT ø£qT>=q+&ç.

5. ˇø£ Á‹uÛTÑ »eTT˝À ˇø£ uÛTÑ »eTT eT<Û´ä _+<äTe⁄ >∑T+&Ü b˛j˚Tsπ K, s¬ +&Ée uÛTÑ C≤ìøÏ düeT÷+‘·s+¡ >± e⁄+fÒ
n~ eT÷&Ée uÛTÑ C≤ìï düeT~«K+&Éq #˚dTü +Ô <äì #·÷|ü+&ç. (ÁbÕ<∏$ä Tø£ nqTbÕ‘· dæ<ëΔ+‘·eTT qT|üj÷Ó –+∫)
6. ˇø£ Á‹uÛTÑ »eTT˝À s¬ +&ÉT uÛTÑ C≤\ eT<ä´ _+<äTe⁄\qT ø£*ù| P
sπ U≤ K+&ÉeTT eT÷&Ée uÛTÑ C≤ìøÏ düe÷+‘·s+¡ >± e⁄+≥T+<äì
#·÷|ü+&ç. (ÁbÕ<∏ä$Tø£ nqTbÕ‘· dæ<ëΔ+‘· $|üs¡´j·TeTT
qT|üj÷Ó –+∫) D
E F
7. Ç∫Ãq |ü≥eTT˝À, DE || OQ eT]j·TT DF || OR nsTTq
EF || QR nì #·÷|ü+&ç.
O
Q R

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê] ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 düs÷¡ |ü Á‹uÛTÑ C≤\T 203

8. Á|üøÿ£ |ü≥+˝À A, B, C \T es¡Tdü>± OP, OQ eT]j·TT OR P

\ô|’ _+<äTe⁄\T. AB || PQ eT]j·TT AC||PR
A
nsTTq BC || QR nì #·÷|ü+&ç.
9. Áf…|õ” j·T+ ABCD ˝À AB||DC. <ëì ø£seí¡ TT\T |üsd¡ Œü s¡+ O

_+<äTe⁄ ‘O’ e<ä› K+&ç+#·Tø=+{≤sTT. nsTTq AO = CO B C

BO DO Q R
nì #·÷|ü+&ç.
10. 7.2 ôd+.MT bı&Ée⁄ >∑\ ˇø£ s π U≤K+&ÉeTTqT ^dæ <ëìì 5 : 3 ìwüŒ‹Ô˝À $uÛõÑ +#·+&ç. @s¡Œ&çq s¬ +&ÉT
uÛ≤>∑eTT\ bı&Ée⁄\qT ø=*∫ sêj·T+&ç.

Ä˝À∫+∫, #·]Ã+∫ sêj·T+&ç

Á‹uÛTÑ »eTT\ düs÷¡ |ü‘· nH˚~ $T–*q ãVüQuÛTÑ E\ düs÷¡ |ü‘· ø£+fÒ @$<Û+ä >± _ÛqïyÓTqÆ <√ MT
ùdïVæ≤‘·T\‘√ #·]Ã+#·+&ç.
8.4 Á‹uÛÑTC≤\ düs¡÷|ü‘· ìj·÷e÷\T
s¬ +&ÉT Á‹uÛTÑ C≤\T düs÷¡ bÕ\T ø±yê\+fÒ yê{Ï nqTs¡÷|üø√D≤\T düe÷q+>± e⁄+&Ü* eT]j·TT nqTs¡÷|ü
uÛTÑ C≤\T nqTbÕ‘·+˝À e⁄+&Ü* nì eTq≈£î ‘Ó\TdüTqT. s¬ +&ÉT Á‹uÛTÑ C≤\ düs÷¡ |üø‘£ q· T |ü]o*+#·&ÜìøÏ
nqTs¡÷|ü ø√D≤\T düe÷q+>± e⁄Hêïj˚TyÓ÷ |ü]o*+#ê* Ç+ø± nqTs¡÷|ü uÛTÑ C≤\ ìwüŒ‘·T\Ô T düe÷qy˚TyÓ÷
|ü]o*+#ê*. s¬ +&ÉT Á‹uÛTÑ C≤\ düs÷¡ |üø‘£ q· T |ü]o*+#·&ÜìøÏ ø=ìï ìj·Te÷\qT @s¡Œs¡#˚ Á|üjT· ‘·ïeTT
#˚<ë›eTT. á ÁøÏ+~ ø£è‘ê´ìï #˚jT· +&ç.

ø£è‘·´eTT
ˇø£ ø√D e÷ìì eT]j·TT ùdÿ\TqT ñ|üj÷Ó –+∫ düs«¡ düe÷qeTT ø±ì s¬ +&ÉT Á‹uÛTÑ C≤\qT ^j·T+&ç.
Á|ür Á‹uÛTÑ »+˝À s¬ +&ÉT ø√D≤\T 40° eT]j·TT 60° e⁄+&Ü*. Á|ür Á‹uÛTÑ »eTT˝Àì eT÷&Éeø√DeTT ø=\‘·qT
|ü]o*+#·+&ç.
n~ 80° ñ+≥T+~ (m+<äT≈£î?)
Ç|ü⁄&ÉT Á‹uÛTÑ » uÛTÑ C≤\ bı&Ée⁄\T ø£qT>=ì yê{Ï düV‰ü j·T+‘√ nqTs¡÷|ü uÛTÑ C≤\ bı&Ée⁄\ ìwüŒ‹Ô ø£qT>=q+&ç.
á Á‹uÛTÑ C≤\T düs÷¡ bÕ\T ne⁄‘êj·÷ ?
P
A

° ° 40° 60°
40 60 C Q R
B

á ø£è‘·´eTT <ë«sê Á‹uÛTÑ C≤\ düs÷¡ |ü‘≈· î£ eTq+ á ÁøÏ+~ ìj·Te÷ìï #Ó|Œü e#·TÃqT.

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê] ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 204 10e ‘·s>¡ ‹∑ >∑D‘Ï +·

8.4.1 Á‹uÛTÑ C≤\ düs÷¡ |üø‘£ ≈· î£ ø√.ø√.ø√ ìj·TeTeTT

dæ<ëΔ+‘·eTT-8.3 : s¬ +&ÉT Á‹uÛTÑ C≤\˝À nqTs¡÷|ü ø√D≤\T düe÷q+>± e⁄+fÒ, yê{Ï nqTs¡÷|ü uÛTÑ C≤\ ìwüŒ‘·T\Ô T
düe÷q+>± e⁄+{≤sTT. (nqTbÕ‘·+˝À e⁄+{≤sTT). Ç+ø± Ä s¬ +&ÉT uÛTÑ C≤\T düs÷¡ |ü Á‹uÛTÑ C≤\T ne⁄‘êsTT.
<ä‘êÔ+X¯eTT : ΔABC, ΔDEF \˝À,
∠A = ∠D , ∠B = ∠E , ∠C = ∠F A

AB BC AC
kÕsê+X¯eTT : DE = EF = DF
ìsêàDeTT :AB = DP eT]j·TT AC = DQ n>∑Tq≥T¢
DE eT]j·TT DF \ô|’ es¡Tdü>± _+<äTe⁄\T P eT]j·TT Q \qT B C

>∑T]Ô+#·TeTT. P, Q \qT ø£\T|ü⁄eTT.

D
ñ|ü|‹ü Ô : ΔABC ≅ ΔDPQ (m+<äT≈£î ?)
Bì qT+&ç ∠B = ∠P = ∠E eT]j·TT PQ || EF (m˝≤ ?)
DP DQ
∴ = (m+<äT≈£î ?)
PE QF P Q

AB AC
nq>± = (m+<äT≈£î ?)
DE DF
E F
AB BC AB BC AC
n<˚$<Û+ä >± = ø±ã{Ϻ = = .
DE EF DE EF DF
>∑eTìø£ : ˇø£ Á‹uÛTÑ »eTT˝Àì s¬ +&ÉT ø√DeTT\T es¡Tdü>± y˚s=ø£ Á‹uÛTÑ »eTT ˝Àì s¬ +&ÉT ø√DeTT\≈£î düe÷qyÓTqÆ ,
Á‹uÛTÑ »eTT˝Àì ø√D≤\ yÓTT‘·+Ô <Ûsä à¡ + Á|üø±s¡+, Ĭs+&ÉT Á‹uÛTÑ C≤\˝Àì eT÷&Ée ø√D≤\T ≈£L&Ü düe÷qeTT
ne⁄‘êsTT.
Bì qT+&ç ø√.ø√. düs÷¡ |ü ìj·Te÷ìï á $<Û+ä >± #ÓãT‘êeTT. ˇø£ Á‹uÛTÑ »eTT˝Àì s¬ +&ÉT ø√D≤\T
es¡Tdü>± y˚s=ø£ Á‹uÛTÑ »eTT˝Àì s¬ +&ÉT ø√D≤\≈£î düe÷qyÓTqÆ Ä s¬ +&ÉT Á‹uÛTÑ C≤\T düs÷¡ bÕ\T.
eT] ô|’ Á|üe#·qeTT jÓTTø£ÿ $|üs´¡ j·TeTT @$T{Ï?
ˇø£ Á‹uÛTÑ »eTT˝Àì eT÷&ÉT uÛTÑ C≤\T es¡Tdü>± y˚s=ø£ Á‹uÛTÑ »eTT˝Àì nqTs¡÷|üuTÑÛ C≤\‘√ nqTbÕ‘·eTT˝À
e⁄qï Ä s¬ +&ÉT Á‹uÛTÑ C≤\˝Àì nqTs¡÷|ü ø√D≤\T düe÷qeTqT≥ dü]j˚THê ?
Bìì eTqeTT á ÁøÏ+~ ø£è‘·´eTT <ë«sê |ü]o*<ë›eTT.
ø£è‘·´eTT
AB = 3 ôd+.MT, BC = 6 ôd+.MT, CA = 8 ôd+.MT ø=\‘·\‘√ ΔABCì, DE = 4.5 ôd+.MT,
EF = 9 ôd+.MT, FD = 12 ôd+.MT ø=\‘·\‘√ Δ DEF qT ì]à+#·TeTT.
D
A

B C E F

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê] ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 düs÷¡ |ü Á‹uÛTÑ C≤\T 205

AB BC CA 2
Ä s¬ +&ÉT Á‹uÛTÑ C≤\˝À = = = .
DE EF FD 3

Ç|ü&ÉT Ä s¬ +&ÉT Á‹uÛTÑ C≤\˝Àì ø√D≤\qT ø√De÷ìì‘√ ø=*∫q, MTs¡T @$T >∑eTìkÕÔsT¡ ? yê{Ï
nqTs¡÷|ü ø√D≤\ >∑T]+∫ MTs¡T @$T #Ó|Œü >∑\s¡T? n$ düe÷Hê\T ø£<ë, sTT+ø± s¬ +&ÉT Á‹uÛTÑ C≤\T düs÷¡ bÕ\T.
$$<Ûä Á‹uÛTÑ C≤\qT ^dæ á |ò*ü ‘êìï MTs¡T dü]#·÷&Ée#·TÃqT.
ô|’ ø£è‘·´eTT <ë«sê Á‹uÛTÑ C≤\ düs÷¡ |üø‘£ ≈· î£ dü+ã+~Û+∫ á ÁøÏ+~ ìj·Te÷ìï #Ó|Œü e#·TÃqT.

8.4.2. Á‹uÛTÑ C≤\ düs÷¡ |üø‘£ ≈· î£ uÛTÑ .uÛTÑ .uÛTÑ . ìj·TeTeTT

dæ<ëΔ+‘·eTT-8.4 : s¬ +&ÉT Á‹uÛTÑ C≤\˝À, ˇø£ Á‹uÛTÑ »eTT˝Àì uÛTÑ C≤\T y˚s=ø£ Á‹uÛTÑ »eTT˝Àì uÛTÑ C≤\≈£î nqTbÕ‘·eTT˝À
e⁄qï Ä s¬ +&ÉT Á‹uÛTÑ C≤\˝Àì nqTs¡÷|ü ø√D≤\T düe÷qeTT Ç+ø± Ä s¬ +&ÉT Á‹uÛTÑ C≤\T düs÷¡ bÕ\T.
AB BC CA
<ä‘êÔ+X¯eTT : = = (< 1) n>∑Tq≥T¢
DE EF FD A

ΔABC eT]j·TT ΔDEF \qT rdüTø=qTeTT.

kÕsê+X¯eTT : ∠A = ∠D , ∠B = ∠E , ∠C = ∠F
B C
ìsêàDeTT : AB = DP eT]j·TT AC = DQ n>∑Tq≥T¢ DE, DF \ô|’
es¡Tdü>± P eT]j·TT Q _+<äTe⁄\qT >∑T]Ô+#·TeTT. P,Q \qT ø£\T|ü⁄eTT. D

DP DQ
ñ|ü|‹ü Ô : = eT]j·TT PQ || EF (m+<äT≈£î ?)
PE QF
P Q
ø±e⁄q ∠P = ∠ E eT]j·TT ∠Q = ∠F (m+<äT≈£î ?)

DP DQ PQ
∴ = =
DE DF EF E F

DP DQ BC
ø±ì = = (m+<äT≈£î ?)
DE DF EF
ø±ì BC = PQ (m+<äT≈£î ?)
ΔABC ≅ ΔDPQ (m+<äT≈£î ?)

ø±e⁄q ∠A = ∠D , ∠B = ∠E eT]j·TT ∠C = ∠F (m˝≤ ?)

ãVüQuÛTÑ E\ düs÷¡ |üø‘£ ≈· î£ dü+ã+~Û+∫ ˇø£ÿ ìj·TeT+ dü]b˛<äì eTq+ #·~yêeTT. ø±ì Á‹uÛTÑ C≤\
düs÷¡ |üø‘£ ≈· î£ dü+ã+~Û+∫ s¬ +&ÉT ìj·Te÷\T nedüs+¡ ˝Ò<Tä . m+<äTø£+fÒ ˇø£ ìj·TeT+ e⁄+fÒ s¬ +&Ée ìj·TeT+
e⁄qïfÒ.¢ Ç|ü⁄&ÉT eTq+ uÛTÑ .ø√.uÛTÑ . düs÷¡ |üìj·Te÷ìï H˚sT¡ Ã≈£î+<ë+. <ëì ø=s¡≈î£ á ÁøÏ+~ ø£è‘ê´ìï #˚<ë›eTT.

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê] ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 206 10e ‘·s>¡ ‹∑ >∑D‘Ï +·

ø£è‘·´eTT
AB = 2 ôd+.MT, ∠A =500 AC = 4 ôd+.MT.
e⁄+&ÉTq≥T¢ ΔABCì DE = 3 ôd+.MT., ∠D = 500, DF = 6 ôd+.MT. e⁄+&ÉTq≥T¢ ΔDEF qT ^j·TTeTT.

B C E F

AB AC 2
= = eT]j·TT ∠A = ∠D = 500 nì |ü]o*+#·TeTT.
DE DF 3

Ç|ü⁄&ÉT ∠B , ∠C , ∠E , ∠F \qT eT]j·TT BC, EF \qT ø=\T#·TeTT.

BC 2
∠B = ∠E eT]j·TT ∠C = ∠F Ç+ø± = nì |ü]o*+#·e#·TÃqT.
EF 3
ø±e⁄q Ä s¬ +&ÉT Á‹uÛTÑ C≤\T düs÷¡ bÕ\T. $$<Ûä ø=\‘·\T >∑\ Á‹uÛTÑ C≤\qT rdüTø=ì á ø£è‘ê´ìï |ü⁄qsêeè‘·+
#˚jT· +&ç. Bì qT+&ç Á‹uÛTÑ C≤\ düs÷¡ |üø‘£ ≈· î£ dü+ã+~Û+∫ ÁøÏ+~ ìj·TeT+ edüT+Ô ~.

8.4.3 Á‹uÛTÑ C≤\ düs÷¡ |üø‘£ ≈· î£ uÛTÑ .ø√.uÛTÑ ìj·TeTeTT

dæ<ëΔ+‘·eTT-8.5 : ˇø£ Á‹uÛTÑ »eTT˝Àì ˇø£ ø√DeTT, y˚s=ø£ Á‹uÛTÑ »eTT˝Àì ˇø£ ø√DeTTq≈£î düe÷qyÓT,Æ á
ø√D≤\qT ø£*– e⁄qï uÛTÑ C≤\T nqTbÕ‘·+˝À e⁄+fÒ Ä s¬ +&ÉT Á‹uÛTÑ C≤\T düs÷¡ bÕ\T. D
<ä‘êÔ+X¯eTT : ΔABC eT]j·TT ΔDEF \˝À
AB AC
= (< 1) eT]j·TT A
DE DF P Q

∠A = ∠D
kÕsê+X¯eTT : ΔABC ~ ΔDEF B C E F

ìsêàDeTT : AB = DP eT]j·TT AC = DQ n>∑Tq≥T¢ DE , DF uÛTÑ C≤\ô|’ es¡Tdü>± P, Q _+<äTe⁄\qT

>∑T]Ô+#·TeTT. P, Q \qT ø£\T|ü⁄eTT.
ñ|ü|‹ü Ô : PQ || EF eT]j·TT ΔABC ≅ ΔDPQ (m˝≤ ?)
ø±e⁄q ∠A = ∠D , ∠B = ∠P , ∠C = ∠Q
∴ ΔABC ~ ΔDEF (m+<äT≈£î ?)

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê] ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 düs÷¡ |ü Á‹uÛTÑ C≤\T 207

Á|üj·T‹ï+#·+&ç.
1. ÁøÏ+~ Á‹uÛTÑ C≤\T düs÷¡ bÕ˝≤ ? düs÷¡ bÕ\sTT‘˚ @ ìj·TeT+ Ä<Ûës¡+>±H√ $e]+#·+&ç. Á‹uÛTÑ C≤\
düs÷¡ |üø‘£ q· T >∑Ts¡T\Ô qT|üj÷Ó –+∫ sêj·T+&ç. L
F P
(i) I (ii) N
M
H

Q R
G K
A
A
3 2
(iii) 2 2 (iv) P J
X Y 5 31
3
3 3
B C
B C
A
P P
40°
(v) A O (vi) 60°
B

60° 80° 40° 80°

B C Q R
Q P
P
.M.T.
A 2.5ôdc+m 5
A 70° ôdc+m.M.T.
5 ôd+.MT.

6
cm.
2 ôd+.MT.

(vii) 3c cm (viii) 70° R

cm.

Q
T.
ôd+

m . 10
+.M.
6 ôcdm

.
ôd+

.MT

côdm
.MT

+.M.
.

T.
B cm. C Q
2 ôd+.MT. R
4 ôd+.MT.
cm. B C

2. á ÁøÏ+~ Á‹uÛTÑ C≤\T m+<äT≈£î düs÷¡ bÕ˝À $e]+∫ n|ü⁄&ÉT ªxμ $\TeqT ø£qT>=q+&ç.
P S A
(i) 4.5 (ii)
T
P
5 5
x
°x
10
Q B 70° 1 C
3 R L 3 Q 3
R
A
Dx 6
(iii) (iv)
24 14 A 9 B
C 2
22
E S T
B x
P X
4 x
M N A
(v) 5 (vi) 12 B
x 7.5
Q R Z Y
15 18

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê] ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 208 10e ‘·s>¡ ‹∑ >∑D‘Ï +·

E A
A
5 ôcm.
d+.MT.
d+.MT.
x
1.6 ôm.
(vii) (viii) E
x 4 ôcm.
d+.MT.
B 1.5 m. D
ôd+.MT.C 15 ôdm.
+.MT.
B C
6 ôcm.
d+.MT.

ìsêàDeTT : Ç∫Ãq ùdÿ\T Á|üø±s¡eTT Ç∫Ãq Á‹uÛTÑ C≤ìøÏ düs÷¡ |ü+>± e⁄+&˚≥≥T¢ Á‹uÛTÑ C≤ìï ì]à+#·&eÉ TT.
3
a) Ç∫Ãq Á‹uÛTÑ »eTT ¡ |ü+>± e⁄+≥÷, ΔABC
ABC øÏ düs÷ uÛTÑ C≤\˝À 4
e+‘·T e⁄+&˚≥≥T¢ nqTs¡÷|ü
3
uÛTÑ C≤\T ø£*–q Á‹uÛTÑ »eTTqT ì]à+#·TeTT.(ùdÿ\T >∑TDø£eTT 4
)
A
k˛bÕqeTT\T 1.BC uÛTÑ C≤ìøÏ os¡¸eTT A e⁄qï yÓ|’ ⁄ü ≈î£ e´‹πsK~X¯˝À <ëì‘√ n\Œø√DeTT 1
A
#˚jT· Tq≥T¢ BX øÏsD¡ eTTqT ^j·TeTT.
2. á BX ô|’ BB1 = B1B2 = B2B3 = B3B4 n>∑Tq≥T¢ Hê\T>∑T _+<äTe⁄\T
B1, B2, B3, B4 \qT >∑T]Ô+#·TeTT. B C
1
C
B
3. B4C ì ø£\T|ü⁄eTT. B3 >∑T+&Ü B4C øÏ düe÷+‘·s+ ¡ >± B
1
2

′
e⁄+&˚≥≥T¢ sπ KqT ^dæq n~ BC ì C e<ä› K+&ç+#·TqT. B 3
B4
4. C′ >∑T+&Ü CA ≈£î düe÷+‘·s+ ¡ >± ^dæq sπ K BA qT A′ . X

e<ä› K+&ç+#·TqT. ø±e⁄q Δ A′BC′ eTq≈£î ø±e\dæq Á‹uÛTÑ »eTT.

á düs÷¡ |ü Á‹uÛTÑ C≤\ ìj·Te÷\qT|üj÷Ó –+#·Tø=H˚ eT]ø=ìï ñ<ëVü≤s¡D\T #·÷<ë›+.
ñ<ëVü≤s¡D-5. 1.65MT bı&Ée⁄ >∑\ ˇø£ e´øÏÔ ˙&É bı&Ée⁄ 1.8 MT. n<˚ düeTj·T+˝À, ˇø£ B|üd+Ôü uÛeÑ TT 5.4
MT. bı&Ée⁄ >∑\ ˙&ÉqT @s¡Œs¡∫q, Ä B|ü dü+Ô uÛeÑ TT bı&Ée⁄ m+‘·?
P

A
h MT.

1.65 MT.
B R
1.8 MT C Q 5.4 MT.

kÕ<Ûqä : ΔABC eT]j·TT ΔPQR \˝À

∠B = ∠Q = 900.
∠C = ∠R (AC || PR, @ düeTj·T+˝ÀHÓH’ ê dü÷s¡´øÏsD¡ ≤\T düe÷+‘·sê\T)
ΔABC ~ ΔPQR ( ø√ø√ düs÷
¡ |üìj·TeT+ Á|üø±s¡+)
AB BC
= (düs÷
¡ |üÁ‹uÛTÑ C≤\ nqTs¡÷|üuTÑÛ C≤\T)
PQ QR
Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê] ñ∫‘· |ü+|æDÏ
 düs÷¡ |ü Á‹uÛTÑ C≤\T 209

1.65 1.8
=
PQ 5.4
1.65 × 5.4
PQ = = 4.95m
1.8
Ä B|ü dü+Ô uÛeÑ TT m‘·TÔ 4.95MT.
ñ<ëVü≤s¡D-6. ˇø£ >√|ü⁄s¡eTT qT+&ç 87.6 MT≥s¡¢ <ä÷s¡eTT˝À e⁄+∫q n<äe› TT˝À ˇø£ e´øÏÔ >√|ü⁄s¡ •Ks¡eTTqT
#·÷ôdqT. n<äe› TT H˚\ô|’ }s¡«ú ~X¯˝À e⁄+#·ã&çq~ eT]j·TT Ä e´øÏÔ n<äe› TT qT+&ç 0.4MT <ä÷s¡eTT˝À
e⁄Hêï&ÉT. n‘·ì ø£+{Ï #·÷|ü⁄ uÛ÷Ñ $T qT+&ç 1.5 MT≥s¡¢ m‘·T˝Ô À qTqï Ä >√|ü⁄s¡eTT m‘·TqÔ T ø£qT>=qTeTT.
kÕ<Ûqä : ΔABC eT]j·TT ΔEDC \˝À E
∠ABC = ∠EDC = 90°
A
∠BCA = ∠DCE (|ü‘q · ø√DeTT eT]j·TT ?
|üsêes¡qÔ ø√DeTT\T düe÷qeTT) h MT.
1.5 MT.
ΔABC ~ ΔEDC (ø√ø√ düs÷
¡ |ü ìj·TeT+)
AB BC 1.5 0.4 B D
= ⇒ = 0.4 MT. C 87.6 MT. >√|ü⁄s¡eTT
ED CD h 87.6 n<äe› TT

1.5 × 87.6
h= = 328.5 MT.
0.4
ø±e⁄q, Ä>√|ü⁄s¡eTT m‘·TÔ 328.5MT.
ñ<ëVü≤s¡D7. >√bÕ˝Ÿ ‘·q Ç+{Ï Vü‰\T Á|üøÿ£ nbÕs¡Tyº TÓ +≥T ô|’ n+‘·dTü ˝ú Àì øÏ{øÏ ° e<ä› ì\T#·TH˚ e´≈£î\Ô ≈£î m|ü&É÷
ø£ì|æd÷ü Ô e⁄+{À+<äì Ä+<√fi¯q |ü&TÉ ‘·THêï&ÉT. <ëì ø=s¡≈î£ yê]øÏ ø£ì|æ+#·≈î£ +&Ü e⁄+&˚≥+<äT≈£î ‘·q sTT+{Ï
Á|üV‰ü ] >√&É m‘·TÔ ô|+#ê\qT ø=Hêï&ÉT. ø=\‘·\T |ü≥+˝À áj·Tã&ܶsTT. Á|üV≤ü ] >√&ÉqT m+‘· m‘·TÔ es¡≈î£
ì]à+#ê* ?
kÕ<Ûqä : ΔABD eT]j·TT ΔACE \˝À
∠B = ∠C = 90° E
∠A = ∠A (ñeTà&çø√D+)
ΔABD ~ ΔACE (ø√ø√ düs÷
¡ |üìj·TeT+) D
AB BD 2 BD
= ⇒ =
AC CE 8 1.2 C
1.5 MT. B A
2 × 1.2 2.4 1.5 MT. 1.5 MT.
BD = = = 0.3m
MT R Q P
8 8 2 MT.
8 MT.
Á|üV≤ü ]>√&É ø±e\dæq m‘·TÔ R 1.5 MT + 0.3 MT
1.8 MT m‘·TÔ ì]à+∫q, Á|üV≤ü Ø>√&É Vü‰\T Á|üøÿ£ sTT+{Ï yê]øÏ ø£ìŒ+#·≈î£ +&Ü #˚jT· e#·TÃqT.

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê] ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 210 10e ‘·s>¡ ‹∑ >∑D‘Ï +·

nuÛ≤´düeTT - 8.2
A
1. Ç∫Ãq |ü≥+˝À, ∠ADE = ∠B
E
(i) ΔABC ~ ΔADE nì #·÷|ü+&ç.
(ii) AD = 3.8 ôd+.MT, AE = 3.6 ôd+.MT D

BE = 2.1 ôd+.MT BC = 4.2 ôd+.MT

B C
nsTTq DE bı&Ée⁄qT ø£qT>=q+&ç.
2. s¬ +&ÉT düs÷¡ |ü Á‹uÛTÑ C≤\ #·T≥Tº ø=\‘·\T es¡Tdü>± 30 ôd+.MT eT]j·TT 20 ôd+.MT yÓTT<ä{Ï Á‹uÛTÑ »eTT˝Àì
ˇø£ uÛTÑ »eTT ø=\‘· 12 ôd+.MT nsTTq s¬ +&Ée Á‹uÛTÑ »eTT˝À <ëì nqTs¡÷|üuTÑÛ »eTT ø=\‘·qT
ø£qT>=q+&ç.
3. 90 ôd+.MT m‘·TÔ >∑\ ˇø£ u≤*ø£ B|üd+ Ôü uÛeÑ TT qT+&ç <ä÷s¡eTT>± 1.2 MT/ôd. y˚>e∑ TT‘√ q&ÉT#·T#·Tqï~.
B|ü dü+Ô uÛeÑ TT m‘·TÔ 3.6 MT nsTTq 4 ôd+ø£&¢É ‘·sT¡ yê‘· @s¡Œ&˚ Ä u≤*ø£ ˙&É bı&Ée⁄qT ø£qT>=qTeTT.
4. CM eT]j·TT RN \T es¡Tdü>± ΔABC R
eT]j·TT ΔPQR \˝À ^j·Tã&çq eT<Û´ä >∑‘·
sπ K\T. nsTTq
(i) ΔAMC ~ ΔPNR
CM AB
(ii) = A B P Q
RN PQ M N
(iii) ΔCMB ~ ΔRNQ nì #·÷|ü+&ç.
5. Áf…|õ ” j·T+ ABCD˝À AB || DC. ø£seí¡ TT\T AC eT]j·TT BD \T _+<äTe⁄ ‘O’ e<ä› K+&ç#T· ø=qTqT.
OA OB
Á‹uÛTÑ »eTT\ düs÷¡ |ü ìj·Te÷\qT |üj÷Ó –+#·Tø=ì = nì #·÷|ü+&ç.
OC OD
A
6. AB, CD, PQ \T BD øÏ ^dæq \+u≤\T.
AB = x, CD = y eT]j·TT PQ = Z nsTTq C
1 1 1 P
+ = nì #·÷|ü+&ç. z y
x y z
B D
Q
7. 4MT. bı&Ée⁄ >∑\ ˇø£ C…+&Ü dü+
Ô uÛeÑ TT 6 MT. bı&Ée⁄ >∑\ ˙&ÉqT @s¡Œs¡#T· qT. n<˚ düeTj·T+˝À <ä>sZ∑ ˝¡ À
>∑\ ˇø£ uÛeÑ q+ 24MT. bı&Ée⁄ >∑\ ˙&ÉqT @s¡Œs¡∫q, Ä uÛeÑ qeTT m‘·TÔ m+‘·?
8. ABC eT]j·TT FEG Á‹uÛTÑ C≤\˝À AB eT]j·TT FE uÛTÑ C≤\ô|’ D eT]j·TT H _+<äTe⁄\T es¡Tdü>±
@s¡Œ&ÉTq≥T¢ ∠ACB eT]j·TT ∠EGF \≈£î ^dæq ø√D düeT~«K+&Éq sπ K\T es¡Tdü>± CD eT]j·TT
GH\T. Ç+ø± ΔABC ~ ΔFEG nsTTq
CD AC
(i) = (ii) ΔDCB ~ ΔHGF (iii) ΔDCA ~ ΔHGF
GH FG
nì #·÷|ü+&ç.

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê] ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 düs÷¡ |ü Á‹uÛTÑ C≤\T 211

9. ΔABC eT]j·TT ΔDEF düs÷¡ |üÁ‹uÛTÑ C≤\˝À ^dæq \+u≤\T AX eT]j·TT DY nsTTq AX
: DY = AB : DE nì ìs¡÷|æ+#·+&ç.

5
10. Ç∫Ãq Á‹uÛTÑ »eTT ABCøÏ düs÷¡ |ü+>± e⁄+≥÷, <ëì uÛTÑ C≤\≈£î s¬ ≥T¢ e⁄+&˚ nqTs¡÷|ü uÛTÑ C≤\T
3
ø£*–q Á‹uÛTÑ C≤ìï ì]à+#·+&ç.
11. 4ôd+.MT, 5 ôd+.MT, 6 ôd+.MT. ø=\‘·\‘√ ˇø£ Á‹uÛTÑ C≤ìï ì]à+#·+&ç. Bì‘√ düs÷
¡ |ü+>± e⁄+≥÷ á
2
Á‹uÛTÑ » uÛTÑ C≤\≈£î 3
s¬ ≥T¢ nqTs¡÷|ü uÛTÑ C≤\ ø=\‘·\T ø£*–q Á‹uÛTÑ C≤ìï ì]à+#·+&ç.
12. uÛ÷Ñ $T 8 ôd+.MT eT]j·TT <ëìøÏ ^dæq \+ãeTT 4 ôd+.MT. e⁄+&ÉTq≥T¢ ˇø£ düeT~«u≤VüQ Á‹uÛTÑ »eTTqT
1
^j·T+&ç. á Á‹uÛTÑ »uÛTÑ C≤\≈£î 1 2 s¬ ≥T¢ nqTs¡÷|ü uÛTÑ C≤\ bı&Ée⁄\T ø£*– sTT∫Ãq Á‹uÛTÑ C≤ìøÏ
düs÷¡ |ü+>± e⁄+&˚≥≥T¢ y˚s=ø£ Á‹uÛTÑ C≤ìï ì]à+#·+&ç.
8.5 düs¡÷|ü Á‹uÛÑTC≤\ yÓ’XÊ˝≤´\T
s¬ +&ÉT düs÷¡ |ü Á‹uÛTÑ C≤\≈£î yê{Ï nqTs¡÷|ü
uÛTÑ C≤\ ìwüŒ‘·T\Ô T düe÷q+. eT] á nqTs¡÷|ü
uÛÑTC≤\ ìwüŒ‹ÔøÏ, yê{Ï yÓ’XÊ˝≤´\≈£î @<Ó’Hê
dü+ã+<Ûeä TT e⁄+<äì ˙e⁄ uÛ≤$düTHÔ êïyê? Ç~
ns¡+ú #˚dTü ø√e&ÜìøÏ á ÁøÏ+~ ø£è‘ê´ìï #˚<ë›eTT.
ø£è‘·´eTT : Ç∫Ãq |ü≥+˝À düs÷¡ |ü ãVüQuÛTÑ E\
»‘·\qT ˇø£ C≤_‘ê>± ‘·j÷· s¡T#˚jT· +&ç.
yê{Ï
(i) düs÷ ¡ |üø‘£ · ìwüŒ‹Ôì
(ii) yÓX ’ Ê˝≤´\ ìwüŒ‹Ôì ø£qT>=q+&ç.
yÓX’ Ê˝≤´\ ìwüŒ‹Ô, yê{Ï nqTs¡÷|ü uÛTÑ C≤\
ìwüŒ‹ÔøÏ es¡eZ Tì MTs¡T >∑eTìkÕÔsT¡ .
Bìì eTq+ á ÁøÏ + ~ $<Û ä + >±
dæ<ëΔ+‘·+˝≤ ìs¡÷|æ+#·e#·TÃqT.
A P
dæ<ëΔ+‘·eTT-8.6 : s¬ +&ÉT düs÷¡ |ü Á‹uÛTÑ C≤\
yÓX’ Ê˝≤´\ ìwüŒ‹Ô yê{Ï nqTs¡÷|ü uÛTÑ C≤\ ìwüŒ‹Ô
es¡eZ TTq≈£î düe÷qeTT.
<ä‘êÔ+X¯eTT : ΔABC ~ ΔPQR
B Q R
M N

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê] ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 212 10e ‘·s>¡ ‹∑ >∑D‘Ï +·

ΔABC yÓ’XÊ\´eTT ⎛ AB ⎞ ⎛ BC ⎞
2 2 2
kÕsê+X¯eTT : ΔPQR yÓ’XÊ\´eTT = ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ = ⎛⎜ ⎞⎟ .
CA
⎝ PQ ⎠ ⎝ QR ⎠ ⎝ RP ⎠

ìsêàDeTT: AM ⊥ BC eT]j·TT PN ⊥ QR ^j·T+&ç.

1
ΔABC yÓ’XÊ\´eTT × BC × AM BC × AM
= 2 =
ñ|ü|‹ü Ô : ΔPQR yÓ’XÊ\´eTT 1 QR × PN
...(1)
× QR × PN
2

ΔABM eT]j·TT ΔPQN \˝À

∠B = ∠Q (∵ ΔABC ~ ΔPQR)

∠M = ∠N = 900
∴ ΔABM ~ ΔPQN (ø√.ø√.düs÷
¡ |üìj·TeT+)
AM AB
= ...(2)
PN PQ

Ç+ø± ΔABC ~ ΔPQR (<ä‘êÔ+X¯eTT)

AB BC AC
= = ...(3)
PQ QR PR

ΔABC yÓ’XÊ\´eTT AB AB
∴ ΔPQR yÓ’XÊ\´eTT = PQ × PQ (1), (2), (3) \ qT+&ç

2
⎛ AB ⎞
=⎜ ⎟ .
⎝ PQ ⎠
düMTø£sD¡ eTT (3) qT+&ç
2 2
ΔABC yÓ’XÊ\´eTT ⎛ AB ⎞ ⎛ BC ⎞ ⎛ AC ⎞
2
=⎜ ⎟ =⎜ ⎟ =⎜ ⎟
ΔPQR yÓ’XÊ\´eTT ⎝ PQ ⎠ ⎝ QR ⎠ ⎝ PR ⎠
dæ<ëΔ+‘·eTT ìs¡÷|æ+#·ã&çq~.
Ç|ü&ÉT eTq+ ø=ìï ñ<ëVü≤s¡D\qT #·÷<ë›+.

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê] ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 düs÷¡ |ü Á‹uÛTÑ C≤\T 213

ñ<ëVü≤s¡D-8. s¬ +&ÉT düs÷¡ |üÁ‹uÛTÑ C≤\ yÓX’ Ê˝≤´\T düe÷qyÓTqÆ n$ düs«¡ düe÷q Á‹uÛTÑ C≤\ì #·÷|ü+&ç.
kÕ<Ûqä : ΔABC ~ ΔPQR
2 2
ΔABC yÓ’XÊ\´eTT ⎛ AB ⎞ ⎛ BC ⎞ ⎛ AC ⎞
2

ø±e⁄q =⎜ ⎟ =⎜ ⎟ =⎜ ⎟
ΔPQR yÓ’XÊ\´eTT ⎝ PQ ⎠ ⎝ QR ⎠ ⎝ PR ⎠
ΔABC yÓ’XÊ\´eTT
ø±ì R1 (∵ yÓX’ Ê˝≤´\T düe÷qeTT ø±e⁄q)
ΔPQR yÓ’XÊ\´eTT
2 2 2
⎛ AB ⎞ ⎛ BC ⎞ ⎛ AC ⎞
⎜ ⎟ =⎜ ⎟ =⎜ ⎟ =1
⎝ PQ ⎠ ⎝ QR ⎠ ⎝ PR ⎠
ø±e⁄q AB2 = PQ2
BC2 = QR2
AC2 = PR2
Bì qT+&ç eTq≈£î AB = PQ
BC = QR
AC = PR \_ÛdTü + Ô~
∴ ΔABC ≅ ΔPQR (uÛTÑ .uÛTÑ .uÛTÑ . düs«¡ düe÷q ìj·TeT+)

ñ<ëVü≤s¡D-9. ΔABC ~ ΔDEF eT]j·TT yê{Ï yÓX’ Ê˝≤´\T es¡Tdü>± 64 #·.ôd+.MT eT]j·TT 121 ôd+.MT.
Ç+ø± EF = 15.4 ôd+.MT nsTTq BC ø=\‘·qT ø£qT>=qTeTT.
ΔABC yÓ’XÊ\´eTT ⎛ BC ⎞
2

kÕ<Ûqä : ΔDEF yÓ’XÊ\´eTT = ⎜ EF ⎟

⎝ ⎠

2
64 ⎛ BC ⎞
=⎜ ⎟
121 ⎝ 15.4 ⎠

8 BC 8 × 15.4
= ⇒ BC = = 11.2 ôd+.MT.
11 15.4 11

ñ<ëVü≤s¡D-10. Áf…|õ” j·T+ ABCD ˝À AB || DC. Ç+ø± ø£seí¡ TT\T AC, BD \T‘O’ e<ä› K+&ç+#·Tø=+{≤sTT.
AB = 2CD nsTTq Á‹uÛTÑ »eTT\T AOB eT]j·TT COD\ yÓX ’ Ê\´eTT\ ìwüŒ‹Ôì ø£qT>=q+&ç.
kÕ<Ûqä : Áf…|õ” j·T+ ABCD˝À AB || DC Ç+ø± AB = 2CD.
ΔAOB, ΔCOD \˝À D C

∠AOB = ∠COD (osê¸_e Û TTK ø√D≤\T) O

∠OAB = ∠OCD (@ø±+‘·s¡ ø√D≤\T)
A B

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê] ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 214 10e ‘·s>¡ ‹∑ >∑D‘Ï +·

ΔAOB ~ ΔCOD (ø√ø√ düs÷

¡ |ü ìj·TeT+)
Δ AOB yÓ’XÊ\´eTT AB2
=
Δ COD yÓ’XÊ\´eTT DC 2

(2DC) 2 4
= =
(DC) 2 1

∴ ΔAOB yÓX’ Ê\´eTT : ΔCOD yÓX’ Ê\´eTT = 4 : 1.

nuÛ≤´düeTT - 8.3
1. ˇø£ \+ãø√D Á‹uÛTÑ »eTT eT÷&ÉT uÛTÑ C≤\ô|’ düeTu≤VüQ Á‹uÛTÑ C≤\T ^j·Tã&ܶsTT. ø£seí¡ TT MT<ä ^dæq
Á‹uÛTÑ »yÓX’ Ê˝´eTT $T–*q s¬ +&ÉT uÛTÑ C≤\ MT<ä ^dæq Á‹uÛTÑ C≤\ yÓX’ Ê˝≤´\ yÓTT‘·eÔ TTq≈£î düe÷qeTì
#·÷|ü+&ç.
2. ˇø£ #·‘T· s¡ÁdüeTT uÛTÑ »eTTô|’ ^dæq düeTu≤VüQ Á‹uÛTÑ » yÓX’ Ê\´eTT, Ä #·‘T· s¡Ádü ø£seí¡ TTô|’ ^dæq düeTu≤VüQ
Á‹uÛTÑ » yÓX’ Ê\´eTT˝À dü>e∑ TT e⁄+≥T+<äì #·÷|ü+&ç.
3. ΔABC ˝À BC, CA, AB uÛTÑ C≤\ eT<Û´ä _+<äTe⁄\T es¡Tdü>± D, E, F . nsTTq ΔDEF eT]j·TT
ΔABC\ yÓX ’ Ê˝≤´\ ìwüŒ‹Ôì ø£qT>=q+&ç.
4. ΔABC˝À, XY || AC eT]j·TT XY Ä Á‹uÛTÑ C≤ìï s ¬ +&ÉT düe÷q yÓX’ Ê˝≤´\T ø£\ uÛ≤>±\T>±
AX
$uÛõÑ +#·TqT. nsTTq XB
ìwüŒ‹Ôì ø£qT>=q+&ç.
5. s¬ +&ÉT düs÷¡ |üÁ‹uÛTÑ C≤\ yÓX’ Ê˝≤´\ ìwüŒ‹Ô yê{Ï nqTs¡÷|ü eT<Û´ä >∑‘ê\ ìwüŒ‹Ô esêZìøÏ düe÷qeTì #·÷|ü+&ç.
6. ΔABC ~ ΔDEF. BC = 3 ôd+.MT EF = 4 ôd+.MT ΔABC yÓX ’ Ê\´eTT = 54 #·.ôd+.MT nsTTq
ΔDEF yÓX ’ Ê\´eTTqT ø£qT>=qTeTT.
7. Á‹uÛTÑ »eTT ABC˝À AB uÛTÑ C≤ìï P e<ä,› AC ì Q e<ä› ‘ê≈£îq≥T¢ PQ ˇø£ düsfi¡ sπ¯ K, Ç+ø± AP = 1
ôd+.MT., BP = 3ôd+.MT. AQ = 1.5ôd+.MT. CQ = 4.5ôd+.MT. nsTTq
1
ΔAPQ yÓX’ Ê\´eTT = 16 (ΔABC yÓX’ Ê˝≤´eTT) nì #·÷|ü+&ç.
8. s¬ +&ÉT düs÷¡ |ü Á‹uÛTÑ C≤\ yÓX’ Ê˝≤´\T 81 #·.ôd+.MT eT]j·TT 49 #·.ôd+.MT ô|<ä› Á‹uÛTÑ »eTT˝À ^dæq
\+ãeTT bı&Ée⁄ 4.5 ôd+.MT nsTTq ∫qï Á‹uÛTÑ »eTT˝À <ëì nqTs¡÷|ü \+ãeTT bı&Ée⁄qT ø£qT>=q+&ç.
8.6 ô|’<∏ë>∑s¡dt dæ<ëΔ+‘·eTT
MT≈£î ô|<’ ë∏ >∑sd¡ t dæ<ëΔ+‘·eTT >∑T]+∫ u≤>± ‘Ó\TdüTqT. Bìì MTs¡T ø=ìï ø£è‘·´eTT\ <ë«sê dü]#·÷dæ
e⁄Hêïs¡T. düs÷¡ |üÁ‹uÛTÑ C≤\ uÛ≤eq qT|üj÷Ó –+#·Tø=ì á dæ<ëΔ+‘êìï eTq+ s¡TEe⁄ #˚<ë›eTT. <ëì ø=s¡≈î£
eTq+ á ÁøÏ+~ |ò*ü ‘êìï ñ|üj÷Ó –+#·Tø=+{≤eTT.

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê] ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 düs÷¡ |ü Á‹uÛTÑ C≤\T 215

dæ<ëΔ+‘·eTT-8.7 : ˇø£ \+ãø√D Á‹uÛTÑ »eTT˝À, \+ãø√DeTT ø£*–q os¡¸eTT qT+&ç ø£sêíìøÏ \+ãeTT ^dæq, Ä
\+u≤ìøÏ Çs¡TyÓ|’ ⁄ü ˝≤ @s¡Œ&çq Á‹uÛTÑ C≤\T, Ç∫Ãq Á‹uÛTÑ C≤ìøÏ düs÷¡ bÕ\T eT]j·TT n$ ˇø£<ëìø=ø£{Ï ≈£L&Ü
düs÷¡ bÕ\T.
ñ|ü|‹ü Ô : ABC \+ãø√D Á‹uÛTÑ »eTT˝À, \+ãø√DeTT ø£\*–q os¡¸eTT B.
B qT+&ç ø£se í¡ TT AC øÏ ^dæq \+ãeTT BD. B
ΔADB eT]j·TT ΔABC \˝À
∠A = ∠A
eT]j·TT ∠ADB = ∠ABC (m+<äTø£î ?)
ø±e⁄q ΔADB ~ ΔABC (m˝≤ ?) ...(1)
C
n<˚$<Û+ä >±, ΔBDC ~ ΔABC (m˝≤ ?) ...(2) A
(1), (2) \ qT+&ç \+ãeTT BD øÏ Çs¡TyÓ|
’ ⁄ü ˝≤ qTqï Á‹uÛTÑ C≤\T yÓTT‘·eÔ TT Á‹uÛTÑ »eTT ΔABCøÏ
düs÷¡ bÕ\T.
Ç+ø± ΔADB ~ ΔABC
ΔBDC ~ ΔABC
ø±e⁄q ΔADB ~ ΔBDC
Ç~ á ÁøÏ+~ dæ<ëΔ+‘êìøÏ <ë] rdüT+Ô ~.
Ä˝À∫+∫ #·]Ã+∫ sêj·T+&ç.
ˇø£ \+ãø√D Á‹uÛTÑ »eTT eT÷&ÉT uÛTÑ C≤\ ø=\‘·\T |üPs¡í dü+K´˝…q’ |ü⁄&ÉT ø£˙düeTT ˇø£{Ï ‘·|Œü ìdü]>±
dü]dü+K´ ne⁄‘·T+~. m+<äT≈£î ? MT $TÁ‘·T\‘√ eT]j·TT ñbÕ<Ûë´j·TT\‘√ #·]Ã+#·TeTT.

8.6.1 uÖ<Ûëj·Tq dæ<ëΔ+‘·eTT (ô|<’ ë∏ >∑sd¡ t dæ<ëΔ+‘·eTT)

dæ<ëΔ+‘·+-8.8 : ˇø£ \+ã ø√D Á‹uÛTÑ »eTT˝À ø£seí¡ TT MT~ es¡eZ TT, $T–*q s¬ +&ÉT uÛTÑ C≤\ esêZ\ yÓTT‘êÔìøÏ
düe÷q+. B

<ä‘êÔ+X¯eTT: \+ãø√D Á‹uÛTÑ »eTT ABC˝À \+ãø√D≤ìï ø£*–q os¡¸eTT B.

kÕsê+X¯eTT : AC2 = AB2 + BC2
ìsêàDeTT : BD ⊥ AC ^j·TTeTT.
A C
ñ|ü|‹ü Ô : ΔADB ~ ΔABC
AD AB
⇒ = (uÛTÑ C≤\T nqTbÕ‘·+˝À e⁄+{≤sTT)
AB AC
AD . AC = AB2 ...(1)
Ç+ø±, ΔBDC ~ ΔABC

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê] ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 216 10e ‘·s>¡ ‹∑ >∑D‘Ï +·

CD BC
⇒ =
BC AC
CD . AC = BC2 ...(2)
(1), (2) \qT ø£\T|ü>±
AD . AC + CD . AC = AB2 + BC2
AC (AD + CD) = AB2 + BC2
AC . AC = AB2 + BC2

AC2 = AB2 + BC2

á dæ<ëΔ+‘·eTTqT ÁbÕNq uÛ≤s¡rj·T >∑D‘Ï · XÊgy˚‘Ô· uÖ<Ûëj·TqT&ÉT (düTe÷s¡T Áø°.|üP 800) á ÁøÏ+~
s¡÷|üeTT˝À #Óô|ŒqT.
“ˇø£ Bs¡È #·‘T· s¡Ádü ø£se
í¡ TT <ëì‘√ n~ @s¡Œs¡∫q yÓX’ Ê\´eTT <ëì s¬ +&ÉT uÛTÑ C≤\T (nq>± bı&Ée⁄
eT]j·TT yÓ&\É TŒ\T) @s¡Œs¡∫q yÓX’ Ê˝≤´\ yÓTT‘êÔìøÏ düe÷q+. n+<äTøπ Bìì eTq+ uÖ<Ûëj·Tq dæ<ëΔ+‘·eTT>±
ù|s=ÿq&É+ »]–+~.
ô|’ dæ<ëΔ+‘·eTT jÓTTø£ÿ $|üs´¡ j·TeTT @$T{Ï ? <ëìì ≈£L&Ü eTq+ ˇø£ dæ<ëΔ+‘·eTT˝≤ s¡TEe⁄ #˚<ë›eTT.
dæ<ëΔ+‘·+-8.9 : ˇø£ Á‹uÛTÑ »eTT˝À ˇø£ uÛTÑ »eTT MT~ es¡eZ TT $T–*q s¬ +&ÉT uÛTÑ C≤\ esêZ\ yÓTT‘êÔìøÏ düe÷qyÓTqÆ ,
yÓTT<ä{Ï uÛTÑ C≤ìøÏ m<äTs¡T>± e⁄+&˚ ø√DeTT \+ãø√DeTT nq>± Ä Á‹uÛTÑ »eTT \+ã ø√D Á‹uÛTÑ »eTe⁄‘·T+~.
<ä‘êÔ+X¯eTT : ΔABC ˝À, A P
AC2 = AB2 + BC2
kÕsê+X¯eTT : ∠B = 900.
ìsêàDeTT : PQ = AB eT]j·TT QR
= BC n>∑Tq≥T¢ Q e<ä› \+ãø√DeTT
e⁄+&˚ \+ãø√D Á‹uÛTÑ »eTT PQR ì
ì]à+#·TeTT. Q
C B R
ñ|ü|‹ü Ô : ΔPQR ˝À PR2 = PQ2
+ QR2 ( ∠Q = 900 ø±e⁄q ô|< ’ ë∏ >∑sd¡ t dæ<ëΔ+‘·eTT Á|üø±s¡+)
PR2 = AB2 + BC2 (ìsêàDeTT qT+&ç) ...(1)
ø±ì AC2 = AB2 + BC2 (<ä‘êÔ+X¯eTT) ...(2)
∴ AC = PR (1), (2) \ qT+&ç
Ç|ü&ÉT ΔABC, ΔPQR \˝À
AB = PQ (ìsêàDeTT)
BC = QR (ìsêàDeTT)
AC = PR (ìs¡÷|æ‘e
· TT)
Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê] ñ∫‘· |ü+|æDÏ
 düs÷¡ |ü Á‹uÛTÑ C≤\T 217

∴ ΔABC ≅ ΔPQR (uÛTÑ .uÛTÑ .uÛTÑ . düs«¡ düe÷q‘·« ìj·TeT+)

∴ ∠B = ∠Q (düs«¡ düe÷q Á‹uÛTÑ C≤\ dü<èä X¯ uÛ≤>±\T)

ø±ì ∠Q = 90° (ìsêàDeTT qT+&ç)

∴ ∠B = 90°.
dæ<ëΔ+‘·eTT ìs¡÷|æ+#·ã&çq~.
Ç|ü&ÉT ø=ìï ñ<ëVü≤s¡D\T #·÷<ë›+.
ñ<ëVü≤s¡D-11. 25MT. bı&Ée⁄>∑\ ˇø£ ì#ÓÃq, >√&Éô|’ 20MT m‘·TqÔ >∑\ ˇø£ øÏ{øÏ ì° ‘ê≈£î#·Tqï~. nsTTq Ä
ì#ÓÃq n&ÉT>∑TuÛ≤>∑eTT H˚\ô|’ >√&É qT+&ç m+‘· <ä÷s¡eTT˝À qTqï~. A
kÕ<Ûqä : ΔABC ˝À ∠C = 90°
⇒ AB2 = AC 2 + BC 2 (ô|< ’ ë∏ >∑sd¡ t dæ<ëΔ+‘·eTT) 25 25MT. m.
20
20 m.
252 = 202 + BC2 MT.

BC2 = 625 − 400 = 225

BC = 225 = 15m
MT. B C
ø±e⁄q ì#ÓÃq n&ÉT>∑TuÛ≤>∑eTT H˚\ô|’ >√&É qT+&ç 15MT. <ä÷s¡eTT˝À qTqï~.
ñ<ëVü≤s¡D-12. \+ãø√D Á‹uÛTÑ »eTT ABC ˝À os¡¸eTT ªAμ e<ä› \+ã ø√DeTT ø£\<äT. BL eT]j·TT CM\T
Bì˝À eT<Û´ä >∑‘· sπ K\T nsTTq
4(BL2 + CM2) = 5BC2 nì#·÷|ü+&ç.
kÕ<Ûqä : ΔABC ˝À ∠A = 90°.
BL, CM \T eT<Û´ä >∑‘· sπ K\T B

ΔABC ˝À BC2 = AB2 + AC2 (ô|< ’ ë∏ >∑sd¡ t dæ<ëΔ+‘·eTT) ...(1)

2 2 2
ΔABL˝À, BL = AL + AB
2 M
2 ⎛ AC ⎞ 2
ø±ì BL = ⎜ ⎟ + AB (∵ AC eT<Û´ä _+<äTe⁄ L ø±e⁄q)
⎝ 2 ⎠

2AC 2
BL = + AB2 A
4 C
L
∴ 4BL2 = AC2 + 4AB2 ...(2)
ΔCMA ˝À, CM2 = AC2 + AM2
2
2 ⎛ AB ⎞
CM = AC + ⎜
2
⎟ (∵ AB eT<Û´ä _+<äTe⁄ M ø±e⁄q)
⎝ 2 ⎠

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê] ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 218 10e ‘·s>¡ ‹∑ >∑D‘Ï +·

2 AB2 2
CM = AC +
4
4CM = 4AC + AB2
2 2
...(3)
(2), (3) \qT ø£\T|ü>±
4(BL2 + CM2) = 5(AC2 + AB2)
∴ 4(BL2 + CM2) = 5BC2 (1) qT+&ç.
ñ<ëVü≤s¡D-13. Bs¡#È ‘· T· s¡Ádü+ ABCD n+‘·s+¡ ˝À @<ÓH’ ê _+<äTe⁄ ‘O’ nsTTq
OB2 + OD2 = OA2 + OC2 nì#·÷|ü+&ç.
kÕ<Ûqä : ‘O’ _+<äTe⁄ >∑T+&Ü BC øÏ düe÷+‘·s+¡ >± ˇø£ sπ KqT ^dæq n~ ABì P e<ä,› DC ì Q e<ä› ‘ê≈£îqT.
n|ü⁄&ÉT PQ || BC. A D

∴ PQ ⊥ AB eT]j·TT PQ ⊥ DC (∵ ∠B = ∠C = 90°)
P Q
ø±e⁄q ∠BPQ = 90° & ∠CQP = 90° O

∴ BPQC eT]j·TT APQD \T s ¬ +&ÉT Bs¡#È ‘· T· s¡ÁkÕ\T. B C

ΔOPB qT+&ç OB2 = BP2 + OP2 ...(1)
n<˚$<Û+ä >± ΔOQD qT+&ç OD2 = OQ2 + DQ2 ...(2)
ΔOQC qT+&ç OC2 = OQ2 + CQ2 ...(3)
ΔOAP qT+&ç OA2 = AP2+ OP2
(1), (2) \qT ø£\T|ü>±
OB2 + OD2 = BP2 + OP2 + OQ2 + DQ2
= CQ2 + OP2 + OQ2 + AP2 (∵ BP = CQ eT]j·TT DQ = AP)
2 2 2 2
= CQ + OQ + OP + AP
= OC2 + OA2 ((3), (4) \ qT+&ç)

Ç$ #˚j·T+&ç.
C

1. ΔACB˝À, ∠C = 900, CD ⊥ AB nsTTq

BC2 BD
= . nì ìs¡÷|æ+#·+&ç.
AC2 AD
A B
2. 15 MT≥s¡¢ bı&Ée⁄>\
∑ ˇø£ ì#ÓÃq s√&ÉTô¶ |’ ˇø£ yÓ|’ ⁄ü qTqï uÛeÑ q+ô|’ H˚\ qT+&ç 9 MT≥s¡¢ m‘·TqÔ >∑\ øÏ{øÏ ì°
‘ê≈£îqT. ì#ÓÃq n&ÉT>∑TuÛ≤>∑eTTqT n<˚ Á|ü<X˚ e¯ TT˝À e⁄+∫ ì#ÓÃqqT s√&ÉT≈¶ î£ ne‘·* yÓ|’ ⁄ü q e⁄qï uÛeÑ qeTT
yÓ|’ ⁄ü q≈£î ‹|æŒq <ëìô|’ H˚\ qT+&ç 12MT m‘·TqÔ >∑\ øÏ{øÏ ì° ‘ê≈£îqT. nsTTq Ä s√&ÉT¶ yÓ&\É TŒqT
ø£qT>=qTeTT.

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê] ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 düs÷¡ |ü Á‹uÛTÑ C≤\T 219

3. Ç∫Ãq |ü≥+˝À AD ⊥ BC C

nsTTq AB2 + CD2 = BD2 + AC2 nì #·÷|ü+&ç.

D

B A

ñ<ëVü≤s¡D-14. ˇø£ \+ãø√D Á‹uÛTÑ »eTT˝À ø£seí¡ TT, <ëì n‹ ∫qï uÛTÑ »eTT s¬ {Ï+º |ü⁄ ø£Hêï 6MT. m≈£îÿe.
eT÷&Ée uÛTÑ »eTT ø£seí¡ TT ø£Hêï 2 MT ‘·≈î£ ÿe nsTTq Ä Á‹uÛTÑ »uÛTÑ C≤\qT ø£qT>=qTeTT.
kÕ<Ûqä : n‹ ∫qï uÛTÑ »eTTqT x MT. nqTø=qTeTT.
n|ü⁄&ÉT ø£seí¡ TT = (2x + 6)MT. eT]j·TT eT÷&Ée uÛTÑ »eTT = (2x + 4)MT.
ô|<’ ë∏ >∑sd¡ t dæ<ëΔ+‘·eTT qT+&ç,
(2x + 6)2 = x2 + (2x + 4)2
4x2 + 24x + 36 = x2 + 4x2 + 16x + 16
x2 - 8x − 20 = 0
(x − 10) (x + 2) = 0
x = 10 ˝Ò<ë x = −2
x nH˚~ Á‹uÛTÑ » uÛTÑ »eTT ø±e⁄q s¡TD$\Te ø±H˚s<¡ Tä .
∴ x = 10
n+<äTe\q, Ä Á‹uÛTÑ »uÛTÑ C≤\T 10MT, 26MT eT]j·TT 24MT.
ñ<ëVü≤s¡D-15. \+ãø√D Á‹uÛTÑ »eTT ABC ˝À \+ãø√DeTT os¡¸eTT ªCμ e<ä› ø£\<äT. BC = a, CA = b,
AB = c nqTø=qTeTT. Ç+ø± os¡¸eTT ªCμ qT+&ç AB øÏ ^dæq \+ãeTT bı&Ée⁄ p nsTTq

1 1 1
(i) pc = ab (ii) 2
= 2+ 2 nì #·÷|ü+&ç.
p a b

kÕ<Ûqä : A
(i) CD ⊥ AB eT]j·TT CD = p.
1
ΔABC yÓX
’ Ê\´eTT = × AB × CD
2 c D
1 b
= cp . p
2
1
n˝≤π> ΔABC yÓX’ Ê\´eTT = × BC × AC
2 B a C
1
= ab
2

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê] ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 220 10e ‘·s>¡ ‹∑ >∑D‘Ï +·

1 1
cp = ab
2 2
cp = ab ...(1)

(ii) \+ãø√D Á‹uÛTÑ »eTT ABC ˝À \+ãø√DeTT os¡¸eTT ªCμ e<ä› ø£\<äT.
ø±e⁄q AB2 = BC2 + AC2
c2 = a2 + b2
2
⎛ ab ⎞ 2 2
⎜ ⎟ = a +b
⎝ p ⎠
1 a 2 + b2 1 1
2
= 2
= 2 + 2.
p (ab) a b

nuÛ≤´düeTT - 8.4
1. ˇø£ sê+ãdt˝À uÛTÑ C≤\ esêZ\ yÓTT‘·eÔ TT, <ëì ø£seí¡ TT\ es¡eZ TT\
yÓTT‘·eÔ TTq≈£î düe÷qeTì #·÷|ü+&ç. A

2. \+ãø√D Á‹uÛTÑ »eTT ABC˝À \+ãø√DeTT os¡¸eTT ªBμ e<ä›

ø£\<äT. D eT]j·TT E _+<äTe⁄\T es¡Tdü>± AB, BC \ô|’ D
ø£\eqTø=qTeTT. nsTTq AE2 + CD2 = AC2 + DE2 nì
B E C
#·÷|ü+&ç.
3. ˇø£ düeTu≤VüQ Á‹uÛTÑ »eTT˝À uÛTÑ »eTT es¡eZ TTq≈£î eT÷&ÉT s¬ ≥T¢ <ëì ñqï‹ (\+ãeTT) es¡eZ TTq≈£î
Hê\T>∑Ts¬ ≥T¢ nì #·÷|ü+&ç.
4. PQR Á‹uÛTÑ »+˝À \+ãø√DeTT os¡¸eTT ªPμ e<ä› ø£\<äT. PM ⊥ QR n>∑Tq≥T¢ QR ô|’ _+<äTe⁄ M
nsTTq PM2 = QM . MR nì #·÷|ü+&ç.
5. Á‹uÛTÑ »eTT ABD˝À \+ãø√DeTT ªAμ e<ä› ø£\<äT. eT]j·TTAC ⊥ BD nsTTq C
(i) AB2 = BC.BD. (ii) AC2 = BC.DC
(iii) AD2 = BD.CD nì #·÷|ü+&ç. A
B

6. düeT~«u≤VüQ Á‹uÛTÑ »eTT ABC˝À \+ãø√DeTT C e<ä› ø£\<äT. nsTTq AB2 = 2AC2 nì #·÷|ü+&ç.
7. Á‹uÛTÑ »eTT ABC n+‘·s+¡ ˝À @<ÓH’ ê _+<äTe⁄ ‘O’ A

OD ⊥ BC, OE ⊥ AC eT]j·TT OF ⊥ AB nsTTq E F

(i) OA2 + OB2 + OC2 − OD2 − OE2 − OF2
= AF2 + BD2 + CE2
B C
(ii) AF2 + BD2 + CE2 = AE2 + CD2 + BF2 nì #·÷|ü+&ç. D

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê] ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 düs÷¡ |ü Á‹uÛTÑ C≤\T 221

8. 18 MT≥s¡¢ bı&Ée⁄ >∑\ ˇø£ ì\Te⁄ dü+ú ã+≈£î 24 MT≥s¡¢ bı&Ée⁄ >∑\ ˇø£ r>∑ ø£≥㺠&çq~. r>∑ s¬ +&Ée
∫es¡≈î£ ˇø£ y˚T≈£î ø£≥㺠&çq~. uÛ÷Ñ $Tô|’ dü+ú ã+ qT+&ç m+‘· <ä÷s¡eTT˝À Ä y˚T≈£îqT bÕ‹q Ä r>∑
_>∑T‘·T>± qT+&ÉTqT ?
9. 6MT eT]j·TT 11MT≥s¡¢ bı&Ée⁄ >∑\ dü+ ú ã+ ˇø£ #·<Tä HÓq’ H˚\ô|’ ø£\e⁄. H˚\ô|’ Ä s¬ +&ÉT dü+ú ã+ n&ÉT>∑T
uÛ≤>∑eTT\ eT<Û´ä <ä÷s¡eTT 12MT nsTTq Ä s¬ +&ÉT dü+ú ã+ ô|u’ ≤Û >∑eTT\ eT<Û´ä <ä÷s¡eTT m+‘·?
1
10. düeTu≤VüQ Á‹uÛTÑ »eTT ABC˝À, uÛTÑ »+BCô|’ _+<äTe⁄ ªDμ, sTT+ø± BD = BC nsTTq 9AD2 =
3
7AB2 nì #·÷|ü+&ç. A

11. Ç∫Ãq |ü≥+˝À, ΔABC ˇø£ \+ãø√D Á‹uÛTÑ »eTT. os¡¸eTT

e<ä› \+ãø√DeTT ø£\<äT. BC uÛÑTC≤ìï D eT]j·TT E
_+<äTe⁄\T düeTÁ‹K+&Éq #˚jT· TqT nsTTq
8AE2 = 3AC2 + 5AD2 nì #·÷|ü+&ç.
B C
12. düeT~«u≤VüQ Á‹uÛTÑ »eTT ABC˝À, \+ãø√DeTT ªBμ D E
A D
e<ä› ø£\<äT. AC eT]j·TT AB uÛTÑ C≤\ô|’ düs÷¡ |ü
Á‹uÛTÑ C≤\T ACD eT]j·TT ABE ì]à+|üã&çq$. nsTTq E
ΔABE eT]j·TT ΔACD \ yÓ’XÊ˝≤´\ ìwüŒ‹Ôì
ø£qT>=q+&ç. B C

8.7 dæ<ëΔ+‘· Á|üe#·Hê\ $$<Ûäs¡÷bÕ\T

1. e´‹πsø£ Á|üe#·qeTT :
ˇø£ Á|üe#·qeTT Ç∫Ãq|ü⁄&ÉT <ëì ∫es¡ ªªø±<äTμμ #˚s¡Ã&É+ e\q ˇø£ Áø=‘·Ô Á|üe#·qeTT @s¡Œ&ÉT‘·T+~.
<ëìH˚ eTq+ e´‹πsø£ Á|üe#·q+ n+{≤eTT.
ñ<ëVü≤s¡D≈£î “ΔABC düeTu≤VüQ Á‹uÛTÑ »eTT” nH˚~ ˇø£ Á|üe#·qeTT Bìì eTq+ “p” ‘√ dü÷∫+∫q
<ëìì eTq+ á ÁøÏ+~ $<Û+ä >± sêkÕÔeTT.
p : Á‹uÛÑT»eTT ABC düeTu≤VüQ Á‹uÛÑT»eTT. n|ü⁄&ÉT <ëì e´‹πsK Á|üe#·qeTT “Á‹uÛÑT»eTT ABC
düeTu≤VüQ Á‹uÛÑT»eTT ø±<äT”. ªpμ jÓTTø£ÿ e´‹πsø£ Á|üe#·Hêìï ª∼pμ ‘√ dü÷∫kÕÔeTT. eT]j·TT <ëìì
e´‹πsø£ Á|üe#·qeTT nì #·<äTe⁄‘êeTT. Á|üe#·qeTT p #Ó|æŒq <ëìì ∼p e´‹πsøÏdüTÔ+~ nq>±
ìsêø£]düTÔ+~.
eTqeTT á e´‹πsø£ Á|üe#·Hêìï sêùd≥|ü⁄&ÉT <ëìì ns¡ú+ #˚düTø=qT≥˝À @$<ÛäyÓTÆq >∑+<äs¡>√fi≤ìøÏ
‘êe⁄˝Ò≈£î+&Ü sêj·÷*.

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê] ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 222 10e ‘·s>¡ ‹∑ >∑D‘Ï +·

á ÁøÏ+~ ñ<ëVü≤s¡DqT C≤Á>∑‘·Ô>± |ü]o*+#·+&ç.

P : nìï ø£s¡D°j·T dü+K´\T yêdüÔe dü+K´\T. BìøÏ e´‹πsø£ Á|üe#·qeTT ∼ p ì eTq+ á ÁøÏ+~
$<Ûë\T>± sêj·Te#·TÃqT.
i) ∼p : nìï ø£s¡D°j·T dü+K´\T yêdüÔe dü+K´\T ø±e⁄.
ii) ∼p : nìï ø£s¡D°j·T dü+K´\T ø±e⁄ yêdüÔe dü+K´\T
Bì˝À @ e´‹πsø£ Á|üe#·qeTT dü]jÓÆTq<√ m˝≤ >∑T]ÔkÕÔeTT? BìøÏ á ìj·Te÷ìï bÕ{ÏkÕÔeTT.
ªpμ ˇø£ Á|üe#·qeTqT ø=qTeTT. ∼p <ëì e´‹πsø£ Á|üe#·qeTT. p dü‘·´yÓTÆq ∼p ndü‘·´eTT eT]j·TT
p ndü‘·´yÓTÆq ∼p dü‘·´eTT.
ñ<ëVü≤s¡DeTT s : 2 + 2 = 4 dü‘·´eTT
∼ s : 2 + 2 ≠ 4 ndü‘·´eTT
2.. Á|üe#·q $|üs¡´j·TeTT :
dü‘·´eTT>±ì, ndü‘·´eTT>±ì @<√ ˇø£{Ï e÷Á‘·y˚T nj˚T´ kÕ<Ûës¡D yêø£´eTT ˇø£. düs¡fi¯ Á|üe#·qeTT.
s¬ +&ÉT düsfi¡ ¯ Á|üe#·Hê\qT ø£\T|ü>± eTq≈£î dü+j·TTø£Ô Á|üe#·Hê\T @s¡Œ&É‘êsTT. s¬ +&ÉT düsfi¡ ¯ Á|üe#·Hê\T
ªnsTTq#√μ#˚ ø£\T|ü>± @s¡Œ&çq dü+j·TTø£Ô Á|üe#·Hêìï nqTwü+–ø£eTT ˝Ò<ë ìj·T‘· Á|üe#·qeTT n+{≤s¡T.
¬s+&ÉT düs¡fi¯ Á|üe#·Hê\qT p eT]j·TT q \qT ªnsTTq#√μ ø£\T|ü>± p nsTTq#√ q edüTÔ+~. Bìì
eTq+ p ⇒ q nì sêkÕÔeTT.
á p ⇒ q ˝À eTq+ p, q \qT ‘ês¡Te÷s¡T #˚j·T>± eTq≈£î q ⇒ p edüTÔ+~. BìH˚ eTq+ Á|üe#·q
$|üs¡´j·TeTT n+{≤eTT.
ñ<ëVü≤s¡D : p ⇒ q Á‹uÛÑT»eTT ABC˝À AB = AC nsTTq#√ ∠ C = ∠ B
$|üs¡´j·TeTT q ⇒ p: Á‹uÛÑT»eTT ABC ˝À ∠ C = ∠ B nsTTq#√ AB = AC.
$s¡T<äΔ‘· <ë«sê ìs¡÷|üD :
á $s¡T<äΔ‘· <ë«sê ìs¡÷|üD˝À, eTqeTT ìs¡÷|æ+#·e\dæq Á|üe#·qeTT jÓTTø£ÿ e´‹πsø£ Á|üe#·qeTTqT
dü‘·´eTì rdüTø=+{≤eTT. Bìì ìs¡÷|æ+#˚ Á|üj·T‘·ï+˝À mø£ÿ&√ ˇø£#√≥ $s¡T<äΔ‘· edüTÔ+~. n|ü⁄&ÉT
eTq+ á $s¡T<äΔ‘· nH˚~ e´‹πsø£ Á|üe#·q+ dü‘·´eTì eTq+ ‘·|ü>± rdüTø=qT≥ e\q @s¡Œ&çq<äì
Á>∑Væ≤kÕÔeTT. n|ü&ÉT eTq+ Ç∫Ãq Á|üe#·q+ dü‘·´eTì eTT–+|ü⁄q≈£î ekÕÔeTT.

◊∫äø£ nuÛ≤´düeTT (|üØø£å\≈£î ìπs›•+|üã&çq~ ø±<äT)

T
1. Ç∫Ãq |ü≥+˝À,
P
QT QR ∠1 = ∠2
= eT]j·TT
PR QS
nsTTq ΔPQS ~ ΔTQR nì #·÷|ü+&ç.
Q 1 2 R

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê] ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 düs÷¡ |ü Á‹uÛTÑ C≤\T 223

2. s¡$ m‘·TÔ 1.82MT. n‘·ì Ç+{Ï ô|s¡&TÉ ˝Àì ˇø£

E
#Ó≥Tº m‘·TqÔ T ø£qT>=Hê\qT≈£îHêï&ÉT. #Ó≥Tº yÓTT<ä\T
qT+&ç H˚\ô|’ 12.20 MT≥s¡¢ <ä÷s¡eTT q&ÉTe>± n‘·ì
˙&É, #Ó≥Tº ˙&É ∫e] uÛ≤>∑eTT\T K∫Ñ·eTT>± C

@ø°u$ÑÛ +#ÓqT. n‘·qT Ç|ü⁄&ÉT Ä ˙&É ∫e] uÛ≤>∑eTT 1.82 m.

qT+&ç 6.10MT <ä÷s¡eTT˝À ì\ã&ç e⁄qï#√, Ä #Ó≥Tº A∫e]ø=q 6.10 m. B s¡$kÕúq+ 12.20 m. #Ó≥TºyÓTT<äD\T
m‘·TÔ m+‘·?
3. düe÷+‘·s¡ #·‘T· s¡T“¤»eTT ABCD˝À, AB ô|’ @<˚ì _+<äTe⁄ ªPμ <ëì ø£seí¡ TT AC, DP ì _+<äTe⁄ Q
e<ä› K+&ç+#·TqT. nsTTq CQ × PQ = QA × QD nì #·÷|ü+&ç.
4. ΔABC eT]j·TT ΔAMP \T s ¬ +&ÉT \+ãø√D Á‹uÛTÑ »eTT\T. C
M{Ï˝À \+ãø√DeTT\T es¡Tdü>± B eT]j·TT M _+<äTe⁄\
e<ä› ø£\e⁄. M
nsTTq (i) ΔABC ~ ΔAMP
CA BC
(ii) = nì #·÷|ü+&ç.
PA MP A P
B
5. ˇø£ $e÷qeTT $e÷HêÁX¯jT· eTT qT+&ç >∑+≥≈£î 1000 øÏ.MT. y˚>e∑ TT‘√ ñ‘·sÔ e¡ TT yÓ|’ ⁄ü Á|üj÷· DÏ+#·T#·Tqï~.
n<˚ düeTj·T+˝À y˚s=ø£ $e÷qeTT nø£ÿ&ç qT+&ç >∑+≥≈£î 1200 øÏ.MT y˚>e∑ TT‘√ |ü&eÉ Ts¡ yÓ|’ ⁄ü Á|üj÷· DÏ+#·T
1
#·Tqï~. nsTTq 1 2 >∑+≥\ ‘·sT¡ yê‘· Ä s¬ +&ÉT $e÷qeTT\T m+‘· <ä÷s¡eTT˝À e⁄+&ÉTqT?
6. \+ãø√D Á‹uÛTÑ »eTT ABC ˝À \+ãø√DeTT C e<ä› ø£\<äT. P eT]j·TT Q _+<äTe⁄\T es¡Tdü>± AC
eT]j·TT CB \ô|’ _+<äTe⁄\T Ç+ø± Ä uÛTÑ C≤\qT n$ 2 : 1 ìwüŒ‹Ô˝À $uÛõÑ +#·TqT.
nsTTq (i) 9AQ2 = 9AC2 + 4BC2
(ii) 9BP2 = 9BC2 + 4AC2
(iii) 9(AQ2 + BP2) = 13AB2 nì #·÷|ü+&ç.
eTq+ @$T #·]Ã+#ê+
1. ˇπø Äø±s¡eTTqT ø£*– e⁄+&ç ˇπø |ü]e÷DeTT ø£*– e⁄+&Éqedüse¡ TT ˝Òì |ü{≤\qT düs÷¡ |ü |ü{≤\T
n+{≤s¡T.
2. nìï düs«¡ düe÷q |ü{≤\T düs÷ ¡ bÕ\T ø±ì $|üs´¡ j·TeTT dü‘´· eTT ø±<äT.
3. düe÷q dü+K´˝À uÛTÑ C≤\T ø£*–q s ¬ +&ÉT ãVüQuÛTÑ E\T düs÷¡ bÕ\T ø±yê\+fÒ
(i) yê{Ï nqTs¡÷|ü ø√D≤\T düe÷q+>± e⁄+&Ü*
(ii) yê{Ï nqTs¡÷|ü uÛÑTC≤\T ˇπø ìwüŒ‹Ô˝À e⁄+&Ü* (nqTbÕ‘·+˝À e⁄+&Ü*)
á ãVüQuÛTÑ E\ düs÷¡ |üø‘£ ≈· î£ ô|’ s¬ +&ÉT ìj·Te÷\˝À @<√ ˇø£ ìj·TeTeTT dü]b˛<äT.
4. ˇø£ Á‹uÛTÑ »+˝À ˇø£ uÛTÑ C≤ìøÏ düe÷+‘·s+ ¡ >± ^dæq sπ K $T–*q s¬ +&ÉT uÛTÑ C≤\qT y˚sT¡ y˚sT¡ _+<äTe⁄\˝À
K+&ç+∫q, Ä $T–*q s¬ +&ÉT uÛTÑ C≤\T ˇπø ìwüŒ‹Ô˝À $uÛõÑ +|üã&É‘êsTT.
Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê] ñ∫‘· |ü+|æDÏ
 224 10e ‘·s>¡ ‹∑ >∑D‘Ï +·

5. ˇø£ Á‹uÛTÑ »eTT˝À @yÓH’ ê s¬ +&ÉT uÛTÑ C≤\qT ˇπø ìwüŒ‹Ô˝À $uÛõÑ +#·T düsfi¡ sπ¯ K, eT÷&Ée uÛTÑ C≤ìøÏ düe÷+‘·s+¡ >±
qT+&ÉTqT.
6. s¬ +&ÉT Á‹uÛTÑ C≤\˝À ø√D≤\T düe÷q+>± e⁄+fÒ yê{Ï nqTs¡÷|ü uÛTÑ C≤\ ìwüŒ‘·T\Ô T düe÷q+>± e⁄+{≤sTT.
(nqTbÕ‘·+˝À e⁄+{≤sTT) Ç+ø± Ä s¬ +&ÉT Á‹uÛTÑ C≤\T düs÷¡ |ü Á‹uÛTÑ C≤\T (ø√.ø√.ø√. düs÷¡ |üø‘£ )·
7. ˇø£ Á‹uÛTÑ »eTT˝Àì s¬ +&ÉT ø√DeTT\T es¡Tdü>± y˚s=ø£ Á‹uÛTÑ »eTT ˝Àì s¬ +&ÉT ø√DeTT\≈£î düe÷qyÓTqÆ Ä
s¬ +&ÉT Á‹uÛTÑ C≤\T düs÷¡ bÕ\T.
8. s¬ +&ÉT Á‹uÛTÑ C≤\˝À ˇø£ Á‹uÛ»Ñ eTT˝Àì uÛTÑ C≤\T y˚s=ø£ Á‹uÛTÑ »eTT˝Àì uÛTÑ C≤\≈£î nqTbÕ‘·eTT˝À e⁄qï Ä
s¬ +&ÉT Á‹uÛTÑ C≤\˝Àì nqTs¡÷|ü ø√D≤\T düe÷qeTT. Ç+ø± Ä s¬ +&ÉT Á‹uÛTÑ C≤\T düs÷¡ bÕ\T (uÛTÑ .uÛTÑ .uÛTÑ .
düs÷¡ |üø‘£ )·
9. ˇø£ Á‹uÛTÑ »eTT˝Àì ˇø£ ø√DeTT, y˚s=ø£ Á‹uÛTÑ »eTT˝Àì ˇø£ ø√DeTTq≈£î düe÷qyÓT,Æ á ø√D≤\qT ø£*–
e⁄qï uÛTÑ C≤\T nqTbÕ‘·+˝À e⁄+fÒ Ä s¬ +&ÉT Á‹uÛTÑ C≤\T düs÷¡ bÕ\T (uÛTÑ .ø√.uÛTÑ düs÷¡ |üø‘£ )·
10. s¬ +&ÉT düs÷¡ |ü Á‹uÛTÑ C≤\ yÓX’ Ê˝≤´\ ìwüŒ‹Ô yê{Ï nqTs¡÷|ü uÛTÑ C≤\ esêZ\ ìwüŒ‹ÔøÏ düe÷qeTT.
11. ˇø£ \+ãø√D Á‹uÛTÑ »eTT˝À \+ãø√DeTT ø£*–q os¡¸eTT qT+&ç ø£sêíìøÏ \+ãeTT ^dæq, Ä \+u≤ìøÏ
Çs¡TyÓ|’ ⁄ü ˝≤ @s¡Œ&çq Á‹uÛTÑ C≤\T Ç∫Ãq Á‹uÛTÑ C≤ìøÏ düs÷¡ bÕ\T n+‘˚>±ø£ n$ ˇø£<ëìø=ø£{Ï ≈£L&Ü
düs÷¡ bÕ\T
12. ˇø£ \+ãø√D Á‹uÛTÑ »eTT˝À ø£seí¡ TT MT~ es¡eZ TT $T–*q s¬ +&ÉT uÛTÑ C≤\ esêZ\ yÓTT‘êÔìøÏ düe÷qeTT
(ô|<’ ë∏ >∑sd¡ t dæ<ëΔ+‘·eTT)
13. ˇø£ Á‹uÛTÑ »eTT˝À ˇø£ uÛTÑ »eTT MT~ es¡eZ TT $T–*q s¬ +&ÉT uÛTÑ C≤\ esêZ\ yÓTT‘êÔìøÏ düe÷qyÓTqÆ yÓTT<ä{Ï
uÛTÑ C≤ìøÏ m<äTs¡T>± e⁄+&˚ ø√DeTT \+ãø√DeTT nq>± Ä Á‹uÛTÑ »eTT \+ãø√D Á‹uÛTÑ »eTe⁄‘·T+~.
|üõ˝Ÿ
ˇø£ Á‹uÛTÑ C≤ìï ^j·TTeTT. Ä Á‹uÛTÑ »uÛTÑ C≤\ eT<Û´ä _+<äTe⁄\qT ø£\T|ü>± 4 Á‹uÛTÑ C≤\T @s¡Œ&É‘êsTT.
eTs¡˝ n˝≤ @s¡Œ&çq Á‹uÛTÑ C≤\ eT<Û´ä _+<äTe⁄\qT ø£\T|ü⁄eTT. á Á|üÁøÏjT· qT n˝≤ ø=qkÕ–+#·Tø=+≥÷
b˛sTTq @s¡Œ&çq nìï Á‹uÛTÑ C≤\T düs÷¡ |ü Á‹uÛTÑ C≤\T ne⁄‘êsTT. m+<äT≈£î? MT ùdïVæ≤‘·T\‘√ #·]Ã+#·+&ç.

nìï Á‹uÛTÑ C≤\T

düs÷¡ |ü
Á‹uÛTÑ C≤\T

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê] ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 eè‘êÔ\≈£î düŒs¡ÙπsK\T eT]j·TT #Û˚<äqπsK\T 225

n<Ûë´j·TeTT

9
eè‘êÔ\≈£î düŒs¡ÙπsK\T
eT]j·TT #Û˚<äqπsK\T
(Tangents and Secants to a Circle)

9.1 |ü]#·j·T+
ˇø£ düeT‘·\+˝À s¬ +&ÉT sπ K\T >∑]wü+˜ >± ˇπø ˇø£ _+<äTe⁄ e<ä› K+&ç+#·T≈£î+{≤sTT ˝Ò<ë ndü\T
K+&ç+#·Tø√e⁄ nì eTq+ #·÷kÕeTT. ø=ìï dü+<äsꓤ\˝À sπ K\T ˇø£<ëì‘√ eTs=ø£{Ï @ø°u$ÑÛ kÕÔsTT.

Ç<˚ $<Û+ä >± ‘·\eTT˝À ˇø£ düsfi¡ sπ¯ Kq÷, ˇø£ eÁø£sπ Kq÷ ^ùdÔ @eTÚ‘·T+~? MTs¡T ãVüQ|ü<Tä \
n<Ûë´j·T+˝À H˚sT¡ Ã≈£îqï≥T¢>± á eÁø£sπ K ãVüQ|ü~ eÁø£+ ªª|üsêe\j·TeTTμμ>± ≈£L&Ü e⁄+&Ée#·TÃqT ˝Ò<ë düsfi¡ ¯
dü+eè‘· eÁø£yTÓ qÆ ªeè‘·eÔ TTμ ø±e#·TÃqT. eè‘·eÔ TT nH˚~ ˇø£ dæsú ¡ _+<äTe⁄ qT+&ç dæsú ¡ <ä÷s¡+˝À e⁄qï _+<äTe⁄\
düeTT<ëj·TeTT nì MT≈£î ‘Ó\TdüT.
Y

eè‘êÔø±s¡ edüTeÔ ⁄\T ˝Ò<ë |ü]ø£sê\T ‘·\eTTô|’ ø£<Tä \T‘·Tqï|ü&ÉT @s¡Œ&ÉT e÷s¡eZ TT MTs¡T #·÷ùd e⁄+{≤s¡T.
ñ<ëVü≤s¡D≈£î ôdø’ \Ï T ‘=≈£îÿq|ü⁄&ÉT, s¬ \’ T ã+&ç |ü{≤º\ô|’ q&ÉT#·Tq|ü⁄&ÉT e+{Ï$. á dü+<äs“¡ +¤ ˝À eè‘·eÔ TT
eT]j·TT ˇø£ sπ K‘√ dü+ã+<Û+ä eTq≈£î >√#·]düT+Ô ~. eT] á dü+ã+<Ûëìï MTs¡T @$<Û+ä >± e´ø£|Ô sü #¡ >· \∑ s¡T?
ˇø£ ‘·\eTTô|’ eè‘·eÔ TT eT]j·TT ˇø£ sπ KqT rdüT≈£î+fÒ @s¡Œ&˚ dü+ã+<Ûë\qT eTq+ Ç|ü&ÉT |ü]o*<ë›eTT.
9.1.1 ˇø£ sπ K eT]j·TT ˇø£ eè‘·eÔ TT
ˇø£ eè‘êÔìï, ˇø£ sπ KqT ˇø£ ø±–‘·+ô|’ ^j·TeTì n&ç>±eTqTø√+&ç. M{Ïì eT÷&ÉT $<Ûë\T>± e÷Á‘·yT˚
e´ø£|Ô sü #¡ e· #·TÃqì dü˝≤àHé yê~+#ê&ÉT.
‘O’ øπ +Á<äeTT>± >∑\ eè‘·eÔ TT eT]j·TT PQ sπ KqT rdüTø=ì á eT÷&ÉT $<Ûë\qT ÁøÏ+~ |ü{≤\˝À
|ü]o*<ë›+. P P P
A

O O O A

B
(i) Q (ii) Q (iii) Q

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 226 10e ‘·s¡>∑‹ >∑DÏ‘·+

|ü≥+ (i)˝À, PQ sπ K≈£î, eè‘êÔìøÏ ñeTà&ç _+<äTe⁄ ˝Ò<Tä . á dü+<äs“¡ +¤ ˝À PQ qT, eè‘êÔìøÏ nK+&ç‘·
sπ K n+{≤eTT.
|ü≥+ (ii)˝À, PQ sπ K, eè‘êÔìï s¬ +&ÉT _+<äTe⁄\T A eT]j·TT Be<ä› K+&ç+∫+~. á s¬ +&ÉT ñeTà&ç
_+<äTe⁄\‘√ AB C≤´ @s¡Œ&ç+~. á dü+<äs“¡ +¤ ˝À PQ sπ KqT eè‘êÔìøÏ K+&ç‘· sπ K ˝Ò<ë #Û<˚ qä sπ K n+{≤eTT.
|ü≥+ (iii)˝À, PQ sπ K≈£î eè‘êÔìøÏ ˇπø ˇø£ ñeTà&ç _+<äTe⁄ @s¡Œ&ç+~. á dü+<äs“¡ +¤ ˝À PQ sπ KqT
eè‘êÔìøÏ düŒs¡Ùsπ K n+{≤eTT.
eTq+ á s¬ +&ÉT |ü{≤\qT >∑eTìùdÔ eTπs Ç‘·s¡ dü+ã+<Ûë\qT M{Ï eT<Û´ä @s¡Œs¡#˝· eÒ Tì ‘Ó\TdüT+Ô ~.
eTq+ Ç|ü&ÉT düŒs¡Ùsπ K\T e´edæ‘ú +· #Ó+<˚ $<Ûeä TTqT, M{Ï <Ûsä êà\qT, ìsêàD≤\qT á n<Ûë´j·T+˝À $|ü⁄\+>±
H˚s¡TÃ≈£î+<ë+.
MT≈£î ‘Ó\TkÕ ?
düŒs¡Ùsπ K (tangent) nH˚ |ü<+ä ˝≤{ÏHé |ü<+ä {≤HéÁ^ (tangere) nH˚ |ü<+ä qT+&ç e∫Ãq~. Bì ns¡+ú
ªdüŒ]Ù#·&+É μμ. á |ü<ëìï yÓTT<ä{kÏ Õ]>± &ÓHêàsYÿ >∑D‘Ï X· ÊgE„&TÉ <∏ëeTdt |òdæ ÿ” , 1583 dü+ˆˆ˝À Á|üyX˚ ô¯ |{≤º&TÉ .

Ç$ #˚j·T+&ç
Q L
i. @<ÓH’ ê yê´kÕs¡+ú ‘√ eè‘·+Ô ^j·T+&ç. @yÓH’ ê y˚sπ «s¡T _+<äTe⁄\ e<ä› Hê\T>∑T P
M
düŒs¡Ùsπ K\qT ^j·T+&ç. Ç+ø£q÷ á eè‘êÔìøÏ mìï düsÙ¡ sπ K\qT ^j·Te#·TÃ?
ii. eè‘êÔìøÏ u≤Vü≤´+˝À Ç∫Ãq _+<äTe⁄ qT+&ç mìï düŒs¡Ùsπ K\qT ˙e⁄ ^j·T>∑\e⁄
?
iii. Á|üøÿ£ |ü≥+˝À @ sπ K\T eè‘êÔìøÏ düŒs¡Ùsπ K\T ne⁄‘êsTT?
9.2 eè‘êÔìøÏ düŒs¡ÙπsK\T
eè‘·+Ô ô|’ >∑\ @ _+<äTe⁄ qT+&ÓH’ ê düŒs¡Ùsπ KqT ^j·T>∑\eTì ‘Ó\TdüT≈£îHêïs¡T. eè‘·+Ô jÓTTø£ÿ ‘·\+ô|’ @<ÓH’ ê
_+<äTe⁄ >∑T+&Ü mìï düŒs¡Ùsπ K\qT ^j·T>∑\s√ #Ó|Œü >∑\sê ?
Bìì ne>±Vü≤q #˚dTü ø=qT≥≈£î ÁøÏ+~ ø£è‘ê´ìï |ü]o*<ë›+.
ø£è‘·´+
A
ˇø£ eè‘êÔø±s¡ ÇqT|ü r>∑qT rdüTø=q+&ç. <ëìô|’ ˇø£ _+<äTe⁄ P e<ä›
AB nH˚ eTs=ø£ s π K e+{Ï ‹qïì eTs=ø£ ÇqT|ü r>∑qT rdüTø=ì, n~ P >∑T+&Ü
ÁuÛeÑ TD+ #Ó+<˚ $<Û+ä >± neTs¡Ã+&ç. Ç+<äT˝À eè‘êÔø±s¡ ÇqT|ü r>∑ eè‘êÔìï AB P
B O
1
A A
11 A ÇqT|ür >∑ dü
s fi
¡ s
π ¯ KqT ‘Ó
\ T|ü
⁄ ‘êsTT. eT]j·
T T
á r>∑ eè‘êÔìï P e<ä› K+&ç+∫+<äqTø=qTeTT.
á e´edüú (|ü]ø£s+¡ )qT ã\¢ô|’ ñ+∫,
P _+<äTe⁄ Ä<Ûës¡+>± AB r>∑qT HÓeTà~>± |ü≥+˝À #·÷|æq≥T¢ ø£<Tä |ü⁄‘·÷
P $$<Ûä kÕúHê\T e#·TÃq≥T¢ #˚j·T+&ç. á r>∑ P qT+&ç ÁuÛÑeTD+
B #Ó+<äT‘·Tqï|ü&ÉT eTq+ Q1, Q 2 eT]j·TT Q3 _+<äTe⁄\qT
>∑eTì+#·e#·TÃ. kÕ<Ûës¡D+>± á r>∑ s¬ +&ÉT _+<äTe⁄\ >∑T+&Ü b˛‘·Tqï≥T¢
11
B B
1
uÛ≤$+#·e#·TÃ. Ç+<äT˝À P ˇø£ Á|ü‘´˚ ø£ kÕúq+ ( AB jÓTTø£ÿ A′ B′ qT

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 eè‘êÔ\≈£î düŒs¡ÙπsK\T eT]j·TT #Û˚<äqπsK\T 227

|ü]o*+#·+&ç). á dü+<äs“¡ +¤ ˝À Pe<ä› e÷Á‘·yT˚ eè‘êÔìï K+&ç+∫+~. Ç~ eè‘êÔìøÏ düŒs¡Ùsπ K AB jÓTTø£ÿ

$T–*q nìï kÕúHê\qT |ü]X¯*+#·+&ç. Ç~ Á|ü‹ dü+<äs“¡ +¤ ˝Àq÷ P e<äH› ˚ ø±ø£ eTs=ø£ _+<äTe⁄ e<ä› ≈£L&Ü
K+&çdTü qÔ ï~. n+<äT#˚ A1 B1 e÷Á‘·yT˚ eè‘êÔìøÏ P e<ä› düŒs¡Ùsπ K ne⁄‘·T+~.
Bì qT+&ç eè‘êÔìøÏ P _+<äTe⁄ e<ä› ˇπø ˇø£ düŒs¡Ùsπ K ñ+≥T+<äì eTq+ >∑eTì+#·e#·TÃqT.
AB r>∑qT @ ~X¯˝À e÷]Ãqq÷ n~ eè‘êÔø±s¡ r>∑qT s ¬ +&ÉT y˚sπ «s¡T _+<äTe⁄ e<ä› K+&çdTü qÔ ï≥T¢
‘Ó\TdüTqÔ ï~. á dü+<äsꓤ\˝À á kÕúHê\T nìïj·T÷ #Û<˚ qä sπ K\qT b˛* e⁄+{≤sTT. @ dü+<äs“¡ +¤ ˝À
nsTT‘˚ s¬ +&ÉT _+<äTe⁄\T <ä>sZ∑ ≈¡ î£ »]– @ø°u$ÑÛ kÕÔj÷Ó Ä Á|ü‘´˚ ø£ dü+<äs“¡ +¤ ˝À #Û<˚ qä sπ K eTq≈£î düŒs¡Ùsπ K>±
e÷s¡T‘·T+<äì #Ó|Œü e#·TÃqT.
Ç~ #˚j·T+&ç
P
ˇø£ ø±–‘·eTTô|’ eè‘êÔìï ^∫, <ëìô|’ PQ #Û<˚ qä sπ KqT |ü≥eTT˝À
#·÷|æq $<Û+ä >± ^j·T+&ç. á #Û<˚ qä sπ K≈£î düe÷+‘·se¡ TT>± Çs¡TyÓ|’ ⁄ü ˝≤
eT]ø=ìï sπ K\qT ^j·T+&ç. #Û<˚ qä sπ K eè‘·øπÔ +Á<äeTT yÓ|’ ⁄ü ≈£î »s¡T>∑T‘·Tqï
ø=\B ªeè‘·CÔ ≤´μ bı&Ée⁄ @yÓT+Æ ~? @~ ô|<ä› C≤´? ˇø£<ëìø=ø£{Ï düe÷+‘·s+¡ >± A
e⁄+&˚ düŒs¡Ùsπ K\qT ˇø£ eè‘êÔìøÏ mìï+{Ïì ^j·T>∑\s¡T?
eè‘êÔìï düŒs¡Ùsπ K ‘ê≈£îq|ü⁄&ÉT @s¡Œ&çq ñeTà&ç _+<äTe⁄qT eTqeTT
ªdüŒs¡Ù_+<äTe⁄μ n+{≤eTT eT]j·TT düŒs¡Ù_+<äTe⁄ >∑T+&Ü b˛j˚T sπ KqT eTq+ Q
eè‘êÔìøÏ düŒs¡Ùsπ K n+{≤eTT.
øÏ+~ |ü{≤\˝À eè‘êÔ\≈£î ^j·Tã&çq düŒs¡Ùsπ K\qT >∑eTì+#·+&ç.

eè‘·eÔ TTô|’ >∑\ ˇø£ _+<äTe⁄ >∑T+&Ü mìï düŒs¡Ùsπ K\qT MTs¡T ^j·T>∑\s¡T? eè‘êÔìøÏ yÓTT‘·eÔ TT mìï
düŒs¡Ùsπ K\T+{≤sTT? düŒs¡Ù_+<äTe⁄qT >∑eTì+#·+&ç. düŒs¡Ù_+<äTe⁄ >∑T+&Ü eè‘·Ô yê´kÕsêú\T ^j·T+&ç.
düŒs¡Ùsπ K≈£î, yê´kÕsêúìøÏ eT<Û´ä @s¡Œ&çq ø√D+˝À @<ÓH’ ê Á|ü‘´˚ ø£‘· e⁄+<ë? Ç$ \+u≤\T>± e⁄qï≥T¢ MTs¡T
>∑eTì+#·e#·TÃ. Bìì @$<Û+ä >± ìs¡÷|æ+#·e#√à |ü]o*<ë›eTT.
dæ<ëΔ+‘·eTT-9.1 : ˇø£ eè‘·eÔ TTô|’ >∑\ @<ÓH’ ê _+<äTe⁄ >∑T+&Ü ^j·Tã&çq
A
düŒs¡Ùsπ K, Ä düŒs¡Ù _+<äTe⁄ e<ä› yê´kÕsêúìøÏ \+ãeTT>± ñ+≥T+~.
<ä‘êÔ+X¯eTT : ªOμ øπ +Á<äeTT>± >∑\ eè‘êÔìøÏ düŒs¡Ùsπ K XY, P _+<äTe⁄
>∑T+&Ü ^j·Tã&ç+~. O
kÕsê+X¯eTT : OP , XY q≈£î \+ãeTT nq>± (OP ⊥ XY).
ñ|ü|‹ü Ô : Ç#·Ã≥ eTqeTT ìs¡÷|æ+#·e\dæq yêø±´ìï ‘·|ü >± uÛ≤$+∫
ˇø£ ø=‘·Ô Á|ü‹bÕ<äq #˚kÕÔeTT. P Y

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 228 10e ‘·s¡>∑‹ >∑DÏ‘·+

á Á|ü‹bÕ<äq ˝Ò<ë }Vü≤ $s¡T<ä‘› ≈· î£ <ë]rdüT+Ô ~. á |ü<‹›ä ˝À eTq+ A

OP nH˚~ XY ô|q ’ P ø±≈£î+&Ü eTs=ø£ _+<äTe⁄ Q qT rdüTø=ì OQ

qT ø£\T|ü⁄<ë+.
O
Q _+<äTe⁄ K∫ä‘·+>± eè‘êÔìøÏ u≤Vü≤´+˝ÀH˚ e⁄+≥T+~
(m˝≤ ?) (Q ˇø£ y˚fi¯ eè‘·Ô n+‘·s+¡ ˝À e⁄+fÒ XY nH˚~ eè‘êÔìøÏ
düŒs¡Ùsπ K ø±≈£î+&Ü #Û<˚ qä sπ K ne⁄‘·T+<äì >∑eTì+#·+&ç.)
P Q Y
n+<äTe\q, OQ nH˚~ yê´kÕs¡+ú OQ nH˚~ yê´kÕs¡+ú OP
ø£Hêï bı&Ée⁄>± e⁄+≥T+~ (m˝≤ ?)
n+fÒ OQ > OP.
XY ô|q ’ >∑\ @ Ç‘·s¡ _+<äTe⁄\¬øq’ Ç~ e]ÔdTü +Ô ~. n+<äT#˚ ªOμ qT+&ç XY ô|ø’ Ï ^j·Tã&çq nìï
bı&Ée⁄\˝À OP e÷Á‘·yT˚ $TøÏÿ* ∫qï~ n>∑TqT.
ø£qTø£ eTq+ }Væ≤+∫q≥T¢>± OP, XY ≈£î \+ã+>± e⁄+&É<Tä nH˚ uÛ≤eq ‘·|ü nì ‘˚*q~.
n+<äTe\q OP, XY sπ K≈£î \+ã+
á $<Û+ä >± ìs¡÷|æ+#·ã&çq~.
>∑eTìø£ : eè‘·Ô yê´kÕsêúìøÏ düŒs¡Ù_+<äTe⁄ >∑T+&Ü ^j·Tã&çq sπ KqT Ä eè‘êÔìøÏ Ä _+<äTe⁄ e<ä› n_Û\+ã+
(normal) nì ≈£L&Ü n+{≤s¡T.

Á|üj·T‹ï+#·+&ç
ô|’ dæ<ëΔ+‘·eTT jÓTTø£ÿ $|üs´¡ j·T+qT ˙e⁄ @$<Û+ä >± ìs¡÷|ækÕÔe⁄?
“ˇø£ ‘·\+˝À eè‘·+
Ô ô|’ yê´kÕs¡+ú jÓTTø£ÿ ∫e] _+<äTe⁄ >∑T+&Ü ^j·Tã&çq sπ K <ëìøÏ \+ã+>± e⁄qï#√
Ä sπ U≤ eè‘êÔìøÏ düŒs¡Ùsπ K n>∑TqTμμ.
ô|’ dæ<ëΔ+‘·eTTqT ñ|üj÷Ó –+∫ eTqeTT eT]ø=ìï |ò*ü ‘ê\qT sêã≥ºe#·TÃqT.
(i) eè‘·+ Ô ô|’ >∑\ _+<äTe⁄ P e<ä› ˇπø ˇø£ \+ãeTT OP ^j·Te#·TÃqT. ø±e⁄q, eè‘·|Ô ]ü ~Ûô|’ <ä‘_Ô· +<äTe⁄
>∑T+&Ü ˇπø ˇø£ düŒs¡Ùsπ KqT @s¡Œs¡#>· \∑ eTT.
(ii) eè‘·+ Ô ô|’ >∑\ _+<äTe⁄≈£î \+ã+>± ˇπø ˇø£ sπ K XY e⁄+≥T+~ ø±e⁄q düŒs¡Ùsπ K≈£î \+ãeTT>±
^j·Tã&çq sπ K K∫Ñ·+>± eè‘·Ô øπ +Á<äeTT >∑T+&Ü b˛e⁄qT.
M{Ïì >∑÷]Ã Ä˝À∫+∫ MT ùdïVæ≤‘·T\‘√q÷, ñbÕ<Ûë´j·TT\ ‘√q÷ #·]Ã+#·+&ç.
9.2.1 eè‘êÔìøÏ düŒs¡Ùsπ KqT ì]à+#·T≥
eè‘·+Ô ô|’ >∑\ <ä‘Ô· _+<äTe⁄ >∑T+&Ü eè‘êÔìøÏ düŒs¡Ùsπ KqT m˝≤ ì]à+#·e#·TÃqT? Bì ø=s¡≈î£ eTqeTT
eTT+<äT ‘Ó\TdüT≈£îqï düŒs¡Ùsπ K, düŒs¡Ù _+<äTe⁄ e<ä› yê´kÕsêúìøÏ \+ãeTT>± e⁄+≥T+~. nH˚ |ò*ü ‘·eTT
yê&ÉT≈£î+<ëeTT. n+<äT#˚ eè‘êÔìøÏ düŒs¡Ùsπ KqT ^j·T&ÉeT+fÒ Ä eè‘·Ô yê´kÕs¡eú TT ∫e] _+<äTe⁄ e<ä›
\+ãπsKqT ^j·T&ÉeTì ns¡eú TT. eè‘·Ô yê´kÕs¡eú TT ^j·÷\+fÒ eè‘·Ô øπ +Á<äeTT ‘Ó*j·÷*.
á ìsêàDeTT jÓTTø£ÿ k˛bÕHê\T eTqeTT ‘Ó\TdüT≈£î+<ëeTT.

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 eè‘êÔ\≈£î düŒs¡ÙπsK\T eT]j·TT #Û˚<äqπsK\T 229

ìsêàDeTT : eè‘·øπÔ +Á<äeTT ‘Ó*dæq|ü⁄&ÉT eè‘·eÔ TTô|’ >∑\ _+<äTe⁄ >∑T+&Ü Ä eè‘êÔìøÏ düŒs¡Ùsπ KqT ^j·T&ÉeTT.
eTq≈£î ‘O’ øπ +Á<äeTT>± >∑\ eè‘·+Ô eT]j·TT eè‘·|Ô ]ü ~Ûô|’ P nH˚ _+<äTe⁄ Çe«ã&çq~. eTqeTT P
>∑T+&Ü eè‘êÔìøÏ düŒs¡Ùsπ KqT ìsêà+#ê*.
X
ìsêàD k˛bÕHê\T :
1. ‘O’ ø π +Á<äeTT>± eè‘êÔìï ^∫, <ëì
|ü]~Ûô|’ ‘P’ nH˚ _+<äTe⁄qT >∑T]Ô+#ê*. O P
OP ì ø£\bÕ*.
O P
2. P e<ä› eè‘êÔìøÏ \+ãπsKqT |ü≥+˝À
#·÷|æq≥T¢>± ^∫, XY nì ù|s¡T ô|{≤º*.
3. XY nH˚~, eè‘êÔìøÏ P >∑T+&Ü ^j·Tã&çq düŒs¡Ùs π K ne⁄‘·T+~.
Y P >∑T+&Ü b˛e⁄q≥T¢ eè‘êÔìøÏ eTs=ø£ düŒs¡Ùs
π KqT ˙e⁄ ^j·T>∑\yê? ø±s¡D≤\T
‘Ó\|ü+&ç.
Á|üj·T‹ï+#·+&ç
X
eè‘·Ô øπ +Á<äeTT ‘Ó*j·Tì dü+<äs“¡ e¤ TT˝À eè‘·eÔ TTô|’ >∑\ _+<äTe⁄ >∑T+&Ü eè‘êÔìøÏ Q

düŒs¡Ùsπ KqT m˝≤^kÕÔe⁄?

R P

dü÷#·q : ∠QPX eT]j·TT ∠PRQ nH˚ düe÷q ø√D≤\qT ì]à+#·TeTT. ìsêàDeTT

$e]+#·+&ç. Y

9.2.2 düŒs¡Ùsπ K bı&Ée⁄qT ø£qT>=qT≥

eè‘êÔìøÏ ˇø£ _+<äTe⁄ e<ä› ^j·Tã&çq düŒs¡ÙπsK bı&Ée⁄qT eTqeTT ø£qT>=q>∑\e÷? eè‘·ÔeTTô|’ >∑\
@ _+<äTe⁄ e<ä› ^j·Tã&çq düŒs¡ÙπsK\ bı&Ée⁄\T ≈£L&Ü düe÷qy˚THê? øÏ+~ düeTdü´˝À |ü]o*<ë›eTT.
ñ<ëVü≤s¡D : ‘O’ πø+Á<äeTT>± >∑\ eè‘·Ô+˝À yê´kÕs¡úeTT 6 ôd+.MT. düŒs¡ÙπsKô|’ >∑\ _+<äTe⁄ P qT+&ç
<ä÷s¡eTT OP = 10 ôd+.MT nsTTq düŒs¡ÙπsU≤ K+&É+ PA qT ø£qT>=qTeTT.
kÕ<Ûqä : eè‘·dÔ Œü s¡Ùsπ K, düŒs¡Ù_+<äTe⁄ e<ä› <ëì yê´kÕsêúìøÏ \+ãeTT (dæ<ëΔ+‘·+ 9.1)
Ç|ü&ÉT eè‘êÔìøÏ PA nH˚~ düŒs¡Ùsπ U≤+&É+ eT]j·TT OA yê´kÕs¡eú TT
∴ OA ⊥ PA ⇒ ∠OAP = 90°
Ç|ü&ÉT ΔOAP ˝À OP2 = OA2 + PA2 (ô|<
’ ë∏ >∑sd¡ t dæ<ëΔ+‘·eTT)
A
102 = 62 + PA2 P

100 = 36 + PA2 6 10

PA2 = 100 - 36 O
= 64
∴ PA = 64 = 8 ôd+.MT.

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 230 10e ‘·s¡>∑‹ >∑DÏ‘·+

nuÛ≤´düeTT - 9.1
1. øÏ+~ U≤∞\qT |üP]+#·+&ç.
(i) eè‘êÔìï, ˇø£ düŒs¡ÙπsK ................ _+<äTe⁄(\) e<ä› K+&çdüTÔ+~.
(ii) eè‘êÔìï, ˇø£ πsK ¬s+&ÉT y˚πs«s¡T _+<äTe⁄\ e<ä› K+&çùdÔ <ëìì ............. n+{≤s¡T.
(iii) ˇø£ eè‘êÔìøÏ >∑]wü˜+>± ^j·T>∑*π> düe÷+‘·s¡ düŒs¡ÙπsK\T ................
(iv) ˇø£ eè‘êÔìøÏ, <ëì düŒs¡ÙπsK≈£î >∑\ ñeTà&ç _+<äTe⁄qT ............... n+{≤s¡T.
(v) ˇø£ eè‘êÔìøÏ eTqeTT............. düŒs¡ÙπsK\qT ^j·T>∑\eTT.
2. 5 ôd+.MT yê´kÕs¡e ú TT >± >∑\ eè‘êÔìï PQ düŒs¡Ùsπ K P e<ä› ‘êøÏ+~. eè‘·Ô øπ +Á<äeTT ªOμ qT+&ç
dü‡s¡Ùsπ Kô|’ >∑\ _+<äTe⁄ Q q≈£î <ä÷s¡eTT OQ = 12 ôd+.MT. nsTTq PQ bı&Ée⁄qT ø£qT>=qTeTT.
3. ˇø£ eè‘êÔìï ^j·T+&ç. eè‘êÔìøÏ u≤Vü≤´+˝À >∑\ ˇø£ sπ K≈£î düe÷+‘·se¡ TT>± ˇø£ düŒs¡Ùsπ Kq÷, ˇø£
#Û<˚ qä sπ KqT ^j·T+&ç.
4. 9 ôd+.MT yê´kÕs¡e ú TT>± >∑\ eè‘êÔìøÏ, <ëì øπ +Á<ä+ qT+&ç 15 ôd+.MT <ä÷s¡+˝À ˇø£ _+<äTe⁄ ø£\<äT.
nsTTq <ëìøÏ ^j·Tã&çq düŒs¡Ùsπ K bı&Ée⁄qT ø£qT>=q+&ç.
5. ˇø£ eè‘·Ô yê´düeTT ∫e] _+<äTe⁄\ e<ä› ^j·Tã&çq düŒs¡Ùsπ K\T düe÷+‘·se¡ Tì #·÷|ü+&ç.
9.3 @<Ó’Hê _+<äTe⁄ qT+&ç eè‘êÔìøÏ ^j·T<ä>∑T düŒs¡ÙπsK\T
ˇø£ ‘·\eTT˝À @<ÓH’ ê _+<äTe⁄ qT+&ç eè‘êÔìøÏ ^j·T>∑*>π düŒs¡Ùsπ K\ dü+K´qT øÏ+~ ø£è‘ê´ìï #˚dæ
‘Ó\TdüT≈£î+<ëeTT.
ø£è‘·´eTT
(i) ø±–‘·+ô|’ eè‘·+Ô ^j·T+&ç. <ëì n+‘·se¡ TT˝À
P nH˚ _+<äTe⁄qT rdüTø=+&ç. á _+<äTe⁄
P
>∑T+&Ü eè‘êÔìøÏ düŒs¡Ùsπ KqT ^j·T>∑\yê? á
_+<äTe⁄ >∑T+&Ü ^#˚ sπ K\ìïj·T÷ eè‘êÔìï
s¬ +&ÉT _+<äTe⁄\ e<ä› K+&çkÕÔsTT. M{Ïì (i)
@eT+{≤s¡T? Çeìïj·T÷ #Û<˚ qä sπ K\T ø£<ë!
n+<äT#˚ eè‘·Ô n+‘·s+¡ ˝À >∑\ @ _+<äTe⁄
>∑T+&Ü HÓq’ q÷ eè‘êÔìøÏ düŒs¡Ùsπ K\qT ^j·TT≥ P
kÕ<Û´ä eTT ø±<äT. (Á|üøÿ£ |ü≥eTTqT #·÷&É+&ç)
(ii) Ç|ü&ÉT, eè‘·|Ô ]ü ~Ûô|’ P nH˚ _+<äTe⁄qT
rdüTø=ì <ëì qT+&ç düŒs¡Ùsπ KqT ^j·T+&ç. O
á _+<äTe⁄ >∑T+&Ü ˇπø ˇø£ düŒs¡Ùsπ KqT
^j·T>∑\s¡ì MTs¡T |ü]o*+#˚ e⁄+{≤s¡T. (Á|üøÿ£
|ü≥eTTqT #·÷&É+&ç) (ii)

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 eè‘êÔ\≈£î düŒs¡ÙπsK\T eT]j·TT #Û˚<äqπsK\T 231

(iii) Ç|ü&ÉT, eè‘êÔìøÏ u≤Vü≤´eTT˝À P _+<äTe⁄qT

rdüTø=ì Ä _+<äTe⁄ qT+&ç eè‘êÔìøÏ A
düŒs¡ÙπsK\qT ^j·T&ÜìøÏ Á|üj·T‹ï+#·+&ç.
MTs¡T @$T >∑eTì+#ês¡T? MTs¡T K∫Ñ·+>±
s¬ +&ÉT düŒs¡Ùsπ K\qT e÷Á‘y· T˚ á u≤Vü≤´ _+<äTe⁄ O P

qT+&ç ^j·T>∑\eTì ‘Ó\TdüT≈£î+{≤s¡T. (Á|üøÿ£

|ü≥+qT >∑eTì+#·+&ç) (iii) B
eTq+ #˚dæq ø£è‘·´eTT <ë«sê ÁøÏ+~ |òü*‘ê\qT kÕ<Ûës¡D°ø£]+#·e#·TÃqT.
dü+<äs“¡ +¤ (i) : eè‘·Ô n+‘·se¡ TT˝À >∑\ @ _+<äTe⁄ >∑T+&Ü HÓH’ ê eè‘êÔìøÏ düŒs¡Ùsπ KqT ^j·T˝ÒeTT.
dü+<äs“¡ +¤ (ii) : eè‘·eÔ TTô|’ >∑\ @ _+<äTe⁄>∑T+&ÜHÓH’ ê b˛e⁄q≥T¢ eè‘êÔìøÏ ˇπø ˇø£ düŒs¡Ùsπ KqT ^j·Te#·TÃqT.
dü+<äs“¡ +¤ (iii) : eè‘·Ô u≤Vü≤´+˝À >∑\ @<ÓH’ ê _+<äTe⁄ >∑T+&Ü eè‘êÔìøÏ K∫Ñ·eTT>± s¬ +&ÉT düŒs¡Ùsπ K\qT
^j·Te#·TÃqT.
á dü+<äs“¡ e¤ TT˝À eè‘êÔìøÏ A eT]j·TT B nH˚$ düŒs¡Ù_+<äTe⁄\T eT]j·TT PA , PB \T düŒs¡Ùsπ K\T.
eè‘·+Ô ˝À u≤Vü≤´ _+<äTe⁄ P qT+&ç düŒs¡Ù_+<äTe⁄q≈£î ^j·Tã&çq sπ U≤K+&É+ jÓTTø£ÿ bı&Ée⁄qT Ä
eè‘êÔìøÏ u≤Vü≤´ _+<äTe⁄ P qT+&ç ^j·Tã&çq düŒs¡Ùsπ K bı&Ée⁄ n+{≤eTT.
|ü≥+(iii) ˝À PA eT]j·TT PB \qT u≤Vü≤´ _+<äTe⁄ P qT+&ç ^j·Tã&çq düŒs¡Ùsπ K\ bı&Ée⁄\T
ne⁄‘êj·Tì >∑eTì+#·+&ç. á bı&Ée⁄\T PA eT]j·TT PB \ eT<Û´ä @<ÓH’ ê dü+ã+<Ûeä TT e⁄qï<ë?
dæ<ëΔ+‘·eTT-9.2 : eè‘êÔìøÏ u≤Vü≤´_+<äTe⁄ >∑T+&Ü ^j·Tã&çq düŒs¡Ùsπ K\ bı&Ée⁄\T düe÷qeTT
<ä‘êÔ+X¯eTT : ªOμ øπ +Á<äeTT>± >∑\ eè‘êÔìøÏ, P nH˚ _+<äTe⁄ u≤Vü≤´+˝À ø£\<äT. P _+<äTe⁄ >∑T+&Ü eè‘êÔìøÏ
^j·Tã&çq düŒs¡Ùsπ K\T PA eT]j·TT PB (|ü≥+ #·÷&É+&ç)
kÕsê+X¯eTT : PA = PB
ñ|ü|‹ü Ô : OA, OB eT]j·TT OP \qT ø£\|ü+&ç.
∠OAP = ∠OBP = 90 0 (dæ<ëΔ+‘·eTT 9.1 Á|üø±s¡+ eè‘·Ô yê´kÕsêúìøÏ
düŒs¡Ùsπ K≈£î eT<Û´ä @s¡Œ&çq ø√DeTT)
A
Ç|ü&ÉT ΔOAP eT]j·TT ΔOBP \˝À,
OA = OB (ˇπø eè‘·Ô yê´kÕsêú\T)
OP = OP (ñeTà&ç uÛTÑ »eTT) O P
n+<äTe\q \+.ø£.uÛTÑ düs«¡ düe÷q d”«ø£è‘·+ Á|üø±s¡eTT
ΔOAP ≅ ΔOBP nsTTq~.
Bì qT+&ç PA = PB n>∑TqT (düs«¡ düe÷q Á‹uÛTÑ C≤\˝À düs÷¡ |üu≤ÛB>±\T)
ìs¡÷|æ+#·ã&çq~.
Á|üj·T‹ï+#·+&ç
ô|<’ ë∏ >∑sd¡ t dæ<ëΔ+‘·eTTqT ñ|üj÷Ó –+∫ ô|’ dæ<ëΔ+‘·eTTqT ìs¡÷|æ+#·&ÜìøÏ ñ|ü|‹ü ìÔ sêj·T+&ç.

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 232 10e ‘·s¡>∑‹ >∑DÏ‘·+

9.3.1. u≤Vü≤´ _+<äTe⁄ qT+&ç eè‘êÔìøÏ düŒs¡Ùsπ K\T ì]à+#·T≥

eè‘êÔìøÏ u≤Vü≤´+˝À ˇø£ _+<äTe⁄ qT+∫, eè‘êÔìøÏ K∫Ñ·+>± s¬ +&ÉT düŒs¡Ùsπ K\qT ^j·Te#·TÃqì MTs¡T
‘Ó\TdüT≈£îHêïs¡T. Ç|ü&ÉT á düŒs¡Ùsπ K\qT @$<Û+ä >± ì]àkÕÔs√ ‘Ó\TdüT≈£î+<ë+.
ìsêàDeTT : u≤Vü≤´_+<äTe⁄ qT+&ç eè‘êÔìøÏ düŒs¡Ùsπ K\qT ì]à+#·T≥
<ä‘êÔ+X¯eTT : ‘O’ øπ +Á<äeTT>± >∑\ eè‘êÔìøÏ u≤Vü≤´+˝À >∑\ _+<äTe⁄ P. eTq+ Ç|ü&ÉT P qT+&ç eè‘êÔìøÏ
düŒs¡Ùsπ K\qT ì]à+#ê*.
ìsêàD k˛bÕHê\T :
k˛bÕq+(i) : PO qT ø£*|æ, <ëìøÏ \+ã düeT~«K+&Éq
sπ KqT ^j·T+&ç. PO eT<Û´ä _+<äTe⁄qT ªMμ
>± >∑T]Ô+#·+&ç. P O
M
k˛bÕq+ (ii) : M πø+Á<ä+>± PM ˝Ò<ë MO
yê´kÕs¡eú TT‘√ ˇø£ eè‘êÔìï ^j·T+&ç. Ç~
eè‘êÔìï K+&ç+#˚ _+<äTe⁄\qT A eT]j·TT B
>± >∑T]Ô+#·+&ç.
A
k˛bÕq+ (iii) : PA eT]j·TT PB \qT ø£\|ü+&ç.
PA eT]j· T T PB \T eTq≈£ î ø±e*‡q
düŒs¡Ùsπ K\T ne⁄‘êsTT.
P O
M
ìs¡ ÷ |ü D : á ìsêàDeTTqT @$<Û ä e TT>±
düeT]ú+#·e#·TÃH√ |ü]o*<ë›eTT.
OA qT ø£\|ü+&ç. B

∠PAO nH˚~ ns¡e ú è‘·+Ô ˝À @s¡Œ&çq ø√DeTT

ø±e⁄q, ∠PAO = 90° n>∑TqT. A

Ç|ü&ÉT PA ⊥ OA nì #Ó|Œü e#·TÃHê?

OA eè‘êÔìøÏ yê´kÕs¡+ ú ø±e⁄q dæ<ëΔ+‘·+ 9.1 P O
jÓTTø£ÿ $|üs´¡ j·TeTTqT ã{Ϻ PA K∫Ñ·eTT>± M
düŒs¡Ùsπ K n>∑TqT. Ç<˚$<Ûeä TT>±, PB ≈£L&Ü
düŒs¡Ùsπ K n>∑TqT.
B
ìs¡÷|æ+#·ã&çq~.
düŒs¡Ùsπ K\T, #Û<˚ qä sπ K\≈£î dü+ã+~Û+∫q eT]ìï ÄdüøøÔÏ s£ y¡ TÓ qÆ Á|üe#·Hê\qT yê{Ï ìs¡÷|üD\qT |ü]o*<ë›eTT.
Á|üe#·qeTT-1 : eè‘êÔìøÏ u≤Vü≤´_+<äTe⁄ qT+&ç ^j·Tã&çq düŒs¡Ùsπ K\ eT<Û´ä @s¡Œ&˚ ø√D düeT~«K+&Éq sπ Kô|’ Ä
eè‘·+Ô jÓTTø£ÿ øπ +Á<ä+ e⁄+≥T+~. Bìì @$<Û+ä >± ìs¡÷|æ+#·>\∑ yÓ÷ Ä˝À∫+#·+&ç.
ìs¡÷|üD : ªOμ øπ +Á<äeTT>± >∑\ eè‘êÔìøÏ P ˇø£ u≤Vü≤´_+<äTe⁄. PQ eT]j·TT PR \T P qT+&ç eè‘·+Ô ô|ø’ Ï
^j·Tã&çq düŒs¡Ùsπ K\T
OQ eT]j·TT OR \qT ø£\|ü+&ç
Á‹uÛTÑ C≤\T OQP eT]j·TT ORP \T düs«¡ düe÷Hê\T, m+<äTø£+fÒ
Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ
 eè‘êÔ\≈£î düŒs¡ÙπsK\T eT]j·TT #Û˚<äqπsK\T 233

∠OQP = ∠ORP = 90 (dæ<ëΔ+‘·+ 9.1) Q

OQ = OR (yê´kÕsêú\T)
OP ñeTà&ç uÛTÑ »eTT O P
düs«¡ düe÷q Á‹uÛTÑ C≤\ düs÷¡ |ü uÛTÑ C≤\T düe÷qeTT
ø±e⁄q ∠OPQ = ∠OPR n>∑TqT. R
ø±e⁄q, OP nH˚~ ∠QPR jÓTTø£ÿ ø√D düeT~«K+&Éqsπ K n>∑TqT.
Bì qT+&ç eè‘·øπÔ +Á<äeTT düŒs¡Ùsπ K\ eT<Û´ä @s¡Œ&çq ø√D+ jÓTTø£ÿ düeT~«K+&Éq sπ Kô|’ e⁄+&ÉTqì
#Ó|üŒe#·TÃqT.
Á|üe#·qeTT-2 : s¬ +&ÉT @ø£øπ +Á<ä eè‘êÔ\˝À u≤Vü≤´eè‘·eÔ TT jÓTTø£ÿ C≤´, n+‘·s¡
eè‘·eÔ TT jÓTTø£ÿ düŒs¡Ù_+<äTe⁄ e<ä› düeT~«K+&Éq n>∑TqT.
Ç~ @$<Ûeä TT>± dü‘´· eTT n>∑TH√ #·÷<ë›+.
ìs¡÷|üD : O øπ +Á<äeTT>± >∑\ s¬ +&ÉT eè‘êÔ\T C1 eT]j·TT C2 nì Çe«ã&çq$. C1
C
O 2
C1 eè‘·e Ô TT jÓTTø£ÿ C≤´ AB qT ∫qï eè‘·eÔ TT C2 qT P e<ä› ‘êøÏ+~. (|ü≥+
#·÷&É+&ç) eTqeTT AP = PB n>∑Tqì ìs¡÷|æ+#ê*.
O, P\ qT ø£\|ü+&ç. A P B

C2 eè‘êÔìøÏ AB düŒs¡Ùs π K eT]j·TT OP yê´kÕs¡eú TT

ø±e⁄q dæ<ëΔ+‘·eTT 9.1 Á|üø±s¡eTT
OP ⊥ AB n>∑TqT.
Ç|ü&ÉT ΔOAP eT]j·TT ΔOBP \T düs«¡ düe÷Hê\T (m˝≤?) Bì qT+&ç AP = PB nsTTq~.
OP nH˚~ øπ +Á<ä+ qT+&ç ^j·Tã&çq \+ãeTT ø±e⁄q n~ AB C≤´qT düeT~«K+&Éq #˚dTü + Ô ~.
Á|üe#·qeTT-3 : ªOμ øπ +Á<äeTT>± >∑\ eè‘êÔìøÏ u≤Vü≤´_+<äTe⁄ A qT+&ç ^j·Tã&çq düŒs¡Ùsπ K\T AP eT]j·TT
AQ nsTTq ∠PAQ = 2∠OPQ = 2 ∠OQP n>∑TqT.
Bìì ìs¡÷|æ+#·>\∑ yê?
ìs¡÷|üD : ªOμ øπ +Á<äeTT>± >∑\ eè‘êÔìøÏ u≤Vü≤´_+<äTe⁄, A qT+&ç s¬ +&ÉT düŒs¡Ùsπ K\T AP eT]j·TT AQ \T
^j·Tã&ܶsTT. Ç+<äT˝À P, Q \T dü«s¡Ù_+<äTe⁄\T (|ü≥+ #·÷&É+&ç.).
P
eTqeTT ∠PAQ = 2 ∠OPQ nì ìs¡÷|æ+#ê*.
∠PAQ = θ nsTTq
A θ O
Ç|ü&ÉT dæ<ëΔ+‘·eTT 9.2 Á|üø±s¡eTT
AP = AQ n>∑TqT.
Q
ø±e⁄q ΔAPQ ˇø£ düeT~«u≤VüQ Á‹uÛTÑ »eTT n>∑TqT.
n+<äT#˚, ∠APQ + ∠AQP + ∠PAQ = 180° (eT÷&ÉT ø√D≤\ yÓTT‘·eÔ TT)

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 234 10e ‘·s¡>∑‹ >∑DÏ‘·+

1
∠APQ = ∠AQP = (180° − θ)
2

1
= 90° − θ
2
Ç<˚$<Û+ä >±, dæ<ëΔ+‘·eTT 9.1 Á|üø±s¡eTT
∠OPA = 90°

ø±e⁄q, ∠OPQ = ∠OPA − ∠APQ

⎡ 1 ⎤ 1 1
= 90° − ⎢90 − θ⎥ = θ = ∠PAQ
⎣ 2 ⎦ 2 2

Bì qT+&ç Ð PAQ = 2Ð OPQ = 2Ð OQP n>∑TqT. C

R
Á|üe#·qeTT-4 : ˇø£ eè‘·eÔ TT ABCD #·‘T· s¡T“¤C≤ìï P, Q, R, S _+<äTe⁄\ e<ä› D
‘êøÏ+~.
nsTTq AB+CD = BC + DA n>∑TqT. Q
S
ìs¡÷|üD @$<Û+ä >± yÓTT<ä\Tô|&É‘ê+? AB, CD, BC, DA \T eè‘êÔìøÏ
^j·Tã&çq düŒs¡Ùsπ K\T. m+<äTø£q>± #·‘T· s¡T“¤»eTT jÓTTø£ÿ Hê\T>∑T uÛTÑ C≤\qT
‘ê≈£î‘·÷ eè‘·+Ô ˝À <ëì n+‘·se¡ TT˝À ^j·Tã&ç+~ eT]j·TT P,Q,R,S _+<äTe⁄\ A P B
e<ä› düŒ]Ù+∫+~.
eT] eTT+<äT≈£î m˝≤ yÓfi‘¯ êeTT?
ìs¡÷|üD : |ü≥+˝À #·÷|æq $<Ûeä TT>± ABCD uÛTÑ C≤\T AB, BC, CD eT]j·TT DA \qT eè‘·eÔ TT P, Q, R,
S _+<äTe⁄\ e<ä› es¡Tdü>± düŒ]Ù+∫+~,
dæ<ëΔ+‘·eTT 9.2 Á|üø±s¡eTT, u≤Vü≤´_+<äTe⁄ qT+&ç eè‘·+Ô ô|ø’ Ï ^j·Tã&çq düŒs¡Ùsπ K\ bı&Ée⁄\T düe÷qeTT
ø±e⁄q
AP = AS
BP = BQ
DR = DS
eT]j·TT CR = CQ
M{Ïì ø£\T|ü>±, eTq≈£î
AP + BP + DR + CR = AS + BQ + DS + CQ
˝Ò<ë (AP + PB) + (CR + DR) = (BQ + QC) + (DS + SA)
˝Ò<ë AB + CD = BC + DA.
Ç|ü&ÉT eTqeTT Ç∫Ãq |ü]dæ‹ú øÏ nqT>∑TDeTT>± $X‚w¢ Dü #˚dæ ìsêàDeTTqT @$<Û+ä >± #˚jT· e#·TÃH√
øÏ+~ ñ<ëVü≤s¡D <ë«sê ‘Ó\TdüT≈£î+<ëeTT.

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 eè‘êÔ\≈£î düŒs¡ÙπsK\T eT]j·TT #Û˚<äqπsK\T 235

ñ<ëVü≤s¡D-1. eè‘·Ô yê´kÕs¡eú TT 5ôd+.MT eT]j·TT s¬ +&ÉT düŒs¡Ùsπ K\ eT<Û´ä ø√DeTT 60° nsTTq Ä eè‘êÔìøÏ
düŒs¡Ùsπ K\qT ^j·T+&ç.
kÕ<Ûqä : eè‘·+Ô ^∫ <ëìøÏ s¬ +&ÉT düŒs¡Ùsπ K\qT ^j·TT≥qT eTq+ |ü]o*<ë›eTT. eTq≈£î eè‘·yÔ ê´kÕs¡eú TT eT]j·TT
s¬ +&ÉT düŒs¡Ùsπ K\ eT<Û´ä ø√DeTT Çe«ã&ç+~. eè‘·øπÔ +Á<ä+ qT+&ç u≤Vü≤´_+<äTe⁄q≈£î >∑\ <ä÷s¡eTT>±ì,
düŒs¡Ùsπ K\ bı&Ée⁄\T>±ì eTq≈£î ‘Ó*j·Te⁄. ø±ì eTq≈£î düŒs¡Ùsπ K\ eT<Û´ä ø√DeTT e÷Á‘·yT˚ ‘Ó\TdüT. Bì
qT|üj÷Ó –+∫ u≤Vü≤´_+<äTe⁄ qT+&ç øπ +Á<ëìøÏ >∑\ <ä÷sêìï ø£qT>=+fÒ, eTqeTT düŒs¡Ùsπ K\qT ^j·Te#·TÃqT.
Bìì ÁbÕs¡+_Û+#·&ÜìøÏ eTT+<äT 5ôd+.MT yê´kÕs¡eú TT>∑\ eè‘êÔìï |ü]o*<ë›eTT. u≤Vü≤´_+<äTe⁄ ªPμ
qT+&ç PA eT]j·TT PB \T nH˚$ eè‘êÔìøÏ ^j·Tã&çq düŒs¡Ùsπ K\T eT]j·TT M{Ï eT<Û´ä ø√DeTT 60°
Bì˝À ∠APB = 60°. OP ì ø£\T|ü+&ç. OP nH˚~ A
∠APB øÏ düeT~«K+&Éq s π K nì eTq≈£î ‘Ó\TdüT.
60o 5 ôd+.MT
ø±e⁄q ∠OPA = ∠OPB = =300 O P
2 60°
[∵ΔOAP ≅ ΔOBP] 5 ôd+.MT
OA
Ç|ü&ÉT ΔOAP ˝À Sin 30° = m<äTø£{Ïsu¡íeÛÑTTT»eTT = OP B
1 5
= (Á‹ø√D$T‹ ìwüŒ‘·T\Ô qT+&ç)
2 OP
A
⇒ OP = 10 ôd+.MT.
eTq+ Ç|ü&ÉT ‘O’ øπ +Á<äeTT>± 5ôd+.MT yê´kÕs¡+ú ‘√ eè‘·eÔ TT
^<ë›eTT. øπ +Á<ä+ qT+&ç 10ôd+.MT <ä÷s¡+˝À ªPμ nH˚ _+<äTe⁄qT O 10 ôd+.MT
P
M
>∑T]Ô<ë›eTT. OP ì ø£*|æ ìsêàDeTT 9.2˝À #·÷|æq $<Ûeä TT>±
|üP]Ô #˚<ë›eTT.
PA eT]j·TT PB nH˚$ eè‘êÔìøÏ ^j·Tã&çq ˇø£ »‘· düŒs¡Ùs π K\T B
@s¡Œ&É‘êsTT.

Á|üj·T‹ï+#·+&ç
ô|q’ ‘Ó*Œq ìsêàD≤ìï eTs=ø£ $<Û+ä >± #˚jT· &ÜìøÏ Á|üjT· ‹ï+#·+&ç.
∠ BOA=1200 n>∑Tq≥T¢ OA eT]j·TT OB yê´kÕsêú\qT ^j·T+&ç. ∠ BOA≈£î düeT~«K+&Éq
sπ KqT ^∫ OA, OB \≈£î A eT]j·TT B\ e<ä› \+ãπsK\T ^j·T+&ç. á sπ K\T ∠ BOA düeT~«K+&Éq
sπ KqT u≤Vü≤´_+<äTe⁄ e<ä› K+&çkÕÔsTT. M{ÏH˚ eTq≈£î ø±e*‡q düŒs¡Ùsπ K\T>± rdüTø=qe#·TÃ. ìsêàDeTT
#˚jT· +&ç. düeT]ú+#·+&ç.

nuÛ≤´düeTT - 9.2
1. øÏ+~ yêìøÏ dü]j·T>∑T düe÷<ÛëqeTTqT >∑T]Ô+∫ Á|ü‹ »yêãTqT düeT]ú+#·+&ç.
(i) ˇø£ eè‘·Ô düŒs¡Ùsπ K≈£î, düŒs¡Ù_+<äTe⁄ >∑T+&Ü ^∫q yê´kÕsêúìøÏ eT<Û´ä ø√DeTT
(a) 60° (b) 30° (c) 45° (d) 90°

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 236 10e ‘·s¡>∑‹ >∑DÏ‘·+

(ii) Q nH˚ _+<äTe⁄ qT+&ç eè‘·+Ô MT<ä≈î£ ^j·Tã&çq düŒs¡Ù sπ U≤ bı&Ée⁄ 24 ôd+.MT. eT]j·TT eè‘·øπÔ +Á<ä+
qT+&ç Q _+<äTe⁄≈£î >∑\ <ä÷s¡+ 25 ôd+.MT. nsTTq eè‘·Ô yê´kÕs¡eú TT
(a) 7ôd+.MT (b) 12 ôd+.MT (c) 15ôd+.MT (d) 24.5ôd+.MT
A
(iii) Á|øü ÿ£ |ü≥+˝À ªOμ øπ +Á<eä TT>± >∑\ eè‘êÔìøÏ AP eT]j·TT AQ \T s¬ +&ÉT düŒs¡Ùsπ K\T
P
eT]j·TT ∠POQ = 110°, nsTTq ∠PAQ R
(a) 60° (b) 70° 110°
O Q
(c) 80° (d) 90°
(iv) ªOμ øπ +Á<äeTT>± eè‘êÔìøÏ u≤Vü≤´_+<äTe⁄ P qT+&ç PA eT]j·TT PB nH˚
s¬ +&ÉT düŒs¡Ùsπ K\T ^j·Tã&ܶsTT. düŒs¡Ùsπ K\ eT<Û´ä ø√DeTT 80° nsTTq ∠POA
R
(a) 50° (b) 60° (c) 70° (d) 80°
(v) Á|üøÿ£ |ü≥+˝À ªOμ øπ +Á<äeTT>± >∑\ eè‘êÔìøÏ XY eT]j·TT X1Y1 X A Y
nH˚ s¬ +&ÉT düe÷+‘·s¡ düŒs¡Ùsπ K\T ^j·Tã&ܶsTT. eTs=ø£ düŒs¡Ùsπ K
AB, düŒs¡Ù _+<äTe⁄ C >∑T+&Üb˛‘·÷ XYqT A e<ä› X1Y1
qT B e<ä› K+&ç+∫+~ nsTTq ∠AOB = O

(a) 80° (b) 100°

(c) 90° (d) 60° X
1
B Y
1

2. 5 ôd+.MT eT]j·TT 3 ôd+.MT yê´kÕs¡e

ú TT\‘√ s¬ +&ÉT @ø£øπ +Á<ä
A
eè‘êÔ\T ^j·Tã&ܶsTT. ∫qï eè‘êÔìï düŒ]Ù+#˚ ô|<ä› eè‘·eÔ TT
jÓTTø£ÿ C≤´ bı&Ée⁄qT ø£qT>=q+&ç.
3. ˇø£ düe÷+‘·s¡ #·‘T· s¡T“¤»eTT˝À eè‘·eÔ TT n+‘·]œ¢ +#·ã&çq n~ düeT#·‘T· s¡T“¤»eTT n>∑Tqì
#·÷|ü+&ç.
4. Á|üøÿ£ |ü≥eTT Á‹uÛTÑ »+ ABC ˝À 3 ôd+.MT yê´kÕs¡eú TT>∑\ ˇø£ eè‘·+Ô
n+‘·]œ¢ +#·ã&ç+~. düŒs¡Ù_+<äTe⁄ D, BC uÛTÑ C≤ìï s¬ +&ÉT sπ U≤ K+&Ü\T>±
BD R 9 ôd+.MT. DC R 3 ôd+.MT>± $uÛõ Ñ +∫+~. nsTTq AB
B C
eT]j·TT AC uÛTÑ C≤\ bı&Ée⁄\T ø£qT>=q+&ç. D

5. 6 ôd+.MT yê´kÕs¡e ú TT‘√ ˇø£ eè‘êÔìï ^j·T+&ç. øπ +Á<äeTT qT+&ç 10 ôd+.MT <ä÷s¡eTT˝À _+<äTe⁄ qT+&ç
ˇø£ »‘· düŒs¡Ùsπ K\qT ^∫, yê{Ï bı&Ée⁄\T ø=\e+&ç. ô|<’ ë∏ >∑sd¡ t dæ<ëΔ+‘·+ ñ|üj÷Ó –+∫ dü]#·÷&É+&ç. 3 ôd+.MT
6. 4 ôd+.MT yê´kÕs¡e ú TT>± >∑\ eè‘êÔìøÏ, 6 ôd+.MT yê´kÕs¡eú TT>∑\ @ø£ øπ +Á<ä eè‘·+Ô ô|’ >∑\ ˇø£ _+<äTe⁄
qT+&ç düŒs¡Ùsπ KqT ^j·T+&ç. <ëì bı&Ée⁄qT ø=\e+&ç. >∑Dq#˚dæ dü]#·÷&É+&ç.
D
7. ˇø£ #˚‹ >±E düV‰ü j·T+‘√ ˇø£ eè‘êÔìï ^j·T+&ç. <ëì u≤Vü≤´+˝À ˇø£ _+<äTe⁄ rdüTø√+&ç. á
_+<äTe⁄ qT+&ç eè‘·eÔ TT ô|ø’ Ï ˇø£ »‘· düŒs¡Ùsπ K\qT ^∫ ø=\e+&ç. MTs¡T @$T >∑eTì+#ês¡T?

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 eè‘êÔ\≈£î düŒs¡ÙπsK\T eT]j·TT #Û˚<äqπsK\T 237

8. ˇø£ \+ãø√D Á‹uÛTÑ »eTT ABC˝À AB yê´dü+>± >∑\ ˇø£ A

eè‘·eÔ TT ø£seí¡ TT AC ì P e<ä› K+&ç+#·Tq≥T¢ ^j·Tã&ç+~. P
>∑T+&Ü eè‘êÔìøÏ ^j·Tã&çq düŒs¡Ùsπ K BC uÛTÑ C≤ìï düeT~«K+&Éq
#˚dTü +Ô <äì ìs¡÷|æ+#·+&ç.. P
O
9. ªOμ øπ +Á<äeTT>± eè‘êÔìøÏ u≤Vü≤´+˝À >∑\ _+<äTe⁄ ‘R’ >∑T+&Ü
düŒs¡Ùsπ KqT ^j·T+&ç á _+<äTe⁄ qT+&ç MTs¡T mìï düŒs¡Ùsπ K\qT
^j·T>∑\s¡T? B Q C

(dü÷#·q : á s¬ +&ÉT _+<äTe⁄\ qT+&ç düŒs¡Ù_+<äTe⁄ düe÷q <ä÷s¡+˝À

ñqï~)

9.4 #Û˚<äq πsK‘√ @s¡Œ&˚ eè‘·ÔK+&ÉeTT

eTqeTT ˇø£ eè‘·eÔ TT eT]j·TT sπ KqT |ü]o*+#êeTT. eè‘êÔìï, sπ K
ˇπø ˇø£ _+<äTe⁄ e<ä› ‘êøÏ‘˚ <ëìì eTqeTT düŒs¡Ùsπ K nHêïeTT. s¬ +&ÉT
y˚sπ «s¡T _+<äTe⁄\ e<ä› K+&ç+#˚ <ëìì #Û<˚ qä sπ K nìj·T÷, Ä s¬ +&ÉT
_+<äTe⁄\‘√ @s¡Œ&˚ sπ U≤ K+&Üìï ªC≤´μ nì nHêïeTT.
Á|üøÿ£ |ü≥eTT˝À ‘l’ sπ K #Û<˚ qä sπ K eT]j·TT AB C≤´ A B l

X¯+ø£sY >∑T˝≤; eT]j·TT ˙\+ s¡+>∑T ø±–‘ê\qT n‹øÏ+∫ |ü≥eTT

‘·j÷· s¡T#˚dTü HÔ êï&ÉT. Ç<˚$<Û+ä >± eT]ø=ìï |ü{≤\qT
≈£L&Ü s¡÷bı+~+#ê&ÉT. X¯óÁu‘ÑÛ · ‘=f…º (washbasin) Äø±s¡eTT˝À ˇø£ |ü≥eTT s¡÷bı+~+#ê&ÉT.
á |ü≥eTT s¡÷bı+~+#·&ÜìøÏ n‘·ìøÏ m+‘· ø±–‘·eTT nedüse¡ TT? á |ü≥eTT s¬ +&ÉT
uÛ≤>±\T>± ø£ì|ædTü qÔ ï~. ˇø£ uÛ≤>∑eTT Bs¡#È ‘· T· s¡Ádü yÓX’ Ê\´eTT ø£qT>=qT≥ MT≈£î ‘Ó\TdüT.
eT] eè‘·Ô K+&ÉeTT jÓTTø£ÿ yÓX’ Ê\´eTT m˝≤ ø£qT>=+{≤s¡T ? øÏ+~ #·sá ˝À eTqeTT Bì
jÓTTø£ÿ yÓX’ Ê\´eTT ø£qT>=qT≥qî ‘Ó\TdüTø√e&ÜìøÏ Á|üjT· ‹ï<ë›+.
Ç~ #˚j·T+&ç
X¯+ø£sY s¡÷bı+~+∫q eT]ø=ìï |ü{≤\T Çe«ã&ܶsTT.

á |ü{≤\ Äø±sê\qT @$<Û+ä >± $uÛõÑ ùdÔ M{Ï yÓX’ Ê˝≤´\T düT\uÛeÑ TT>± ø£qT>=q>∑\eTT?
MTs¡T Ç≥Te+{Ï eT]ø=ìï |ü{≤\qT s¡÷bı+~+∫, $_Ûqï |ü{≤\T>± $uÛõÑ +#·+&ç.

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 238 10e ‘·s¡>∑‹ >∑DÏ‘·+

eTqeTT ø=ìï C≤´$Trj·T |ü{≤\ yÓX’ Ê˝≤´\qT @$<Û+ä >± ø£qT>=+{≤s√ øÏ+~ |ü{øºÏ £ <ë«sê >∑Ts¡T≈Ô î£
‘Ó#T· Ã≈£î+<ëeTT.
e.dü+K´ |ü≥eTT ø=\‘·\T yÓX’ Ê\´eTT
1. bı&Ée⁄ = l A = lb
b
yÓ&\É TŒ = b
l

2. s uÛTÑ »eTT = s A = s2
s

1
3. h uÛ÷Ñ $T = b A= bh
2
b

r
4. yê´kÕs¡eú TT = r A = πr2

9.4.1. eè‘·Ô K+&ÉeTT jÓTTø£ÿ yÓX’ Ê\´eTTqT ø£qT>=qT≥

eè‘·Ô K+&ÉeTT jÓTTø£ÿ yÓX’ Ê\´eTTqT n+#·Hêy˚jT· T≥≈£î eè‘êÔìøÏ #Û<˚ qä sπ K\qT ^∫ eè‘·Ô K+&Ü\qT
@s¡Œs¡#+· &ç.
A
B
B
l

l A B
l A
(i) (ii) (iii)
Q
eè‘·Ô #ê|üeTT #˚‘q· T, C≤´ #˚‘q· T @s¡Œ&˚ eè‘·Ô Á|ü<X˚ e¯ TTqT eè‘·Ô K+&ÉeTT
n+{≤s¡ì MT≈£î ‘Ó\TdüT. Bì yÓX’ Ê\´eTT ùw&é #˚dqæ uÛ≤>∑+ ( ) ‘Ó\T|ü⁄‘·T+~.
|ü≥eTT (i) ˝À n\Œ eè‘·KÔ +&ÉeTT˝À |ü≥eTT(ii) ˝À ns¡eú è‘·eÔ TT eT]j·TT |ü≥eTT O
(iii) ˝À n~Ûø£ eè‘·Ô K+&ÉeTT ‘Ó\T|ü⁄‘êsTT.
á eè‘·Ô K+&É yÓX’ Ê\´eTT\qT m˝≤ ø£qT>=+{≤eTT? øÏ+~ ø£è‘·´eTT #˚dæ A B
‘Ó\TdüT≈£î+<ëeTT.
ˇø£ eè‘êÔø±s¡ ø±–‘êìï rdüTø=ì, yê´düeTT ø£Hêï ‘·≈î£ ÿyÓq’ P
Q
C≤´qT rdüTø=ì, |ü≥eTT˝À #·÷|æq $<Ûeä TT>± <ëì yÓ+ã&ç eT&Ée+&ç. @s¡Œ&çq
∫qï uÛ≤>±ìï ùw&é #˚jT· +&ç. á ùw&é #˚dqæ uÛ≤>±ìï @eT+{≤s¡T? Ç~ n\Œ eè‘·Ô
K+&ÉeTT (APB) eT] $T–*q ùw&é #˚jT· ã&Éì eè‘·Ô uÛ≤>±ìï @eT+{≤s¡T? Ç~
O K∫Ñ·eTT>± n~Ûøe£ è‘·Ô K+&ÉeTT(AQB) ne⁄‘·T+~.
r
xo r
)

MTs¡T eè‘·eÔ TT jÓTTø£ÿ ôdø£sº T¡ >∑T]+∫, eè‘·KÔ +&ÉeTT >∑T]+∫ ÁøÏ+~ ‘·s>¡ ‘∑ T· \˝À
A B ø=+‘· y˚Ts¡≈î£ H˚sT¡ Ã≈£îHêïs¡T. Á|üøÿ£ |ü≥eTT˝À ø=+‘· ùw&é ø±ì ÁbÕ+‘·eTT, ùw&é
#˚dqæ ÁbÕ+‘·eTT (n\Œeè‘·Ô K+&ÉeTT) ø£\dæ ôdø£sº T¡ nsTT+~. n+fÒ Ç~ ˇø£
P Á‹uÛTÑ »eTT eT]j·TT eè‘·Ô K+&ÉeTT\ ø£\sTTø£.
Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ
 eè‘êÔ\≈£î düŒs¡ÙπsK\T eT]j·TT #Û˚<äqπsK\T 239

Ç∫Ãq |ü≥+˝À ªOμ øπ +Á<äeTT, ªrμ yê´kÕs¡eú TT>± >∑\ eè‘·eÔ TT˝À OAPB ˇø£ ôdø£sº T¡ . ∠AOB ø√D |ü]e÷DeTT
‘x°’ nqTø=qTeTT.
eè‘·øπÔ +Á<ä+ e<ä› 360° ø√DeTTqT @s¡Œs¡T#·Tq|ü⁄&ÉT Äeè‘·eÔ TT yÓX’ Ê\´eTT πr2. nì MT≈£î ‘Ó\TdüT.
1°
ø±e⁄q, eè‘·øπÔ +Á<äeTT e<ä› 1° ø√DeTT #˚ @s¡Œ&ÉT ôdø£sº T¡ yÓX’ Ê\´eTT ×πr2.
360°
x°
n+<äT#˚, eè‘·øπÔ +Á<äeTT e<ä› ø√D |ü]e÷DeTT x° nsTTq ôdø£sº T¡ yÓX’ Ê\´eTT 360° ×πr2.
Ç|ü&ÉT ‘O’ øπ +Á<äeTT, ‘r’ yê´kÕs¡eú TT>± @s¡Œ&çq eè‘·Ô K+&ÉeTT APB jÓTTø£ÿ yÓX’ Ê\´eTTqT eTq+
|ü]o*ùdÔ
APB eè‘·K
Ô +&ÉeTT yÓX’ Ê\´eTT = OAPB ôdø£sº T¡ yÓX’ Ê\´eTT - ΔOAB yÓX’ Ê\´eTT
x°
= × πr2 - ΔOAB yÓX’ Ê\´eTT
360°
Á|üj·T‹ï+#·+&ç
n\Œ eè‘·Ô K+&É yÓX’ Ê\´eTTqT ñ|üj÷Ó –+∫ n~Ûøe£ è‘·KÔ +&É yÓX’ Ê\´eTTqT @$<Ûeä TT>± ø£qT>=+{≤e⁄?

Ç$ #˚j·T+&ç
1. eè‘·Ô yê´kÕs¡eú TT 7 ôd+.MT eT]j·TT ~>∑Te ôdø£sº T¡ ø√D≤\≈£î ‘·–q≥T¢ ôdø£sº T¡ yÓX’ Ê\´eTT ø£qT>=qTeTT.
i. 60° ii. 30° iii. 72° iv. 90° v. 120°
2. ˇø£ >∑&j ç ÷· s¡+˝À ì$TcÕ\ eTT\T¢ bı&Ée⁄ 14 ôd+.MT 10 ì$TcÕ\˝À á eTT\T¢#˚ @s¡Œ&˚ Á|ü<X˚ ¯
yÓX’ Ê\´eTT ø£qT>=qTeTT.
Ç|ü&ÉT eè‘·Ô K+&ÉeTT jÓTTø£ÿ yÓX’ Ê\´eTTqT ø£qT>=qT≥≈£î ˇø£ ñ<ëVü≤s¡D |ü]o*<ë›eTT.
ñ<ëVü≤s¡D-1. |üøÿ£ |ü≥eTT˝À eè‘·Ô yê´kÕs¡eú TT 21 ôd+.MT. eT]j·TT ∠ AOB = 1200 nsTTq eè‘·KÔ +&ÉeTT
22
AYB yÓX
’ Ê\´eTT ø£qT>=qTeTT. (π = eT]j·TT 3 = 1.732 >± rdüTø√+&ç)
7
kÕ<Ûqä : AYB eè‘·KÔ +&É yÓX’ Ê\´eTT A
= OAYB ôdø£s º T¡ yÓX’ Ê\´eTT − ΔOAB yÓX’ Ê\´eTT 21ôdcm
+.MT.
120°

0 Y O
Ç|ü&ÉT OAYB ôdø£sº T¡ yÓX’ Ê\´eTT = 120 0 × 22 × 21 × 21 #·.ôd+.MT 21 ôcm .
360 7 d+.MT

= 462 #·.ôd+.MT B

ΔOAB yÓX’ Ê\´eTT ø£qT>=qT≥≈£î |ü≥eTT˝À #·÷|æq $<Ûeä TT>± OM ⊥ AB qT ^j·÷*.

OA = OB ø±e⁄q \+.ø£.uÛTÑ . düs«¡ düe÷q ìj·TeTeTT Á|üø±s¡eTT ΔAMO ≅ ΔBMO n>∑TqT.

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

240 10e ‘·s¡>∑‹ >∑DÏ‘·+

ø±e⁄q, AB eT<Û´ä _+<äTe⁄ M n>∑TqT eT]j·TT A

21ôdcm .
+.MT
1 0 0
∠ AOM = ∠ BOM = × 120 = 60 M
60°
O
2
60°
Ç|ü&ÉT OM = x ôd+.MT nqTø=ìq 21ôdcm
+.MT.
B
OM
ΔOMA qT+&ç, = cos 600.
OA
x 1 ⎛ 0 1⎞
˝Ò<ë, = ⎜∵ cos 60 = ⎟
21 2 ⎝ 2⎠
21
˝Ò<ë, x=
2
21
ø±e⁄q, OM =
2
ôd+.MT
AM
n˝≤π>, OA
= sin 60°

AM 3 ⎛ 0 3⎞
⇒ = ⎜∵ sin 60 = ⎟
21 2 ⎝ 2 ⎠

21 3
ø±e⁄q, AM = ôd+.MT.
2
2 × 21 3
n+<äTfe\q AB = 2AM = ôd+.MT. = 21 3 ôd+.MT.
2
1
Bì qT+&ç ΔOAB yÓX’ Ê\´eTT = × AB × OM
2
1 21
= × 21 3 × #·.ôd+.MT
2 2
441
= 3 #·.ôd+.MT ...(2)
4
á $<Û+ä >± (1), (2) \qT ã{Ϻ
⎛ 441 ⎞
AYB eè‘·K
Ô +&É+ yÓX’ Ê\´eTT = ⎜ 462 − 3 ⎟ #·.ôd+.MT
⎝ 4 ⎠

=
21
4
(88 − 21 3 ) #·.ôd+.MT
= 271.047 #·.ôd+.MT

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 eè‘êÔ\≈£î düŒs¡ÙπsK\T eT]j·TT #Û˚<äqπsK\T 241

ñ<ëVü≤s¡D-2. Á|üøÿ£ |ü≥eTT˝À O øπ +Á<äeTT>± eè‘·eÔ TT˝À PQ = 24 ôd+.MT., PR = 7 ôd+.MT eT]j·TT

22
yê´düeTT QR nì Çe«ã&ç+~. ùw&é #˚jT· ã&çq eè‘·KÔ +&ÉeTT yÓX’ Ê\´eTT ø£qT>=qTeTT. (π= rdüTø=+&ç)
7
kÕ<Ûqä : ùw&é #˚jT· ã&çq eè‘·KÔ +&É+ yÓX’ Ê\´eTT = OQPR ôdø£sº T¡ yÓX’ Ê\´eTT - PQR Á‹uÛTÑ » yÓX’ Ê\´eTT.
QR yê´düeTT ø±e⁄q, ∠QPR = 90° (ns¡e ú è‘·eÔ TT˝À ø√DeTT)
ô|<’ ë∏ >∑sd¡ t dæ<ëΔ+‘·eTTqT ñ|üj÷Ó –+∫,
ΔQPR, QR2 = PQ2 + PR2 P
T
= 242 + 72 d+.M

7ôd
24 ô

+.MT
Q O
= 576 + 49 R

= 625

QR = 625 = 25 ôd+.MT

1
Bì qT+&ç eè‘·Ô yê´kÕs¡eú TT = QR
2

1 25
= (25) = ôd+.MT
2 2

1 2
Ç|ü⁄&ÉT, OQPR ns¡eú è‘·eÔ TT yÓX’ Ê\´eTT = πr
2

1 22 25 25
= × × ×
2 7 2 2
= 327.38 #·.ôd+.MT ..... (1)

1
QPR \+ãø√D Á‹uÛTÑ »yÓX’ Ê\´eTT = × PR × PQ
2

1
= × 7 × 24
2
= 84 #·.ôd+.MT ..... (2)
(1), (2) \qT ã{Ï,º
ùw&é#j˚ T· ã&çq eè‘·KÔ +&ÉeTT yÓX’ Ê\´eTT = 327.38 - 84
= 243.38 #·.ôd+.MT
ñ<ëVü≤s¡D-3. Á|üøÿ£ |ü≥eTT˝À #·÷|æq $<Ûeä TT>± ˇø£ >∑T+Á&Éì ñ|ü]‘·\eTT>∑\ ã\¢ô|’ Äs¡T düe÷q Äø£è‘·T\T
ø£\e⁄. ã\¢ô|’ ‘·\eTT jÓTTø£ÿ yê´kÕs¡eú TT 14 ôd+.MT nsTTq #·.MT `5 #=|üq ã\¢ô|’ >∑\ Äø£è‘·T\≈£î s¡+>∑T
y˚jT· &ÜìøÏ m+‘·Ks¡Tà ne⁄‘·T+~. ( 3 = 1.732 rdüTø√+&ç)

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 242 10e ‘·s¡>∑‹ >∑DÏ‘·+

kÕ<Ûqä : eè‘·eÔ TT˝À n+‘·]œ¢ +#·ã&çq Áø£eTwü&TÉ “¤õ jÓTTø£ÿ uÛTÑ »eTT eè‘·Ô yê´kÕsêúìøÏ düe÷qeTì eTq≈£î ‘Ó\TdüT.
∴ Áø£eTwü&TÉ “¤õ jÓTTø£ÿ ˇø=ÿø£ÿ uÛTÑ »eTT = 14 ôd+.MT
n+<äTe\q, Äø£è‹ #˚jT· ã&çq Äs¡T eè‘·Ô K+&Ü\ yÓX’ Ê\´eTT = eè‘·yÔ X’Ó Ê\´eTT - Áø£eTwü&TÉ “¤õ yÓX’ Ê\´eTT
Ç|ü⁄&ÉT, eè‘·Ô yÓX’ Ê\´eTT = πr2
22
= × 14 × 14 = 616 #·.ôd+.MT ..... (1)
7
3 2
Áø£eTwü&TÉ “¤õ yÓX’ Ê\´eTT =6× a
4
3
=6× × 14 × 14 ôd+
.MT
4 4
1 r
= 509.2 #·.ôd+.MT ..... (2)
(1), (2)\qT ã{Ϻ Äs¡TÄø£è‘·T\ yÓTT‘·+Ô yÓX’ Ê\´+
= 616 − 509.21
= 106.79 #·.ôd+.MT
Bì qT+&ç, #·.MT `5 #=|üq Äs¡T Äø£è‘·T\≈£î s¡+>∑T y˚jT· T≥≈£î nj˚T´ Ks¡TÃ
= `106.79 × 5
= `533.95

nuÛ≤´düeTT - 9.3
1. 10 ôd+.MT yê´kÕs¡e ú TT>± >∑\ eè‘·eÔ TT˝À ˇø£ C≤´ øπ +Á<äeTT e<ä› \+ãø√D≤ìï @s¡Œ]ùd,Ô øÏ+~ Çe«ã&çq
eè‘·KÔ +&Ü\ yÓX’ Ê˝≤´\T ø£qT>=q+&ç. (π = 3.14 nì rdüTø√+&ç.)
i. n\Œ eè‘·KÔ +&ÉeTT ii. n~Ûø£ eè‘·Ô K+&ÉeTT
2. 12 ôd+.MT yê´kÕs¡e ú TT>± >∑\ eè‘·eÔ TT˝À ˇø£ C≤´ øπ +Á<äeTT e<ä› 120° ø√D≤ìï @s¡Œs¡∫+~. C≤´‘√
@s¡Œ&çq dü+ã+~Û‘· n\Œeè‘·Ô K+&É+ jÓTTø£ÿ yÓX’ Ê\´eTTqT ø£qT>=q+&ç.
(π = 3.14 eT]j·TT 3 = 1.732 rdüTø√+&ç)
3. ˇø£ ø±s¡T n<äe› TTô|’ ˇø£<ëìô|’ n<Ûë´s√Vü≤DeTT (over lap) ø±ì ˙{Ïì
‘·T&ç#˚ s¬ +&ÉT yÓ|’ sü T¡ ¢ e⁄HêïsTT. Á|ü‹ yÓ|’ sü Y bı&Ée⁄ 25 ôd+.MT. 115° D C
ø√DeTT‘√ ˙{Ïì ‘·T&ÉTdüTqÔ ï~. ˇπøkÕ] s¬ +&ÉT yÓ|’ sü T¡ ¢ |üì#˚jT· T
dü+<äs“¡ e¤ TT˝À yÓTT‘·+Ô n<ë›ìï X¯óÁuÛ|Ñ ]ü #˚ Á|ü<X˚ ¯ yÓX’ Ê\´eTT ø£qT>=qTeTT.
22
(π = nì rdüTø√+&ç.)
7
4. Á|üøÿ£ |ü≥eTT˝À ABCD #·‘T· s¡Ádü+ jÓTTø£ÿ uÛTÑ »eTT 10 ôd+.MT bı&Ée⁄
ø£*– e⁄qï~ eT]j·TT #·‘T· s¡ÁdüuTÑÛ »eTT yê´düeTT>± >∑\ ns¡eú è‘êÔ\T A B
Á|ü‹uÛTÑ »eTT yÓ|’ ⁄ü q ^j·Tã&ܶsTT. ùw&é #˚jT· ã&çq Á|ü<X˚ ¯ yÓX’ Ê\´eTT 10 ôd+.MT
ø£qT>=qTeTT. (π = 3.14 nì rdüTø√+&ç.)

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 eè‘êÔ\≈£î düŒs¡ÙπsK\T eT]j·TT #Û˚<äqπsK\T 243

5. |üøÿ£ |ü≥+˝À ABCD #·‘T· s¡ÁdüuTÑÛ »eTT 7 ôd+.MT eT]j·TT APD eT]j·TT D 7 ôd+.MT C
BPC \T ns¡e ú è‘·eÔ TT\T nsTTq ùw&é #˚dqæ Á|ü<X˚ y¯ X’Ó Ê\´eTT ø£qT>=qTeTT.
22
A (π = qT rdüTø=+&ç)
ôd+.MT

7 P

D
C 6. Á|üøÿ£ |ü≥eTT˝À ªOμ øπ +Á<äeTT eT]j·TT
2

3.5 ôd+.MT yê´kÕs¡ ú e TT>± >∑ \ A B

eè‘·eÔ TT˝À OACB nH˚~ ˇø£ ôdø£sº T¡
O
bÕ<äeTT OD = 2 ôd+.MT nsTTq ùw&é #˚dqæ
ÁbÕ+‘· yÓX’ Ê\´eTT ø£qT>=qTeTT.

T
7 ôd+.M
O B 30°
3 ôd+.MT 22
(π = nì rdüTø√+&ç) C D

21 ôd+
7

T .M
7. ªOμ øπ +Á<äeTT >±>∑\ s¬ +&ÉT @ø£ øπ +Á<ä eè‘êÔ\ yê´kÕsêú\T es¡Tdü>± 21ôd+.MT
eT]j·TT 7 ôd+.MT eT]j·TT AB, CD \T s¬ +&ÉT #ê|üsπ K\T (|ü≥eTT #·÷&É+&ç).
∠AOB = 30° nsTTq ùw&é #˚dæq Á|ü<˚X¯ yÓ’XÊ\´eTTqT ø£qT>=q+&ç.
D C 22 A B
(π = nì rdüTø√+&ç)
7
10 ôd+.MT

8. |üøÿ£ |ü≥+˝À yê´kÕs¡e

ú TT 10 ôd+.MT >± >∑\ eè‘·+Ô ˝À s¬ +&ÉT ôdø£sº T¡ bÕ<äeTT\
eT<ä´ @s¡Œ&çq ñeTà&ç Á|<ü X˚ +¯ (ùw&é #˚jT· ã&çq~) jÓTTø£ÿ yÓX’ Ê\´eTTqT ø£qT>=q+&ç.
A B
(π = 3.14 nì rdüTø√+&ç)
10 ôd+.MT

◊∫Ãø£ nuÛ≤´düeTT
[|üØø£å\ø=s¡≈£î ìπsΔ•+#·ã&çq~ ø±<äT]
1. u≤Vü≤´_+<äTe⁄ qT+&ç eè‘·eÔ TT ô|ø’ Ï ^j·Tã&çq s¬ +&ÉT düŒs¡Ùsπ K\ eT<Û´ä ø√DeTT eT]j·TT s¬ +&ÉT düŒs¡Ù
_+<äTe⁄\qT øπ +Á<ä+‘√ ø£\T|ü⁄‘÷· ^j·Tã&çq sπ U≤ K+&Ü\T @s¡Œs¡∫q ø√D≤ìøÏ dü+|üPs¡øe£ Tì ìs¡÷|æ+#·+&ç.
2. 5 ôd+.MT yê´kÕs¡e ú TT>± >∑\ eè‘·eÔ TT˝À PQ C≤´ bı&Ée⁄ 8ôd+.MT.
P eT]j·TT Q >∑T+&Ü ^j·Tã&çq düŒs¡Ùs π K\T T e<ä› K+&ç+#·T≈£îHêïsTT.
(|ü≥eTT #·÷&É+&ç) nsTTq TP bı&Ée⁄qT ø£qT>=q+&ç. +.MT
O
5 ôd
3. ˇø£ #·‘T· s¡T“¤»eTT˝À eè‘·eÔ TT <ëì Hê\T>∑T uÛTÑ C≤\qT ‘ê≈£î‘·÷ n+‘·]¢ P 8 ôd+.MT
œ+#·ã&ç e⁄qï#√ Ä #·‘T· s¡T“¤»eTT m<äT{Ï uÛTÑ C≤\T eè‘·Ô øπ +Á<äeTT e<ä› Q
#˚jT· T ø√D≤\T dü+|üPs¡ø±\ì ìs¡÷|æ+#·+&ç.
4. 8 ôd+.MT bı&Ée⁄ >∑\ AB s π U≤K+&Üìï ^j·T+&ç. A øπ +Á<äeTT>± 4
ôd+.MT yê´kÕs¡úeTT‘√ ˇø£ eè‘·ÔeTT, B πø+Á<äeTT>± 3ôd+.MT
yê´kÕs¡eú TT‘√ eTs=ø£ eè‘·eÔ TT ^j·T+&ç. ˇø£ eè‘·Ô øπ +Á<äeTT qT+&ç
eTs=ø£ eè‘êÔìøÏ düŒs¡Ùsπ K\qT ^j·T+&ç.
T

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 244 10e ‘·s¡>∑‹ >∑DÏ‘·+

5. ABC \+ãø√D Á‹uÛTÑ »eTT˝À AB = 6 ôd+.MT, BC = 8 ôd+.MT eT]j·TT ∠B = 900. B os¡¸+ qT+&ç
AC ô|ø’ Ï ^j·Tã&çq \+ãeTT BD eT]j·TT B, C, D _+<äTe⁄\ >∑T+&Ü eè‘·e
Ô TT ^j·Tã&ç+~. A qT+&ç
á eè‘·eÔ TTô|ø’ Ï düŒs¡Ùsπ K\qT ^j·T+&ç.
6. A, B øπ +Á<ë\T>± >∑\ s ¬ +&ÉT eè‘êÔ\T C e<ä› düŒ]Ù+#·T≈£îHêïsTT. AC = 8
ôd+.MT. eT]j·TT AB = 3 ôd+.MT nsTTq ùw&é #˚dqæ Á|ü<X˚ ¯ yÓX’ Ê\´eTT
ø£qT>=qTeTT. A
B
7. AB = 14 ôd+.MT.
D C
eT]j·TT BC = 7 ôd+.MT C
ø=\‘·\T ABCD Bs¡#È ‘· T·
ôd+.MT

s¡ÁdüeTT ^j·Tã&ç+~. DC, BC eT]j·TT AD

yê´kÕ\T>± >∑\ eT÷&ÉT ns¡úeè‘êÔ\T |ü≥eTT˝À
A 14 ôd+.MT B
#·÷|æq≥T¢>± ^j·Tã&çq$. nsTTq ùw&é #˚dqæ Á|ü<X˚ ¯
yÓX’ Ê\´eTTqT ø£qT>=qTeTT.

eTq+ @$T #·]Ã+#ê+

eTqeTT á n<Ûë´j·TeTT˝À ÁøÏ+~ n+XÊ\qT H˚sT¡ Ã≈£îHêïeTT.
1. eè‘·eÔ TT jÓTTø£ÿ düŒs¡Ùsπ K eT]j·TT #Û<˚ qä sπ K\≈£î ìs¡«#·Hê\T. eè‘·Ô C≤´ jÓTTø£ÿ uÛ≤eqqT ≈£L&Ü
ñ|üj÷Ó –+#·T≈£îHêïeTT.
2. $$<Ûä s¡ø±\ Á‹uÛTÑ C≤\ uÛ≤eq\T eTTK´+>± \+ãø√D Á‹uÛTÑ C≤\T eT]j·TT düeT~«u≤VüQ Á‹uÛTÑ C≤\qT
>∑÷]à ‘Ó\TdüT≈£îHêïeTT.
3. øÏ+~ dæ<ëΔ+‘ê\qT H˚sT¡ Ã≈£îHêïeTT.
a) eè‘·e Ô TTô|’ >∑\ @<ÓH’ ê _+<äTe⁄ >∑T+&Ü ^j·Tã&çq düŒs¡Ùsπ K, Ä düŒs¡Ù _+<äTe⁄ e<ä› yê´kÕsêúìøÏ
\+ãeTT>± e⁄+≥T+~.
b) eè‘êÔìøÏ u≤Vü≤´ _+<äTe⁄ >∑T+&Ü ^j·Tã&çq düŒs¡Ùs π K\ bı&Ée⁄\T düe÷qeTT.
4. øÏ+~ ìsêàD≤\qT #˚jT· T≥ H˚sT¡ Ã≈£îHêïeTT.
a) eè‘·øπÔ +Á<äeTT, eè‘·Ô |ü]~Ûô|’ ˇø£ _+<äTe⁄ Ç∫Ãq|ü⁄&ÉT Ä _+<äTe⁄ >∑T+&Ü eè‘êÔìøÏ düŒs¡Ùs π KqT
ì]à+#·T≥.
b) u≤Vü≤´_+<äTe⁄ qT+&ç eè‘êÔìøÏ ˇø£ »‘· düŒs¡Ùs π K\qT ì]à+#·T≥.
5. eè‘êÔ\≈£î, düŒs¡Ùsπ K\≈£î dü+ã+~Û+∫q ø=ìï Á|üe#·Hê\qT @$<Û+ä >± ìs¡÷|æ+#·e#·TÃH√ ‘Ó\TdüT≈£îHêïeTT.
á $<ÛëqeTT˝À ø=ìï |üPs¡«|ò*ü ‘ê\qT ñ|üj÷Ó –+#·Tø=ì ‘ê]ÿø£eTT>± ìs¡÷|æ+∫ q÷‘·q |ò*ü ‘ê\qT
sêã{≤ºeTT.
6. eTq+ n\Œ eè‘·Ô K+&É/n~Ûø£ eè‘·Ô K+&É yÓX’ Ê˝≤´\T ø£qT>=qT≥ H˚sT¡ Ã≈£îHêïeTT.
eè‘·Ô K+&ÉeTT jÓTTø£ÿ yÓX’ Ê\´eTT = dü+ã+~Û‘· ôdø£sº T¡ yÓX’ Ê\´eTT - dü+ã+~Û‘· Á‹uÛTÑ » yÓX’ Ê\´eTT.

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 πøåÁ‘·$T‹ 245

n<Ûë´j·TeTT

10 πøåÁ‘·$T‹
(Mensuration)

10.1 |ü]#·j·T+
8, 9e ‘·s>¡ ‘∑ T· \˝À |òTü Hêø£è‘·T\ jÓTTø£ÿ yÓX’ Ê\´eTT, ñ|ü]‘·\ yÓX’ Ê\´eTT eT]j·TT |òTü q|ü]e÷DeTT\qT
>∑÷]à H˚sT¡ Ãø=Hêïs¡T. Ä uÛ≤eq\qT $$<Ûä nuÛ≤´düeTT\T, ø£è‘·´eTT\T #˚jT· T≥ <ë«sê ne>±Vü≤q #˚dTü ≈£îHêïs¡T.
yê{Ïì ì‘·´J$‘· dü+|òTü ≥q\‘√ nq«sTT+∫, <Óq’ +~q J$‘·eTT˝À yê{Ï ÁbÕeTTK´‘· @$T{Ï? ÄeX¯´ø£‘·
@$T{Ï? eT]j·TT yê{Ïì @$<Ûeä TT>± ˝…øÿÏ kÕÔsT¡ ? n+#·Hê y˚kÕÔsT¡ nqT n+X¯eTT\qT >∑T]Ô+#ês¡T. ñ<ëVü≤s¡D≈£î
ˇø£ >∑~øÏ düTqï+ y˚jT· &ÜìøÏ m+‘· |ü]e÷DeTT˝À düTqïeTT nedüse¡ TT nqT<ëìì ˝…øÿÏ +#·&ÜìøÏ Ä >∑~ ñ
|ü]‘·\ yÓX’ Ê\´eTTqT ø£qT>=Hê* ø±ì Ä >∑~ jÓTTø£ÿ |òTü q|ü]e÷DeTT nedüse¡ TT+&É<Tä . |ü+&çq <Ûëq´eTTqT
ì\« #˚jT· &ÜìøÏ mìï dü+#·T\T nedüse¡ TT ne⁄‘êjÓ÷ ˝…øÿÏ +#·&ÜìøÏ eTq≈£î |òTü q|ü]e÷DeTT nedüse¡ Te⁄‘T· +~
ø±ì ñ|ü]‘·\yÓX’ Ê\´eTT nedüse¡ TT+&É<Tä .
Á|üj·T‹ï+#·+&ç
1. á ÁøÏ+~ yê{Ïì |ü]o*+∫ Á|ü‹ dü+<äs“¡ e¤ TT˝À |òTü q|ü]e÷DeTT eT]j·TT yÓX’ Ê\´eTT\˝À @~
nedüse¡ Te⁄‘·T+<√? m+<äT#˚‘?· $e]+#·+&ç ?
i. ˇø£ d”kÕ˝À >∑\ ˙{Ï |ü]e÷D+ ii. >∑T&Üs¡eTT ‘·j÷· s¡T#˚jT· &ÜìøÏ ø±e\dæq
>∑T&ɶ |ü]e÷DeTT
iii. ˇø£ ˝≤]˝À >∑\ dü+#·T\ dü+K´ iv. dæ˝+… &És˝Y À ì+|üã&çq >±´dt |ü]e÷D+
v. ˇø£ n–Zô|f…˝ º À ì+|ü>*∑ qZ n–Z|⁄ü \¢\ dü+K´
2. ô|q ’ ñ<äV≤ü ]+∫q $<Ûeä TT>± eTs√ 5 dü+<äs“¡ e¤ TT\qT ˙e⁄ ‘Ó*|æ MT ùdïVæ≤‘·T\qT |òTü q|ü]e÷DeTT,
yÓX’ Ê\´eTT\˝À @~ nedüsy¡ ÷Ó ? #Ó|Œü eTì n&É>+∑ &ç.
eTq #·T≥÷º j·TTqï |ü]düsê\˝À $$<Ûä Äø£è‘·T\˝À qTqï (¬s+&ÉT ˝Ò<ë n+‘·ø+£ fÒ m≈£îÿe Äø£è‘·T\
ø£\sTTø£‘√ e⁄qï$) |òTü Hêø±s¡ edüTeÔ ⁄\qT #·÷dü÷j
Ô T· T+{≤eTT ø£<ë! dü+ú ãeTT\ô|’ ì]à+|üã&çq Ç+&ÉT,¢ |òTü Hêø£è‹˝À
j·TTqï |ü⁄Hê~ô|’ ì]à+|üã&çq dü÷bú Õø£è‹˝À j·TTqï ˙{Ï {≤´+≈£î\T, dü÷bú Õø±s¡ Vü≤´+&ç˝ŸqT ø£*Z $T–*q
uÛ≤>∑eT+‘ê düeT‘·\eTT >± >∑\ ÁøÏø¬ {Ÿ u≤´{Ÿ yÓTT<ä\>∑Tq$. MT #·T≥÷º j·TTqï $_Ûqï Äø£è‘·T\qT >∑eTì+#·+&ç?
ø=ìï+{Ïì á ÁøÏ+~ Çj·T´ã&ܶsTT.

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 246 10e ‘·s¡>∑‹ >∑DÏ‘·+

|ò⁄ü {Ÿu≤˝Ÿ e+{Ï edüTeÔ ⁄\ jÓTTø£ÿ ñ|ü]‘·\yÓX’ Ê\´eTT, |òTü q|ü]e÷DeTT\qT ø£qT>=H˚ $<ÛëqeTTqT
H˚sT¡ Ãø=Hêïs¡T. ø±ì $T–*q edüTeÔ ⁄\T s¬ +&ÉT ø£<ë n+‘·ø+£ fÒ m≈£îÿe |òTü Hêø£è‘·T\ ø£\sTTø£ e\q @s¡Œ&çq$>±
eTqeTT >∑T]Ô+#·e#·TÃ. n+<äT#˚ yê{Ï ñ|ü]‘·\yÓX’ Ê\´eTT, |òTü q|ü]e÷DeTT \qT @$<Ûeä TT>± ø£qT>=Hê˝À
eTqeTT Ç|ü&ÉT H˚sT¡ Ãø=+<ë+. á ÁøÏ+~ |ü{øºÏ ˝£ À $$<Ûä |òTü Hêø£è‘·T\T, yê{Ï yÓX’ Ê\´eTT\T, |òTü q|ü]e÷DeTT\T
ø£qT>=H˚ dü÷Á‘·eTT\T Çe«ã&ܶsTT.
Á|üj·T‹ï+#·+&ç
1. ô|q’ Çj·T´ã&çq |òTü Hêø£è‘·T\ |ü≥eTT\qT MT≈£î ‘Ó*dæq |òTü Hêø£è‘·T\T>± $&ÉBj·T+&ç.
2. MT #·T≥÷º j·TTqï |ü]düsê\˝À MTs¡T >∑eTì+∫q 5 $$<Ûä Äø£è‘·T\ düyT˚ àfi¯qeTT>± j·TTqï edüTeÔ ⁄\T /
|ü≥eTT\qT >∑÷]Ã Ä˝À∫+#·+&ç ?
$$<Ûä |òTü qø£è‘·T\qT, yê{Ï ñ|ü]‘·\yÓX’ Ê\´eTT, |òTü q|ü]e÷DeTT\qT >∑Ts¡T≈Ô î£ ‘Ó#T· Ã≈£î+<ë+.
e. |òTü Hêø£è‹ Äø£è‹ ñ|ü]‘·\yÓX’ Ê\´+ / dü+|üPs¡‘í \· |òTü q|ü] dü+øπ ‘·
dü+. ù|s¡T eÁø£‘\· yÓX’ Ê\´+ yÓX’ Ê\´+ e÷D+ $es¡D
1. Bs¡È|òüTq+ h 2h(l+b) 2(lb+bh+hl) lbh l:bı&Ée⁄
l b b:yÓ&É\TŒ
h:m‘·TÔ

2. düeT|òüTq+ a 4a2 6a2 a3 a:|òüTq|ü⁄

a a uÛÑT»+
3. Áø£eT uÛÑ÷|ü]~Û eÁø£‘\· yÓX’ Ê\´+ uÛÑ÷yÓ’XÊ\´+ -
|ü≥øº +£ × m‘·TÔ +2(∫e] ø£sêí\ × m‘·TÔ
yÓX’ Ê\´+)
4. Áø£eT 2πrh 2πr(r+h) πr 2 h r:uÛ÷
Ñ yê´kÕs¡+ú
eè‘êÔø±s¡ h:m‘·TÔ
dü÷|ú +ü
1 1
5. Áø£eT 2 (uÛÑ÷|ü]~Û) ñ|ü]‘·\ 3 IuÛÑ÷ -
|æs¡$T&é × m≥yê\T yÓ’XÊ\´++uÛÑ÷ yÓ’XÊ\´+
m‘·TÔ yÓ’XÊ\´+ × m‘·TÔ
1
6. Áø£eT πrl πr(l+r) 3 πr2h r:uÛÑ÷yê´kÕs¡ú+
eè‘êÔø±s¡ h:m‘·TÔ
X¯+KTe⁄ l: @≥yê\T
m‘·TÔ

4
7. >√fi¯+ 4πr2 4πr2 3 πr3 r:yê´kÕs¡ú+

2
8. ns¡ú>√fi¯+ 2πr2 3πr2 3 πr3 r:yê´kÕs¡ú+

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 πøåÁ‘·$T‹ 247

á |ü{øºÏ ˝£ Àì $$<Ûä Äø£è‘·T\qT dü+ã+~Û+∫q ø=ìï düeTdü´\qT |ü]o*<ë›+.

ñ<ëVü≤s¡D-1. X¯+U≤ø±s¡eTT˝À j·TTqï >∑T&Üs¡eTT jÓTTø£ÿ uÛ÷Ñ yê´kÕs¡+› 7 MT≥s¡T.¢ >∑T&Üs¡eTT ì]à+#·&ÜìøÏ
ø±e\dæq >∑T&ɶ bı&Ée⁄qT >∑T&ɶ jÓTTø£ÿ yÓ&\É TŒ 2 MT≥s¡T>¢ ± ñqï|ü&ÉT ø£qT>=q+&ç. [ π = 22 >± rdüTø=qTeTT]
7
kÕ<Ûqä : >∑T&Üs¡eTT jÓTTø£ÿ uÛ÷Ñ yê´kÕs¡+ú (r) = 7 MT≥s¡T¢
m‘·TÔ(h) = 10 MT≥s¡T¢
∴ X¯+≈£îe⁄ @≥yê\T m‘·TÔ (l) = r 2 + h2 (∵ l2 = r2 + h2 )

= 49 + 100

= 149 = 12.2 MT≥s¡T.¢

>∑T&Üs¡eTT jÓTTø£ÿ ñ|ü]‘·\yÓX’ Ê\´+ = πrl

22
= × 7 × 12.2 #·.MT
7
= 268.4 #·.MT.
ñ|üj÷Ó –+∫q >∑T&ɶ jÓTTø£ÿ yÓX’ Ê\´+ = 268.4 #·.MT.
>∑T&ɶ jÓTTø£ÿ yÓ&\É TŒ = 2MT.
yÓ’XÊ\´+ 268.4
>∑T&ɶ jÓTTø£ÿ bı&Ée⁄ = yÓ&É\TŒ = = 134.2 MT.
2

ñ<ëVü≤s¡D-2. dü÷bú Õø£è‹˝À qTqï q÷HÓ |”bÕ 2 MT≥s¡¢ uÛ÷Ñ yê´kÕs¡+ú 7 MT≥s¡¢ m‘·TqÔ T ø£*j
Z T· Tqï~. |”bÕ≈£î
s¡+>∑T y˚jT· &ÜìøÏ ô|sTT+≥sY 1 #·<sä |¡ ⁄ü MT≥s¡Tq≈£î D3 \qT rdüTø=+≥T+fÒ, 10 q÷HÓ |”bÕ\≈£î
s¡+>∑T y˚jT· &ÜìøÏ m+‘· Ks¡TÃe⁄‘·T+~?
kÕ<Ûqä : dü÷bú Õø±s¡ q÷HÓ |”bÕ jÓTTø£ÿ uÛ÷Ñ yê´düeTT (d) = 2 MT≥s¡T¢
d 2
dü÷|ú eü TT yê´kÕs¡eú TT (r) = = =1 m
MT≥s¡T
2 2
dü÷bú Õø±s¡ q÷HÓ |”bÕ jÓTTø£ÿ dü+|üPs¡‘í \· yÓX’ Ê\´eTT = 2 × πr(r + h)
22
= 2× × 1(1 + 7 )
7
22
=2 × ×8
7

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 248 10e ‘·s¡>∑‹ >∑DÏ‘·+

352
=
7
(MT≥s¡T)2 = 50.28 (MT≥s¡T)2
n+<äT#˚ |”bÕ jÓTTø£ÿ dü+|üPs¡‘í \· yÓX’ Ê\´+ = 50.28 (MT≥s¡T)2
1#·.MT s¡+>∑T y˚jT· &ÜìøÏ ø£jT˚ ´ Ks¡TÃ = D3
∴ 10 |”bÕ\≈£î s¡+>∑T y˚jT· ´&Üìø£jT˚ ´ = 50.28 × 3 × 10 = 1508.4
yÓTT‘·+Ô Ks¡TÃ = D 1508.4

ñ<ëVü≤s¡D-3. ˇø£ >√fi¯+, ˇø£ dü÷|ú +ü , ˇø£ X¯+KTe⁄ ˇπø m‘·T,Ô ˇπø yê´kÕs¡+ú qT ø£*j
Z T· THêïsTT. nsTTq#√
yê{Ï jÓTTø£ÿ eÁø£‘\· yÓX’ Ê\´eTT\ ìwüŒ‹Ô m+‘·?
kÕ<Ûqä : >√fi¯+, dü÷|ú +ü eT]j·TT dü÷|ú +ü jÓTTø£ÿ uÛ÷Ñ yê´kÕs¡+ú ª rμ nqTø=+<ë+.
>√fi¯eTT m‘·TÔ = yê´dü+ R 2r.
∴ X¯+KTe⁄ m‘·TÔ = dü÷| ú eü TT m‘·TÔ = >√fi¯eTT m‘·TÔ
= 2r.

X¯+KTe⁄ @≥yê\T m‘·TÔ = r 2 + h2

= r 2 + (2r )2 = 5r

∵ S1 = >√fi¯+ ñ|ü]‘·\ yÓX’ Ê\´+ = 4πr2

ú eü TT ñ|ü]‘·\ yÓX’ Ê\´+ R 2πrh = 2πr × 2r = 4πr2
S2 = dü÷|
2
ñ|ü]‘·\ yÓX’ Ê\´+ = πrl = πr ×
S3 = X¯+KTe⁄ 5r = 5 πr
∴ ñ|ü]‘·\ yÓX
’ Ê\´eTT\ ìwüŒ‹Ô R S1 : S2 : S3
S1 : S2 : S3 = 4πr2 : 4πr2 : 5 πr
2

=4:4: 5

ñ<ëVü≤s¡D-4. ˇø£ ø£+ô|˙ <äfid¯ ]ü ñ≈£îÿw”{Ÿ qT|üj÷Ó –+∫ 1000 ns¡>Δ √fi≤ø±s¡+˝À ñqï uÒdHæ \é qT ‘·j÷· s¡T
#˚j÷· \ì nqTø=+~. ns¡>› √fi≤ø±s¡ uÒdHæ é yê´kÕs¡+ú 21 ôd+.MT ñ+&˚ $<Ûeä TT>± 1000 uÒdHæ \é T ‘·j÷· s¡T
#˚jT· &ÜìøÏ ø±e\dæq ñ≈£îÿw”{Ÿ jÓTTø£ÿ yÓX’ Ê\´eTT m+‘·?
kÕ<Ûqä : ns¡>› √fi≤ø±s¡ uÒdHæ é yê´kÕs¡+ú (r) = 21 ôd+.MT
ñ|ü]‘·\yÓX’ Ê\´+ = 2πr2
22
= 2× × 21 × 21
7
= 2772 (ôd+.MT)2.

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 πøåÁ‘·$T‹ 249

n+<äT#˚ ns¡>› √fi≤ø±s¡ uÒdHæ é jÓTTø£ÿ ñ|ü]‘·\ yÓX’ Ê\´+ = 2772 (ôd+.MT)2.
1 uÒdH
æ é ‘·j÷· ]øÏ ø±e\dæq ñ≈£îÿw”{Ÿ yÓX’ Ê\´+ = 2772 (ôd+.MT)2
1000 uÒdH æ \é T ‘·j÷· ØøÏ ø±e\dæq yÓTT‘·+Ô ñ≈£îÿw”{Ÿ yÓX’ Ê\´+
= 2772 × 1000
= 2772000 cm2
= 277.2 m2

ñ<ëVü≤s¡D-5. ˇø£ Áø£eT eè‘êÔø±s¡ dü÷|ú eü TT jÓTTø£ÿ uÛ÷Ñ yê´kÕs¡+ú 14 ôd+.MT. eT]j·TT m‘·TÔ 21cm nsTTq á
ÁøÏ+~ yê{Ïì ø£qT>=qTeTT.
(i) uÛ÷
Ñ ‘·\yÓX’ Ê\´eTT (ii) eÁø£‘·\ yÓ’XÊ\´+
(iii) dü+|üPs¡í ‘·\ yÓX
’ Ê\´+ (iv) Áø£eT eè‘êÔø±s¡ dü÷ú|üeTT jÓTTø£ÿ |òüTq|ü]e÷D+
kÕ<Ûqä : dü÷ú|ü|ü⁄ uÛÑ÷yê´kÕs¡ú+ (r) = 14 ôd+.MT
dü÷ú|ü|ü⁄ m‘·TÔ (h) = 21ôd+.MT
22
(i) uÛÑ÷ yÓ’XÊ\´+ πr2 = (14)2 = 616 (ôd+.MT)2
7

22
(ii) eÁø£‘·\ yÓ’XÊ\´+ = 2πrh = 2 × 7 × 14 × 21 = 1848 (ôd+.MT)2.
(iii) dü+|üPs¡‘í \· yÓX’ Ê\´+ = 2 × uÛÑ÷yÓ’XÊ\´+ + eÁø£‘·\ yÓ’XÊ\´+
= 2 × 616 + 1848 = 3080 (ôd+.MT)2.
(iv) dü÷ú|ü|ü⁄ |òüTq|ü]e÷D+ = πr2h = uÛÑ÷yÓ’XÊ\´+ × m‘·TÔ
= 616 × 21 = 12936 (ôd+.MT)3.

ñ<ëVü≤s¡D-6. 2.1ôd+.MT yê´kÕs¡úeTT ø£*Zq >√fi¯eTT jÓTTø£ÿ ñ|ü]‘·\yÓ’XÊ\´+, |òüTq|ü]e÷DeTT\qT

22
ø£qT>=qTeTT. (π = 7
>± rdüTø=qTeTT)
kÕ<Ûqä : >√fi¯ yê´kÕs¡+ú (r) R 2.1 ôd+.MT
>√fi¯+ ñ|ü]‘·\ yÓX’ Ê\´+ = 4πr2
22 22 21 21
= 4× × (2.1) 2 = 4 × × ×
7 7 10 10
1386 2
= = 55.44 (ôd+.MT)
25

4 3 4 22
∴ >√fi¯eTT |òTü q|ü]e÷DeTT = πr = × × (2.1) 3
3 3 7

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 250 10e ‘·s¡>∑‹ >∑DÏ‘·+

4 22
= × × 2.1× 2.1× 2.1 = 38.808 (ôd+.MT)3.
3 7
ñ<ëVü≤s¡D-7. 3.5 cm yê´kÕs¡e
› TT ø£*qZ ns¡>ú √fi¯eTT jÓTTø£ÿ dü+|üPs¡‘í \· yÓX’ Ê\´eTT eT]j·TT |òTü q|ü]e÷DeTTqT
⎛ 22 ⎞
ø£qT>=qTeTT. ⎜ π= ⎟
⎝ 7 ⎠
7
kÕ<Ûqä : ns¡>ú √fi¯yê´kÕs¡eú TT (r) R 3.5 ôd+.MT = 2
ôd+.MT
2 3
ns¡>› √fi¯ |òTü q|ü]e÷DeTT = πr
3
2 22 7 7 7 539 3
= × × × × = = 89.83(ôd+.MT)
3 7 2 2 2 6
2
dü+|üPs¡‘í \· yÓX’ Ê\´+ = 3πr
22 7 7 231
= 3× × × = = 115.5 (ôd+.MT)2
7 2 2 2

nuÛ≤´düeTT - 10.1
1.Áø£eTeè‘êÔø±s¡ X¯+KTe⁄ Äø±s¡eTT˝À qTqï CÀø£sY {À|æ jÓTTø£ÿ uÛ÷Ñ yê´kÕs¡eú TT 7 ôd+.MT eT]j·TT m‘·TÔ
24 ôd+.MT. Ç≥Te+{Ï 10 {À|æ\qT ‘·j÷ · s¡T #˚jT· &ÜìøÏ ø±e\dæq ã{Ϻ n≥ºeTTø£ÿ (w”{Ÿ) jÓTTø£ÿ
|ü]e÷DeTT m+‘·?
2. Áø°&Ü edüTe Ô ⁄\qT ‘·j÷· s¡T#˚ùd ø£+ô|˙ wü{˝Ï Ÿø±ø˘\qT ì\« #˚ùd+<äT≈£î 100 dü÷bú Õø±s¡ ø±–‘·|⁄ü &Éu≤“\qT
‘·j÷· s¡T #˚j÷· \qTø=+~. dü÷bú Õø±s¡|⁄ü &Éu≤“ jÓTTø£ÿ ø=\‘·\T 35 ôd+.MT bı&Ée⁄/m‘·TÔ eT]j·TT
uÛ÷Ñ yê´kÕs¡eú TT 7 ôd+.MT ñ+&˚ $<Ûeä TT>± 100 &Éu≤“\qT ‘·j÷· s¡T #˚jT· &ÜìøÏ ø±e\dæq ø±–‘·|⁄ü
|ü]e÷DeTT m+‘·?
3. 6 ôd+.MT uÛ÷ Ñ yê´kÕs¡eú TT, 7 ôd+.MT m‘·TÔ ø£*qZ Áø£eT eè‘êÔø±s¡ X¯+KTe⁄ jÓTTø£ÿ |òTü q|ü]e÷DeTTqT
ø£qTø√ÿ+&ç?
4. ˇø£ dü÷| ú eü TT jÓTTø£ÿ ñ|ü]‘·\ yÓX’ Ê\´eTT, X¯+KTe⁄ jÓTTø£ÿ eÁø£‘\· yÓX’ Ê\´eTTq≈£î düe÷qeTT. s¬ +&ç+{Ï
jÓTTø£ÿ uÛ÷Ñ yê´kÕs¡eú TT\T düe÷qeTT nsTTq dü÷|ú eü TT jÓTTø£ÿ m‘·T,Ô X¯+KTe⁄ jÓTTø£ÿ @≥yê\T m‘·T\Ô
ìwüŒ‹Ô m+‘· ?
5. ˇø£ dü«j·T+ düV‰ü j·Tø£ ãè+<ä+ 3 ôd+.MT uÛ÷ Ñ yê´kÕs¡+ú eT]j·TT 4 ôd+.MT m‘·TÔ ø£*Z X¯+KTe⁄
Äø±s¡eTT˝À j·TTqï CÀø£sY {À|”\qT ‘·j÷· s¡T #˚j÷· \qTø=+~.
6. 1000 #·.ôd+.MT s¡+>∑T ø±–‘·eTT yês¡T ø£*– j·TTqï#√ <ëì <ë«sê mìï {À|”\qT ‘·j÷· s¡T#˚jT· >∑\s¡T?
6. ˇø£ dü÷| ú eü TT eT]j·TT X¯+KTe⁄ düe÷q uÛ÷Ñ yê´kÕs¡eú TTqT eT]j·TT m‘·TqÔ T ø£*Z j·TTHêïsTT. nsTTq#√
yê{Ï |òTü q|ü]e÷DeTT\ ìwüŒ‹Ô 3:1 nì #·÷|ü⁄eTT.
7. dü÷b ú Õø±s¡eTT>± j·TTqï ÇqT|ü ø£&¶û jÓTTø£ÿ m‘·TÔ 11 ôd+.MT eT]j·TT uÛ÷Ñ yê´düeTT 7 ôd+.MT nsTTq#√
Ç≥Te+{Ï 50 ÇqT|üø&£ \¶û jÓTTø£ÿ yÓTT‘·eÔ TT |òTü q|ü]eT÷DeTT m+‘·?

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 πøåÁ‘·$T‹ 251

8. ˇø£ <Ûëq´|ü⁄sê• 12 MT≥s¡¢ uÛ÷Ñ yê´düeTT eT]j·TT 8 MT≥s¡¢ m‘·TÔ ø£*qZ X¯+KTe⁄ e˝Ò j·TTqï~.
nsTTq#√ <ëì |òTü q|ü]e÷DeTT m+‘·? Ä <Ûëq´|ü⁄sê•ì ø£|Œü &ÜìøÏ ø±e\dæq >∑T&ɶ |ü]e÷DeTT
m+‘·? (π = 3.14 >± rdüTø=qTeTT)
9. ˇø£ X¯+KTe⁄ jÓTTø£ÿ eÁø£‘\· yÓX’ Ê\´eTT 4070 #·<sä |¡ ⁄ü ôd+{°MT≥s¡T¢ eT]j·TT <ëì yê´düeTT 70
ôd+.MT. nsTTq#√ <ëì @≥yê\T m‘·TqÔ T ø£qT>=qTeTT.

10.2 |òüTHêø±s¡ edüTÔe⁄\ düeTT<ëj·T ñ|ü]‘·\ yÓ’XÊ\´eTT

eTqeTT ì‘·´+ eTq #·T≥÷º ñqï |ü]düsê\˝À j·TTqï ø=ìï edüTeÔ ⁄\T ø=ìï |òTü Hêø±s¡
Äø£è‘·T\ düeTT<ëj·TeTT>± >∑T]ÔkÕÔeTT. ì‘·´J$‘·eTT˝À #Óøÿ£ edüTeÔ ⁄\T, >∑èVü≤ √|üøs£ D¡ eTT\T,
eT+<äT_fi¯fl\T, d”kÕ\T, ÄsTT˝Ÿ {≤´+ø£sT¡ ¢ yÓTT<ä\>∑Tq$. eTqeTT ◊dtÁø°+qT ‹+{≤eTT. MTs¡T
#Ó|Œü >∑\sê? ◊dtÁø°+ Äø£è‹˝À mìï |òTü Hêø±s¡ Äø£è‘·T\THêïjÓ÷ ø√Hé ◊dtÁø°+ kÕ<Ûës¡DeTT>±
X¯+KTe⁄ eT]j·TT ns¡>ú √fi¯ Äø£è‘·T\ düeTT<ëj·T+.
eTs√ ñ<ëVü≤s¡DqT |ü]o*<ë›+. ÄsTT˝Ÿ {≤´+ø£sY
˝Ò<ë ˙{Ï {≤´+ø£sY ˇπø ÁbÕ<∏$ä Tø£ Äø£è‹ ø£*qZ edüTyÔ ê?
MTs¡T C≤Á>∑‘>Ô· ± |ü]o*ùdÔ {≤´+ø£sY dü÷|ú eü TT <ëì ∫es¡\T
ns¡>Δ √fi¯øè£ ‘·T\T>± >∑eTì+#·e#·TÃ.
ô|q’ ñ<äV≤ü ]+∫q edüTeÔ ⁄\ e˝… qTqï edüTeÔ ⁄\
jÓTTø£ÿ ñ|ü]‘·\ yÓX’ Ê\´eTT>±ì |òTü q|ü]e÷DeTTqT >±ì
ø£qT>=Hê\+fÒ eTq+ @$T #˚j·÷*. M{ÏøÏ eTT+<äT
‘·s>¡ ‘∑ T· \˝À H˚sT¡ Ãø=H˚ $<Ûeä TT>± eØZø]£ +#·˝eÒ TT.
|ü≥eTT˝À #·÷|æq $<Ûeä TT>± ÄsTT˝Ÿ{≤´+ø£sY dü÷|ú eü TT eT]j·TT s¬ +&ÉT ns¡>› √fi¯eTT\ düeT÷Vü≤eTT.
Bìì á ÁøÏ+~ |ü≥eTT <ë«sê#·÷|æ+#·e#·TÃ.

ø=‘·>Ô ± @s¡Œ&çq edüTeÔ ⁄ jÓTTø£ÿ ñ|ü]‘·\ yÓX’ Ê\´eTT

ns¡>Δ √fi¯eTT\ eÁø£‘\· yÓX’ Ê\´eTT\T eT]j·TT dü÷|ú eü TT jÓTTø£ÿ
ñ|ü]‘·\ yÓX’ Ê\´eTT\T yÓTT‘·eÔ TTq≈£î düe÷qeTT.
ø=‘·>Ô ± @s¡Œ&çq |òTü Hêø±s¡ edüTeÔ ⁄TSA = ˇø£ ∫e]
ns¡>ú √fi¯ CSA + dü÷|ú eü TT jÓTTø£ÿ CSA + s¬ +&Ée ∫e] ns¡>Δ √fi¯+ CSA
Ç#·Ã≥ TSA nq>± dü+|üPs¡‘í \· yÓX’ Ê\´eTT eT]j·TT CSA nq>± eÁø£‘\· yÓX’ Ê\´eTT.
<˚es¡¸ X¯+KTe⁄ Äø±s¡edüTeÔ ⁄qT, ns¡>› √fi≤ø±s¡ edüTeÔ ⁄qT ø£*|æ ˇø£ Ä≥edüTeÔ ⁄>±qT ‘·j÷· s¡T#˚j÷· *
nì nqT≈£îHêï&ÉT. n‘·&TÉ ‘·j÷· s¡T #˚ùd $<ÛëqeTT˝Àì k˛bÕqeTT\T |ü]o*<ë›+.

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 252 10e ‘·s¡>∑‹ >∑DÏ‘·+

eTT+<äT>± n‘·&TÉ X¯+KTe⁄ Äø±s¡u≤Û >∑eTT eT]j·TT ns¡>ú √fi≤ø±s¡ uÛ≤>∑eTT\qT rdüTø√yê*. X¯+KTe⁄ jÓTTø£ÿ
uÛ÷Ñ yê´kÕs¡eΔ TT. ns¡>Δ √fi¯ yê´kÕs¡eΔ TT\T düe÷qeTT >± ñ+&Ü*. Ä≥ u§eTàqT ‘·j÷· s¡T #˚ùd $<ÛëqeTT˝À
k˛bÕqeTT\T á ÁøÏ+~ $<Ûeä TT>± ñ+{≤sTT.

k˛bÕqeTT-1 k˛bÕqeTT-2 k˛bÕqeTT-3

∫es¡>± >∑T+Á&ÉeTT>± j·TTqï n&ÉT>∑TuÛ≤>∑eTT ø£*qZ Ä≥u§eTà ‘·j÷· s¡Te⁄‘·T+~. Ç|ü&ÉT á Ä≥u§eTà≈£î
s¡+>∑T y˚jT· &ÜìøÏ ø±e\dæq s¡+>∑T |ü]e÷DeTT ‘Ó\TdüT ø±yê\+fÒ <ëì jÓTTø£ÿ ñ|ü]‘·\ yÓX’ Ê\´eTT ‘Ó*j·÷*.
á ñ|ü]‘·\ yÓX’ Ê\´eTT X¯+KTe⁄ Äø±s¡ uÛ≤>∑eTT ñ|ü]‘·\ yÓX’ Ê\´eTTqT, ns¡>ú √fi≤ø±s¡ uÛ≤>∑ yÓX’ Ê\´eTTqT ø£*Z
j·TT+≥T+~.
n+<äT#˚
Ä≥u§eTà dü+|üPs¡í ‘·\ yÓX’ Ê\´eTT = ns¡>Δ √fi¯ ñ|ü]‘·\ yÓX’ Ê\´eTT + X¯+KTe⁄ eÁø£‘\· yÓX’ Ê\´eTT

Á|üj·T‹ï+#·+&ç
- MT≈£î ‘Ó*dæq ø=ìï |òTü Hêø±s¡ edüTeÔ ⁄\qT rdüTø=ì s¬ +&ÉT ˝Ò<ë n+‘·ø+£ fÒ m≈£îÿe edüTeÔ ⁄\qT ø£*|æ MT
ì‘·´J$‘·+˝À ø£ì|æ+#˚ Äø±sê\qT M\sTTqìï ‘·j÷· s¡T #˚jT· +&ç.
[dü÷#·q : ã+ø£eT{Ï,º ã+‘·T\T, ô|| ’ ⁄ü \T, ø±–‘·|⁄ü X¯+U≤\T, |òTü q, Bs¡|È Tüò Hêø±s¡ ô|f…\º T yÓTT<ä\>∑Tq$]

Ä˝À∫+∫ #·]Ã+∫ sêj·T+&ç.

dü÷bú Õø±s¡ bÕÁ‘·˝À ˇø£ >√fi¯eTT n+‘·Øq¢ |üs#¡ ã· &çq~. nsTTq#√ >√fi¯eTT jÓTTø£ÿ
ñ|ü]‘·\yÓX’ Ê\´eTT dü÷|ú eü TT jÓTTø£ÿ eÁø£‘\· yÓX’ Ê\´eTTq≈£î düe÷qeTe⁄‘T· +<ë? MT düe÷<ÛëqeTT
ªne⁄qTμ nsTT‘˚ n~ @$<Ûeä TT>± kÕ<Û´ä yÓ÷ düùV≤‘·Tø£eTT>± $e]+|ü⁄eTT ?
ñ<ëVü≤s¡D-8. ˇø£ \+ãø√D Á‹uÛTÑ »eTT jÓTTø£ÿ uÛ÷Ñ $T 15 ôd+.MT eT]j·TT m‘·TÔ 20 ôd+.MT. <ëìì ø£seí¡ TT
yÓ+ã&ç ÁuÛeÑ TDeTT #˚jT· >± @s¡Œ&˚ ~«X¯+KTe⁄ Äø±s¡eTT jÓTTø£ÿ |òTü q|ü]e÷DeTT eT]j·TT ñ|ü]‘·\ yÓX’ Ê\´eTT
ø£qTø√ÿ+&ç.(π=3.14).
kÕ<Ûqä : ABC \+ãø√D Á‹uÛTÑ »+
AB = 15ôd+.MT eT]j·TT AC = 20 ôd+.MT
ô|<’ ë∏ >∑sd¡ t dæ<ëΔ+‘·eTT Á|üø±s¡eTT ΔABC ˝À
BC2 = AB2 + AC2

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 πøåÁ‘·$T‹ 253

BC2 = 152 + 202

BC2 = 225 + 400 = 625

BC = 625 = 25 ôd+.MT.
OA = x eT]j·TT OB = y
nqTø=+<ë+.
Δ ABO eT]j·TT ΔABC \\˝À ∠ BOA = ∠ BAC eT]j·TT ∠ ABO = ∠ ABC
n+<äT#˚ ΔBOA ~ ΔBAC (∵ ø√DeTT ` ø√DeTT düs÷
¡ |ü‘)·
BO OA BA
n+<äT#˚, = =
BA AC BC A

y x 15 T 20 ôd
+.M
⇒ = = ôd +.M
15 20 25 15 x T

y
B C
y x 3 O 25 ôd+.MT
⇒ = =
15 20 5 ôd+
.MT
MT
5 ôd+.
20
1
y 3 x 3
⇒ = eT]j·TT = A’
15 5 20 5

3 3
⇒ y= ×15 eT]j·TT x= × 20
5 5
⇒ y=9 eT]j·TT x = 12.
n+<äT#˚
OA = 12 ôd+.MT eT]j·TT OB = 9 ôd+.MT
~«X¯+KTe⁄ |òTü q|ü]e÷DeTT = X¯+KTe⁄ CAA’ |òTü q|ü]e÷DeTT + X¯+KTe⁄ BAA’|òTü q|ü]e÷DeTT
1 1
= π(OA) 2 × OC+ π(OA) 2 × OB
3 3
dü÷#·q :
1 1 1
= π× 122 × 16 + π× 122 × 9 = π(OA)2 [OC+ OB]
3 3 3

1 1 22
= π× 144(16 + 9) = × × 122 × [16 + 9]
3 3 7
1 22
1 3 = × × 144 × 25
= × 3.14 × 144 × 25 (ôd+.MT) 3 7
3
= 3768 (ôd+.MT)3.

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 254 10e ‘·s¡>∑‹ >∑DÏ‘·+

~«X¯+KTe⁄ ñ|ü]‘·\ yÓX’ Ê\h´eTT = X¯+KTe⁄ CAA’ eÁø£‘\· yÓX’ Ê\´eTT

+ X¯+KTe⁄ BAA’ eÁø£‘\ · yÓX’ Ê\´eTT
= (π × OA × AC) + (π × OA × AB)
= (π × 12 × 20) + (π × 12 × 15) (ôd+.MT)2
= 420 π (ôd+.MT)2
= 420 × 3.14 (ôd+.MT)2
= 1318.8 (ôd+.MT)2.

ñ<ëVü≤s¡D-9. Á|üøÿ£ |ü≥+˝À #·÷|æq $<Ûeä TT>± ø£Ás¡‘√ #˚dqæ sê¬ø{Ÿ u§eTà dü÷|ú eü TTô|’ ì*|æq X¯+KTe⁄ e˝Ò
j·TTqï~. sê¬ø{Ÿ jÓTTø£ÿ m‘·TÔ 26 ôd+.MT, X¯+KTe⁄ Äø±s¡eTT˝À j·TTqï uÛ≤>∑eTT m‘·TÔ 6ôd+.MT. X¯+KTe⁄
Äø±s¡eTT uÛ≤>∑eTT uÛ÷Ñ yê´düeTT 5 ôd+.MT eT]j·TT dü÷bú Õø±s¡ uÛ≤>∑eTT jÓTTø£ÿ uÛ÷Ñ yê´düeTT 3 ôd+.MT.
X¯+U≤ø£è‹ uÛ≤>∑eTTqT Hê]+»s¡+>∑T dü÷bú Õø±s¡ uÛ≤>∑eTTqT |üdTü |ü⁄s¡+>∑T y˚ùd,Ô á s¡+>∑T\T y˚jT· &ÜìøÏ ø±e\dæq
sê¬ø{Ÿ yÓX’ Ê\´eTTqT $&ç$&ç>± ø£qT>=qTeTT. ( π = 3.14)
kÕ<Ûqä : X¯+KTe⁄ Äø±s¡eTT jÓTTø£ÿ uÛ÷Ñ yê´kÕs¡eú TT (r) eT]j·TT @≥yê\T m‘·TÔ ‘l’ nqTø=+<ë+.
dü÷bú Õø±s¡ uÛ≤>∑eTT jÓTTø£ÿ uÛ÷Ñ yê´kÕs¡e› TT r1 eT]j·TT m‘·TÔ h1 nqTø=+<ë+.
r = 2.5 ôd+.MT., h = 6 ôd+.MT
r1 = 1.5 ôd+.MT h1 = 20 ôd+.MT
ôd+.MT

Ç|ü⁄&TÉ , l = r 2 + h2 2.5 ôd+.MT

⇒ l = (2.5)2 + 62

l = 6.25 + 36 = 42.25 = 6.5

ôd+.MT

ôd+.MT

Hê]+» s¡+>∑T y˚jT· ã&çq uÛ≤>∑eTT yÓX’ Ê\´eTT 1.5 ôd+.MT

= X¯+KTe⁄ jÓTTø£ÿ eÁø£‘\

· yÓX’ Ê\´eTT
= πrl
= 3.14 {2.5 × 6.5}
= 51.025 (ôd+.MT)2
|üdTü |ü⁄s¡+>∑T y˚jT· ã&çq uÛ≤>∑eTT yÓX’ Ê\´+
= dü÷| ú eü TT jÓTTø£ÿ eÁø£‘\· yÓX’ Ê\´+ + dü÷|ú +ü jÓTTø£ÿ uÛ÷Ñ yÓX’ Ê\´+
= 2πr1h1 + πr12

= πr1 (2h1 + r1)

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 πøåÁ‘·$T‹ 255

= 3.14 × 1.5 (2×20+1.5) ôd+.MT2

= 3.14 × 1.5 × 41.5 (ôd+.MT)2
= 4.71 × 41.5 (ôd+.MT)2
= 195.465 (ôd+.MT)2.
n+<äT#˚ |üdTü |ü⁄s¡+>∑T y˚jT· ã&çq uÛ≤>∑eTT yÓX’ Ê\´eTT = 195.465 (ôd+.MT)2

nuÛ≤´düeTT - 10.2
1. ˇø£ Ä≥edüTeÔ ⁄ ns¡>› √fi¯eTT ô|’ ì{≤s¡T>± ì\T|üã&çq X¯+KTe⁄ e˝…jT· Tqï~. X¯+KTe⁄ jÓTTø£ÿ uÛ÷Ñ yê´dü+ 6
ôd+.MT eT]j·TT m‘·TÔ 4 ôd+.MT nsTTq#√ Ä≥edüTeÔ ⁄ jÓTTø£ÿ ñ|ü]‘·\ yÓX’ Ê\´eTT m+‘·?
[π = 3.14 >± rdüTø=qTeTT.]
2. ˇø£ |òTü Hêø±s¡ edüTeÔ ⁄ ˇø£ ∫es¡ ns¡>› √fi¯eTT eTs√ ∫es¡ X¯+KTe⁄ Äø±s¡ uÛ≤>∑eTT ø£*qZ dü÷|ú eü TT e˝…
j·TTqï~. s¬ +&ç+{Ï jÓTTø£ÿ ñeTà&ç uÛ÷Ñ yê´kÕs¡+Δ 8 ôd+.MT eT]j·TT dü÷|ú eü TT, X¯+KTe⁄ Äø±s¡eTT\
m‘·T\Ô T es¡Tdü>± 10 ôd+.MT eT]j·TT 6 ôd+.MT nsTTq#√ Ä edüTeÔ ⁄ jÓTTø£ÿ dü+|üPs¡í ‘·\ yÓX’ Ê\´eTTqT
ø£qT>=qTeTT.[π = 3.14 >± rdüTø=qTeTT]
3. ˇø£ eT+<äT _fi¯fl s¬ +&ÉT ∫es¡\ ns¡>Δ √fi≤ø±s¡+˝À qTqï dü÷|ú eü TT $T.MT
e˝… j·TTqï~. eT+<äT _fi¯fl jÓTTø£ÿ bı&Ée⁄ 14 $T.MT eT]j·TT

$T.MT
yÓ&\É TŒ 5 $T.MT nsTT‘˚ <ëì ñ|ü]‘·\ yÓX’ Ê\´eTT m+‘·?
4. 64 |òüTq|ü⁄ ôd+.MT |òüTq|ü]e÷DeTT >∑\ ¬s+&ÉT |òüTqeTT\T
ø£\T|üã&çq$. nsTTq @s¡Œ&çq Áø=‘·Ô |òTü qeTT jÓTTø£ÿ ñ|ü]‘·\ yÓX’ Ê\´eTT m+‘·?
5. ˇø£ ˙{Ï {≤´+≈£î s¬ +&ÉT ∫es¡\T ns¡>ú √fi≤ø±s¡eTT>± ñqï dü÷|ú eü TT e˝… j·TTqï~. dü÷|ú eü TT jÓTTø£ÿ
u≤Vü≤´yê´düeTT 1.4 MT≥s¡T¢ eT]j·TT <ëì bı&Ée⁄ 8 MT≥s¡T¢ ˙{Ï {≤´+≈£î ãj·T≥ s¡+>∑T y˚jT· &ÜìøÏ
#·<sä |¡ ⁄ü MT≥s¡T≈£î D 20 e+‘·Tq m+‘· Ks¡Tà n>∑TqT ?
6. ˇø£ >√fi¯eTT, dü÷|ú eü TT eT]j·TT X¯+KTe⁄ ˇπø yê´kÕs¡eú TT\qT ø£*Z j·TTHêïsTT. nsTTq#√ yê{Ï
ñ|ü]‘·\ yÓX’ Ê\´eTT\ ìwüŒ‹Ô m+‘·?
7. ˇø£ Bs¡È |òTü Hêø±s¡ #Óøÿ£ ~eTà qT+&ç Bs¡È |òTü q|ü⁄ uÛTÑ »eTT bı&Ée⁄q≈£î düe÷q bı&Ée⁄ ø£*qZ yê´düeTT
ø£*qZ ns¡>ú √fi≤ø±s¡eTT ø£‹]Ô +#·ã&çq~. nsTTq#√ $T–*q #Óøÿ£ ~eTà jÓTTø£ÿ ñ|ü]‘·\ yÓX’ Ê\´eTTqT
ø£qT>=qTeTT.
8. |ü≥eTT˝À #·÷|æq $<Ûeä TT>± ˇø£ #Óøÿ£ ‘√ #˚dqæ edüTeÔ ⁄ s¬ +&ÉT ∫es¡\ qT+&ç ns¡>Δ √fi≤ø±s¡
uÛ≤>∑eTT\T ‘=\–+#·ã&çq dü÷|ú eü TT e˝… j·TTqï~. dü÷|ú eü TT jÓTTø£ÿ m‘·TÔ 10 ôd+.MT
<ëì uÛ÷Ñ yê´kÕs¡e› TT 3.5 ôd+.MT nsTTq#√ Ä edüTeÔ ⁄ jÓTTø£ÿ dü+|üPs¡í ‘·\ yÓX’ Ê\´eTT
m+‘·?

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 256 10e ‘·s¡>∑‹ >∑DÏ‘·+

10.3 |òüTHêø±s¡ edüTÔ düeTT<ëj·T |òüTq|ü]e÷DeTT

|òüTHêø±s¡ edüTÔ düeTT<ëj·T |òüTq|ü]e÷DeTT ø£qT>=H˚
$<ÛëqeTT á ÁøÏ+~ ñ<ëVü≤s¡D <ë«sê |ü]o*<ë›+.
düTπswt q&ÉT|ü⁄#·Tqï bòÕ´ø£ºØ ˇø£ Bs¡È|òüTq+ô|’ ì\ã&çq
ns¡u› ≤Û >∑ dü÷|ú eü TT e˝Ò j·TTqï~. bòÕ´ø£Øº ôw&é jÓTTø£ÿ uÛ÷Ñ $T MT
ø=\‘·\T 7 MT≥s¡T.¢ × 15 MT≥s¡T¢. eT]j·TT Bs¡|È Tüò Hêø£è‹ jÓTTø£ÿ
m‘·TÔ 8 MT≥s¡T¢>± ñqï~. Ä ôw&é˝À j·TTqï >±* jÓTTø£ÿ MT
|òTü q|ü]e÷DeTTqT @$<Û+ä >± ø£qT>=+{≤s¡T? ôw&é˝À j·TTqï
j·T+Á‘· kÕeTÁ– 300 |òTü q|ü⁄MT≥s¡¢ |òTü q|ü]e÷DeTTqT <ëì˝À

MT
|üì#˚jT· T#·Tqï 20 eT+~ ø±]à≈£î\T dü>≥∑ Tq 0.08 |òTü q|ü⁄ MT≥s¡¢
|òTü q|ü]e÷DeTTqT ÄÁø£$TùdÔ Ä ôw&é˝À j·TTqï >±* |òTü q|ü]e÷D+
m+‘·?
ôw&é ˝À|ü\ j·TTqï >±* |òTü q|ü]e÷D+ (j·T+Á‘·u≤Û >∑eTT\T, ø±]à≈£î\T ˝ÒsT¡ nqT≈£î+fÒ), Bs¡|È Tüò Hêø±s¡
uÛ≤>∑eTT˝Àì, >±* |òTü q|ü]e÷D+, ns¡uú ≤Û >∑ dü÷bú Õø±s¡ Äø£è‹˝Àì >±* |òTü q|ü]e÷DeTT\ yÓTT‘·eÔ TTq≈£î
düe÷q+ Bs¡|È Tüò qeTT jÓTTø£ÿ bı&Ée⁄, yÓ&\É TŒ, m‘·T\Ô T es¡Tdü>± 15 MT≥s¡T,¢ 7 MT≥s¡T¢ eT]j·TT 8 MT≥s¡T¢
ne⁄‘êsTT. n<˚$<Û+ä >± ns¡uΔ ≤Û >∑ dü÷|ú eü TT jÓTTø£ÿ uÛ÷Ñ yê´dü+ 7 MT≥s¡T¢ eT]j·TT m‘·TÔ 15 MT≥s¡T¢ ne⁄‘êsTT.
1
ø±e\dæq |òTü q|ü]e÷D+ = Bs¡|È Tüò q |òTü q|ü]e÷D+ + dü÷|ú +ü jÓTTø£ÿ |òTü q|ü]e÷D+
2
⎡ 1 22 7 7 ⎤
= ⎢15 × 7 × 8 + × × × × 15⎥ |òTü q|ü⁄MT≥s¡T¢
⎣ 2 7 2 2 ⎦
= 1128.75 |òTü q|ü⁄MT≥s¡T.¢
‘·sT¡ yê‘· j·T+Á‘·u≤Û >∑eTT\#˚ ÄÁø£$T+#·ã&çq dü÷\ú |òTü q|ü]e÷D+
= 300 |òTü q|ü⁄ MT≥s¡T¢
20 eT+~ ø±]à≈£î\#˚ ÄÁø£$T+#·ã&çq dü÷\ ú |òTü q|ü]e÷D+
= 20 × 0.08 |òTü q|ü⁄ MT≥s¡T¢
= 1.6 |òTü q|ü⁄ MT≥s¡T¢
n+<äT#˚ j·T+Á‘·u≤Û >∑eTT\T eT]j·TT ø±]à≈£î\T ñqï|ü&ÉT ôw&é˝Àì >±*
|òTü q|ü]e÷D+ = 1128.75 − (300.00 + 1.60)
= 1128.75 - 301.60 = 827.15 |òTü q|ü⁄MT≥s¡T¢
dü÷#·q : |òTü qø±s¡ edüTÔ düeTT<ëj·T ñ|ü]‘·\ yÓX’ Ê\´eTT Ä Äø£è‹˝Àì |òTü Hêø±s¡ edüTeÔ ⁄\ ñ|ü]‘·\ yÓX’ Ê\´eTT\
yÓTT‘·eÔ TTq≈£î düe÷qeTT ø±<äT. BìøÏ >∑\ ø±s¡DeTT ø=ìï ñ|ü]‘·\eTT\T, edüTeÔ ⁄\qT »‘·|]ü ∫q|ü&ÉT
@ø°u$ÑÛ kÕÔsTT. ø£qTø£ yê{Ïì |ü]>∑D˝Àì rdüTø√˝ÒeTT. ø±ì |òTü q|ü]e÷DeTT e÷Á‘·eTT Ä edüTeÔ ⁄˝Àì
|òTü Hêø±s¡ Äø£è‘·T\ |òTü q|ü]e÷DeTT yÓTT‘·eÔ TTq≈£î düe÷q+.

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 πøåÁ‘·$T‹ 257

Á|üj·T‹ï+#·+&ç
1. ˇø£ r>∑ jÓTTø£ÿ eT<Û´ä #˚Ã<¤ ä yê´düeTTqT 5XÊ‘·eTTqT ‘·–ùZ dÔ <ëì |òTü q|ü]e÷DeTT˝À e÷s¡TŒ ˝Ò≈î£ +&Ü
ñ+&É{≤ìøÏ <ëì bı&Ée⁄qT, m+‘·XÊ‘·eTT ô|+#ê˝À ˝…øÿÏ +|ü⁄eTT?
2. >√fi¯eTT, |òTü qeTT jÓTTø£ÿ ñ|ü]‘·\ yÓX’ Ê˝´eTT\T düe÷qeTT. nsTTq#√ yê{Ï |òTü q|ü]e÷DeTT\
ìwüŒ‹Ôì ø£qTø√ÿ+&ç.
eT]ø=ìï ñ<ëVü≤s¡D\qT #·÷<ë›+.
ñ<ëVü≤s¡D-10. ˇø£ ∫es¡ ns¡>Δ √fi≤ø±s¡+qT eTs√ ∫es¡ Áø£eT eè‘êÔø±s¡ X¯+KTe⁄ Äø±s¡eTTqT ø£*qZ Áø£eT
eè‘êÔø±s¡ dü÷bú Õø±s¡ |òTü Hêø£è‹ Ä≥ edüTeÔ ⁄ jÓTTø£ÿ ñeTà&ç yê´düeTT 4.2 ôd+.MT, dü÷bú Õø±s¡, X¯+KTe⁄ Äø±s¡
uÛ≤>∑eTT\ jÓTTø£ÿ m‘·T\Ô T es¡Tdü>± 12 ôd+.MT eT]j·TT 7 ôd+.MT nsTT‘˚ |òTü Hêø±s¡ Ä≥edüTeÔ ⁄ jÓTTø£ÿ
22
|òTü q|ü]e÷DeTTqT ø£qTø√ÿ+&ç. ( π = 7
>± rdüTø=qTeTT).
kÕ<Ûqä : X¯+KTe⁄ Äø±s¡ uÛ≤>∑eTT jÓTTø£ÿ m‘·TÔ h1 = 7 ôd+.MT
dü÷bú Õø±s¡ uÛ≤>∑eTT jÓTTø£ÿ m‘·TÔ h2 = 12 ôd+.MT
4.2 21
yê´kÕs¡eú TT (r) = 2
= 2.1 =
10
ôd+.MTˆˆ
Ä≥edüTeÔ ⁄ jÓTTø£ÿ |òTü q|ü]e÷DeTT
= X¯+KTe⁄ Äø±s¡ uÛ≤>∑ |òTü q|ü]e÷D+ + dü÷b
ú Õø±s¡ Äø±s¡ uÛ≤>∑|Tüò q|ü]e÷D+ + ns¡>› √fi≤ø±s¡ uÛ≤>∑
|òTü q|ü]e÷D+
1 2 2
= πr h1 + πr 2 h2 + πr 3
3 3

2 ⎡1 2 ⎤
= πr ⎢ h1 + h2 + r ⎥
ôd+.MT
⎣3 3 ⎦ h1

2 r
22 ⎛ 21 ⎞ ⎡ 1 2 21 ⎤
= × ⎜ ⎟ × ⎢ × 7 + 12 + × ⎥
7 ⎝ 10 ⎠ ⎣ 3 3 10 ⎦
ôd+.MT
22 441 ⎡ 7 12 7 ⎤ h2
= × × + +
7 100 ⎢⎣ 3 1 5 ⎥⎦

22 441 ⎡ 35 + 180 + 21 ⎤
= × ×
ôd+.MT
7 100 ⎢⎣ 15 ⎥
⎦

22 441 236 27258 3

= × × = = 218.064 (ôd+.MT)
7 100 15 125

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 258 10e ‘·s¡>∑‹ >∑DÏ‘·+

ñ<ëVü≤s¡D-11. 12 ôd+.MT yê´düeTT eT]j·TT 15 ôd+.MT. m‘·TÔ ø£*–q ˇø£ dü÷bú Õø±s¡ bÕÁ‘· ◊dtÁø°+‘√
ì+|üã&çq~. á ◊dtÁø°+qT ô|’ ‘·\+ ns¡>› √fi≤ø±s¡+˝À j·TTqï X¯+KTe⁄\˝À düe÷qeTT>± ì+|æ 10
eT+~ |æ\\¢ ≈£î |ü+#·ã&çq~. X¯+KTe⁄ Äø±s¡u≤Û >∑|⁄ü m‘·T,Ô uÛ÷Ñ yê´düeTTq≈£î s¬ {Ï+º |ü⁄ j·TTqï#√ ◊dtÁø°+ø√Hé
jÓTTø£ÿ yê´düeTTqT ø£qT>=qTeTT.
kÕ<Ûqä : X¯+KTe⁄ Äø±s¡ ◊dtÁø°+ jÓTTø£ÿ uÛ÷Ñ yê´kÕs¡e› TT = x ôd+.MT nqTø=+<ë+.
yê´dü+ R 2x ôd+.MT.
n|ü&ÉT <ëì m‘·TÔ
= 2 (uÛ÷Ñ yê´düeTT) = 2(2x) = 4x cm
◊dtÁø°+ ø√Hé jÓTTø£ÿ |òTü q|ü]e÷D+
= X¯+KTe⁄ Äø±s¡ uÛ≤>∑eTT |òTü q|ü]e÷D+ + ns¡> › √fi≤ø£è‹ uÛ≤>∑+ |òTü q|ü]e÷D+
1 2 2
= πr h + πr3 x ôd+.MT
3 3
1 2 2
= πx (4 x ) + πx3 x ôd+.MT
3 3
4πx 3 + 2πx3 6πx 3
= =
3 3 ôd+.MT

= 2πx3 (ôd+.MT)3
dü÷bú Õø±s¡ bÕÁ‘· jÓTTø£ÿ yê´düeTT = 12 ôd+.MT
<ëì m‘·TÔ (h) = 15 ôd+.MT
∴ dü÷b ú Õø±s¡ bÕÁ‘·jTÓ Tø£ÿ |òTü q|ü]e÷D+ = πr2h
= π(6)2 15
= 540π (ôd+.MT)3
◊dtÁø°+ |ü+#·ã&çq $<ë´s¡T\ú dü+K´ = 10

dü÷úbÕø±s¡ bÕÁ‘· jÓTTø£ÿ |òüTq|ü]e÷D+ = 10

ˇø£ ◊dtÁø°+ ø√Hé jÓTTø£ÿ |òüTq|ü]e÷D+

540π
⇒ = 10
2πx 3
2πx3 × 10 = 540π

540
⇒ x3 = = 27
2 × 10
⇒ x3 = 27

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 πøåÁ‘·$T‹ 259

⇒ x3 = 33
⇒ x=3
∴ ◊dtÁø°+ ø√Hé jÓTTø£ÿ yê´dü+ = 2x = 2(3) = 6 ôd+.MT.

ñ<ëVü≤s¡D-12. Á|üøÿ£ |ü≥eTT˝À #·÷|æq $<Ûeä TT>± ns¡>› √fi≤ø£è‹ô|’ ì{≤s¡T>± Áø£eT eè‘êÔø±s¡ X¯+KTe⁄qT ì*|æq≥T¢
j·TTqï |òTü Hêø±s¡ edüTeÔ ⁄qT ˙{Ï‘√ |üP]Ô>± ì+|üã&ç j·TTqï ˇø£ Áø£eT eè‘êÔø±s¡ dü÷bú Õø£è‹ edüTeÔ ⁄˝À
<ëì n&ÉT>∑TuÛ≤>∑eTTqT ‘êπø≥≥T¢>± eTT+#·ã&çq~. dü÷|ú eü TT jÓTTø£ÿ uÛ÷Ñ yê´kÕs¡e› TT 3 ôd+.MT eT]j·TT
m‘·TÔ 6 ôd+.MT, ns¡>Δ √fi¯eTT jÓTTø£ÿ yê´kÕs¡eΔ TT 2 ôd+.MT, X¯+KTe⁄ m‘·TÔ 4 ôd+.MT. >± ñ+fÒ
dü÷|ú +ü ˝À $T–*j·TTqï ˙{Ï jÓTTø£ÿ |òTü q|ü]e÷D+ m+‘·?
22
(π = >± rdüTø=qTeTT).
7
kÕ<Ûqä : ABCD dü÷|ú eü TT, LMN ns¡>Δ √fi¯eTT OLM X¯+KTe⁄ ns¡>Δ √fi¯eTTô|’ ì\T|üã&çq Áø£eT eè‘êÔø±s¡
X¯+KTe⁄ Äø±s¡ edüTeÔ ⁄qT dü÷|ú eü TT‘√ eTT+#·ã&ç‘˚ ‘=*–+|üã&çq ˙{Ï |òTü q|ü]e÷DeTT edüTeÔ ⁄ jÓTTø£ÿ
|òTü q|ü]e÷DeTTq≈£î düeT÷qeTT.
dü÷|ú eü TT jÓTTø£ÿ |òTü q|ü]e÷D+ = πr2h = π × 32 × 6 = 54 π(ôd+.MT)3 O
D C
2 3 2 16
ns¡>Δ √fi¯eTT jÓTTø£ÿ |òTü q|ü]e÷D+ = πr = × π× 23 = π(ôd+.MT)3
3 3 3
X¯+KTe⁄ jÓTTø£ÿ |òTü q|ü]e÷D+
1 2 1 16
= πr h = × π× 22 × 4 = π (ôd+.MT)3 4
3 3 3

16 16 L 2 2 M
X¯+KTe⁄ eT]j·TT ns¡>› √fi¯eTT jÓTTø£ÿ |òTü q|ü]e÷D+= 3 π + 3 π 2
A 3 3 B
N
32
= π
3
dü÷bú Õø±s¡ edüTeÔ ⁄ qT+&ç ‘=\–+|üã&çq ˙{Ï |òTü q|ü]e÷D+
= (dü÷|
ú eü TT |òTü q|ü]e÷D+) - (X¯+KTe⁄ eT]j·TT ns¡>Δ √fi¯eTT jÓTTø£ÿ |òTü q|ü]e÷D+)
32π
= dü÷|ú eü TT |òTü q|ü]e÷D+ − 3
32π
= 54π −
3
162π − 32π 130π
= =
3 3

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 260 10e ‘·s¡>∑‹ >∑DÏ‘·+

130 22 2860 3
= × = = 136.19 (ôd+.MT)
3 7 21

ñ<ëVü≤s¡D-13. dü÷bú Õø±s¡eTT>± qTqï ô|ì‡˝ŸqT ˇø£ ∫es¡ #ÓøÿÏ Ä ∫es¡qT ˇø£ X¯+KTe⁄ Äø£è‹˝À e÷]ùdÔ
(<ëì bı&Ée⁄˝À e÷s¡TŒ˝Ò≈î£ +&Ü), ô|ì‡˝Ÿ jÓTTø£ÿ yê´düeTT 1 ôd+.MTˆˆ eT]j·TT X¯+KTe⁄ Äø£è‹ uÛ≤>∑eTT
jÓTTø£ÿ m‘·TÔ 2 ôd+.MTˆˆ nsTTq|ü⁄&ÉT #Óøÿ£ ã&çq uÛ≤>∑eTT jÓTTø£ÿ |òTü q|ü]e÷DeTT m+‘·?
355
( π = 113 >± rdüTø=qTeTT).
kÕ<Ûqä : ô|ì‡˝Ÿ jÓTTø£ÿ yê´düeTT = 1ôd+.MT

MT
2ôd+.
ô|ì‡˝Ÿ jÓTTø£ÿ yê´kÕs¡eú TT (r) = 0.5 ôd+.MT
X¯+KTe⁄ Äø±s¡ uÛ≤>∑eTT jÓTTø£ÿ bı&Ée⁄ = h = 2ôd+.MT
#Óøÿ£ ã&çq uÛ≤>∑eTT |òTü q|ü]e÷D+ = 2 ôd+.MT bı&Ée⁄, 0.5 ôd+.MT uÛ÷Ñ yê´kÕs¡eú TT
>∑\ dü÷bú Õø£è‹ |òTü q|ü]e÷D+ − á dü÷|ú eü TT#˚ @s¡Œ&çq X¯+KTe⁄ |òTü q|ü]e÷D+
2 1 2 2 2
= πr h − πr h = πr h
3 3

2 355
= × × (0.5) 2 × 2 cm3 = 1.05 cm3 1ôd+.MT
3 113

nuÛ≤´düeTT-10.3
1. ˇø£ ÇqT|üd÷ü bú Õø±s¡ dü+ú uÛeÑ TT 2.8 MT≥s¡¢ m‘·T,Ô 20 ôd+.MT yê´düeTT ø£*j
Z T· Tqï~. <ëìô|’ 42 ôd+.MT.
m‘·TÔ >∑\ X¯+KTe⁄ Äø±s¡ uÛ≤>∑eTTqï~. ˇø£ |òTü q|ü⁄ ôd+.MT ÇqTeTT jÓTTø£ÿ ãs¡Te⁄ 7.5 Á>±eTT\T nsTT‘˚
Ä ÇqT|ü dü+ú uÛeÑ TT jÓTTø£ÿ ãs¡Te⁄ m+‘·?
2. ˇø£ ns¡>› √fi¯eTT jÓTTø£ÿ düeT‘·\ ñ|ü]‘·\eTTô|’ Áø£eTeè‘êÔø±s¡ X¯+KTe⁄ Äø±s¡ uÛ≤>∑eTT jÓTTø£ÿ eè‘êÔø±s¡
uÛ÷Ñ uÛ≤>∑eTT ø£\T|üã&ç j·TTqï≥T¢ ˇø£ Ä≥edüTeÔ ⁄ ñqï~. X¯+KTe⁄ Äø±s¡ uÛ≤>∑eTT jÓTTø£ÿ uÛ÷Ñ yê´kÕs¡e› TT
3
7 ôd+.MT. eT]j·TT <ëì |òTü q|ü]e÷DeTT ns¡>
› √fi≤ø±s¡ uÛ≤>∑eTT jÓTTø£ÿ |òTü q|ü]e÷DeTTq≈£î s¬ ≥T¢2
ñqï~. X¯+KTe⁄ Äø±s¡ uÛ≤>∑eTT jÓTTø£ÿ m‘·T,Ô eT]j·TT Ä≥edüTeÔ ⁄ jÓTTø£ÿ ñ|ü]‘·\ yÓX’ Ê\´eTTqT s¬ +&ÉT
⎛ 1⎞
<äXÊ+X¯ kÕúqeTT\≈£î düe]+∫ ø£qT>=qTeTT? ⎜π = 3 ⎟ .
⎝ 7⎠

3. 7 ôd+.MT uÛTÑ »eTT>± >∑\ |òTü qeTT qT+&ç @s¡Œs¡#· >∑˝ZÒ Áø£eTeè‘êÔø±s¡ X¯+KTe⁄ Äø±s¡ edüTeÔ ⁄ jÓTTø£ÿ >∑]wüº
|òTü q|ü]e÷DeTT m+‘·?

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 πøåÁ‘·$T‹ 261

4. ˇø£ dü÷bú Õø±s¡ ‘=f…º 5 ôd+.MT. yê´kÕs¡e› TT eT]j·TT 9.8 3ôd+.MT

ôd+.MT. bı&Ée⁄qT ø£*Z ˙{Ï‘√ |üP]Ô>± ì+|üã&ç j·TTqï~.
ns¡>› √fi¯eTTô|’ ì{≤s¡T>± ì\T|üã&çq Áø£eT eè‘êÔø±s¡ X¯+KTe⁄ 4ôd+.MT
Äø±s¡eTT˝À j·TTqï |òTü qø±s¡ edüTeÔ ⁄ <ëì˝À eTT+#·ã&çq~.
ns¡>› √fi¯eTT jÓTTø£ÿ yê´kÕs¡e› TT 3.5 ôd+.MT. ns¡>› √fi¯eTT ãj·T≥
j·TTqï X¯+KTe⁄ m‘·TÔ 5 ôd+.MT. nsTTq#√ ‘=f…˝º À $T–*

ôd+.MT
22
j·TTqï ˙{Ï |òTü q|ü]e÷DeTTqT ø£qT>=qTeTT ( π = 7
>±
rdüTø=qTeTT). 4 ôd+.MT
5. Á|üøÿ£ |ü≥eTT˝À #·÷|æq $<Ûeä TT>± ˇø£ |òTü Hêø±s¡ dü÷|ú eü TT
jÓTTø£ÿ s¬ +&ÉT ∫es¡\ qT+&ç 3 ôd+.MT yê´kÕs¡eú TT, 4 ôd+.MT 3ôd+.MT
m‘·TÔ ø£*qZ düe÷qeTT>± j·TTqï s¬ +&ÉT X¯+U≤ø±s¡ uÛ≤>∑eTT\T ‘=\–+#·ã&çq$. dü÷|ú eü TT jÓTTø£ÿ m‘·TÔ 10
ôd+.MT., <ëì yê´dü+ 7 ôd+.MT. nsTTq#√ $T–*q uÛ≤>∑eTT jÓTTø£ÿ |òTü q|ü]e÷DeTT m+‘·?
6. dü÷úbÕø±s¡ ;ø£s¡T˝À ø=+‘· uÛ≤>∑eTT ˙{Ï‘√ ì+|üã&çq~. ;ø£s¡T yê´düeTT 7 ôd+.MT. <ëì‘√
1.4 ôd+.MT. yê´düeTT ø£*q Z >√fi≤ø±s¡ #·\Tesêfi¯ófl mìï y˚ùdÔ <ëì˝À ˙{Ï eT≥ºeTT 5.6 ôd+.MT. y˚Ts¡≈î£
ô|s¡T>∑TqT ?
7. 15ôd+MT I 10 ôd+.MT I 3.5 ôd+.MT ø=\‘·\T ø£*qZ Bs¡|È Tüò qeTT˝À 0.5 ôd+.MT. yê´kÕs¡eú TT eT]j·TT
1.4 ôd+.MT. ˝À‘·T‘√ X¯+KTe⁄ Äø±s¡+ >∑\ >√‘·T\T rdæ ô|qTï kÕº+&ÉT>± e÷sêÃs¡T. ô|HékÕº+&é˝Àì
ø=j·T´ |òTü q|ü]e÷DeTT m+‘·?

10.4 ˇø£ Äø£è‹˝À ñqï edüTÔe⁄ eTs√ Äø£è‹˝À s¡÷bÕ+‘·s¡eTT #˚j·TT≥

dü«j·T+ düV‰ü j·Tø£ ãè+<äeTT\T (&Ü«Áø± Á>∑÷|ü⁄) Bs¡|È Tüò Hêø£è‹˝À j·TTqï yÓTqÆ |ü⁄
~eTà\qT ø£]–+∫ dü÷bú Õø±s¡eTT>± j·TTqï ø=y=«‘·T\Ô qT ‘·j÷· s¡T #˚kÕÔsT¡ .
‘·TbÕø°\qT ‘·j÷· s¡T #˚ùd bòÕ´ø£Øº ˝À Bs¡È |òTü Hêø£è‹˝À ñqï d”d+ü qT ø£]–+∫+~,
>√fi≤ø£è‹˝À ñqï ãT˝…{¢ Ÿ\qT ‘·j÷· s¡T#˚kÕÔsT¡ . dü«s¡øí ±s¡T&ÉT dü÷bú Õø±s¡eTT>± ñ
qï ã+>±s¡T ø£&\¶û qT ø£]–+∫ $$<Ûä Äø£è‹˝À j·TTqï ã+>±s¡T ÄuÛsÑ D¡ eTT\qT
‘·j÷· s¡T #˚kÕÔ&TÉ . á nìï dü+<äs“¡ e¤ TT\˝À ˇø£ s¡÷|üeTT˝À ñqï edüTeÔ ⁄ eTs√
s¡÷|üeTT˝ÀøÏ e÷s¡Ãã&çq~. ø±ì |òTü q|ü]e÷DeTT˝À e÷s¡TŒ ñ+&É<Tä . Ç~
@$<Û+ä >± kÕ<Û´ä +? eTqeTT ø=y=«‘·T\Ô qT $$<Ûä Äø£è‘·T\˝À ‘·j÷· s¡T #˚j÷· \+fÒ <ëìì |üP]Ô>± ø£]–+∫ eTq+
ø√]q Äø±s¡eTT˝À j·TTqï ˝ÀVü≤|ü⁄ bÕÁ‘·˝À b˛ùdÔ <ëì Äø£è‹˝À ø=y=«‹Ô ‘·j÷· s¡>T∑ qT. ñ<ëVü≤s¡D≈£î dü÷bú Õø±s¡eTT˝À
ñqï ø=y=«‹Ôì ø£]–+∫ <ëìì ø£]–+#·ã&çq yÓTqÆ + >√fi≤ø£è‹˝À j·TTqï bÕÁ‘·˝À y˚jT· ã&çq~. #·˝≤¢]Ãq

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 262 10e ‘·s¡>∑‹ >∑DÏ‘·+

‘·sT¡ yê‘· eTq≈£î >√fi≤ø£è‹˝À j·TTqï ø=y=«‹Ô ‘·j÷· s¡>T∑ qT. Áø=‘·>Ô ± @s¡Œ&çq ø=y=«‹Ô |òTü q|ü]e÷DeTT ‘=\T‘·
ø=y=«‹Ô |òTü q|ü]e÷DeTTq≈£î düe÷q+. á $<Ûeä TT>± eTqeTT ˇø£ Äø£è‹˝À j·TTqï edüTeÔ ⁄\qT eTs√ Äø£è‹˝ÀìøÏ
e÷s¡Ãe#·TÃ. ˝Ò<ë ˇø£ bÕÁ‘·˝À ì+|üã&çq Á<äeeTTqT eTs√ bÕÁ‘·˝ÀìøÏ ì+|æ _Ûqï Äø£è‹ì, _Ûqï |ü]e÷DeTTqT
bı+<äe#·TÃ.

Ä˝À∫+∫ #·]Ã+∫ sêj·T+&ç.

@ bÕÁ‘· m≈£îÿe ˙{Ïì ‘·q˝À ì+|ü⁄ø=q>∑\<äT? MT
ùdïVæ≤‘·T\˝À #·]Ã+#·+&ç ?
4

1 4

Ç+‘·es¡≈î£ eTqeTT H˚sT¡ Ãø=qï n+X¯eTT\qT |ü⁄qs¡“\qeTT #˚dTü ø=H˚+<äT≈£î ø=ìï ñ<ëVü≤s¡D\‘√ Á|üjT· ‹ï<ë›+.
ñ<ëVü≤s¡D-14. 24 ôd+.MT m‘·T,Ô 6 ôd+.MT uÛ÷Ñ yê´kÕs¡eú TT ø£*qZ X¯+KTe⁄ Äø±s¡ eT{Ϻ eTT<ä› j·TTqï~. ˇø£
u≤\T&ÉT <ëìì ˇø£ >√fi¯eTT>± e÷]ùd,Ô Ä >√fi¯eTT jÓTTø£ÿ yê´kÕs¡eú TT m+‘·?
1 3
kÕ<Ûqä : X¯+KTe⁄ |òTü q|ü]e÷D+ = × π× 6 × 6 × 24 (ôd+.MT)
3

4 3
>√fi¯eTT jÓTTø£ÿ yê´kÕs¡eΔ TT r nsTT‘˚ <ëì |òTü q|ü]e÷D+ πr
3
X¯+KTe⁄ Äø±s¡eTT˝À j·TTqï eT{Ϻ eTT<ä› >√fi≤ø£è‹˝À e÷s¡Ãã&çq~ ø£qTø£ |òTü q|ü]e÷DeTT˝À e÷s¡TŒ
ñ+&É<Tä . ø£qTø£
4 3 1
πr = π × 6 × 6 × 24
3 3
3
r = 3 × 3 × 24 = 3 × 3 × 3 × 8
r3 = 33 × 23
r=3 × 2=6

∴ >√fi¯eTT yê´kÕs¡eú TT R 6 ôd+.MT.

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 πøåÁ‘·$T‹ 263

Ç$ #˚j·T+&ç
1. 1 ôd+.MT yê´düeTT, 8 ôd+.MT bı&Ée⁄ ø£*q
Z ˇø£ sê– ø£&¶û 18MT≥s¡T¢ bı&Ée⁄ ø£*qZ @ø£ eT+<äeTT >∑\
r>∑>± eT\#·ã&çq~. nsTTq#√ r>∑ jÓTTø£ÿ eT+<äeTTqT ø£qT>=qTeTT?
2. Á|üe*¢ Ç+{Ï ô|’ ø£|ü ô|’ yê≥sY {≤´+ø˘ dü÷|ú øü ±s¡ Äø£è‹˝À ì]à+#·ã&ç+~. uÛ÷Ñ >∑s“¡ e¤ TT˝À Bs¡È
|òTü Hêø±s¡eTT˝À j·TTqï dü+|t qT+&ç ˙{Ïì yÓ÷{≤s¡T düV‰ü j·TeTT‘√ yê≥sY {≤+ø˘≈î£ |ü+|üã&ÉT‘·T+~.
dü+|t jÓTTø£ÿ ø=\‘·\T 1.57 MT≥s¡T¢ × 1.44 MT≥s¡T¢ × 9.5 ôd+.MT. yê≥sY {≤´+ø˘ jÓTTø£ÿ yê´kÕs¡eú TT
60 ôd+.MT eT]j·TT m‘·TÔ 95 ôd+.MT. ˙{Ï‘√ ì+&ÉT>± j·TTqï dü+|t qT+&ç ˙{Ïì yê≥sY {≤´+ø˘
ì+&ÉT>± ì+|æ‘˚ n+<äT˝À $T–* e⁄qï ˙{Ï eT≥ºeTT jÓTTø£ÿ m‘·TÔ m+‘·? dü+|t eT]j·TT yê≥sY
{≤´+≈£î\ jÓTTø£ÿ ˙{Ï ì\« kÕeTs¡´ú eTT \qT b˛\TÃeTT? (π = 3.14)
ñ<ëVü≤s¡D-15. ˇø£ uÀ\T ns¡>› √fi¯eTT jÓTTø£ÿ n+‘·s,¡ u≤Vü≤´, yê´düeTT\T es¡Tdü>± 6 ôd+.MT eT]j·TT 10
ôd+.MT. <ëìì 14 ôd+.MT yê´düeTT>± >∑\ ˇø£ dü÷bú Õø±s¡ |òTü qeTT>± eT*ùd,Ô <ëì jÓTTø£ÿ m‘·TÔ m+‘·?
10
kÕ<Ûqä : uÀ\T ns¡>› √fi¯+ jÓTTø£ÿ yê´kÕs¡eú TT =
2
= 5 ôd+.MT = R

6
n+‘·s¡ yê´kÕs¡e› TT = 2
= 3 ôd+.MT = r
10 ôd+.MT 6ôd+.MT
uÀ\T ns¡>› √fi¯ bÕÁ‘· jÓTTø£ÿ |òTü q|ü]e÷D+
= u≤Vü≤´ |òTü q|ü]e÷D+ - n+‘·s¡ |òTü q|ü]e÷D+

2 2
= π R3 − π r3
3 3

2
= π (R 3 − r 3 ) r
3

2
= π (53 − 33 )
3
2
= π (125 − 27) r
3
2
= π× 98 (ôd+.MT)3 = 196π (ôd+.MT)3 ...(1)
3 3

uÀ\T |òTü q|ü⁄ ns¡>› √fi¯eTT, dü÷bú Õø±s¡ |òTü qeTT>± eT\#·ã&çq~ ø£qTø£ s¬ +&ç+{Ï |òTü q|ü]e÷DeTT düe÷q+.
dü÷bú Õø±s¡ |òTü qeTT jÓTTø£ÿ yê´dü+ = 14 ôd+.MT. (Ç∫Ãq~)
n+<äT#˚ dü÷bú Õø±s¡ |òTü qeTT yê´kÕs¡eú TT = 7 ôd+.MT

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 264 10e ‘·s¡>∑‹ >∑DÏ‘·+

dü÷|ú eü TT jÓTTø£ÿ m‘·TÔ = h nqTø=+<ë+

∴ dü÷| ú eü TT jÓTTø£ÿ |òTü q|ü]e÷D+ = πr2h
= π × 7 × 7 × h (ôd+.MT)3 = 49πh (ôd+.MT)3 ...(2)
düeTdü´˝À Ç∫Ãq <ä‘êÔ+X¯eTT Á|üø±s¡+
uÀ\T ns¡>› √fi≤ø±s¡ bÕÁ‘· jÓTTø£ÿ |òTü q|ü]e÷D+ = |òTü qdü÷|ú eü TT jÓTTø£ÿ |òTü q|ü]e÷D+
196
π = 49 πh [(1), (2) düMTø£sD
¡ eTT\qT+&ç]
3

196 4
⇒ h= = ôd+.MT
3 × 49 3
∴ dü÷|
ú eü TT jÓTTø£ÿ m‘·TÔ = 1.33 ôd+.MT.

ñ<ëVü≤s¡D-16. 16 ôd+.MT n+‘·s¡ yê´kÕs¡e› TT>± >∑\ ns¡>› √fi≤ø±s¡ bÕÁ‘·˝À Á<äeeTT ì+|üã&çq~. ÄÁ<äeeTTqT
5 ôd+.MT yê´düeTT eT]j·TT 6 ôd+.MT. m‘·TÔ ø£*q Z dü÷bú Õø±s¡ d”kÕ˝À ì+bÕs¡T. bÕÁ‘·˝Àì Á<äeeTTqT
ì+|ü&ÜìøÏ mìï d”kÕ\T nedüs+¡ ?
2 3
kÕ<Ûqä : ns¡>› √fi¯eTT |òTü q|ü]e÷D+ = πr
3
ns¡>› √fi¯ n+‘·s¡ yê´kÕs¡+› r = 15 ôd+.MT.
∴ ns¡> › √fi≤ø±s¡ bÕÁ‘·˝À ì+|üã&çq Á<äe |òTü q|ü]e÷D+
2
= π(15)3 (ôd+.MT)3
3
3
= 2250 π (ôd+.MT)
dü÷bú Õø±s¡ |”bÕ jÓTTø£ÿ m‘·TÔ R h = 6 ôd+.MT.
5
dü÷bú Õø±s¡ d”kÕ jÓTTø£ÿ yê´kÕs¡+› R R= ôd+.MT.
2
∴ dü÷bú Õø±s¡ d”kÕ |òTü q|ü]e÷D+ = πR2h
2
⎛5⎞
= π× ⎜ ⎟ × 6
⎝ 2⎠

25 75
= π× ×6 (ôd+.MT)3 = π (ôd+.MT)3
4 2

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 πøåÁ‘·$T‹ 265

ns¡Δ>√fi≤ø±s¡ bÕÁ‘· jÓTTø£ÿ |òüTq|ü]e÷D+

Á<äeeTTqT ì+|ü&ÜìøÏ ø±e\dæq d”kÕ\ dü+K´ =
dü÷úbÕø±s¡ d”kÕ jÓTTø£ÿ |òüTq|ü]e÷D+
2250π 2 × 2250
= = = 60 .
75 75
π
2

ñ<ëVü≤s¡D-17. 6 ôd+.MT yê´düeTT ø£*qZ ˇø£ |òTü q|ü⁄ >√fi¯eTTqT ø£]–+∫ 0.2 ôd+.MT. eT<Û´ä #˚Ã<¤ ä yê´düeTT
ø£*qZ r>∑>± eT*ùdÔ Ä r>∑ bı&Ée⁄ m+‘·?
kÕ<Ûqä : |òTü q|ü⁄ >√fi¯eTT yê´dü+ = 6 ôd+.MT
∴ |òTü q|ü⁄>√fi¯eTT yê´kÕs¡+ › = 3 ôd+.MT

0.2 ôd+.MT
6ôd+.MT

dü÷bú Õø±s¡ r>∑ jÓTTø£ÿ eT<Û´ä #˚Ã<¤ ä yê´dü+ = 0.2 ôd+.MT

yê´kÕs¡+Δ = 0.1 ôd+.MT
r>∑ jÓTTø£ÿ bı&Ée⁄ l ôd+.MT nqTø=+<ë+.
|òTü q|ü⁄>√fi¯eTT dü÷bú Õø±s¡ r>∑>± eT\#·ã&çq~ ø£qTø£ r>∑bı&Ée⁄qT dü÷bú Õø±s¡ r>∑ m‘·T>Ô ± |ü]>∑D+Ï #·e#·TÃ.
∴ r>∑˝À ñ|üj÷ Ó –+#·ã&çq ˝ÀVü≤|òTü q|ü]e÷D+ = >√fi¯|Tüò q|ü]e÷D+
4
π× (0.1) 2 × h = × π× 33
3
2
⎛1 ⎞ 4
π× ⎜ ⎟ × h = × π× 27
⎝ 10 ⎠ 3

1
π× × h = 36π
100

36π× 100
h= ôd+.MT
π
= 3600 ôd+.MTˆˆ = 36 MT≥s¡T¢
∴ r>∑ jÓTTø£ÿ bı&Ée⁄ R 36 MT≥s¡T¢
Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ
 266 10e ‘·s¡>∑‹ >∑DÏ‘·+

ñ<ëVü≤s¡D-18. 44 ôd+.MT. uÛTÑ »eTT ø=\‘·>± >∑\ ˇø£ d”d|ü ⁄ü |òTü qeTTqT 4 ôd+.MT yê´düeTT ø£*qZ mìï >√fi≤ø±s¡
ã+‘·T\T>± e÷s¡Ãe#·TÃ ?
kÕ<Ûqä : d”d|ü ⁄ü |òTü quÛTÑ »eTT = 44 ôd+.MT.
4
>√fi¯eTT yê´kÕs¡eú TT = 2
cm. = 2 ôd+.MT.

4 3
>√fi¯eTT |òTü q|ü]e÷D+ = πr
3
4 22 3
= × ×2
3 7
(ôd+.MT)3
4 22
= × × 8 (ôd+.MT)3
3 7
d”d|ü ⁄ü |òTü qeTTqT x >√fi¯eTT\T>± ‘·j÷· s¡T #˚ùd
4 22
x >√fi¯eTT\ yÓTT‘·eÔ TT |òTü q|ü]e÷D+ = × × 8 × x (ôd+.MT)3
3 7
∴ x >√fi¯eTT\ yÓTT‘·eÔ TT |òTü q|ü]e÷D+ = d”d|ü ⁄ü |òTü qeTT jÓTTø£ÿ |òTü q|ü]e÷D+
4 22
⇒ × × 8 × x = (44) 3
3 7

4 22
⇒ × × 8 × x = 44 × 44 × 44
3 7

44 × 44 × 44 × 3 × 7
⇒ x=
4 × 22 × 8
x = 2541
n+<äT#˚ ‘·j÷· s¡T#˚jT· ã&çq >√fi¯eTT\ dü+K´ = 2541.

ñ<ëVü≤s¡D-19. ˇø£ dü«j·T+ düV‰ü j·Tø£ ãè+<ä+ (&Ü«Áø±) Bs¡|È Tüò Hêø£è‹˝À j·TTqï 66 ôd+.MT, 42 ôd+.MT.,
21ôd+.MT, ø=\‘·\T ø£*q Z yÓTqÆ |ü⁄ ~eTà qT|üj÷Ó –+∫ 4.2ôd+.MT. yê´dü+, 2.8 ôd+.MT m‘·TÔ ø£*qZ dü÷bú Õø±s¡
ø=y=«‘·T\Ô qT ‘·j÷· s¡T #˚j÷· \qTø=Hêïs¡T. yês¡T ‘·j÷· s¡T #˚jT· >∑˝ZÒ ø=y=«‘·T\Ô dü+K´qT ø£qT>=q+&ç ?
kÕ<Ûqä : Bs¡|È Tüò qHêø±s¡ yÓTqÆ |ü⁄ ~eTà jÓTTø£ÿ |òTü q|ü]e÷D+ = lbh
= (66 × 42 × 21) ôd+.MT3.

4.2
dü÷bú Õø±s¡ ø=y=«‹Ô jÓTTø£ÿ yê´kÕs¡+Δ = 2
ôd+.MT. = 2.1 ôd+.MT.
dü÷bú Õø±s¡ ø=y=«‹Ô jÓTTø£ÿ m‘·TÔ = 2.8 ôd+.MT.

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 πøåÁ‘·$T‹ 267

ø=y=«‹Ô |òTü q|ü]e÷D+ = πr2h

22
= × (2.1)2 × 2.8
7

22
x dü÷bú Õø±s¡ ø=y=«‘·T\Ô jÓTTø£ÿ yÓTT‘·eÔ TT |òTü q|ü]e÷D+ = × 2.1× 2.1× 2.8 × x
7
∵ dü÷bú Õø±s¡ ø=y=«‘·T\Ô jÓTTø£ÿ |òTü q|ü]e÷D+ = Bs¡|È Tüò Hêø£è‹˝À j·TTqï yÓTqÆ |ü⁄ ~eTà |òTü q|ü]e÷D+
22
∴ × 2.1× 2.1× 2.8 × x = 66 × 42 × 21
7

66 × 42 × 21 × 7
x =
22 × 2.1 × 2.1 × 2.8

= 1500
∴ ‘·j÷
· s¡T#˚jT· ã&çq dü÷bú Õø±s¡ ø=y=«‘·T\Ô dü+K´ R 1500.

nuÛ≤´düeTT - 10.4
1. 4.2 ôd+.MT yê´kÕs¡eú TT ø£*qZ ˇø£ |òTü q|ü⁄ >√fi¯+qT ø£]–+∫ 6 ôd+.MT. yê´kÕs¡e› TT ø£*qZ dü÷|ú eü TT>±
eT*ùd,Ô Ä dü÷|ú eü TT jÓTTø£ÿ m‘·TÔ m+‘·?
2. 6 ôd+.MT., 8 ôd+.MT. eT]j·TT 10 ôd+.MT yê´kÕs¡e ú TT\T ø£*qZ |òTü q|ü⁄ >√fi¯eTT\T ø£]–+∫ ˇø£ ô|<ä›
|òTü q|ü⁄ >√fi¯eTT>± eT*ùdÔ <ëì jÓTTø£ÿ yê´kÕs¡eú TT m+‘·?
3. 20 MT≥s¡T¢ ˝À‘·T, 7 MT≥s¡¢ yê´düeTT >∑\ ˇø£ >=sTT´ì Á‘·e«>± e∫Ãq eT{Ïì º 22 MT≥s¡T¢ I 14
MT≥s¡T¢ ø=\‘·\T>± ˇø£ bÕ¢{Ÿ bòÕs¡yTé >± @s¡Œ]ùdÔ <ëìjÓTTø£ÿ m‘·TÔ m+‘·?
4. 14 MT≥s¡T¢ yê´düeTT, 15 MT≥s¡¢ ˝À‘·T ø£*q Z ˇø£ u≤$ì Á‘·e«>± e∫Ãq eT{Ïìº 7 MT≥s¡¢ yÓ&\É TŒ ø£*qZ
ˇø£ eè‘êÔø±s¡ ø£+ø£DeTT>± @s¡Œ]ùdÔ <ëì jÓTTø£ÿ m‘·TÔ m+‘·?
5. 12 ôd+.MT yê´düeTT, 15 ôd+.MT. m‘·TÔ ø£*qZ ˇø£ Áø£eTeè‘êÔø±s¡ dü÷bú Õø£è‹ bÕÁ‘·˝À ì+&ÉT>± ◊dtÁø°+
j·TTqï~. <ëìì 12 ôd+.MT m‘·T,Ô 6 ôd+.MT uÛ÷Ñ yê´düeTT>± ø£*qZ X¯+KTe⁄ Äø±s¡ edüTeÔ ⁄ (ø√Hé)˝À
ô|u’ ≤Û >∑eTT ns¡>› √fi≤ø±s¡+˝À ñ+&˚$<Ûeä TT>± ◊dtÁø°+qT ì+|æ‘,˚ Ä yÓTT‘·+Ô ◊dtÁø°+qT ì+|ü&ÜìøÏ
ø±e\dæq ø√Hé\ dü+K´ m+‘·?
6. 5.5 ôd+.MT × 10 ôd+.MT × 3.5 ôd+.MT ø=\‘·\T ø£*q Z Bs¡|È Tüò qeTT>± e÷s¡Ã&ÜìøÏ 1.75 ôd+.MT
yê´düeTT, 2 $T.MT eT+<äeTT ø£*qZ mìï yÓ+&ç HêD…eTT\T nedüse¡ Te⁄‘êsTT?
7. ˇø£ bÕÁ‘· ‹s¡>ã∑ &çq X¯+KTe⁄ Äø±s¡+˝À ñqï~. <ëì m‘·TÔ 8 ôd+.MT ô|’ uÛ≤>∑eTT yê´kÕs¡e› TT 5ôd+.MT
bÕÁ‘· |üP]Ô>± ˙{Ï‘√ ì+|üã&ç j·TTqï~. <ëì˝À 0.5 ôd+.MT yê´kÕs¡e› TT ø£*qZ |òTü q>√fi¯eTTqT y˚ùdÔ

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 268 10e ‘·s¡>∑‹ >∑DÏ‘·+

1
bÕÁ‘·˝À j·TTqï ˙{Ï˝À 4 e e+‘·T bı]¢ ãj·T{ÏøÏ edüT+Ô ~. nsTTq#√ bÕÁ‘·˝À y˚jT· >∑*qZ yÓTT‘·eÔ TT |òTü q|ü⁄
>√fi¯eTT\ dü+K´ m+‘·?
2
8. 28 ôd+.MT yê´düeTT ø£*q
Z ˇø£ |òTü q|ü⁄ >√fi¯eTTqT ø£]–+∫ 4 ôd+.MT yê´dü+, 3 ôd+.MT m‘·TÔ ø£*qZ
3
X¯+KTe⁄\T>± e÷]ùdÔ @s¡Œ&˚ X¯+KTe⁄\ dü+K´ m+‘·?
◊∫äø£ nuÛ≤´dü+
[á nuÛ≤´düeTT |üØø£\å qT<˚•› +∫ Çj·T´ã&çq~ ø±<äT]
1. 4.1 ôd+.MT yê´düeTT ø£*q Z ˇø£ >√˝ŸŒ¤ ã+‹ ñ|ü]‘·\eTTô|’ 2 $T.$T yê´kÕs¡e› TT ø£*qZ 150 u§&çô|\T
(&ç+|ü⁄˝Ÿ‡) ñqï$. &ç+|ü⁄˝Ÿ‡ ns¡>› √fi≤ø±s¡+˝À ñqï~ nì uÛ≤$ùdÔ yê{Ï yÓTT‘·eÔ TT ñ|ü]‘·\yÓX’ Ê\´eTT
⎡ 22 ⎤
m+‘·? ⎢π = 7 ⎥
⎣ ⎦
2. 12 ôd+.MT yê´kÕs¡e
ú TT ø£*qZ ˇø£ dü÷bú Õø±s¡ bÕÁ‘·˝À 20 ôd+.MT ˝À‘·T y˚Ts¡≈î£ ˙s¡T ì+|üã&çjT· Tqï~.
ˇø£ ÇqT|ü >√fi¯eTTqT <ëì˝À $&çùdÔ ˙{Ï eT≥ºeTT 6.75 ôd+.MT ô|]–q~. nsTTq#√ $&ÉTeã&çq
⎡ 22 ⎤
>√fi¯eTT jÓTTø£ÿ yê´kÕs¡eú TT m+‘·? ⎢π = 7 ⎥⎦
⎣
3. ˇø£ |òTü q|ü⁄ Ä≥edüTeÔ ⁄ dü÷bú Õø£è‹˝À j·TT+&ç ˇø£ ∫es¡ ns¡>› √fi≤ø±sêìï eTs√ ∫es¡ X¯+KTe⁄ Äø±sêìï
ø£*Z j·TT+~. yê{Ï ñeTà&ç yê´düeTT 4.2 ôd+.MT. dü÷bú Õø±s¡ uÛ≤>∑eTT, X¯+KTyêø±s¡ uÛ≤>∑eTT\ m‘·T\Ô T
es¡Tdü>± 12 ôd+.MT eT]j·TT 7 ôd+.MT nqTø=+fÒ Ä |òTü q|ü⁄ Ä≥edüTeÔ ⁄ jÓTTø£ÿ |òTü q|ü]e÷DeTT
⎡ 22 ⎤
m+‘·? ⎢π = 7 ⎥⎦
⎣
4. 15 ôd+.MT, 12 ôd+.MT. eT]j·TT 9 ôd+.MT uÛTÑ »eTT\T>± >∑\ eT÷&ÉT ˝ÀVü≤|ü⁄ |òTü qeTT\qT ø£]–+∫ ˇø£
|òTü qeTT>± e÷]ùd,Ô @s¡Œ&çq |òTü qeTT jÓTTø£ÿ ø£seí¡ TT bı&Ée⁄ m+‘·?
5. 36 ôd+.MT n+‘·sy ¡ ê´kÕs¡eΔ TT ø£*qZ ˇø£ ns¡>› √fi≤ø±s¡ bÕÁ‘· Á<äeeTT‘√ ì+|üã&ç j·TTqï~. ÄÁ<äeeTTqT
3 ôd+.MT yê´kÕs¡e › TT eT]j·TT 6 ôd+.MT m‘·TÔ ø£*qZ dü÷bú Õø±s¡ d”kÕ\˝À ì+|æ‘,˚ yÓTT‘·+Ô Á<äeeTT>±
ì+|üã&ÜìøÏ nedüse¡ Tj˚T´ d”kÕ\ dü+K´ m+‘·?

eTq+ @$T #·]Ã+#ê+

1. s¬ +&ÉT |òTü q|ü⁄ edüTeÔ ⁄\qT ø£\T|ü>± @s¡Œ&çq |òTü q|ü⁄ edüTeÔ ⁄ jÓTTø£ÿ |òTü q|ü]e÷D+, Ĭs+&ç+{Ï |òTü q|ü]e÷DeTT\
yÓTT‘·eÔ TTq≈£î düe÷q+
2. |òTü q|ü⁄ edüTeÔ ⁄\qT ø£\T|ü>± @s¡Œ&ÉT eTs√ |òTü q|ü⁄ edüTeÔ ⁄ jÓTTø£ÿ ñ|ü]‘·\yÓX’ Ê\´+. Ä |òTü q|ü⁄ edüTeÔ ⁄\ ñ
|ü]‘·\ yÓX’ Ê\´eTT\ yÓTT‘·eÔ TTq≈£î düe÷qeTT ø±<äT. BìøÏ >∑\ ø±s¡DeTT ø=ìï ñ|ü]‘·\ yÓX’ Ê\´eTT\˝À
ø=+‘·u≤Û >∑eTT M{ÏøÏ ø£\|ü≥+ e\q ø£q|ü&≈É î£ +&Ü b˛‘·T+~.

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 Á‹ø√D$T‹ 269

n<Ûë´j·TeTT

11 ‹Á ø√D$T‹
(Trigonometry)

11.1 |ü]#·j·T+
Á‹uÛTÑ C≤\T eT]j·TT yê{Ï <Ûsä êà\qT eTq+ Ç~es¡øπ øÏ+~ ‘·s>¡ ‘∑ T· \˝À
‘Ó\TdüTø=Hêï. eTq ì‘·´J$‘·+˝À $$<Ûä dü+<äsꓤ\˝À Á‹uÛTÑ C≤\T, yê{Ï <Ûsä êà\qT
ñ|üj÷Ó –+#·&+É >∑eTì+∫ ñ+{≤+.
Ç+ø± eT]ø=ìï ñ<ëVü≤s¡D\qT >∑eTì<ë›+.
l MTs¡T MT #·T≥Tº Á|üøÿ£ \˝À $<äT´‘Y dü+ú uÛ≤\qT >∑eTì+∫ ñ+{≤s¡T. n$
kÕ<Ûës¡D+>± ˇø£ ˝ÀVü≤|ü⁄ yÓs’ Y düV‰ü j·T+‘√ ì\u…≥㺠&ç ñ+{≤sTT.
Ç#·≥ $<äT´‘Y dü+ú uÛ+Ñ , uÛ÷Ñ $T eT]j·TT ˝ÀVü≤|ü⁄ yÓs’ \Y T ˇø£ Á‹uÛTÑ C≤ìï
@s¡Œs¡TkÕÔsTT. ø±ì, ˇø£yfi˚ ¯ ˝ÀVü≤|ü⁄ yÓs’ Y bı&Ée⁄qT ‘·–ùZ d,Ô n~ uÛ÷Ñ $T‘√
#˚ùd ø√D+˝À @yÓTHÆ ê e÷s¡TŒ edüT+Ô <ë?
θ
l |ü≥+˝À #·÷|æq $<Ûä+>± ˇø£ e´øÏÔ ˇø£
>√&É≈£î ì#ÓÃq düVü‰j·T+‘√ düTqï+ y˚düTÔHêï&ÉT.
ˇø£yfi˚ ¯ n‘·&TÉ ø=+‘· m≈£îÿe m‘·T˝Ô À düTqï+ y˚j÷· *‡eùd,Ô n‘·&TÉ @+ #˚j÷· *?
n|ü⁄&ÉT uÛ÷Ñ $T‘√ ì#ÓÃq #˚ùd ø√D+˝À @+ e÷s¡TŒ edüT+Ô ~?
l Ä~˝≤u≤<é õ˝≤¢˝Àì C…q’ <∏é Á>±eT+˝À 13e X¯‘êã›+˝À ì]à+#·ã&çq
ˇø£ >∑T&ç˝À &çôd+ãsY e÷dü+˝À ˇø£ s√E dü÷s¡´Hêsêj·TD kÕ«$T $Á>∑V≤ü +
bÕ<ë\ô|’ dü÷s¡T´&ç yÓTT≥ºyTÓ T<ä{Ï øÏsD¡ ≤\T |ü&‘É êsTT. >∑T&ç <ë«s¡+ qT+&ç
$Á>∑V‰ü ìøÏ >∑\ <ä÷s¡+, dü÷s¡´øÏsD¡ ≤\T e#˚à <ë«s¡+ ô|’ qTqï s¡+Á<Û+ä m‘·TÔ
θ eT]j·TT Ä HÓ\˝À yÓTT<ä{Ï dü÷s¡´øÏsD ¡ ≤\T uÛ÷Ñ $T‘√ #˚ùd ø√D≤ìøÏ @<ÓH’ ê
dü+ã+<Ûä+ ñ+<äqT ø=+≥THêïsê? á dü+<äs¡“¤+˝À @<Ó’Hê Á‹uÛÑTC≤ìï
}Væ≤+#·>∑\sê?
l Ä≥˝≤&ÉT dü\ú +˝À, |æ\\¢ T C≤s¡T&ÉT ã\¢ô|’
C≤s¡T‘·÷ ñ+&É&+É >∑eTì+∫ ñ+{≤s¡T.
C≤s¡T&ÉT ã\¢ uÛ÷Ñ $T ‘√ #˚ùd ø√D≤ìï ã{Ϻ
C≤s¡T&ÉT dü«uÛ≤e+ e÷s¡T‘·÷ ñ+≥T+~.
C≤s¡T&ÉT ã\¢ uÛ÷Ñ $T‘√ #˚ùdø√D+ e÷]‘˚
@+ »s¡ T >∑ T ‘· T +~? Ä ø√D+
nkÕ<Û ë s¡ D +>± ñ+fÒ |æ \ ¢ \ T Ä&É T θ
ø√>∑\TZ‘êsê ?

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 270 10e ‘·s>¡ ‹∑ >∑D‘Ï +·

ô|’ ñ<ëVü≤s¡D\T eTq+ ì‘·´J$‘·+˝À C≤´$T‹ì @ $<Û+ä >± $ìjÓ÷–+#·Tø√e#√à ‘Ó\T|ü⁄‘êsTT.

eT]j·TT $$<Ûä ø£≥&º Ü\ m‘·T\Ô T, <ä÷sê\T eT]j·TT $$<Ûä dü+<äsꓤ˝À¢ @s¡Œ&˚ ø√D≤\T Á‹uÛTÑ » <Ûsä êà\ Ä<Ûës¡+>±
ø£qTø√ÿe#·TÃ. á s¡ø±˝…q’ düeTdü´\qT >∑D‘Ï +· ˝À ˇø£ uÛ≤>∑yTÓ qÆ Á‹ø√D$T‹ Ä<Ûës¡+>± kÕ~Û+#·e#·TÃ.
Çø£ >√&Éô|’ ì#ÓÃq düV‰ü j·T+‘√ düTqï+ y˚dTü qÔ ï e´øÏÔ ñ<ëVü≤s¡DqT >∑eTì<ë›+. ÁøÏ+~ dü+<äsꓤ\qT
>∑eTì<ë›+.
ì#ÓÃq jÓTTø£ÿ n&ÉT>∑T uÛ≤>±ìï A‘√ eT]j·TT ô|’ uÛ≤>±ìï C‘√ dü÷∫+#êeTqTø√+&ç. >√&É jÓTTø£ÿ
n&ÉT>∑T uÛ≤>∑eTT, ì#ÓÃq n&ÉT>∑T uÛ≤>±ìï ø£*ù| _+<äTe⁄ B nqT≈£î+<ë+. á $<Û+ä >± B e<ä› \+ãø√DeTT‘√
ˇø£ \+ãø√D Á‹uÛTÑ »+ ΔABC @s¡Œ&ÉT‘·T+~. Ç+ø±, ì#ÓÃq uÛ÷Ñ $T‘√ #˚dTü qÔ ï ø√DeTT ªªθμμ nqTø=q>±.
1. Ä e´øÏÔ >√&Éô|’ Ç+ø± ø=+#Ó+ m≈£îÿe m‘·T˝Ô À düTqï+ y˚j÷· * nqT≈£î+fÒ
l ì#ÓÃq uÛÑ÷$T‘√ #˚j·TT ø√D+˝À m˝≤+{Ï e÷s¡TŒ edüTÔ+~?
l á dü+<äs¡“¤+˝À AB bı&Ée⁄˝À m˝≤+{Ï e÷s¡TŒ edüTÔ+~?
2. Ä e´øÏÔ >√&Éô|’ Ç+ø± ø=+#Ó+ ‘·≈î£ ÿe m‘·T˝Ô À düTqï+ y˚j÷· * nqT≈£î+fÒ C
l ì#ÓÃq uÛÑ÷$T‘√ #˚j·TT ø√D+˝À m˝≤+{Ï e÷s¡TŒ edüTÔ+~?
l á dü+<äs¡“¤+˝À AB bı&Ée⁄˝À m˝≤+{Ï e÷s¡TŒ edüTÔ+~?
ô|’ dü+<äsꓤ\˝À >√&Éô|’ m≈£îÿe m‘·T˝Ô À ˝Ò<ë ‘·≈î£ ÿe
m‘·T˝Ô À düTqï y˚j÷· *‡ eùdÔ Ä ì#ÓÃq
jÓTTø£ÿ dæú‹ì Ä e´øÏÔ e÷sêÃ*‡
edüT+Ô ~. ˇø£yfi˚ ¯ ‘θ’ ô|]–q|ü⁄&ÉT
>√&Éô|’ düTqï+ yù̊d kÕúq+ m‘·TÔ ô|]–,
uÛ÷Ñ $Tô|’ <ä÷s¡+ AB ‘·>T∑ ‘Z T· +<äì θ
θ
>∑eTì+#ê+ ø£<ë. Ç<˚$<Û+ä >± ªθμ A A B
‘·–qZ |ü⁄&TÉ >√&Éô|’ düTqï+ y˚ùd kÕúq+
m‘·TÔ ‘·–,Z uÛ÷Ñ $Tô|’ <ä÷s¡+ AB ô|s¡T>∑T‘·T+<äì >∑eTìkÕÔ+. B+‘√ MTs¡T @ø°u$ÑÛ kÕÔsê ?
Çø£ÿ&É @s¡Œ&çq \+uø√D Á‹uÛTÑ »+ ABC ˝Àì uÛTÑ C≤\qT kÕ<Ûës¡D+>±H˚ |ü]>∑D+Ï #ê+. Çø£ \+ãø√D
Á‹uÛTÑ »+˝Àì uÛTÑ C≤\≈£î ù|s¡q¢ T ô|{Ϻ Ä uÛTÑ C≤\ ìwüŒ‘·T\Ô qT >∑eTì<ë›+.

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 Á‹ø√D$T‹ 271

C
11.1.1 \+ãø√D Á‹uÛTÑ »+˝Àì uÛTÑ C≤\T
Á|üø£ÿ|ü≥+˝À #·÷|æq≥Tº \+ãø√D
Á‹uÛTÑ »+ ABC ì rdüT≈£î+<ë+.
Á|üø£ÿ |ü≥+˝À #·÷|æq≥Tº B e<ä›
\+ãø√D+ ø£*–q \+ãø√D Á‹uÛTÑ »+ ABCì θ
rdüT≈£î+<ë+. á Á‹uÛTÑ »+˝À ∠ CAB ì A B
∠ A>± rdüT≈£î+<ë+. eT]j·TT A ˇø£
n\Œø√D+. á Á‹uÛTÑ »+˝À AC nH˚~ n‹ô|<ä› uÛTÑ »+ ø±e⁄q n~ ªªø£s+í¡ μμ ne⁄‘·T+~.
á Á‹uÛTÑ »+˝À uÛTÑ »eTT BC kÕúqeTT, ∠ A |üs+¡ >± m˝≤ e⁄+~. ∠ A ≈£î uÛTÑ »eTT BC m<äTs¡T>±
e⁄+<äì >∑eTì+#ês¡T. ø£<ë! ø±e⁄q BCì ∠ A jÓTTø£ÿ ªªm<äT{Ï uÛTÑ »eTT” nì n+{≤s¡T. Ç+ø± $T–*q
uÛTÑ »eTT AB ì ∠ A jÓTTø£ÿ ªªÄdüqï uÛTÑ »eTT” nì n+{≤s¡T.
AC = ø£s+ í¡
BC = ∠ A jÓTTø£ÿ m<äT{Ï uÛTÑ »eTT
AB = ∠ A jÓTTø£ÿ Ädüqï uÛTÑ »eTT

Ç~ #˚j·T+&ç
ÁøÏ+<ä Ç∫Ãq Á‹uÛTÑ C≤\˝À Ç∫Ãq ø√D≤\ Ä<Ûës¡+>± ªªø£s+í¡ μμ, m<äT{Ï uÛTÑ »eTT eT]j·TT ªªÄdüqï
uÛTÑ »eTTμμ\qT >∑T]Ô+∫ sêj·T+&ç.
1. ø√D+ R |üs+¡ >± 2. (i) ø√D+ X |üs+ ¡ >±
P
(ii) ø√D+ Y |üs+ ¡ >± Z

Q R X Y

Á|üj·T‹ï+#·+&ç
C
á ÁøÏ+<ä Ç∫Ãq Á‹uÛTÑ »+˝À Ç∫Ãq ø√D≤\ |üs+¡ >± ªªø£s+í¡ μμ,
ªªm<äT{Ï uÛTÑ »+μμ, eT]j·TT ªªÄdüqï uÛTÑ »+μμ\qT ø£qT>=q+&ç.
1. ø√D+ C |üs+¡ >±
2. ø√D+ A |üs+¡ >±
B A
MTπs+ >∑eTì+#ês¡T ? ø√D+ A jÓTTø£ÿ m<äT{Ï uÛTÑ »eTT eT]j·TT ø√D+ C jÓTTø£ÿ Ädüqï uÛTÑ C≤ìøÏ @yÓTHÆ ê
dü+ã+<Û+ä ñ+<ë? Ç+ø±, ˇø£ ã\yÓTqÆ ˝ÀVü≤|ü⁄ yÓs’ Y Ä<Ûës¡+>± ˇø£ dü+ú uÛ≤ìï ì\u…&TÉ ‘·THêïeTqT≈£î+<ë+.
dü+ú uÛ+Ñ m‘·TÔ eT]j·TT yÓs’ Y bı&Ée⁄≈£î ≈£î @<ÓH’ ê dü+ã+<Û+ä ñ+<äqT≈£î+≥THêïsê? Çø£ÿ&É eTq+ Á‹uÛTÑ »+˝Àì
uÛTÑ C≤\ eT<Û´ä q dü+ã+<Ûëìï yê{Ï ø√D≤\ Ä<Ûës¡+>± ne>±Vü≤q #˚dTü ø√e&ÜìøÏ Á|üjT· ‹ï<ë›+.
Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ
 272 10e ‘·s>¡ ‹∑ >∑D‘Ï +·

11.2 Á‹ø√D$Trj·T ìwüŒ‘·TÔ\T

á n<Ûë´j·T+ yÓTT<ä{À¢ eTq ì‘·´ J$‘·+˝À m<äTs¡jT˚ ´ dü+<äsꓤ\qT >∑eTì+#ê+. Çø£ Á‹ø√D$Trj·T
ìwüŒ‘·T\Ô T, n$ @$<Û+ä >± ìs¡«∫+|üã&ܶj÷Ó #·÷<ë›+.

ø£è‘·´+ S

1. MT H√{ŸãTø˘˝À ùdÿ\T düV‰ü j·T+‘√ n&É+¶ >± ˇø£ sπ KqT ^j·T+&ç. R

Q
2. yÓTT<ä{Ï _+<äTe⁄ A eT]j·TT <ëì qT+&ç 3 ôd+.MT 6 P
ôd+.MT, 9 ôd+.MT. eT]j·TT 15 ôd+.MT.\
<ä ÷ sê\˝À es¡ T dü > ± B, C, D
eT]j·TT E. _+<äTe⁄\qT
es¡Tdü>± >∑T]Ô+#·+&ç. θ
A
B C D E
3. Ç+ø± 4ôd+.MT, 8 ôd+.MT,
12ôd+.MT eT]j·TT 16ôd+ˆˆMT\ bı&Ée⁄\‘√ B, C, D eT]j·TT E _+<äTe⁄\ >∑T+&Ü BP, CQ,
DR, ES \+u≤\qT ^j·T+&ç.
4. AP, PQ, QR eT]j·TT RS \qT ø£\|ü+&ç.
5. AP, AQ, AR, AS\ bı&Ée⁄\qT ø£qT>=qTeTT.

ø£s+í¡ m<äT{Ï uÛTÑ »+ ÄdüqïuÛTÑ »+ m<äT{ÏuTÑÛ »+ Ädüqï uÛTÑ »+

bı&Ée⁄ bı&Ée⁄ bı&Ée⁄ ø£s+í¡ ø£s+í¡

BP CQ DR ES
, , eT]j·TT \ ìwüŒ‘·T\Ô qT ø£qT>=q+&ç.
AP AQ AR AS
4
MT≈£î nìï{Ï |ò*ü ‘·+ e∫Ã+<ë?
5
AB AC AD AE
Ç<˚$<Û+ä >±, , , eT]j·TT ìwüŒ‘·T\Ô qT ø£qT>=qTeTT? @+ >∑eTì+#ês¡T?
AP AQ AR AS

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 Á‹ø√D$T‹ 273

11.2.1 Á‹ø√D$Trj·T ìwüŒ‘·T\Ô qT ìs¡«∫+#·&+É

ô|’ ø£è‘·´+˝À, \+ãø√D Á‹uÛTÑ C≤\T ABP, ACQ, ADR eT]j·TT AES \˝À ø√D+ A ñeTà&ç ø√D+.
∠ B, ∠ C, ∠ D eT]j·TT ∠ E\T \+ãø√D≤\T eT]j·TT ∠ P, ∠ Q, ∠ R eT]j·TT ∠ S \T düe÷q+>±
ñ+{≤sTT. ø±e⁄Hê, ABP, ACQ, ADR eT]j·TT AES \T düs÷¡ |ü Á‹uÛTÑ C≤\T. á Á‹uÛTÑ C≤\˝Àì ˇø£
Á‹uÛTÑ »+˝À ∠ A jÓTTø£ÿ m<äT{Ï uÛTÑ »eTT eT]j·TT ø£sêí\ ìwüŒ‹Ô, eT]j·TT $T>∑‘ê Á‹uÛTÑ »eTT˝Àì yê{Ï
BP CQ DR
nqTs¡÷|ü uÛTÑ C≤\ ìwüŒ‹Ô dæsú +¡ >± ñ+≥T+<äì >∑eTì+#ê+ ø£<ë! á$<Û+ä >± , , eT]j·TT
AP AQ AR
ES
ìwüŒ‘·T\Ô qT “sine A” ˝Ò<ë eTTø£+Ô >± “sin A” nqe#·TÃ. ˇø£yfi˚ ¯ ∠A $\Te “x” nsTT‘˚
AS
<ëìì “sin x” nì nqe#·TÃ.
á $<Û+ä >± düs÷¡ |ü\+ãø√D Á‹uÛTÑ C≤\ ˝Àì \+ãø√D+ ø±ì ˇø£ ø√D+ jÓTTø£ÿ m<äT{Ï uÛTÑ »eTT
eT]j·TT ø£sêí\ ìwüŒ‹Ô dæsú +¡ >± ñ+≥T+~. eT]j·TT Ä ìwüŒ‹Ôì Ä ø√D+ jÓTTø£ÿ “sin” n+{≤s¡T.
AB AC AD AE
Ç<˚$<Û+ä >± , , eT]j·TT ìwüŒ‘·T\Ô T dæsú +¡ >± ñ+{≤sTT. Ç$ ∠A jÓTTø£ÿ
AP AQ AR AS
AB AC AD AE
Ädüqï uÛTÑ »eTT eT]j·TT ø£sêí\ ìwüŒ‘·T\Ô T ø±e⁄q á ìwüŒ‘·T\Ô T , , eT]j·TT \qT
AP AQ AR AS
“cosine A” ˝Ò<ë eTTø£+Ô >± “cos A” nì nqe#·TÃ. ˇø£yfi˚ ¯ ∠A $\Te “x” nsTT‘˚ <ëìì “cos x”
nì nqe#·TÃ.
á$<Û+ä >± ªªdüs÷¡ |ü\+ãø√D Á‹ãTC≤\˝Àì \+ãø√D+ ø±ì ˇø£ ø√D+ jÓTTø£ÿ Ädüqï uÛTÑ »eTT eT]j·TT
ø£sêí\ ìwüŒ‹Ô dæsú +¡ >± ñ+≥T+~. eT]j·TT Ä ìwüŒ‹Ôì Ä ø√D+ jÓTTø£ÿ “cos” n+{≤s¡T.
Ç+ø± düs÷¡ |ü \+ãø√D Á‹uÛTÑ C≤\˝Àì \+ãø√D+ ø±ì ˇø£ ø√D+ jÓTTø£ÿ m<äT{Ï uÛTÑ »eTT eT]j·TT Ädüqï
uÛTÑ »eTT\ ìwüŒ‹Ô dæsú +¡ >± ñ+≥T+~. eT]j·TT Ä ìwüŒ‹Ôì Ä ø√D+ jÓTTø£ÿ “tangent” n+{≤s¡T.

\+ãø√D Á‹uÛTÑ »+˝Àì ìwüŒ‘·T\Ô T

|ü≥+˝À #·÷|æq≥Tº B e<ä› \+ãø√D+ ø£*–q \+ãø√D Á‹uÛTÑ »+ ABC qT >∑eTì+#·+&ç. n+<äT˝À
∠A jÓTTø£ÿ Á‹ø√D$T‹ ìwüŒ‘·T\Ô T á ÁøÏ+~ $<Û+ä >± ìs¡«∫+#·e#·TÃ.

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 274 10e ‘·s>¡ ‹∑ >∑D‘Ï +·

C
∠ A jÓTTø£ÿ m<äT{Ï uÛÑT»|ü⁄ bı&Ée⁄ BC
∠A jÓTTø£ÿ sine = sinA = =
ø£s¡í+ bı&Ée⁄ AC

∠ A jÓTTø£ÿ Ädüqï uÛÑT»|ü⁄ bı&Ée⁄ AB

∠ A jÓTTø£ÿ cosine = cos A = =
ø£s¡+í bı&Ée⁄ AC

A B
∠ A jÓTTø£ÿ m<äT{Ï uÛÑT»|ü⁄ bı&Ée⁄ BC
∠ A jÓTTø£ÿ tangent = tan A = =
∠ A jÓTTø£ÿ Ädüqï uÛÑT»|ü⁄ bı&Ée⁄ AB

Ç$ #˚j·T+&ç
1. |üøÿ£ qTqï \+ãø√DÁ‹ø√D+˝À (i) sin C (ii) cos C C
eT]j·TT (iii) tan C \qT ø£qT>=qTeTT?
2. ˇø£ Á‹uÛTÑ »eTT XYZ˝À, ∠ Y \+ãø√DeTT
eT]j·TT XZ = 17 ôd+.MT. YZ = 15 ôd+.MT B A
(i) sin X (ii) cos Z (iii) tan X \qT ø£qT>=qTeTT?
3. Á‹uÛTÑ »+ PQR ˝À Q \+ãø√DeTT eT]j·TT ∠ P $\Te x eT]j·TT PQ = 7 ôd+.MT. eT]j·TT
QR = 24 ôd+.MT nsTTq sin x eT]j·TT cos x \ $\Te\T ø£qT>=qTeTT.

Á|üj·T‹ï+#·+&ç
ˇø£ \+ãø√D Á‹uÛÑT»+ABC ˝À C \+ãø√D+. BC + CA = 23 ôd+.MT. eT]j·TT
BC − CA = 7 ôd+.MT. nsTTHê sin A eT]j·TT tan B \qT ø£qT>=qTeTT.

Ä˝À∫+∫ #·]Ã+∫ sêj·T+&ç.

4
(i) @<√ ˇø£ $\Te x ≈£î sin x = 3 kÕ<Û´ä e÷ ? m+<äT≈£î?
(ii) sin A eT]j·TT cos A \ $\Te\T m\¢|ü &ÉT 1 ø£+fÒ ‘·≈î£ ÿe>± ñ+{≤sTT. m+<äT≈£î?
(iii) tan A n+fÒ tan eT]j·TT A \ \ãΔeTT.

ô|’ Á|üXï¯ \qT $TÁ‘·T\‘√ #·]Ã+#·+&ç.

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 Á‹ø√D$T‹ 275

Á‹ø√D$T‹˝À Ç+‘·es¡≈î£ ‘Ó\TdüTø=qï ìwüŒ‘·T\Ô >∑TDø±s¡ $˝Àe÷˝Ò ø±ø£ eT÷&ÉT ìwüŒ‘·T\Ô THêïsTT.
“sine A” jÓTTø£ÿ >∑TDø±s¡ $˝ÀeT+ “cosecant A” ˝Ò<ë eTTø£+
Ô >± “cosec A”
1
i.e., cosec A =
sin A
Ç<˚ $<Û+ä >± “cos A” jÓTTø£ÿ >∑TDø±s¡ $˝ÀeT+ ªªsecant A” ˝Ò<ë eTTø£+Ô >± “sec A” eT]j·TT
“tan A” jÓTTø£ÿ >∑TDø±s¡ $˝ÀeT+ “cotangent Aμμ eTTø£+Ô >± ªªcot Aμμ
1 1
i.e., sec A = eT]j·TT cot A =
cos A tan A
uÛTÑ C≤\ |üs+¡ >± cosec ìwüŒ‹Ôì @$<Û+ä >± #Ó|Œü e#·Tà ?
ø√D+ A jÓTTø£ÿ m<äT{Ï uÛÑT»+
Ç+ø± sin A = nsTT‘˚,
ø£s+í¡
ø£s¡í+
cosec A = ø√D+ A jÓTTø£ÿ m<äT{Ï uÛÑT»+

Á|üj·T‹ï+#·+&ç
sec A eT]j·TT cot A \ uÛTÑ C≤\ ìwüŒ‘·T\Ô T @eTÚ‘êsTT?

Ä˝À∫+∫ #·]Ã+∫ sêj·T+&ç.

l
sin A $\Te tan A n>∑THê ? l
cos A $\Te cot A n>∑THê?
cos A sin A

eT]ø=ìï ñ<ëVü≤s¡D\qT >∑eTì<ë›+.

3
ñ<ëVü≤s¡D-1. tan A = 4 , nsTTq ø√D+A jÓTTø£ÿ $T>∑‘ê Á‹ø√D$Trj·T ìwüŒ‘·T\Ô qT ø£qTø√ÿ+&ç.
3 C
kÕ<Ûqä : tan A = 4
nì Çe«ã&ç+~.
3
eT]j·TT tan A = m<ä T{Ï uÛÑT»+
Ädüqï uÛÑT»+ = 4

A B
ø±e⁄q m<äT{Ï uÛTÑ »+ : Ädüqï uÛTÑ »+ = 3:4
ø±e⁄q ø√D+ A m<äT{Ï uÛTÑ »+ = BC = 3k (k @<Óq’ <Ûqä |üPs¡í dü+K´)
ÄdüqïuÛTÑ »+ = AB = 4k nqTø=q>±

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 276 10e ‘·s>¡ ‹∑ >∑D‘Ï +·

ô|<’ ë∏ >∑sd¡ t dæ<ëΔ+‘·+ Á|üø±s¡+ Á‹uÛTÑ »+ ABC ˝À

AC2 = AB2 + BC2

= (3k)2 + (4k)2 = 25k2

AC = 25k 2

ø£s+í¡ AC = 5k

Çø£ eTq+ $T>∑‘ê Á‹ø√D$Trj·T ìwüŒ‘·T\Ô qT sê<ë›+.

3k 3 4k 4
sin A = = eT]j·TT cos A = =
5k 5 5k 5
1 5 1 5 1 4
Ç+ø± cosec A = = , sec A = = , cot A = = .
sin A 3 cos A 4 tan A 3

ñ<ëVü≤s¡D-2. sin A = sin P nj˚T´≥≥T¢ ∠ A eT]j·TT ∠ P \T \|òTü Tø√D≤\T nsTTq ∠A=∠P nì

#·÷|ü⁄eTT. C Q
kÕ<Ûqä : sin A = sin P nì Çe«ã&çq~.
BC
Δ ABC qT+&ç sin A =
AC
QR
Δ PQR qT+&ç sin P = B R
PQ A P

BC QR
nsTT‘˚ (1)   (2) \ qT+&ç =
AC PQ
BC QR
= =k nqTø=ìq
AC PQ
ô|<’ ë∏ >∑sd¡ t dæ<ëΔ+‘·+ Á|üø±s¡+
AB AC 2 − BC 2 AC ⎛ 1 − k 2 ⎞ AC
= = =⎜ ⎟= ((1) qT+∫)
PR PQ 2 − QR 2 PQ ⎝ 1 − k 2 ⎠ PQ

AC AB BC Δ ABC - Δ PQR
= = nsTTq
PQ PR QR
∴ ∠A = ∠P
ñ<ëVü≤s¡D-3. P e<ä› \+ãø√D+ ø£*qZ \+ãø√D Á‹uÛTÑ »eTT PQR˝À PQ = 29 j·T÷ì≥T¢, QR = 21
j·T÷ì≥T¢ eT]j·TT ∠ PQR = θ, nsTTq
(i) cos2θ + sin2θ eT]j·TT (ii) cos2θ − sin2θ

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 Á‹ø√D$T‹ 277

kÕ<Ûqä : Á‹uÛTÑ »+ PQR ˝À

PR = PQ 2 − QR 2 = (29)2 − (21)2 Q

θ
= 8(50) = 400 = 20 j·T÷ì≥T¢. (m+<äT≈£î) 29
21
PR 20
sin θ = = R
PQ 29 P

QR 21
cos θ = =
PQ 29
2 2
⎛ 20 ⎞ ⎛ 21⎞ 441 + 400
Çø£ (i) cos θ + sin θ = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ =
2 2 =1
⎝ 29 ⎠ ⎝ 29 ⎠ 841

2 2
⎛ 20 ⎞ ⎛ 21 ⎞ 41
(ii) cos θ − sin θ = ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ = −
2 2
⎝ 29 ⎠ ⎝ 29 ⎠ 841

nuÛ≤´dü+ - 11.1
1. ˇø£ \+ãø√D Á‹uÛTÑ »+ ABC˝À uÛTÑ C≤\T AB, BC eT]j·TT CA \ bı&Ée⁄\T es¡Tdü>± 8 ôd+.MT,
15 ôd+.MT eT]j·TT 17 ôd+.MT nsTTq sin A, cos A eT]j·TT tan A \ $\Te\T ø£qT>=qTeTT.
2. \+ãø√D Á‹uÛTÑ »+ PQR jÓTTø£ÿ uÛTÑ C≤\T PQ = 7 ôd+.MT, QR = 25ôd+.MT eT]j·TT ∠ Q= 900
nsTTq tan Q − tan R ø£qT>=qTeTT.
3. B e<ä› \+ãø√D+ ø£*q Z \+ãø√D Á‹uÛTÑ »+ ABC˝À a = 24 j·T÷ì≥T¢, b = 25 j·T÷ì≥T¢ eT]j·TT
∠ BAC = θ nsTTq cos θ eT]j·TT tan θ\ $\Te\T ø£qT>=qTeTT.
12
4. cos A = nsTTq sin A eT]j·TT tan A \ $\Te\qT ø£qT>=qTeTT.
13
5. 3 tan A = 4 nsTTq sin A, eT]j·TT cos A \ $\Te\qT ø£qT>=qTeTT.
6. cos A = cos X nj˚T´≥≥T¢ ∠ A eT]j·TT ∠ X \T \|òTü Tø√D≤\sTTq ∠ A = ∠ X nì #·÷|ü⁄eTT.

7 (1 + sin θ ) (1− sin θ ) (1 + sin θ )

7. cot θ = nsTTq (i) (1 + cos θ ) (1− cos θ ) (ii) \qT ø£qT>=qTeTT.
8 cos θ
8. B e<ä› \+ãø√D+ ø£*qZ Á‹uÛTÑ »+ ABC˝À tan A = 3 nsTTq
(i) sin A cos C + cos A sin C (ii) cos A cos C − sin A sin C
\ $\Te\qT ø£qT>=qTeTT.

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 278 10e ‘·s>¡ ‹∑ >∑D‘Ï +·

11.3 Á|ü‘˚´ø£ ø√D≤\ Á‹ø√D$Trj·T ìwüŒ‘·TÔ\T

eTq≈£î Ç~es¡øπ \+ãø√D düeT~«u≤VüQ Á‹uÛTÑ »+ eT]j·TT 30º, 60º, 90º ø√D≤\T ø£*qZ Á‹uÛTÑ C≤\
>∑T]+∫ ‘Ó\TdüT.
eTqeTT sin 30o ˝Ò<ë tan 60o ˝Ò<ë cos 45o yÓTTˆˆq yê{Ïì ô|’ Á‹uÛTÑ C≤\ Ä<Ûës¡+>± ø£qTø√ÿe#êÃ?
sin 0o ˝Ò<ë cos 0o \T e´edæ‘
ú e· TÚ‘êj·÷ ?

11.3.1 ø√D+ 45O jÓTTø£ÿ Á‹ø√D$Trj·T ìwüŒ‘·T\Ô T

B e<ä› \+ãø√D+ ø£*qZ \+ãø√D düeT~«u≤VüQ Á‹uÛTÑ »+ ABC ˝À A
∠ A = ∠ C = 45o (m+<äT≈£î ?) and BC = AB (m+<äT≈£î ?)

BC = AB = a nqTø=qTeTT.

ô|<’ ë∏ >∑sd¡ t dæ<ëΔ+‘·+ Á|üø±s¡+ AC2 = AB2 + BC2

= a2 + a2 = 2a2,
AC = a 2 B
C
Á‹ø√D $Trj·T ìwüŒ‘·T\Ô ìs¡«#·Hê\ Á|üø±s¡+
450 ø√D+ jÓTTø£ÿ m<äT{Ï uÛÑT»+ bı&Ée⁄ BC a 1
o
sin 45 = = = =
ø£s¡í+ AC a 2 2

450 ø√D+ Ädüqï uÛÑT»+ AB a 1

o
cos 45 = = = =
ø£s¡í+ AC a 2 2

450 ø√D+ m<äT{Ï uÛTÑ »+ BC a 2

tan 45o = = = =1
0 AC a 2
45 ø√D+ Ädüqï uÛÑT»+

Ç<˚$<Û+ä >± cosec 45o, sec 45o eT]j·TT cot 45o. A

11.3.2 ø√D≤\T 30O eT]j·TT 60O\ Á‹ø√D$Trj·TìwüŒ‘·T\Ô T

Çø£ eTq+ 30o eT]j·TT 60o ø√D≤\ Á‹ø√D$Trj·T
ìwüŒ‘·T\Ô qT ø£qTø=ÿ+<ë+! yê{Ïì ø£qTø√ÿ&ÜìøÏ ˇø£ düeTu≤VüQ
Á‹uÛTÑ » düV‰ü j·÷ìï rdüT≈£î+<ë+. ˇø£ düeTu≤VüQÁ‹uÛTÑ »+˝À ˇø£
uÛTÑ »+ô|’ ^dæq \+ã+, <ëìì 30o, 60o eT]j·TT 90o ø√D≤\T
ø£*–q s¬ +&ÉT düs«¡ düe÷q \+ãø√D Á‹uÛTÑ C≤\T>± $uÛõÑ düT+Ô ~. B D C

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 Á‹ø√D$T‹ 279

ˇø£ düeTu≤VüQÁ‹uÛTÑ »+ ΔABC ì rdüTø√+&ç. Ç+<äT˝À Á|ü‹ ø√D+ 60o ñ+≥T+~. ø±e⁄q
∠ A = ∠ B = ∠ C = 60o eT]j·TT AB = BC = CA = 2a j·T÷ì≥T¢ nqTø√+&ç. os¡¸+ A qT+&ç uÛTÑ »+ BC
ô|ø’ Ï ˇø£ \+ã+ AD qT Á|üøÿ£ |ü≥+˝À #·÷|æq≥T¢ ^j·T+&ç.
á \+ã+ AD, ø√D+ A jÓTTø£ÿ ªªø√D düeT~«K+&Éq sπ Kμμ>± eT]j·TT uÛTÑ »+ BC jÓTTø£ÿ ªªdüeT~«K+&Éq
sπ Kμμ>± ≈£L&Ü |üì#˚dTü +Ô ~.
o
∴ ∠ BAD = ∠ CAD = 30 .
BC qT D _+<äTe⁄ s ¬ +&ÉT düe÷q uÛ≤>±\T>± #˚dTü +Ô ~, ø±e⁄q
1 2a
BD = BC = = a j·T÷ì≥T¢.
2 2
Á|üøÿ£ |ü≥+˝À \+ãø√D Á‹uÛTÑ »+ ABD ˝À
AB = 2a eT]j·TT BD = a j·T÷ì≥T¢
n|ü&ÉT AD2 = AB2 − BD2 (ô|<’ ë∏ >∑sd¡ t dæ<ëΔ+‘·+ Á|üø±s¡+)
= (2a)2 − (a)2 = 3a2.
∴ AD = a 3
Çø£ Á‹ø√D$Trj·T ìwüŒ‘·T\Ô ìs¡«#·Hê\ Ä<Ûës¡+>±
AD a 3 3
sin 60o = = =
AB 2a 2
BD a 1
cos 60o = = =
AB 2a 2

Ç<˚ $<Û+ä >± tan 60o = 3 (m+<äT≈£î?)

ô|q’ #Ó|Œæ q <ëì Ä<Ûës¡+>±, eTq+ cosec 60o, sec 60o eT]j·TT cot 60o \ $\Te\qT ≈£L&Ü
#Ó|üŒe#·TÃ.
Ç$ #˚j·T+&ç
cosec 60o, sec30o eT]j·TT cot 60o \ $\Te\T ø£qT>=q+&ç.
Á|üj·T‹ï+#·+&ç
sin 30o, cos30o, tan 30o, cosec 30o, sec30o eT]j·TT cot 30o $\Te\qT ø£qTø√ÿ+&ç.

11.3.3 ø√D≤\T 0 eT]j·TT 90 \ Á‹ø√D$Trj·T ìwüŒ‘·T\Ô T

O O

Ç+‘·es¡≈î£ eTq+ 30o, 45o eT]j·TT 60o\ Á‹ø√D$Trj·T ìwüŒ‘·T\Ô qT >∑T]+∫ #·]Ã+#ê+. Çø£
eTq+ 0o eT]j·TT 90o \ Á‹ø√D$Trj·T ìwüŒ‘·T\Ô $\Te\qT ø£qTø=ÿ+<ë+.

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 280 10e ‘·s>¡ ‹∑ >∑D‘Ï +·

AB øÏsD ¡ +ô|’ r bı&Ée⁄ ø£*qZ AC sπ U≤K+&É+ C

n\Œø√D+ #˚dTü +Ô <äqTø=qTeTT. _+<äTe⁄ B qT+&ç C
_+<äTe⁄ jÓTTø£ÿ m‘·TÔ BC. AB ô|’ AC #˚ùd ø√D+ r
Ç+ø± ø=+#Ó+ ‘·>π ≥Z ≥T¢ AB ô|ø’ Ï AC yê*+<äqTø=qTeTT
n|ü⁄&ÉT BC eT]j·TT AB \ bı&Ée⁄\˝À @+ e÷s¡TŒ
θ
edüT+Ô ~. A
B
á $<Û+ä >± ø√D+ A ‘·>T∑ ‘Z ÷· b˛‘·T+fÒ, AB øÏsD¡ +ô|’ C m‘·TÔ ‘·>T∑ ‘Z ÷· , _+<äTe⁄ B qT+&ç B1≈£î Ä
‘·sê«‘· B2 ≈£î e÷s¡T‘·÷ ñ+≥T+~.. Ç˝≤ Ä ø√D+ düTHêï nsTTq|ü⁄&ÉT m‘·TÔ (i.e. ø√D+ jÓTTø£ÿ m<äT{Ï uÛTÑ »+)
düTqï ne⁄‘·T+~ eT]j·TT ÄdüqïuÛTÑ »+ AC ˝À ø£*dæb˛‘·T+~ (düe÷qeTe⁄‘·T+~).
C C

A A
B B

Step (i) Step (ii)

Çø£ Á‹ø√D $Trj·T ìwüŒ‘·T\Ô $\Te\qT #·÷<ë›+.

BC AB
sin A = eT]j·TT cos A =
AC AC

A = 0o nsTT‘˚ BC = 0 eT]j·TT AC = AB = r
0 r
Çø£ sin 0o = =0 eT]j·TT cos 0o = =1
r r
sin A
eTq≈£î tan A = cos A
nì ‘Ó\TdüT
sin 0o 0
o
tan0 = = =0
cos 0o 1

Ä˝À∫+∫ #·]Ã+∫ sêj·T+&ç

á ÁøÏ+~ yê{Ïì MT ùdïVæ≤‘·T\˝À #·]Ã+#·+&ç.
1
1. cosec 0o = Ç~ ìs¡«∫+|üã&ÉT‘·T+<ë? m+<äT≈£î ?
sin 0º

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 Á‹ø√D$T‹ 281

1
2. cot 0o = ìs¡«∫+|üã&ÉT‘·T+<ë? m+<äT≈£î?
tan 0º
3. sec 0o = 1. m+<äT≈£î ?

Ç+‘·es¡≈î£ eTq+ ø√D≤ìï ‘·–+Z ∫ düTqï ø√D+

Á‹ø√D$Trj·T ìwüŒ‘·T\Ô qT #·]Ã+#ê+.
Çø£ eTq+ AB øÏsD¡ +ô|’ AC #˚ùd AB ø√D≤ìï
ô|+#·T‘·÷ b˛‘˚, AB ô|’ C m‘·÷Ô ô|s¡T>∑T‘·÷, _+<äTe⁄ B
qT+&ç X≈£î Ä ‘·sê«‘· Y≈£î e÷s¡T‘·÷ b˛‘·T+~. eTs=ø£
$<Û+ä >± #ÓbÕŒ\+fÒ ø√D+ A ô|s¡T>∑T‘·÷ b˛‘·T+fÒ m<äT{Ï
uÛTÑ »+ ô|s¡T>∑T‘·÷, Ädüqï uÛTÑ »+ ‘·>T∑ ‘Z ÷· ñ+≥T+~. ˇø£
düeTj·÷ìøÏ ø√D+ $\Te 90o \≈£î #˚]‘˚ @+ »s¡T>∑T‘·T+~?
Ä dü+<äs“¡ +¤ ˝À A ≈£î B #˚sT¡ ‘·T+~. AC ≈£î BC Step (i)
o
ø£*dæb˛‘·T+~. nq>± ø√D+ $\Te 90 nsTTq|ü⁄&TÉ uÛ÷Ñ $T
(ÄdüqïuÛTÑ »+) $\Te düTqï nsTT, BC (m<äT{Ï uÛTÑ »+) $\Te Áø£eT+>± ô|s¡T>∑T‘·÷ AC ≈£î düe÷qeTÚ‘·T+~.
nq>± r≈£î düe÷qeTÚ‘·T+~.

Step (ii) Step (iii)

Çø£ Á‹ø√D$Trj·T ìwüŒ‘·T\Ô $\Te\qT ø£qT>=+<ë+.

BC AB
sin A = eT]j·TT cos A =
AC AC

ø√D+ A = 90o nsTTq AB = 0 eT]j·TT AC = BC = r

r 0
n|ü⁄&ÉT sin 90o = =1 eT]j·TT cos 90o = =0
r r

Á|üj·T‹ï+#·+&ç
tan 90o, cosec 90o, sec 90o eT]j·TT cot 90o $\Te\qT ø£qT>=q+&ç.

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 282 10e ‘·s>¡ ‹∑ >∑D‘Ï +·

Çø£ eTq+, ô|q’ #·]Ã+∫q ø√D≤\ìï+{Ï Á‹ø√D$Trj·T ìwüŒ‘·T\Ô qT ˇø£ |ü{øºÏ £ s¡÷|ü+˝À #·÷<ë›+.
Table 11.1

∠A 0o 30o 45o 60o 90o

1 1 3
sin A 0 1
2 2 2
3 1 1
cos A 1 0
2 2 2
1
tan A 0 1 3 ìs¡«∫+#·ã&É<Tä
3
1
cot A ìs¡«∫+#·ã&É<Tä 3 1 0
3
2
sec A 1 2 2 ìs¡«∫+#·ã&É<Tä
3
2
cosec A ìs¡«∫+#·ã&É<Tä 2 2 1
3

Ä˝À∫+∫ #·]Ã+∫ sêj·T+&ç.

ø√D+ A $\Te 00 qT+&ç 900 ≈£î ô|s¡T>∑T‘·÷ b˛‘·T+fÒ sin A eT]j·TT cos A $\Te\T m˝≤
e÷s¡T‘·÷ ñ+{≤sTT? (ô|’ |ü{øºÏ q£ T >∑eTì+#·+&ç)
A > B nsTTq sin A > sin B nq&É+ düãuÒHê ?
A > B nsTTq cos A > cos B nq&É+ düãuÒHê ? #·]Ã+#·+&ç.

ñ<ëVü≤s¡D-4. B e<ä› \+ãø√D+ ø£*qZ ΔABC ˝À AB = 5 ôd+.MT eT]j·TT ∠ ACB = 30o nsTTq BC
eT]j·TT AC uÛTÑ C≤\ bı&Ée⁄\qT ø£qT>=q+&ç.
kÕ<Ûqä : ∠ ACB R 300 eT]j·TT AB R 5 ôd+.MT A
nì Çe«ã&ç+~. BCuÛTÑ »+ bı&Ée⁄qT ø£qT>=Hê\+fÒ
ø√D+ C |üs+¡ >± AB eT]j·TT BC øÏ dü+ã+~Û+∫q
Á‹ø√D$Trj·T ìwüŒ‹Ôì rdüTø√yê*. ø√D+ C ≈£î
BC øÏ dü+ã+~Û+∫q Á‹ø√D$Trj·T ìwüŒ‹Ôì
rdüTø√yê*. ø√D+ C ≈£î BC nH˚~ Ädüqï uÛTÑ »+
eT]j·TT AB nH˚~ m<äT{Ï uÛTÑ »+ ne⁄‘êsTT.
AB B C
ø±e⁄q = tan C
BC

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 Á‹ø√D$T‹ 283

5 1
i.e. = tan 30o =
BC 3

á $<Û+ä >± BC = 5 3 ôd+.MT

ô|<’ ë∏ >∑sd¡ t dæ<ëΔ+‘·+ Á|üø±s¡+
AC2 = AB2 + BC2

AC2 = 52 + (5 3 )2

AC2 = 25 + 75

AC = 100 = 10 ôd+.MT

ñ<ëVü≤s¡D-5. 6 ôd+.MT yê´kÕs¡+ú ø£*–q eè‘·+Ô ˝À ˇø£ C≤´ øπ +Á<ä+ e<ä› 60o ø√D+ #˚dTü +Ô ~. Ä C≤´ bı&Ée⁄qT
ø£qT>=q+&ç.

kÕ<Ûqä : OA = OB = 6 ôd+.MT yê´kÕs¡+ú

∠ AOB = 60o Çe«ã&çq~ á s√E˝À¢ eTq+
ñ|üj÷Ó –+#˚ ‘sine’
AB ô|ø’ Ï ‘O’ qT+&ç OC m‘·TÔ ^j·Tã&ç+~ nqTø=qTeTT.
nH˚ uÛ≤eq jÓTTø£ÿ
∠ COB = 30o. ñ|ü j Ó ÷ >∑ + yÓ T T≥º
yÓTT<ä≥>± 500A.D.
ΔCOB ˝À ˝À Äs¡´uÛÑ≥º <ë«sê
sêj· T ã&ç q ªªÄs¡ ´
BC
sin 30o = uÛÑ{°ºj·T+μμ˝À ø£ì|æ
OB
O düTÔ+~. n+<äT˝À
1 BC Bìì ªªns¡`ú C≤´μμ>± yê&Éã&ç+~. ‘·sê«‘·
= n~ ªªC≤´μμ>± ˝Ò<ë ªªõyêμμ>± ø±\Áø£yT˚ D≤
2 6
e÷]+~. ns¡_ø˘ uÛ≤wü˝À nqTe~+|üã&çq
6 Äs¡´uÛÑ{°ºj·T+˝À ªªõyêμμ jÓTTø£ÿ Á|üjÓ÷>∑+
BC = = 3. A C B
2 ø£ ì |æ d ü T Ô + ~. ‘· s ê«‘· ˝≤{Ï H é uÛ ≤ wü ˝ À
nqTe~+|ü ã &ç q ªªÄs¡ ´ uÛ Ñ { ° º j · T +μμ˝À
ø±ì, C≤´ bı&Ée⁄ AB = 2BC ªªõyêμμqT ªªsinus (ôdH’ )é μμ >± e÷]+~. Ä+>∑¢
K>√fi¯ XÊg Ä#ês¡T´&ÉT m&Éà+&é >∑T+≥sY
=2 × 3=6 ôd+.MT (1581–1626) yÓTT≥ºyTÓ T<ä≥>± ‘sine’ qT
∴ C≤´ bı&Ée⁄ = 6 ôd+.MT dü÷ø£å à+>± ‘sin’ >± ñ|üj÷Ó –+#ê&ÉT.

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 284 10e ‘·s>¡ ‹∑ >∑D‘Ï +·

ñ<ëVü≤s¡D-6. Q e<ä› \+ãø√D+ ñqï ΔPRQ ˝À PQ = 3 ôd+.MT eT]j·TT PR = 6 ôd+.MT nsTTq ∠QPR
eT]j·TT ∠ PRQ.
P
kÕ<Ûqä : PQ = 3 ôd+.MT eT]j·TT PR = 6 ôd+.MT

PQ
= sin R
PR
3 1
˝Ò<ë sin R = =
6 2 Q R
o
∴ ∠ PRQ = 30
Ç+ø±, ∠ QPR = 60o (m+<äT≈£î?)
>∑eTìø£ : ˇø£ \+ãø√D Á‹uÛTÑ »+˝À ˇø£ uÛTÑ »+ eT]j·TT Ç+ø=ø£ ø=\‘· (eTs=ø£ uÛTÑ »+ ˝Ò<ë ø√D+) Ç∫Ãq
$T–*q uÛTÑ C≤\T, ø√D≤\qT ø£qTø√ÿe#·TÃ.
1 1
ñ<ëVü≤s¡D-7. sin (A − B) = , cos (A + B) = , 0o < A + B < 90o, A > B nsTTq A eT]j·TT B
2 2
$\Te\T ø£qTø√ÿ+&ç.
1
kÕ<Ûqä : sin (A − B) = , A − B = 30o (m+<äT≈£î ?)
2
1
Ç+ø±, cos (A + B) = , nsTTq A + B = 60o (m˝≤ ?)
2
ô|’ s¬ +&ÉT düMTø£sD¡ ≤\ qT+&ç : A = 45o eT]j·TT B = 15o. (m˝≤ ?)

nuÛ≤´dü+ - 11.2
1. ÁøÏ+~ yê{Ï $\Te\qT ø£qT>=q+&ç. ÁøÏ+~ yê{Ïì >∑D+Ï #·+&ç.
cos 45o
(i) sin 45o + cos 45o (ii)
sec 30o + cosec 60o
sin 30o + tan45o − cosec 60o
(iii) (iv) 2tan245o + cos230o − sin2 60o
cot 45o + cos 60o − sec 30o
sec 2 60o − tan 2 60o
(v)
sin 2 30o + cos 2 30o
2. düs¬ q’ düe÷<ÛëHêìï m+#·Tø=ì, >∑T]Ô+#·+&ç.
2 tan 30o
(i)
1 + tan 2 45o
(a) sin 60o (b) cos 60o (c) tan 30o (d) sin 30o

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 Á‹ø√D$T‹ 285

1 − tan 2 45o
(ii)
1 + tan 2 45o

(a) tan 90o (b) 1 (c) sin 45o (d) 0

2 tan 30o
(iii)
1 − tan 2 30o

(a) cos 60o (b) sin 60o (c) tan 60o (d) sin 30o

3. sin 60o cos 30o + sin 30o cos 60o $\Te >∑D+
Ï #·+&ç. sin(60o + 30o) $\Te m+‘·? Bì qT+&ç
MTπs+ Á>∑V≤æ +#ês¡T.
4. cos(60o + 30o) = cos 60o cos30o − sin 60o sin 30o nq&É+ düãuÒHê?
5. Q e<ä›
\+ãø√D+ ø£*qZ ΔPQR ˝À PQ = 6ôd+.MT ∠ RPQ = 60o nsTTq QR eT]j·TT PR
$\Te\qT ø£qTø√ÿ+&ç.
6. Z ΔXYZ ˝À YZ = x
Y e<ä› \+ãø√D+ ø£*q eT]j·TT XY = 2x nsTTq ∠ YXZ eT]j·TT
∠ YZX \ $\Te\qT ìs¡sí TT+#·TeTT.
7. sin (A + B) = sin A + sin B nq&É+ düãuÒHê ? MT düe÷<ÛëHêìï düeT]ú+#·TeTT.

Ä˝À∫+∫ #·]Ã+∫ sêj·T+&ç.

cos θ cos θ
θ jÓTTø£ÿ @ \|òTü Tø√D $\Te≈£î (i) + =4 dü‘´· eTÚ‘·T+~?
1 − sin θ 1 + sin θ
ô|’ düMTø£sD¡ + 0o < θ < 90o \˝À @ $\Te\≈£î ìs¡«∫+#·ã&É<Tä ?
11.4 |üPs¡ø£ ø√D≤\ Á‹ø√D$Trj·T ìwüŒ‘·TÔ\ eT<Ûä´ dü+ã+<Ûä+
s¬ +&ÉT ø√D≤\ yÓTT‘·+Ô 90o nsTTq Ä ø√D≤\qT |üPs¡ø£ ø√D≤\T n+{≤s¡ì ‘Ó\TdüT ø£<ë! B e<ä›
\+ãø√D+ ø£*qZ ˇø£ \+ãø√D Á‹uÛTÑ »+ ABC qT rdüTø=+&ç. á
Á‹uÛTÑ »+˝À @yÓH’ ê |üPs¡ø£ ø√D≤\THêïj·÷? ˇø£ ø√D+ $\Te 900 C

ø±e⁄q, $T–*q ø√D≤\ yÓTT‘·+Ô 900 ne⁄‘·T+~ ø£<ë! (m+<äT≈£î?)

o
∴ ∠ A + ∠ C = 90 ø±e⁄q ∠ A eT]j·TT ∠ C \qT |üPs¡ø£
ø√D≤\T n+{≤+.
∠ A = x nqTø=qTeTT. n|ü⁄&ÉT x jÓTTø£ÿ ªªm<äT{ÏuTÑÛ »+μμ, BC
eT]j·TT AB ªÄdüqïuÛTÑ »+μ ne⁄‘êsTT. A B

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 286 10e ‘·s>¡ ‹∑ >∑D‘Ï +·

BC AB BC
sin x = cos x = tan x =
AC AC AB

AC AC AB
cosec x = sec x = cot x =
BC AB BC

∠ A + ∠ C = 90o ø±e⁄q ∠ C = 90o − ∠ A

Ç+ø± ∠ A = x nsTT‘˚ ∠ C = 90o − x

∠C |üs+¡ >± (90o − x) jÓTTø£ÿ m<äT{Ï uÛTÑ »+ AB eT]j·TT ÄdüqïuÛTÑ »+ BC ne⁄‘êsTT.

AB BC AB
sin(90o − x) = cos(90o − x) = tan(90o − x) =
AC AC BC

AC AC BC
Cosec(90o − x) = sec(90o − x) = cot(90o − x) =
AB BC AB

Çø£ xo eT]j·TT (90o − x) ø√D≤\ô|’ Á‹ø√D$Trj·T ìwüŒ‘·T\

Ô qT |ü]o*+∫, b˛\Ã>±

AB BC
sin(90o − x) = = cos x eT]j·TT cos(90o − x) = = sin x
AC AC

AB BC
tan(90o − x) = = cot x eT]j·TT cot(90o − x) = = tan x
BC AB

AC AC
cosec(90o − x) = = sec x eT]j·TT sec(90o − x) = = cosec x
AB BC

Ä˝À∫+∫ #·]Ã+∫ sêj·T+&ç.

A jÓTTø£ÿ 0o < A < 900 jÓTTø£ÿ ‘Ó*dæq nìï $\Te\≈£î øÏ+~ dü÷Á‘ê\T düeT+»düyT˚ Hê?
dü]#·÷&É+&ç.
sin (90o − A) = cos A cos (90o − A) = sin A
tan (90o − A) = cot A eT]j·TT cot (90o − A) = tan A
sec (90o − A) = cosec A cosec (90o − A) = sec A

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 Á‹ø√D$T‹ 287

Ç+ø± ø=ìï ñ<ëVü≤s¡D\qT #·÷<ë›+.

sec35o
ñ<ëVü≤s¡D-8. qT >∑D+Ï #·TeTT.
cosec55o
kÕ<Ûqä : cosec A = sec (90o − A)
cosec 55o = sec (90o − 35o)

cosec 55o = sec 35o

sec35o sec35o
Çø£ = =1
cosec65o sec35o

ñ<ëVü≤s¡D-9. cos 7A = sin(A − 6o) Ç+ø± 7A n\Œø√D+ nsTTq A $\Te m+‘·?

kÕ<Ûqä : cos 7A = sin(A − 6o) nì Çe«ã&ç+~ ...(1)
sin (90 − 7A) = sin (A − 6o)
7A \|òTü Tø√D+ ø±e⁄q (900 − 7A) eT]j·TT (A − 6o) \T ≈£L&Ü \|òTü Tø√D≤˝e⁄‘êsTT.
90o − 7A = A − 6o
8A = 96o
A = 12o.

ñ<ëVü≤s¡D-10. sin A = cos B nsTTq A + B = 90º nì #·÷|ü⁄eTT.

kÕ<Ûqä : sin A = cos B nì Çe«ã&ç+~ ...(1)

cos B = sin (90o − B) nì ‘Ó\TdüT

ø±e⁄q sin A = sin (90o − B)

A, B \|òTü Tø√D≤\T nsTTq A = 90o − B

o
⇒ A + B = 90 .

ñ<ëVü≤s¡D-11. sin 81o + tan 81o $\TeqT 0o eT]j·TT 45o eT<Û´ä Á‹ø√D$Trj·T ìwüŒ‘·T\Ô ˝À #·÷|ü⁄eTT.
kÕ<Ûqä : sin 81o = cos(90o − 81o) = cos 9o

tan 81o = tan(90o − 81o) = cot 9o

nsTTq, sin 81o + tan 81o = cos 9o + cot 9o

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 288 10e ‘·s>¡ ‹∑ >∑D‘Ï +·

ñ<ëVü≤s¡D-12. Á‹uÛTÑ »+ ˝Àì ABC ˝Àì n+‘·s¡ ø√D≤\T A, B eT]j·TT C \T nsTTq

B+ C A
sin = cos
2 2
kÕ<Ûqä : A, B eT]j·TT C \T Δ ABC ˝Àì ø√D≤\T ø±e⁄q
A + B + C = 180o.

Çs¡TyÓ|’ ⁄ü \ 2 #˚ uÛ≤–+#·>±
A B+C
+ = 90o
2 2
B+C A
= 90o −
2 2

Çs¡TyÓ|’ ⁄ü \ Á‹ø√D$Trj·T ìwüŒ‹Ô sin rdüTø=q>±

⎛ B + C⎞ ⎛ A⎞
sin ⎜ ⎟ = sin ⎜ 90o − ⎟
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2⎠
⎛ B + C⎞ A
sin ⎜ ⎟ = cos ; ìs¡÷|æ+#·ã&ç+~.
⎝ 2 ⎠ 2

nuÛ≤´dü+ 11.3
1. $\Te ø£qTø√ÿ+&ç.
tan 36o
(i) (ii) cos12o − sin78o (iii) cosec 31o − sec 59o
cot 54o
(iv) sin 15o sec 75o (vi) tan 26o tan64o
2. ìs¡÷|æ+#·+&ç.
(i) tan 48o tan 16o tan 42o tan 74o = 1
(ii) cos36o cos 54o − sin360 sin 54o = 0.
3. tan 2A = cot(A − 18o), 2A \|òTü Tø√D+ nsTTq A $\Te ø£qTø√ÿ+&ç.
4. A, B \T \|òTü Tø√D≤\T eT]j·TT tanA = cot B nsTTq A + B = 90o.
⎛A+B⎞ C
5. A, B eT]j·TT C \T Δ ABC ˝Àì n+‘·s¡ ø√D≤\sTTq tan ⎜ ⎟ = cot
⎝ 2 ⎠ 2
o o o o
6. sin 75 + cos 65 qT 0 eT]j·TT 45 eT<Û´ä >∑\ $\Te\ Á‹ø√D$Trj·T ìwüŒ‘·T\Ô ˝À ‘Ó\TŒeTT.

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 Á‹ø√D$T‹ 289

11.5 Á‹ø√D$Trj·T düs¡«düMTø£s¡D≤\T

#·ss¡ êX¯ó\ nìï $\Te\≈£î ˇø£ >∑D‘Ï · düMTø£sD¡ eTT dü‘´· yÓT‘Æ ˚ ÄdüMTø£sD¡ ≤ìï düs«¡ düMTø£sD¡ + n+{≤s¡T.
ñ<ëVü≤s¡D≈£î (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab
Ç<˚ $<Û+ä >± Á‹ø√D$Trj·T ìwüŒ‘·T\Ô Ä<Ûës¡+>± @s¡Œ&çq düs«¡ düMTø£sD¡ ≤ìï Á‹ø√D$Trj·T düs«¡ düMTø£sD¡ +
n+{≤s¡T. Ç+ø± á düs«¡ düMTø£sD¡ + Á‹ø√D$Trj·T ìwüŒ‘·T\Ô nìï ø√D≤\≈£î dü‘´· + ne⁄‘·T+~. Çø£ÿ&É, eTqeTT
Á‹ø√D$Trj·T düs«¡ düMTø£sD¡ ≤\qT ñ‘êŒ~<ë›+!
B e<ä› \+ãø√D+ ø£*–q Á‹uÛTÑ »+ ABC ˝À ô|< ’ ë∏ >∑sd¡ t dæ<ëΔ+‘·+ Á|üø±s¡+
2 2 2
∴ AB + BC = AC ....(1)

Çs¡TyÓ|’ ⁄ü \ AC2 #˚ uÛ≤–+#·>±

A
2 2 2
AB BC AC
⇒ 2
+ 2
=
AC AC AC2

2 2 2
⎡ AB ⎤ ⎡ BC ⎤ ⎡ AC ⎤
⎢ AC ⎥ +⎢ ⎥ =⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ AC ⎦ ⎣ AC ⎦

(cos A)2 + (sin A)2 = 1 C B

eTq+ kÕ<Ûës¡D+>± (cos A)2≈£î ã<äT\T>± cos2A

>± sêkÕÔ+. ø±ì cos A2 >± sêj·T+.
(cos A)2 = cos2A (cos A2 >± sêj·T≈£L&É<Tä )

ø±e⁄q düs«¡ düMTø£sD¡ + cos2 A + sin2 A = 1

ô|’ düMTø£sD¡ +˝À ø√D+ AqT #·ss¡ ê•>± |ü]>∑DkÏ ÕÔ+. Ç+ø± á düMTø£sD¡ + A jÓTTø£ÿ nìï
$\Te\≈£î dü‘´· + ne⁄‘·T+~.
A
∴ ø±e\dæq Á‹ø√D$Trj·T düs«¡ düMTø£sD ¡ +
cos2A + sin2A = 1
eTq+ Ç+ø=ø£ düs«¡ düMTø£sD¡ ≤ìï #·÷<ë›+.
düMTø£sD¡ + (1) qT+&ç
AB2 + BC2 = AC2
B C
B
Çs¡TyÓ|’ ⁄ü ˝ AB2 #˚ uÛ≤–+#·>±
AB2 BC2 AC2
⇒ + =
AB2 AB2 AB2

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 290 10e ‘·s>¡ ‹∑ >∑D‘Ï +·

2 2 2
⎛ AB ⎞ ⎛ BC ⎞ ⎛ AC ⎞
⎜ ⎟ +⎜ ⎟ =⎜ ⎟
⎝ AB ⎠ ⎝ AB ⎠ ⎝ AB ⎠
2 2
∴ 1 + tan A = sec A
Ç<˚$<Û+ä >± düMTø£sD¡ +(1) ì Çs¡TyÓ|’ ⁄ü \ BC2 #˚ uÛ≤–+#·>± cot2A + 1 = cosec2A edüT+Ô ~.
ô|’ düs«¡ düMTø£sD¡ ≤\qT ñ|üj÷Ó –+∫, eTq+ ˇø£ Á‹ø√D$Trj·T ìwüŒ‹Ôì eTs=ø£ Á‹ø√D$Trj·T
ìwüŒ‹Ô˝À dü÷∫+#·e#·TÃ. Ç+ø± eTq+ ˇø£ ø√D+ jÓTTø£ÿ ìwüŒ‹Ô ‘Ó*ùdÔ $T–*q ìwüŒ‘·T\Ô qT ≈£L&É ø£qTø√ÿe#·TÃ.

Ä˝À∫+∫ #·]Ã+∫ sêj·T+&ç.

00 < A < 900 nìï $\Te\≈£î Á‹ø√D$Trj·T düs«¡ düMTø£sD¡ ≤\T dü‘´· y˚THê?
l sec2 A − tan2A = 1 l cosec2A − cot2A = 1

Ç$ #˚j·T+&ç
15
(i) sin C = , nsTTq cos A $\Te ø£qT>=qTeTT.
17
5
(ii) tan x = , nsTTq sec x $\Te ø£qT>=qTeTT.
12
25
(iii) cosec θ = , nsTTq cot x $\TeqT ø£qT>=qTeTT.
7

Á|üj·T‹ï+#·+&ç
ÁøÏ+~ yê{Ï $\Te\qT düø±s¡D+>± ø£qT>=qTeTT
sin 2 15o + sin 2 75o
(i) (ii) sin 5o cos 85o + cos5o sin 85o
cos 2 36o + cos 2 54o

(iii) sec 16o cosec 74o − cot 74o tan 16o.

ñ<ëVü≤s¡D-13. cot θ + tan θ = sec θ cosec θ ìs¡÷|æ+#·+&ç.

kÕ<Ûqä : LHS = cot θ + tan θ
cos θ sin θ
= + (m+<äT≈£î ?)
sin θ cos θ
cos 2 θ + sin 2 θ
=
sin θ cos θ

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 Á‹ø√D$T‹ 291

1
= (m+<äT≈£î ?)
sin θ cos θ

1 1
= = cosecθ sec θ
sin θ cos θ

ñ<ëVü≤s¡D-14. tan2θ + tan4θ = sec4θ − sec2θ ìs¡÷|æ+#·+&ç

kÕ<Ûqä : L.H.S. = tan2θ + tan4θ
= tan2θ (1 + tan2θ)
= tan2θ . sec2θ (m+<äT≈£î ?)
2 2
= (sec θ − 1) sec θ (m+<äT≈£î ?)

= sec4θ − sec2θ = R.H.S

1 + cos θ
ñ<ëVü≤s¡D-15. = cosec θ + cot θ ìs¡÷|æ+#·+&ç.
1 − cos θ
1 + cos θ
kÕ<Ûqä : LHS = (1 + cos θ #˚ >∑TDÏ+∫ uÛ≤–+#·>±)
1 − cos θ
1 + cos θ 1 + cos θ
= .
1 − cos θ 1 + cos θ
(1 + cos θ)2
=
1 − cos2 θ
(1 + cos θ)2
= (m+<äT≈£î ?)
sin 2 θ
1 + cos θ
=
sin θ
1 cos θ
= + = cosecθ + cot θ = R.H.S.
sin θ sin θ

nuÛ≤´dü+ 11.4
1. øÏ+~ yê{Ïì dü÷ø°àå ø£]+#·+&ç :
(i) (1 + tan θ + sec θ) (1 + cotθ − cosec θ)
(ii) (sin θ + cos θ)2 + (sin θ − cos θ)2

(iii) (sec2θ − 1) (cosec2θ −1)

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 292 10e ‘·s>¡ ‹∑ >∑D‘Ï +·

1 − cos θ
2. (cosec θ − cot θ)2 = nì #·÷|æ+#·+&ç ?
1 + cos θ
1 + sin A
3. = sec A + tan A #·÷|ü+&ç?
1 − sin A
1 − tan 2 A
4. 2
= tan 2 A #·÷|ü+&ç ?
cot A − 1
1
5. − cos θ = tan θ.sin θ #·÷|ü+&ç?
cos θ

6. secA (1 − sinA) (secA + tanA) dü÷ø°àå ø£]+#·+&ç.

7. (sinA + cosec A)2 + (cosA + secA)2 = 7 + tan2A + cot2A nì ìs¡÷|æ+#·+&ç?
8. (1 − cos θ) (1 +cosθ) (1 + cot2θ) dü÷ø°àå ø£]+#·+&ç?
9. secθ + tan θ = p ◊‘˚ secθ − tan θ $\Te m+‘·?
k2 −1
10. cosecθ + cot θ = k ◊‘˚ cosθ = 2 $\Te m+‘·?
k +1
◊∫äø£ nuÛ≤´dü+
[á nuÛ≤´dü+ |üØø£\å ˝À |üØøÏ+å #·&ÜìøÏ ñ<˚•Δ +∫q~ ø±<äT]
cot θ − cos θ cos ecθ − 1
1. = ìs¡÷|æ+#·+&ç.
cot θ + cos θ cos ecθ + 1
sin θ − cos θ + 1 1
2. = ìs¡÷|æ+#·+&ç
sin θ + cos θ − 1 s ecθ − tan θ

(sec2θ=1+tan2 θ düs«¡ düMTø£sD

¡ ≤ìï ñ|üj÷Ó –+∫).
1
3. (cosec A − sin A) (sec A − cos A) = nì ìs¡÷|æ+#·+&ç.
tan A + cot A
1 + sec A sin 2 A
4. = nì ìs¡÷|æ+#·+&ç.
sec A 1 − cos A
⎛ 1 + tan 2 A ⎞ ⎛ 1 + tan A ⎞ 2 2
5. ⎜⎝ 1 + cot 2 A ⎟⎠ = ⎜⎝ 1 − cot A ⎟⎠ = tan A nì #·÷|ü+&ç.

⎡ (sec A −1) ⎤ ⎡ (1− cos A) ⎤

6. ⎢ ⎥=⎢ ⎥ nì ìs¡÷|æ+#·+&ç.
⎢ (sec A + 1) ⎥ ⎢⎣ (1 + cos A) ⎥⎦
⎣ ⎦

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 Á‹ø√D$T‹ 293

eTq+ @$T #·]Ã+#ê+

1. B e<ä› \+ã ø√D+ ø£*–q \+ãø√D Á‹uÛTÑ »+ ABC ˝À
ø√D+ A q≈£î m<äT{Ï uÛÑT»+ , ø√D+ A q≈£î Ädüqï uÛÑT»+
sin A = cos A =
ø£s¡í+ ø£s¡í+

1 1 sin A 1
2. cosec A = ; s ecA = ; tan A = , tan A =
sin A cos A cos A cot A

3. ˇø£ \|òTü Tø√D+ jÓTTø£ÿ ˇø£ÿ Á‹ø√D$Trj·T ìwüŒ‹Ô $\Te ‘Ó*ùdÔ $T>∑‘ê ìwüŒ‘·T\Ô qT ≈£L&É ø£qTø√ÿe#·TÃ.
4. 0o, 30o, 45o, 60o eT]j·TT 90o \ Á‹ø√D$Trj·T ìwüŒ‘·T\
Ô $\Te\T.
5. sin A ˝Ò<ë cos A \ $\Te\T m|üŒ{ÏøÏ 1 ø£+fÒ ‘·≈î£ ÿe>±qT ˝Ò<ë düe÷q+>± ñ+{≤sTT. ø±ì
sec A ˝Ò<ë cosec A \ $\Te\T m|üŒ{ÏøÏ 1 ø£+fÒ m≈£îÿe>±qT ˝Ò<ë düe÷q+>±qT ñ+{≤sTT.
6. sin (90o− A) = cos A, cos (90o− A) = sin A
tan (90o− A) = cot A, cot (90o− A) = tan A
sec A (90o− A) = cosec A, cosec (90o− A) = sec A
7. sin2 A + cos2 A = 1
sec2 A − tan2 A = 1 for 0o < A < 90o
cosec2 A − cot2 A = 1 (0o < A < 90o)

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 294 10e ‘·s>¡ ‹∑ >∑D‘Ï +·

n<Ûë´j·TeTT

12 Á‹ø√D$T‹ nqTes¡ÔHê\T
(Applications of Trigonometry)

12.1 |ü]#·j·T+
Á|ü|+ü #·+˝À n‹ m‘ÓqÔ’ |üs«¡ ‘· •Ks¡+ ªªme¬sdüTº •Ks¡+μμ nì, <ëì m‘·TÔ 8848 MT≥s¡T¢ nì kÕ+|òTæ ø£
XÊg+˝À #·<Tä e⁄ø=H˚ ñ+{≤s¡T.
Ä~˝≤u≤<é õ˝≤¢˝Àì ≈£î+{≤\ »\bÕ‘·+ Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ sêh+˝ÀH˚ n‹ m‘ÓqÔ’ ªªÁbÕø£è‹ø£ »\bÕ‘·+μμ nì,
<ëì m‘·TÔ 147 n&ÉT>∑T\T nì mø£ÿ&Óq’ #·<Tä e⁄ø=H˚ ñ+{≤s¡T.
M{Ï m‘·T\Ô T @ $<Û+ä >± ø=*∫ ñ+{≤s¡T ? MTs¡T MT bÕsƒX¡ Ê\ uÛeÑ q+ m‘·TqÔ T >±ì, MT #·T≥Tº Á|üøÿ£ \
˝Àì m‘ÓqÔ’ #Ó≥Tº m‘·TqÔ T >±ì ø£qTø√ÿ>∑\sê ? á $<ÛëHêìï ø=ìï ñ<ëVü≤s¡D\ <ë«sê ‘Ó\TdüTø=H˚ Á|üjT· ‘·ï+
#˚<ë›+.

$»j·T yê] Ç+{Ï <ä>]Z∑ ‘ê{Ï #Ó≥Tº m‘·TqÔ T ø£qTø√ÿyê\qT

≈£î+~. ÄyÓT #Ó≥Tº #Ó≥Tºô|’ ø=qqT >∑T]Ô+∫+~. ªªÄyÓTø£qTïμμ eT]j·TT
ªª#Ó≥Tº ô|’ ø=qμμ ø£*ù| ˇø£ sπ KqT }Væ≤+∫+~. á sπ KqT ªª<äèwæsπº Kμμ
n+{≤s¡T. Ç+ø± ÄyÓT ‘·q ø£+{Ï qT+&ç ªøÏ‹å » düe÷+‘·s¡ sπ KμqT
ight

}Væ≤+∫+~.
èä wosπºæ fKs

Çø£ÿ&É ªª<äèwæsπº Kμμ, ªªøÏ‹å » düe÷+‘·s¡ sπ Kμμ eT]j·TT ªª#Ó≥Tºμμ\T }s¡«ú

Angle of
Lin<e

ˇø£ \+ãø√D Á‹uÛTÑ C≤ìï @s¡Œs¡TdüTHÔ êïsTT. ø√D+

elevation
θ
#Ó≥Tº m‘·TqÔ T ø£qTø√ÿ&ÜìøÏ ÄyÓT á Á‹uÛTÑ »+˝À ˇø£ ø√D+, ˇø£
ªªuÛTÑ »+μμ ‘Ó\TdüTø√yê*. n+‘˚ !
“øÏ‹å » düe÷+‘·ssπ¡ Kμμ≈£î ªª<äèwæsπº Kμμ ô|q’ ñ+fÒ øÏ‹å » düe÷+‘·s¡
sπ K‘√ <äèwæsπº K #˚jT· T ø√D≤ìï ªª}s¡«ú ø√D+μμ n+{≤s¡T.

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 Á‹ø√D$T‹ nqTes¡HÔ ê\T 295

MTs¡T MT bÕsƒX¡ Ê\ uÛeÑ q+ô|’ øÏ‹å Horizontal

» düe÷+‘·line s¡ sπ K
ì\ã&ç ñHêïs¡ q Tø√+&ç . MT θ ìeTïø√D+
Angle of depression
bÕsƒX¡ Ê\ Äes¡D˝Àì uÀ]+>¥ MT
bÕsƒ ¡ X Ê\ uÛ Ñ e q+ qT+&ç m+‘· Li <
neèä w
<ä÷s¡+˝À ñ+<√ ‘Ó\TdüTø√yê\qT osπºæ f K
sig
ht
ø√+&ç. <ëì ø=s¡≈£î Ä uÀ]+>¥
n&ÉT>∑T uÛ≤>±ìï |ü]o*+#ê*.
n|ü⁄&TÉ ,ªªøÏ‹å » düe÷+‘·s¡ sπ Kμμ
≈£î <äèwæº πsK ÁøÏ+~øÏ ñ+≥T+~.
Ç#·Ã≥, øÏ‹å » düe÷+‘·s¡ sπ K‘√ <äèwæº
sπ K #˚jT· T ø√D≤ìï ªªìeTïø√D+μμ n+{≤s¡T.
düsπ «j·Ts¡T #ê˝≤ e+<ä\ j˚T+&É¢ qT+&çjT˚ Á‹ø√D$T‹ì yê&ÉT‘·÷ ñHêïs¡T. yês¡T düsπ « #˚ùd Á|üÁøÏjT· ˝À
}s¡«ú ø√D+, ìeTïø√D≤\qT ø£qTø√ÿ&ÜìøÏ ªª~Ûj÷Ó &É˝{’… Ÿμ nH˚ |ü]ø£sêìï yê&É‘ês¡T. 19e X¯‘êã›+˝À
ªªÁπ>{ŸÁ{Ï>H∑ ê yÓTÁ{Ïø˘ düsπ «μμ ù|s¡T‘√ Á_{Ïwt Ç+&çj÷· uÛ≤s¡‘<· X˚ +¯ ˝À düsπ « #˚jT· &ÜìøÏ s¬ +&ÉT ô|<ä›
ªª~∏j÷Ó &É˝{’… Ÿμμ\qT ‘·j÷· s¡T #˚sTT+∫+~. Ä düsπ « »s¡T>∑T‘·T+&É>±, 1852˝À Á|ü|+ü #·+˝ÀH˚ ˇø£ n‹
ô|<ä› |üs«¡ ‘· •Ksêìï uÛ≤s¡‘<· X˚ +¯ ˝À ø£qT>=Hêïs¡T. 160 øÏ.MT. <ä÷s¡+ qT+&ç #·T≥Tº ñqï Äs¡T $_Ûqï
≈£L&Éfi¢¯ qT+&ç |ü]o*+∫ |üs«¡ ‘·+ jÓTTø£ÿ m‘·TqÔ T ø£qT>=Hêïs¡T. 1856 ˝À Ä düsπ « #˚dqæ n~Ûø±]jÓTÆ q
ªªdüsY C≤sY® me¬sdtμº μ >ös¡yês¡+ú n •KsêìøÏ n‘·ì ù|s¡T ô|≥º&+É »]–+~. yÓTT≥ºyTÓ T<ä≥>± n‘·&TÉ
ñ|üj÷Ó –+∫q Ä ~∏j÷Ó &É˝{’… Ÿ\qT &ÓôV≤sê&É÷Hé˝Àì düsπ «Ä|òt Ç+&çj÷· eT÷´õj·T+˝À dü+<äsÙ¡ Hês¡+ú
ô|{≤ºsT¡ .

12.2 düeTdü´\ kÕ<Ûäq≈£î |ü{≤\T ^<ë›+

m‘·T\Ô T eT]j·TT <ä÷sê\≈£î dü+ã+~Û+∫q düeTdü´\T kÕ~Û+#·&ÜìøÏ |ü{≤\qT ^ùd≥|ü&ÉT øÏ+~ $wüj÷· \qT
<äèwæ˝º À ô|≥Tºø√yê*.
(i) >∑D‘Ï · |üs+¡ >± kÂ\uÛ´Ñ + ø=s¡≈î£ ≥es¡T,¢ #Ó≥T¢, uÛeÑ Hê\T, z&É\T, |üs«¡ ‘ê\T yÓTTˆˆ yê{Ïì sπ Fj·T+>±H˚
|ü]>∑Dq˝ÀøÏ rdüTø√yê*.
(ii) }s¡«ú ø√D+ ˝Ò<ë ìeTï ø√D≤ìï øÏ‹å » düe÷+‘·s¡ sπ K Ä<Ûës¡+>±H˚ rdüTø√yê*.
(iii) düeTdü´˝À |ü]o*düTqÔ ï e´øÏÔ m‘·TÔ Çe«qf…‘Ì¢ ,˚ n‘·&ç m‘·TqÔ T ñù|øÏ+å ∫ düeTdü´qT kÕ~Û+#ê*.
m‘·T\Ô T eT]j·TT <ä÷sê\≈£î dü+ã+~Û+∫q düeTdü´\qT kÕ~Û+#˚ Áø£eT+˝À, }s¡«ú , ìeTï ø√D≤\‘√ Ä
dü+<äsꓤ\qT C≤´$Trj·T+>± }Væ≤+#ê*‡ ñ+≥T+~. düeTdü´\qT kÕ~Û+#·{≤ìøÏ yê{ÏøÏ dü+ã+~Û+∫q |ü{≤\qT
^j·T&É+ #ê˝≤ eTTK´+. Ä |ü{≤\ Ä<Ûës¡+>± düT\uÛ+Ñ >± düeTdü´\qT kÕ~Û+#·e#·TÃ. Çø£ ø=ìï ñ<ëVü≤s¡D\qT
#·÷<ë›+.
ñ<ëVü≤s¡D-1. |ü]o\≈£îì qT+&ç d MT≥s¡¢ <ä÷s¡+˝À qTqï ˇø£ ø±¢ø˘ ≥esY jÓTTø£ÿ ô|’ ø=q α0 }s¡«ú ø√D+
#˚dTü +Ô ~. á dü+<äsꓤìøÏ |ü{≤ìï ^j·T+&ç.

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 296 10e ‘·s>¡ ‹∑ >∑D‘Ï +·

kÕ<Ûqä : düeTdü´ Ä<Ûës¡+>± á ÁøÏ+~ |ü≥+ ^j·Te#·TÃ.

A

α α
B C
d d

ñ<ëVü≤s¡D-2. ]+øÏ yÓTT<ä{Ï n+‘·dTü ˝ú Àì u≤\ÿ˙ qT+&ç ãj·T{Ï uÛ÷Ñ $Tô|’ qTqï |üPe⁄qT β0 ìeTïø√D+‘√
#·÷düT+Ô ~. yÓTT<ä{Ï n+‘·dTü ú m‘·TÔ ª x μ MT≥s¡T.¢ á dü+<äs“¡ +¤ ˝À |ü{≤ìï ^j·T+&ç.
kÕ<Ûqä :

D A
β β

x
β
β C B
Çø£ÿ&É ∠DAC = ∠ACB = β (m+<äT≈£î ?)
ñ<ëVü≤s¡D-3. ˇø£ ô|<ä› Á‘ê&ÉT düV‰ü j·T+‘√ ˇø£ ô|<ä› u…\÷Hé >±*˝À ‘˚\T‘·T+~. ˇø£ uÛeÑ q+ô|’ qTqï ˇø£
e´øÏÔ <ëìô|’ uÛ≤>±ìï θ1 }s¡«ú ø√D+‘√ eT]j·TT Á‘ê&ÉT n&ÉT>∑TuÛ≤>±ìï θ2 ìeTïø√D+‘√ |ü]o*+#ê&ÉT. Ä
uÛeÑ q+ m‘·TÔ h n&ÉT>∑T\T. á dü+<äsꓤìøÏ |ü{≤ìï ^j·T+&ç.
kÕ<Ûqä : Çø£ÿ&É eTq+ >∑eTì+#·>±
∠BDA = ∠DAE (m+<äT≈£î ?)
C

θ1 θ1
D B
θ2 θ2

θ2 θ2
E A

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 Á‹ø√D$T‹ nqTes¡HÔ ê\T 297

Ç$ #˚j·T+&ç
1. øÏ+~ dü+<äsꓤ\≈£î |ü{≤\qT ^j·T+&ç.
(i) ˇø£ e´øÏÔ ªα μ }s¡«ú ø√DeTT‘√ ˇø£ >±* |ü{≤ìï m>∑Ts¡yd˚ Tü HÔ êï&ÉT. >±* |ü{≤ìï ‘A’
bı&Ée⁄ >∑\ <ës¡+‘√ m>∑Ts¡yd˚ Tü HÔ êï&ÉT. á dü+<äsꓤìøÏ |ü{≤ìï ^j·T+&ç.
(ii) ˇø£ q~ jÓTTø£ÿ ˇø£ yÓ|’ ⁄ü ñqï ªhμ m‘·T>Ô \∑ #Ó≥Tºô|’ qT+&ç q~ jÓTTø£ÿ s¬ +&ÉT rsê\qT θ1
eT]j·TT θ2 (θ1 < θ2 ) ìeTï ø√D≤\‘√ ˇø£ e´øÏÔ |ü]o*+#ê&ÉT q~ yÓ&\É TŒ ‘d’
nsTTq á dü+<äsꓤìøÏ |ü{≤ìï ^j·T+&ç..

Ä˝À∫+∫ #·]Ã+∫ sêj·T+&ç.

1. MT bÕsƒX¡ Ê\ uÛeÑ q+ qT+&ç ªd μ <ä÷s¡+˝À >∑\ _+<äTe⁄ qT+&ç uÛeÑ q+ô|’ uÛ≤>±ìï ªαμ }s¡«ú ø√DeTT‘√
|ü]o*+#ês¡T.
á bÕsƒX¡ Ê\ uÛeÑ q+ m‘·TqÔ T ø£qT>=q&ÜìøÏ @ Á‹ø√D$Trj·T ìwüŒ‹Ôì m+#·Tø=+{≤s¡T ?
2. ªxμ MT≥s¡¢ bı&Ée⁄ >∑\ ˇø£ ì#ÓÃq uÛ÷Ñ $T‘√ θ ø√D+ #˚d÷ü Ô ˇø£ >√&É≈î£ y˚jT· ã&çñ+~. ì#ÓÃq ô|’
uÛ≤>∑+ düè•+∫q >√&ÉkÕúq+ jÓTTø£ÿ m‘·TqÔ T ø£qTø√ÿ&ÜìøÏ @ Á‹ø√D$Trj·T ìwüŒ‹Ôì m+#·Tø√yê*?
Ç+‘·es¡≈î£ eTq+ m‘·T\Ô T eT]j·TT <ä÷sê\≈£î dü+ã+~Û+∫q |ü{≤\qT ^j·T&É+, C≤´$Trj·T+>±
yê{Ïì }Væ≤+#·&+É #·]Ã+#ê+. Çø£ eTq+ m‘·T\Ô T eT]j·TT <ä÷sê\qT ø£qT>=H˚ $<ÛëHêìï #·]Ã<ë›+.
ñ<ëVü≤s¡D-4. ˇø£ u≤\T&ÉT ˇø£ $<äT´‘Y dü+ú uÛ+Ñ n&ÉT>∑T uÛ≤>∑+ qT+&ç 8 MT≥s¡¢ <ä÷s¡+˝À qTqï _+<äTe⁄ qT+&ç
$<äT´‘Y dü+ú uÛ+Ñ ô|’ uÛ≤>±ìï 60º }s¡«ú ø√D≤\‘√ |ü]o*+#ê&ÉT. Ä dü+ú uÛ+Ñ m‘·TqÔ T ø£qTø√ÿ+&ç.
A
kÕ<Ûqä : |ü≥+ qT+&ç, Á‹uÛTÑ »+ OAB qT+&ç
OB = 8 MT≥s¡T¢
∠AOB = 60º
h
dü+Ô uÛ+Ñ m‘·TÔ = AB = h MT≥s¡T¢ nqTø=q>±
60º
O B
8 MT8 m
(ΔOAB ˝À ∠AOB jÓTTø£ÿ Ädüqï uÛTÑ »+ $\Te eTq≈£î ‘Ó\TdüT. eTq+ ªªm<äT{Ï uÛTÑ »+μμ $\TeqT
ø£qTø√ÿyê*. ø±e⁄q Ädüqï uÛTÑ »+ eT]j·TT m<äT{Ï uÛTÑ C≤\ ìwüŒ‹Ô “tan” qT |ü]>∑D+Ï #ê*).
AB
tan 60º =
OB

h
3= h = 8 3 MT.
8

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 298 10e ‘·s>¡ ‹∑ >∑D‘Ï +·

ñ<ëVü≤s¡D-5. ˇø£ ôV≤*ø±|üsº ˝Y À ñqï sêCÒ+<äsY uÛ÷Ñ $Tô|’ qTqï ˇø£ e´øÏìÔ 45º ìeTïø√D+˝À |ü]o*+#ê&ÉT.
uÛ÷Ñ $Tô|’ qT+&ç ôV≤©ø±|üsº Y 500 MT≥s¡¢ m‘·T˝Ô À m>∑Ts¡T‘·÷ ñ+fÒ, sêCÒ+<äs≈Y î£ , Ä e´øÏÔ m+‘· <ä÷s¡+˝À
ñHêï&ÉT. P O
º
45
kÕ<Ûqä : |ü≥+ qT+&ç, Á‹uÛTÑ »+ OAB ˝À
OA = 50 MT≥s¡T¢ x
50 m
50 MT
∠POB = ∠OAB = 45º (m+<äT≈£î ?)
OB = sêCÒ+<äsY qT+&ç e´øÏÔ <ä÷s¡+ = x.
45º
B
A

(Á‹uÛTÑ »+ OAB ˝À ∠OBA jÓTTø£ÿ m<äT{Ï uÛTÑ »+ ø=\‘· eTq≈£î ‘Ó\TdüT. ø£s+í¡ OB $\Te ø£qTø√ÿyê*.
m<äT{Ï uÛTÑ »+, ø£sêí\ ìwüŒ‹Ô “sin” ø±e⁄q “sin”qT m+#·Tø=+{≤+)
OA
sin 45º =
OB
1 500
=
2 x
x = 500 2 MT≥sY\T
sêCÒ+<äsY qT+&ç 50 2 MT≥sY\ <ä÷s¡+˝À e´øÏÔ ñHêï&ÉT.

nuÛ≤´dü+ - 12.1
1. uÛ÷Ñ $Tô|’ ˇø£ ≥esY ì{≤s¡T>± ì*∫ ñ+~. Ä ≥esY n&ÉT>∑T qT+&ç 15 MT≥sY\ <ä÷s¡+ qT+&ç Ä
≥esYô|’ ø=q 45º }s¡«ú ø√D+˝À |ü]o*+#·ã&ç+~. Ä ≥esY m‘·TÔ m+‘·?
2. ˇø£ #Ó≥Tº >±*øÏ $]–, $]–q ô|’ uÛ≤>∑+ uÛ÷Ñ $TøÏ 30º \ ø√D+ #˚d÷ü Ô uÛ÷Ñ $Tô|’ |ü&+ç ~. #Ó≥Tº
n&ÉT>∑TuÛ≤>∑+ qT+&ç, øÏ+<ä|&ü qç #Ó≥Tº ø=q eT<Û´ä <ä÷s¡+ 6 MT≥sY\T. #Ó≥Tº $s¡>ø∑ £ eTT+<äT Ä #Ó≥Tº
m‘·TÔ m+‘·?
3. ˇø£ bÕsYÿ˝À |æ\\¢ T Ä&ÉTø√e&ÜìøÏ ˇø£ ø±+Á{≤ø£sº Y ˇø£ C≤s¡T&ÉT ã\¢qT @sêŒ≥T #˚j÷· \qT≈£îHêïs¡T.
<ëìì 2 MT≥sY\ m‘·T‘Ô √, uÛ÷Ñ $T‘√ 30º \ ø√D+ #˚ùd≥≥T¢ @s¡Œs¡#ê\qTø=+fÒ Ä C≤s¡T&ÉT ã\¢
bı&Ée⁄ m+‘· ñ+≥T+~?
4. ñ<äjT· + 7 >∑+≥\≈£î 15 MT≥s¡¢ m‘·TÔ >∑\ dü+ú uÛ+Ñ jÓTTø£ÿ ˙&É bı&Ée⁄ 5 3 MT≥s¡T.¢ Ä düeTj·T+˝À
dü÷s¡´øÏsD¡ ≤\T, uÛ÷Ñ $T‘√ m+‘· ø√D+ #˚dTü HÔ êïsTT?
5. |üeHé 10 MT≥s¡¢ m‘·TÔ >∑\ dü+ú uÛ≤ìï 3 ã\yÓTqÆ ‘êfi¯fl düV‰ü j·T+‘√ ì\u…{≤º\qT≈£îHêï&ÉT. ˇø=ÿø£ÿ
Á‘ê&ÉT dü+ú uÛ+Ñ ‘√ 30º ø√D+ #˚j÷· *‡ ñ+fÒ m+‘· bı&Ée⁄ ‘ê&ÉT rdüTø√yê* ?

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 Á‹ø√D$T‹ nqTes¡HÔ ê\T 299

6. $»jYT uÛ÷Ñ $T qT+&ç 6 MT≥s¡¢ m‘·TÔ >∑\ uÛeÑ q+ô|’ qT+&ç uÛ÷Ñ $Tô|’ qTqï ˇø£ \øå±´ìï 60º
ìeTïø√D+˝À u≤D+‘√ #Û~˚ +#ê\qT≈£îHêï&ÉT. $»jYT qT+&ç \ø£´å + m+‘·<÷ä s¡+˝À ñ+≥T+~.
7. 9 MT≥s¡¢ m‘·TÔ >∑\ $<äT´‘Y dü+ú uÛ+Ñ ô|’ ˇø£ m\Áø°wº j
æ T· Hé eTs¡eTà‘·TÔ |üì #˚j÷· *‡ ñ+~. eTs¡eTà‘·TÔ
#˚jT· &ÜìøÏ Ä dü+ú uÛ+Ñ ô|’ qT+&ç 1.8 MT≥s¡¢ ‘·≈î£ ÿe m‘·T≈Ô î£ #˚sê*. ˇø£ ì#ÓÃqqT uÛ÷Ñ $Tô|’ 60º
ø√D+‘√ ô|{≤º*‡ eùdÔ m+‘· bı&Ée⁄ >∑\ ì#ÓÃqqT rdüTø√yê*. ì#ÓÃq n&ÉT>∑TuÛ≤>∑+ qT+&ç dü+ú uÛ+Ñ
n&ÉT>∑TuÛ≤>∑+ <ä÷s¡+ m+‘·?
8. ˇø£ Hêe ˇø£ q~ì <ë{≤*‡ ñ+~. qB Á|üyêVü≤+ ø±s¡D+>± Ä qB rs¡+‘√ 60º \ ø√D+ #˚dTü qÔ ï
Ä Hêe 600MT≥s¡T¢ Á|üj÷· DÏ+∫ ne‘·* rsêìï #˚]+~. Ä q~ yÓ&˝É Œ… +‘·?
9. 1.8 MT m‘·TÔ ñqï ˇø£ |ü]o\≈£î&ÉT ˇø£ ‘ê{Ï #Ó≥Tº qT+&ç 13.2 MT≥s¡¢ <ä÷s¡+˝À ñHêï&ÉT. Ä
#Ó≥Tºô|’ |ü]o\≈£î&ç ø£+{Ï
B
qT+&ç 45º }s¡ú«ø√D+
#˚dTü +Ô ~. Ä #Ó≥Tº m‘·TÔ
m+‘·? m .MT
55ôdc +
10. Á|ü ø £ ÿ qTqï |ü ≥ +˝À
AC = 6 ôd+.MT ,
AB = 5 ôd+.MT eT]j·TT
30º
∠BAC = 30º. nsTTq B C
Á‹uÛ Ñ T » yÓ ’ X Ê˝≤´ìï 6 6ôdcm
+.MT
ø£qT>=qTeTT.

12.3 ¬s+&ÉT \+ãø√D Á‹uÛÑTC≤\‘√ ≈£L&çq düeTdü´\T

eTq+ Ç+‘· e s¡ ≈ £ î ˇø£ D
Á‹uÛ Ñ T »+‘√ ≈£ L &ç q dü e Tdü ´ \qT
kÕ~Û+#ê+. ˇø£ y˚fi¯ s¬ +&ÉT Á‹uÛTÑ C≤\‘√
ˇπø dü+<äs“¡ +¤ ñ+fÒ, düeTdü´qT m˝≤
kÕ~Û+#ê*?
MTs¡T ˇø£ ‘ê{Ï #Ó≥TºqT ø=+‘·
<ä÷s¡+ qT+&ç |ü]o*düTHÔ êïs¡qTø√+&ç.
eT]j· T T Ä #Ó ≥ Tº m‘· T Ô q T ø£ q T
ø√ÿyê\qT≈£îHêïs¡qT ø√+&ç. MTs¡T Ä
#Ó≥TºqT ¬s+&ÉT y˚s¡Ty˚s¡T |ü]o\Hê
kÕúHê\ qT+&ç |ü]o*düTHÔ êïs¡qTø√+&ç.
á düeTdü´qT m˝≤ kÕ~ÛkÕÔsT¡ ?
MTs¡T ˇø£ ‘ê{Ï #Ó≥Tºô|’ ø=qqT 45º A
30º 45º
}s¡«ú ø√D+˝À |ü]o*düTHÔ êïeTqT ø√+&ç. C
B
Ä ‘ê{Ï #Ó≥TºqT Ç+ø± 11 MT≥s¡¢ <ä÷s¡+
b˛sTTq ‘·sê«‘· }s¡«ú ø√D+ 30º ≈£î
e÷]+<äqTø=qTeTT. E E1

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 300 10e ‘·s>¡ ‹∑ >∑D‘Ï +·

Ä #Ó≥Tº m‘·TqÔ T m˝≤ ø£qT>=+{≤yÓ÷ #·÷<ë›+ !

|ü≥+ qT+&ç D
AB = 11 MT
∠DAC = 30º
∠DBC = 45º
‘ê{Ï #Ó≥Tº m‘·TÔ CD = h MT≥s¡T¢ h
BC bı&Ée⁄ = x
AC = 11 + x ne⁄‘·T+~.
Á‹uÛTÑ »+ BDC qT+&ç
30º 45º
DC A C
tan 45º = 11
11 mMT B
BC
F E
h
1= ⇒ x = h ...(1)
x
Á‹uÛTÑ »+ ADC qT+&ç
DC
tan 30º =
AC

1 h
=
3 11 + x

11 + x 11 + h
h= = (m+<äT≈£î)
3 3

11 h
h= +
3 3

h 11
h− =
3 3

h
( 3 −1 ) = 11
3 3

11
h = MT≥s¡T.¢
( 3 −1 )
>∑eTìø£ : ‘ê{Ï#≥Ó Tº m‘·TÔ CD + CE ne⁄‘·T+~. Çø£ÿ&É CE = AE R u≤*ø£ m‘·T)Ô .

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 Á‹ø√D$T‹ nqTes¡HÔ ê\T 301

ñ<ëVü≤s¡D-6. 30 MT≥s¡¢ m‘·TÔ >∑\ ˇø£ >∑T&ç ô|’ uÛ≤>±ìï, <ëì Çs¡TyÓ|’ ⁄ü ˝≤ qTqï Ç<äs› T¡ e´≈£î\Ô T 30º eT]j·TT
60º }s¡«ú ø√D≤\˝À |ü]o*+#ês¡T. Ä Ç<äs › T¡ e´≈£î\Ô eT<Û´ä <ä÷s¡+ m+‘·?
kÕ<Ûqä : |ü≥+ qT+&ç <˚yê\j·T+ m‘·TÔ BD = 30 MT≥s¡T¢
yÓTT<ä{Ï e´øÏÔ |ü]o*düTqÔ ï|ü⁄&ÉT }s¡«ú ø√D+ ∠BAD = 30º
s¬ +&Ée e´øÏÔ |ü]o*düTqÔ ï|ü⁄&ÉT }s¡«ú ø√D+ ∠BCD = 60º
yÓTT<ä{Ï e´øÏÔ qT+&ç >∑T&ç <ä÷s¡+ AD = x s¬ +&Ée e´øÏÔ qT+&ç >∑T&ç <ä÷s¡+ CD = d nqTø=q>±
ΔBAD qT+&ç ΔBCD qT+&ç B

BD BD
tan 30º = tan 60º =
AB d
A 30º 60º C
1 30 30
= 3= x
D
d
3 x d

30
x = 30 3 .......... (1) d= .......... (2)
3
(1)   (2) ¢ qT+&ç Ç<äs› T¡ e´≈£î\Ô eT<Û´ä <ä÷s¡+ = BC + BA = x + d
30 30× 4 120
= 30 3 + = = = 40 3 MT≥s¡T¢
3 3 3

ñ<ëVü≤s¡D-7. ˇø£ ≥esY bÕ<ä+ es¡≈î£ ˇø£ #·øÿ£ ì ( straight) s¡V≤ü <ë] ñ+~. Ä ≥esYô|’ ì\ã&ç ñqï
sêeTj·T´ nH˚ e´øÏÔ <ä÷s¡+ qT+&ç edüTqÔ ï ø±s¡TqT 30º \ ìeTïø√D+˝À #·÷kÕ&ÉT. düeTy˚>+∑ ‘√ edüTqÔ ï Ä
ø±s¡TqT 6 ôdø£+&É¢ ‘·sê«‘· 60º ìeTïø√D+˝À >∑eTì+#ê&ÉT. á kÕúq+ qT+&ç ø±s¡T ≥esYqT #˚s&¡ ÜìøÏ |ü≥Tº
ø±\+ m+‘·?
kÕ<Ûqä : |ü≥+ qT+&ç
6 ôdø£+&É˝
¢ À ø±s¡T Á|üj÷· DÏ+∫q <ä÷s¡+ = AB = x MT≥s¡T¢

≥esY m‘·TÔ CD = x MT≥s¡T¢

ø±s¡T Á|üj÷· DÏ+#ê*‡q $T–*q <ä÷s¡+ BC = d MT≥s¡T¢

AC = AB + BC = (x + d) MT≥s¡T¢
∠PDA = ∠DAP = 30º (m+<äT≈£î ?)
∠PDB = ∠DBP = 60º (m+<äT≈£î?)
ΔBCD qT+&ç

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 302 10e ‘·s>¡ ‹∑ >∑D‘Ï +·

D P
CD
tan 60º = 30º
BC 60º

h
3= h
d

h = 3d ...(1)

ΔACD qT+&ç 30º

60º
C A
B
CD d
tan 30º =
AC

1 h
=
3 (x + d )

(x + d )
h= ...(2)
3
(1) & (2) qT+&ç

x+d
= 3d
3
x + d = 3d
x = 2d

x
d=
2
‘x’ MT≥s¡T¢ <ä÷s¡+ Á|üj÷· DÏ+#·&ÜìøÏ |ü≥Tº ø±\+ = 6 ôdø£+&ÉT¢
x
‘d’ R MT≥s¡T¢ <ä÷s¡+ Á|üj÷· DÏ+#·&ÜìøÏ |ü≥Tº ø±\+ = 3 ôdø£+&ÉT.¢
2

nuÛ≤´dü+ - 12.2
1. ˇø£ TV ≥esY ˇø£ s√&ÉT¶ Á|üøÿ£ q ì{≤s¡T>± ì\u…≥º ã&ç ñ+~. s√&ÉT≈¶ î£ ne‘·* yÓ|’ ⁄ü qT+&ç ≥esY ô|’
ø=qqT |ü]o*+∫q 600 }s¡«ú ø√D+ #˚dTü +Ô ~. Ç+ø± ≥esY bÕ<ä+ eT]j·TT á kÕúHêìï ø£*ù|
düsfi¡ sπ¯ Kô|’ 10 MT≥s¡¢ <ä÷s¡+ »]–q |æ<|ä ü ≥esY ô|’ ø=q 30º }s¡«ú ø√D+ #˚dTü +Ô ~. ≥esY
m‘·TqÔ T eT]j·TT s√&ÉT¶ yÓ&\É TŒqT ø£qT>=q+&ç.

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 Á‹ø√D$T‹ nqTes¡HÔ ê\T 303

2. 1.5 MT≥s¡T¢ m‘·T>

Ô \∑ ˇø£ u≤\T&ÉT 30 MT≥s¡¢ m‘·TÔ >∑\ >∑T&çô|’ ø=qqT ø=+‘·<÷ä s¡eTT qT+&ç |ü]o*düTHÔ êï&ÉT.
n‘·&TÉ ñqï #√≥T qT+&ç eTT+<äT≈£î q&ç∫q >∑T&ç >√|ü⁄s¡+ ø=q n‘·ì ø£+{Ï‘√ #˚jT· T ø√D+ 30º
qT+&ç 60º \≈£î e÷]+~. n‘·&TÉ q&ç∫q <ä÷s¡+ m+‘· ?
3. ˇø£ $Á>∑V≤ü + 2MT≥s¡¢ m‘·T>Ô \∑ |”s+¡ƒ ô|’ ì\u…≥㺠&ç ñ+~. <ëìì ø=+‘· <ä÷s¡+ qT+&ç |ü]o*+∫q
$Á>∑V≤ü +ô|’ uÛ≤>∑+ 60º eT]j·TT |”s+¡ƒ ô|’ uÛ≤>∑+ 45º }s¡«ú ø√D≤\T #˚dTü HÔ êïsTT. $Á>∑V≤ü + m‘·TÔ m+‘·?
4. ˇø£ uÛeÑ q+ ô|’ qT+&ç ˇø£ ôd˝Ÿ ≥esY ô|’ uÛ≤>±ìï |ü]o*+∫q 60º}s¡«ú ø√D+, <ëì bÕ<äeTT 45º.
ìeTïø√D+ #˚dTü +Ô ~. uÛeÑ q+ qT+&ç ≥esY≈î£ >∑\ eT<Û´ä <ä÷s¡+ 7MT≥s¡T¢ nsTTq ≥esY m‘·TqÔ T
ø£qT>=q+&ç.
5. uÛ÷Ñ $T‘√ 300\ }s¡«ú ø√D+ #˚d÷ü Ô 18 MT≥s¡¢ bı&Ée⁄qï ˇø£ <Ûèä &ÉyTÓ qÆ ˝ÀVü≤|ü⁄ r>∑ Ä<Ûës¡+>± ˇø£
$<äT´‘Y dü+ú uÛ+Ñ ì\u…≥㺠&ç ñ+~. r>∑bı&Ée⁄ #ê˝≤ m≈£îÿe ñqï ø±s¡D+>± r>∑˝À ø=+‘· uÛ≤>∑+
ø£‹]Ô +∫, $T–*q <ëìì uÛ÷Ñ $T‘√ 60º ø√D+ #˚d÷ü Ô neTs¡Ãã&ç+~. r>∑˝À ø£‹]Ô +#·>± $T–*q
r>∑bı&Ée⁄ m+‘·?
6. ˇø£ ≥esY n&ÉT>∑TuÛ≤>∑+ qT+&ç uÛeÑ q+ ô|’ uÛ≤>∑+ 30º }s¡«ú ø√D+ #˚dTü +Ô ~. uÛeÑ q+ n&ÉT>∑TuÛ≤>∑+
qT+&ç ≥esYô|’ uÛ≤>∑+ 60º }s¡«ú ø√D+ #˚dTü +Ô ~. ≥esY m‘·TÔ 30 MT≥s¡T¢ nsTTq, uÛeÑ q+ m‘·TÔ
ø£qT>=qTeTT?
7. 120 n&ÉT>∑T\ yÓ&˝É Œ’… q s√&ÉT≈¶ î£ Çs¡TyÓ|’ ⁄ü \ düe÷q m‘·TÔ ø£*–q s¬ +&ÉT dü+ú uÛ≤\T ì\u…≥㺠&ç
ñHêïsTT. yê{Ï eT<Û´ä ˝À ñqï s√&ÉTô¶ |’ ˇø£ _+<äTe⁄ qT+&ç yê{Ïô|’ uÛ≤>±\qT |ü]o*+∫q n$ 60º
eT]j·TT 30º }s¡«ú ø√D≤\T #˚dTü HÔ êïsTT. nsTTq Ä dü+ú uÛ≤\ m‘·TÔ ø£qT>=qTeTT eT]j·TT Á|ü‹dü+Ô uÛeÑ TT
n&ÉT>∑TuÛ≤>∑+ qT+&ç _+<äTe⁄≈£î >∑\ <ä÷s¡eTTqT ø£qT>=qTeTT?
8. ≥esY‘√ ˇπø düsfi¡ sπ¯ Kô|’ ñ+&˚ 4 MT≥s¡T¢ eT]j·TT 9 MT≥s¡¢ <ä÷s¡+˝À qTqï s¬ +&ÉT _+<äTe⁄\ qT+&ç
≥esYø=qqT |ü]o*+∫q #˚ùd }s¡«ú ø√D≤\T |üPs¡ø±\T. ≥esY m‘·TqÔ T ø£qT>=q+&ç.
9. uÛ÷Ñ $Tô|’ qTqï A _+<äTe⁄ qT+&ç ˇø£ C…{Ÿ $e÷Hêìï |ü]o*ùdÔ 60º }s¡«ú ø√D+ #˚dTü +Ô ~.
15 ôdø£q¢ ‘·sê«‘· <ëì }s¡«ú ø√D+ 30º e÷s¡T‘·T+~. Ä C…{Ÿ $e÷q+ 1500 3 MT≥s¡¢ dæs ú¡
m‘·T˝Ô À m>∑Ts¡T‘·÷ ñ+fÒ <ëì y˚>±ìï ø£qTø√ÿ+&ç. ( 3 = 1.732)
10. ‘h’ MT≥s¡T¢ m‘·TÔ >∑\ PQ ≥es¡T≈£î ø=+‘·<÷ä s¡+˝À >∑\ _+<äTe⁄ A qT+&ç ∫+øÏ ≥es¡T ô|’ uÛ≤>±ìï
ø=+‘· }s¡«ú ø√DeTT˝À |ü]o*+∫+~. _+<äTe⁄ A qT+&ç “d” <ä÷s¡+ ≥es¡T yÓ|’ ⁄ü q&çùdÔ Ä
3d
}s¡«ú ø√D+ s¬ {Ï+º |üsTT+~. ÄkÕúq+ qT+&ç Ç+ø± ≥es¡T yÓ|’ ⁄ü 4 q&ç∫q ‘·sê«‘· kÕúq+ A e<ä›
}s¡«ú ø√D≤ìøÏ 3 s¬ ≥¢ }s¡«ú ø√D+˝À ≥es¡T ô|’ uÛ≤>∑+ ø£ì|æ+∫+~. nsTT‘˚ 36h2 = 35d2 nì
#·÷|ü⁄eTT.

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 304 10e ‘·s>¡ ‹∑ >∑D‘Ï +·

◊∫äø£ nuÛ≤´düeTT
[|üØø£\
å ø=s¡≈î£ ìπs•Δ +#·ã&çq~ ø±<äT]
1. 1.2 MT≥s¡T¢ m‘·TÔ >∑\ u≤*ø£ Äø±X¯+˝À øÏ‹å » düe÷+‘·s+¡ >±, 88.2 MT≥s¡¢ m‘·T‘Ô √bÕ≥T >±*˝À
Á|üj÷· DÏdTü qÔ ï u…\÷qTqT 60º }s¡«ú ø√D+˝À >∑eTì+∫+~. ø=+‘·ø±\+ ‘·sê«‘· Ä }s¡«ú ø√D+
300 >± e÷]+~. á eT<Û´ä ø±\+˝À u…\÷qT Á|üj÷· DÏ+∫q <ä÷s¡+ m+‘· ?
2. ˇø£ uÛeÑ q bÕ<ä+ qT+&ç m<äTs¡T>± qTqï ≥es¡Tô|’ uÛ≤>∑+ 300 }s¡«ú ø√D+ #˚dTü +Ô ~. ≥es¡T bÕ<ä+
qT+&ç uÛeÑ q ô|u’ ≤Û >∑+ 600 }s¡«ú ø√D+ #˚dTü +Ô ~. yê{Ï m‘·T\Ô T @ ìwüŒ‹Ô˝À ñ+{≤sTT?
3. A, B eT]j·TT C nqT eT÷&ÉT |ü&eÉ \T ˇπø düsfi¡ sπ¯ K˝À Á|üj÷· DÏd÷ü Ô ˝…{’ ŸV≤ü Ödt yÓ|’ ⁄ü edüTqÔ ï$. Ä
|ü&eÉ \˝À qT+&ç ˝…{’ ŸV≤ü Ödt ô|’ uÛ≤>±ìï >∑eTì+∫q es¡Tdü>± n$ a, 2a eT]j·TT 3a }s¡«ú ø√D≤\qT
#˚dTü qÔ ï$. A eT]j·TT B |ü&eÉ \ eT<Û´ä <ä÷s¡+ x nsTTq Ä ˝…{’ ŸV≤ü Ödt m‘·TÔ m+‘·?
4. ˇø£ Bs¡È |òTü Hêø±s¡+˝À ñqï >∑÷&ÉT ˝À|ü* uÛ≤>∑+˝À bı&Ée⁄, yÓ&\É TŒ eT]j·TT m‘·T\Ô ìwüŒ‹Ô 1: 2 :1
Ä >∑÷{Ï˝À |ü≥Tº n‹ô|<ä› ø£i,í <ëì uÛ÷Ñ $T‘√ #˚jT· T ø√D+ m+‘·?
5. ˇø£ >√fi≤ø±s¡ ˝ÀVü≤|ü⁄ ã+‹ |òüTq|ü]e÷D+ 232848 ôd+.MT3. <ëìì ø£]–+∫ 1200\T
os¡¸ø√DeTT #˚jT· T X¯+KTe⁄ Äø±s¡+˝À b˛‘·b˛XÊs¡T. nsTTq <ëì uÛ÷Ñ yê´kÕs¡+ú , m‘·T\Ô qT ø£qT>=qTeTT.

eTq+ @$T #·]Ã+#ê+

eTq+ n<Ûë´j·T+˝À Ç+‘·es¡≈î£ øÏ+~ n+XÊ\qT ‘Ó\TdüTø=Hêï+.
1. (i) ˇø£ edüTeÔ ⁄ô|’ ˇø£ _+<äTe⁄ qT+&ç |ü]o\≈£îì ø£+{Ïì ø£*ù| düsfi¡ sπ¯ KqT <äèwæsπº K n+{≤s¡T.
(ii) øÏ‹ å » düe÷+‘·s¡ sπ K≈£î, <äèwæsπº Kô|’ ñqï|ü⁄&TÉ yê{Ï eT<Û´ä @s¡Œ&˚ ø√D≤ìï }s¡«ú ø√D+ n+{≤s¡T. á
dü+<äs“¡ +¤ ˝À |ü]o\≈£î&ç ‘·\ô|ø¬’ ‘·Ô ã&ÉT‘·T+~.
(iii) øÏ‹ å » düe÷+‘·s¡ sπ K≈£î <äèwæº sπ K ÁøÏ+<ä ñqï|ü&ÉT yê{Ï eT<Û´ä @s¡Œ&˚ ø√D≤ìï ìeTïø√D+
n+{≤s¡T. á dü+<äs“¡ +¤ ˝À |ü]o\≈£î&ç ‘·\ ÁøÏ+<ä yÓ|’ ⁄ü ≈£î #·÷düT+Ô ~.
2. ˇø£ edüTeÔ ⁄ jÓTTø£ÿ bı&Ée⁄ >±ì, m‘·TqÔ T >±ì ø£qT>=q&ÜìøÏ, s¬ +&ÉT edüTeÔ ⁄\ eT<Û´ä <ä÷sêìï ˝…øÿÏ +#·&ÜìøÏ
Á‹ø√D$Trj·T ìwüŒ‘·T\Ô qT yê&ÉT‘·÷ ñ+{≤+.

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 dü+uÛ≤e´‘· 305

n<Ûë´j·TeTT

13 dü+uÛ≤e´‘·
(Probability)

13.1 |ü]#·j·T+
≈£îe÷sY, düT<Û\ä T ø±´s¡yTé ‡ Ä≥ >∑T]+∫ á $<Û+ä >± #·]ÃdüTHÔ êïs¡T.
≈£îe÷sY : á Ä≥˝À eTq+ >¬ \TkÕÔeTì ˙e⁄ nqT≈£î+≥THêïyê?
düT<Ûä : >¬ \T|ü⁄q≈£î 50 XÊ‘·+ neø±XÊ\THêïsTT. ãVüQXÊ eTq+ >¬ \ee#·TÃ.
≈£îe÷sY : 50 XÊ‘·+ neø±XÊ\ì ˙e⁄ m{≤¢ #Ó|Œü >∑\e⁄ ?
á dü+uÛ≤wüD‘√ düT<Ûä e÷≥\T m+‘·es¡≈î£ dü‘´· eTT nqT≈£î+≥THêïs¡T?
ÄyÓT >¬ \e&ÜìøÏ 50 XÊ‘·+ neø±XÊ\T ñHêïj·÷ ?
á n<Ûë´j·T+˝À eTq+ Ç≥Te+{Ï dü+<äsê“\ >∑T]+∫ #·]Ã<ë›+. Ç+ø£q÷ ªãVüQXÊμ ªdü+uÛeÑ eTTμ
ªkÕ<Û´ä eTTμ yÓTT<ä\>∑T |ü<ë\ >∑T]+∫, yêìì m≥T¢ >∑D+Ï #ê* nqT <ëì >∑T]+∫ #·]Ã<ë›eTT. 9e ‘·s>¡ ‹∑ ˝À
|üP]Ô dü+uÛeÑ eTT ˝Òø£ K∫Ñ· |òTü ≥qeTT eT]j·TT |üP]Ô ndü+uÛeÑ eTT ˝Òø£ ndü+uÛeÑ dü+|òTü ≥q\ >∑T]+∫
‘Ó\TdüT≈£îHêïeTT. Ç+ø± ˇø£ |òTü ≥q jÓTTø£ÿ neø±X¯eTT\ >∑T]+∫, ˇø£ |òTü ≥q jÓTTø£ÿ |üs´¡ ekÕqeTT m\¢|ü &ÉT
ˇπø $<Û+ä >± ñ+&Éqedüs+¡ ˝Ò<Tä . nqT<ëì >∑T]+∫ #·]Ã+∫ j·TTHêïeTT. Á|üdTü ‘Ô +· ˇø£ |òTü ≥q dü+uÛeÑ eTT
jÓTTø£ÿ Á|üe÷D°øs£ e¡ TT >∑T]+∫ H˚sT¡ Ãø=+<ëeTT.
á $<Û+ä >± Á|üe÷D°øs£ D¡ eTTqT dü+U≤´‘·àø£+>± ‘Ó\T|ü⁄≥qT ªdü+uÛ≤e´‘·μ n+{≤s¡T.
13.1.1 dü+uÛ≤e´‘· nq>± H˚$T?

ˇø£ Á|üj÷Ó >±ìï >∑eTì+#·+&ç. ˇø£ HêD…eTTqT 1000 kÕs¡T¢ m>∑Ts¡yd˚ qæ |ü⁄&ÉT
455 kÕs¡T¢ u§eTà, 445 kÕs¡T¢ u§s¡TdüT |ü&q
ç ~. u§eTà|ü&˚ dü+uÛyÑ êìï Á|üe÷D°øs£ D¡ eTT
455
#˚ùdÔ 1000 øÏ 455 kÕs¡T¢ nq>± 1000 R 0.455.

Ç≥T¢ Á|üj÷Ó >∑|Pü s¡«ø£ |ò*ü ‘ê\qT Ä<Ûës¡+ #˚dTü ø=ì ˝…øÿÏ +∫q dü+uÛ≤e´‘·qT ªÁ|üj÷Ó –ø£
dü+uÛ≤e´‘·μ (Experimental probability) n+{≤s¡T. á Á|üj÷Ó –ø£ dü+uÛ≤e´‘· n+#·Hê≈£î
ˇø£ Á|üj÷Ó >∑eTT <ëì |ò*ü ‘ê\T Ä<Ûës¡eTT, nq>± Ç<˚ Á|üj÷Ó >±ìï eTs¡˝≤ 1000 kÕs¡T¢
#Ódqæ |ü&ÉT Ç<˚ dü+uÛ≤e´‘· @s¡Œ&ÉT‘·T+<äì #Ó|Œü ˝ÒeTT. dü«\Œ uÒ<eäÛ TT @s¡Œ&Ée#·TÃqT.

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 306 10e ‘·s¡>∑‹ >∑DÏ‘·+

Ç<˚$<Û+ä >± HêD…eTTqT m>∑Ts¡yd˚ æ u§eTà |ü&˚ dü+uÛ≤e´‘·qT n+#·Hê y˚ùd Á|üj÷Ó >±ìï Á|ü|+ü #·eTT
q\TeT÷\\qT+∫ m+<äs√ e´≈£î\Ô T #˚dæ ñHêïs¡T.
ñ<ëVü≤s¡D≈£î |ü<ì›Ó $T<äe X¯‘êã›+˝À Áô|+ò ∫ XÊgy˚‘Ô· ø±y˚Tº &ç.ã|òHü é HêD…eTTqT 4040 kÕs¡T¢ m>∑Ts¡yd˚ æ
2048
2048 u§eTàã&çq≥T¢>± ˝…øÿÏ +#ê&ÉT. nq>± Á|üj÷Ó –ø£ dü+uÛ≤e´‘· R 4040 0.507 (düTe÷s¡T).

Á_≥Hé XÊgy˚‘Ô· J.E. ø¬ ]#Y HêD…eTTqT 10,000 kÕs¡T¢ m>∑Ts¡yd˚ æ 5067 kÕs¡T¢ u§eTà |ü&qç ≥T¢>±
5067
˝…øÿÏ +#ê&ÉT. nq>± Á|üj÷Ó –ø£ dü+uÛ≤e´‘· R 0.5067 nfÒ¢ kÕ+K´ø£ XÊgE„&TÉ ø±s¡˝Ÿ |æjT· s¡‡Hé
10000
24000 kÕs¡T¢ m>∑Ts¡yd˚ æ 12012 kÕs¡T¢ u§eTà |ü&qç ≥T¢ ˝…øÿÏ +#ê&ÉT. nq>± Á|üj÷Ó –ø£ dü+uÛ≤e´‘·.
12012
R 0.5005.
24000

eTq$T|ü&ÉT Ç<˚ Á|üj÷Ó >±ìï 10 \ø£\å kÕs√¢ ˝Òø£ ø√{ÏkÕs√¢ #˚dæ u§eTà|ü&˚ dü+uÛ≤e´‘·qT ˝…øÿÏ +#·e\dæ
eùd,Ô ô|’ Á|üj÷Ó >±\ìï+{Ï jÓTTø£ÿ |üs´¡ ekÕqeTT>± u§eTàø±˙, u§s¡TdüT ø±˙ |ü&˚ dü+uÛ≤e´‘· dü+U≤´‘·àø£+>± 0.5
1
˝Òø£ 2
nì #Ó|Œü e#·TÃ. n+fÒ Á|üj÷Ó >∑+ #˚jT· ≈£î+&ÜH˚ nìï |üs´¡ ekÕqeTT\qT ã{Ϻ ˇø£ |òTü ≥q jÓTTø£ÿ
dü+uÛ≤e´‘·qT n+#·Hê y˚jT· e#·TÃqT. BìH˚ ªôd<’ ë›+‹ø£ dü+uÛ≤e´‘·μ (Theoretical probability) ˝Òø£ ªkÕ+Á|ü<ëj·Tø£
dü+uÛ≤e´‘·μ (Classical probability) n+{≤s¡T.
á dæ<ëΔ+‘·eTTqT Ä<Ûës¡+>± #˚døæ =ì ø=ìï ÁbÕ<∏$ä Tø£ düeTdü´\ kÕ<Ûqä >∑T]+∫ #·]Ã<ë›eTT.
13.2 dü+uÛ≤e´‘· ` ôd’<ëΔ+‹ø£ $es¡D
j·÷<äè∫Ãø£ Á|üj÷Ó >∑+˝À ìcÕŒøÏøå £ HêD…eTTqT m>∑Ts¡yj
˚ T· T≥ nqT dü+<äs“¡ e¤ TTqT >∑eTì+#·+&ç. Ç#·Ã≥
HêD…eTT kÂwüeº +>± ñqï|ü&ÉT u§eTà ˝Òø£ u§s¡TdüT |ü&˚ dü+uÛeÑ eTT\˝À @~ m≈£îÿe. @~ ‘·≈î£ ÿe nqT≥≈£î
neø±X¯eTT ˝Ò<Tä . n+<äTe\¢ HêD…eTTqT ìcÕŒøÏøå e£ TT nì, m>∑Ts¡yj ˚ T· T≥qT ªj·÷<äè∫äø£ Á|üj÷Ó >∑eTTμ nì
n+{≤s¡T. u§eTà, u§s¡TdüT\qT ªdüeTdü+uÛeÑ |òTü ≥q\Tμ (equally likely events) n+{≤s¡T.
á bÕsƒê´+X¯eTT˝À j·÷<äè∫äø£ Á|üj÷Ó >∑eTT˝À yÓ\Te&ÉT |ò*ü ‘·eTT\T düeTdü+uÛeÑ yÓTqÆ $ >±qT eT]j·TT
Á|ü‹ s¡÷|ü Äes¡D |ü]$T‘·yTÓ qÆ ~ >±qT |ü]>∑D+Ï #·ã&ܶsTT. ø£qTø£ HêD…eTT\T ˝Òø£ bÕ∫ø£\qT rdüTø=qï|ü&ÉT
n$ ìcÕŒøÏøå y£ TÓ qÆ $>± |ü]>∑D+Ï #ê*.
ˇø£ |òTü ≥q (E) jÓTTø£ÿ Á|üj÷Ó –ø£ dü+uÛ≤e´‘· P(E) qT ˝…øÿÏ +#·T≥≈£î
E ≈£î nqT≈£L\ |üs¡´ekÕHï\ dü+K´
dü÷Á‘·+ P(E) =
yÓTT‘·Ô+ |üs¡´ekÕHï\ dü+K´

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 dü+uÛ≤e´‘· 307

Ç$ #˚j·T+&ç
n. ÁøÏ+~ |òTü ≥q\˝À <˚ì |üs´¡ ekÕqeTT\˙ï düeTdü+uÛ≤yê\T?
1. bÕ∫ø£ (dies)qT m>∑Ts¡yd ˚ qæ |ü⁄&ÉT 1, 2, 3, 4, 5 ˝Òø£ 6 |ü&TÉ ≥.
2. 5 ms¡T|ü⁄, 4 ˙\+, 1 q\T|ü⁄ ã+‘·T\T >∑\ dü+∫ qT+&ç ˇø£ ã+‹ì j·÷<äè∫Ãø£+>± rj·TT≥.
3. ø±s¡yTé ‡ Ä≥qT > ¬ \T#·T≥.
4. s ¬ +&É+ø¬ \ dü+K´˝À ˇø£≥¢ kÕúqeTT 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ˝Òø£ 9 n>∑T≥.
5. 10 ms¡T|ü⁄, 10 ˙\+, 10 q\T|ü⁄ s¡+>∑T ã+‘·T\T >∑\ dü+∫ qT+&ç ˇø£ ã+‹ì j·÷<äè∫äø+ £ >±
rj·TT≥
6. p˝…’ HÓ\˝À ˇø£ s√E es¡¸+ sêe&É+
Ä. ô|’ nìï |òTü ≥q\ jÓTTø£ÿ |üs´¡ ekÕHê\˙ï düeTdü+uÛyÑ ê˝ÒHê?
Ç. |üs´¡ ekÕHê\˙ï düeTdü+uÛyÑ ê˝…q’ 5 |òTü ≥q\qT, düeTdü+uÛyÑ ê\T ø±ì 5 |òTü ≥q\qT ù|s=ÿq+&ç.

ø£è‘·´+
(i) ˇø£ HêD…eTTqT 50 kÕs¡T¢, 100 kÕs¡T,¢ 150 kÕs¡T¢ m>∑Ts¡yd˚ ,æ dü+uÛeÑ yÓTqÆ u§eTà, u§s¡TdüT dü+K´\qT
˝…øÿÏ +#·+&ç. ÁøÏ+~ |ü{øºÏ ˝£ À |üP]+#·+&ç.
Áø£eT Á|üj÷Ó >±\ u§eTà u§eTà|ü&TÉ ≥ u§s¡TdüT u§s¡TdüT|ü&TÉ ≥
dü+K´ dü+K´ |ü&qç dü+K´ dü+uÛ≤e´‘· |ü&qç dü+K´ dü+uÛ≤e´‘·
1. 50
2. 100

3. 150

ô|’ Á|üj÷Ó >∑eTT qT+&ç MTπs$T >∑eTì+#ês¡T? Á|üj÷Ó >∑+˝Àì Á|üjT· ‘êï\ dü+K´ ô|]π> ø=~› u§eTà ˝Òø£
1
u§s¡TdüT |ü&˚ dü+uÛ≤e´‘· 50% nq>± 2
≈£î <ä>sZ∑ >¡ ± ne⁄‘·Tqï~ ø£<ë. Á|üjT· ‘êï\dü+K´ n|ü]$T‘·+>±
#˚jT· >∑\ nìï Á|üj÷Ó >±\ $wüjT· +˝À Ç≥Te+{Ï dü+uÛ≤e´‘·qT ˝…øÿÏ +#·e#·TÃqT.

dü+uÛ≤e´‘· ` e÷~] Á|üj÷Ó >∑eTT

HêD…+ m>∑Ts¡y˚j·TT≥˝ÀqT ˝Òø£ bÕ∫ø£ <=]¢+#·&É+˝ÀqT Á|üj·T‘êï\ dü+K´ n|ü]$T‘·+>±

#˚j·T>∑*–q|üŒ{ÏøÏ, nìï |òüT≥q\$wüj·T+˝À Á|üj·÷‘êï\≈£î ø=ìï ne<ÛäT\T, kÕ<Ûë´kÕ<Ûä´eTT\T
ñ+{≤sTT. ñ<ëVü≤s¡D≈£î ˇø£ ø£èÁ‹eT ñ|üÁ>∑V≤ü eTTqT n+‘·]ø£+å ˝ÀìøÏ |ü+|ü&+É jÓTTø£ÿ Á|üj÷Ó –ø£ dü+uÛ≤e´‘·

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 308 10e ‘·s¡>∑‹ >∑DÏ‘·+

ø£qT>=q&ÜìøÏ, uÛ÷Ñ ø£+|üeTT ‘êøÏ&øç Ï |ü\T n+‘·dTü \Ô T >∑\ uÛeÑ q+ ≈£L*b˛≈£î+&Ü ñ+&˚ dü+uÛ≤e´‘·
ø£qT>=q&ÜìøÏ |ü\T Á|üjT· ‘êï\qT eTq+ #˚jT· ˝ÒeTT. |ò*ü ‘ê\ qT+&ç Á|üj÷Ó –ø£ dü+uÛ≤e´‘·qT
˝…øÿÏ +#·˝eÒ TT ø£<ë! n+<äTe\¢ n≥Te+{Ï e÷~] dü+|òTü ≥q\qT ø£èÁ‹eT+>± #˚dæ ˝Òø£ }Væ≤+∫ @s¡Œ&˚
$$<Ûä düeT dü+uÛeÑ |üs´¡ ekÕHê\qT |ü]>∑D+Ï ∫ dü+uÛ≤e´‘·qT n+#·Hêy˚kÕÔsT¡ . n≥Te+{Ï e÷~]
Á|üj÷Ó >±\ $X¯«dü˙j·T‘· Ä Á|üj÷Ó >∑+ #˚jT· T≥˝À rdüTø=qï C≤Á>∑‘\Ô· T, n+#·Hê\T eT]j·TT |üs´¡ ekÕHê\ô|’
Ä<Ûës¡|&ü ç j·TT+≥T+~. yê‘êes¡D ôV≤#·sá ]ø£\T, »HêuÛ≤ $düsÔ D¡ , uÛ÷Ñ ø£+|üeTT\ >∑T]+∫ eTT+<äT
ôV≤#·Ã]ø£\T, |ü+≥\ ~>∑Tã&ç yÓTT<ä\>∑Tq$ nìï+{Ïì e÷~] dü+|òTü ≥q\T }Væ≤+∫ |üsê´ekÕHê\qT
n+#·Hê y˚jT· &É+ <ë«sê #ÓãT‘ês¡T.

HêD…eTTqT m>∑Ts¡ y˚jT· T≥, bÕ∫ø£qT <=]¢+#·T≥ e+{Ï ñ<ëVü≤s¡D\˝À #·]Ã+∫q≥T¢>± ªªdüeTdü+uÛeÑ
|üs´¡ ekÕqeTT\Tμμ nqT }Vü≤ Ä<Ûës¡+>± dü+uÛ≤e´‘· jÓTTø£ÿ ìs¡«#·qeTT ÁøÏ+~ $<Û+ä >± Çe«ã&ç+~.
T nH˚ |òTü ≥q jÓTTø£ÿ ôd<
’ ëΔ+‹ø£ (˝Òø£ kÕ+Á|ü<ëj·Tø£) dü+uÛ≤e´‘·ì P(T)nì ÁyêkÕÔ+.
|òüT≥q T≈£î nqT≈£L\ |üs¡´ekÕqeTT\ dü+K´
nq>± P(T) =
Á|üjÓ÷>∑+˝À kÕ<Ûä´|ü&ÉT nìï |üs¡´ekÕqeTT\ dü+K´ nì ìs¡«∫kÕÔ+.

Ç#·Ã≥ nìï |üs´¡ ekÕqeTT\T düeTdü+uÛeÑ eTT\T>± |ü]>∑D+Ï #ê*. kÕ<Ûës¡D+>± ªôd<’ ëΔ+‹ø£ dü+uÛ≤e´‘·μqT
ªdü+uÛ≤e´‘·μ nì e´eVü≤]kÕÔeTT.

dü+uÛ≤e´‘·qT yÓTT≥ºyTÓ T<ä{kÏ Õ]>± 1795˝À |æjT· sY dæeT‡Hé ˝≤ù|d¢ t ìs¡«∫+∫Hê&ÉT.

16e X¯‘êã›eTT˝À C….ø±s¡H¶ é nqT Ç≥©øÏ #Ó+~q uÛÖ‹ø£ XÊgy˚‘,Ô· >∑D‘Ï E · &„ TÉ
ªThe Book on Games of Chanceμ |ü⁄düøÔ ±ìï Áyêj·TT≥‘√ dü+uÛ≤e´‘· ˇø£
XÊg+>± ñ<ä“$¤ +∫q~. CÒyTé ‡ u…söï* (1654 -1705), m.&ç.e÷$j·TsY (1667-
1754) eT]j·TT |æjT· sY dæeT‡Hé \T ≈£L&Ü dü+uÛ≤e´‘· n<Û´ä j·THêìøÏ, n_Ûeè~ΔøÏ
ø£èwæ #˚kÕs¡T. es¡eÔ ÷q+˝À dü+uÛ≤e´‘· ÁbÕeTTK´‘· ô|]– JeXÊg+, C…ì{Ïø‡˘ ,
uÛÖ‹ø£XÊg+, kÕe÷õø£ XÊg+, Ä]úø£ XÊg+\˝À ≈£L&Ü Á|üeTTK bÕÁ‘· b˛wæ+#·T#·Tqï~. |æjT· sY dæeT‡Hé ˝≤ù|d¢ t
(1749 – 1827)
13.3 |üs¡düŒs¡ e]®‘· |òüT≥q\T (MUTUALL
UTUALLY EXCL
ALLY USIVE EVENTS)
CLUSIVE

ˇø£ HêD…eTTqT m>∑Ts¡yd˚ qæ |ü&ÉT u§eTà ˝Òø£ u§s¡TdüT |ü&TÉ ‘·T+~ ø±˙ s¬ +&É÷ ˇπøkÕ] dü+uÛeÑ eTT ø±<äT.
n<˚$<Û+ä >± ñqï‘· bÕsƒX¡ Ê\˝Àì @ $<ë´]úì nsTTHê rdüTø=+fÒ n‘·&TÉ 6, 7, 8, 9 ˝Òø£ 10 ‘·s>¡ ‘∑ T· \˝À @<√
ˇø£ ‘·s>¡ ‹∑ øÏ e÷Á‘·yT˚ #Ó+~ ñ+{≤&ÉT. nq>± |ü]>∑D+Ï ∫q |òTü ≥q ˇø£ |üs´¡ ekÕqeTT nsTT‘˚ $T–*q
|üs´¡ ekÕqeTT\T n˙ï ndü+uÛeÑ eTT˝Ò. Ç≥Te+{Ï dü+|òTü ≥q\qT |üsd¡ Œü s¡ e]®‘· |òTü ≥q\T n+{≤s¡T.
ˇø£ Á|üj÷Ó >∑+˝Àì s¬ +&ÉT ˝Òø£ n+‘· ø£Hêï m≈£îÿe |òTü ≥q\˝À ˇø£ |òTü ≥q jÓTTø£ÿ dü+uÛeÑ eTT $T–*q
nìï |òTü ≥q\ dü+uÛeÑ eTTqT ìs√~Ûùd,Ô Ä |òTü ≥q\qT |üsd¡ Œü s¡ e]®‘· |òTü ≥q\T n+{≤s¡T.

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 dü+uÛ≤e´‘· 309

13.4.1 dü+uÛ≤e´‘·qT >∑D+Ï #·T≥

düeTdü+uÛeÑ |òTü ≥q\ jÓTTø£ÿ dü+uÛ≤e´‘·qT m˝≤ ø£qT>=+{≤eTT? HêD…eTTqT m>∑Ts¡yj ˚ T· T≥ nH˚~
düeTdü+uÛeÑ |üs´¡ ekÕqeTT\T >∑\ Á|üj÷Ó >∑eTT>± |ü]>∑DkÏ ÕÔeTT. nq>± Á|ü‹kÕ] s¬ +&ÉT düeTdü+uÛeÑ |üs´¡ ekÕqeTT\T
ñ+{≤sTT. á |üs´¡ ekÕqeTT\ düeT÷Vü≤eTTqT ªÁ|ü‹s¡÷|ü Äes¡DeTTμ (sample space) n+{≤s¡T. ˇø£ HêD…eTTqT
m>∑Ts¡yd˚ qæ |ü&ÉT Á|ü‹ s¡÷|ü Äes¡DeTT {H, T}. ms¡T|ü⁄, ˙\+, |üdTü |ü⁄, ‘Ó\T|ü⁄ ã+‘·T\ >∑\ dü+∫ qT+&ç ˇø£
ã+‹ì rj·TT≥˝À Á|ü‹s¡÷|ü Äes¡DeTT {R, B, Y, W} nfÒ¢ ˇø£ bÕ∫ø£qT <=]¢+#·T≥˝À Á|ü‹s¡÷|ü Äes¡DeTTqT
}Væ≤+#·>\∑ sê?

Ç$ #˚j·T+&ç
düeTdü+uÛeÑ |üs´¡ ekÕqeTT\T >∑\ ◊<äT dü+<äsꓤ\qT ù|s=ÿì yêì Á|ü‹s¡÷|ü Äes¡D\qT Áyêj·T+&ç.
düeTdü+uÛeÑ eTT eT]j·TT |üsd¡ Œü s¡ e]®‘· |òTü ≥q\jÓTTø£ÿ dü+uÛ≤e´‘·qT m≥T¢ >∑eTì+#·e#·TÃH√ ø=ìï
ñ<ëVü≤s¡D\qT |ü]o*<ë›eTT.
ñ<ëVü≤s¡D-1. ˇø£ HêD…eTTqT ˇø£kÕ] m>∑Ts¡yd˚ qæ |ü&ÉT u§eTà|ü&˚ dü+uÛ≤e´‘·qT, u§s¡TdüT |ü&˚ dü+uÛ≤e´‘·qT
˝…øÿÏ +#·+&ç.
kÕ<Ûqä : HêD…eTTqT ˇø£kÕ] m>∑Ts¡yd˚ qæ |ü&ÉT kÕ<ä´|ü&TÉ |üs´¡ ekÕqeTT\T s¬ +&ÉT, u§eTà (H) ˝Òø£ u§s¡TdüT
(T). u§eTà |ü&TÉ ≥ nH˚ |òTü ≥q E nsTT‘˚ nqT≈£L\ |üs´¡ ekÕqeTT\T 1.
E ≈£î nqT≈£L\ |üs¡´ekÕHï\ dü+K´ 1
P(E) = P (u§eTà) =
kÕ<Ûä´|ü&TÉ yÓTT‘·Ô+ |üs¡´ekÕHï\ dü+K´ = 2

Ç<˚$<Û+ä >± u§s¡TdüT|ü&TÉ nH˚ |òTü ≥q F nsTTq

1
P(F) = P(u§s¡TdüT) = (m+<äT≈£î? #·]Ã+#·+&ç)
2

ñ<ëVü≤s¡D-2. ˇø£ dü+∫˝À ˇø£ ms¡T|ü⁄ ã+‹, ˇø£ ˙\+ ã+‹, ˇø£ |üdTü |ü⁄ s¡+>∑T ã+‹ ñHêïsTT. nìï
ã+‘·T\T ˇπø |ü]e÷DeTT ø£*– ñHêïsTT. dü+∫˝ÀìøÏ #·÷&É≈î£ +&Ü e÷qdü ˇø£ ã+‹ì rùdÔ Ä ã+‹
(i) |üdTü |ü⁄ s¡+>∑T ã+‹ (ii) ms¡T|ü⁄ ã+‹ (iii) ˙\+ ã+‹ ne&ÜìøÏ dü+uÛ≤e´‘·\T ø£qT>=q+&ç.

kÕ<Ûqä : e÷qdü #·÷&É≈î£ +&Ü ã+‹ì rdüT≈£îqï~. ø±e⁄q nìï |üs´¡ ekÕqeTT\T düeTdü+uÛeÑ eTT\T. |üdTü |ü⁄
s¡+>∑T ã+‹ì rj·TT |òTü ≥q Y, ˙\+ ã+‹ rj·TT |òTü ≥q B eT]j·TT ms¡T|ü⁄ ã+‹ rj·TT |òTü ≥q R nsTTq
Á|ü‹ s¡÷|ü Äes¡DeTT {Y, B, R}. |üs´¡ ekÕqeTT\T = 3.
(i) Y øÏ nqT≈£L\ |üs´¡ ekÕqeTT\T = 1.
1 1 1
∴ P(Y) = n<˚$<Û+ä >± P(R) = , P(B) =
3 3 3

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 310 10e ‘·s¡>∑‹ >∑DÏ‘·+

|ü]o\q\T
1. ˇø£ Á|üj÷Ó >∑eTT˝À ˇø£ |òTü ≥q≈£î nqT≈£L\ |üs´¡ ekÕqeTT ˇø£ÿ{Ï e÷Á‘·yT˚ nsTTq <ëìì ÁbÕ<∏$ä Tø£
|òTü ≥q (Elementary event) n+{≤s¡T. 1e ñ<ëVü≤s¡D˝À E eT]j·TT F \T ÁbÕ<∏$ä Tø£ |òTü ≥q\T
nfÒ¢ 2e ñ<ëVü≤s¡D˝À Y, B, R \T ≈£L&Ü ÁbÕ<∏$ä Tø£ |òTü ≥q˝Ò.
2. ˇø£≥e ñ<ëVü≤s¡DqT >∑eTìùdÔ : P(E) + P(F) = 1
n<˚ $<Û+ä >± 2e ñ<ëVü≤s¡D˝À : P(Y) + P(R) + P(B) = 1.
ˇø£ Á|üj÷Ó >∑+˝À nìï ÁbÕ<∏$ä Tø£ |òTü ≥q\ jÓTTø£ÿ dü+uÛ≤e´‘·\ yÓTT‘·eÔ TT 1 ne⁄‘·T+~.
3. bÕ∫ø£qT <=]¢+#·T≥˝À 3 ø£Hêï ‘·≈î£ ÿe |ü&TÉ |òTü ≥q\T ø±˙, 3˝Òø£ n+‘·øH£ êï m≈£îÿe |ü&TÉ |òTü ≥q\T
ø±˙ ÁbÕ<∏$ä Tø£ |òTü ≥q\T ø±e⁄. ø±˙ s¬ +&ÉT HêD…eTT\qT m>∑Ts¡yd˚ qæ |ü&ÉT {HH}, {HT},
{TH}, {TT} \T ÁbÕ<∏$ ä Tø£ |òTü ≥q\T.
ñ<ëVü≤s¡D-3. ˇø£ bÕ∫ø£qT ˇø£kÕ] <=]¢+∫q|ü⁄&ÉT (i) 4 ø£Hêï m≈£îÿe |ü&TÉ |òTü ≥q dü+uÛ≤e´‘· (ii) 4 ˝Òø£
n+‘·øH£ êï ‘·≈î£ ÿe |ü&TÉ |òTü ≥q dü+uÛ≤e´‘·qT ø£qT>=q+&ç.
kÕ<Ûqä : (i) ˇø£ bÕ∫ø£qT <=]¢+∫q|ü⁄&ÉT
Á|ü‹s¡÷|ü Äes¡DeTT S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

yÓTT‘·+Ô |üs´¡ ekÕqeTT\T n(S) = 6

ª4 ø£Hêï m≈£îÿeμ nqT |òTü ≥q≈£î

E = {5, 6}
nqT≈£L\ |üs´¡ ekÕHê\T
E ≈£î nqT≈£L\ |üs´¡ ekÕHê\ dü+K´ n(E) = 2
2 1
∴ |òTü ≥q E dü+uÛ≤e´‘· P(E) =
6
=
3
(ii) F nH˚ |òTü ≥q 4 ˝Òø£ n+‘·øH£ êï ‘·≈î£ ÿe |ü&TÉ ≥ nsTTq
Á|ü‹s¡÷|ü Äes¡DeTT S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

yÓTT‘·+Ô |üs´¡ ekÕHê\T n(S) = 6

F≈£î nqT≈£L\ |üs´¡ ekÕHê\T F = {1, 2, 3, 4}

nqT≈£L\ |üs´¡ ekÕHê\ dü+K´ n(F) = 4

4 2
|òTü ≥q F jÓTTø£ÿ dü+uÛ≤e´‘· P(F) = =
6 3

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 dü+uÛ≤e´‘· 311

>∑eTìø£ : ô|’ ñ<ëVü≤s¡D˝Àì |òTü ≥q\T E eT]j·TT F \T ÁbÕ<∏$ä Tø£ |òTü ≥q˝≤ ?
ø±e⁄ |òTü ≥q E≈£î |üs´¡ ekÕHê\T 2, |òTü ≥q F ≈£î |üs´¡ ekÕHê\T 4 ø±e⁄q EF \T ÁbÕ<Û$
ä Tø£ |òTü ≥q\T ø±e⁄.
13.4.2 |üPs¡ø£ |òTü ≥q\T ` dü+uÛ≤e´‘· (complementary events ` probability))

eTT+<äT $uÛ≤>∑eTT˝À ÁbÕ<Û$ä Tø£ |òTü ≥q\ >∑T]+∫ ‘Ó\TdüTø=HêïeTT. ø±˙ ñ<ëVü≤s¡D 3 ˝Àì |òTü ≥q\
ÁbÕ<Û$ä Tø£ |òTü ≥q\T ø±q|üŒ{Ïø,Ï yê{Ï dü+uÛ≤e´‘·\qT |ü]o*ùdÔ
1 2
P(E) + P(F) = + =1
3 3
á ñ<ëVü≤s¡D˝À Á|üj÷Ó >∑+˝À E, F \T e÷Á‘·yT˚ |òTü ≥q\T ªFμ eT]j·TT ªE ø±ì~μ düe÷qeTT\T.
ªE ø±ì~μ nqT |òTü ≥qqT E nì #·÷|ü⁄‘êeTT. Bìì |òTü ≥q E jÓTTø£ÿ ª|üPs¡ø£ |òTü ≥qμ n+{≤s¡T.
∴ P(E) + P(E ø±ì~) = 1

˝Òø£ P(E) + P( E ) = 1, Bì qT+&ç P( E ) = 1 - P(E).

kÕ<Ûës¡D+>± E @<ÓH’ ê ˇø£ |òTü ≥q nsTTq P( ) = 1 – P(E)

Ç$ #˚j·T+&ç
(i) u§eTà |ü&ÉT≥ nH˚~ u§s¡TdüT |ü&ÉT≥≈£î |üPs¡ø£ |òüT≥Hê? ø±s¡D≤\T ‘Ó\|ü+&ç.
(ii) bÕ∫ø£‘√ 1 |ü&ÉT≥ nH˚~ 2, 3, 4, 5, 6 |ü&ÉT≥ nH˚ |òüT≥q\≈£î |üPs¡ø£ |òüT≥qj˚THê ?
(iii) |üs¡düŒs¡+ |üPs¡ø£ |òüT≥q\j˚T´ »‘·\≈£î 5 ñ<ëVü≤s¡D\T Çe«+&ç.

13.4.3 nkÕ<Û´ä |òTü ≥q, K∫Ñ· ˝Òø£ <Ûèä &É |òTü ≥q\T(IMPOSSIBLE AND CERTAIN EVENTS)
ERT

1, 2, 3, 4, 5, 6nì >∑T]Ô+∫ bÕ∫ø£qT <=]¢+#êeTqTø=q+&ç.

(i) bÕ∫ø£qT ˇø£ÿkÕ] <=]¢+∫q|ü⁄&ÉT 7 |ü&˚ dü+uÛ≤e´‘· m+‘·?
ˇø£ bÕ∫ø£qT <=]¢+∫q|ü&ÉT 1, 2, 3, 4, 5,6 nqT 6 |üs¡´ekÕHê\T e÷Á‘·y˚T dü+uÛÑyê\T ø±˙
7 >∑T]Ô+#·ã&ç ñ+&É<äT ø±ã{Ϻ 7 jÓTTø£ÿ nqT≈£L\ |üs¡´ekÕqeTT\T X¯Sq´eTT.

0
∴ P(7 |ü&ÉT≥) = =0
6

nq>± 7 |ü&ÉT≥ ndü+uÛÑeeTT. Ç≥Te+{Ï |òüT≥qH˚ ªªnkÕ<Ûä´|òüT≥qμμ n+{≤s¡T.

(ii) bÕ∫ø£qT ˇø£ÿkÕ] <=]¢+∫q|ü⁄&ÉT 6 ˝Òø£ 6 ø£Hêï ‘·≈£îÿe|ü&˚ dü+uÛ≤e´‘· m+‘·?

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 312 10e ‘·s¡>∑‹ >∑DÏ‘·+

bÕ∫ø£qT ˇø£y|’Ó ⁄ü 6 eT]j·TT $T–*q yÓ|’ ⁄ü \T 6 ø£Hêï ‘·≈î£ ÿe 1, 2, 3, 4, 5 \T >∑T]Ô+|üã&ç ñ

+{≤sTT. ø£qTø£ bÕ∫ø£qT <=]¢+∫q|ü⁄&ÉT 6 ø±˙, 6 ø£Hêï ‘·≈£îÿe ø±˙ |ü&ÉT‘·T+~. nq>± nqT≈£L\
|üs¡´ekÕHê\ dü+K´, yÓTT‘·Ô+ |üs¡´ekÕHê\ dü+K´\T düe÷q+.
6
∴ P(E) = P(6 ˝Òø£ 6 ø£Hêï
‘·≈£îÿe |ü&ÉT≥) = 6 = 1
|òüT≥q dü+uÛÑeeTT K∫Ñ·eTT eT]j·TT dü+uÛ≤e´‘· 1. Ç≥Te+{Ï |òüT≥q\H˚ K∫Ñ· ˝Òø£ <äè&É|òüT≥q\T
n+{≤s¡T.
n(E)
>∑eTìø£: ô|’ ñ<ëVü≤s¡D\ìï+{Ï qT+&ç dü+uÛ≤e´‘· ìs¡«#·q+ P(E) R ˝Àì \eeTT m\¢|ü&ÉT Vü‰s¡eTT
n(S)
ø£Hêï ‘·≈£îÿe ˝Òø£ düe÷qeTT nì ‘Ó*j·TT#·Tqï~ ø±e⁄q 0 ≤ P(E) ≤ 1.
Á|üj·T‹ï+#·+&ç
1. ˇø£ bÕ|ü e<ä›>∑\ bÕ∫ø£ eTTU≤\ô|’ A, B, C, D, E, F nì eTTÁ~+#·ã&ç j·TTqï~. Ä bÕ∫ø£qT
<=]¢+∫q|ü⁄&ÉT (i) A? (ii) D |ü&˚ dü+uÛ≤e´‘·\qT ˝…øÏÿ+#·+&ç?
2. ÁøÏ+~ yêì˝À @$ ˇø£ |òüT≥q jÓTTø£ÿ dü+uÛ≤e´‘·qT dü÷∫+#·˝Òe⁄ ?
(a) 2.3 (b) −1.5 (c) 15% (D) 0.7

Ä˝À∫+∫ #·]Ã+∫ sêj·T+&ç

1. @<Ó’Hê Ä≥˝À @ »≥Tºyês¡T yÓTT<ä{Ï ã+‹ì rdüTø√yê˝À ìs¡ísTT+#·&ÜìøÏ HêD…eTTqT y˚j·T&Éy˚T
ìcÕŒøÏåø£+ n+{≤¬s+<äT≈£î ?
7
2. ˇø£ |òüT≥q jÓTTø£ÿ dü+uÛ≤e´‘· 2 ñ+≥T+<ë? $e]+#·+&ç.
3. ÁøÏ+~ yê{Ï˝À @j˚T yê<äq\T dü‘·´eTT\T ?
i) s
¬ +&ÉT HêD…eTT\T m>∑Ts¡yd˚ qæ |ü&ÉT 3 |üs´¡ ekÕHê\T ñ+{≤sTT. s¬ +&ÉT u§eTà\T, s¬ +&ÉT u§s¡TdüT\T,
1
ˇø£ÿ{Ï u§eTà eTs=ø£{Ï u§s¡TdüT. ø£qTø£ ˇø=ÿø£ÿ |üs¡´ekÕqeTT jÓTTø£ÿ dü+uÛ≤e´‘· 3 .
ii) ˇø£ bÕ∫ø£qT <=]¢+∫q|ü⁄&ÉT |ü&˚~ dü]dü+K´ ˝Òø£ uÒdæ dü+K´. ø±e⁄q uÒdæ dü+K´ |ü&˚
1
dü+uÛ≤e´‘· .
2
13.5 ù|ø£ eTTø£ÿ\T ø±s¡T¶\T ` dü+uÛ≤e´‘· (Playing Cards - Probability)
MTs¡T m|ü&Ó’Hê ù|ø£ eTTø£ÿ\qT #·÷#êsê? ˇø£ ø£≥º˝À 52 ø±s¡T¶\T ñ+{≤sTT. yê{Ï˝À ˇø=ÿø£ÿ{Ï 13
ø±s¡T¶\T >∑\ 4 $uÛ≤>±\T ñ+{≤sTT. Ä $uÛ≤>±\ >∑Ts¡TÔ\T q\T|ü⁄ ùdŒ&é\T (♠), ms¡T|ü⁄ Vü≤è<äj·T+ >∑Ts¡TÔ\T
(♥), ms¡T|ü⁄ &Ó’eT+&ÉT\T (♦) eT]j·TT q\T|ü⁄ ø£fi≤es¡T\T (♣).

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 dü+uÛ≤e´‘· 313

eTs¡˝≤ ˇø=ÿø£ÿ $uÛ≤>∑+˝À @dt, sêE, sêDÏ, C≤ø°10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 >∑T]Ô+#·ã&çq 13 ø±s¡T\¶ T

ñ+{≤sTT. sêE, sêDÏ , C≤ø˘
ø±s¡T\¶ qT eTTKø±s¡T\¶ +{≤s¡T. ˇø£
ø£≥˝º Àì nìï ø±s¡T\¶ T, ø=ìï ø±s¡T\¶ T
˝Òø£ ¬s+&ÉT ø£≥º\qT ñ|üjÓ÷–+∫
s¡øs£ ø¡ ±\ Ä≥\qT Ä&ÉT‘ês¡T. á
ø±s¡T\¶ qT |ü+#·T≥˝À, m<äT{Ïyê] e<ä›
ñqï ø±s¡ T ¶ \ qT }Væ ≤ +#· T ≥˝À,
¬>\T#·T≥≈£î m‘·TÔ\T y˚j·TT≥˝À
dü+uÛ≤e´‘· m+‘·>±H√ ñ|üj÷Ó >∑|&ü TÉ ‘·T+~.

ñ<ëVü≤s¡D-4. u≤>∑T>± ø£\T|üã&çq ù|ø±≥ ø±s¡T\¶ ø£≥˝º À 52 ø±s¡T\¶ qT+&ç ˇø£ÿ ø±s¡T¶ rj·TT≥˝À n~
(i) @dt n>∑T≥≈£î (ii) @dt ø±ø£ b˛e⁄≥≈£î dü+uÛ≤e´‘·\qT ˝…øÿÏ +#·+&ç.
kÕ<Ûqä : ø±s¡T\¶ T u≤>∑T>± ø£\T|üã&ܶsTT. ø±e⁄q |üs´¡ ekÕHê\˙ï düeTdü+uÛeÑ eTT\T>± |ü]>∑D+Ï #ê*.
(i) ˇø£ ø£≥˝ º À 4 @dt\T ñ+{≤sTT.
rdüTø=qï ø±s¡T¶ @dt ne&É+ nH˚ |òTü ≥q E nsTT‘˚
E ≈£î nqT≈£L\ |üs´¡ ekÕHê\ dü+K´ = 4
yÓTT‘·+Ô |üs´¡ ekÕHê\ dü+K´ = 52 (m{À¢ }Væ≤+#·>\∑ sê ?)
4 1
∴ ø±s¡T¶ @dt n>∑T≥≈£î dü+uÛ≤e´‘·, P(E) = 52 = 13
(ii) rdüT≈£îqï ø±s¡T¶ @dt ø±<äT nH˚ |òTü ≥q F nsTT‘˚
F ≈£î nqT≈£L\ |üs´¡ ekÕHê\ dü+K´ = 52 - 4 = 48 (m+<äT≈£î?)
yÓTT‘·+Ô |üs´¡ ekÕHê\ dü+K´ = 52
48 12
∴ ø±s¡T¶ @dt ø±ø£b˛e⁄≥≈£î dü+uÛ≤e´‘· P(F) = =
52 13
Á|ü‘ê´e÷ïj·T |ü<‹Δä : |òTü ≥q F nq>± E ø±ì~ ( E ) ø±e⁄q
|üPs¡ø£ |òTü ≥q\qT ñ|üj÷Ó –+∫ F jÓTTø£ÿ dü+uÛ≤e´‘· ø£qT>=qe#·TÃ.
1 12
P (F) = P( E ) = 1 - P(E) = 1 - =
13 13
Á|üj·T‹ï+#·+&ç
MT <ä>sZ∑ ¡ ˇø£ ø£≥º ù|ø±≥ ø±s¡T\¶ T u≤>∑T>± ø£\T|üã&ç ñHêïsTT nqTø=q+&ç. yê{Ï qT+&ç j·÷<äè∫äøe£ TT>±
rdæq ø±s¡T¶
1. sêDÏ n>∑T≥≈£î dü+uÛ≤e´‘· m+‘·?

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 314 10e ‘·s¡>∑‹ >∑DÏ‘·+

2. eTTK ø±s¡T¶ n>∑T≥≈£î dü+uÛ≤e´‘· m+‘· ?

3. ùdŒ&é n>∑T≥≈£î dü+uÛ≤e´‘· m+‘· ?
4. ùdŒ&é, eTTK ø±s¡T¶ n>∑T≥≈£î dü+uÛ≤e´‘· m+‘·?
5. eTTKø±s¡T¶ ø±ø£b˛e⁄≥≈£î dü+uÛ≤e´‘· m+‘·?

13.6 dü+uÛ≤e´‘· jÓTTø£ÿ ñ|üjÓ÷>±\T

dü+uÛ≤e´‘· ñ|üj÷Ó >∑|&ü ˚ eT]ø=ìï dü+<äsꓤ\qT |ü]o*<ë›+. Ä≥\ b˛{°\˝À ø=ìï <˚XÊ\T #ê˝≤
ã\yÓTqÆ $, ø=ìï n+‘· ã\yÓTqÆ $ ø±<äT ø£<ë? ˇø£ Ä≥˝Àì Ç<äs› T¡ Ä≥>±fi¯ófl düe÷q+>± Ä&É>\∑ s¡ì
#Ó|Œü ˝ÒeTT. ˇø£ Ä≥>±&ÉT ˝Òø£ »≥Tº >¬ *#˚ dü+uÛ≤e´‘· K∫ä‘+· >± s¬ +&Ée Ä≥>±&ÉT ˝Òø£ »≥Tº jÓTTø£ÿ dü+uÛ≤e´‘·
ø£Hêï m≈£îÿe. eTq ã+<ÛTä e⁄\T, ùdïVæ≤‘·T\ |ü⁄{Ïqº s√E\T ˇπø s√E ekÕÔsTT. Ç˝≤ sêe&É+ kÕ<Ûës¡De÷,
j·÷<äè∫äøe£ ÷? neø±XÊ˝…+‘· ñ+{≤sTT? yÓTT<ä\>∑T Á|üXï¯ \≈£î »yêãT\≈£î, Á|üe÷D°øs£ D¡ #˚jT· &ÜìøÏ kÕ+Á|ü<ëj·Tø£
dü+uÛ≤e´‘· m+‘·>±H√ ñ|üj÷Ó >∑|&ü TÉ ‘·T+~.

ñ<ëVü≤s¡D`5. dü+^‘·, sπ cÕà\T f…˙ïdt Ä≥qT Ä&ÉT‘·THêïs¡T. dü+^‘· >¬ *#˚ dü+uÛ≤e´‘· 0.62 nsTTq|ü&ÉT
sπ wüà >¬ *#˚ dü+uÛ≤e´‘· ø£qT>=q+&ç.
kÕ<Ûqä : dü+^‘·, sπ cÕà\T Ä≥qT >¬ *#˚ |òTü ≥q\qT S, R \T dü÷∫düTHÔ êïsTT nqTø=qTeTT.
dü+^‘· >¬ *#˚ dü+uÛ≤e´‘· = P(S) = 0.62 (<ä‘êÔ+X¯+)
|üPs¡ø£ dü+uÛ≤e´‘·\qT nqTdü]+∫
sπ wüà >¬ *#˚ dü+uÛ≤e´‘· = P(R) = 1 - P(S)
= 1 -0.62 = 0.38

ñ<ëVü≤s¡D-6. XÊs¡<,ä Vü≤MT<ä eT+∫ ùdïVæ≤‘·T\T. yê]<ä]› |ü⁄{Ïqº s√E |ü+&ÉT>∑\T dü+e‘·‡s¡+˝À (©|ü⁄
dü+e‘·‡s¡+ ø±<äT) (i) y˚sT¡ y˚sT¡ s√E sêe&ÜìøÏ ? (ii) ˇπø s√E sêe&ÜìøÏ dü+uÛ≤e´‘·\T ˝…øÿÏ +#·+&ç.
kÕ<Ûqä : dü+e‘·‡s¡+˝À 365 s√E\˝À Ç<ä]› ˝À me] |ü⁄{Ïqº s√E nsTTHê @s√E nsTTHê sêe#·TÃqT. ø±e⁄q
yÓTT‘·+Ô 365 |üs´¡ ekÕHê\T düeTdü+uÛeÑ eTT\ì |ü]>∑D+Ï #ê*.
(i) XÊs¡<ë, s
π wüà\ |ü⁄{Ïqº s√E\T y˚sT¡ y˚sT¡ s√E\T ne&ÜìøÏ nqT≈£L\ |üs´¡ ekÕHê\T R 365 - 1 = 364
364
∴ P (y˚sT¡ y˚sT¡ |ü⁄{Ïq
º s√E\T) = 365

(ii) P(ˇπø s√E |ü⁄{Ïq

º s√E) = 1 - P (y˚sT¡ y˚sT¡ |ü⁄{Ïqº s√E\T)
364 1
= 1- =
365 365

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 dü+uÛ≤e´‘· 315

ñ<ëVü≤s¡D-7. 40 eT+~ $<ë´s¡T\ú T ø£\ ‘·s>¡ ‹∑ ˝À 25 eT+~ u≤*ø£\T, 15 eT+~ u≤\Ts¡T ñHêïs¡T. ‘·s>¡ ‹∑
Á|ü‹ì~Ûì ìj·T$T+#·&Üì¬ø,’ yê] ñbÕ<Ûë´j·TTsê\T n+<ä] ù|s¡q¢ T $&ç$&ç ø±s¡T\¶ ô|’ Áyêdæ, ˇø£ ô|f…˝º À y˚d,æ
u≤>± ø£*|æ, ˇø£ ø±s¡Tq¶ T rkÕs¡T. Ä ø±s¡Tô¶ |’ ù|s¡T (i) ne÷àsTT ˝Òø£ (ii) nu≤“sTT~ ø±e&ÜìøÏ dü+uÛ≤e´‘·\T
˝…øÿÏ +#·+&ç.
kÕ<Ûqä : ø±s¡T\¶ ˙ï düe÷q+ nsTT‘˚ 40 eT+~˝À me] ù|s¡T ø±s¡T¶ nsTTHê sêe#·TÃqT.
yÓTT‘·+Ô |üs´¡ ekÕHê\ dü+K´ 40
(i) rdæq ø±s¡Tô¶ |’ ne÷àsTTù|s¡T ñ+&É&ÜìøÏ nqT≈£L\ |üs´¡ ekÕHê\ dü+K´ = 25
25 5
∴ P (ne÷àsTT ù|s¡T>∑\ ø±s¡T)¶ = P(ne÷àsTT) = =
40 8
(ii) rdæq ø±s¡Tô¶ |’ nu≤“sTT ù|s¡T ñ+&É&ÜìøÏ nqT≈£L\ |üs´¡ ekÕHê\T = 15
15 3
∴ P( nu≤“sTT ù|s¡T >∑\ ø±s¡T¶) = P(nu≤“sTT) = 40 =
8
˝Ò<ë P(nu≤“sTT) = 1 - P(nu≤“sTTø±ì~)
5 3
= 1 - P(neֈsTT) = 1 - =
8 8

nuÛ≤´düeTT - 13.1
1. ÁøÏ+~ Á|üe#·Hê\qT |üP]+#·+&ç.
(i) |òTü ≥q E jÓTTø£ÿ dü+uÛ≤e´‘· + |òTü ≥q 'Eø±<äT' dü+uÛ≤e´‘· = ______________
(ii) m\¢|ü &ÉT kÕ<Û´ä |ü&ìÉ |òTü ≥q jÓTTø£ÿ dü+uÛ≤e´‘· __________ .
<ëìì __________ |òTü ≥q n+{≤s¡T.
(iii) K∫Ñ·+>± dü+uÛ$ Ñ +#˚ |òTü ≥q jÓTTø£ÿ dü+uÛ≤e´‘· __________.
<ëìì______ |òTü ≥q n+{≤s¡T.
(iv) ˇø£ Á|üj÷ Ó >∑+˝Àì nìï ÁbÕ<Û$ä Tø£ |òTü ≥q\ jÓTTø£ÿ dü+uÛ≤e´‘·\ yÓTT‘·eÔ TT _________
(v) ˇø£ |òTü ≥q jÓTTø£ÿ dü+uÛ≤e´‘· m\¢|ü &ÉT __________ ø£Hêï m≈£îÿe ˝Òø£ düe÷qeTT eT]j·TT
_______ ø£Hêï ‘·≈î£ ÿe ˝Òø£ düe÷qeTT >± ñ+≥T+~.
2. ÁøÏ+~ Á|üj÷Ó >±\˝À <˚ì |üs´¡ ekÕqeTT\T düeTdü+uÛeÑ eTT\T ? $e]+#·+&ç.
(i) kÕºsT¡ º #˚jT· uÀsTTq ø±s¡T kÕºsT¡ º ne⁄‘·T+~ ˝Òø£ ø±<äT.
(ii) ˇø£ Ä≥>±&ÉT u≤ôdÿ{Ÿ u≤˝ŸqT ø=≥ºuÀ‘˚, n~ ‘·>T∑ \T‘·T+~, ˝Òø£ ‘·>\ ∑ <äT
(iii) ‘·|ü `ˇ|ü Á|üXï¯ ≈£î düe÷<ÛëqeTT Áyêdæq|ü&ÉT n~ dü]ø±e#·TÃ, ø±ø£b˛e#·TÃ.
(iv) |ü⁄{Ïq º |üdbæ Õ|ü nu≤“sTT ˝Òø£ ne÷àsTT ø±e#·TÃ.

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 316 10e ‘·s¡>∑‹ >∑DÏ‘·+

3. P(E) = 0.05 nsTTq 'E ø±<äT' jÓTTø£ÿ dü+uÛ≤e´‘· m+‘·?

4. ˇø£ dü+∫˝À ìeTàyêdüq >∑\ #êø=˝Ò{Ÿ\T ñHêïsTT. e÷*ì #·÷&É≈î£ +&Ü dü+∫qT+&ç ˇø£ #êø=˝Ò{Ÿ rùdÔ
n~ (i) Hê]+»yêdüq >∑\~ ne&ÜìøÏ (ii) ìeTà yêdüq>∑\~ ne&ÜìøÏ dü+uÛ≤e´‘·\T ˝…øÿÏ +#·+&ç.
5. s¡V≤” yéT ˇø£ ù|ø±≥ ø±s¡T\¶ ø£≥˝º Àì nìï Vü≤è<äjT· |ü⁄ >∑Ts¡TÔ >∑\ ø±s¡T\¶ qT ‘=\–+#ê&ÉT. Ç|ü&ÉT
i. ˇø£ ø±s¡Tq ¶ T mqTïø=+fÒ n~ @dt nj˚T´ dü+uÛ≤e´‘· m+‘·?
ii. &Óe ’ T+&ÉTqT mqTïø=H˚ dü+uÛ≤e´‘· m+‘·?
iii. Vü≤è<äjT· + >∑Ts¡TÔ ˝Òì ø±s¡T¶ mqTïø=H˚ dü+uÛ≤e´‘· m+‘· ?
iv. Vü≤è<äjT· + >∑Ts¡TÔ >∑\ @dtqT mqTïø=H˚ dü+uÛ≤e´‘· m+‘·?
6. eTT>∑TsZ T¡ $<ë´s¡T\Δ ˝À Ç<ä]› |ü⁄{Ïqº s√E\T dü+e‘·‡s¡eTT˝À ˇπøs√E sêì dü+uÛ≤e´‘· 0.992 nsTTq
ˇπøs√E e#˚Ã dü+uÛ≤e´‘· m+‘·?
7. ˇø£ bÕ∫ø£qT ˇø£ÿkÕ] <=]¢+∫q|ü&ÉT @s¡Œ&ÉT |üs´¡ ekÕqeTT\‘√ ÁøÏ+~ |òTü ≥q\ dü+uÛ≤e´‘·\qT
ø£qT>=q+&ç.
(i) Á|ü<ëÛ qdü+K´; (ii) 2, 6\ eT<Û´ä dü+K´; (iii) uÒdæ dü+K´
8. ˇø£ ù|ø£eTTø£ÿ\ ø£≥º qT+&ç ms¡T|ü⁄ s¡+>∑T sêEqT rj·TT dü+uÛ≤e´‘· m+‘·?
9. bÕ∫ø£\qT, ø±s¡T\¶ qT, |ü⁄{Ïqº s√E dü+<äsꓤ\qT ñ|üj÷Ó –+#·T ø=ì ◊<äT düeTdü´\qT ‘·j÷· s¡T#˚dæ
yê{Ï kÕ<Ûqä \qT >∑T]+∫ $TÁ‘·T\‘√ ñbÕ<Ûë´j·TTì‘√ #·]Ã+#·+&ç.
13.7 dü+uÛ≤e´‘· jÓTTø£ÿ eT]ø=ìï nqTes¡ÔHê\T
Ç|üŒ{Ïes¡≈î£ dü+uÛ≤e´‘· ø=s¡≈î£ ø=ìï dü+<äsꓤ\qT #·]Ã+#êeTT. Ä dü+<äs“¡ e¤ TT\˝Àì $wüjT· eTTqT,
dü+uÛ≤e´‘·qT >∑D+Ï #·T≥˝À bÕ{Ï+∫q $$<Ûä |ü<‘Δä T· \qT >∑eTì+#·+&ç. |üPs¡ø£ |òTü ≥q\ jÓTTø£ÿ dü+uÛ≤e´‘·\
yÓTT‘·+Ô 1 ne⁄‘·Tqï~. ÁbÕ<Û$ä Tø£ |òTü ≥q\ dü+uÛ≤e´‘·\ yÓTT‘·+Ô 1 ne⁄‘·T+~. Ç|üŒ{Ï es¡≈î£ #·]Ã+∫q
ñ<ëVü≤s¡D\‘√, nuÛ≤´düeTT düeTdü´\˝À á $wüj÷· \qT >∑eTì+#êsê ? MT $TÁ‘·T\‘√, ñbÕ<Ûë´j·TT\‘√
#·]Ã+#·+&ç. eT]ø=ìï Á|ü‘´˚ ø£ ñ<ëVü≤s¡D\qT |ü]o*<ë›eTT.

ñ<ëVü≤s¡D-8. ˇø£ ô|f…˝º À 3˙\+, 2 ‘Ó\T|ü⁄, 4 ms¡T|ü⁄ >√∞\T ø£\e⁄. j·÷<äè∫äø+£ >± ô|f…º qT+&ç ˇø£
>√∞qT rdüTø=+fÒ n~ (i) ‘Ó\T|ü⁄ (ii) ˙\+ (iii) ms¡T|ü⁄ s¡+>∑T >√∞ n>∑T≥≈£î dü+uÛ≤e´‘·\T >∑eTì+#·+&ç.
kÕ<Ûqä : j·÷<äè∫Ãø£+>± >√∞qT rdüTø=qT≥ nq>± nìï |üs´¡ edüHê\T düeT dü+uÛyÑ ê\T.
∴ Á|ü‹ s¡÷|ü Äes¡D˝Àì |üs´¡ edüHê\ dü+K´ = 3 +2 + 4 = 9
‘Ó\ì¢ >√∞ rj·TT |òTü ≥qqT W #˚, ˙\+ >√∞ rj·TT |òTü ≥qqT B#˚, ms¡T|ü⁄ >√∞rj·TT |òTü ≥qqT R #˚
>∑T]ÔùdÔ
(i) W ≈£î nqT≈£L\ |üs´¡ ekÕHê\ dü+K´ = 2

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 dü+uÛ≤e´‘· 317

2
∴ P(W) =
9

3 1 4
Ç<˚$<Û+ä >±, (ii) P(B) = 9 = , (iii) P(R) =
3 9

>∑eTìø£ P(W) + P(B) + P(R) = 1.

ñ<ëVü≤s¡D-9. Vü≤ØŒ‘Y s¬ +&ÉT HêD…eTT\qT ( D1 eT]j·TT D2) ˇπøkÕ] m>∑Ts¡yd˚ Hæ ê&ÉT. ø£˙dü+ ˇø£ u§eTà
|ü&TÉ ≥≈£î dü+uÛ≤e´‘· ø£qT>=q+&ç.
kÕ<Ûqä : u§eTàqT H‘√ u§s¡TdüTqT T ‘√ dü÷∫ùd,Ô s¬ +&ÉT HêD…eTT\T m>∑Ts¡yd˚ qæ |ü&ÉT @s¡Œ&ÉT nìï |üs´¡ ekÕqeTT\T
(H, H), (H, T), (T, H), (T, T) Ç$ n˙ï düeTdü+uÛy Ñ ê˝Ò. Ç+<äT (H, H) nq>± yÓTT<ä{Ï HêD…+ (D1) u§eTà,
s¬ +&Ée HêD…+ (D2) u§eTà nì ns¡+ú . nfÒ¢ (H, T) nq>± yÓTT<ä{Ï HêD…+ u§eTà s¬ +&Ée HêD…+ u§s¡TdüT nì
ns¡+Δ . nfÒ¢ $T–*q |üs´¡ ekÕHê\T.
ø£˙dü+ ˇø£ u§eTà≈£î nqT≈£L\ |üs´¡ ekÕHê\T E = {(H, H), (H, T), (T, H)}

E ≈£î nqT≈£L\ |üs´¡ ekÕHê\ dü+K´ n(E) R 3.

3
P(E) = [∵ Á|ü‹s¡÷|ü Äes¡D˝À |üs´¡ ekÕHê\T 4]
4
3
nq>± Vü≤ØŒ‘Y ø£˙dü+ ˇø£ u§eTà bı+<˚ dü+uÛ≤e´‘· R 4
dü]#·÷&É+&ç.
Ç|üŒ{Ï es¡≈î£ #·]Ã+∫q nìï dü+<äs“¡ e¤ TT\˝À Á|ü‹s¡÷|ü Äes¡DeTT˝Àì |üs´¡ ekÕqeTT\ dü+K´ |ü]$T‘·eTT.
ø=ìï Á|üj÷Ó >∑eTT\˝À |üs´¡ ekÕqeTT\T s¬ +&ÉT dü+K´\ eT<Û´ä nìï dü+K´\T, ˇø£ eè‘·+Ô ˝Òø£ Bs¡#È ‘· T· s¡Ádü+
˝Àì nìï _+<äTe⁄\T nj˚T´ neø±X¯+ ñ+~. Ç≥Te+{Ï dü+<äsê“\˝À |üs´¡ ekÕqeTT\ dü+K´qT ˝…øÿÏ +#·˝eÒ TT.
n$ n|ü]$T‹eTT\T ( s¬ +&ÉT dü+K´\ eT<Û´ä n|ü]$T‘· yêdüeÔ dü+K´\T ñ+{≤sTT, eè‘·+Ô ˝Òø£ Bs¡È #·‘T· s¡Ádü+
˝Àì _+<äTe⁄\T n|ü]$T‘·+) dü+uÛ≤e´‘· jÓTTø£ÿ ôd<’ ëΔ+‹ø£ ìs¡«#·q+, dü÷Á‘· s¡÷|üeTT\T á dü+<äs“¡ e¤ TT˝À
ñ|üj÷Ó >∑|&ü eÉ ⁄.
n≥Te+{Ï düeTdü´\qT m≥T¢ >∑D+Ï #·e#·TÃH√ ÁøÏ+~ ñ<ëVü≤s¡D <ë«sê #·]Ã<ë›+.
ñ<ëVü≤s¡D-10. (yê]¸ø£ |üØø£\å ≈£î ø±<äT) eT÷´õø£˝Ÿ #Ós’ ‡Y Ä≥˝À, Ä≥ yÓTT<ä˝q’… 2 ì$TcÕ\ ˝À|ü⁄ @<√ ˇø£
1
düeTj·T+˝À bÕ≥ Ä>∑T‘·T+~, Ä≥>±fi¯ófl Ä>±*. nsTT‘˚ Ä≥ yÓTT<ä˝q’… 2
ì$Twü+˝À|ü⁄ bÕ≥ Ä|ü⁄ |òTü ≥q≈£î
dü+uÛ≤e´‘·qT ˝…øÿÏ +#·+&ç.

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 318 10e ‘·s¡>∑‹ >∑DÏ‘·+

kÕ<Ûqä : bÕ≥ Ä|ü⁄ düeTj·T+ jÓTTø£ÿ |üs´¡ edüHê\T 0 eT]j·TT 2 \ eT<Û´ä >∑\ nìï yêdüeÔ dü+K´\T. Bìì
dü+U≤´πsKô|’ dü÷∫ùdÔ

0 1 1 2
2
1
2
ì$Twü+˝À|ü⁄ bÕ≥ Ä>∑TqT nqT|òTü ≥qqT Eì dü÷∫ùdÔ
1
E ≈£î nqT≈£L\ |üs´¡ ekÕqeTT\T nq>± dü+U≤´πsKô|’ 0 , \ eT<Û´ä >∑\ nìï _+<äTe⁄\T
2
1 1
0≈£î, 2≈£î eT<Û´ä >∑\ <ä÷s¡+ 2 nsTTq 0, 2 \ eT<Û´ä <ä÷s¡+ 2
ne⁄‘·T+~.
Á|üj÷Ó >∑+˝Àì nìï |üs´¡ ekÕqeTT\˙ï düeTdü+uÛeÑ eTT\T ø±e⁄q yÓTT‘·+Ô <ä÷s¡+ (ø±\+) 2 nì, E ≈£î
1
nqT≈£L\ <ä÷s¡+ (ø±\+) 2 nì |ü]>∑D+Ï #·e#·TÃqT.
1
∴ P(E) =
E ≈£î nqT≈£L\ <ä÷s¡eTT = 2 = 1
yÓTT‘·Ô+ <ä÷s¡eTT 2 4
Ç<˚ $<Ûyä TÓ qÆ e÷s¡TŒqT yÓX’ Ê\´eTT \≈£î ≈£L&Ü
$düÔ]+∫ m≥T¢ ñ|üjÓ÷–+#·e#·TÃH√ ÁøÏ+~ ñ 6 øÏkm
.MT.
<ëVü≤s¡D <ë«sê |ü]o*<ë›+.
Lake
ñ<ëVü≤s¡D-11. Á|ü ø £ ÿ |ü ≥ +˝À #· ÷ |ü ã &ç q
øÏ.MT.
4.5 km

Bs¡È#·‘·Ts¡ÁkÕø±s¡ ÁbÕ+‘·+˝À ˇø£ ôV≤*ø±|üºs¡T

≈£L*b˛sTT+<äì düe÷#ês¡+ e∫Ã+~. n~ ø=\qT
2 km .MT
øÏkm.
.

(lake)˝À ≈£L* b˛sTT ñ+&ÉT≥≈£î dü+uÛ≤e´‘· m+‘·?

2.5

kÕ<Ûäq : yÓTT‘·Ô+ Bs¡È#·‘·Ts¡ÁkÕø±s¡ düú\eTT˝À

ôV≤*ø±|üºsY @ _+<äTe⁄ e<ä› nsTTHê ≈£L* 9 øÏ
km .MT.
ñ+&Ée#·TÃqT.
ú yÓX’ Ê\´eTT n(S) = (4.5 × 9) øÏ.MT2 = 40.5 øÏ.MT2
∴ |òTü ≥q »s¡T>∑T≥≈£î |üP]Ô dü\
|òTü ≥q E »s¡T>∑T≥≈£î nqT≈£L\ ÁbÕ+‘·eTT n(E) = (2 × 3) øÏ.MT2 = 6 øÏ.MT2
6 4
∴ P (ôV≤*ø±|üs
º T¡ düsd¡ Tü ‡˝À ≈£L\T≥) = =
40.5 27

ñ<ëVü≤s¡D-12. ˇø£ ô|f…˝º Àì 100#=ø±ÿ\˝À 88dü]>±Z ñqï$. 8 #=ø±ÿ\T ø=~› ˝ÀbÕ\qT, 4 #=ø±ÿ\T m≈£îÿe
˝ÀbÕ\qT ø£*– ñHêïsTT. C≤˙ nH˚ yê´bÕ] eT+∫ #=ø±ÿ\qT e÷Á‘·yT˚ ø=+{≤&ÉT. düTC≤‘· nqT eTs=ø£
yê´bÕ] m≈£îÿe ˝ÀbÕ\Tqï #=ø±ÿ\qT e÷Á‘·yT˚ ìsêø£]düT+Ô ~ (ø=q<äT) ô|f…˝º À qT+&ç j·÷<äè∫äø+£ >± ˇø£
#=ø±ÿqT rùdÔ mes¡T ø=H˚ dü+uÛ≤e´‘· m+‘·? (i) C≤˙ (ii) düTC≤‘·

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 dü+uÛ≤e´‘· 319

kÕ<Ûqä : ô|f…˝º Àì 100 #=ø±ÿ\˝À qT+&ç 1 #=ø±ÿ j·÷<äè∫Ãø£+>± rj·Tã&çq~ nq>± |üs´¡ ekÕqeTT\˙ï
düeTdü+uÛyÑ ê\T.
(i) C≤˙ ø=qT≥≈£î nqT≈£L\ |üs´¡ edüHê\T = 88
88
P (C≤˙ #=ø±ÿqT ø=qT≥) = 100 = 0.88

(ii) düTC≤‘· #=ø±ÿ ø=qT≥≈£î nqT≈£L\ |üs´¡ ekÕHê\T = 88 + 8 = 96

96
∴ P (düTC≤‘· #=ø±ÿqT ø=qT≥) = 100 = 0.96

ñ<ëVü≤s¡D-13. s¬ +&ÉT bÕ∫ø£\T, ˇø£{Ï mÁs¡ì~, ˇø£{Ï ‘Ó\ì¢ ~, ˇπøkÕ] <=]¢+#·&+É »]–+~. kÕ<ä´|ü&TÉ
nìï |üs´¡ ekÕqeTT\qT ù|s=ÿq+&ç s¬ +&ÉT bÕ∫ø£\ô|’ ø£ì|æ+#˚ dü+K´\ yÓTT‘·+Ô . (i) 8 (ii) 13 eT]j·TT
(iii) 12 ˝Òø£ 12 n+‘·øH
£ êï ‘·≈î£ ÿe ne&ÜìøÏ dü+uÛ≤e´‘·\T m+‘Ó+‘·?
kÕ<Ûqä : ms¡T|ü⁄ bÕ∫ø£ô|’ 1 ñqï|ü&ÉT ‘Ó\T|ü⁄
bÕ∫ø£ ô |’ 1, 2, 3, 4, 5 ˝Ò ø £ 6 @<ä s TTHê 1 2 3 4 5 6
ñ+&Ée#·TÃqT nfÒ¢ ms¡T|ü⁄ bÕ∫ø£ô|’ '2', '3', '4', 1 1, 1 1, 2 1, 3 1, 4 1, 5 1, 6
'5' ˝Ò ø £ '6' \Tñqï|ü  &É T ≈£ L &Ü $$<Û ä 2 2, 1 2, 2 2, 3 2, 4 2, 5 2, 6
3 3, 1 3, 2 3, 3 3, 4 3, 5 3, 6
|üs´¡ ekÕqeTT\T ñ+{≤sTT. Á|üj÷Ó >∑+˝À kÕ<ä´|ü&TÉ
4 4, 1 4, 2 4, 3 4, 4 4, 5 4, 6
nìï |üs´¡ ekÕqeTT\T |ü{øºÏ ˝£ À Áø£eT j·TT>±à\T>± 5 5, 1 5, 2 5, 3 5, 4 5, 5 5, 6
#·÷|üã&ܶsTT. Á|ü‹ Áø£eTj·TT>∑à+‘√ yÓTT<ä{~Ï ms¡T|ü⁄ 6 6, 1 6, 2 6, 3 6, 4 6, 5 6, 6
bÕ∫ø£ô|’ dü+K´, s¬ +&Ée~ ‘Ó\T|ü⁄ bÕ∫ø£ô|’ dü+K´
ø±e⁄q ñ<ëVü≤s¡D≈£î (1, 4) , (4, 1) Áø£eTj·TT>±à\T düe÷q+ ø±e⁄.
∴ yÓTT‘·+Ô kÕ<Û´ä |ü&TÉ |üs´¡ ekÕHê\ dü+K´ n(S) = 6 × 6 = 36.
(i) |òTü ≥q E (s¬ +&ÉT dü+K´\ yÓTT‘·+Ô 8) jÓTTø£ÿ
nqT≈£L\ |üs´¡ ekÕHê\T R {(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)}
E ≈£î nqT≈£L\ |üs´¡ ekÕHê\ dü+K´ n(E) = 5
n(E) 5
∴ P(E) = =
n(S) 36
(ii) |òTü ≥q F (s¬ +&ÉT dü+K´\ yÓTT‘·+Ô 13) ≈£î nqT≈£L\ |üs´¡ ekÕHê\T X¯Sq´eTT.
0
∴ P(F) = =0
36
(iii) |òTü ≥q G (12 ˝Òø£ n+‘·øH£ êï ‘·øî£ ÿe)≈£î nìï |üs´¡ ekÕHê\T nqT≈£L\eTT˝Ò
36
∴ P(G) = =1
36

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 320 10e ‘·s¡>∑‹ >∑DÏ‘·+

nuÛ≤´düeTT - 13.2
1. ˇø£ dü+∫˝À 3 ms¡T|ü⁄, 5 q\T|ü⁄ ã+‘·T\T ø£\e⁄. dü+∫ qT+∫ j·÷<äè∫äø+£ >± ˇø£ ã+‹ì rùdÔ n~ (i)
ms¡T|ü⁄<Ó’ ñ+&ÉT≥≈£î (ii) ms¡T|ü⁄~ ø±ø£b˛e⁄≥≈£î dü+uÛ≤e´‘·\T m+‘Ó+‘·?
2. ˇø£ ô|f…˝º À 5 ms¡T|ü⁄, 8 ‘Ó\T|ü⁄, 4 Ä≈£î|ü#÷ >√∞\T ø£\e⁄. ô|f…º qT+&ç j·÷<äè∫äø+£ >± ˇø£ >√∞qT rùdÔ
n~ (i) ms¡T|ü⁄ (ii) ‘Ó\T|ü⁄ (iii) Ä≈£î|ü#÷ ø±ì~ n>∑T≥ø≈£î dü+uÛ≤e´‘·\T ø£qT>=q+&ç.
3. ˇø£ øÏ&¶ç u≤´+≈£î &Éu≤“˝À e+<ä 50ô|’ HêD…eTT\T, j·÷uÛ’… D1 HêD…eTT\T, Çs¡y’Ó D2 HêD…eTT\T, |ü~ D5
HêD…eTT\T ñHêïsTT. &Éu≤“qT ‘·\ÁøÏ+<äT\T #˚dæ q|ü&É˝≤¢ j·÷<äè∫äø+£ >± ˇø£ÿ HêD…+ |ü&TÉ ‘·T+fÒ n~ (i)
50 ô|’ HêD…+ n>∑T≥≈£î, (ii) D5 HêD…+ ø±ø£b˛e⁄≥≈£î dü+uÛ≤e´‘·\T m+‘Ó+‘·?
4. >√|æ nπø«]j·T+ qT+&ç ˇø£ #˚|qü T ø=Hêï&ÉT. nπø«]j·T+˝À 5 eT>∑ #˚|\ü T, 8
Ä&É#|˚ \ü T ñ+&çq|ü&ÉT, yê´bÕ] j·÷<äè∫Ãø£eTT>± ˇø£ #˚|qü T rdæ Ç∫à ñ
+fÒ, Ä #˚|ü eT>∑ #˚|ü ne&ÜìøÏ dü+uÛ≤e´‘· m+‘·?
5. ˇø£ Ä≥ q+<äT y˚>+∑ >± Á‹|üŒã&çq u≤D|ü⁄ >∑Ts¡TÔ |ü≥eTT˝À #·÷|üã&çq≥T¢, 1,
2, 3, 4, 5, 6, 7 ˝Òø£ 8 ì dü÷∫dü÷Ô Ä>∑T‘·T+~. nìï |üs´¡ ekÕqeTT\T
düeTdü+uÛeÑ eTT˝…‘’ ˚ ÁøÏ+~ |òTü ≥q\ dü+uÛ≤e´‘·\T ˝…øÿÏ +#·+&ç. u≤D|ü⁄ >∑Ts¡TÔ
8 1
dü÷∫+#˚~
7 2
(i) 8 (ii) ˇø£ uÒdd
æ +ü K´
6 3
(iii) 2 ø£Hêï ô|<ä› dü+K´ (iv) 9 ø£Hêï ∫qï dü+K´ 5 4
6. u≤>∑T>± ø£\T|üã&çq ù|ø£ eTTø£ÿ\ (52) ø£≥qº T+&ç j·÷<äè∫äø+£ >± ˇø£ ø±s¡Tq¶ T rùdÔ n~ ÁøÏ+~ ø±s¡T¶
n>∑T≥≈£î dü+uÛ≤e´‘·\T ˝…øÿÏ +#·+&ç.
(i) ms¡T|ü⁄ sêE (ii) eTTK ø±s¡T¶ (iii) ms¡T|ü⁄, eTTK ø±s¡T¶
(iv) Vü≤è<äjT· + >∑Ts¡TÔ >∑\ C≤ø° (v) ùdŒ&é (vi) &Óe
’ T+&ÉT>∑Ts¡TÔ >∑\ sêDÏ
7. ù|ø£ eTTø£ÿ\˝Àì &Óe’ T+&ÉT >∑Ts¡T>Ô \∑ ◊<äT ø±s¡T\¶ T— 10, sêE, sêDÏ, C≤ø° eT]j·TT @dt\qT e÷Á‘·+
rdüTø=ì, u≤>± ø£*|æ, j·÷<äè∫ä+>± ˇø£ ø±s¡Tq¶ T mqTïø=+fÒ
(i) Ä ø±s¡T¶ sêDÏ nj˚T´ dü+uÛ≤e´‘· m+‘·?
(ii) sêDÏ ø±s¡Tq¶ T ‘=\–+∫ s¬ +&Ée ø±s¡Tq¶ T mqTïø=+fÒ n~ (m) @dt n>∑T≥ø£T (_) sêDÏ n>∑T≥≈£î
dü+uÛ≤e´‘·\T m+‘Ó+‘·?
8. ˝ÀbÕ\T >∑\ 12 ô|qTï\T bıs¡bÕ≥T>± 132 eT+∫ ô|qTï\˝À ø£*dæb˛j·÷sTT. #·÷&É>±H˚ ô|qTï˝Àì
˝ÀbÕìï >∑T]Ô+#·˝eÒ TT. nsTT‘˚ j·÷<äè∫äø+£ >± ˇø£ ô|qTïqT mqTïø=+fÒ n~ eT+∫ ô|qTï ne&ÜìøÏ
dü+uÛ≤e´‘· m+‘·?
9. 20 $<äT´‘Y ã\T“\T ø£\ ô|f…˝º À 4ã\T“\T ˝ÀbÕ\T ø£*– ñqï$. ô|f…º qT+&ç j·÷<äè∫äø+£ >± rdæq ã\T“
˝ÀbÕ\T ø£*– ñ+&ÉT≥ø£î dü+uÛ≤e´‘· m+‘·? ˇø£yfi˚ ¯ n~ eT+∫ ã\T“ nsTTñ+&ç, <ëìì ô|f…˝º À
ô|≥º≈î£ +&Ü s¬ +&Ée ã\T“qT rdüTø=+fÒ n~ ≈£L&Ü eT+∫<Ó’ ñ+&ÉT≥≈£î dü+uÛ≤´e‘· m+‘·?

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 dü+uÛ≤e´‘· 321

10. ˇø£ ô|f…qº +<äT 1 qT+&ç 90 es¡≈î£ Áyêj·Tã&ç ñqï 90 |ò\ü ø±\T ñHêïsTT. yê{Ï qT+&ç j·÷<äè∫äø+£ >±
ˇø£ |ò˝ü ø±ìï mqTïø=+fÒ <ëìô|’ ÁøÏ+~ dü+K´\T ñ+&ÉT≥≈£î dü+uÛ≤e´‘· m+‘Ó+‘·? (i) s¬ +&É+ø¬ \ dü+K´ (ii
) K∫Ñ· es¡Z dü+K´ (iii) 5 #˚ uÛ≤–+|üã&ÉT dü+K´.
11. |ü≥+˝À #·÷|æq≥T¢ Bs¡#È ‘· T· s¡ÁkÕø±s¡ |ü\ø£ô|’ 1MT yê´dü+ >∑\ eè‘·+Ô 3 m.
^j·Tã&ç ñqï~. ˇø£ bÕ∫ø£qT á |ü\ø£ô|’ C≤s¡$&çùdÔ n~ eè‘·+Ô ˝À
|ü&TÉ ≥≈£î dü+uÛ≤e´‘· m+‘·?

2 m.
12. ˇø£ yê´bÕ] e<ä› 144 ô|qTï\T ñHêïsTT. n+<äT˝À 20 ˝ÀbÕ\T
ø£*– ñHêïsTT. düT<Ûä ô|qTï ø=q&ÜìøÏ eùdÔ yê´bÕ] j·÷<äè∫äø+£ >±
ˇø£ ô|qTï ÇùdÔ <ëìì (i) düT<Ûä ø=qT≥≈£î (ii) ø=q˝Òøb£ ˛e⁄≥≈£î
dü+uÛ≤e´‘·\T m+‘Ó+‘·?
13. ˇπøkÕ] s¬ +&ÉT bÕ∫ø£\qT <=]¢+∫ yê{Ïô|’ dü+K´\qT ≈£L&çq#√ e#·TÃ (i) yÓTT‘êÔ\ dü+uÛ≤e´‘·qT ‘Ó\T|ü⁄
|ü{øºÏ q£ T |üP]+#·+&ç.
s¬ +&ÉT bÕ∫ø£\ô|’ yÓTT‘·+Ô 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
(|òTü ≥q)

1 5 12
dü+uÛ≤e´‘· 36 36 36

(ii) ˇø£ $<ë´]ú á Á|üj÷ Ó >∑+˝À 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 nH˚ 11 |üs´¡ ekÕqeTT\T ñqï$
1
ø±e⁄q ˇø=ÿø£ÿ |üs´¡ ekÕqeTT jÓTTø£ÿ dü+uÛ≤e´‘· 11 nHêï&ÉT. á düe÷<Ûëq+‘√ ˙e⁄ @ø°u$ÑÛ kÕÔyê?
$e]+#·T.
14. ˇø£ s¡÷bÕsTT HêD…eTTqT 3 kÕs¡T¢ m>∑Ts¡yd˚ æ u§eTà, u§s¡TdüT\qT |ü]o*+#ê\qTø=Hêïs¡T. n$ eT÷&ÉT
u§eTà\T ˝Òø£ u§s¡TdüT\T nsTT‘˚ Vü≤˙wt >¬ \TkÕÔ&TÉ . Vü≤˙wt z&çb˛e&ÜìøÏ dü+uÛ≤e´‘· ø£qT>=q+&ç.
15. ˇø£ bÕ∫ø£qT s¬ +&ÉT kÕs¡T¢ <=]¢+#ês¡T. s¬ +&ÉT kÕs¡T¢ es¡Tdü>± (i) 5 bÕ∫ø£ô|’ ø£ì|æ+#·&ÜìøÏ
(ii) 5 bÕ∫ø£ô|’ ø£ì|æ+#·øb
£ ˛e&ÜìøÏ dü+uÛ≤e´‘·\T m+‘Ó+‘·?

◊∫Ãø£ nuÛ≤´düeTT
[Ç~ |üØø£\å ˝À Ç#·TÃ≥≈£î ø±<äT]
1. Ç<äs› T¡ $ìjÓ÷>∑<ës¡T\T XÊ´yéT, @ø±Ô\T ˇø£ n+>∑&˝ç À ˇπø yês¡eTT (eT+>∑fiy¯ ês¡+ qT+&ç X¯ìyês¡+
es¡≈î£ ) <ä]Ù+#ês¡T. yê]<äs› T¡ $&ç$&ç>± @s√E nsTTHê <ä]Ù+∫ ñ+&Ée#·TÃqT. nsTTq Ä Ç<äs› T¡
(i) ˇπø s√E (ii) Á|üøÿ£ Á|üøÿ£ s√E\T (iii) y˚sT¡ y˚sT¡ s√E\T n+>∑&ì
ç <ä]Ù+∫ ñ+&É&ÜìøÏ dü+uÛ≤e´‘·\T
m+‘Ó+‘·?
2. ˇø£ dü+∫˝À 5 ms¡T|ü⁄ ã+‘·T\T, ø=ìï ˙\+ ã+‘·T\T ø£\e⁄. j·T÷<äè∫äø+£ >± ˙\+ ã+‹ rj·TT
dü+uÛ≤e´‘·, ms¡T|ü⁄ ã+‹ rj·TT dü+uÛ≤e´‘·≈î£ s¬ {Ï+º |ü⁄ nsTTq mìï ˙\+ ã+‘·T\T ø£\e⁄ ?

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 322 10e ‘·s¡>∑‹ >∑DÏ‘·+

3. ˇø£ ô|f…˝º À 12 ã+‘·T\T ø£\e⁄. n+<äT x ã+‘·T\T q\¢ì$. ô|f…º qT+&ç j·÷<äè∫Ãø£+>± rdæq ã+‹
q\T|ü⁄~ ne&ÜìøÏ dü+uÛ≤e´‘· m+‘·? Ç+ø± 6 q\T|ü⁄ ã+‘·T\T ø£*|æ‘˚ n|ü&ÉT yÓTT‘·+Ô qT+&ç q\T|ü⁄
ã+‹ rj·TT dü+uÛ≤e´‘· s¬ {Ï+º |ü⁄ (Á|üdTü ‘Ô +· ø£Hêï) ne⁄‘·T+~. nsTTq x m+‘·?.
4. ˇø£ bÕÁ‘·˝À 24 >√∞\T ñHêïsTT. n+<äT˝À ø=ìï Ä≈£î|ü#÷ ì$, ø=ìï ˙\+ s¡+>∑T$ bÕÁ‘· qT+&ç
j·÷<äè∫äø+£ >± Ä≈£î|ü#÷ s¡+>∑T >√∞ rj·TT dü+uÛ≤e´‘· 23 nsTTq ˙\+ >√∞ rj·TT dü+uÛ≤e´‘· m+‘·?

eTq+ @$T #·]Ã+#ê+

á n<Ûë´j·T+˝Àì #·sá \ <ë«sê ÁøÏ+~ $wüj÷· \qT ne>±Vü≤q #˚dTü ø=HêïeTT.
1. Á|üj÷Ó –ø£ dü+uÛ≤e´‘·, ôd<’ ë›+‹ø£ dü+uÛ≤e´‘·\ >∑T]+∫ ‘Ó\TdüTø=HêïeTT.
2. |òTü ≥q E jÓTTø£ÿ ôd<’ ë›+‹ø£ dü+uÛ≤e´‘·qT P(E) ‘√ dü÷∫kÕÔeTT. eT]j·TT
E ≈£î nqT≈£L\ |üs¡´ekÕHï\ dü+K´
P (E) = . Ç+<äT nìï |üs´¡ ekÕHê\T düeTdü+uÛyÑ ê\ì |ü]>∑DkÏ ÕÔeTT.
yÓTT‘·Ô+ |üs¡´ekÕHï\ dü+K´
3. K∫Ñ· ˝Òø£ <Ûèä &ÛÉ |òTü ≥q jÓTTø£ÿ dü+uÛ≤e´‘· 1.
4. ndü+uÛeÑ |òTü ≥q jÓTTø£ÿ dü+uÛ≤e´‘· 0.
5. |òTü ≥q E jÓTTø£ÿ dü+uÛ≤e´‘· P(E) dü+U≤´‘·àø£+ eT]j·TT 0 ≤ P (E) ≤ 1
6. ˇπø ˇø£ nqT≈£L\ |üs´¡ ekÕqeTT >∑\ |òTü ≥qqT ÁbÕ<Û$ä Tø£ |òTü ≥q n+{≤s¡T. ˇø£ Á|üj÷Ó >∑+˝Àì nìï
ÁbÕ<Û$ä Tø£ |òTü ≥q\ dü+uÛ≤e´‘·\ yÓTT‘·+Ô 1 ne⁄‘·T+~.
7. E ˇø£ |òTü ≥q nsTTq ªE ø±<äTμ nqT|òTü ≥qqT E ‘√ dü÷∫kÕÔsT¡ . Bìì |üPs¡ø£ |òTü ≥q n+{≤s¡T.
P (E) + P ( E ) = 1.
8. á n<Ûë´j·T+˝À ÁøÏ+~ ìs¡«#·Hê\ >∑T]+∫ #·]Ã+#êeTT.
düeTdü+uÛÑe |òüT≥q\T : ˇø£ Á|üjÓ÷>∑+˝Àì ¬s+&ÉT ˝Òø£ n+‘·ø£Hêï m≈£îÿe |òüT≥q\T dü+uÛÑ$+#·
&ÜìøÏ düe÷q neø±X¯eTT\T ñ+fÒ yê{Ïì düeT dü+uÛÑe |òüT≥q\T
n+{≤s¡T.
|üs¡düŒs¡ e]®‘· |òüT≥q\T : ˇø£ Á|üjÓ÷>∑+˝Àì ¬s+&ÉT ˝Òø£ n+‘· ø£Hêï m≈£îÿe |òüT≥q\˝À ˇø£
|òüT≥q jÓTTø£ÿ dü+uÛÑeeTT $T–*q nìï |òüT≥q\ dü+uÛÑeeTTqT ìs√~ÛùdÔ
Ä |òüT≥q\qT |üs¡düŒs¡ e]®‘· |òüT≥q\+{≤s¡T.
|üPs¡ø£ |òüT≥q\T : ˇø£ Á|üjÓ÷>∑eTT˝À ˇø£ |òüT≥q jÓTTø£ÿ nqT≈£L\ |üs¡´ekÕqeTT\T ø±ì,
Á|ü‹s¡÷|ü Äes¡D˝Àì $T–*q nìï |üs¡´ekÕqeTT\T >∑\ |òüT≥qqT
yÓTT<ä{Ï <ëì jÓTTø£ÿ |üPs¡ø£ |òüT≥q n+{≤s¡T.
|üPs¡í |òüT≥q\T : ˇø£ Á|üjÓ÷>∑eTT˝Àì nìï |òüT≥q\ düy˚Tàfi¯qeTT Á|ü‹s¡÷|ü Äes¡DeTT
nsTTq, yêìì |üPs¡í|òüT≥q\T n+{≤s¡T.
K∫Ñ· |òüT≥q : ˇø£ Á|üjÓ÷>∑eTT˝À ˇø£ |òüT≥q jÓTTø£ÿ dü+uÛÑeeTT K∫Ñ·eTT eT]j·TT
dü+uÛ≤e´‘· 1 nsTTq <ëìì K∫Ñ· ˝Òø£ <äè&ÛÉ |òüT≥q n+{≤s¡T.
nkÕ<Ûä´|òüT≥q : ˇø£ Á|üjÓ÷>∑+˝À ˇø£ |òüT≥q m|ü&É÷ kÕ<Ûä´|ü&Éø£ b˛‘˚ <ëìì nkÕ<ä´
|òüT≥q n+{≤s¡T.

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 kÕ+K´ø£XÊg+ 323

n<Ûë´j·TeTT

14 kÕ+K´ø£XÊg+
(Statastics)

14.1 |ü]#·j·T+
>∑DÒwt ‘·q ‘·s¡>∑‹˝Àì 26 eT+~ $<ë´s¡Tú\T dü+Á>∑Vü≤D≤‘·àø£ eT÷˝≤´+ø£q+- I >∑DÏ‘·+˝À bı+~q
e÷s¡Tÿ\qT ÁøÏ+~ $<ÛäeTT>± ]õwüºsY˝À qyÓ÷<äT #˚XÊ&ÉT.
ns¡T®Hé 76 Hêsêj·TD 12

ø±$Tì 82 düTπswt 24

wü|ò”ø˘ 64 <äTsêZ 39

øπ X¯yé 53 •e 41

\‘· 90 s¡V”≤yéT 69

sêCÒ+<äsY 27 sê<Ûä 73

sêeTT 34 ø±ØÔø˘ 94

düT<Ûä 74 CÀôd|òt 89

ø£èwüí 76 ÇÁø£+ 64

k˛eTT 65 \ø°åà 46

>öØ 47 d”‘· 19

ñù|+Á<ä 54 ¬sVü≤Hê 53

sêeTj·T´ 36 nì‘· 69

ô|’q Çe«ã&çq <ä‘êÔ+X¯eTT eØZø£è‘· <ä‘êÔ+X¯e÷? ø±<ë? m+<äT≈£î?

yê] >∑DÏ‘· ñbÕ<Ûë´j·TT&ÉT >∑DÒwtqT ‘·s¡>∑‹˝À $<ë´s¡Tú\T dü+Á>∑Vü≤D≤‘·àø£ eT÷˝≤´+ø£q+ `1,
>∑DÏ‘·+˝À #·÷|æq Á|ü‹uÛÑô|’ ìy˚~ø£ Çe«eTì ø√sê&ÉT.

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 324 10e ‘·s¡>∑‹ >∑DÏ‘·+

‘·s>¡ ‹∑ $<ë´s¡T\ú T >∑D‘Ï +· ˝À #·÷|æq Á|ü‹uÛqÑ T ne>±Vü≤q #˚dTü ø√e&ÜìøÏ >∑DwÒ t á ÁøÏ+~$<Û+ä >±
|ü{øºÏ q£ T s¡÷bı+~+#ê&ÉT
e÷s¡Tÿ\T $<ë´s¡Tú dü+K´
0 - 33 4
34 - 50 6
51 - 75 10
76 - 100 6
Ç|ü⁄&ÉT, ô|’ <ä‘êÔ+X¯eTT eØZø£è‘·e÷? neØZø£è‘·e÷?
ô|’ |ü{Ϻø£qT ‘·q ñbÕ<Ûë´j·TTìøÏ #·÷|ü>±, ñbÕ<Ûë´j·TT&ÉT >∑DÒwtqT yÓT#·TÃ≈£îHêï&ÉT. á |ü{Ϻø£
dü+øÏå|üÔ+>± düeTÁ>∑eTT>± ñqï<äì #ÓbÕŒ&ÉT. m≈£îÿe eT+~ $<ë´s¡Tú\T ª51-75μ eT<Ûä´ e÷s¡Tÿ\T bı+~q≥T¢>±
‘Ó*j·TT#·Tqï~. |ü{Ϻø£qT s¡÷bı+~+#·&É+˝À >∑DÒwt ‘·≈£îÿe ‘·s¡>∑‹ n+‘·sêìï ñ|üjÓ÷–ùdÔ u≤>∑T+≥T+<äì
MTs¡T uÛ≤$düTÔHêïsê? m+<äT≈£î?
ÁøÏ+~ ‘·s¡>∑‘·T\˝À MTs¡T eØZø£è‘·, neØZø£è‘· <ä‘êÔ+XÊ\ eT<Ûä´ uÛÒ<ë\qT >∑÷]à ‘Ó\TdüT≈£îHêïs¡T.
n<˚$<Ûä+>± á <ä‘êÔ+XÊìï |ü{Ϻø£ s¡÷|ü+˝À Á|ü<ä]Ù+#˚ |ü<äΔ‹ì ≈£L&É ‘Ó\TdüT≈£îHêïs¡T. eT]j·TT ÄeØZø£è‘·
<ä‘êÔ+X¯+ jÓTTø£ÿ ªªdü>∑≥Tμμø£qT>=q&Üìï ‘Ó\TdüT≈£îHêïs¡T. Ç|ü⁄&ÉT Bìì eTs=ø£kÕ] >∑Ts¡TÔ≈£î ‘Ó#·TÃø=ì
eØZø£è‘·<ä‘êÔ+X¯+ jÓTTø£ÿ dü>∑≥T, eT<Ûä´>∑‘·+ eT]j·TT u≤VüQfi¯ø£eTT\qT m˝≤ ø£qTø√ÿyê˝À ‘Ó\TdüT≈£î+<ë+.
14.2 neØZø£è‘· <ä‘êÔ+X¯ dü>∑≥T
Çe«ã&çq sêX¯ó\T (observations)jÓTTø£ÿ yÓTT‘êÔìï sêX¯ó\ dü+K´#˚ uÛ≤–ùdÔ ªªdü>∑≥Tμμ edüTÔ+<äì
‘Ó\TdüTø£<ë! x1, x2,. . ., xn sêX¯ó\ jÓTTø£ÿ bÂq'|ü⁄Hê´\T es¡Tdü>± f1, f2, . . ., fn. nq>± x1 nH˚sê• f1
kÕs¡T¢. x2 nH˚ sê• f2 kÕs¡T¢ |ü⁄qsêeè‘·+ nsTT+<äì n<˚$<Ûä+>± x3,. . ., xn \T ≈£L&Ü.
Ç|ü⁄&ÉT, sêX¯ó\ yÓTT‘·ÔeTT = f1x1 + f2x2 + . . . + fnxn,
eT]j·TT sêX¯ó\ dü+K´ = f1 + f2 + . . . + fn.
ø±ã{Ϻ, Çe«ã&çq <ä‘êÔ+X¯+ jÓTTø£ÿ dü>∑≥T ( x )
f1 x1 + f 2 x2 + ... ... ... + f n xn
x=
f1 + f 2 + ... ... ...+ f n

ô|’ ªdü>∑≥TμqT dü+øÏå|üÔ+>± Á^≈£î nø£ås¡+ (dæ>±à) ª ∑ μ ( ∑ nq>± yÓTT‘·Ô+) qT|üjÓ÷–+∫ |ü<ä+
∑ fi xi
dü÷∫kÕÔs√ ‘Ó#·TÃ≈£î+<ëeTT. x=
∑ fi
ñ<ëVü≤s¡D-1. ˇø£ bÕsƒ¡XÊ\˝Àì 10e ‘·s¡>∑‹øÏ #Ó+~q 30 eT+~ $<ë´s¡Tú\T >∑DÏ‘·+˝À bı+~q e÷s¡Tÿ\T
|ü{Ϻø£˝À Çe«ã&ܶsTT. $<ë´s¡Tú\T bı+~q e÷s¡Tÿ\ dü>∑≥T ø£qTø√ÿ+&ç.
bı+~q e÷s¡Tÿ\T (xi ) 10 20 36 40 50 56 60 70 72 80 88 92 95

$<ë´s¡Tú\ dü+K´ ( fi) 1 1 3 4 3 2 4 4 1 1 2 3 1

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 kÕ+K´ø£XÊg+ 325

kÕ<Ûäq : ô|’ <ä‘êÔ+XÊìï ÁøÏ+<ä #·÷|æq |ü{Ϻø£˝À ‹]– Áyêj·T>±

bı+~q $<ë´s¡Tú\ fi xi
e÷s¡Tÿ\T (xi ) dü+K´ ( fi)
10 1 10
20 1 20
36 3 108
40 4 160
50 3 150
56 2 112
60 4 240
70 4 280
72 1 72
80 1 80
88 2 176
92 3 276
95 1 95

yÓTT‘·Ô+ ∑ f i =30 ∑ fi xi = 1779

∑ fi xi 1779
ø±ã{Ϻ, x= = = 59.3
∑ fi 30
∴ e÷s¡Tÿ\ dü>∑≥T 59.3.
<Ó’q+~q J$‘·+˝À #ê˝≤ dü+<äsꓤ\˝À, #ê˝≤ ô|<ä› ô|<ä› <ä‘êÔ+XÊ\qT düeTÁ>∑+>± ns¡ú+
#˚düTø√e&ÜìøÏ, n{Ϻ (neØZø£è‘·) <ä‘êÔ+XÊìï eØZø£è‘· <ä‘êÔ+X¯+>± e÷s¡TÃø√yê*‡q nedüs¡+ @s¡Œ&ÉT‘·T+~.
n≥T¢ e÷s¡TÃø=ì, <ëì dü>∑≥TqT ø£qT>=qT≥≈£î |ü<äΔ‘·T\qT #·]Ã<ë›eTT.
ñ<ëVü≤s¡D`1˝À Çe«ã&çq neØZø£è‘· <ä‘êÔ+XÊìï, ª‘·s¡>∑‹ n+‘·s¡+μ 15 >± ñ+&˚≥≥T¢>±
eØZø£]+#·T≈£î+<ë+. Ç$ n$uÛ≤õ‘· ‘·s¡>∑‹ n+‘·sê\T ø±e⁄q bÂq'|ü⁄Hê´\qT πø{≤sTT+#˚≥|ü&ÉT ˇø£
‘·s>¡ ‹∑ jÓTTø£ÿ m>∑Te Vü≤<äTø› Ï düe÷qyÓTqÆ <ä‘êÔ+XÊìï bı+~q $<ë´s¡T\ú qT ‘·sT¡ yê‘· ‘·s>¡ ‹∑ ˝À #·÷|æ+#ê\ì
>∑Ts¡TÔ+#·Tø√yê*. ñ<ëVü≤s¡D≈£î 40 e÷s¡Tÿ\T bı+~q q\T>∑Ts¡T $<ë´s¡Tú\T ª25`40μ ‘·s¡>∑‹˝À ø±ø£,
‘·s¡Tyê‘· ‘·s¡>∑‹ ª40-55μ ˝ÀøÏ rdüT≈£îHêïeTT. Bìì <äèwæº˝À ñ+#·Tø=ì eTq+ eØZø£è‘· bÂq'|ü⁄q´ $uÛ≤»q
|ü{Ϻø£qT ‘·j·÷s¡T #˚düT≈£î+<ë+.
‘·s¡>∑‹ n+‘·s¡+ 10-25 25-40 40-55 55-70 70-85 85-100
$<ë´s¡Tú\ dü+K´ 2 3 7 6 6 6

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 326 10e ‘·s¡>∑‹ >∑DÏ‘·+

‘·s>¡ ‹∑ yÓTT‘êÔìøÏ ÁbÕ‹ì<Û´ä + eVæ≤+#˚ ˇø£ $\Te (point) eTq≈£î nedüs+¡ . ˇø£ ‘·s>¡ ‹∑ bÂq'|ü⁄q´eTT
(nq>± ‘·s¡>∑‹˝Àì nìï sêX¯ó\T) Ä ‘·s¡>∑‹ jÓTTø£ÿ eT<Ûä´$\Te #·T≥Tº πø+ÁBø£è‘·yÓTÆq≥Tº uÛ≤$kÕÔs¡T. ø±ã{Ϻ
ˇø£ ‘·s¡>∑‹ jÓTTø£ÿ eT<Ûä´$\TeqT Ä ‘·s¡>∑‹ jÓTTø£ÿ nìï $\Te\qT ÁbÕ‹ì<Ûä´+>± uÛ≤$kÕÔeTT. BìH˚ ‘·s¡>∑‹
ªe÷s¡Tÿμ (class mark) ˝Òø£ ªeT<Û´ä $\Teμ n+{≤s¡T. á ‘·s>¡ ‹∑ e÷s¡Tÿ nH˚~ Ä ‘·s>¡ ‹∑ jÓTTø£ÿ m>∑Te eT]j·TT
~>∑Te ne<ÛTä \ düsêdü] nì >∑Ts¡T+Ô #·Tø√yê*.
Ä ‘·s¡>∑‹ m>∑Te ne~Û G Ä ‘·s¡>∑‹ ~>∑Te ne~Û
ˇø£ ‘·s¡>∑‹ eT<Ûä´$\Te R
2

10 + 25
10 -25 nH˚ ‘·s¡>∑‹ jÓTTø£ÿ ª‘·s¡>∑‹ e÷s¡Tÿ R =17.5. n<˚ $<Ûä+>± $T–*q ‘·s¡>∑‘·T\
2
jÓTTø£ÿ ª‘·s>¡ ‘∑ T· \ e÷s¡Tÿμ\qT ø£qT>=qe#·TÃ. á ‘·s>¡ ‹∑ ∫Vü‰ï\qT xi’ >± dü÷∫dü÷Ô |ü{øºÏ ˝£ À bı+<äT|üsT¡ kÕÔeTT.
Ç|ü⁄&ÉT, dü>∑≥T ø£qT>=qT≥≈£î ô|’ ñ<ëVü≤s¡D e÷~]>± ñ|ü>∑$T<ë›+.
‘·s¡>∑‹ $<ë´s¡Tú\dü+K´ ‘·s¡>∑‹ fixi
n+‘·s¡+ ( fi) eT<Ûä´$\Te (xi )
10-25 2 17.5 35.0
25-40 3 32.5 97.5
40-55 7 47.5 332.5
55-70 6 62.5 375.0
70-85 6 77.5 465.0
85-100 6 92.5 555.0

yÓTT‘·Ô+ ∑ fi =30 ∑ f i xi =1860.0

ô|’ |ü{Ϻø£˝À ∫e] ì\Te⁄ es¡Tdü\˝À >∑\ $\Te\ yÓTT‘·Ô+ ∑ fi xi ì dü÷∫düTÔ+~. ø±ã{Ϻ Ç∫Ãq
<ä‘êÔ+X¯+ jÓTTø£ÿ dü>∑≥T ( x )
∑ fi xi 1860
x= = = 62
∑ fi 30

dü>∑≥TqT ø£qT>=H˚ á ø=‘·Ô|ü<äΔ‹ì ªÁ|ü‘·´ø£å |ü<äΔ‹μ n+{≤s¡T.

ô|’ ¬s+&ÉT dü+<äsꓤ\˝À ≈£L&Ü ˇπø <ä‘êÔ+XÊìøÏ, ˇπø dü÷Á‘êìï ñ|üjÓ÷–+∫ dü>∑≥TqT ø£qT>=qï|ü⁄&ÉT
ñ<ë`1˝À K∫Ñ· dü>≥∑ T 59.3 ø±>±, 62 nH˚~ düsêdü] dü>∑≥T>± |ü]o*+#·e#·TÃ. á ¬s+&ÉT dü+<äsꓤ\˝À
dü>∑≥T $\Te˝À uÒ<Ûä+ m+<äT≈£î e∫Ã+<√? Ä˝À∫+#·+&ç?

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 kÕ+K´ø£XÊg+ 327

Ä˝À∫+∫ #·]Ã+∫ sêj·T+&ç.

1. eØZøè£ ‘· eT]j·TT neØZøè£ ‘· <ä‘êÔ+XÊìøÏ dü>≥∑ TqT ø£qT>=qe#·TÃ. M{Ï˝À @~ n‘·´+‘· K∫Ñ·yTÓ qÆ
dü>∑≥T nì ˙e⁄ uÛ≤$kÕÔe⁄? m+<äT≈£î?
2. <ä‘êÔ+X¯ $X‚¢wüD≈£î eØZø£è‘· <ä‘êÔ+X¯eTT m|ü&ÉT nqTyÓ’q~ ?
ø=ìï dü+<äsꓤ\˝À xi , fi $\Te\T #ê˝≤ ô|<ä›>± ñ+&ç yê{Ï \u≤›ìï >∑DÏ+#·&É+ ø£wüº+ eT]j·TT
m≈£îÿe düeTj·T+ |ü&ÉT‘·T+~. dü>∑≥T ø£qT>=qT≥˝À >∑DqqT düT\uÛÑ‘·s¡+ #˚j·TT≥≈£î ªeTs=ø£|ü<äΔ‹ìμ >∑÷]Ã
Ä˝À∫<ë›+.
eTqeTT ª fi' μ \qT e÷πsà neø±X¯+ ˝Ò<äT ø±ì xi , fi \ \ãΔeTTqT düT\uÛÑ‘·s¡+ #˚j·TT≥≈£î ªxiμ \qT
∫qï$\Te\T>± e÷s¡TÃø√e#·TÃ. ø±ì Ç~ m˝≤ #˚j·T>∑\+ ?
ñ<ë`1 ˝Àì <ä‘êÔ+X¯eTTq≈£î dü>∑≥T ø£qT>=qT≥qT á ÁøÏ+~ |ü<äΔ‹ <ë«sê Á|üj·T‹ï+∫ #·÷<ë›+.
yÓTT<ä{Ïk˛bÕq+˝À xi \˝Àì ˇø£ <ëì $\TeqT ªª}Væ≤+∫q dü>∑≥Tμμ>± mqTïø=+{≤eTT. BìH˚ ªaμ #˚
dü÷∫kÕÔeTT. >∑Dq\qT eTTqTà+<äT eT]+‘· düT\uÛÑ‘·s¡+ #˚j·T&ÜìøÏ x1, x2, ..., xn \ eT<Ûä´ $\Te ªaμ qT
m+#·T≈£î+{≤eTT. ø±e⁄q eTq+ a = 47.5 ˝Ò<ë a = 62.5 mqTïø√e#·TÃ. Ç|ü&ÉT a = 47.5 nì mqTïø=+<ëeTT.
¬s+&Ée k˛bÕq+˝À Á|ü‹ xi qT+&ç a jÓTTø£ÿ <ä÷s¡eTT (xi– a) qT ø£qT>=+<ëeTT. Bìì $#·\qeTT
di >± dü÷∫kÕÔeTT.
i.e., di = xi – a = xi – 47.5 qT ø£qT>=qT≥
eT÷&Ée k˛bÕq+˝À di eT]j·TT yê{Ï dü+ã+~Û‘· bÂq'|ü⁄q´+ (fi) \ \u≤›ìï eT]j·TT fi di \ jÓTTø£ÿ
yÓTT‘êÔìï ø£qT>=+{≤eTT. á >∑Dq\T ÁøÏ+~ |ü{Ϻø£˝À #·÷|üã&ܶsTT.
‘·s¡>∑‹ $<ë´s¡Tú\ ‘·s¡>∑‹ di = xi − 47.5 fi d i
n+‘·s¡+ dü+K´ ( fi) ∫Vü≤ï+ (xi ) xi = a
10-25 2 17.5 -30 -60
25-40 3 32.5 -15 -45
40-55 7 47.5 (a) 0 0
55-70 6 62.5 15 90
70-85 6 77.5 30 180
85-100 6 92.5 45 270
yÓTT‘·Ô+ ∑ fi =30 ∑ fi di = 435
∑ fi di
ô|’ |ü{Ϻø£ qT+&ç $#·\Hê\ dü>∑≥T d=
∑ fi
Ç|ü&ÉT, d eT]j·TT x \ eT<Ûä´ dü+ã+<Ûëìï ø£qT>=+<ë+ !

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 328 10e ‘·s¡>∑‹ >∑DÏ‘·+

di ì bı+<ä&ÜìøÏ eTq≈£î Á|ü‹ ªxiμ qT+&ç ‘a’ qT rdæyd

˚ Hæ êeTT. n+<äTe\¢ dü>≥∑ T ( x ) qT bı+<ä&ÜìøÏ
‘a’ qT d øÏ ≈£L&Ée\dæq nedüs¡+ ñqï~. Bìì >∑DÏ‘·|üs¡+>± ÁøÏ+~ $<Ûä+>± $e]+#·HÓ’q~.
∑ fi di
$#·\Hê\ dü>∑≥T, d=
∑ fi
∑ fi ( xi − a )
n+<äTe\¢ d=
∑ fi
∑ fi xi ∑ fi a
= −
∑ fi ∑ fi
∑ fi
= x −a
∑ fi
= x −a
d = x −a
∑ fi di
∴ x = a+
∑ fi
|ü{Ϻø£˝Àì a, ∑ f i di eT]j·TT ∑ fi \ $\Te\qT, ô|’ dü÷Á‘·eTT˝À Á|ü‹πøå|æ+#·>±
435
x = 47.5 + = 47.5 + 14.5 = 62
30
∴ $<ë´s¡Tú\T kÕ~Û+∫q e÷s¡Tÿ\ dü>∑≥T R 62.
ô|’q #·]Ã+#·ã&çq $<ÛëHêìï ªª$#·\q |ü<䛋μμ(Deviation Method) ˝Ò<ë ªª}Væ≤+∫q dü>∑≥T
|ü<äΔ‹μμ(Assumed Mean Method) n+{≤s¡T.

ø£è‘·´eTT
ñ<ëVü≤s¡D`1˝Àì <ä‘êÔ+X¯eTT˝Àì xi jÓTTø£ÿ es¡Tdü $\Te\T nq>± 17.5, 32.5, ...\qT }Væ≤+∫q
dü>∑≥T\T>± rdüTø=ì ªªn+ø£>∑DÏ‘· dü>∑≥TμμqT >∑Dq #˚j·T+&ç. Ç|ü⁄&ÉT á ÁøÏ+~ yêìì >∑÷]Ã
#·]Ã+#·+&ç.
1. ô|’ dü+<äsꓤ\˝À $$<Ûä |ü<äΔ‘·T˝À¢ ø£qT>=qã&çq n+ø£>∑DÏ‘·dü>∑≥T $\Te\T düe÷qy˚THê?
2. ˇø£y˚fi¯ eTq+ yêdüÔe dü>∑≥TH˚, }Væ≤+∫q dü>∑≥T>± rdüT≈£î+fÒ n|ü⁄&ÉT ∑ fi di $\Te m+‘·?
3. ˇø£ ‘·s¡>∑‹ eT<Ûä´$\Te (class mark) qT ªª}Væ≤+∫q dü>∑≥Tμμ >± rdüTø√e&ÜìøÏ ø±s¡Dy˚T$T{Ï?
Á|üø£ÿ ù|J˝À Çe«ã&çq |ü{Ϻø£˝Àì ª4μ e ì\Te⁄ es¡Tdü˝Àì $\Te\qT >∑eTì+#·>±, Ä $\Te\˙ï
15 jÓTTø£ÿ >∑TDÏC≤˝Ò. n+<äTe\¢ ˇø£y˚fi¯ eTq+ 4e ì\Te⁄ es¡Tdü˝Àì $\Te\qT 15 #˚ uÛ≤–+#·>±, eTq≈£î
Ä $\Te\T ∫qï dü+K´\˝À ekÕÔsTT. n|ü⁄&ÉT Ä $\Te\qT fi ‘√ >∑TDÏ+#·&É+ düT\uÛÑ+ (Çø£ÿ&É, 15 nH˚~
‘·s¡>∑‹ n+‘·s¡+ ˝Ò<ë 4e ì\Te⁄ es¡Tdü˝Àì $\Te\jÓTTø£ÿ >∑.kÕ.ø±.).
xi − a
n+<äTe\¢, ui = >± rdüT≈£î+{≤eTT, Ç#·Ã≥ a }Væ≤+∫q dü>≥∑ T eT]j·TT h nH˚$ ‘·s>¡ ‹∑
h
n+‘·s+¡ .
Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°
 kÕ+K´ø£XÊg+ 329

ô|’ $<Û+ä >±, ui $\Te\qT es¡Tdü>± ø£qT>=Hê*. (i. e., fi ui ø£qT>=Hê* ‘·sT¡ yê‘· ∑ fi ui $\TeqT
ø£qT>=Hê*). h = 15 >± rdüTø=ì (kÕ<Ûës¡D+>± ‘·s¡>∑‹ bı&Ée⁄qT ªªhμμ>± rdüT≈£î+{≤+. ø±ì h nH˚~ Á|ür
dü+<äs¡“¤+˝À ‘·s¡>∑‹ bı&Ée⁄ ø±qedüs¡+ ˝Ò<äT).
∑ f i ui
n+<äTe\¢, u =
∑ fi
xi − a
‘·s¡>∑‹ $<ë´s¡Tú\ ‘·s¡>∑‹ eT<Ûä´ di = xi − a ui = fi ui
h
n+‘·s¡+ dü+K´ ( fi) $\Te (xi)
10-25 2 17.5 -30 -2 -4
25-40 3 32.5 -15 -1 -3
40-55 7 47.5 0 0 0
55-70 6 62.5 15 1 6
70-85 6 77.5 30 2 12
85-100 6 92.5 45 3 18

yÓTT‘·Ô+ ∑ fi =30 ∑ fi ui =29

Ç#·Ã≥, eTs¡˝≤ u eT]j·TT x eT<Ûä´ dü+ã+<Ûëìï ø£qT>=+<ë+.

xi − a
ui = eT]j·TT
h
∑ f i ui
u= nì eTq≈£î ‘Ó\TdüT.
∑ fi
( xi − a )
∑ fi
n+<äTe\¢ u= h
∑ fi

1⎧
⎪
⎪ ∑ fi xi ∑ f i a ⎫⎪⎪
= ⎨ − ⎬
h⎪
⎪
⎩ ∑ f i ∑ fi ⎪⎪⎭
1
= ( x − a)
h
˝Ò<ë hu = x − a

x = a + hu
⎧
⎪ ∑ fi ui ⎫
⎪
∴ x = a + h⎪
⎨ ⎪
⎬
⎪
⎪
⎩ ∑ f i
⎪
⎪
⎭

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 330 10e ‘·s¡>∑‹ >∑DÏ‘·+

⎛ ∑ f u ⎞⎟
x = a + ⎜⎜⎜ i i⎟
×h
˝Ò<ë ⎝ ∑ fi ⎠⎟⎟

ô|’ düMTø£s¡D+˝À , ∑ fiui eT]j·TT ∑ fi $\Te\qT |ü{Ϻø£ qT+&ç rdüTø=ì Á|ü‹πøå|æ+#·>±

29
x = 47.5 + 15×
30
= 47.5 + 14.5 = 62
n+<äTe\¢, $<ë´s¡Tú\T kÕ~Û+∫q e÷s¡Tÿ\ dü>∑≥T R 62.
ô|’q #·]Ã+#·ã&çq |ü<äΔ‹ì ªªdü+øÏå|üÔ $#·\q |ü<äΔ‹μμ ˝Ò<ë ªªk˛bÕq$#·\q |ü<äΔ‹μμ n+{≤s¡T.
>∑eTì+∫q~ :
· ˇø£y˚fi¯ di \≈£î ñeTà&ç ø±s¡D≤+ø±\T ñ+fÒ, k˛bÕq $#·\q |ü<äΔ‹ nH˚~ $ìjÓ÷–+#·&ÜìøÏ
nqT≈£L\yÓTÆq |ü<äΔ‹.
· ô|’ eT÷&ÉT |ü<äΔ‘·T\ <ë«sê ø£qT>=qã&çq dü>∑≥T $\Te ˇø£fÒ.
· }Væ≤+∫q dü>≥∑ T |ü<‹Δä eT]j·TT k˛bÕq ` $#·\q |ü<‘Δä T· \T nH˚$ Á|ü‘´· ø£å |ü<‹Δä jÓTTø£ÿ düT\uÛ‘Ñ s· +¡
#˚j·Tã&çq |ü<äΔ‘·T\T e÷Á‘·y˚T.
· ˇø£y˚fi¯ a eT]j·TT h $\Te\T ô|’$<Ûä+>± Çe«q|üŒ{ÏøÏ˙, X¯SH˚´‘·s¡ dü+K´\T nsTT x = a + h u
xi − a
nH˚ dü÷Á‘·eTT e´edæú‘·+ ne⁄‘·T+~. m+<äTø£q>± ui =
h
á |ü<䛑·T\qT eT]ø=ìï ñ<ëVü≤s¡D\≈£î nqTe]Ô+|üCÒ<ë›+.
ñ<ëVü≤s¡D-2. uÛ≤s¡‘·<˚X¯eTT˝Àì $$<Ûä sêÁcÕº\T eT]j·TT πø+Á<äbÕ*‘· ÁbÕ+‘ê\≈£î #Ó+~q Á>±MTD ÁbÕ+‘·
ÁbÕ<∏$ä Tø£ bÕsƒX¡ Ê\˝À¢ >∑\ eTVæ≤fi¯ ñbÕ<Ûë´j·TT\ XÊ‘·eTT\ $es¡eTT\T á ÁøÏ+~ |ü{øºÏ ˝£ À bı+<äT|üs#¡ ã· &çHêsTT.
ô|’ eT÷&ÉT |ü<äΔ‘·T\qT|üjÓ÷–+∫ eTVæ≤fi≤ ñbÕ<Ûë´j·TT\ dü>∑≥T XÊ‘êìï ø£qTø√ÿ+&ç.
eTVæ≤fi≤ ñbÕ<Ûë´j·TT\XÊ‘·+ 15 - 25 25 - 35 35 – 45 45 - 55 55 - 65 65 - 75 75 – 85
sêÁcÕº\T ˝Ò<ë πø+Á<äbÕ*‘·
ÁbÕ+‘ê\ dü+K´ 6 11 7 4 4 2 1

(NCERT yês¡T ìs¡«Væ≤+∫q 7e nœ\uÛ≤s¡rj·T bÕsƒ¡XÊ\ $<ë´ düπs« >∑D≤+ø±\ Á|üø±s¡+)

kÕ<Ûäq : ‘·s¡>∑‹ eT<Ûä´$\Te xi ø£qT>=ì, <ëìì |ü{Ϻø£˝À bı+<äT|üs¡T#·T<ë+.
Ç#·Ã≥ a = 50, h = 10,
xi − 50
n|ü⁄&ÉT di = xi – 50 eT]j·TT ui = 10

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 kÕ+K´ø£XÊg+ 331

Ç|ü⁄&ÉT eTqeTT di eT]j·TT ui $\Te\qT ø£qT>=ì |ü{Ϻø£˝À bı+<äT|üs¡#·>±

eTVæ≤fi≤ sêÁcÕº\/πø+Á<ä xi di = ui = fi xi fi di fi ui
xi − 50
ñbÕ<Ûë´j·TT\ bÕ*‘·ÁbÕ+‘ê\ xi − 50
10
XÊ‘·+ dü+K´
15 – 25 6 20 -30 -3 120 -180 -18
25 – 35 11 30 -20 -2 330 -220 -22
35 – 45 7 40 -10 -1 280 -70 -7
45 – 55 4 50 0 0 200 0 0
55 – 65 4 60 10 1 240 40 4
65 – 75 2 70 20 2 140 40 4
75 – 85 1 80 30 3 80 30 3
yÓTT‘·Ô+ 35 1390 -360 -36

ô|’ |ü{Ϻø£ qT+&ç, ∑ fi = 35, ∑ fi xi = 1390, ∑ fi di = −360, ∑ f i ui = −36 .

∑ fi xi 1390
Á|ü‘·´ø£å |ü<䛋 <ë«sê x= = = 39.71
∑ fi 35

}Væ≤+∫q dü>∑≥T |ü<䛋 <ë«sê x = a + ∑ fi di = 50 + −360 = 50 −10.29 = 39.71

∑ fi 35
⎛∑ f u ⎞ −36
k˛bÕq $#·\q |ü<äΔ‹ <ë«sê x = a + ⎜⎜⎜ i i ⎟⎟⎟⎟× h = 50 + ×10 = 39.71
⎝ ∑f ⎠ i 35
∴ Á>±MTD ÁbÕ+‘· ÁbÕ<∏ä$Tø£ bÕsƒ¡XÊ\˝À¢ >∑\ eTVæ≤fi≤ ñbÕ<Ûë´j·TT\ dü>∑≥T XÊ‘·eTT R 39.71.

Ä˝À∫+∫ #·]Ã+∫ sêj·T+&ç.

1. ô|’ eT÷&ÉT |ü<䛑·T\ <ë«sê kÕ~Û+#·ã&çq |òü*‘·eTT ˇø£fÒHê ?
2. ˇø£ y˚fi¯ xi eT]j·TT fi \T #ê*q+‘· ∫qï>± ñ+fÒ, n|ü⁄&ÉT @ |ü<‹Δä ì mqTïø√e&É+ nqT≈£L\yÓTqÆ ~?
3. ˇø£ y˚fi¯ xi eT]j·TT fi \ $\Te\T ô|<ä› dü+K´\T nsTTq|ü⁄&ÉT @ |ü<äΔ‹ dü]jÓÆTq |ü<äΔ‹?
ˇø£y˚fi¯ ‘·s¡>∑‹ bı&Ée⁄\T y˚s¡Ty˚s¡T>± ñqïq÷ eT]j·TT xi $\Te\T ô|<ä› dü+K´\T nsTTq|üŒ{ÏøÏ˙
di \ jÓTTø£ÿ kÕe÷q´ ø±s¡D≤+ø±ìï h >± rdüTø=ì, dü+øÏå|üÔ $#·\q |ü<äΔ‹˝À dü>∑≥T ø£qT>=qe#·TÃqT.
ñ<ëVü≤s¡D-3. eHé&˚ ÁøϬø{Ÿ Ä≥˝À uÖ\s¡T¢ kÕ~Û+∫q $¬ø≥¢ $esê\qT á ÁøÏ+~ bÂq'|ü⁄q´$uÛ≤»q
|ü{Ϻø£˝À #·÷|æ+#·HÓ’q~. dü]jÓÆTq |ü<äΔ‹ì m+#·Tø=ì uÖ\s¡T¢ kÕ~Û+∫q dü>∑≥T $¬ø≥¢qT ø£qT>=qTeTT. Ç{Ϻ
dü>∑≥T jÓTTø£ÿ ÁbÕeTTK´‘· @$T{Ï?
$¬ø≥¢ dü+K´ 20 - 60 60 - 100 100 - 150 150 - 250 250 - 350 350 – 450
uÖ\s¡¢ dü+K´ 7 5 16 12 2 3

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 332 10e ‘·s¡>∑‹ >∑DÏ‘·+

kÕ<Ûqä : Ç#·Ã≥ ‘·s>¡ ‹∑ bı&Ée⁄\T y˚sT¡ y˚sT¡ >± ñHêïsTT, eT]j·TT xi $\Te\T ô|<ä$› >± ñHêïsTT. nsTTq|üŒ{Ïø˙Ï
dü>∑≥T ø£qT>=q&ÜìøÏ dü+øÏå|üÔ $#·\q |ü<äΔ‹H˚ m+#·T≈£î+<ëeTT— Ç#·Ã≥ a = 200 eT]j·TT h = 20.
xi − a
$¬ø≥¢ uÖ\s¡¢ xi di = ui = fi ui
h
dü+K´ dü+K ( fi ) xi − a (h = 20)

20 – 60 7 40 -160 -8 -56
60 – 100 5 80 -120 -6 -30
100 – 150 16 125 -75 -3.75 -60
150 – 250 12 200 (a) 0 0 0
250 – 350 2 300 100 5 10
350 – 450 3 400 200 10 30
yÓTT‘·Ô+ 45 -106

⎛ ⎞
n+<äTe\¢ x = a + ⎜⎜⎜ ∑ fiui ⎟⎟⎟⎟× h = 200 + −106 × 20 = 200 − 47.11 = 152.89
⎝ ∑ fi ⎠ 45
∴ 45 eT+~ uÖ\s¡ T¢ eHé&˚ ÁøϬø{Ÿ˝À kÕ~Û+∫q $¬ø≥¢ dü>∑≥T R 152.89.
‘·s¡>∑‹>∑~ ÁbÕC…≈£îº :
1. MT bÕsƒ¡XÊ\˝À Ç{°e\ ìs¡«Væ≤+∫q |üØø£å˝À¢, >∑DÏ‘·+˝À MT ‘·s¡>∑‹ $<ë´s¡Tú\T kÕ~Û+∫q e÷s¡Tÿ\
$esê\qT ùdø£]+#·+&ç. BìøÏ eØZø£è‘· bÂq'|ü⁄q´$uÛ≤»q |ü{Ϻø£qT ‘·j·÷s¡T#˚j·T+&ç. n<˚$<Ûä+>±
$T>∑‘ê $wüj÷· \≈£î dü+ã+~Û+∫q e÷s¡Tÿ\ $esê\≈£î ≈£L&Ü bÂq'|ü⁄q´$uÛ≤»q |ü{øºÏ \£ qT ‘·j÷· s¡T
#˚j·T+&ç. Á|ü‹$wüj·÷ìøÏ dü+ã+~Û+∫q dü>∑≥TqT ‘·>∑T |ü<äΔ‹ <ë«sê ø£qT>=ì, Ä $\Te\qT
b˛\TÃeTT.
2. MT |ü≥ºD+ / Á>±eT+˝À 30 s√E˝À¢ qyÓ÷<äT nsTTq ªª>∑]wü˜ ñc˛íÁ>∑‘·\Tμμ $esê\qT ùdø£]+#·+&ç.
Ç{Ϻ <ä‘êÔ+XÊìï eØZø£è‘· bÂq'|ü⁄q´ $uÛ≤»q |ü{Ϻø£˝À #·÷|ü+&ç. n<˚$<Ûä+>± Ç{Ϻ <ä‘êÔ+XÊìøÏ,
dü]jÓÆTq |ü<äΔ‹ì m+#·Tø=ì dü>∑≥T ø£qT>=q+&ç.
3. MT ‘·s¡>∑‹ ˝Àì $<ë´s¡Tú\ jÓTTø£ÿ m‘·TÔ\qT ø=*∫, n{Ϻ düe÷#êsêìøÏ eØZø£è‘· bÂq'|ü⁄q´ $uÛ≤»q
|ü{Ϻø£qT ‘·j·÷s¡T#˚j·TTeTT. ‘·>∑T |ü<äΔ‹ì m+#·Tø=ì Ç{Ϻ <ä‘êÔ+X¯eTTq≈£î dü>∑≥T ø£qT>=qTeTT.

nuÛ≤´düeTT - 14.1
1. ˇø£ Á>±eT+˝À ø=+‘·eT+~ $<ë´s¡Tú\ »≥Tº ª|üsê´es¡D |ü]s¡ø£åD`ne>±Vü≤qμ nH˚ ø±s¡´Áø£eT+˝À
uÛ≤>∑+>±, 20 Ç+&É¢˝À düπs«ìs¡«Væ≤+∫, mHÓïìï yÓTTø£ÿ\T Hê{ÏHês√ düe÷#êsêìï ùdø£]+∫, á
ÁøÏ+~ |ü{Ϻø£˝À qyÓ÷<äT #˚dæHês¡T. dü>∑≥Tq ˇø£ Ç+{ÏøÏ mìïyÓTTø£ÿ\T Hê{ÏHês√ ø£qTø√ÿ+&ç.
yÓTTø£ÿ\ dü+K´ 0-2 2-4 4–6 6-8 8 - 10 10 - 12 12 – 14
Ç+&É¢ dü+K´ 1 2 1 5 6 2 3

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 kÕ+K´ø£XÊg+ 333

2. ˇø£ ø£sêà>±s¡+˝Àì 50 eT+~ ø±]à≈£î\ ~qdü] uÛ‘Ñ ´· eTT áÁøÏ+~ bÂq'|ü⁄q´$uÛ≤»q |ü{øºÏ ˝£ À Çe«ã&çq$
~qdü]uÛÑ‘·´eTT (`) 200 - 250 250 - 300 300 - 350 350 - 400 400– 450

ø±]à≈£î\ dü+K´ 12 14 8 6 10
‘·>∑T |ü<äΔ‹ì m+#·Tø=ì Ä ø£sêà>±s¡+˝Àì ø±]à≈£î\ dü>∑≥T uÛÑ‘·´eTTqT ø£qTø√ÿ+&ç.
3. ˇø£ ÄyêdüÁbÕ+‘·+˝À |æ\¢\ s√Eyê] #˚‹ Ks¡TÃ\T (pocket allowance) $esê\qT á ÁøÏ+~
bÂq'|ü⁄q´$uÛ≤»q |ü{Ϻø£˝À Çe«HÓ’q~. |æ\¢\ dü>∑≥T #˚‹ Ks¡Tà ` 18 nsTTq ÁøÏ+~ |ü{Ϻø£˝À
˝À|æ+∫q bÂq'|ü⁄q´+ (f )qT ø£qT>=qTeTT.
|æ\¢\ s√Eyê] 11 - 13 13 - 15 15 - 17 17 - 19 19 - 21 21 - 23 23 - 25
#˚‹Ks¡TÃ (`)
|æ\¢\ dü+K´ 7 6 9 13 f 5 4

4. ˇø£ yÓ’<ä´XÊ\˝À yÓ’<äT´\T 30 eT+~ Åd”Ô\≈£î yÓ’<ä´ |üØø£å\T ìs¡«Væ≤+∫, yê] jÓTTø£ÿ Vü≤è<äj·T
düŒ+<äq\qT ÁøÏ+<ä #·÷|æq |ü{Ϻø£˝À Áø√&ûø£]+#ês¡T. ‘·>∑T $<ÛëHêìï m+#·Tø=ì Ç{Ϻ Åd”Ô\ jÓTTø£ÿ
Vü≤è<äj·TdüŒ<äq\ düsêdü] (ˇø£ ì$TcÕìøÏ) ø£qTø√ÿ+&ç.
Vü≤è<äj·TdüŒ+<äq\dü+K´/ì$Twü+ 65-68 68-71 71-74 74-77 77-80 80-83 83-86
Åd”Ô\ dü+K´ 2 4 3 8 7 4 2

5. |ü+&É¢ e÷¬sÿ{Ÿ˝À, |ü+&É¢ yê´bÕs¡T\T Hê]+»|ü+&É¢qT ô|f…º\˝À ñ+∫ neTTà‘ês¡T. ˇø=ÿø£ÿ ô|f…º˝À
ñ+&˚ ªHê]+»|ü+&É¢μ dü+K´ y˚s¡Ty˚s¡T>± ñ+≥T+~. ô|f…º˝À¢ì Hê]+»|ü+&É¢ |ü+|üø±ìï á ÁøÏ+~
|ü{Ϻø£˝À #·÷|üHÓ’q~.
Hê]+»|ü+&É¢ dü+K´ 10-14 15–19 20-24 25-29 30–34
ô|f…º\ dü+K´ 15 110 135 115 25
ˇø=ÿø£ÿ ô|f…˝º À ñ+&˚ Hê]+»|ü+&É¢ dü>≥∑ T ø£qTø√ÿ+&ç. dü>≥∑ T ø£qT>=qT≥≈£î @ |ü<‹›ä ì m+#·T≈£î+{≤s√
‘Ó\Œ+&ç.
6. ˇø£ ÄyêdüÁbÕ+‘·+˝Àì 25 ≈£î≥T+u≤\ dü+ã+~Û+∫q ~qdü] uÛÀ»q Ks¡TÃ\ $esê\qT á
ÁøÏ+~ |ü{Ϻø£˝À Çe«HÓ’q~.
~qdü]uÛÀ»qKs¡Tà (`) 100-150 150-200 200-250 250-300 300-350
≈£î≥T+u≤\ dü+K´ 4 5 12 2 2
‘·>∑T |ü<䛋ì m+#·Tø=ì ˇø£ÿ ≈£î≥T+u≤ìøÏ nj˚T´ dü>∑≥T uÛÀ»q Ks¡TÃqT ø£qTø√ÿ+&ç.
7. ˇø£ |ü≥ºD+˝Àì 30 ìyêdüÁbÕ+‘ê\˝À, >±*˝À >∑\ SO2 jÓTTø£ÿ >±&ÛÉ‘· (in parts per million,
i.e., ppm), qT á ÁøÏ+~ |ü{Ϻø£˝À Áø√&ûø£]+#·HÓ’q~.
SO2 jÓTTø£ÿ >±&ÛÉ‘· (in ppm) 0.00-0.04 0.04-0.08 0.08-0.12 0.12-0.16 0.16-0.20 0.20-0.24
bÂq'|ü⁄q´eTT 4 9 9 2 4 2
>±*˝À >∑\ dü>∑≥T SO2 >±&ÛÉ‘·qT ø£qTø√ÿ+&ç.

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 334 10e ‘·s¡>∑‹ >∑DÏ‘·+

8. ˇø£ ‘·s>¡ ‹∑ ñbÕ<Ûë´j·TT&ÉT ˇø£ ≥sYà˝À ‘·q ‘·s>¡ ‹∑ øÏ #Ó+~q 40 eT+~ $<ë´s¡T\ú Vü‰»s¡T $esê\qT,
á ÁøÏ+~ #·÷|æq |ü{Ϻø£˝À #·÷|üHÓ’q~. á ≥sYà˝À ˇø£ $<ë´]ú dü>∑≥T Vü‰»s¡T m+‘·?
s√E\ dü+K´ 35-38 38-41 41-44 44-47 47-50 50-53 53-56
$<ë´s¡Tú\ dü+K´ 1 3 4 4 7 10 11

9. 35 |ü≥ºD≤\≈£î
dü+ã+~Û+∫ nø£åsêdü´‘· πs≥T (XÊ‘·eTT\˝À) á ÁøÏ+~ |ü{Ϻø£˝À Çe«HÓ’q~. dü>∑≥T
nø£åsêdü´‘ê πs≥TqT ø£qTø√ÿ+&ç.
nø£åsêdü´‘·πs≥T (%) 45–55 55-65 65-75 75-85 85-95
|ü≥ºD≤\ dü+K´ 3 10 11 8 3

14.3 u≤VüQfi¯ø£eTT (MODE)

Çe«ã&çq |ü]o\q˝À¢ ˝Ò<ë sêX¯ó\˝À m≈£îÿekÕs¡T¢ |ü⁄qsêeè‘·+ nj˚T´ sê•ì ªªu≤VüQfi¯ø£eTTμμ
n+{≤s¡T.
eØZø£è‘· <ä‘êÔ+XÊìøÏ ªªu≤VüQfi¯ø±ìïμμ ø£qT>=H˚ $<Ûëq+ H˚s¡TÃ≈£îH˚ eTT+<äT>± eTq+ neØZø£è‘·
<ä‘êÔ+XÊìøÏ u≤VüQfi¯ø±ìï ø£qT>=qT $<ÛëHêìï á ÁøÏ+~ ñ<ëVü≤s¡D <ë«sê H˚s¡TÃ≈£î+<ë+.
ñ<ëVü≤s¡D-4. 10 ÁøϬø{Ÿ e÷´#Y \˝À ˇø£ uÖ\sY rdæq $¬ø≥T¢ ÁøÏ+~ $<Ûä+>± ñHêïsTT. 2, 6, 4, 5, 0, 2,
1, 3, 2, 3. á <ä‘êÔ+XÊìøÏ ªu≤VüQfi¯ø±ìïμ ø£qTø√ÿ+&ç.
kÕ<Ûäq : <ä‘êÔ+X¯eTT˝Àì n+¬ø\qT (sêX¯ó\qT) ˇø£ Áø£eT|ü<䛋˝À neTs¡Ã>± nq>± 0, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4,
5, 6
ô|’ <ä‘êÔ+X¯+qT |ü]o*+#·>±, m≈£îÿe e÷´#·T˝À¢ uÖ\sY ª2μ $¬ø≥¢qT rdæq≥T¢>± düŒwüº+>± ‘Ó*j·TT#·Tqï~.
(nq>± 3 kÕs¡T¢). n+<äTe\¢ Çe«ã&çq <ä‘êÔ+X¯+ jÓTTø£ÿ u≤VüQfi¯ø£eTT 2.

Ç$ #˚j·T+&ç
1. á ÁøÏ+~ <ä‘êÔ+XÊìøÏ u≤VüQfi¯ø±ìï ø£qTø√ÿ+&ç.
a) 5, 6, 9, 10, 6, 12, 3, 6, 11, 10, 4, 6, 7.
b) 20, 3, 7, 13, 3, 4, 6, 7, 19, 15, 7, 18, 3.
c) 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6.
2. u≤VüQfi¯ø£eTT m\¢|ü&ÉT <ä‘êÔ+X¯eTTq≈£î eT<Ûä´˝À ñ+≥T+<ë?
3. ñ<ëVü≤s¡D`4˝Àì <ä‘êÔ+XÊìøÏ eTs=ø£ sê•ì #˚s¡Ã>± u≤VüQfi¯ø£eTT e÷s¡T‘·T+<ë?
yê´U≤´ì+#·+&ç.
4. ˇø£y˚fi¯ ñ<ëVü≤s¡D`4˝Àì sêX¯ó\˝Àì >∑]wü˜$\Te ª8μ øÏ e÷]q, <ëì Á|üuÛ≤e+, n{Ϻ <ä‘êÔ+X¯+
jÓTTø£ÿ u≤VüQfi¯ø£+ô|’ ñ+≥T+<ë? yê´U≤´ì+#·TeTT.

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 kÕ+K´ø£XÊg+ 335

eØZø£è‘· bÂq'|ü⁄q´$uÛ≤»HêìøÏ (eØZø£è‘· <ä‘êÔ+XÊìøÏ), bÂq'|ü⁄Hê´\qT |ü]o*+∫ ªªu≤VüQfi¯ø£eTTμμ

ø£qT>=q&É+ kÕ<Ûä´+ ø±<äT. Ç#·≥ eTq+ >∑]wü˜ bÂq'|ü⁄q´+ ñqï ˇø£ ‘·s¡>∑‹ì e÷Á‘·+ dü÷∫+#·>∑\+, n{Ϻ
‘·s¡>∑‹ì u≤VüQfi¯ø£ ‘·s¡>∑‹ (modal class) n+{≤s¡T. u≤VüQfi¯ø£ ‘·s¡>∑‹˝À ñ+&˚ ˇø£ $\Te eT]j·TT
Bìì ÁøÏ+~ dü÷Á‘· düVü‰j·TeTTq ˝…øÏÿ+#·e#·TÃqT.
⎛ f1 − f 0 ⎞⎟
u≤VüQfi¯ø£eTT = l + ⎜⎜⎜ ⎟⎟× h
⎝ 2 f1 − f0 − f 2 ⎠⎟
Ç#·Ã≥, l = u≤VüQfi¯ø£ ‘·s¡>∑‹ jÓTTø£ÿ ~>∑Te Vü≤<äT›
h = u≤VüQfi¯ø£¡ ‘·s¡>∑‹ bı&Ée⁄
f1 = u≤VüQfi¯ø£ ‘·s¡>∑‹ jÓTTø£ÿ bÂq'|ü⁄q´eTT
f0 = u≤VüQfi¯ø£ ‘·s¡>∑‹øÏ eTT+<äTqï ‘·s¡>∑‹ jÓTTø£ÿ bÂq'|ü⁄q´eTT
f2 = u≤VüQfi¯ø£ ‘·s¡>∑‹øÏ ‘·s¡Tyê‘· qTqï ‘·s¡>∑‹ jÓTTø£ÿ bÂq'|ü⁄q´eTT.
á dü÷Á‘êqTï|üjÓ÷–+∫ u≤VüQfi¯ø£eTTqT ø£qT>=H˚ $<ÛëHêìï á ÁøÏ+~ ñ<ëVü≤s¡D\ <ë«sê
|ü]o*+#·T<ë+.
ñ<ëVü≤s¡D-5. ˇø£ Äyêdü ÁbÕ+‘·+˝À ø=+‘· eT+~ $<ë´s¡Tú\ ãè+<ä+. 20 ≈£î≥T+u≤\qT düπs«#˚dæ,
≈£î≥T+ã düuÛÑT´\ dü+K´qT á ÁøÏ+<ä #·÷|æq bÂq'|ü⁄q´ $uÛ≤»q |ü{Ϻø£˝À #·÷|üHÓ’q~.
≈£î≥T+ã|ü]e÷D+ 1-3 3-5 5-7 7-9 9-11
≈£î≥T+u≤\ dü+K´ 7 8 2 2 1
á <ä‘êÔ+XÊìøÏ ªu≤VüQfi¯ø±ìïμ ø£qTø√ÿ+&ç.
kÕ<Ûäq : Ç#·Ã≥, >∑]wü˜ ‘·s¡>∑‹ bÂq'|ü⁄q´eTT 8, á bÂq'|ü⁄Hê´ìøÏ dü+ã+~Û+∫q ‘·s¡>∑‹ 3-5. n+<äTe\¢
u≤VüQfi¯ø£ ‘·s¡>∑‹ 3-5.
Ç|ü⁄&ÉT,
u≤VüQfi¯ø£ ‘·s¡>∑‹ = 3-5, eT<Ûä´+‘·s¡ ‘·s¡>∑‹ jÓTTø£ÿ ~>∑Te Vü≤<äT› (l) = 3, ‘·s¡>∑‹ bı&Ée⁄ (h) = 2
u≤VüQfi¯ø£ ‘·s¡>∑‹ bÂq'|ü⁄q´eTT (f1) = 8,
u≤VüQfi¯ø£ ‘·s¡>∑‹øÏ eTT+<äTqï ‘·s¡>∑‹ jÓTTø£ÿ bÂq'|ü⁄q´eTT (f0) = 7,
u≤VüQfi¯ø£ ‘·s¡>∑‹øÏ ‘·s¡Tyê‘· qTqï ‘·s¡>∑‹ jÓTTø£ÿ bÂq'|ü⁄q´eTT (f2) = 2.
ô|’ $\Te\qT, á ÁøÏ+~ dü÷Á‘·eTT˝À Á|ü‹πøå|æ+#·T<ë+.
⎛ f1 − f 0 ⎞⎟
u≤VüQfi¯ø£+ = l + ⎜⎜⎜ ⎟⎟× h
⎝ 2 f1 − f0 − f 2 ⎠⎟
⎛ 8−7 ⎞⎟ 2
= 3 + ⎜⎜ × 2 = 3 + = 3.286
⎜⎝ 2×8 − 7 − 2 ⎠⎟⎟ 7
∴ ô|’ <ä‘êÔ+X¯+ jÓTTø£ÿ u≤VüQfi¯≈£eTT 3.286.
ñ<ëVü≤s¡D--6. ˇø£ ‘·s>¡ ‹∑ ˝À 30 eT+~ $<ë´s¡T\ú T ˇø£ >∑D‘Ï · |üØø£˝å À bı+~q e÷s¡Tÿ\T bÂq'|ü⁄q´$uÛ≤»q
|ü{Ϻø£ á ÁøÏ+~ ˙j·Tã&çq~. á <ä‘êÔ+XÊìøÏ ªu≤VüQfi¯ø£eTTμqT ø£qT>=qTeTT. n<˚$<Ûä+>± u≤VüQfi¯≈£eTT
eT]j·TT dü>∑≥T\qT b˛*Ã, yê´U≤´ì+#·TeTT.

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 336 10e ‘·s¡>∑‹ >∑DÏ‘·+

‘·s>¡ ‹∑ n+‘·s+¡ $<ë´s¡Tú\ dü+K´ ‘·s¡>∑‹ eT<Ûä´$\Te f i xi

( fi ) (xi )
10-25 2 17.5 35.0
25-40 3 32.5 97.5
40-55 7 47.5 332.5
55-70 6 62.5 375.0
70-85 6 77.5 465.0
85-100 6 92.5 555.0
yÓTT‘·Ô+ ∑ fi =30 ∑ fi xi =1860

kÕ<Ûäq : <ä‘êÔ+X¯eTT˝Àì m≈£îÿe eT+~ $<ë´s¡Tú\T (7>∑Ts¡T) ª40`55μ ‘·s¡>∑‹ n+‘·s¡+˝Àì e÷s¡Tÿ\T
kÕ~Û+∫j·TTHêïs¡T. ø£qTø£ ª40-55μ nH˚~ u≤VüQfi¯ø£ ‘·s¡>∑‹ ne⁄‘·T+~.
eT<Ûä´+‘·s¡ ‘·s¡>∑‹ jÓTTø£ÿ ~>∑Te Vü≤<äT› ( l ) = 40,
‘·s¡>∑‹ bı&Ée⁄ ( h) = 15,
u≤VüQfi¯ø£ ‘·s¡>∑‹ jÓTTø£ÿ bÂq'|ü⁄q´eTT ( f1 ) = 7,
u≤VüQfi¯ø£¡ ‘·s¡>∑‹øÏ eTT+<äTqï ‘·s¡>∑‹ bÂq'|ü⁄q´eTT ( f0 ) = 3,
u≤VüQfi¯ø£¡ ‘·s¡>∑‹øÏ ‘·s¡Tyê‘· qTqï bÂq'|ü⁄q´eTT ( f2 ) = 6.
⎛ f1 − f 0 ⎞⎟
u≤VüQfi¯ø£eTT = l + ⎜⎜⎜ ⎟⎟× h
⎝ 2 f1 − f0 − f 2 ⎠⎟
⎛ 7 − 3 ⎞⎟
= 40 + ⎜⎜ ×15 = 40 + 12 = 52
⎜⎝ 2×7 − 6 − 3⎠⎟⎟

yê´U≤´q+ (Interpretation) : ô|’<ä‘êÔ+XÊìøÏ u≤VüQfi¯ø£eTT 52 — n<˚$<Ûä+>± dü>∑≥T 62 (ñ<ëVü≤s¡D`1,

<ë«sê) nì ‘Ó*j·TT#·Tqï~. nq>± ‘·s¡>∑‹˝Àì 52 e÷s¡Tÿ\T bı+~q $<ë´s¡Tú\T m≈£îÿe eT+~ ñHêïs¡ì,
ˇø=ÿø£ÿ $<ë´]ú jÓTTø£ÿ dü>∑≥T e÷s¡Tÿ\T 62.

Ä˝À∫+∫ #·]Ã+∫ sêj·T+&ç.

1. dü+<äsꓤìï ã{Ϻ eTqeTT ‘·s¡>∑‹˝Àì $<ë´s¡Tú\ n+<ä] düsêdü] e÷s¡Tÿ\T, ˝Òø£ m≈£îÿeeT+~
$<ë´s¡Tú\T bı+~q e÷s¡Tÿ\T ø£qT>=+{≤eTT.
a. yÓTT<ä{Ï dü+<äs¡“¤+˝À eTq+ @ πø+ÁBj·TkÕúq|ü⁄ $\TeqT ø£qTø=ÿ+{≤+?
b. ¬s+&Ée dü+<äs¡“¤+˝À eTq+ @ πø+ÁBj·TkÕúq|ü⁄ $\TeqT ø£qTø=ÿ+{≤+?
2. y˚s¡Ty˚s¡T ‘·s¡>∑‹ n+‘·sê\T >∑\ <ä‘êÔ+X¯eTTq≈£î ≈£L&Ü ªu≤VüQfi¯ø£eTTμqT ø£qT>=qe#·TÃHê?

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 kÕ+K´ø£XÊg+ 337

nuÛ≤´dü+ - 14.2
1. ˇø£ dü+e‘·‡s¡ø±\+˝À, ˇø£ yÓ’<ä´XÊ\˝À #˚]q s√>∑T\ jÓTTø£ÿ ej·TdüT‡\ $esê\T á ÁøÏ+~
|ü{øºÏ ˝£ À Çe«ã&çHêsTT.
ej·TdüT‡ (dü+ˆˆ\˝À) 5-15 15-25 25-35 35-45 45-55 55-65
s√>∑T\ dü+K´ 6 11 21 23 14 5

ô|’ <ä‘êÔ+XÊìøÏ dü>≥∑ T eT]j·TT u≤VüQfi¯ø±\qT ø£qT>=qTeTT. n<˚$<Û+ä >± n{Ϻ øπ +Á<ä kÕúq $\Te\qT
b˛*Ã yê´U≤´ì+#·TeTT.
2. á ÁøÏ+~ |ü{Ϻø£˝À 225 $<äT´‘Y |ü]ø£sê\ J$‘·ø±\ (>∑+≥\˝À) $esê\T Çe«ã&çHêsTT.
J$‘·ø±\+ (>∑+≥\˝À) 0 - 20 20 - 40 40 - 60 60 - 80 80 - 100 100 - 120

bÂq'|ü⁄q´+ 10 35 52 61 38 29

ô|’ $<äT´‘Y |ü]ø£sê\ J$‘·ø±\ u≤VüQfi¯ø±ìï ø£qT>=qTeTT.

3. ˇø£ Á>±eT+˝Àì 200 ≈£î≥T+u≤\ jÓTTø£ÿ HÓ\dü] Ks¡TÃ\ $esê\qT á ÁøÏ+~ bÂq'|ü⁄q´$uÛ≤»q
|ü{Ϻø£˝À Çe«ã&çq$. n{Ϻ ≈£î≥T+u≤\ HÓ\dü] Ks¡TÃ\ u≤VüQfi¯ø±ìï ø£qTø√ÿ+&ç. n<˚$<Ûä+>±
HÓ\dü] düsêdü] Ks¡TÃqT ø£qTø√ÿ+&ç.
HÓ\dü] Ks¡TÃ 1000- 1500- 2000- 2500- 3000- 3500- 4000- 4500-
(s¡÷bÕj·T\˝À) 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

≈£î≥T+u≤\ dü+K´ 24 40 33 28 30 22 16 7

4. sêÁcÕº\ yê]>± ôdø£+&ÉØ bÕsƒ¡XÊ\˝À¢ >∑\ ñbÕ<Ûë´j·T ` $<ë´]ú ìwüŒ‹Ô $\Te\qT á ÁøÏ+~
bÂq'|ü⁄q´$uÛ≤»q |ü{øºÏ ˝£ À Çe«HÓq’ ~. Ç{Ϻ <ä‘êÔ+XÊìøÏ u≤VüQfi¯ø±ìï eT]j·TT dü>≥∑ TqT >∑D+Ï #·+&ç.
eT]j·TT á ¬s+&ÉT πø+Á<äkÕúq $\Te\ ô|’ yê´U≤´ì+#·TeTT.
$<ë´s¡Tú\ dü+K´ 15-20 20-25 25-30 30-35 35-40 40-45 45-50 50-55
sêÁcÕº\ dü+K´ 3 8 9 10 3 0 0 2

5. eHé&˚ ÁøϬø{Ÿ e÷´#·T˝À¢ Á|ü|ü+#·+˝À n‘·T´qï‘·ÁX‚DÏ u≤´{Ÿ‡yÓTHé\T kÕ~Û+∫q |üs¡T>∑T\ $esê\qT

á ÁøÏ+~ bÂq'|ü⁄q´$uÛ≤»q |ü{Ϻø£˝À Çe«HÓ’q~.
|üs¡T>∑T\T 3000- 4000- 5000- 6000- 7000- 8000- 9000- 10000-
4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 11000
u≤´{Ÿ‡yÓTHé\ dü+K´ 4 18 9 7 6 3 1 1

ô|’ <ä‘êÔ+X¯eTTq≈£î u≤VüQfi¯ø±ìï ø£qT>=qTeTT.

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 338 10e ‘·s¡>∑‹ >∑DÏ‘·+

6. ˇø£ $<ë´]ú, s√&ÉTô¶ |’ ˇø£ kÕúq+ qT+∫ yÓfió¯ fl#·Tqï ø±s¡¢ dü+K´qT Á|ü‹ eT÷&ÉT ì$TcÕ\≈£î ˇø£kÕ] (1
|”]j·T&é), 100 |”]j·T&é\˝À ˝…øÏÿ+∫, $esê\qT á ÁøÏ+~ |ü{Ϻø£˝À Áø√&ûø£]+#ê&ÉT.
ø±s¡¢ dü+K´ 0 - 10 10 - 20 20 - 30 30 - 40 40 - 50 50 - 60 60 - 70 70 - 80
bÂq'|ü⁄q´+ 7 14 13 12 20 11 15 8
ô|’ <ä‘êÔ+XÊìøÏ ªªu≤VüQfi¯ø±ìïμμ ø£qTø√ÿ+&ç.
14.4 eØZø£è‘· <ä‘êÔ+X¯+ jÓTTø£ÿ eT<Ûä´>∑‘·eTT (MEDIAN)
ªeT<Û´ä >∑‘e· TTμ nH˚~ øπ +Á<äkÕúq $\Te\T (Measure of central tendency)˝À ˇø£{,Ï Ç~ Çe«ã&çq
<ä‘êÔ+X¯eTT˝Àì sêX¯ó\ ˝Ò<ë |ü]o\Hê+XÊ\ jÓTTø£ÿ ªeT<Ûä´$\TeμqT ÇdüTÔ+~. neØZø£è‘· <ä‘êÔ+XÊìøÏ
ªeT<Ûä´>∑‘êμìï ø£qT>=H˚ $<ÛëHêìï ˇø£kÕ] >∑Ts¡TÔ≈£î ‘Ó#·TÃ≈£î+<ë+. neØZø£è‘· <ä‘êÔ+XÊìøÏ ªeT<Ûä´>∑‘·+μqT
ø£qT>=qT≥≈£î, eTT+<äT>± <ä‘êÔ+X¯+˝Àì sêX¯ó\qT ˝Ò<ë |ü]o\Hê+XÊ\qT ªÄs√Vü≤DÁø£eT+μ˝À neTs¡TÃø√yê*.
⎛ n + 1⎞⎟
n|ü⁄&ÉT, ˇø£y˚fi¯ sêX¯ó\dü+K´ ªnμ uÒdæ dü+K´ nsTT‘˚, eT<Ûä´>∑‘·eTT nH˚~ ⎜⎜⎜⎝ 2 ⎠⎟
⎟e sê• ˝Ò<ë
|ü]o\Hê+X¯eTT ne⁄‘·T+~.
⎛n⎞ ⎛n ⎞
ˇø£y˚fi¯, ªnμ dü]dü+K´ nsTT‘˚ ªeT<Ûä´>∑‘·+μ nH˚~ ⎜⎜⎜⎝ 2 ⎠⎟⎟⎟ e sê• eT]j·TT ⎜⎜⎜⎝ 2 + 1⎠⎟⎟⎟ e sêX¯ó\ düsêdü]
ne⁄‘·T+~.
ˇø£ |üØø£å˝À 50 >∑]wü˜e÷s¡Tÿ\≈£î, 100 eT+~ $<ë´s¡Tú\T kÕ~Û+∫q e÷s¡Tÿ\qT ÁøÏ+~ |ü{Ϻø£˝À
Çe«ã&ܶsTT. Ç{Ϻ <ä‘êÔ+X¯eTTq≈£î ªeT<Ûä´>∑‘êìïμ m˝≤ ø£qT>=Hê˝À >∑eTì<ë›eTT.
kÕ~Û+∫q e÷s¡Tÿ\T 20 29 28 33 42 38 43 25
$<ë´s¡Tú\ dü+K´ 6 28 24 15 2 4 1 20

yÓTT<ä{, eTq+ e÷s¡Tÿ\qT Äs√Vü≤D Áø£eT+˝À neT]Ã, bÂq'|ü⁄q´|ü{øºÏ q£ T á ÁøÏ+~ $<Û+ä >± ‘·j÷· s¡T#˚j÷· *.
kÕ~Û+∫q e÷s¡Tÿ\T $<ë´s¡Tú\ dü+K´ (bÂq'|ü⁄q´eTT)
20 6
25 20
28 24
29 28
33 15
38 4
42 2
43 1
yÓTT‘·Ô+ 100

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 kÕ+K´ø£XÊg+ 339

⎛n⎞ ⎛n ⎞
Ç#·Ã≥ n = 100, n~ ˇø£ dü]dü+K´ n|ü⁄&ÉT eT<Ûä´>∑‘·eTT ⎜⎜⎜⎝ 2 ⎠⎟⎟⎟ e sê• eT]j·TT yÓTT‘·Ô+ ⎜⎜⎜⎝ 2 + 1⎠⎟⎟⎟ e sêX¯ó\
düsêdü] ne⁄‘·T+~. nq>±, 50 e sê• 51e sê•\ düsêdü] ne⁄‘·T+~.
á eT<Ûä´eT $\Te\ kÕúqeTTqT ø£qT>=qT≥≈£î eTqeTT ªÄs√Vü≤D dü+∫‘· bÂ|ü'|ü⁄q´eTT\qTμ
sêkÕÔeTT.
kÕ~Û+∫q e÷s¡Tÿ\T $<ë´s¡Tú\ dü+K´ dü+∫‘· bÂq'|ü⁄q´eTT
20 6 6

25 es¡≈£î 6 + 20 = 26 26

28 es¡≈£î 26 + 24 = 50 50

29 es¡≈£î 50 + 28 = 78 78

33 es¡≈£î 78 + 15 = 93 93

38 es¡≈£î 93 + 4 = 97 97

42 es¡≈£î 97 + 2 = 99 99

43 es¡≈£î 99 + 1 = 100 100

Ç|ü⁄&ÉT eTq+ á düe÷#ês¡+ Ä<Ûës¡+>± bÂq'|ü⁄q´|ü{Ϻø£≈£î eTs√ ì\Te⁄ es¡TdüqT— ø£\|ü&É+ <ë«sê e#˚Ã
q÷‘·q |ü{Ϻø£qT dü+∫‘· bÂq'|ü⁄q´ |ü{Ϻø£>± ù|s=ÿ+<ëeTT.
ô|’ |ü{Ϻø£ qT+&ç ÁøÏ+~ $wüj·÷\T eTq+ düT\uÛÑ+>± >∑eTì+#·e#·TÃ.
50 e |ü]o\Hê+X¯+ 28 (m+<äT≈£î?)
51 e |ü]o\Hê+X¯+ 29 e÷s¡Tÿ\T $<ë´s¡Tú\ dü+K´
0-10 5
28 + 29 10-20 3
eT<Û´ä >∑‘e· TT = 2 = 28.5
20-30 4
>∑eTìø£ : ô|’ |ü{Ϻø£˝Àì 1e eT]j·TT 3e ì\Te es¡Tdü\qT 30-40 3
ø£*|æ dü+∫‘·bÂq'|ü⁄q´|ü{Ϻø£ n+{≤+. ªeT<Ûä´>∑‘· e÷s¡Tÿ\T 40-50 3
28.5μ nH˚~ 50% eT+~ $<ë´s¡Tú\≈£î 28.5 e÷s¡Tÿ\ ø£+f… 50-60 4
‘·≈£îÿe>±qT 50% eT+~ $<ë´s¡Tú\≈£î 28.5 e÷s¡Tÿ\ 60-70 7
ø£+f… m≈£îÿe e#êÃj·TH˚ $wüj·÷*ï ‘Ó\TŒ‘·T+~.. 70-80 9
80-90 7
Á|üø£ÿ |ü{Ϻø£˝Àì eØZø£è‘· <ä‘êÔ+X¯+˝À ˇø£ |üØø£å˝À
90-100 8
100 e÷s¡Tÿ\≈£î >±qT 53 eT+~ $<ë´s¡T\ ú T bı+~q e÷s¡Tÿ\T
Çe«ã&ܶsTT

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 340 10e ‘·s¡>∑‹ >∑DÏ‘·+

á |ü{Ϻø£ Ä<Ûës¡+>± ÁøÏ+~ Á|üX¯ï\≈£î düe÷<ÛëHê\qT #Óù|Œ Á|üj·T‘·ï+ #˚<ë›+.

10 ø£+f… ‘·≈î£ ÿe e÷s¡Tÿ\T bı+~q $<ë´s¡T\
ú dü+K´
kÕ~Û+∫q e÷s¡Tÿ\T $<ë´s¡Tú\ dü+K´
m+‘·? 5 eT+~ nì eTq≈£î düŒwü+º >± ‘Ó\TdüT. eT] (dü+∫‘·bÂq'|ü⁄q´+)
20 ø£+f… ‘·øî£ ÿe e÷s¡Tÿ\T bı+~q $<ë´s¡T\
ú dü+K´ 10 ø£+f… ‘·≈£îÿe 5
m+‘√ #Ó|Œü +&ç? 20 ø£+f… ‘·≈£îÿe 5+3=8
20 ø£+f… ‘·≈£îÿe e÷s¡Tÿ\T e∫Ãq $<ë´s¡Tú\˝À— 30 ø£+f… ‘·≈£îÿe 8 + 4 = 12
0-10 e÷s¡Tÿ\T bı+~qyês¡T, 10-20 e÷s¡Tÿ\T 40 ø£+f… ‘·≈£îÿe 12 + 3 = 15
bı+~q yês¡T ≈£L&É ø£*dæ ñ+{≤s¡T. ø±ã{Ϻ 20 50 ø£+f… ‘·≈£îÿe 15 + 3 = 18
ø£+f… ‘·≈£îÿe e÷s¡Tÿ\T bı+~qyês¡T 5 + 3
60 ø£+f… ‘·≈£îÿe 18 + 4 = 22
nq>± 8 eT+~ $<ë´s¡Tú\T. n+<äTe\¢ eTq+
70 ø£+f… ‘·≈£îÿe 22 + 7 = 29
10-20 nH˚ ‘·s¡>∑‹ jÓTTø£ÿ dü+∫‘· bÂq'|ü⁄q´+
8 >± #Ó|üŒe#·TÃ.n<˚$<Ûä+>± eTq+ $T–*q 80 ø£+f… ‘·≈£îÿe 29 + 9 = 38
‘·s¡>∑‘·T\ jÓTTø£ÿ dü+∫‘· bÂq'|ü⁄Hê´\qT ≈£L&Ü 90 ø£+f… ‘·≈£îÿe 38 + 7 = 45
ø£qT>=q e#·TÃqT. n+fÒ 30 e÷s¡Tÿ\ ø£+f… 100 ø£+f… ‘·≈£îÿe 45 + 8 = 53
‘·≈£îÿe e÷s¡Tÿ\ bı+~q $<ë´s¡Tú\ dü+K´qT— 40
e÷s¡Tÿ\ ø£+f… ‘·≈£îÿe ............... 100 e÷s¡Tÿ\ ø£+f… ‘·≈£îÿe e÷s¡Tÿ\T bı+~q $<ë´s¡Tú\ dü+K´qT
ø£qT>=qe#·TÃqT.
á |ü{Ϻø£qT ªÄs√Vü≤D dü+∫‘· bÂq'|ü⁄q´+ $uÛ≤»q |ü{Ϻø£μ n+{≤eTT. Çø£ÿ&É 10, 20, ..., 100
\T es¡Tdü ‘·s>¡ ‘∑ T· \ jÓTTø£ÿ m>∑Te Vü≤<äT\› T ne⁄‘êsTT.
kÕ~Û+∫q e÷s¡Tÿ\T $<ë´s¡Tú\ dü+K´
ô|q’ #Ó|Œæ q $<Û+ä >± 0>±ì n+‘·ø+£ fÒ m≈£îÿe e÷s¡Tÿ\T (dü+∫‘·bÂq'|ü⁄q´+)
bı+~q yê] dü+K´ (Ç~ ‘·s>¡ ‘∑ T· \ìï+{Ï bÂq'|ü⁄Hê´\ 0 >±ì n+‘·ø£+f… m≈£îÿe 48 + 5 = 53
yÓTT‘êÔìøÏ düe÷q+), 10 ˝Ò<ë n+‘·ø£+f… m≈£îÿe 10 >±ì n+‘·ø£+f… m≈£îÿe 45 + 3 = 48
e÷s¡Tÿ\T bı+~qyê] dü+K´ Ç~ ô|’ yÓTT‘·Ô+˝À qT+∫ 20 >±ì n+‘·ø£+f… m≈£îÿe 41 + 4 = 45
yÓTT<ä{Ï ‘·s¡>∑‹ bÂq'|ü⁄q´+ rdæy˚j·T>± e∫Ãq~, 30 >±ì n+‘·ø£+f… m≈£îÿe 38 + 3 = 41
20 ˝Ò<ë n+‘·ø£+f… m≈£îÿe e÷s¡Tÿ\T bı+~q yê] 40 >±ì n+‘·ø£+f… m≈£îÿe 35 + 3 = 38
dü+K´ (Ç~ ‘·s¡>∑‘·T\ìï+{Ï bÂq'|ü⁄Hê´\ yÓTT‘·Ô+˝À 50 >±ì n+‘·ø£+f… m≈£îÿe 31 + 4 = 35
qT+∫ yÓTT<ä{Ï s¬ +&ÉT ‘·s>¡ ‘∑ T· \ bÂq'|ü⁄Hê´\ yÓTT‘êÔìï 60 >±ì n+‘·ø£+f… m≈£îÿe 24 + 7 = 31
rdæy˚j·T>± e∫Ãq~), á $<Ûä+>± |ü{Ϻø£qT ‘·j·÷s¡T 70 >±ì n+‘·ø£+f… m≈£îÿe 15 + 9 = 24
#˚jT· e#·TÃ. 80 >±ì n+‘·ø£+f… m≈£îÿe 8 + 7 = 15
90 >±ì n+‘·ø£+f… m≈£îÿe 8
ª0μ ø£+f… m≈£îÿe e÷s¡Tÿ\T bı+~q yês¡T
53 eT+~ ñHêïs¡ì |ü]o*+#·e#·TÃ. 0`10 ‘·s¡>∑‹˝À 5 >∑Ts¡T $<ë´s¡Tú\THêïs¡T. ø±ã{Ϻ 10 >±ì

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 kÕ+K´ø£XÊg+ 341

n+‘·ø+£ f… m≈£îÿe e÷s¡Tÿ\T bı+~q $<ë´s¡T\Δ dü+K´ R 53`5R48>± ìsêú]+#·e#·TÃ. Ç<˚$<Û+ä >± 20 >±ì
n+‘·ø+£ f… m≈£îÿe e÷s¡Tÿ\T bı+~q $<ë´s¡T\Δ dü+K´ 48 ` 3 R 45 ne⁄‘·T+~. n˝≤π> 30 >±ì n+‘·ø+£ f…
m≈£îÿe e÷s¡Tÿ\T bı+~q $<ë´s¡TΔ\ dü+K´ 45`4R41 ne⁄‘·T+~. Ç<˚$<Ûä+>± Á|üø£ÿ |ü{Ϻø£˝À #·÷|æ+∫q≥T¢
90 >±ì, n+‘·ø£+f… m≈£îÿe e÷s¡Tÿ\T bı+~q $<ë´s¡TΔ\ dü+K´qT ø£qT>=qe#·TÃ.
á |ü{Ϻø£qT ªnes√Vü≤D dü+∫‘· bÂq'|ü⁄q´+ $uÛ≤»q |ü{Ϻø£μ n+{≤eTT. Çø£ÿ&É 0, 10, 20, ..., 90 \T
es¡Tdü ‘·s¡>∑‘·T\ jÓTTø£ÿ ~>∑Te Vü≤<äT›\T ne⁄‘êsTT.
Ç|ü&ÉT eØZø£è‘·ø£ <ä‘êÔ+X¯+ jÓTTø£ÿ eT<Ûä´>∑‘êìï ø£qT>=q&É+˝À á dü+∫‘·bÂq'|ü⁄q´ $uÛ≤»q|ü{Ϻø£ qT+&ç
@<Ó’Hê ˇø£ <ëìì ñ|üjÓ÷–+#·T ø√e#·TÃ.
eØZø£è‘· <ä‘êÔ+X¯+˝À dü+∫‘· bÂq'|ü⁄q´|ü{Ϻø£\ qT+&ç eT<Ûä´ $\Te nH˚~ @<√ ˇø£ ‘·s¡>∑‹
n+‘·s¡+˝Àì ˇø£ $\Te ne⁄‘·T+~. ø±ã{Ϻ á yÓTT‘·Ô+ $uÛ≤»qeTTqT ¬s+&ÉT düe÷q uÛ≤>±\T>± $uÛÑõ+#˚
‘·s¡>∑‹˝Àì ˇø£ eT<Ûä´$\TeqT eTq+ ø£qT>=Hê*‡ ñ+≥T+~. ø±ì n~ @ ‘·s¡>∑‹ ne⁄‘·T+<√ m˝≤
n
ø£qT>=q&É+? á ‘·s¡>∑‹ ø£qT>=q&ÜìøÏ eTq+ 2 $\TeqT eT]j·TT nìï ‘·s¡>∑‘·T\ jÓTTø£ÿ dü+∫‘·
n
bÂq'|ü⁄Hê´\T ø£qT>=+{≤eTT. ‘·sê«‘· @ ‘·s>¡ ‹∑ jÓTTø£ÿ dü+∫‘· bÂq'|ü⁄q´+ 2 qT yÓTT<ä{kÏ Õ] n~Û>$∑ TdüT+Ô <√
Ä ‘·s¡>∑‹ì eT<Ûä´>∑‘· ‘·s¡>∑‹>± >∑T]ÔkÕeTT.
e÷s¡Tÿ\T $<ë´s¡Tú\ dü+K´ (f) dü+∫‘· bÂq'|ü⁄q´eTT (cf )
0-10 5 5
10-20 3 8
20-30 4 12
30-40 3 15
40-50 3 18
50-60 4 22
60-70 7 29
70-80 9 38
80-90 7 45
90-100 8 53
n
ô|’ $uÛ≤»qeTTq+<äT n = 53. ø±e⁄q 2
= 26.5.

26.5 ø£Hêï m≈£îÿyÓ’q ø£˙dü dü+∫‘· bÂq'|ü⁄q´+>∑\ ‘·s¡>∑‹ 60-70. Bìì eT<Ûä´>∑‘·¡ ‘·s¡>∑‹ n+{≤s¡T.
n
dü+∫‘· bÂq'|ü⁄q´+ 29. ( 2 = 26.5. ø£+f… ø=+#Ó+ ô|<ä›~)

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 342 10e ‘·s¡>∑‹ >∑DÏ‘·+

Ç∫Ãq <ä‘êÔ+X¯eTT jÓTTø£ÿ eT<Û´ä >∑‘e· TTqT ÁøÏ+~ dü÷Á‘·eTTqT ñ|üj÷Ó –+∫ ø£qT>=+{≤eTT.
⎛n ⎞
⎜⎜ − cf ⎟⎟
⎜ ⎟
eT<Û´ä >∑‘e· TT M = l + ⎜⎜ 2 ⎟⎟⎟× h
⎜⎜ f ⎟⎟
⎜⎝ ⎠⎟

Ç+<äT˝À l = eT<Ûä´>∑‘· ‘·s¡>∑‹ ~>∑Te Vü≤<äT›

n = <ä‘êÔ+X¯+˝Àì sêX¯ó\ dü+K´
cf = eT<Ûä´>∑‘·¡ ‘·s¡>∑‹øÏ eTT+<äT ‘·s¡>∑‹ jÓTTø£ÿ dü+∫‘· bÂq'|ü⁄q´eTT

f = eT<Ûä´>∑‘·¡ ‘·s¡>∑‹ jÓTTø£ÿ bÂq'|ü⁄q´eTT

h = eT<Ûä´>∑‘· ‘·s¡>∑‹ bı&Ée⁄
n
|ü{Ϻø£ qT+&ç = 26.5, l = 60, cf = 22, f = 7, h = 10
2
ô|’ $\Te\qT Á|ü‹πøå|æ+#·>±
⎡ 26.5 − 22 ⎤
eT<Ûä´>∑‘·eTT = 60 + ⎢ ⎥ ×10
⎢⎣ 6 ⎥⎦

45
= 60 +
7

= 66.4

∴ ‘·s¡>∑‹˝Àì dü>∑+ eT+~ $<ë´s¡Tú\≈£î 66.4 ø£Hêï ‘·≈£îÿe e÷s¡Tÿ\T $T–*q dü>∑+ eT+~ $<ë´s¡Tú\≈£î
66.4 ø£Hêï m≈£îÿe e÷s¡Tÿ\T e∫à ñ+{≤sTT..
m‘·TÔ (ôd+.MT\˝À) u≤*ø£\ dü+K´
ñ<ëVü≤s¡D-7. ˇø£ bÕsƒ¡XÊ\˝Àì 10e ‘·s¡>∑‹ 140 ø£Hêï ‘·≈£îÿe 4
u≤*ø£\ m‘·TÔ >∑T]+∫ #˚dæq düπs«|òü*‘ê\T Á|üø£ÿ
|ü{Ϻø£˝À Çe«ã&ܶsTT. yê] m‘·TÔ\ eT<Ûä´>∑‘·eTT 145 ø£Hêï ‘·≈£îÿe 11

ø£qT>=q+&ç. 150 ø£Hêï ‘·≈£îÿe 29

155 ø£Hêï ‘·≈£îÿe 40

160 ø£Hêï ‘·≈£îÿe 46

165 ø£Hêï ‘·≈£îÿe 51

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 kÕ+K´ø£XÊg+ 343

kÕ<Ûqä : eT<Û´ä >∑‘e· TT ø£qT>=qT≥ø£î yÓTT<ä≥

‘·s¡>∑‹ n+‘·sê\qT, yê{Ï dü+ã+~‘· ‘·s¡>∑‹ n+‘·s¡+ bÂq'|ü⁄q´eTT dü+∫‘·
bÂq'|ü⁄q´eTT\qT ø£qT>=q e˝…qT. bÂq'|ü⁄q´eTT
Ç∫Ãq $\Te\T m>∑Te Vü≤<äT› ø£Hêï 140 ø£Hêï ‘·≈£îÿe 4 4
‘·≈£îÿe dü+∫‘· bÂq'|ü⁄q´eTT\T ø±e⁄,
140-145 7 11
m‘·T\Ô T 140, 145, 150, . . ., \T m>∑Te
Vü≤<äT›\T, nq>± ‘·s¡>∑‹ n+‘·sê\T 140 145-150 18 29

ø£Hêï ‘·≈£îÿe, 140 - 145, 145 - 150 . 150-155 11 40

. . ne⁄‘êsTT. 155-160 6 46
160-165 5 51
|ü{Ϻø£qT |ü]o*ùdÔ 140 ø£Hêï ‘·≈£îÿe
bı&Ée⁄ >∑\ u≤*ø£\ dü+K´ 4 nq>±
140 ø£Hêï ‘·≈£îÿe ‘·s¡>∑‹ jÓTTø£ÿ bÂq'|ü⁄q´eTT 4. 145 ôd+.MT ø£Hêï ‘·≈£îÿe bı&Ée⁄ >∑\ yês¡T 11
eT+~. nq>± 140`145 ‘·s¡>∑‹ bÂq'|ü⁄q´+ 11` 4 R 7 . Ç<˚$<Ûä+>± $T–*q bÂq'|ü⁄q´eTT\qT
˝…øÏÿ+#·e#·TÃ.
n 51
<ä‘êÔ+X¯+˝Àì sêX¯ó\ dü+K´ n = 51, = = 25.5
2 2

<ä‘êÔ+X¯+˝Àì 25.5 e sê• 145 - 150 ‘·s¡>∑‹øÏ #Ó+<äT‘·T+~.

∴ 145 - 150 eT<Ûä´+‘·s¡ ‘·s¡>∑‹.
eT<Ûä´>∑‘· ‘·s¡>∑‹ ~>∑Te Vü≤<äT› l = 145,

eT<Ûä´>∑‘· ‘·s¡>∑‹øÏ eTT+<äT ‘·s¡>∑‹ dü+∫‘·bÂq'|ü⁄q´+ cf = 11,

eT<Ûä´>∑‘· ‘·s¡>∑‹ jÓTTø£ÿ bÂq'|ü⁄q´eTT f = 18,

eT<Ûä´>∑‘· ‘·s¡>∑‹ bı&Ée⁄ h = 5.

⎛n ⎞
⎜⎜ − cf ⎟⎟
⎜⎝ 2 ⎠⎟
dü÷Á‘·eTTqT ñ|üjÓ÷–+∫ eT<Ûä´>∑‘·+ =l+ ×h
f

(25.5 −11)
= 145 + ×5
18

72.5
= 145 + = 149.03
18

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 344 10e ‘·s¡>∑‹ >∑DÏ‘·+

∴ u≤*ø£\ bı&Ée⁄\ jÓTTø£ÿ eT<Ûä´>∑‘·eTT 149.03 ôd+.MT nq>± ‘·s¡>∑‹˝À 50% eT+~ u≤*ø£\T 149.03
ôd+.MT ø£Hêï m≈£îÿe bı&Ée⁄ ø£*– ñ+{≤s¡T. $T–*q 50% eT+~ 149.03 ôd+.MT. ø£Hêï ‘·≈£îÿe bı&Ée⁄
ø£*– ñ+{≤s¡T.

ñ<ëVü≤s¡D-8. ÁøÏ+~ <ä‘êÔ+X¯eTT jÓTTø£ÿ eT<Ûä´>∑‘·eTT 525 eT]j·TT <ä‘êÔ+X¯+ ˝Àì sêX¯ó\ yÓTT‘·Ô+ 100
nsTTq x, y $\Te\qT ø£qT>=q+&ç. (|ü{Ϻø£˝À CI nq>± ‘·s¡>∑‹ n+‘·s¡+, Fr nq>± bÂq'|ü⁄q´+)
CI 0-100 100- 200- 300- 400- 500- 600- 700- 800- 900-
200 300 400 500 600 700 800 900 1000

Fr 2 5 x 12 17 20 y 9 7 4

kÕ<Ûäq :
<ä‘êÔ+X¯+˝Àì sêX¯ó\ dü+K´ n = 100 nì Çe«ã&ç+~.
∴ 76 + x + y = 100, i.e., x + y = 24 (1)
eT<Ûä´>∑‘·+ 525 nqT sê• 500 – 600 ‘·s¡>∑‹øÏ #Ó+<äT‘·T+~.
ø±e⁄q, l = 500, f = 20, cf = 36 + x, h = 100
dü÷Á‘·eTT ñ|üjÓ÷–+∫
⎛n ⎞
⎜⎜⎝⎜ − cf ⎠⎟⎟⎟
2
eT<Ûä´>∑‘·eTT =l+ ×h
f

50 − 36 − x
525 = 500 + ×100
20

525 – 500 = (14 – x) × 5

25 = 70 – 5x

5x = 70 – 25 = 45

∴ x=9

düMTø£s¡D+ (1)qT+&ç 9 + y = 24

∴ y = 15

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 kÕ+K´ø£XÊg+ 345

‘·s¡>∑‹ n+‘·s¡+ bÂq'|ü⁄q´+ dü+∫‘· bÂq'|ü⁄q´+

0-100 2 2
100-200 5 7
200-300 x 7+x
300-400 12 19+x
400-500 17 36+x
500-600 20 56+x
600-700 y 56+ x + y
700-800 9 65+ x + y
800-900 7 72+ x + y
900-1000 4 76+ x + y

>∑eTìø£ : y˚sT¡ y˚sT¡ ‘·s>¡ ‹∑ n+‘·sê\T >∑\ <ä‘êÔ+X¯eTTq≈£î ≈£L&Ü Ç<˚ dü÷Á‘·eTTqT ñ|üj÷Ó –+∫ eT<Û´ä >∑‘e· TTqT
ø£qT>=qe#·TÃ.

14.5 $$<Ûä πø+ÁBj·TkÕúq $\Te\T ` Á|ü‘˚´ø£ dü+<äs¡“¤eTT\T

n+ø£eT<Ûä´eTeTT <ä‘êÔ+X¯eTT˝Àì nìï sêX¯ó\ $\Te\qT (n‘·´\Œ, n‘·´~Ûø£ $\Te\T ≈£L&Ü)
|ü]>∑Dq˝ÀìøÏ rdüTø=+≥T+~. ø£qTø£ n+ø£eT<Ûä´eTeTTqT n‘·´+‘· $X¯«dü˙j·TyÓTÆq πø+ÁBj·TkÕúq $\Te
n+{≤s¡T. Bìì ñ|üjÓ÷–+∫ ¬s+&ÉT ˝Òø£ n+‘·ø£Hêï m≈£îÿe sêX¯ó\T ˝Òø£ $uÛ≤»qeTT\qT düT\uÛÑeTT>±
b˛\Ãe#·TÃqT. ñ<ëVü≤s¡D≈£î ¬s+&ÉT bÕsƒ¡XÊ\˝Àì $<ë´s¡Tú\ |üØøå± |òü*‘ê\ düsêdüs¡T\T ø£qT>=ì b˛\Ã&É+
<ë«sê @ bÕsƒ¡XÊ\ düeTs¡Δe+‘·+>± |üì#˚düTÔqï~ nì #Ó|üŒe#·TÃqT.
ø=ìï <ä‘êÔ+X¯eTT\˝Àì n+‘·´$\Te\T n+ø£eT<Û´ä eT+ô|’ m≈£îÿe Á|üu≤Û e+ #·÷|ü⁄‘êsTT. kÕ<Ûës¡D+>±
bÂq'|ü⁄Hê´\˙ï <ë<ë|ü⁄ dü]düe÷q+>± ñqï ‘·s¡>∑‘·T\‘√ ≈£L&çq <ä‘êÔ+X¯eTT jÓTTø£ÿ n+ø£eT<Ûä´eTeTT Ä
<ä‘êÔ+X¯eTTq≈£î dü]jÓTÆ q ÁbÕ‹ì<ä´ $\Te ne⁄‘·T+~. ø±˙ ˇø£ ‘·s>¡ ‹∑ bÂq'|ü⁄q´+ 2, $T–*q bÂq'|ü⁄Hê´\T
20, 5, 20, 21, 18. nsTTq|ü&ÉT n+ø£eT<Ûä´eTeTT dü]jÓÆTq ÁbÕ‹ì<Ûä´ $\Te ø±<äT.

<ä‘êÔ+X¯eTT˝Àì $&ç$&ç sêX¯ó\T, Á|ü‘˚´ø£+>± n+‘·´eT sêX¯ó\ $\Te\≈£î, ÁbÕeTTK´‘· ˝Òq|ü&ÉT

<ä‘êÔ+X¯eTTq≈£î ÁbÕ‹ì<Ûä´ $\TeqT ø£qT>=qe\dæ e∫Ãq|ü&ÉT, ñ<ëVü≤s¡D≈£î ˇø£ ÁbÕ+‘·eTT˝Àì n+<äs¡T
ÁXÊ$T≈£î\ y˚‘·qeTT\≈£î ÁbÕ‹ì<Ûä´ $\Te ø£qT>=qe\dæ e∫Ãq|ü&ÉT ($T–*q sêX¯ó\ ø£Hêï m≈£îÿe uÛÒ<ä+‘√
n‘·´\Œ, n‘·´~Ûø£ $\Te\T>∑\ sêX¯ó\Tqï|ü&ÉT) eT<Û´ä >∑‘e· TTqT nqTyÓq’ øπ +ÁBj·T kÕúq $\Te>± rdüTø=+{≤s¡T.

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 346 10e ‘·s¡>∑‹ >∑DÏ‘·+

|ü\Te÷s¡T¢ |ü⁄qsêeè‘·eT>∑T, ãVüQ ÁbÕeTTK´eTT>∑\ sêX¯ó\qT >∑T]Ô+#·e\dæq dü+<äs¡“¤eTT\˝À

u≤VüQfi¯ø£eTTqT πø+ÁBj·TkÕúq $\Te>± >∑DÏkÕÔs¡T. ñ<ëVü≤s¡D≈£î m≈£îÿe eT+~ MøÏå+#˚ f…*$CHé Áb˛Á>±eTT
ø£qT>=qT≥≈£î, m≈£îÿe neTàø£eTT >∑\ edüTÔe⁄ ø£qT>=qT≥≈£î m≈£îÿe eT+~ ñ|üjÓ÷–+#·T yêVü≤qeTT s¡+>∑T
ø£qT>=qT≥≈£î u≤Vü≤fi¯ø£+ ñ|üjÓ÷–kÕÔs¡T.

EXERCISE - 14.3
1. ˇø£ Äyêdü ÁbÕ+‘·eTT˝Àì 68 eT+~ $ìjÓ÷>∑<ës¡T\ jÓTTø£ÿ HÓ\dü] $<äT´‘Y $ìjÓ÷>∑+ ÁøÏ+~
|ü{øºÏ ˝£ À Çe«ã&ç+~. á <ä‘êÔ+X¯eTTq≈£î n+ø£eT<Û´ä eTeTT, eT<Û´ä >∑‘e· TT, u≤VüQfi¯øe£ TT\qT ø£qT>=ì
yêìì b˛\Ã+&ç.
HÓ\yê] $ìjÓ÷>∑+(j·T÷) 65-85 85-105 105-125 125-145 145-165 165-185 185-205

$ìjÓ÷>∑<ës¡T\ dü+K´ 4 5 13 20 14 8 4

2. ÁøÏ+~ |ü{Ϻø£˝À Çe«ã&çq 60 sêX¯ó\ eT<Ûä´>∑‘·+ 28.5 nsTTq x, y $\Te\T ø£qT>=qTeTT.

‘·s¡>∑‹n+‘·s¡+ 0-10 10-20 20-30 30-40 40-50 50-60

bÂq'|ü⁄q´eTT 5 x 20 15 y 5

3. ˇø£ J$‘· ;Ûe÷ dü+düú ñ<√´–, bÕ\d”<ës¡T\ ej·TdüT‡\qT ã{Ϻ ‘·j·÷s¡T #˚dæq $uÛ≤»q |ü{Ϻø£
ÁøÏ+<ä Çe«ã&ç+~. bÕ\d”<ës¡T\ ej·TdüT‡\ eT<Ûä´>∑‘·+ ø£qT>=q+&ç. [18 dü+e‘·‡s¡eTT\ qT+&ç
60 dü+e‘·‡s¡eTT\ ej·TdüT‡ >∑\ yê]øÏ e÷Á‘·y˚T bÕ\d”\T ÇkÕÔs¡T]

ej·TdüT‡ 20 ø£Hêï 25 ø£Hêï 30ø£Hêï 35 ø£Hêï 40ø£Hêï 45ø£Hêï 50 ø£Hêï 55ø£Hêï 60 ø£Hêï
(dü+ˆˆ) ‘·≈î£ ÿe ‘·≈î£ ÿe ‘·≈î£ ÿe ‘·≈î£ ÿe ‘·≈î£ ÿe ‘·≈î£ ÿe ‘·≈î£ ÿe ‘·≈î£ ÿe ‘·≈î£ ÿe
bÕ\d”<ës¡T\ 2 6 24 45 78 89 92 98 100
dü+K´
4. ˇø£ #Ó≥Tº jÓTTø£ÿ 40 Ä≈£î\ bı&Ée⁄\T <ä>∑Zs¡ $T.MT es¡≈£î ø=*∫ ‘·j·÷s¡T #˚dæq ÁøÏ+~ |ü{Ϻø£ qT+&ç
yêì bı&Ée⁄\T eT<Ûä´>∑‘·eTT ø£qT>=q+&ç.
Ä≈£î bı&Ée⁄ ($T.$T) 118-126 127-135 136-144 145-153 154-162 163-171 172-180

Ä≈£î\ dü+K´ 3 5 9 12 5 4 2

(dü÷#·q : eT<Ûä´>∑‘·eTT ˝…øÏÿ+#·T≥≈£î ‘·s¡>∑‹ Vü≤<äT›\T ì]à+#·e˝…qT)

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 kÕ+K´ø£XÊg+ 347

5. ˇø£ |ü]o\q˝À 400 ìj·÷Hé ã\T“\ J$‘·ø±\+ ÁøÏ+~ $uÛ≤»qeTT˝À Çe«ã&ܶsTT.

J$‘·ø±\+ 1500- 2000- 2500- 3000- 3500- 4000- 4500-
(>∑+≥\˝À) 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000
ã\T“\ 14 56 60 86 74 62 48
dü+K´
ã\T“\ J$‘·ø±\eTT\≈£î eT<Ûä´>∑‘·eTT ø£qT>=q+&ç.
6. ˇø£ f…*bò˛qT &Ó’s¡ø£ºØ qT+&ç j·÷<äè∫Ãø£+>± 100 Ç+{Ïù|s¡¢qT rdüTø=Hêïs¡T. yê{Ï˝Àì nø£åsê\
dü+K´qT ã{Ϻ ÁøÏ+~ bÂq'|ü⁄q´ $uÛ≤»qeTT ‘·j·÷s¡T #˚j·Tã&çq~.
nø£åsê\ dü+K´ 1-4 4-7 7-10 10-13 13-16 16-19
Ç+{Ïù|s¡¢ dü+K´ 6 30 40 16 4 4

Ç+{Ïù|s¡¢˝Àì nø£åsê\ dü+K´≈£î n+ø£eT<Ûä´eTeTT, eT<Ûä´>∑‘·eTT, u≤VüQfi¯ø£eTT\qT ø£qT>=q+&ç.

7. ÁøÏ+~ $uÛ≤»q |ü{Ϻø£˝À 30 eT+~ $<ë´s¡TΔ\ ãs¡Te⁄\T Çe«ã&ܶsTT. yê] ãs¡Te⁄\ eT<Ûä´>∑‘·eTT
ø£qT>=q+&ç.
uÛ≤s¡eTT(øÏ.Á>±) 40-45 45-50 50-55 55-60 60-65 65-70 70-75

$<ë´s¡Tú\ dü+K´ 2 3 8 6 6 3 2

14.6 dü+∫‘· bÂq'|ü⁄q´eTT\ πsU≤∫Á‘·eTT\T

|ü<ë\ ø£Hêï |ü{≤\T m≈£îÿe ne>±Vü≤q ø£*ŒkÕÔsTT nì $~‘·y˚Tø£<ë. πsU≤ ∫Á‘ê\T <ä‘êÔ+X¯eTTqT
düeTÁ>∑+>±, oÁ|òüT+>± ns¡Δ+ #˚düTø√e&ÜìøÏ ñ|üjÓ÷>∑|ü&É‘êsTT. ø£MTà ∫Á‘ê\T, k˛bÕq ∫Á‘ê\T, bÂq'|ü⁄q´
ãVüQuÛÑTõ eT]j·TT eÁø£eTT \ >∑T]+∫ ÁøÏ+~ ‘·s¡>∑‘·T\‘√ #·]Ã+∫ ñHêïeTT. dü+∫‘· bÂq'|ü⁄q´eTT\≈£î
πsU≤∫Á‘·eTT\T ì]à+#·T≥ >∑T]+∫ #·]Ã<ë›eTT.
á πsU≤ ∫Á‘·eTT\ ø=s¡≈£î ñ<ëVü≤s¡D 6˝Àì <ä‘êÔ+X¯eTTqT rdüTø=+<ë+. Bìø=s¡¬ø’ <ä‘êÔ+X¯+˝Àì
‘·s¡>∑‘·T\T n$uÛ≤»ø£ ‘·s¡>∑‘·T˝…’ ñ+&Ü*. (dü+∫‘· bÂq'|ü⁄q´eTT\T ‘·s¡>∑‹ Vü≤<äT›\‘√ dü+ã+<Ûä+ ø£*–
ñ+{≤sTT) ne<ÛäT\‘√ ø±<äT.

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 348 10e ‘·s¡>∑‹ >∑DÏ‘·+

Äs√Vü≤D dü+∫‘·bÂq'|ü⁄q´+
<ä‘êÔ+X¯eTT˝Àì es¡Tdü ‘·s¡>∑‘·T\ 60
jÓTTø£ÿ m>∑Te Vü≤<äT›\T 10, 20, 50

Cumulative frequency
30, 100 nì >∑eTì+#·+&ç. 40
'Less than' ogive
nqTyÓq’ ùdÿ\qT rdüTø=ì X- 30

20
nø£åeTTô|’ m>∑Te Vü≤<äT›\qT, Y-
10
nø£åeTTô|’ dü+∫‘· bÂq'|ü⁄q´eTT
0
\qT >∑T]Ô+#·+&ç. Á|ü‹ ‘·s¡>∑‹ 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
m>∑Upper
Te Vülimits
≤<äT›\T
jÓ T Tø£ ÿ m>∑ T e Vü ≤ <ä T › , <ëìøÏ
dü+ã+~Û+∫q dü+∫‘· bÂq'|ü⁄q´eTT\‘√ @s¡Œ&ÉT Vü≤<äT›\qT (10, 5), (20, 8), (30, 12), (40, 15), (50,
18), (60, 22), (70, 29), (80, 38), (90, 45), (100, 53) \qT Á>±|òü⁄ ‘·\+ô|’ >∑T]Ô+∫, Ä _+<äTe⁄\qT
düs¡fi¯ eÁø£+‘√ ø£\|ü+&ç. á eÁø£eTTqT Äs√Vü≤D dü+∫‘·bÂq'|ü⁄q´ eÁø£eTT ˝Òø£ zJyé eÁø£eTT n+{≤s¡T.
ª ˇJ μ nH˚ Áô|ò+∫ |ü<äeTTqT+&ç ªzJyéμ nqT
60
|ü<äeTT ‘·j·÷¬s’q~. ˇJ nq>± |ü⁄{≤ø±s¡
Cumulative frequency

50
dü+∫‘·bÂq'|ü⁄q´+

'More than' ogive

eÁø£+>± yÓTT<ä˝…’ ≈£î+uÛ≤ø±s¡ eÁø£+>± 40

n+‘·eTj˚T´ Äø±s¡eTT, <ë<ë|ü⁄ Ä+>∑¢ nø£ås¡+ 30

20
ªSμ e+{Ï Äø±s¡+. 14, 15 X¯‘êã›eTT\˝À
10
>√‹ø˘ |ü<äΔ‹ ìsêàDeTT\˝À Ç~ ˇø£ 0
Á|üeTTKyÓTÆq Äø±s¡eTT. 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Lower
~>∑Te limits
Vü≤<äT›\T
eTs¡˝≤ nes√Vü≤D dü+∫‘·bÂq'|ü⁄q´ eÁø£
ìsêàD+ >∑T]+∫ |ü]o*<ë›eTT. ô|’ <ä‘êÔ+X¯eTT˝Àì ‘·s¡>∑‘·T\ ~>∑Te Vü≤<äT›\T 0, 10, 20, ...., 90 nì
>∑ e Tì+#· + &ç . nqTyÓ ’ q ùdÿ\TqT rdü T ø=ì X- nø£ å e TT ô|’ ~>∑ T e Vü ≤ <ä T › \ qT, Y-nø£ å e TTô|’
dü+∫‘·bÂq'|ü⁄q´eTT\qT >∑T]Ô+#ê*. Á|ü‹ ‘·s¡>∑‹ jÓTTø£ÿ ~>∑Te Vü≤<äT›. <ëìøÏ dü+ã+~Û+∫q nes√Vü≤D
dü+∫‘· bÂq'|ü⁄q´eTT\ jÓTTø£ÿ Áø£eTj·TT>±à\T (0, 53), (10, 48), (20, (45), (30, 41), (40, 38), (50,
35), (60, 31), (70, 24), (80, 15), (90, 8) \qT Á>±|òt ‘·\eTTô|’ >∑T]Ô+∫ ˇø£ düsfi ¡ ¯ eÁø£eTT‘√ ø£\T|üe˝…qT.
á eÁø£eTTqT ªnes√Vü≤D dü+∫‘· bÂq'|ü⁄q´ eÁø£eTTμ ˝Òø£ ªzJyé eÁø£eTTμ n+{≤s¡T.

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 kÕ+K´ø£XÊg+ 349

14.6.1 zJyé eÁø£eTT qT+&ç eT<Ûä´>∑‘·eTT ø£qT>=qT≥

zJyé eÁø£eTT qT+&ç Ä <ä‘êÔ+X¯eTT jÓTTø£ÿ eT<Ûä´>∑‘·eTT ø£qT>=q>∑\e÷? |ü]o*<ë›eTT.
n
Äs√Vü≤D ˝Òø£ nes√Vü≤D dü+∫‘· bÂq'|ü⁄q´ eÁø£eTTjÓTTø£ÿ Y`nø£åeTTô|’ yÓTT<ä≥ 2 e sê•(áñ<ëVü≤s¡D˝À
n 53
= = 26.5 )ì dü÷∫+#·T _+<äTe⁄qT >∑T]Ô+#ê*. á _+<äTe⁄ qT+&ç x-nø£eå TTq≈£î düe÷+‘·se¡ TT>±
2 2
ˇø£ πsK ^∫ n~ eÁø£eTTqT K+&ç+#·T _+<äTe⁄qT >∑T]Ô+#ê*. á _+<äTe⁄ qT+&ç x-nø£å+ MT<ä¡≈£î ˇø£
\+ãeTTqT ^∫q#√, Ä \+ãbÕ<äeTT eT<Ûä´>∑‘·eTTqT dü÷∫düTÔ+~. Á|üø£ÿ πsU≤∫Á‘·eTT\qT |ü]o*+#·+&ç.
Á|ü‘ê´e÷ïj·T |ü<‹Δä : 60

Ç∫Ãq <ä‘êÔ+X¯eTT jÓTTø£ÿ Äs√Vü≤D, 50

dü+∫‘·bÂq'|ü⁄q´+
Cumulative frequency

nes√Vü≤D dü+∫‘· bÂq'|ü⁄q´eTT\qT 40

ì]à+∫, ¬s+&ÉT zJyé eÁø£eTT\ K+&Éq 30

_+<äTe⁄ qT+&ç x-nø£åeTT MT<ä≈£î ˇø£ 20

eT<Ûä´>∑‘·eTT
\+ãeTTqT ^j·T>±, Ä \+ãbÕ<äeTT 10 66.4 Median (66.4)

<ä ‘ êÔ + X¯ e TT jÓ T Tø£ ÿ eT<Û ä ´ >∑ ‘ · e TTqT 0

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
dü÷∫düTÔ+~. 60 m>∑Te Vü≤<äT›\T Upper limits

50
Cumulative frequency

40
dü+∫‘·bÂq'|ü⁄q´+

30

20

10
Median
eT<Û (66.4)
ä´>∑‘·eTT 66.4
0
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Limits
Vü≤<äT\› T
ñ<ëVü≤s¡D `9. ˇø£ ÁbÕ+‘·eTT˝Àì 30 n+>∑fi¯fl jÓTTø£ÿ dü+e‘·‡s¡ Ä<ëj·TeTT\T ÁøÏ+~ |ü{Ϻø£ s¡÷|ü+˝À
Çe«ã&ܶsTT.
˝≤uÛÑeTT(\ø£å `) n+>∑fi¯fl dü+K´
5 ø£Hêï m≈£îÿe ˝Òø£ düe÷q+ 30
10 ø£Hêï m≈£îÿe ˝Òø£ düe÷q+ 28
15 ø£Hêï m≈£îÿe ˝Òø£ düe÷q+ 16
20 ø£Hêï m≈£îÿe ˝Òø£ düe÷q+ 14
25 ø£Hêï m≈£îÿe ˝Òø£ düe÷q+ 10
30 ø£Hêï m≈£îÿe ˝Òø£ düe÷q+ 7
35 ø£Hêï m≈£îÿe ˝Òø£ düe÷q+ 3
ô|’ <ä‘êÔ+X¯eTTq≈£î ¬s+&ÉT zJyé eÁø±\T ^j·T+&ç. n+<äT qT+&ç ˝≤uÛÑeTT\ jÓTTø£ÿ eT<Ûä´>∑‘·eTT ø£qT>=q+&ç.
Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ
 350 10e ‘·s¡>∑‹ >∑DÏ‘·+

kÕ<Ûäq : Ç∫Ãq <ä‘êÔ+X¯eTT˝Àì $\Te\T ~>∑Te Vü≤<äT›\T, dü+ã+~Û‘· nes√Vü≤D dü+∫‘· bÂq'|ü⁄q´eTT\T.
M{Ï‘√ yÓTT<ä≥ nes√Vü≤dü+∫‘· bÂq'|ü⁄q´ eÁø£eTT ^j·TT≥≈£î nqTyÓ’q ùdÿ\T rdüTø=ì x-nø£åeTT ô|’ ~>∑Te
Vü≤<äT›\qT, Y-nø£åeTTô|’ dü+∫‘· bÂq'|ü⁄q´eTT\qT >∑T]Ô+∫ yê{Ïì ø£\T|ü⁄‘·÷ düs¡fi¯ eÁø£eTTqT ^j·÷*. Ç~
nes√Vü≤D dü+∫‘· bÂq'|ü⁄q´ eÁø£eTT ne⁄‘·T+~.
35

30
bÂq'|ü⁄q´+
frequency

25

20
≤D dü+∫‘·
Cumulative

15

10
Äs√Vü

0
0 5 10 15 20 25 30 35
Lower limits of profit (in lakhs Rs.)
~>∑Te Vü≤<äT›\T (\ø£å\˝À)
Ç|ü&ÉT Ç∫Ãq <ä‘êÔ+X¯eTT qT+&ç ‘·s¡>∑‹ n+‘·sê\T, bÂq'|ü⁄q´eTT\T, Äs√Vü≤D dü+∫‘· bÂq'|ü⁄q´eTT\qT
‘·j·÷s¡T #˚j·T>±
‘·s¡>∑‹ n+‘·sê\T 5-10 10-15 15-20 20-25 25-30 30-35 35-40

n+>∑fifl¯ dü+K´ 2 12 2 4 3 4 3

Äs√Vü≤D dü+∫‘· bÂq'|ü⁄q´+ 2 14 16 20 23 27 30

ô|’ <ä‘êÔ+X¯eTTqT+&ç @s¡Œ&ÉT _+<äTe⁄\T (10, 2), (15, 14), (20, 16), (25, 20), (30, 23), (35,
27), (40, 30) _+<äTe⁄\qT n<˚ Á>±|òtô|’ >∑T]Ô+∫ düs¡fi¯ eÁø£eTT‘√ ø£\T|ü>± Äs√Vü≤D dü+∫‘· bÂq'|ü⁄q´
eÁø£eTT @s¡Œ&ÉT‘·T+~. á ¬s+&ÉT eÁø£eTT\T |üs¡düŒs¡+ K+&ç+#·Tø=qï _+<äTe⁄ qT+&ç x-nø£å+ MT<ä≈£î
\+ãeTTqT ^j·T>±, Ä \+ãbÕ<äeTT 17.5 nì >∑T]Ô+#·e#·TÃ. nq>± <ä‘êÔ+X¯eTT jÓTTø£ÿ eT<Ûä´>∑‘·eTT
17.5 \ø£å\ s¡÷bÕj·T\T.

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 kÕ+K´ø£XÊg+ 351

35

30
Cumulative frequency
dü+∫‘·bÂq'|ü⁄q´+

25

20

15

10

0
0 5 10 15 20 25 30 35 40
Median (17.5)
˝≤uÛ+Ñ eT<Û´ä >∑‘+·
Vü≤<äT›\T
Profit (in lakhs Rs.)
17.5 (\ø£\å ˝À)
nuÛ≤´düeTT - 14.4
1. 50 eT+~ ÁXÊ$T≈£î\ ~qdü] uÛÑ‘·´eTT\T ÁøÏ+~ bÂq'|ü⁄q´ $uÛ≤»qeTT˝À Çe«ã&ܶsTT.
~qdü](` \˝À) 250-300 300-350 350-400 400-450 450-500
ÁXÊ$T≈£î\ dü+K´ 12 14 8 6 10
á <ä‘êÔ+X¯eTq≈£î Äs√Vü≤D dü+∫‘· bÂq'|ü⁄q´eTT\qT ‘·j·÷s¡T #˚dæ, zJyé eÁø£eTT ^j·T+&ç.
2. ˇø£ bÕsƒ¡XÊ\˝À »]–q yÓ’<ä´ |üØø£å\˝À ‘·s¡>∑‹˝Àì 35 eT+~ $<ë´s¡Tú\T ãs¡Te⁄\T ÁøÏ+~ |ü{Ϻø£˝À
Çe«ã&ܶsTT.
ãs¡Te⁄ (øÏ.Á>±) $<ë´s¡Tú\ dü+K´
38 ø£Hêï ‘·≈£îÿe 0
40 ø£Hêï ‘·≈£îÿe 3
42 ø£Hêï ‘·≈£îÿe 5
44 ø£Hêï ‘·≈£îÿe 9
46 ø£Hêï ‘·≈£îÿe 14
48 ø£Hêï ‘·≈£îÿe 28
50 ø£Hêï ‘·≈£îÿe 32
52 ø£Hêï ‘·≈£îÿe 35
Äs√Vü≤D dü+∫‘· bÂq'|ü⁄q´ eÁø£eTT ^∫ <ëì qT+&ç eT<Ûä´>∑‘·eTTqT >∑T]Ô+#·+&ç. á <ä‘êÔ+X¯eTTq≈£î
dü÷Á‘· düVü‰j·T+‘√ eT<Ûä´>∑‘·eTT ø£qT>=ì ¬s+&ÉT $\Te\T dü]#·÷&É+&ç.
3. ˇø£ Á>±eTeTT˝Àì 100 eT+~ s¬ ‘’ T· \T bı\eTT\˝À ôV≤ø±ºsT¡ ≈£î ~>∑Tã&ç <Ûëq´eTT ÁøÏ+~ $uÛ≤»qeTT
q+<äT Çe«ã&ç+~.
<Ûëq´+ ~>∑Tã&ç 50-55 55-60 60-65 65-70 70-75 75-80
(øÏ«+{≤˝Ÿ/{≤ø£ºsY)
¬s’‘·T\ dü+K´ 2 8 12 24 38 16
á <ä‘êÔ+X¯eTTq≈£î nes√Vü≤D dü+∫‘· bÂq'|ü⁄q´eTT ‘·j·÷s¡T #˚dæ zJyé eÁø£eTT ^j·T+&ç.

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 352 10e ‘·s¡>∑‹ >∑DÏ‘·+

eTq+ @$T #·]Ã+#ê+

1. ˇø£ eØZø£è‘· $uÛ≤»qeTT jÓTTø£ÿ n+ø£eT<Ûä´eTeTT ˝…øÏÿ+#·T≥≈£î dü÷Á‘ê\T
∑ f i xi
(i) Á|ü‘·´ø£å |ü<äΔ‹ : x=
∑ fi
∑ fi di
(ii) $#·\q |ü<äΔ‹ : x =a+
∑ fi

⎛ ∑ f u ⎞⎟
(iii) dü+øÏå|üÔ $#·\q |ü<äΔ‹ : x = a + ⎜⎜⎜ i i⎟
⎟× h
⎝ ∑ fi ⎠⎟
2. eØZø£è‘· bÂq'|ü⁄q´ $uÛ≤»qeTTq≈£î u≤VüQfi¯ø£ dü÷Á‘·eTT:
⎛ f1 − f 0 ⎞⎟
u≤VüQfi¯ø£eTT = l + ⎜⎜⎜ ⎟⎟× h
⎝ 2 f1 − f0 − f 2 ⎠⎟

3. eØZø£è‘· bÂq'|ü⁄q´ $uÛ≤»qeTTq≈£î eT<Ûä´>∑‘·eTT

⎛n ⎞
⎜⎜ − cf ⎟⎟
⎟
eT<Ûä´>∑‘·eTT = l + ⎜⎜⎜ 2 ⎟⎟⎟× h
⎜⎜ f ⎟⎟
⎜⎝ ⎠⎟

4. eT<Ûä´>∑‘·eTT ø£qT>=qT≥≈£î ‘·s¡>∑‹ Vü≤<äT›\T ñ|üjÓ÷–+#ê*.

5. Äs√Vü≤D, nes√Vü≤D dü+∫‘·bÂq'|ü⁄q´ eÁø£eTT\T ^j·TT≥ >∑T]+∫ ‘Ó\TdüTø=HêïeTT.
6. zJyé eÁø±\T Á^j·TT≥˝À X-nø£åeTTô|’ Vü≤<äT›\qT, Y-nø£åeTTô|’ dü+∫‘· bÂq'|ü⁄q´eTT\qT
rdüTø=qe˝…qT.
7. ¬s+&ÉT nø£åeTT\ô|’ rdüTø=qT ùdÿ\T düe÷q+>± ñ+&Éqedüs¡+ ˝Ò<äT.
8. ˇπø <ä‘êÔ+X¯eTT jÓTTø£ÿ ¬s+&ÉT zJyé eÁø±\T |üs¡düŒs¡+ K+&ç+#·Tø=qï _+<äTe⁄ qT+&ç X-nø£å+
MT~øÏ ^∫q \+ãbÕ<äeTT Ä <ä‘êÔ+X¯eTT jÓTTø£ÿ eT<Ûä´>∑‘·eTTqT ‘Ó\T|ü⁄‘·T+~.

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 >∑DÏ‘· qeT÷Hê $<ÛëHê\T 353

nqTã+<Ûä+
>∑DÏ‘· qeT÷Hê $<ÛëHê\T
(Mathematical Modelling)

A. .1
A.I.1 |ü]#·j·T+
XÊg, kÕ+πø‹ø£ s¡+>±\˝À nyÓT]ø±, s¡cÕ´, »bÕHé e+{Ï nÁ>∑<X˚ Ê\ düsd¡ qü ì*∫q uÛ≤s¡‘<· X˚ +¯ ˝À
|òÁæ ãe] 25, 2013q ÇÁk˛ (uÛ≤s¡‘· n+‘·]ø£å |ü]XÀ<ÛHä ê dü+dü)ú yês¡T PSLV C20, nH˚ yêVü≤q HÍø£ <ë«sê
düs˝¡ Ÿ (SARAL) nH˚ ñ|üÁ>∑V≤ü +qT ø£ø´å£ ˝À Á|üyX˚ ô¯ |{ÏHº ês¡T. á XÊ{Ï˝{’… Ÿ jÓTTø£ÿ ãs¡Te⁄ düTe÷s¡T 407 øÏ.Á>±
eT]j·TT Ç~ uÛ÷Ñ $T qT+&ç 781 øÏ.MT m‘·T˝Ô À ñ+≥÷ 98.5º \ ø√D+‘√ ø£ø´å£ ˝À |ü]ÁuÛeÑ TD+ #˚dTü +Ô ~.
ô|’ düe÷#êsêìï #·~$q eTq≈£î düV≤ü »+>±H˚ ø=ìï dü+<˚V‰ü \T ‘·˝‘… T· ‘Ô êsTT. n$ @+≥+fÒ
(i) XÊgy˚‘\Ô· T, XÊ{Ï˝{’… Ÿ 781øÏMT\ m‘·T˝Ô À |ü]ÁuÛ$Ñ TdüT+Ô <äì n+‘· K∫Ñ·+>± m˝≤ #Ó|Œü >∑*>±s¡T.
ì»+>±H˚ yês¡T n+‘·]øå±ìøÏ yÓ[fl <ä÷sêìï ø=*∫ #·÷XÊsê ?
(ii) ÁuÛeÑ TD ø√D+ 98.5º \T nì m˝≤ ìsêΔ]+#·>*∑ >±s¡T ?
eTq ì»J$‘·+˝Àì ø=ìï n<äT“¤‘·yÓTÆq $wüj·÷\T, eTq*ï ÄX¯Ãs¡´#·øÏ‘·T*ï #˚kÕÔsTT. ndü\T >∑DÏ‘·
y˚T<Ûëe⁄\T >±ì XÊgy˚‘·Ô\T >±ì Ç+‘· K∫Ñ·+>± á $\Te\qT m˝≤ n+#·Hê y˚j·T>∑*>±s¡T ? nì eTq+
ìyÓ«s¡ b˛‘êeTT. n˝≤+{Ï ñ<눈\T ø=ìï+{Ïì |ü]o*<ë›eTT.
(i) dü÷s¡T´ì ñ|ü]‘·\+ô|’q ñc˛íÁ>∑‘· <ë<ë|ü⁄ 6,000ºC ñ+≥T+~.
(ii) e÷qe⁄ì >∑T+&Ó Á|ür ì$TcÕìøÏ ˇø£kÕ] 5 qT+&ç 6 ©ˆˆ\ s¡ø±Ôìï X¯ó~› #˚düTÔ+~.
(iii) dü÷s¡T´ìøÏ, uÛÑ÷$TøÏ eT<Ûä´ <ä÷s¡eTT 1,49,000 øÏMTˆˆ\T.
ô|’q ù|s=ÿqï ñ<눈\˝À @ XÊgy˚‘·Ô ≈£L&É dü÷s¡T´ì ô|’øÏ yÓ[fl nø£ÿ&ç ñc˛íÁ>∑‘·qT ø=\e˝Ò<äT.
n<˚$<Ûä+>± eTìwæ >∑T+&ÓqT ãj·T≥≈£î rdæ n~ mìï ©ˆˆ\ s¡ø±Ôìï X¯ó~› #˚düTÔ+<√ |ü]o*+#·˝Ò<äT.
eT] Ç˝≤+{Ï Á|üX¯ï\≈£î Ç+‘· K∫Ñ·yÓTÆq düe÷<ÛëHêìï m˝≤ #Ó|üŒ>∑*>±s¡T ?
ªª>∑DÏ‘·qeT÷Hê $<Ûëq+μμ <ë«sê Ç˝≤+{Ï }Vü≤≈£î n+<äì Á|üX¯ï\≈£î K∫Ñ·yÓTÆq |ü]cÕÿsêìï
ø£qTø√ÿ>∑\TZ‘êeTT.
ªª>∑D‘Ï q· eT÷Hê $<Ûëq+ nH˚~ øπ e\+ XÊgE„\T, y˚T<Ûëe⁄\ø£T e÷Á‘·yT˚ ñ|üj÷Ó >∑|&ü TÉ ‘·T+<äqTø√e&É+
bıs¡bÕfÒ ne⁄‘·T+~. m+<äTø£+fÒ eTq ì»J$‘·+˝À mH√ï dü+<äsꓤ\˝À >∑DÏ‘· qeT÷Hê Á|üÁøÏj·TqT
ñ|üjÓ÷–+∫ eTq düeTdü´\qT |ü]wüÿ]+#·T≈£î+{≤eTT. ñ<눈≈£î eTq+ s¡÷. 100 \qT y˚πsyê]øÏ 10%
e&û¶ πs≥T #=|üq kÕ<Ûës¡D e&û¶øÏ n|ü>± ÇùdÔ 1 dü+ˆˆ ø±\+ ‘·sê«‘· eTq≈£î m+‘· &ÉãT“ edüTÔ+<√
‘Ó\TdüTø√yê*, ˝Ò<ë eTq Ç+{Ï >∑~ >√&É\ìï+{ÏøÏ s¡+>∑T y˚sTT+#ê\+fÒ mìï ©ˆˆ\ ô|sTT+{Ÿ nedüs¡yÓ÷
ø£qT≈£îÿH˚ dü+<äsꓤ\˝À eTq≈£î >∑DÏ‘· qeT÷Hê Á|üÁøÏj·T ñ|üjÓ÷>∑|ü&ÉT‘·T+~.
Ä˝À∫+∫ #·]Ã+∫ sêj·T+&ç.
eTq+ H˚sT¡ >± ø=\e˝Òì dü+<äsꓤ\˝À >∑D‘Ï · qeT÷Hê Á|üÁøÏjT· qT ñ|üj÷Ó –+∫ K∫Ñ·yTÓ qÆ $\Te\qT
n+#·Hê y˚j·T>∑*–q, ì»J$‘· düìïy˚XÊ\˝Àì eT]ø=ìï ñ<눈\qT MT ùdïVæ≤‘·T\‘√ #·]Ã+#·+&ç.

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 354 10e ‘·s¡>∑‹ >∑DÏ‘·+

A. .2
A.II.2 >∑DÏ‘· qeT÷Hê\T
Á‹uÛÑT» yÓ’XÊ\´+qT ø£qT>=qT≥≈£î @ dü÷Á‘·+ yê&ÉT‘êyÓ÷ MT≈£î >∑Ts¡TÔ+<ë ?
1
Á‹uÛÑT» yÓ’XÊ\´+ = 2 I uÛÑ÷$T I m‘·TÔ ø£<ë !
PTR
n<˚ $<Ûä+>± kÕ<Ûës¡D e&û¶ ø£qT>=qT≥≈£î dü÷Á‘·+ I= — á dü÷Á‘·+ ˝Ò<ë düMTø£s¡D+ nH˚~
100
e&û¶ (I); ndü\T(P); ø±\+ (T); eT]j·TT e&û¶ πs≥T (R). \ eT<Ûä´ ñqï dü+ã+<Ûëìï dü÷∫düTÔ+~.
á dü÷Á‘ê\qT eTq+ >∑DÏ‘· qeT÷Hê\≈£î ñ<ëVü≤s¡D\T>± #Ó|üø√e#·TÃ.
>∑DÏ‘· qeT÷Hê\≈£î dü+ã+~Û+∫ eT]ø=ìï ñ<ëVü≤s¡D\T #·÷<ë›+.

(i)
÷s¡+ (d)
y˚>∑+ (S) R <äø±\+ (t)

n
⎛ r ⎞
(ii) #·Áø£e&û¶˝À yÓTT‘·Ô+ (A) = P ⎜⎜⎜⎝1 + 100 ⎠⎟⎟⎟
Ç#·≥ P = ndü\T
r = e&ûs
π¶ ≥T
n = e&û¶ ø£fÒº |üsê´j·TeTT\ dü+K´

ø±ã{Ϻ,
ì»J$‘· dü+<äsꓤ\˝À eTq+ ñ|üjÓ÷–+#˚ >∑DÏ‘· $es¡D\T ˝Ò<ë
>∑DÏ‘· dü÷Á‘ê˝Ò ªª>∑DÏ‘· qeT÷Hê\Tμμ.

Ç$ #˚j·T+&ç
MTs¡T ÁøÏ+~ ‘·s¡>∑‘·T\˝À H˚s¡TÃ≈£îqï ªª>∑DÏ‘· qeT÷Hê\Tμμ ø=ìï+{Ïì sêj·T+&ç.

A. .3
A.I.3 >∑DÏ‘· qeT÷Hê $<Ûëq+
eTq <Ó’q+~q J$‘·+˝Àì ø=ìï dü+<äsꓤ\˝À düeTdü´\qT m<äTs=ÿyê*‡ edüTÔ+~. yê{Ïì
|ü]wüÿ]+#·Tø√e&ÜìøÏ eTq+ Ä düeTdü´≈£î dü]|ü&TÉ >∑D‘Ï · düMTø£sD¡ +qT sêdüTø=ì <ëì kÕ<Ûqä qT ø£qT>=+{≤eTT.
‘·sê«‘· <äX¯˝À eTq+ ø£qT>=qï kÕ<Ûäq— eTq düeTdü´≈£î |ü]cÕÿs¡+>± dü]b˛‘·T+<√ ˝Ò<√ $X‚¢wæ+#·T≈£î+{≤eTT.
á $<Ûä+>± ˇø£ >∑DÏ‘· qeT÷HêqT ì]à+#·Tø=ì— <ëì Ä<Ûës¡+>± düeTdü´qT kÕ~Û+#˚ $<Ûëq+H˚ ªª>∑DÏ‘·
qeT÷Hê $<Ûëq+μμ>± e´eVü≤]kÕÔeTT.

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 >∑DÏ‘· qeT÷Hê $<ÛëHê\T 355

Ç|ü&ÉT >∑DÏ‘·qeT÷Hê $<ÛëHê\T dü+ã+~Û+∫q ø=ìï ñ<ëVü≤s¡D\qT |ü]o*<ë›eTT.

ñ<ëVü≤s¡D-1. yêDÏ— ` 19,000 <Ûäs¡ ø£*–q ˇø£ yêwæ+>¥ yÓTwæHéqT ø=Hê\ì nqTø=qï~. ø±ì ÄyÓT e<ä›
øπ e\+ ` 15,000 e÷Á‘·yT˚ ñHêïsTT. $T–*q &ÉãT“\ ø√dü+ ÄyÓT ‘·q e<ä› ñqï s¡÷bÕj·T\qT dü+ˆˆìøÏ 8%
e&û¶πs≥T #=|üq kÕ<Ûës¡D e&û¶øÏ n|ü>± Çyê«\qT≈£î+~. nsTT‘˚ mìï dü+ˆˆ\ ‘·sê«‘· yêDÏøÏ $T–*q
&ÉãT“\T e∫Ã, ‘êqT nqT≈£îqï yêwæ+>¥yÓTwæHé ø=q>∑\<äT?
kÕ<Ûäq :
k˛bÕq+ 1 : (düeTdü´qT ne>±Vü≤q #˚düTø√e&É+): á k˛bÕq+˝À eTq+ düeTdü´qT ns¡ú+ #˚düTø=H˚ @j˚T
n+XÊ\T Çe«ã&ܶsTT ? Ç+ø± @$T ø£qT>=Hê*‡ ñ+<√ ‘Ó\TdüT≈£î+{≤eTT. á düeTdü´˝À eTq≈£î ndü\T,
e&û¶πs≥T Çe«ã&ܶsTT. yêDÏ n|ü>± Ç∫Ãq ndü\T ` 15,000— mìï dü+ˆˆ\ ‘·sê«‘· ` 19000 ne⁄‘êjÓ÷
eTq+ ø£qT>=Hê*.
k˛bÕq+ 2 : (>∑DÏ‘·|üs¡yÓTÆq $es¡D eT]j·TT dü÷Árø£s¡D) á k˛bÕq+˝À Ç∫Ãq düeTdü´˝Àì $$<Ûä
|ü<ë\≈£î $düÔè‘ês¡ú+˝À $es¡D sêdüTø=ì #·s¡sêX¯ó\qT >∑T]ÔkÕÔeTT. düeTdü´≈£î dü]|ü&ÉT düMTø£s¡D+ ˝Ò<ë
ndüMTø£s¡D≤\qT sêdüTø=ì nedüs¡yÓTÆq düe÷#êsêìï ùdø£]kÕÔeTT.
á düeTdü´˝À eTq+ kÕ<Ûës¡D e&û¶øÏ dü+ã+~Û+∫q dü÷Á‘·+
PTR
I= (qeT÷Hê) qT ñ|üjÓ÷–kÕÔeTT. Bì˝À
100
P = ndü\T T = ø±\+ (dü+ˆˆ\˝À) R= e&û¶πs≥T I = kÕ<Ûës¡D e&û¶
100I
á qeT÷Hê˝À eTq+ ø±\+ (T)ì ø£qT>=Hê*‡ ñ+~. T= ne⁄‘·T+~.
RP
k˛bÕq+ 3: (>∑DÏ‘· düeTdü´qT kÕ~Û+#·&É+) : á k˛bÕq+˝À, 2e k˛bÕq+˝À n_Ûeè~Δ |ü]∫q dü÷Á‘êìï
ñ|üjÓ÷–+#·Tø=ì düeTdü´qT kÕ~ÛkÕÔeTT. yêDÏ e<ä› Á|üdüTÔ‘·+ ñqï &ÉãT“ πøe\+ ` 15,000 e÷Á‘·y˚T nì
eTq≈£î ‘Ó\TdüT. Ç<˚ eTq≈£î düeTdü´˝À ndü\T (P) ne⁄‘·T+~.
` 19000 $\Te >∑\ yêwæ+>¥yÓTwæHé ø=q&ÜìøÏ yêDÏøÏ Ç+ø± 19,000-15,000 = 4,000
nedüs¡+. n+fÒ Ç~ e&û¶ (I) øÏ düe÷q+.
100 × 4, 000
/ / / 400/ 4 1
P = `15,000 R = 8%, I = 4000 , T = = , T = 3 = 3 dü+ˆˆ\T
/ / / ×8
15,000 120/ 12 3
k˛bÕq+ 4 : (kÕ<Û ä q qT $X‚ ¢ w æ + #· T ø√e&É +): ô|’ k˛bÕq+˝À e∫Ãq kÕ<Û ä q qT á k˛bÕq+˝À
$X‚¢wæ+#·T≈£î+{≤eTT.
1
Çø£ÿ&É eTq≈£î T = 3
3
dü+ˆˆ\T nì e∫Ã+~. n+fÒ 3dü+ˆˆ\T eT]j·TT Ç+ø± dü+ˆˆ˝À 3e e+‘·T
nì ˝Ò<ë 3 dü+ˆˆ\ 4HÓ\\T nì ns¡+ú . n+fÒ yêDÏ 3 dü+ˆˆ\ 4 HÓ\\ ‘·sê«‘· ‘êqT nqTø=qï yêwæ+>¥ yÓTwæHé
ø=q>∑\<äT.

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 356 10e ‘·s¡>∑‹ >∑DÏ‘·+

k˛bÕq+ 5 : (qeT÷Hê jÓTTø£ÿ $X¯«dü˙j·T‘·): düeTkÕ´ kÕ<Ûäq˝À e∫Ãq kÕ<Ûäq (|òü*‘·+) ì»J$‘êìøÏ
dü]b˛‘·T+<äì nìïkÕs¡T¢ $X¯«dæ+#·˝ÒeTT. ˇø£ y˚fi¯ kÕ<Ûäq eTq≈£î dü]b˛<äì nì|æùdÔ eT∞fl eT∞fl eTq
qeT÷Hêì |üØøÏå+#·T≈£î+≥÷ <ëìì yÓTs¡T>∑T|üs¡T#·Tø√e#·TÃ.
á düeTdü´qT kÕ~Û+#˚ Áø£eT+˝À eTq+ düeTdü´˝Àì 2 n+XÊ\T m|üŒ{Ïø° e÷s¡eì }Væ≤+#·Tø=ì
düeTdü´qT kÕ~Û+#êeTT n$ i) e&û¶πs≥T ii) yêwæ+>¥ yÓTwæHé <Ûäs¡ Á|ür dü+ˆˆ ` 19,000 ñ+&É&É+. ˇø£y˚fi¯
PTR
á ¬s+&ÉT $\Te\T e÷]‘˚ 100
nH˚ qeT÷Hê eTq≈£î e]Ô+#·<äT.

ñ<ëVü≤s¡D-2. ˝ÀπøX¯«s¡+ ñqï‘·bÕsƒ¡XÊ\˝À 10e ‘·s¡>∑‹˝Àì 50 eT+~ $<ë´s¡Tú\T eT]j·TT yê] >∑DÏ‘·
ñbÕ<Ûë´j·TT&ÉT ø£*dæ ˝ÀπøX¯«s¡+ qT+&ç ôV’≤<äsêu≤<é≈£î $Vü‰s¡ j·÷Á‘·≈£î yÓfi≤fl\ì ìs¡ísTT+#·T≈£îHêïs¡T.
nsTT‘˚ ˇø=ÿø£ÿ yêVü≤q+˝À Á&Ó’esY ø±≈£î+&Ü πøe\+ 6 >∑Ts¡T e´≈£îÔ\T e÷Á‘·y˚T ≈£Ls√Ã>∑\s¡T. nsTTq yês¡T
mìï yêVü≤Hê\T n<Ó›≈£î rdüTø√yê*.
k˛bÕq+ 1 : á düeTdü´˝À ˇø=ÿø£ÿ yêVü≤q kÕeTs¡ú´+ Á&Ó’esY ø±≈£î+&Ü 6>∑Ts¡T e´≈£îÔ\T Ç$ Çe«ã&ç+~. 51
eT+~ Á|üj·÷DÏ+#·&ÜìøÏ nedüs¡eT>∑T yêVü≤Hê\ dü+K´qT eTq+ ø£qT>=Hê*‡ ñ+~.
k˛bÕq+ 2 : yêVü≤Hê\ dü+K´ = (yÓTT‘·Ô+ e´≈£îÔ\T) / (ˇø=ÿø£ÿ yêVü≤q kÕeTs¡ú´+)
k˛bÕq+ 3 : yêVü≤Hê\ dü+K´ = 51/6 = 8.5
k˛bÕq+ 4 (yê´U≤´q+/$X‚¢wüD): yêVü≤Hê\ dü+K´ 8.5 >± ñ+&É<äì eTq≈£î ‘Ó\TdüT. ø±ã{Ϻ yês¡T n<Ó›≈£î
rdüTø√yê*‡q yêVü≤Hê\ dü+K´, 8.5≈£î <ä>∑Z] |üPsêí+ø£yÓTÆq 9 >± ñ+&Ü*
∴ ø±yê*‡q yêVü≤Hê\ dü+K´ R 9
k˛bÕq+ 5 ($X¯«dü˙j·T‘·) : á >∑DÏ‘· qeT÷Hê˝À eTq+ düqï>± ñqï $<ë´s¡Tú\T— ˝≤e⁄>± ñqï $<ë´s¡Tú\T
n+<äs¡÷ düe÷q düú˝≤ìï ÄÁø£$T+∫ ≈£Ls¡TÃ+{≤s¡ì uÛ≤$+∫ düeTdü´qT kÕ~Û+#êeTT. n˝≤ uÛ≤$+#·ø£b˛‘˚
á qeT÷Hê eTq≈£î ñ|üjÓ÷>∑|ü&É<äT.

Á|üj·T‹ï+#·+&ç
1. MT >∑DÏ‘· bÕsƒ¡´|ü⁄düÔø£+˝Àì @<Ó’Hê ˇø£ sê‘· düeTdü´qT rdüTø=ì <ëìøÏ >∑DÏ‘· qeT÷HêqT
‘·j·÷s¡T #˚dæ Ä düeTdü´ kÕ<ÛäqqT ø£qT>=q+&ç.
2. ˇø£ ø±s¡T ªAμ nH˚ kÕúq+ qT+&ç ãj·T\T<˚] 40 øÏ.MT/>∑+. y˚>∑+‘√ Á|üj·÷DÏ+∫ ªªBμμ nH˚
>∑eT´kÕúHêìï #˚s¡T≈£î+~. n<˚ düeTj·T+˝À eTs√ ø±s¡T ªªBμμ qT+&ç ãj·T\T<˚] 30 øÏ.MT/>∑+ˆˆ
y˚>∑+‘√ A yÓ’|ü⁄≈£î ãj·T\T<˚]+~. A, B \ eT<Ûä´<ä÷s¡+ 100 øÏ.MT\T nsTT‘˚ Ä ¬s+&ÉT ø±s¡T¢
m+‘· düeTj·T+ ‘·sê«‘· ø£\TdüT≈£î+{≤sTT ?
ô|’ düeTdü´≈£î >∑DÏ‘· qeT÷HêqT ‘·j·÷s¡T#˚dæ kÕ~Û+#·+&ç.

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 >∑DÏ‘· qeT÷Hê $<ÛëHê\T 357

Ç|üŒ{Ï es¡≈î£ eTq+ düsfi¡ y¯ TÓ qÆ sê‘· düeTdü´\≈£î ªª>∑D‘Ï · qeT÷Hê\Tμμ ‘·j÷· s¡T #˚XÊeTT. Ç|ü&ÉT ˇø£
ì»J$‘· düeTdü´qT rdüTø=ì <ëìøÏ >∑DÏ‘· qeT÷HêqT m˝≤ ‘·j·÷s¡T#˚j·÷˝À #·÷<ë›+!
ñ<ëVü≤s¡D-3. 2000 dü+ˆˆ˝À ◊ø£´sê»´ dü$T‹˝À düuÛÑ´‘·«+ >∑\ 191 <˚XÊ\T, *+>∑ $eø£å‘·qT ‘·–Z+#·&ÜìøÏ
ˇø£ ˇ|üŒ+<ä+qT ≈£î<äTs¡TÃ≈£îHêïsTT. n+<äT˝À uÛ≤>∑+>± ÁbÕ<∏ä$Tø£, e÷<Ûä´$Tø£ bÕsƒ¡XÊ\˝À¢ì u≤*ø£\ ìwüŒ‹Ôì
ô|+#ê\ì \ø£´å +>± ìs¡sí TT+#·T≈£îHêïsTT. á ˇ|üŒ+<ä+ô|’ uÛ≤s¡‘<· X˚ +¯ ≈£L&Ü dü+‘·ø+£ #˚d+æ ~. uÛ≤s¡‘<· X˚ +¯ ˝À
$$<Ûä dü+ˆˆ\˝À ÁbÕ<∏ä$Tø£ bÕsƒ¡XÊ\˝À¢ì u≤*ø£\ qyÓ÷<äT XÊ‘·+ ÁøÏ+~ |ü{Ϻø£˝À Çe«ã&ç+~.
|ü{Ϻø£ A.I.1
dü+e‘·‡s¡+ qyÓ÷<äT(XÊ‘·+˝À)
1991 – 92 41.9
1992 – 93 42.6
1993 – 94 42.7
1994 – 95 42.9
1995 – 96 43.1
1996 – 97 43.2
1997 -98 43.5
1998 – 99 43.5
1999 – 2000 43.6
2000 – 01 43.7
2001 - 02 44.1
ô|’ düe÷#ês¡+ Ä<Ûës¡+>± ÁbÕ<∏ä$Tø£ bÕsƒ¡XÊ\˝À¢ u≤*ø£\ qyÓ÷<äT kÕúsTT @ πs≥Tq ô|s¡T>∑T‘·T+<√
‘Ó*Œ, 50% qyÓ÷<äTqT @ dü+ˆˆ˝À #˚s¡T‘êyÓ÷ n+#·Hê y˚j·T+&ç.
kÕ<Ûäq :
k˛bÕq+ 1 : (dü÷Árø£s¡D) yÓTT<ä≥ á düeTdü´qT >∑DÏ‘· düeTdü´s¡÷|ü+ ˝ÀøÏ e÷s¡TÃø√yê*.
|ü{øºÏ £ A1.1 eTq≈£î 1991 – 92, 1992- 93 yÓTTˆˆ\>∑T dü+ˆˆ\˝À ñqï qyÓ÷<äT XÊ‘êìï ‘Ó\TŒ‘·T+~.
Bì˝À eTq+ $<ë´ dü+e‘·‡sê\qT 1991, 1992 >± rdüTø√e#·TÃ. |ü{Ϻø£ A1.1 ˝À dü÷∫+∫q $<Ûä+>±
ÁbÕ<∏ä$Tø£ bÕsƒ¡XÊ\˝À¢ u≤*ø£\ qyÓ÷<äT XÊ‘·+ ˇπø πs≥T˝À ô|s¡>∑T‘·T+<äì nqT≈£î+<ë+. n|ü⁄&ÉT eTq≈£î @@
dü+ˆˆ\ eT<Ûä´ 50% qyÓ÷<äT kÕúsTTì #˚s¡>∑\+ nq&É+ ø£+fÒ mìï dü+ˆˆ\˝À n+‘· qyÓ÷<äT kÕúsTTøÏ #˚s¡>∑\+
nH˚~ eTTK´+. (ñ<ëVü≤s¡D≈£î ` 15000 \qT dü+ˆˆq≈£î 8% e&û¶ πs≥T #=|üq 3 dü+ˆˆ\≈£î kÕ<Ûës¡D
e&û¶øÏ ÇùdÔ. Ä 3 dü+ˆˆ\T 1999`2002 ˝Ò<ë 2001`2004 nH˚~ nÁ|üdüTÔ‘·+. Çø£ÿ&É e&û¶ πs≥T— mìï
dü+ˆˆ\≈£î e&û¶øÏ ÇdüTÔHêï+ nH˚<˚ eTTK´eTT).

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 358 10e ‘·s¡>∑‹ >∑DÏ‘·+

n<˚ $<Û+ä >± á düeTdü´˝À ≈£L&Ü 1991 ‘√ b˛*Ñ˚ $T–*q dü+ˆˆ\˝À qyÓ÷<äT kÕúsTT m˝≤ ô|]–+<äì
#·÷&Ü*. <ëìøÏ eTq+ 1991 qT 0 dü+ˆˆ>± eT]j·TT 1992 qT 1>± dü÷∫<ë›+. m+<äTø£+fÒ 1991 ‘·sê«‘·
1 dü+ˆˆ >∑&ç∫+~ ø±ã{Ϻ. n<˚ $<Ûä+>± 1993 ì 3 >±qT 1994 qT 4 #˚‘· dü÷∫<ë›eTT. n|ü&ÉT |ü{Ϻø£ Ç˝≤
e÷s¡T‘·T+~.
|ü{Ϻø£ A.I.2
dü+e‘·‡s¡+ qyÓ÷<äT(XÊ‘·+˝À)
0 41.9
1 42.6
2 42.7
3 42.9
4 43.1
5 43.2
6 43.5
7 43.5
8 43.6
9 43.7
10 44.1

ˇø=ÿø£ÿ dü+e‘·‡s¡+˝À qyÓ÷<äT XÊ‘·+ m+‘· ô|]–+<√ ÁøÏ+~ |ü{Ϻø£ A.I.3˝À Çe«ã&ç+~.
|ü{Ϻø£ A.I.3
dü+e‘·‡s¡+ qyÓ÷<äT(XÊ‘·+˝À) ô|s¡T>∑T<ä\
0 41.9 0
1 42.6 0.7
2 42.7 0.1
3 42.9 0.2
4 43.1 0.2
5 43.2 0.1
6 43.5 0.3
7 43.5 0
8 43.6 0.1
9 43.7 0.1
10 44.1 0.4

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 >∑DÏ‘· qeT÷Hê $<ÛëHê\T 359

1991 qT+&ç 1992 dü+ˆˆ\ eT<Û´ä yÓTT<ä≥ dü+ˆˆ\ ø±\+˝À qyÓ÷<äT XÊ‘·+ 41.9% qT+&ç 42.6% ≈£î
n+fÒ 0.7% ô|]–+~. 2e dü+ˆˆ ∫es¡ 42.6% qT+&ç 42.7% ≈£î n+fÒ 0.1% ô|]–+~. ô|’ |ü{Ϻø£qT
Ä<Ûës¡+>± #˚düTø=ì dü+e‘·‡sê\≈£î eT]j·TT qyÓ÷<äTXÊ‘êìøÏ ˇø£ K∫Ñ·yÓTÆq dü+ã+<Ûëìï @s¡Œs¡#·˝ÒeTT.
ø±ì ô|s¡T>∑T<ä\ nH˚~ ˇø£ÿ yÓTT<ä{Ï, ∫e] dü+ˆˆ\˝À ‘·|üŒ $T–*q dü+ˆˆ\˝À dæús¡+>± ñ+~.
á ô|s¡T>∑T<ä\ XÊ‘ê\ jÓTTø£ÿ düsêdü] rdüT≈£î+fÒ
0.7 + 0.1 + 0.2 + 0.2 + 0.1 + 0.3 + 0 + 0.1 + 0.1 + 0.4
= 0.22 .... (1)
10
düsêdü] 0.22 ø±ã{Ϻ qyÓ÷<äT XÊ‘·+ dæús¡+>± 0.22% #=|üq ô|s¡T>∑T‘·T+<äì nqT≈£î+<ë+.
k˛bÕq+ 2 : (>∑DÏ‘· |üs¡yÓTÆq $es¡D)
Á|ür dü+ˆˆ qyÓ÷<äT XÊ‘·+˝À dæús¡yÓTÆq ô|s¡T>∑T<ä\ 0.22% ñ+<äì nqT≈£îHêï+ ø±ã{Ϻ
yÓTT<ä{Ï dü+ˆˆ ‘·sê«‘· qyÓ÷<äT XÊ‘·+ = 41.9 + 0.22
¬s+&Ée dü+ˆˆ ‘·sê«‘· ,, ,, = 41.9 + 0.22 + 0.22 = 41.9 + 2 I 0.22

eT÷&Ée dü+e‘·‡s¡+ ,, ,, = 41.9 + 0.22 + 0.22 + 0.22 = 41.9 + 3 I 0.22

ªªnμμe dü+ˆˆ ‘·sê«‘· qyÓ÷<äT XÊ‘·+ = 41.9 + 0.22n, n ≥ 1. .... (2)

ô|’ düeTdü´˝À eTq+ 50% qyÓ÷<äT mìï dü+ˆˆ\≈£î #˚s¡T‘·T+<√ ø£H=ZHê*. ø±ã{Ϻ eTq+ ªªnμμ
$\TeqT ÁøÏ+~ dü÷Á‘·+ (qeT÷Hê) <ë«sê sêã≥ºe#·TÃ.
50 = 41.9 + 0.22n
k˛bÕq+ 3 : kÕ<Ûäq : ªªnμμ $\Te ø√dü+ ô|’ düMTˆˆqT kÕ~Û+#·>±
50 − 41.9 8.1
n= = = 36.8
0.22 0.22

k˛bÕq+ 4 : ($es¡D): dü+ˆˆ\ dü+K´ <äXÊ+X¯ s¡÷|ü+˝À ñ+&É<äT ø±ã{Ϻ 36.8 øÏ <ä>∑Zs¡>± ñqï |üPsêí+ø£+
37 qT dü+ˆˆ\ dü+K´>± rdüT≈£î+{≤+. n+fÒ qyÓ÷<äT XÊ‘·+ 50% ì #˚πs dü+ˆˆ 1991 + 37 = 2028.

k˛bÕq+ 5 : ($X¯«dü˙j·T‘·): eTq+ ì» J$‘· düeTdü´qT kÕ~ÛdüTÔHêï+ ø±ã{Ϻ eTq≈£î e∫Ãq |òü*‘·+ á
düeTdü´≈£î m+‘·y˚Ts¡≈£î dü]b˛‘·T+<√ dü]#·÷düTø√yê*.
k˛bÕq+ 2 ˝À e∫Ãq |òü*‘·+ eTq+ yêdüÔe+ nì nqT≈£î+<ëeTT. düeTdü´˝À Ç∫Ãq $\Te\‘√—
k˛bÕq+ 2 Ä<Ûës¡+>± e∫Ãq $\Te\qT b˛\TÃø=ì #·÷<ë›+. á $\Te\T ÁøÏ+~ |ü{Ϻø£ A.I.4 ˝À
Çe«ã&ܶsTT.

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 360 10e ‘·s¡>∑‹ >∑DÏ‘·+

|ü{øºÏ £ A.I.4
dü+e‘·‡s¡+ qyÓ÷<äT k˛bÕq+ 2 Ä<Ûës¡+>± uÛ<Ò +ä (XÊ‘·+˝À)
(XÊ‘·+˝À) e∫Ãq $\Te\T(XÊ‘·+˝À)
0 41.9 41.90 0
1 42.6 42.12 0.48
2 42.7 42.34 0.36
3 42.9 42.56 0.34
4 43.1 42.78 0.32
5 43.2 43.00 0.20
6 43.5 43.22 0.28
7 43.5 43.44 0.06
8 43.6 43.66 -0.06
9 43.7 43.88 -0.18
10 44.1 44.10 0.00
ô|’ |ü{Ϻø£ Ä<Ûës¡+>± yêdüÔe $\Te\ ø£qï— k˛bÕq+ 2 Ä<Ûës¡+>± e∫Ãq $\Te\T 0.3% ˝Ò<ë
0.5% XÊ‘·+ ø£+f… ‘·≈£îÿe>± ñqï≥T¢ eTq+ >∑eTì+#·e#·TÃ. á ‘˚&Ü e\¢ e#˚à düeTdü´ @$T≥+fÒ eTq≈£î
ø±e*‡q dü+ˆˆ\ dü+K´˝À 3 qT+&ç 5 dü+ˆˆ\ ‘˚&Ü edüTÔ+~. m+<äTø£+fÒ yêdüÔe ô|s¡T>∑T<ä\ 1% qT+&ç
2%. e÷Á‘·y˚T ñ+~. ˇø£y˚fi¯ eTq+ Ç+‘· ‘˚&ÜqT n+^ø£]ùdÔ ø£qTø£ k˛bÕq+ 2 ˝À e∫Ãq<˚ eTq≈£î
ø±yê*‡q ªª>∑DÏ‘· qeT÷Hêμμ ne⁄‘·T+~. n˝≤ ø±ø£ á ‘˚&ÜqT Ç+ø± ‘·–Z+#·<ä\#·T≈£î+fÒ á qeT÷HêqT
eT∞fl eTq+ yÓTs¡T>∑T|üs¡T#·Tø√e#·TÃ. <ëìø√dü+ eT∞fl k˛bÕq+ 2≈£î yÓ[fl düMTø£s¡D≤ìï e÷sêÃ*Ã
ñ+≥T+~.
n˝≤ eT]à #·÷<ë›e÷ !
k˛bÕq+ 1 : (düMTø£sD¡ |ü⁄qs¡T‘êŒ<äq) : eTq+— qyÓ÷<äT sπ ≥T 0.22%, #=|üq dæsú +¡ >± ñ+<äqTø=qï|üŒ{ÏøÏ
á <√cÕìï düe]+#·T≥≈£î ˇø£ dæúsê+ø±ìï Á|üy˚X¯ô|&É<ëeTT. <ëì ø√dü+ ô|’ |ü{Ϻø£˝À e∫à ªªuÛÒ<ä+\μμ jÓTTø£ÿ
düsêdü]ì rdüT≈£î+<ëeTT.
0 + 0.48 + 0.36 + 0.34 + 0.32 + 0.2 + 0.28 + 0.06 − 0.06 − 0.18 + 0
= 0.18
10
á uÒ < Û ë \ jÓ T Tø£ ÿ dü s êdü ] dü V ü ‰ j· T +‘√ eT∞fl eTq dü ÷ Á‘êìï dü ] ~<ä T › ø √e#· T à ˝Ò < ë
yÓTs¡T>∑T|üs¡T#·Tø√e#·TÃ.
$es¡D jÓTTø£ÿ |ü⁄q'düMTø£å : k˛bÕq+ 2˝À e∫Ãq $\Te\ìï+{ÏøÏ eTq≈£î e∫Ãq düsêdü]ì ø£\|ü&É+ e\¢
ÁøÏ+~ dü¬s’q dü÷Á‘·+ \_ÛdüTÔ+~.
Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ
 >∑DÏ‘· qeT÷Hê $<ÛëHê\T 361

ªnμ e dü+ˆˆ˝À qyÓ÷<äT XÊ‘·+

= 41.9 + 0.22n + 0.18 = 42.08 + 0.22n, (Çø£ÿ&É n ≥ 1) ... (3)
n|ü⁄&ÉT, yÓTT<ä≥ e∫Ãq düMTø£s¡D+ (2)— Ç˝≤ e÷s¡T‘·T+~.
50 = 42.08 + 0.22n ... (4)

düe]+∫q kÕ<Ûqä :
50 − 42.08 7.92
n= = = 36
0.22 0.22

$es¡ D : n = 36 e∫Ã+~ ø±ã{Ï º ÁbÕ<∏ ä $ Tø£ bÕsƒ ¡ X Ê\˝À¢ u≤*ø£ \ qyÓ ÷ <ä T XÊ‘· + 50% øÏ —
1991 + 36 = 2027 ˝À #˚s¡T‘·T+~.
kÕ<Ûäq jÓTTø£ÿ $X¯«dü˙j·T‘· : eTs=ø£ÿkÕ] düMTø£s¡D+ (4) <ë«sê e∫Ãq $\Te\‘√ yêdüÔe $\Te\qT
b˛\TÃ≈£î+fÒ |ü{Ϻø£ A.I.5 ˝Àì $\Te\T ekÕÔsTT.
|ü{øºÏ £ A.I.5
dü+ˆˆ qyÓ÷<äT düMTø£s¡D+(2)<ë«sê uÛÒ<ä+ düMTø£s¡D+(4) uÛÒ<ä+
(XÊ‘·+) e∫Ãq$\Te\T e∫Ãq
$\Te\T
0 41.9 41.90 0 41.9 0
1 42.6 42.12 0.48 42.3 0.3
2 42.7 42.34 0.36 42.52 0.18
3 42.9 42.56 0.34 42.74 0.16
4 43.1 42.78 0.32 42.96 0.14
5 43.2 43.00 0.20 43.18 0.02
6 43.5 43.22 0.28 43.4 0.1
7 43.5 43.44 0.06 43.62 -0.12
8 43.6 43.66 -0.06 43.84 -0.24
9 43.7 43.88 -0.18 44.06 -0.36
10 44.1 44.10 0.00 44.28 -0.18

|ü{Ϻø£qT C≤Á>∑‘·Ô>± >∑eTìùdÔ düMTø£s¡D+ (4) <ë«sê e∫Ãq $\Te\T düMTø£s¡D+ (2) <ë«sê e∫Ãq
$\Te ø£+f… ≈£L&Ü yêdüÔe $\Te\≈£î #ê˝≤ <ä>∑Zs¡>± ñHêïsTT. n+fÒ Çø£ÿ&É uÛÒ<ë\ düsêdü] ªª0μμ>±
#Ó|üŒe#·TÃ.

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 362 10e ‘·s¡>∑‹ >∑DÏ‘·+

A. .4
A.I.4 >∑DÏ‘· qeT÷Hê $<Ûëq+ jÓTTø£ÿ ñ|üjÓ÷>±\T
1. ˇø£ ì» J$‘· düeTdü´qT >∑DÏ‘· düeTdü´>± e÷s¡TÃø=ì, <ëìì kÕ~Û+∫ eTTK´yÓTÆq düe÷#ês¡+qT
sêã≥º&Éy˚T ªª>∑DÏ‘· qeT÷Hê $<Ûëq+μμ jÓTTø£ÿ eTTK´ ñ<˚›X¯´eTT. Á|ü‘·´ø£å |ü]o\q <ë«sê ˝Ò<ë
Á|üjÓ÷>±\T ìs¡«Væ≤+∫ >±ì— n‘·´+‘· Ks¡TÑ√ ≈£L&ÉTø=ì ñqï dü+<äs¡“¤+˝À >±ì düe÷#ês¡
ùdø£s¡D ø£wüº+ nsTTq|ü⁄&ÉT ª>∑DÏ‘· qeT÷Hê $<Ûëq+μμ #ê˝≤ ñ|üjÓ÷>∑ø£s¡eTT.
ñ<눈≈£î ÄÁ>±˝À ñqï ‘êCŸeTVü≤˝Ÿ ô|’q ªªeT<∏äTs¡μμ q÷HÓ X¯ó~› ø£sêà>±s¡+ jÓTTø£ÿ ø±\Twü´ Á|üuÛ≤yêìï
‘Ó\TdüTø√yê\+fÒ ‘êCŸeTVü≤˝Ÿ ô|’q Á|ü‘·´ø£å+>± Á|üjÓ÷>±\T #˚j·T˝ÒeTT. m+<äTø£+fÒ <ëì e\¢ ˇø£
n<äT“¤‘·yÓTÆq ø£≥º&ÜìøÏ Á|üe÷<ä+ yê{Ï˝Ò¢ neø±X¯+ ñ+~. Ç˝≤+{Ï dü+<äs¡“¤+˝À >∑DÏ‘· qeT÷Hê
$<Ûëq+qT ñ|üjÓ÷–+#·Tø√e#·TÃ.
2. nH˚ø£ s¡ø±\ dü+düú\T >±ì, e´edüú\T >±ì eTT+<ädüTÔ Á|üD≤[ø£‘√ |üì #˚kÕÔsTT. m+<äTø£+fÒ ø°\ø£
ìs¡íj·÷\T rdüTø√e&É+˝À uÛÑ$wü´‘Y Á|üD≤[ø£ Ç$T&ç ñ+≥T+~.
ñ<ëVü≤s¡D≈£î
(i) e÷¬sÿ{Ï+>¥ s¡+>∑+˝À @@ edüTÔe⁄\≈£î m≈£îÿe &çe÷+&é ñ+≥T+<√ Á|üD≤[ø£ dæ<äΔ+ #˚düTø=ì
neTàø±\T ô|+#·T≈£î+{≤s¡T.
(ii) bÕsƒ¡XÊ\˝À¢ $<ë´s¡Tú\ qyÓ÷<äT XÊ‘êìï ô|+#·&ÜìøÏ @@ Äyêdü ÁbÕ+‘ê\˝À ã&ç á&ÉT
|æ\¢\T ñHêïs√ eTT+<äT>±H˚ Á|üD≤[ø£ dæ<ä›+ #˚düTø=ì Äj·÷ ÁbÕ+‘ê˝À¢ q÷‘·q bÕsƒ¡XÊ\\T
ÁbÕs¡+_Û+#ê\ì $<ë´XÊK ìs¡ísTT+#·T≈£î+≥T+~.
3. n&É$˝À ñqï #Ó≥¢ dü+K´— düs¡düT‡˝Àì #˚|ü\ dü+K´— z{Ï+>¥˝À b˛\sTTq z≥T¢ #Ó|üŒ&É+ ˝≤+{Ï
nH˚ø£ dü+<äsꓤ\˝À eTq+ ªªn+#·Hê y˚j·T&É+μμ nH˚ Á|üÁøÏj·TqT ñ|üjÓ÷–düTÔ+{≤eTT.
ªª>∑DÏ‘· qeT÷Hê $<Ûëq+μμ qT ñ|üjÓ÷–+#˚ eT]ø=ìï dü+<äsꓤ\qT >∑eTì<ë›eTT.
(i) sêuÀj˚T ø=ìï dü+ˆˆ\ ‘·sê«‘· ñ+&˚ uÛÑ$wü´‘Y »HêuÛ≤
(ii) sêuÀj˚T ø=ìï s√E˝À¢ ñ+&˚ yê‘êes¡D+ $esê\T
(iii) sêuÀj˚T ø=ìï dü+ˆˆ\˝À ñ+&˚ nø£åsêdü´‘· XÊ‘·+
(iv) ˇø£ #Ó≥Tº≈£î ñ+&˚ Ä≈£î\ dü+K´qT }Væ≤+#·>∑\Z&É+
(v) eTVü‰düeTTÁ<ë\ ˝À‘·TqT ˝…øÏÿ+#·&É+
A. .5
A.I.5 >∑DÏ‘· qeT÷Hê $<Ûëq+ jÓTTø£ÿ |ü]$T‘·T\T
nìï düeTdü´\≈£î |ü]cÕÿsêìï ªª>∑DÏ‘· qeT÷Hê $<Ûëq+μμ #·÷|ü⁄‘·T+<ë?
K∫Ñ·+>± #·÷|ü<äH˚ #Ó|üŒe#·TÃ. m+<äTø£+fÒ BìøÏ ≈£L&É ø=ìï |ü]$T‘·T\T ñ+{≤sTT. ø±ã{Ϻ
Bìì ì» J$‘· düeTdü´≈£î πøe\+ ˇø£ dü÷ø£åàs¡÷|ü+>±H˚ eTq+ Á>∑Væ≤+#ê*. ˇø£ <˚XÊìøÏ dü+ã+~Û+∫q
|ü≥+, ndü˝…’q <˚X¯+≈£î eT<Ûä´ uÛÒ<ä+ m˝≤ ñ+≥T+<√ Ç~ ≈£L&Ü n˝≤π> ñ+≥T+~. |ü≥+ düVü‰j·T+‘√ ˇø£
Á|ü<˚X¯+— düeTTÁ<ä eT≥º+ qT+&ç m+‘· m‘·TÔ˝À ñ+<√ ø£qT>=qe#·Tà ø±ì nø£ÿ&ç Á|ü»\ Jeq $<ÛëHêìï >±ì
yê] \ø£åD≤\qT >±ì #Ó|üŒ˝ÒeTT. mø£ÿ&É n‘·´edüs¡yÓ÷ nø£ÿ&É e÷Á‘·y˚T ªª>∑DÏ‘· qeT÷Hê Á|üÁøÏj·TμμqT
ñ|üjÓ÷–+#·>∑\+. >∑‘· ñ<ëVü≤s¡D düeTdü´\˝À kÕ<ÛäqqT ø£qT>=H˚ dü+<äs¡“¤+˝À e&û¶πs≥T e÷s¡<äì—
yêwæ+>¥yÓTwæHé <Ûäs¡ n˝≤π> ñ+≥T+<äH˚ ø=ìï }Vü≤q\T #˚düT≈£îHêï+ >∑Ts¡TÔ+<ë? n+fÒ Bìì ã{Ϻ >∑DÏ‘·
qeT÷Hê $<Ûëq+≈£î ≈£L&Ü |ü]$T‘·T\T ñ+{≤j·Tì ‘Ó\TdüTø√e#·TÃ.
Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ
 >∑DÏ‘· qeT÷Hê $<ÛëHê\T 363

A. .6 ˇø£
A.I.6 qeT÷HêqT m+‘· y˚Ts¡≈£î yÓTs¡T>∑T|üs¡#·>∑\+ ?
ˇø£ >∑DÏ‘· qeT÷HêqT yÓTs¡T>∑T|üs¡#·&É+˝À #ê˝≤ n+XÊ\qT |ü]>∑D˝ÀìøÏ rdüTø√yê*‡ ñ+≥T+~.
Ç˝≤ #˚j·T&É+ e\¢ eTq >∑DÏ‘· düMTø£s¡D+˝À Ç+ø± ø=ìï #·s¡sêX¯ó\T ô|]π> neø±X¯+ ñ+~. <ëì e\¢
qeT÷Hê øÏ¢wüº+>± e÷] ñ|üjÓ÷–+#·&ÜìøÏ M\T ˝Ò≈£î+&Ü b˛‘·T+~. ø±ã{Ϻ m|ü&Ó’Hê ˇø£ >∑DÏ‘· qeT÷Hê
nH˚~ düs¡fi¯+>± ñ+&ç K∫Ñ·+>± ñ|üjÓ÷–+#˚ $<Ûä+>± ñ+&Ü*. n+fÒ eT+∫ qeT÷Hê nH˚~ m|ü&É÷
≈£L&Ü yêdüÔyêìøÏ <ä>∑Zs¡>± ñ+&Ü*.
Á|üj·T‹ï+#·+&ç
Áø°.X¯ 13e X¯‘êã›+˝À *jÓ÷Hês√¶ |òæuÀHêøÏ dü+ã+~Û+∫q düeTdü´ Ç~. ˇø£ dü+ˆˆø±\+˝À
ñ‘·Œ‹Ô #˚ùd ≈£î+<˚fi¯fl dü+K´≈£î dü+ã+~Û+∫+~. ˇø£ ≈£î+<˚fi¯fl »‘· Á|ü‹HÓ\ ∫es¡ eTs=ø£ ≈£î+<˚fi¯fl »‘·≈£î
»qàì∫Ã, eTs¡\ á »‘· eTs= 2 HÓ\˝À¢ eTs=ø£ »‘·≈£î »qàìkÕÔj·Tì nqT≈£î+<ë+. HÓ\HÓ˝≤ á »‘·\
dü+K´ nH˚~ yÓTT<ä{Ï 2 HÓ\\T ‘·|üŒ $T–*q HÓ\˝À¢ yê{Ï eTT+<äT 2 HÓ\˝À¢ì ≈£î+<˚fi¯fl »‘· dü+K´≈£î
düe÷q+.
≈£î+<˚fi¯fl dü+K´ @$<Ûä+>± ô|s¡T>∑T‘·T+<√ ÁøÏ+~ |ü{Ϻø£˝À #·÷|üã&ç+~.
HÓ\ ≈£î+<˚fi¯fl »‘·\ dü+K´
0 1
1 1
2 2
3 3
4 5
5 8
6 13
7 21
8 34
9 55
10 89
11 144
12 233
13 377
14 610
15 987
16 1597
ˇø£ dü+ˆˆø±\ ‘·sê«‘· 233 »‘·\ ≈£î+<Ófi¯ófl ñ+{≤sTT. 16 HÓ\\ ‘·sê«‘· 1597 »‘·\ ≈£î+<˚fi¯fl
ñ‘·Œ‹Ô ne⁄‘êsTT.
ô|’ düeTdü´≈£î ªª>∑DÏ‘· qeT÷Hê $<Ûëq+μμqT ñ|üjÓ÷–+∫ düeTdü´˝Àì $$<Ûä <äX¯\qT ‘Ó\Œ+&ç.

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 364 10e ‘·s¡>∑‹ >∑DÏ‘·+

Ç|ü&ÉT ªª>∑D‘Ï · qeT÷Hê $<Ûëq+μμqT ñ|üj÷Ó –+∫ kÕ~Û+#·>˝∑ ZÒ eTs=ø£ ñ<ëVü≤s¡DqT |ü]o*<ë›eTT.
ñ<ëVü≤s¡D-4. (bÕ∫ø£\qT $düs&¡ +É ) : BøÏ‘å · eT]j·TT Ä•wt Ç<äs› T¡ ø£*dæ s¬ +&ÉT bÕ∫ø£\‘√ Ä&ÉT≈£î+≥THêïs¡T.
n|ü&ÉT Ä•wt— ¬s+&ÉT bÕ∫ø£\T $dæ]q ‘·sê«‘· yê{Ï eTTU≤\ô|’ ñ+&Ó n+¬ø\ yÓTT‘·Ô+ eTT+<äT>±H˚ }Væ≤+∫
dü¬s’q düe÷<Ûëq+ #Ó_‘˚ BøÏå‘·≈£î eT+∫ ãVüQeT‹ÇkÕÔqì #ÓbÕŒ&ÉT. n+¬ø\ yÓTT‘·Ô+ m+‘· #Ó_‘˚ BøÏå‘·
ãVüQeT‹ ¬>*#˚ neø±X¯+ m≈£îÿe>± ñ+≥T+~.
kÕ<Ûqä :
k˛bÕq+ 1 (düeTdü´ ne>±Vü≤q) : á düeTdü´˝À eTT+<äT>± 2 bÕ∫ø£\qT $dæ]‘˚ yê{Ï eTTU≤\ô|’ @@
n+¬ø\T m≈£îÿe>± |ü&É‘êjÓ÷ ‘Ó\TdüTø√yê*‡ ñ+≥T+~.
k˛bÕq+ 2 (>∑DÏ‘· |üs¡yÓTÆq $es¡D) : bÕ∫ø£\ô|’ @@ dü+K´ >∑\ eTTU≤\T |ü&˚ neø±X¯+ ñ+≥T+<√, yê{Ï
dü+uÛ≤e´‘·\T m˝≤ ñ+{≤jÓ÷ |ü]o*+#ê*.
¬s+&ÉT bÕ∫ø£\qT $dæ]‘˚ yê{Ï eTTU≤\ô|’ @@ n+¬ø\T ñ+&Ée#√à eTT+<äT>±H˚ }Væ≤+#·&É+
<ë«sê á düeTdü´≈£î qeT÷HêqT düT\uÛÑ+>± sêdüTø√e#·TÃ. 2 bÕ∫ø£\qT ˇπøkÕ] $düs¡&É+ <ë«sê eTq≈£î
36 »‘·\T @s¡Œ&ÉT‘êsTT.
(1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)
(2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)
(3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6)
(4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6)
(5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6)
(6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)
ô|’ »‘·\˝À yÓTT<ä{Ï n+¬ø 1e bÕ∫ø£ eTTK+ô|’ ø£ìŒ+#˚ n+¬øqT, ¬s+&Ée n+¬ø 2e bÕ∫ø£
eTTK+ô|’ ø£ìŒ+#˚ n+¬øqT dü÷∫düTÔ+~.
k˛bÕq+ 3 (düeTkÕ´ kÕ<Ûäq) : ô|’ »‘·\˝Àì n+¬ø\qT ≈£L&É&É+ <ë«sê n+¬ø\ yÓTT‘·Ô+ eTq≈£î 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8, 9, 10, 11 eT]j·TT 12 e#˚à neø±X¯+ ñ+~. á 36 »‘·\˝À @ yÓTT‘·Ô+ |ü&˚ dü+uÛ≤e´‘· m+‘√
‘Ó\TdüTø√yê*.
á dü+uÛ≤e´‘·\qT ÁøÏ+~ |ü{Ϻø£˝À #·÷|ü⁄<ëeTT.
yÓTT‘·Ô+ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1
dü+uÛ≤e´‘· 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36
1
|ü{Ϻø£qT ì•‘·+>± >∑eTì+#·&É+ <ë«sê n+¬ø\ yÓTT‘·Ô+ 7 e#˚à dü+uÛ≤e´‘· 6 nì, Ç~ $T–*q
dü+uÛ≤e´‘·\ ø£+f… m≈£îÿe nì #Ó|üŒe#·TÃ.
Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ
 >∑DÏ‘· qeT÷Hê $<ÛëHê\T 365

k˛bÕq+ 4 (kÕ<Ûqä ≈£î $es¡D) : n+¬ø\ yÓTT‘·+Ô 7 e#˚à dü+uÛ≤e´‘· m≈£îÿe ø±ã{Ï,º n+¬ø\ yÓTT‘·+Ô 7 nì m≈£îÿe
kÕs¡T¢ #Ó|üŒ&É+ <ë«sê BøÏå‘· ãVüQeT‹ ¬>*#˚ neø±X¯+ m≈£îÿe ñ+≥T+~.
k˛bÕq+ 5 ($X¯«dü˙j·T‘·) : ¬s+&ÉT bÕ∫ø£\qT rdüTø=ì m≈£îÿe kÕs¡T¢ $dæ] ˇø£ |üs¡düŒs¡ bÂq'|ü⁄q´ |ü{Ϻø£
‘·j·÷s¡T #˚j·÷*. Ç|ü&ÉT |üs¡düŒs¡ bÂq'|ü⁄Hê´\qT yê{Ï dü+uÛ≤e´‘·\‘√ b˛*à #·÷&Ü*. ˇø£y˚fi¯ Ç$
@ø°uÛÑ$+#·ø£b˛‘˚ bÕ∫ø£\T ìcÕŒøÏåø£+>± ñHêïj·Tì n+{≤eTT.
ªªÁ|üj·T‹ï+#·+&çμμ˝Àì düeTdü´qT kÕ~Û+#·&ÜìøÏ eTq+ eTT+<äT>± ‘Ó\TdüTø√yê*‡q $wüj·÷\T
@$T{À #·÷<ë›+.
á s√E˝À¢ &ÉãT“ ˝Ò≈£î+&Ü @ |üì #˚j·T˝ÒeTT nH˚~ yêdüÔe+ eT]j·TT Á|ür eTìwæøÏ m<äTs¡j˚T´
nqTuÛÑey˚T. ì»J$‘· nedüsê\qT rs¡TÃø√e&ÜìøÏ— düTKeTj·T J$‘·+ >∑&É|ü&ÜìøÏ &ÉãT“ nedüs¡eTT.
|ü]$T‘· Ä<ëj·T+ >∑\ ø=qT>√\T<ës¡T\qT Äø£]¸+#·&ÜìøÏ neTàø£+<ës¡T\T nqTdü]+#˚ e÷s¡Zy˚T ªªyêsTT<ë
|ü<äΔ‹μμ
|ü+&ÉT>∑\ düeTj·T+˝À neTàø£+<ës¡T\T m≈£îÿe>± neTàø±\qT ô|+#·Tø√e&ÜìøÏ á |ü<äΔ‹ì
Á|üy˚X¯ô|&É‘ês¡T. á yêsTT<ë |ü<äΔ‹˝À ø=qT>√\T<ës¡T&ÉT edüTÔe⁄ jÓTTø£ÿ yêdüÔe πs≥T ø£qï m≈£îÿe <Ûäs¡qT
#Ó*¢kÕÔ&ÉT. m+<äTø£+fÒ edüTÔe⁄ ø=qT>√\T düeTj·T+˝À <ëì <Ûäs¡˝À ø=+‘· yÓTT‘êÔìï #Ó*¢+∫, $T–*q
&ÉãT“qT yêsTT<ë\ s¡÷|ü+˝À #Ó*k¢ ÕÔ&TÉ . ‘·sê«‘· ø±\+˝À #Ó*+¢ #˚ á &ÉãT“ô|q’ ø=+‘· e&ûì¶ neTàø£+<ës¡T&ÉT
$~ÛkÕÔ&ÉT.
eTq+ á n<Ûë´j·÷ìøÏ dü+ã+~Û+∫q ø=ìï |ü<ë\T ‘·s¡#·T>± $+≥T+{≤eTT. ñ<눈≈£î
$ìjÓ÷>∑<ës¡T&ÉT #Ó*¢+#˚ yêdüÔeπs≥TqT neTàø£+ yÓ\ nì, yêsTT<ë\ |ü<äΔ‹˝À ø=qï≥¢sTT‘˚ ÁbÕs¡+uÛÑ+˝À
#Ó*¢+#˚ <Ûäs¡qT ªªÁbÕs¡+uÛÑ #Ó*¢+|ü⁄μμ (ø±´wt&ÍHé ù|yÓT+{Ÿ) nì n+{≤eTT.
Ç|ü&ÉT ÁøÏ+~ ªªÁ|üjT· ‹ï+#·+&çμμ ˝Àì düeTdü´qT >∑D‘Ï · qeT÷Hê Á|üÁøÏjT· qT ñ|üj÷Ó –+∫ kÕ~Û+#·+&ç.

Á|üj·T‹ï+#·+&ç

s¡$ ‘·q nedüsê\ ì$T‘·Ô+ ˇø£ ôd’øÏ˝Ÿ ø=Hê\ì nqT≈£îHêï&ÉT. e÷¬sÿ{Ÿ˝À ‘·q≈£î q∫Ãq ôd’øÏ˝Ÿ
<Ûäs¡ ` 2400 >± ñ+~. ø±ì s¡$ e<ä› πøe\+ ` 1400 e÷Á‘·y˚T ñHêïsTT. n|ü&ÉT cÕ|ü⁄ j·T»e÷ì
s¡$øÏ düVü‰j·T+ #˚j·T<ä\∫, Á|üdüTÔ‘·+ ` 1400 #Ó*¢+∫ $T–*q yÓTT‘êÔìï HÓ\≈£î ` 550 #=|üq düe÷q
HÓ\dü] yêsTT<ë #Ó*¢+#·eTì #ÓbÕŒ&ÉT. nsTT‘˚ s¡$ e÷Á‘·+ ` 1,000 \qT u≤´+≈£î˝À dü+ˆˆìøÏ 12%
#=|üq kÕ<Ûës¡D e&û¶øÏ n|ü>± rdüT≈£î+<ë+ nqT≈£îHêï&ÉT. á ¬s+&ÉT neø±XÊ\˝À @~ ˝≤uÛÑ<ëj·T
yÓTÆq<√ dü÷∫+∫ s¡$øÏ düVü‰j·T|ü&É+&ç.

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 366 10e ‘·s¡>∑‹ >∑DÏ‘·+

»yêãT\T
nuÛ≤´düeTT - 1.1
1. (i) n+‘·eTj˚T´ <äXÊ+X¯+ (ii) n+‘·+ø±ì Äes¡Ôq <äXÊ+X¯+
(iii) n+‘·eTj˚T´ <äXÊ+X¯+ (iv) n+‘·eTj˚T´ <äXÊ+X¯+
(v) n+‘·+ø±ì Äes¡Ôq <äXÊ+X¯+
3 1 31
2. (i) (ii) 3 (iii)
4 2 25

3. (i) nø£sD¡ j
° T· + (ii) ø£sD¡ j
° T· + (iii) nø£s¡D°j·T+ (iv) nø£s¡D°j·T+
(v) nø£sD¡ j
° T· + (vi) ø£sD¡ j
° T· + (vii) nø£sD¡ j
° T· +
nuÛ≤´düeTT- 1.2
1. (i) 22 × 5 ×7 (ii) 22 × 3 × 13 (iii) 32 × 52 ×17

(iv) 5 × 7 × 11 × 13 (v) 17 × 19 × 23

2. (i) ø£.kÕ.>∑T = 420, >∑.kÕ.ø± = 3 (ii) ø£.kÕ.>∑T = 11339, >∑.kÕ.ø± = 1

(iii) ø£.kÕ.>∑T = 1800, >∑.kÕ.ø± = 1 (iv) ø£.kÕ.>∑T = 216, >∑.kÕ.ø± = 36
(v) ø£.kÕ.>∑T = 22338, >∑.kÕ.ø± = 9
nuÛ≤´düeTT - 1.3
1. (i) 0.375 (n+‘·eTj˚T´ <äXÊ+X¯+) (ii) 0.5725 (n+‘·eTj˚T´ <äXÊ+X¯+)
(iii) 4.2 (n+‘·eTj˚T´ <äXÊ+X¯+)
(iv) 0.18 (n+‘·+ø±ì Äes¡Ôq <äXÊ+X¯+) (v) 0.064 (n+‘·eTj˚T´ <äXÊ+X¯+)

2. (i) n+‘·eTj˚T´ <äXÊ+X¯+ (ii) n+‘·+ø±ì Äes¡Ôq <äXÊ+X¯+

(iii) n+‘·+ø±ì Äes¡Ôq <äXÊ+X¯+ (iv) n+‘·eTj˚T´ <äXÊ+X¯+
(v) n+‘·+ø±ì Äes¡Ôq <äXÊ+X¯+ (vi) n+‘·eTj˚T´ <äXÊ+X¯+
(vii) n+‘·+ø±ì Äes¡Ôq <äXÊ+X¯+ (viii) n+‘·eTj˚T´ <äXÊ+X¯+
(ix) n+‘·eTj˚T´ <äXÊ+X¯+ (x) n+‘·+ø±ì Äes¡Ôq <äXÊ+X¯+
Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°
 »yêãT\T 367

3. (i) 0.52 (ii) 0.9375 (iii) 0.115 (iv) 32.08 (v) 1.3

4. (i) nø£sD¡ j
° T· + (ii) nø£sD¡ j
° T· +ø±<äT (iii) nø£sD¡ j
° T· +
5. m = 5, n = 3

6. m = 4, n = 2

nuÛ≤´düeTT - 1.5
1. (i) log3 243 = 5 (ii) log2 1024 = 10 (iii) log10 1000000 = 6
1
(iv) log10 0.001 = − 3 (v) log3 = − 2 (vi) log6 1 = 0
9
1 2
(vii) log5 = − 1 (viii) log 49 7 = 1 (ix) log27 9 =
5 3
1 2
(x) log32 = −
4 5

2. (i) 182 = 324 (ii) 104 = 10000 (iii) ab = x

1
iv) 4x = 8 (v) 3y =
27
1 1
3. (i) (ii) (iii) −4 ( iv) 0
2 4
1
(v) (vi) 9 (vii) −2 (viii) 3
2

4. (i) log 10 (ii) log 8 (iii) log 64

9
(iv) log (v) log 243 (vi) log 45
8
5. (i) 3(log 2 + log 5) (ii) 7log 2 − 4log 5 (iii) 2log x + 3 log y + 4 log z
1
(iv) 2log p + 3 log q − log r (v) (3 log x − 2 log y)
2
nuÛ≤´düeTT - 2.1
1. (i) dü$T‹ (ii) dü$T‹ø±<äT (iii) dü$T‹ø±<äT
(iv) dü$T‹ (v) dü$T‹
2. (i) ∈ (ii) ∉ (iii) ∉ (iv) ∉
(v) ∈ (vi) ∈

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 368 10e ‘·s¡>∑‹ >∑DÏ‘·+

3. (i) x ∉A (ii) d ∈B (iii) 1 ∈ N (iv) 8 ∉ P

4. (i) ndü‘´· eTT (ii) ndü‘´· eTT

(iii) dü‘´· eTT (iv) ndü‘´· eTT
5. (i) B = {1, 2, 3, 4, 5}
(ii) C = {17, 26, 35, 44, 53, 62, 71}
(iii) D = {2, 3, 5}
(iv) E = {B, E, T, R}
6. (i) A = {x : x nH˚~ 3 jÓTTø£ÿ>∑TDÏ»+ eT]j·TT x < 13}
(ii) B = {x : x R 2x x ø£+fÒ ‘·≈£îÿyÓ’q düVü≤»dü+K´ 6}
(iii) C = {x : x R 5, x nH˚~ 5 ø£+fÒ ‘·≈£îÿyÓ’q düVü≤»dü+K´}
(iv) D = {x : x nH˚~ ˇø£ es¡Z dü+K´ eT]j·TT x < 10}
7. (i) A = {51, 52, 53, .................., 98, 99}
(ii) B = {+2, − 2}
(iii) D = {L, O, Y, A}
8. (i) (c)
(ii) (a)
(iii) (d)
(iv) (b)
nuÛ≤´düeTT - 2.2
1. (i) X¯Sq´dü$T‹ø±<äT (ii) X¯Sq´dü$T‹ (iii) X¯Sq´dü$T‹
(iv) X¯Sq´dü$T‹ (v) X¯Sq´dü$T‹ø±<äT
2. (i) |ü]$T‘·d$ü T‹ (ii) |ü]$T‘·d$ü T‹ (iii) |ü]$T‘·d$ü T‹
3. (i) |ü]$T‘·d$ü T‹ (ii) n|ü]$T‘·d$ü T‹ (iii) n|ü]$T‘·d$ü T‹
(iv) n|ü]$T‘·dü$T‹
nuÛ≤´düeTT - 2.3
1. (i) düeTdü$T‹ ne⁄‘·T+~ (ii) düeTdü$T‹ ø±<äT (iii) düeTdü$T‹ ø±<äT
2. (i) düeTdü$T‹ (=) (ii) düeTdü$T‹ ø±<äT ( ≠ ) (iii) düeTdü$T‹ (=)
(iv) düeTdü$T‹ ø±<äT ( ≠ ) (v) düeTdü$T‹ ø±<äT ( ≠ ) (vi) düeTdü$T‹ ø±<äT ( ≠ )
(vii) düeTdü$T‹ ø±<äT ( ≠ )
3. (i) A=B (ii) A ≠B (iii) A=B (iv) A ≠ B

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 »yêãT\T 369

nuÛ≤´düeTT - 2.4
1. (i) dü‘´· eTT (ii) dü‘´· eTT (iii) dü‘´· eTT (iv) dü‘´· eTT
2. (i) {1, 2, 3, .... 10} ≠ {2, 3, 4, ... 9}.
(ii) yÓTT<ä{Ï dü$T‹ dü] dü+K´\qT dü÷∫+#·>±, ¬s+&Ée dü$T‹ Ä uÒdædü+K´\qT dü÷∫düTÔ+~.
(iii) yÓTT<ä{Ï dü$T‹˝Àì ª5μ nH˚ eT÷\ø£+ 15 jÓTTø£ÿ >∑TDÏ»+ ø±<äT.
(iv) yÓTT<ä{Ï dü$T‹˝Àì 9 Á|ü<Ûëqdü+K´ ø±<äT.
3. (i) {p}, {q}, {p, q}, φ
(ii) {x}, {y}, {z}, {x, y}, {y, z}, {z, x}, {x, y, z}, φ
(iii) {a}, {b}, {c}, {d}, {a, b}, {b, c}, {c, d}, {a, c}, {a, d}, {b, d}, {a, b, c},
{b, c, d}, {a, b, d}, {a, c, d}, {a, b, c, d}, φ
(iv) φ , {1}, {4}, {9}, {16}, {1, 4}, {1, 9}, {1, 16}, {4, 9}, {4, 16}, {9, 16},
{1, 4, 9}, {4, 9, 16}, {1, 4, 16}, {1, 4, 9, 16}
(v) φ , {10}, {100}, {1000}, {0, 100}, {10, 1000}, {100, 1000}, {10, 100, 1000}

nuÛ≤´düeTT - 2.5
1. ne⁄qT, A ∩ B R B ∩ B R {1, 2, 3}
2. A∩ φ=φ —
A ∩ A=A
3. A − B = {2, 4, 8, 10}
B − A = {3, 9, 12, 15}
4. A ∪ B=B
5. A ∩ B = {dü] düVü≤» dü+K´}
{2, 4, 6, ............}
A ∩ C = C ={uÒdæ düVü≤» dü+K´}
A ∩ D = D ={Á|ü<Ûëq dü+K´}
B ∩ C= φ —
B ∩ D ={dü] Á|ü<Ûëq dü+K´}= {2}
C ∩ D = {4, 6, 8, 9, ................ 99} ={uÒdæ Á|ü<Ûëq dü+K´\T}
6. (i) A − B = {3, 6, 9, 15, 18, 21}
(ii) A − C = {3, 9, 15, 18, 21}
(iii) A − D = {3, 6, 9, 12, 18, 21}

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 370 10e ‘·s¡>∑‹ >∑DÏ‘·+

(iv) B − A = {4, 8, 16, 20}

(v) C − A = {2, 4, 8, 10, 14, 16}
(vi) D − A = {5, 10, 20}
(vii) B − C = {20}
(viii) B − D = {4, 8, 12, 16}
(ix) C − B = {2, 6, 10, 14)
(x) D − B = {5, 10, 15}

7. (i) ndü‘·´eTT, m+<äTø£+fÒ ñeTà&ç eT÷\ø£+ ª3μ ø£\<äT

(ii) dü‘·´eTT— m+<äTø£+fÒ ¬s+&ÉT dü$T‘·T\≈£î ñeTà&ç eT÷\ø£+ 'a' ø£\<äT.
(iii) dü‘·´eTT— m+<äTø£+fÒ ¬s+&ÉT dü$T‘·T\≈£î ñeTà&ç eT÷\ø±\T ˝Òe⁄.
(iv) dü‘·´eTT— m+<äTø£+fÒ ¬s+&ÉT dü$T‘·T\≈£î ñeTà&ç eT÷\ø±\T ˝Òe⁄.
nuÛ≤´düeTT- 3.1
1. (a) (i) −6 (ii) 7 (iii) −6
2. (i) ndü‘·´eTT, m+<äTø£q>± 2 nH˚~ x2 >∑TDø£+ ø±ì |ü]e÷D+ ø±<äT.
(ii) ndü‘·´eTT, m+<äTø£q>± x2 jÓTTø£ÿ >∑TDø£+ − 4.
(iii) dü‘·´eTT, m+<äTø£q>± @ dæús¡ dü+K´ jÓTTø£ÿ |ü]e÷DyÓTÆHê düTHêï ne⁄‘·T+~.
(iv) ndü‘·´eTT, m+<äTø£q>± Ç~ ãVüQ|ü~ø±<äT.
(v) ndü‘·´eTT m+<äTø£q>± ãVüQ|ü~ jÓTTø£ÿ |ü]e÷D≤ìøÏ eT]j·TT <ëì˝Àì |ü<ë\ dü+K´≈£î
dü+ã+<Ûä+ ˝Ò<äT.
3. p(1) = 0, p ( − 1) = − 2, p(0) = − 1, p(2) = 7, p( − 2) = − 9
4. −2 eT]j·TT 2 nH˚$ x4-16 jÓTTø£ÿ X¯Sq´$\Te\T ne⁄‘êsTT.
5. 3 eT]j·TT − 2 nH˚$ p(x) = x2 − x − 6 jÓTTø£ÿ X¯Sq´$\Te\T ne⁄‘êsTT
nuÛ≤´düeTT - 3.2
1. (i) X¯Sq´$\Te\T˝Òe⁄ (ii) 1 (iii) 3
(iv) 2 (v) 4 (vi) 3
2. (i) 0 (ii) − 2, − 3 (iii) − 2, − 3 (iv) − 2, 2, ± −4
3. (i) 4, − 3 (ii) 3, 3 (iii) X¯Sq´$\Te\T˝Òe⁄
(iv) − 4, 1 (v) − 1, 1
⎛1⎞
4. p ⎜⎜⎜⎝ ⎠⎟⎟⎟ = 0 eT]j·TT p ( − 1) = 0
4

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 »yêãT\T 371

nuÛ≤´düeTT - 3.3
1 1 3 −1
1. (i) 4, − 2 (ii) , (iii) ,
2 2 2 3
4
(iv) 0, − 2 (v) 15 − 15 (vi) −1,
3

2. (i) 4x2 − x − 4 (ii) 3x2 − 3 2 x +1 (iii) x2 + 5

(iv) x 2 − x +1 (v) 4 x2 + x +1 (vi) x 2 − 4 x +1
3. (i) x2 − x − 2 (ii) x2 − 3 (iii) 4 x2 + 3 x −1
(iv) 4 x2 − 8 x + 3
4. − 1, − 1 eT]j·TT 3\T Ç∫Ãq ãVüQ|ü~øÏ X¯SHê´\T
nuÛ≤´düeTT - 3.4
1. (i) uÛ≤>∑|òü\+ = x − 3 eT]j·TT X‚wü+ = 7x − 9
(ii) uÛ≤>∑|òü\+ = x2 + x − 3 eT]j·TT X‚wü+ = 8
(iii) uÛ≤>∑|òü\+ = − x2 − 2 eT]j·TT X‚wü+ = − 5x + 10
2. (i) ne⁄qT (ii) ne⁄qT (iii) ø±<äT
3. − 1, − 1
4. g(x) = x2 − x + 1

5. (i) p(x) = 2x2 − 2x + 14, g(x) = 2, q(x) = x2 − x + 7, r(x) = 0

(ii) p(x) = x3 + x2 + x + 1, g(x) = x2 − 1, q(x) = x + 1, r(x) = 2x + 2
(iii) p(x) = x3 + 2x2 − x +2, g(x) = x2 − 1, q(x) = x + 2, r(x) = 4

nuÛ≤´düeTT- 4.1
1. (a) K+&Éq sπ K\T
(b) s¬ +&ÉT sπ K\T @ø°u$ÑÛ kÕÔsTT
(c) düe÷+‘·s¡ sπ K\T
2. (a) dü+>∑‘· düMTø£s¡D≤\T (b) ndü+>∑‘· düMTø£s¡D≤\T
(c) dü+>∑‘· düMTø£s¡D≤\T (d) dü+>∑‘· düMTø£s¡D≤\T
(e) dü+>∑‘· düMTø£s¡D≤\T (f) ndü+>∑‘· düMTø£s¡D≤\T

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 372 10e ‘·s¡>∑‹ >∑DÏ‘·+

(g) ndü+>∑‘· düMTø£sD¡ ≤\T (h) dü+>∑‘· düMTø£sD¡ ≤\T

(i) ndü+>∑‘· düMTø£s¡D≤\T
3. bÕ´+≥¢ dü+K´ = 1; wüs¡Tº\ dü+K´ = 0
4. u≤*ø£\ dü+K´ = 7; u≤\Ts¡ dü+K´ = 4
5. ô|ì‡˝Ÿ <Ûäs¡ = 23; ô|qTï <Ûäs¡ = 25
6. bı&Ée⁄ = 20 MT; yÓ&É\TŒ = 16 MT
7. (i) 3x + 2y − 7 = 0
(ii) 3x + 3y − 12 = 0
(iii) 4x + 6y − 16 = 0

8. bı&Ée⁄ = 56 j·T÷ì≥T¢; yÓ&É\TŒ = 100 j·T÷ì≥T¢

9. $<ë´s¡Tú\ dü+K´ = 16; u…+N\ dü+K´ = 5
nuÛ≤´düeTT - 4.2
1. yÓTT<ä{Ï e´øÏÔ jÓTTø£ÿ Ä<ëj·T+ = ` 18000; ¬s+&Ée e´øÏÔ jÓTTø£ÿ Ä<ëj·T+ = ` 14000
2. 42 eT]j·TT 24
3. ø√D≤\T : 54º eT]j·TT 36º
4. (i) dæús¡ Ks¡Tà = ` 40; ˇø£ øÏ.MT. #êØ® = ` 18 (ii) ` 490
7
5.
9
6. 60 øÏ.MT/>∑+; 40øÏ.MT/>∑+.

7. 61º eT]j·TT 119º

8. 659 eT]j·TT 723

9. 40 MT.© eT]j·TT 60 MT.©

10. ` 7200 eT]j·TT ` 4800

nuÛ≤´düeTT - 4.3
⎛ −1 1 ⎞⎟
1. (i) (4, 5) (ii) ⎜⎜ , ⎟ (iii) (4, 9)
⎜⎝ 2 4 ⎠⎟
⎛1 1 ⎞⎟
(iv) (1, 2) (v) (3, 2) (vi) ⎜⎜ , ⎟
⎜⎝ 2 3 ⎠⎟
(vii) (3, 2) (viii) (1, 1)

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 »yêãT\T 373

2. (i) |ü&eÉ y˚>+∑ = 8 øÏ.$T/>∑+; Á|üyêVü≤ y˚>∑+ = 3 øÏ.$T/>∑+;

(ii) ¬s’\T y˚>∑+ = 60 øÏ.$T/>∑+; ø±s¡T y˚>∑+ = 80 øÏ.$T/>∑+;
(iii) |ü⁄s¡Twü, |üì|üP]Ô #˚j·TT≥≈£î |ü≥Tº s√E\T = 18;
|üì |üP]Ô #˚j·T&ÜìøÏ Åd”Ô\≈£î |üfÒº s√E\ dü+K´ = 36
nuÛ≤´düeTT - 5.1
1. (i) ne⁄qT (ii) ne⁄qT (iii) ø±<äT
(iv) ne⁄qT (v) ne⁄qT (vi) ø±<äT
(vii) ø±<äT (viii) ne⁄qT

2. (i) 2x2 + x − 528 = 8 (x = yÓ&É\TŒ)

(ii) x2 + x − 306 = 0 (x = ∫qï |üPs¡í dü+K´)
(iii) x2 + 32x − 273 = 0 (x = s√Vü≤Hé jÓTTø£ÿ ej·TdüT‡)
(iv) x2 − 8x + 1280 = 0 (x = ¬s’\T jÓTTø£ÿ y˚>∑+)

nuÛ≤´düeTT - 5.2
3 −5
1. (i) − 2; 5 (ii) − 2; (iii) − 2;
2 2
1 1 1 1
(iv) ; (v) ; (vi) − 6; 2
4 4 10 10
2 8
(vii) 1, (viii) − 1; 3 (ix) 7,
3 3
2. 13, 14
3. 17, 18; − 17, − 18
4. 5 ôd+.MT, 12 ôd+.MT,

5. edüTÔe⁄\ dü+K´ = 6; edüTÔe⁄ KØ<äT = ` 15

6. 4 MT; 10 MT

7. Base = 12 ôd+.MT; m‘·TÔ = 8 ôd+.MT

8. 15 øÏ.MT, 20 øÏ.MT

9. 20 ˝Ò<ë 40

10. 9 øÏ.MT/>∑+≥

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 374 10e ‘·s¡>∑‹ >∑DÏ‘·+

nuÛ≤´düeTT- 5.3
−1 + 33 −1− 33 − 3 − 3
1. (i) , (ii) ,
4 4 2 2
7 + −71 7 − 71
(iii) , (iv) − 1, −5
10 10

3 − 13 3 + 13
3. (i) , (ii) 1, 2
2 2
4. 7 dü+ˆˆ
5. >∑DÏ‘·+ = 12, Ç+^¢wüß = 18 (˝Ò<ë) ˝…ø£ÿ\T = 13, Ç+^¢wüß = 17
6. 120 MT; 90 MT.
7. 18, 12; − 18, − 12
8. 40 øÏ.MT/>∑+.

9. 15 >∑+ˆˆ, 25 >∑+ˆˆ

10. bÕ´dæ+»sY ¬s’\T y˚>∑+ = 33 øÏ.MT/>∑+

mø˘‡Áô|dt ¬s’\T y˚>∑+ = 44 øÏ.MT/>∑+
11. 18 MT; 12 MT

12. 6 ôdø£+&ÉT¢

13. 13 uÛTÑ C≤\T; ø±<äT

nuÛ≤´düeTT- 5.4
1. (i) yêdüÔe eT÷˝≤\T ˝Òe⁄
2 2
(ii) düe÷q eT÷˝≤\T; ,
3 3
3 + 3 3− 3
(iii) $_Ûqï eT÷˝≤\T; ,
2 2
2. (i) k = ±2 6 (ii) k =6
3. ne⁄qT; 40 MT; 20 MT
4. ø±<äT
5. ne⁄qT; 20 MT; 20 MT
3
8.
7

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 »yêãT\T 375

nuÛ≤´düeTT - 6.1
1. (i) n+ø£ÁX‚&Ûç ne⁄‘·T+~. (ii) n+ø£ÁX‚&Ûç ø±<äT (iii) n+ø£ÁX‚&Ûç ne⁄‘·T+~
(iv) n+ø£ÁX‚&Ûç ø±<äT
2. (i) 10, 20, 30, 40 (ii) − 2, − 2, − 2, − 2
1 1
(iii) 4, 1, − 2, − 5 (iv) − 1, − , 0,
2 2
(v) − 1.25, − 1.5, − 1.75, − 2
3. (i) a1 = 3; d = − 2 (ii) a1 = − 5; d=4
1 4
(iii) a1 = ; d= (iv) a1 = 0.6; d = 1.1
3 3
4. (i) n+ø£ÁX‚&Ûç ø±<äT
9
(ii) n+ø£ÁX‚&Ûç (AP), ‘·s¡Tyê‘· eT÷&ÉT |ü<ë\T = 4, ,5
2
(iii) n+ø£ÁX‚&Ûç (AP), ‘·s¡Tyê‘· eT÷&ÉT |ü<ë\T = − 9.2, − 11.2, − 13.2
(iv) n+ø£ÁX‚&Ûç (AP), ‘·s¡Tyê‘· eT÷&ÉT |ü<ë\T = 6, 10, 14
(v) n+ø£ÁX‚&Ûç (AP), ‘·s¡Tyê‘· eT÷&ÉT |ü<ë\T = 3 + 4 2,3+5 2,3+6 2
(vi) n+ø£ÁX‚&Ûç ø±<äT
(vii) n+ø£ÁX‚&Ûç (AP), ‘·s¡Tyê‘· eT÷&ÉT |ü<ë\T = − 16, − 20, − 24
−1 −1 −1
(viii) n+ø£ÁX‚&Ûç (AP), ‘·s¡Tyê‘· eT÷&ÉT |ü<ë\T = , ,
2 2 2
(ix) n+ø£ÁX‚&Ûç ø±<äT
(x) n+ø£ÁX‚&Ûç (AP), ‘·s¡Tyê‘· eT÷&ÉT |ü<ë\T = 5a, 6a, 7a
(xi) n+ø£ÁX‚&Ûç ø±<äT
(xii) n+ø£ÁX‚&Ûç (AP), ‘·s¡Tyê‘· eT÷&ÉT |ü<ë\T = 50 , 72 , 98

(xiii) n+ø£ÁX‚&Ûç ø±<äT

nuÛ≤´düeTT- 6.2
1. (i) a8 = 28 (ii) d=2 (iii) a = 46
(iv) n = 10 (v) an = 3.5
2. (i) − 84 (ii) 22

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 376 10e ‘·s¡>∑‹ >∑DÏ‘·+

3. (i) a2 = 14
(ii) a1 = 18; a3 = 8
13
(iii) a2 = ; a3 = 8
2

(iv) a2 = − 2; a3 = 0; a4 = 2; a5 = 4
(v) a1 = 53; a3 = 23; a4 = 8; a5 = − 7

4. 16 e |ü<äeTT
5. (i) 34 (ii) 27

6. ø±<äT 7. 178 8. 5 9. 1

10. 100 11. 128 12. 60 13. 13

14. n+ø£ÁX‚&Ûç = 4, 10, 16, .... 15. 158

16. − 13, − 8, − 3 17. 11 18. 13

nuÛ≤´düeTT - 6.3
33 13
1. (i) 245 (ii) − 180 (iii) 555 (iv) =1
20 20
2093 1
2. (i) = 1046 (ii) 286 (iii) − 8930
2 2
7
3. (i) 440 (ii) d = , S13 = 273
3
(iii) a = 4, S12 = 246 (iv) d = 1, a10 = 22
(v) x = 5; a5 = 37 (vi) x = 7; a = − 8
(vii) a=4
4. x = 38; S38 = 6973
5. 5610
6. x2
7. (i) 525 (ii) − 465
8. S1 = 3; S2 = 4; a2 = 1; a3 = − 1; a10 = − 15
an = 5 − 2x
9. 4920 10. 160, 140, 120, 100, 80, 60, 40
11. 234 12. 143 13. 16 14. 370

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 »yêãT\T 377

nuÛ≤´düeTT - 6.4
1. (i) ø±<äT (ii) ø±<äT (iii) ne⁄qT
5 5
2. (i) 4, 12, 36, .... (ii) 5, , ,...
5 25
1 1 1
(iii) 81, − 27, 9, .... (iv) , , , ......
64 32 16
− 1 1 −1
3. (i) ne⁄‘·T+~; 32, 64, 128 (ii) ne⁄‘·T+~; 24 , 48 , 96
(iii) ø±<äT (iv) ø±<äT (v) ø±<äT
1 1 1
(vi) ne⁄‘·T+~; − 81, 243, − 729 (vii) ne⁄‘·T+~; , , , ......
x2 x3 x4
(viii) ne⁄‘·T+~; −16, 32 2, −128 (ix) ne⁄‘·T+~; 0.0004, 0.00004, 0.000004
4. −4
nuÛ≤´düeTT - 6.5

1 ⎛ 1 ⎞⎟n−1
1. (i) ra = ; an = 3⎜⎜ ⎟⎟
2 ⎜⎝ 2 ⎠

(ii) r = − 3; an = 2( − 3)n-1
(iii) r = 3; an = 3(3)n-1
2 ⎛ 2 ⎞⎟n−1
an = 5⎜⎜ ⎟⎟
(iv) r= 5; ⎜⎝ 5 ⎠

2. a10 = 510; an = 5n
1 −4
3. (i) (ii)
34 34

4. (i) 5 (ii) 12 (iii) 7

9 3
5. 2 12 6. , , 1, .... 7. 5
4 2
nuÛ≤´düeTT - 7.1

1. (i) 2 2 (ii) 4 2 (iii) 5 2 (iv) 2 a2 + b2

2. 39
3. düπsFj·÷\T ø±<äT

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 378 10e ‘·s¡>∑‹ >∑DÏ‘·+

9. (i) #·‘T· s¡Ádü+ (ii) Áf…|õ” j·T+ (iii) düe÷+‘·s¡ #·‘T· s¡T“¤»+
10. (7, 0) 11. 7 or − 5

12. 3 or − 9 13. 2 5 j·T÷ì≥T¢

nuÛ≤´düeTT - 7.2

⎛ − 5 ⎞⎟ ⎛ −7 ⎞⎟
1. (1, 3) 2. ⎜⎜2, ⎟ eT]j·TT ⎜⎜⎜⎝0, ⎟
⎜⎝ 3 ⎠⎟ 3 ⎠⎟
3. 2:7 4. x=6; y=3
⎛ −2 −20 ⎞⎟
5. (3, − 10) 6. ⎜⎜ , ⎟
⎜⎝ 7 7 ⎠⎟

⎛ 3 ⎞⎟ ⎛ 9 ⎞⎟
7. ⎜⎜−3, ⎟⎟ , (−2, 3), ⎜⎜⎜−1, ⎟
⎝⎜ 2⎠ ⎝ 2 ⎠⎟

⎛ 13 ⎞⎟ ⎛ 5a − b 5a + b ⎞⎟
8. ⎜⎜1, ⎟ 9. 24 #·.j·T÷ì≥T¢ 10. ⎜⎜ , ⎟
⎜⎝ 2 ⎠⎟ ⎜⎝ 5 5 ⎠⎟
⎛2 ⎞ ⎛10 −5 ⎞⎟ ⎛ −2 5 ⎞⎟
⎜⎜ , 2⎟⎟⎟ ⎜⎜ , ⎜⎜ ,
11. (i) ⎜⎝ 3 ⎠
(ii) ⎜⎝ 3 3 ⎠⎟⎟ (iii) ⎜⎝ 3 ⎟
3 ⎠⎟

nuÛ≤´düeTT - 7.3

1
1. (i) 2 #·.j·T÷ì≥T¢ (ii) 32 #·.j·T÷ì≥T¢ (iii) 3 #·.j·T÷ì≥T¢
2

7
2. (i) K=4 (ii) K=3 (iii) K=
3

33
3. 1 #·.j·T÷ì≥T¢; 1 : 4 4. #·.j·T÷ì≥T¢; 5. 1500 3 #·.j·T÷ì≥T¢;
2
nuÛ≤´düeTT - 7.4
4b −a
1. (i) 6 (ii) 3 (iii) (iv)
a b

−25 1
(v) (vi) 0 (vii) (viii) −1
19 7

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 »yêãT\T 379

nuÛ≤´düeTT - 8.1
13
4. x = 5 ôd+.MT. eT]j·TT y = 2 ôd+.MT. ˝Ò<ë 2.8125 ôd+.MT.
16
nuÛ≤´düeTT - 8.2
1. (ii) DE = 2.8 ôd+.MT.

2. 8 ôd+.MT. 3. 1.6 MT. 7. 16 MT.

nuÛ≤´düeTT - 8.3

2 −1
3. 1: 4 4. 6. 96 #·.ôd+.MT. 8. 3.5 ôd+.MT.
1

nuÛ≤´düeTT - 8.4
8. 6 7 MT. 9. 13 MT. 12. 1: 2

nuÛ≤´düeTT - 9.1
1. (i) ˇø£{Ï (ii) #Û˚<äqπsK (iii) ¬s+&ÉT
(iv) düŒs¡Ù_+<äTe⁄ (v) nq+‘·
2. PQ = 13 ôd+.MT. 4. 306 ôd+.MT.
nuÛ≤´düeTT - 9.2
1. (i) d (ii) a (iii) b (iv) a (v) c
2. 8 ôd+.MT. 4. AB = 15 ôd+.MT., AC = 13 ôd+.MT.

5. 8 ôd+.MT. 6. 2 5 ôd+.MT. 9. ¬s+&ÉT

nuÛ≤´düeTT - 9.3
1. (i) 28.5#·.ôd+.MT. (ii) 285.5
#·.ôd+.MT.
2. 88.368 #·.ôd+.MT. 3. 1254.96 #·.ôd+.MT. 4. 57 #·.ôd+.MT.

5. 10.5 #·.ôd+.MT. 6. 9.625 #·.ôd+.MT. 7. 102.67 #·.ôd+.MT.

8. 57 #·.ôd+.MT.

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 380 10e ‘·s¡>∑‹ >∑DÏ‘·+

nuÛ≤´düeTT - 10.1
1. 5500 #·.ôd+.MT. 2. 124800#·.ôd+.MT. (12.48 #·.MT.) 3. 264 |òüT.ôd.MT

4. 1:2 5. 4772 7. 29645 |òüT.ôd+.MT

8. 188.57 #·.MT 9. 37 ôd+.MT

nuÛ≤´düeTT - 10.2
1. 103.71 #·.ôd+.MT 2. 1156.57 #·.ôd+.MT 3. 220 #·.MT

4. 160 #·.ôd+.MT 5. ` 765.6 6. 4:4: 5

⎛ π⎞
7. a 2 ⎜⎜5 + ⎟⎟⎟ #·.j·T÷ì≥T¢ 8. 374 #·.ôd+.MT
⎜⎝ 2⎠

nuÛ≤´düeTT - 10.3
1. 693 øÏ.Á>±. 2. X¯+≈£îe⁄ m‘·TÔ = 22.05 ôd+.MT; ñ|ü]‘·\ yÓ’XÊ\´+ = 793 #·.ôd+.MT
3. 88.83#·.ôd+.MT 4. 616 #·.ôd+.MT 5. 309.57 #·.ôd+.MT

6. 150 7. 523.9 #·.ôd+.MT

nuÛ≤´düeTT - 10.4
1. 2.74 ôd+.MT 2. 12 ôd+.MT 3. 0.714 MT (71.4 ôd+.MT)

4. 5 MT. 5. 10 6. 57
7. 100 8. 224
nuÛ≤´düeTT - 11.1
15 18 15
1. sin A = ; cos A = ; tan A =
17 17 8

527 49 24
2. 3. cos θ = ; tan θ =
168 25 49

5 5
4. sin A = ; tan A =
13 12

4 3
5. sin A = ; cos A =
5 5

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 »yêãT\T 381

47 111 + 8
7. (i) (ii)
62 7
8. (i) 1 (ii) 0

nuÛ≤´düeTT - 11.2

3
1. (i) 2 (ii) (iii) 1
4 2

−1
(iv) (v) −1
3
2. (i) c (ii) d (iii) b
3. 1 4. Yes

5. QR = 6 3 ôd+.MT; PR = 12 ôd+.MT

6. ∠ YXZ = 60º; ∠ YXZ = 30º 7. 600

nuÛ≤´düeTT - 11.3
1. (i) 1 (ii) 0 (iii) 0
(iv) 1 (v) 1
3. A = 24º 6. cos 15º + sin 25º

nuÛ≤´düeTT - 11.4
1. (i) 2 (ii) 2 (iii) 1

1
6. 1 8. 1 9.
p

nuÛ≤´düeTT - 12.1

1. 15 MT. 2. 6 3 MT. 3. 4 MT.

4. 60º 5. 11.55 MT. 6. 4 3 MT.

7. 4.1568 MT. 8. 300 MT. 9. 15 MT. 10. 12.99 #·.ôd+.MT

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 382 10e ‘·s¡>∑‹ >∑DÏ‘·+

nuÛ≤´düeTT - 12.2
1. ≥esY jÓTTø£ÿ m‘·TÔ = 5 3 MT; s√&ÉTŒ yÓ&É\TŒ = 5 MT
2. 32.908 MT 3. 1.464 MT 4. 19.124 MT

5. 7.608 MT 6. 10 MT 7. 51.96 n&ÉT>∑T\T; 30 n&ÉT>∑T\T 8. 6 MT

9. 200 MT/ôd. 10. 24 MT

nuÛ≤´düeTT - 13.1
1. (i) 1 (ii) 0, ndü+uÛe
Ñ |òTü ≥q (iii) 1, K∫Ñ·/<Ûèä &É|Tüò ≥q
(iv) 1 (v) 0, 1
2. (i) ø±<äT (ii) ø±<äT (iii) ne⁄qT (iv) ne⁄qT
3. 0.95 4. (i) 0 (ii) 1

1 1 1
5. 0.008 6. (i) (ii) (iii)
2 2 2
nuÛ≤´düeTT - 13.2
3 5
1. (i) (ii)
8 8

5 4 13
2. (i) (ii) (iii)
17 17 17

5 17
3. (i) (ii)
9 18

5
4. 5. 0.35
13

1 1 3
6. (i) (ii) (iii) (iv) 1
8 2 4

1 1 1
7. (i) (ii) (iii)
26 13 26

1 1 1
(iv) (v) (vi)
52 13 52

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 »yêãT\T 383

3 4
8. 9.
10 15

1 1 1
10. (i) (ii) a. b.
5 4 4

11 1 15
11. 12. (i) (ii)
12 5 19

9 1 1
13. (i) (ii) (iii)
10 10 5

11 31 5
14. 15. (i) (ii)
21 36 36
16.
¬s+&ÉT bÕ∫ø£\ô|’
dü+K´\ yÓTT‘·+Ô 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1 1 1 1 5 1 5 1 1 1 1
dü+uÛ≤e´‘· 36 18 12 9 36 6 36 9 12 18 36

1 1
17. (i) (ii)
2 2
nuÛ≤´düeTT - 14.1
1. dü>∑≥T #Ó≥¢ dü+K´ R 8.1
2. ` 313 3. f = 20 4. 75.9

5. 22.31 6. ` 211 7. 0.099 ppm

8. 49 s√E\T 9. 69.43%

nuÛ≤´düeTT - 14.2
1. u≤VüQfi¯+ = 36.8 dü+ˆˆ, dü>∑≥T = 35.37 dü+ˆˆ.
2. u≤VüQfi¯ø£+ 65.625 >∑+≥\T
3. u≤VüQfi¯ø£+ = ` 1847.83, dü>∑≥T = ` 2662.5.
4. u≤VüQfi¯ø£+ : 30.6, dü>∑≥T = 29.2.

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 384 10e ‘·s¡>∑‹ >∑DÏ‘·+

5. u≤VüQfi¯ø£+ = 4608.7 |üs¡T>∑T\T.

6. u≤VüQfi¯ø£+ = 44.7 ø±s¡T\T
nuÛ≤´düeTT - 14.3
1. eT<Ûä´>∑‘·+ = 137 j·T÷ì≥T¢, dü>∑≥T = 137.05 j·T÷ì≥T¢, u≤VüQfi¯ø£+ = 135.76 j·T÷ì≥T¢.
2. x = 8, y = 7

3. eT<Ûä´>∑‘· ej·TdüT‡ = 35.76 dü+ˆˆ

4. eT<Ûä´>∑‘·+ bı&Ée⁄ = 146.75 $T.MT
5. eT<Ûä´>∑‘·+ J$‘·ø±\+ = 3406.98 >∑+ˆˆ

6. eT<Ûä´>∑‘·+ = 8.05, dü>∑≥T = 8.32, u≤VüQfi¯ø£+ = 7.88

7. eT<Ûä´>∑‘· ãs¡Te⁄ = 56.67 øÏ.Á>±.
nuÛ≤´düeTT - 14.4
1. dü+bÕ<äs¡ (`\˝À) dü+∫‘· bÂq'|ü⁄q´+
300 ø£+fÒ ‘·≈£îÿe 12

350 ø£+fÒ ‘·≈£îÿe 26

400 ø£+fÒ ‘·≈£îÿe 34

450 ø£+fÒ ‘·≈£îÿe 40

500 ø£+fÒ ‘·≈£îÿe 50

2. m>∑Te Vü≤<äT›\T 300 350 400 450 500

dü+∫+‘· bÂq'|ü⁄q´+ 12 26 34 40 50

3. ~>∑Te Vü≤<äT›\T 50 55 60 65 70 75
nes√Vü≤D
dü+∫‘· bÂq'|ü⁄q´+ 100 98 90 78 54 16

Ä+Á<ÛäÁ|ü<˚XŸ Á|üuÛÑT‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æD°

 385

ñbÕ<Ûë´j·TT\≈£î dü÷#·q
Á|æjT· yÓTqÆ ñbÕ<Ûë´j·TT˝≤sê !
Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ $<ë´ Á|üD≤[ø± |ü]~Û |üÁ‘·+ (APSCF-2011) ˝À dü÷∫+∫q nH˚ø£ dæbÕò s¡T‡\˝À Á|ü<ëÛ qyÓTqÆ ~
bÕsƒX¡ Ê\˝À $<ë´s¡T\ú nuÛ´Ñ düq+, ªªbÕsƒX¡ Ê\ ãj·T≥ J$‘·+ (ì»J$‘·+)‘√ eTT&ç|&ü ç ñ
+&Ü*μμ Bì ø£qT>∑TD+>± eTq sêh Á|üuTÑÛ ‘·«+ nìï bÕsƒê´+XÊ\˝Àq÷ $<ë´ Á|üD≤[ø£qT düe]+#·T≥≈£î
ìs¡sí TT+#ês¡T. C≤rj·T $<ë´ Á|üD≤[ø± |ü]~Û|Áü ‘·+ (NCF-2005)NCERT yê] >∑D‘Ï · Ä<Ûës¡ |üÁ‘·+,
Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ sêhÁ|üuTÑÛ ‘·«+ dü÷#·q\ y˚Ts¡≈î£ >∑D‘Ï · uÛ≤eq\ ne>±Vü≤q, $ìjÓ÷>±\qT eT]+‘· $düèÔ ‘·
|üs#¡ T· ø√e&ÜìøÏ, kÕ<Ûës¡Dø° s£ D¡ ≤\ <ë«sê nH˚«wüD eT]j·TT >∑D‘Ï · Á|üÁøÏjT· \qT yê] J$‘· nqTuÛyÑ ê\qT
CÀ&ç+∫ >∑Drø£sD¡ + #Ó+<˚ $<Ûeä TT>± ø£èwæ #˚j÷· *. á n+XÊ\T ôdø£+&ÉØ kÕúsTT˝À kÕ<Û´ä eTe⁄‘êsTT. 9e
‘·s>¡ ‹∑ bÕsƒ´¡ |ü⁄düøÔ +£ qT >∑D‘Ï · $<ë´ Á|üD≤[ø£, $<ë´ Á|üe÷D≤\qT Ä<Ûës¡eTT>± s¡÷bı+~+∫, ôdø£+&ÉØ kÕúsTT
>∑D‘Ï e· TTqT |üP]Ô #˚ùd dæ‹ú ˝À j·TTHêï+. eTT+<äT ‘·s>¡ ‘∑ T· \˝À $<ë´s¡T\ú qT neT÷s¡øÔ \° ø£ uÛ≤eq\qT, ÁbÕ<Û$ä Tø£
n+XÊ\ >∑D‘Ï · dü÷Árø£sD¡ ne>±Vü≤q #˚dTü ø=H˚ $<Ûeä TT>± ø£èwæ #˚XÊeTT. >∑D‘Ï · düeTdü´\qT kÕ~Û+#·&+É ,
ãTTEe⁄ #˚jT· &É+, eT]j·TT n+<äT\≈£î nedüse¡ Tj˚T´ >∑D‘Ï · |ü]uÛ≤wüqT $ìjÓ÷–+#˚ $<Ûeä TT>± ìcÕí‘T· \qT
#˚XÊeTT. >∑DÏ‘· Á|üe#·qeTT\qT, düeTkÕ´ $X‚¢wüD≤ k˛bÕqeTT\qT |ü]|üPs¡í+>± >∑DÏ‘· |ü]uÛ≤wü˝À
dü+øπ ‘·eTT\qT|üj÷Ó –+∫ sêùd $<Ûeä TT>± nedüse¡ Tj˚T´ HÓ|’ ⁄ü D´eTT\qT ô|+bı+~+#êeTT. n+<äT#˚ |ü<eä ‘·s>¡ ‹∑
bÕsƒ´¡ |ü⁄düøÔ e£ TT˝À $<ë´s¡T\ú T >∑D‘Ï · uÛ≤eq\qT, |üP]ÔkÕúsTT˝À neT÷s¡Ô uÛ≤eq\qT ne>±Vü≤q #˚dTü ø=H˚ $<Ûeä TT>±
bÕsƒ´¡ |ü⁄düøÔ £ s¡#q· ≈£î ÁbÕ<Ûëq´‘· ì#êÃeTT.
|ü<eä ‘·s>¡ ‹∑ bÕsƒê´+X¯eTT\ uÀ<Ûqä , nuÛ´Ñ düq≈£î <√Vü≤<äeTj˚T´ $<Ûeä TT>± 6e ‘·s>¡ ‹∑ qT+&ç 10e ‘·s>¡ ‹∑
es¡≈î£ >∑D‘Ï · bÕsƒ´¡ Á|üD≤[ø£qT o]¸ø£ eT]j·TT dü]Œ\ $<ÛëHê\ô|’ Ä<Ûës¡|&ü ç s¡÷bı+~+#·ã&çq$. ø°\ø£ neT÷s¡Ô
uÛ≤eq\ dü«uÛ≤eeTT, |ü]~Û eT]j·TT >∑D‘Ï · |ü]uÛ≤wü kÕúsTT Áø£yT˚ |æ ô|+#·ã&çq~. d”«ø£è‘ê<Ûës¡ |ü<‹Δä ˝À n<Û´ä j·Tq+qT
$<ë´s¡T\ú ≈£î n\yê≥T #˚d,æ á |ü<‹Δä ˝À $<ë´s¡T\ú kÂ\uÛ´Ñ ‘·qT bı+<˚ $<Û+ä >± ø£èwæ#X˚ ÊeTT. nuÛ´Ñ düq Á|üÁøÏjT· ˝À
$<ë´s¡T\ú T m<äTs=ÿH˚ øÏw¢ ‘ºü \· ˝À n~Ûø£ ÁbÕ<Ûëq´eTT ø£*qZ ~. d”«ø£è‘ê<Ûës¡ n<Û´ä j·Tq+, >∑D‘Ï · dü+øπ ‘·eTT\ |ü]uÛ≤wü.
n+<äT#˚ á bÕsƒ´¡ |ü⁄døÔü e£ TT˝Àì n+XÊ\T n˙ï $<ë´s¡T\ú T #·øÿ£ ì ùd«#êäjT· T‘· yê‘êes¡D+˝À H˚sT¡ Ãø=H˚ $<Ûeä TT>±,
$<ë´s¡T\ú T ∫qï, ∫qï ãè+<ë\T>± e÷], #·]Ã+∫ düeTdü´\T kÕ~Û+#·T≥≈£î M\T>± ªªÇ$ #˚jT· +&çμμ, ªªÁ|üjT· ‹ï+#·+&çμμ
e+{Ï o]¸ø\£ qT #˚sêÃeTT.
á dæ\ãdt q+<äT bÕsƒ´¡ $wüj÷· \T nìï ÁbÕ<∏$ä Tø£ >∑D‘Ï · uÛ≤eq\T, kÕ<Ûës¡Dø° s£ D¡ ≤\ <ë«sê nH˚«wüD,
ne>±Vü≤q\ô|’ }Væ≤+∫ eTÚ*ø£ ìsêàD $<Ûëq |ü<‹Δä ˝À s¡÷bı+~+#êeTT. á $<ÛëqeTT ãè+<ä #·sá , ø£è‘·´
Ä<Ûë]‘· nuÛ´Ñ düeTTq≈£î ÁbÕ<Ûëq´‘· ø£*ŒdüT+Ô ~.
10e ‘·s>¡ ‹∑ dæ\ãdt Á|ü<ëÛ qeTT>± 1) dü+U≤´e´edüú 2) ;»>∑D‘Ï +· 3) sπ U≤>∑D‘Ï +· 4) øπ Áå ‘·$T‹
5) kÕ+K´ø£ XÊg+ 6) ìs¡÷|üø£ sπ U≤>∑D‘Ï e· TT 7) Á‹ø√D$T‹ nqT 7 s¡+>±\T>± $uÛõÑ +#·ã&çq~. á
s¡+>±\˝Àì n+XÊ\qT uÀ~Û+#·T≥ <ë«sê $<ë´s¡T\ú ˝À düeTkÕ´ kÕ<Ûqä , ‘ê]ÿø£ Ä˝À#·q, >∑D‘Ï · uÛ≤wü˝À e´ø£Ô
|üs#¡ &· +É , Ç∫Ãq <ä‘êÔ+X¯eTTqT y˚sπ «s¡T s¡÷bÕ\˝À ÁbÕ‹ì<ä´ |üs#¡ &· +É , >∑D‘Ï e· TTqT ˇø£ bÕsƒê´+X¯eTT>±
e÷Á‘·yT˚ ø±≈£î+&Ü ì» J$‘·eTTq≈£î ÄeX¯´ø£yTÓ qÆ XÊgeTT>± >∑T]Ô+#·&eÉ TTqT $<ë´s¡T\ú T bı+<äT‘ês¡T.

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 386 10 e ‘·s>¡ ‹∑ >∑D‘Ï +·

á bÕsƒ¡´|ü⁄düÔø£+˝À düs¡fi¯yÓTÆquÛ≤wü, |ü<äC≤\+ ø£*– e⁄+&ç |æ\¢\ y˚T<ÛädüT‡, >∑DÏ‘· uÛ≤yê\qT

ñ|üj÷Ó –+#·Tø√e&ÜìøÏ ‘·<ë«sê ‘êy˚T dü«j·T+>± >∑D‘Ï · dü«s¡÷bÕ\qT @s¡Œs¡#T· ø√e&ÜìøÏ neø±XÊ\qT
ø£*ŒdüT+Ô ~. |ü⁄düøÔ +£ ˝À bı+<äT|üs∫¡ q Ç$#˚jT· +&ç, Á|üjT· ‹ï+#·+&ç. Á|üø\£ Œq\T e+{Ï n+XÊ\≈£î n~Ûø£
ÁbÕ<Ûëq´‘· Ç∫à |æ\\¢ T kı+‘·eTT>± H˚sT¡ Ãø=H˚˝≤ #˚jT· &ÜìøÏ, »≥¢˝À Á|üjT· ‹ï+#·&ÜìøÏ á bÕsƒ´¡ |ü⁄düøÔ +£
neø±X¯+ ø£*Œk˛Ô+~.
ªªÇ$ #˚jT· +&çμμ Á|üjT· ‹ï+#·+&ç o]¸ø\£ ‘√ Ç∫Ãq nuÛ≤´düeTT˝À $<ë´s¡T\ú T Ä bÕsƒê´+X¯eTTqT m+‘·yT˚ s¡≈î£
ne>±Vü≤q #˚dTü ≈£îHêïs¡T nH˚ n+X¯eTTqT ‘Ó\TdüTø=H˚+<äT≈£î <√Vü≤<ä|&ü ‘É êsTT. ªÇ$ #˚jT· +&çμ o]¸ø˝£ À Ç∫Ãq
düeTdü´\T bÕsƒê´+X¯eTT˝À #·]Ã+∫q uÛ≤eq\ô|’ Ä<Ûës¡|&ü j ç T· T+{≤sTT. ªªÁ|üjT· ‹ï+#·+&çμμ nqT o]¸ø˝£ À
Ç∫Ãq düeTdü´\T HÓ|’ ⁄ü D´eTT\T, uÛ≤eq\ kÕ<Ûës¡Dø° s£ D¡ +, uÛ≤eq dü‘´· XÀ<Ûqä eT]j·TT Á|ü•ï+#·T≥ nqT
n+XÊ\ Ä<Ûës¡eTT>± ‘·j÷· s¡T #˚jT· ã&ܶsTT. ª#·]Ã+#·T ` Ä˝À∫+#·Tμ nqT o]¸ø˝£ À $<ë´s¡T\ú T ø=‘·Ô
uÛ≤eq\qT ns¡eΔ TT #˚dTü ø=+{≤s¡T. yê] kı+‘· e÷≥\˝À e´ø£|Ô sü T¡ kÕÔsT¡ .
10e ‘·s>¡ ‹∑ dæ\ãdtqT 14 n<Ûë´j·÷\T>± $uÛõÑ +#ês¡T. $<ë´s¡T\ú T Á|ü‹ n+XÊìï ≈£L\+ø£weü TT>±
ne>±Vü≤q #˚dTü ø=qT≥≈£î, ùV≤‘·Tã<ä+› >± Ä˝À∫+#·T≥≈£î, n+XÊ\ô|’ düeTÁ>∑+>± |ü≥Tº kÕ~Û+#·T≥≈£î, düT\uÛeÑ TT>±
H˚sT¡ Ãø=qT≥≈£î, >∑D‘Ï · n<Û´ä j·Tq+ |ü≥¢ ÄdüøìÔÏ ô|+#·&ÜìøÏ <√Vü≤<ä|&ü TÉ ‘êsTT. s¡+>∑T\ es¡∫í Á‘ê\T, |ü{≤\T,
#·<eä >∑*>π ˝≤ nø£så ê\ ôdE ’ , ‘·–qZ bÕsƒ´¡ |ü⁄düøÔ +£ ù|J\ dü+K´ $<ë´s¡T\ú qT >∑D‘Ï · bÕsƒ´¡ |ü⁄düøÔ +£ |ü≥¢ uÛj
Ñ T· +
b˛>={Ϻ dü«j·T+ nuÛ´Ñ düHêìøÏ Áù|sπ |ædTü +Ô ~.
n<Ûë´j·T+ 1 : yêdüeÔ dü+K´\˝À n+ø£>D∑ ‘Ï · ÁbÕ<Û$ä Tø£ dæ<ëΔ+‘·+, nø£sD¡ j ° T· dü+K´\T, yê{Ïì <äXÊ+X¯
s¡÷|üeTT˝À $düsÔ D¡ , Äe]Ô‘· nø£sD¡ j ° T· dü+K´\T $e]+#·ã&çq$. ø£sD¡ j ° T· dü+K´\qT >∑÷]à dü$es¡eTT>±
#·]Ã+#êeTT. yÓTT≥ºyTÓ T<ä{kÏ Õ]>± á bÕsƒê´+X¯eTT˝À dü+es¡eZ ÷qeTT\T |ü]#·jT· + #˚XÊ+. dü+es¡eZ ÷qeTT\
ÁbÕ<Û$ä Tø£ Hê´j·TeTT\T eT]j·TT yê{Ï nqTes¡qÔ eTT\T $e]+#·ã&çq$.
n<Ûë´j·TeTT 2 : dü$T‘·T\T, ôdø£+&ÉØ kÕúsTT˝À |üP]Ô>± q÷‘·q n<Ûë´j·T+. |üPs¡« dæ\ãdt˝À 8e ‘·s>¡ ‹∑
qT+&ç ªªdü$T‘·T\Tμμ n<Ûë´j·T+ ñqï|üŒ{Ïø° q÷‘·q $<ë´Á|üD≤[ø£˝À 10e ‘·s>¡ ‹∑ ˝À |ü]#·jT· + #˚jT· ã&ç+~.
á n<Ûë´j·T+˝À dü$T‹ ìs¡«#·q+, dü$T‘·T\˝À s¡ø±\T, yÓHé ∫Á‘ê\T, dü$T‘·T\ |ü]ÁøÏjT· \T, dü$T‘·T\ eT<Û´ä
e´‘ê´düeTT\T $e]+#·ã&çq$.
n<Ûë´j·TeTT 3 : ãVüQ|ü<Tä \T, ªãVüQ|ü~ nq>±H˚$T?μ eT]j·TT ãVüQ|ü<Tä \ |ü]e÷DeTT, $\Te\qT >∑÷]Ã
$e]+#·ã&çq~. sπ Fj·T ãVüQ|ü<Tä \T. eT]j·TT es¡Z ãVüQ|ü<Tä \qT Á>±|ò⁄ü <ë«sê dü÷∫+#·&+É . ãVüQ|ü~
X¯SHê´\T eT]j·TT ãVüQ|ü~˝Àì #·ss¡ ê• >∑TDø£eTT\T eT<Û´ä dü+ã+<Û+ä >∑÷]à $e]+#·ã&çq~. |òTü q
ãVüQ|ü~ì >∑÷]à eT]j·TT uÛ≤>∑V‰ü s¡Hê´j·T+ >∑÷]à $e]+#·ã&çq~.
n<Ûë´j·TeTT 4: s¬ +&ÉT #·ss¡ êX¯ó\˝À sπ Fj·T düMTø£sD¡ eTT\ »‘·‘√ sπ Fj·T düMTø£sD¡ eTT\ kÕ<Ûqä , Á>±|ò⁄ü ‘√
;Jj·T |ü<‘Δä T· \qT|üj÷Ó –+∫ s¬ +&ÉT #·ss¡ êX¯ó\ sπ Fj·T düMTø£sD¡ eTT\qT kÕ~Û+#·&+É $e]+#·ã&çq~.
n<Ûë´j·TeTT 5 : es¡Z düMTø£sD¡ eTT\T, es¡dZ Mü Tø£sD¡ eTT uÛ≤eq, ns¡eú TT, kÕ<Ûqä \T $e]+#·&yÉ TÓ qÆ ~. |üsêe\j·T+
qT|üj÷Ó –+∫ eT÷˝≤\ dü«uÛ≤eeTTqT ‘Ó\TdüTø√e&ÉeTT $e]+#·&yÉ TÓ qÆ ~.
n<Ûë´j·TeTT 6: ÁX‚&TÉÛ \T, ôdø£+&ÉØ kÕúsTT˝À yÓTT<ä{kÏ Õ]>± á n<Ûë´j·T+ |ü]#·jT· + #˚jT· &ÉyTÓ qÆ ~. á
n<Ûë´j·T+˝À n+ø£ÁX‚&çÛ eT]j·TT >∑TDÁX‚&\çÛ qT >∑÷]à $e]+#·&yÉ TÓ qÆ ~. ÁX‚&˝çÛ À |ü<eä TT\ dü+K´, ne |ü<eä TT,
|ü<ë\ yÓTT‘·+Ô #·]Ã+#·&yÉ TÓ qÆ ~.
Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ
 ñbÕ<Ûë´j·TT\≈£î dü÷#·q 387

n<Ûë´j·TeTT 7 : ìs¡÷|üø£ C≤´eT‹, á n<Ûë´j·TeTT˝À s¬ +&ÉT _+<äTe⁄\ eT<Û´ä <ä÷s¡+, $uÛ»Ñ q dü÷Á‘·+
(Section formula), Á‹uÛTÑ »πø+Á<äu≤Û dü+, Á‹<Ûëø£sD¡ _+<äTe⁄\qT >∑÷]Ã $e]+#·&yÉ TÓ qÆ ~. Á‹uÛTÑ »yÓX’ Ê\´eTTqT
ªôV≤sêHéd÷ü Á‘·eTTμμ qT|üj÷Ó –+∫ ø£qT>=qT≥ $e]+#·ã&çq~. düsfi¡ sπ¯ K jÓTTø£ÿ yê\TqT >∑÷]à $e]+#·&yÉ TÓ +Æ ~.
n<Ûë´j·TeTT 8 : ˝À düs÷¡ |ü Á‹uÛTÑ » <Ûsä êà\qT >∑T]+∫, ÁbÕ<∏$ä Tø£ nqTbÕ‘· dæ<ëΔ+‘·+ $e]+#·&yÉ TÓ qÆ ~. s¬ +&ÉT
Á‹uÛTÑ C≤\ düs÷¡ |ü‘≈· î£ ø±e*‡q ìj·Te÷\qT ùV≤‘·Tã<ä+Δ >± ìs¡÷|æ+#·T≥≈£î ‘·–q Áù|s¡D ø£*+Z #·&yÉ TÓ qÆ ~.
ô|<’ ë∏ >∑sd¡ t dæ<ëΔ+‘·+qT, <ëì $|üs´¡ j·TeTTqT ìs¡÷|æ+#˚ |ü<‘Δä T· \T ≈£L\+ø£w+ü >± #·]Ã+#·&yÉ TÓ qÆ ~.
n<Ûë´j·T+ 9 : ˝À eè‘·eÔ TT jÓTTø£ÿ düŒs¡Ùsπ K, #Û<˚ qä sπ K\qT >∑÷]à $e]+#·&yÉ TÓ qÆ ~. #Û<˚ qä sπ K e\q @s¡Œ&çq
eè‘·KÔ +&ÉeTT jÓTTø£ÿ yÓX’ Ê\´eTTqT ø£qT>=qT≥ #·]Ã+#·&yÉ TÓ qÆ ~.
n<Ûë´j·T+ 10 : øπ Áå ‘·$T‹˝À |òTü qø±s¡ edüTeÔ ⁄\ düeTT<ëj·TeTT jÓTTø£ÿ ñ|ü]‘·\ yÓX’ Ê\´eTT, |òTü q|ü]e÷DeTT\qT
>∑÷]Ã #·]Ã+#·&yÉ TÓ qÆ ~.
n<Ûë´j·T+ 11 eT]j·TT 12 \qî ôdø£+&ÉØ kÕúsTT˝À q÷‘·qeTT>± |ü]#·jT· eTT #˚jT· &ÉyTÓ qÆ ~. ø£seí¡ TT, uÛTÑ C≤\
eT<Û´ä dü+ã+<Ûeä TT <ë«sê Á‹ø√D$T‹ ìwüŒ‘·T\Ô qT $e]+#·&eÉ TT, m‘·T\Ô T, <ä÷sê\T uÛ≤eqqT <ëì nqTes¡qÔ eTT\T
$e]+#·&yÉ TÓ qÆ ~.
n<Ûë´j·TeTT 13 : dü+uÛ≤e´‘·, 9e ‘·s>¡ ‹∑ ˝À #·]Ã+∫q dü+uÛ≤e´‘·qT |ü]|ü⁄wæº #˚d÷ü Ô q÷‘·q |ü<eä TT\ $es¡D,
yê{Ï uÛ≤eq\qT #·]Ã+#·&yÉ TÓ qÆ ~.
n<Ûë´j·TeTT 14: kÕ+U≤´ø£XÊg+˝À, <ä‘êÔ+X¯ùdø£sD¡ , <ëìì eØZøè£ ‘· <ä‘êÔ+X¯eTT>± e÷s¡TÃ≥, neØZøè£ ‘·
<ä‘êÔ+X¯eTTq≈£î dü>≥∑ T, eT<Û´ä >∑‘e· TT eT]j·TT u≤VüQfi¯øe£ TTqT ø£qT>=qT≥. n<˚$<Ûeä TT>± eØZøè£ ‘· <ä‘êÔ+X¯eTTq≈£î
dü>≥∑ T, eT<Û´ä >∑‘e· TT eT]j·TT u≤VüQfi¯øe£ TT\qT ø£qT>=qT≥ yê{Ï eT<Û´ä dü+ã+<Û+ä $e]+#·&yÉ TÓ qÆ ~. nqTã+<Û+ä >±
#˚]Ãq ªª>∑D‘Ï q· eT÷Hê $<ÛëHê\Tμμ n<Û´ä j·Tq+ <ë«sê $<ë´s¡T\Δ ˝À >∑D‘Ï · düeTdü´\T kÕ<Ûqä ≈£î ‘·–q $$<Ûä
qeT÷Hê\qT m+|æø£ #˚dTü ≈£îH˚ neø±X¯+ ø£\T>∑T‘·T+~. düeTdü´\qT ì»Je‘· dü+|òTü ≥q\‘√ b˛*à qeT÷Hê\T
s¡÷|üø\£ Œq #˚jT· >∑\T>∑T‘ês¡T.
@ bÕsƒ´¡ $wüjT· +˝ÀHÓH’ ê $»j·TkÕ<Ûqä nH˚~ bÕsƒ´¡ Á|üD≤[ø£ ø£+fÒ m≈£îÿe>± ñbÕ<Ûë´j·TT&ÉT ne\+_Û+#˚
uÀ<ÛHä ê |ü<‘Δä T· \ô|’ Ä<Ûës¡|&ü ç ñ+≥T+~. ˇø£ eT+∫ bÕsƒ´¡ |ü⁄düøÔ +£ ‘√ e÷Á‘·yT˚ $<ë´s¡T\ú ˝À >∑TD≤‘·àø£yTÓ qÆ
e÷s¡TŒ\qT Ä•+#·˝+Ò . ‘·s>¡ ‹∑ >∑~˝Àq÷ ñ‘·eÔ T uÀ<Ûqä e÷Á‘·yT˚ bÕsƒ´¡ Á|üD≤[ø£≈î£ q÷‘·q nsêúìï ø£*Œ+∫
yê+#Û˙· j·TyÓTqÆ e÷s¡TŒ\qT ‘˚>\∑ TZ‘T· +~. n+<äTe\¢ >∑D‘Ï · uÀ<Ûqä n+fÒ nuÛ≤´kÕ\qT kÕ~Û+|ü#j ˚ T· &ÉyT˚
ø±≈£î+&Ü eTÚ*ø£ uÛ≤eq\qT ne>±Vü≤q ô|+#·&+É <ë«sê düeTdü´ kÕ<Ûqä HÓ|’ ⁄ü D≤´\T ô|+bı+<äT‘êj·Tì
Á>∑V≤æ +#ê*. Ç≥Te+{Ï e÷s¡TŒ >∑D‘Ï · uÀ<ÛHä êuÛ´Ñ düq Á|üÁøÏjT· ˝À¢ sêyê\ì Ä•<ë›+.
Á|ür bÕsƒê´+X¯eTT ∫es¡˝À ªeTqeTT H˚sT¡ Ãø=qï n+XÊ\Tμ nqT o]¸ø£ <ë«sê ª|ü⁄q'X¯Ãs¡Dμ≈£î kı+‘·+>±
eT]ø=ìï düeTdü´\qT ‘·j÷· s¡T #˚dæ Çe´≥eTT <ë«sê á Á|üÁøÏjT· |ü]|ü⁄wüeº TT ne⁄‘·T+~.
$<ë´s¡T\ú +<äs÷¡ >∑D‘Ï e· TTqT Äq+<ä+‘√ H˚sT¡ Ãø√e&ÜìøÏ, yê] J$‘· nqTuÛyÑ ê\qT CÀ&ç+∫ düeTdü´\T
s¡÷bı+~+#·&ÜìøÏ, kÕ~Û+#·&ÜìøÏ á >∑D‘Ï · bÕsƒ´¡ |ü⁄düøÔ +£ ˝À eTÚ*ø£ uÛ≤eq\T ‘√&ÉŒ&ÉT‘êj·Tì Á|ü>±&ÛeÉ TT>±
$X¯«dædTü HÔ êïeTT.
ªªdü+‘√wü<ëj·Tø£yTÓ qÆ uÀ<Ûqä ≈£î n+øÏ‘e· Tj˚T´ MT n+<ä]ø° X¯óuÛ≤ø±+ø£\å Tμμ

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 388

dæ\ãdt
I. dü+U≤´ e´edüú (23 |”]j·T&ÉT)¢
(i) yêdüeÔ dü+K´\T (15 |”]j·T&ÉT)¢
• nø£sD¡ j° T· , ø£sD¡ j
° T· dü+K´\‘√ eT]ø=ìï <Ûsä êà\T
• n+ø£>D∑ ‘Ï · ÁbÕ<∏$ä Tø£ dæ<ëΔ+‘·eTT ` Á|ü#H· ê\T
• 2, 3 .... yÓTTˆˆ\>∑T ø£sD ¡ j
° T· dü+K´\ô|’ ñ|ü|‘ü T· \Ô T eT]j·TT nø£sD¡ j
° T· dü+K´\ <äXÊ+X¯ s¡÷bÕ\T
(n+‘·yTÓ T+<˚ <äXÊ+XÊ\T, n+‘·+ø±ì Äes¡qÔ <äXÊ+XÊ\T)
• yêdüeÔ dü+K´\ <äXÊ+XÊ\T (|üPs¡«C≤„q+ eT]j·TT ñ<ëVü≤s¡D\ <ë«sê ìs¡÷|üD\T)
• dü+es¡eZ ÷Hê\ |ü]#·jT· +
• dü+K´ jÓTTø£ÿ |òTü ‘ê+ø£ s¡÷|ü+ qT+&ç dü+es¡eZ ÷q s¡÷|ü+˝ÀìøÏ e÷s¡TÃ
• dü+es¡eZ ÷Hê\ <Ûsä êà\T logaa = 1; loga1 = 0
• dü+es¡eZ ÷q Hê´j·÷\T
x
log xy = log x + log y; log = log x − log y ; log xn = n log x
y
• dü+es¡Ze÷Hê\≈£î ÁbÕe÷DÏø£ Ä<Ûësê\T, dü+es¡Ze÷Hê\ ì‘·´J$‘· nqTes¡ÔHê\T (|üØø£å\≈£î
<˚•› +#·ã&çq$).
(ii) dü$T‘·T\T (8 |”]j·T&ÉT)¢
• dü$T‘·T\T eT]j·TT yê{Ï s¡÷bÕ\T
• X¯Sq´dü$T‹, |ü]$T‘· eT]j·TT n|ü]$T‘· dü$T‘·T\T, $X¯«dü$T‹
• düeTdü$T‘·T\T, ñ|üd$ü T‹, ø±]¶q˝Ÿ dü+K´, $j·TTø£Ô dü$T‘·T\T
• yÓHé ∫Á‘ê\ <ë«sê dü$T‘·T\qT dü÷∫+#·T≥
• dü$T‘·T\˝À ÁbÕ<∏$ä Tø£ |ü]ÁøÏjT· \T
• dü$T‘·T\ düyT˚ àfi¯q+, #Û̊<qä +, uÛ<Ò +ä
II. ;»>∑D‘Ï e· TT (46 |”]j·T&ÉT)¢
(i) ãVüQ|ü<Tä \T (8 |”]j·T&ÉT)¢
• ãVüQ|ü~ jÓTTø£ÿ X¯SHê´\T
• ãVüQ|ü~ X¯SHê´\≈£î C≤´$Trj·T uÛ≤eq\T— sπ Fj·T, es¡,Z |òTü q ãVüQ|ü<Tä \≈£î sπ U≤∫Á‘ê\T
• ãVüQ|ü~ >∑TDø±\≈£î, X¯SHê´\≈£î eT<Û´ä dü+ã+<Ûeä TT
• ãVüQ|ü~ uÛ≤>±Vü‰s¡ìj·TeTeTT (|üPs¡dí +ü K´\T >∑TDø±\T>± >∑\ düeTdü´\ kÕ<Ûqä )
(ii) s¬ +&ÉT #·ss¡ êX¯ó\˝À sπ Fj·T düMTø£sD¡ ≤\T (15 |”]j·T&ÉT)¢
• ì‘·´J$‘· dü+<äsꓤ\<ë«sê s¬ +&ÉT #·ss¡ êX¯ó\˝À sπ Fj·T düMTø£sD¡ ≤\ »‘·\qT s¡÷bı+~+#·T≥
• ¬s+&ÉT #·s¡sêX¯ó\˝À πsFj·T düMTø£s¡D≤\ »‘·\≈£î πsU≤ ∫Á‘ê\ <ë«sê kÕ<Ûäq\T ø£qT>=qT≥.
e´ed”úø£]+#·ã&çq dü+<äsꓤ\T >∑T]Ô+#·T≥
• düMTø£sD ¡ ≤\ kÕ<Ûqä ≈£î ‘·–q ;Jj·T dü+<äsꓤ\qT ‘Ó\TdüTø=qT≥
• s¬ +&ÉT #·ss¡ êX¯ó\˝À sπ Fj·T düMTø£sD¡ ≤\ e´edü≈ú î£ ;Jj·T |ü<‘Δä T· \˝À kÕ<Ûqä ø£qT>=qT≥ ` Á|ü‹øπ |å Dü
|ü<‹Δä , #·ss¡ ê•ì ‘=\–+#·T |ü<‹Δä
• s¬ +&ÉT #·ss¡ êX¯ó\˝À sπ Fj·T düMTø£sD¡ ≤\ »‘·\T>± e÷s¡Ã>∑*>π ì‘·´J$‘· dü+<äsꓤ\T, düsfi¡ ¯ düeTdü´\qT
s¡÷bı+~+∫, kÕ~Û+#·T≥
• ãVüQ|ü~ jÓTTø£ÿ X¯SHê´\T
(iii) es¡Z düMTø£sD¡ ≤\T (12 |”]j·T&ÉT)¢
• es¡dZ Mü Tø£sD¡ ≤ìøÏ ÁbÕe÷DÏø£ s¡÷|ü+ ax2+bx+c=0, (a ≠ 0).

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 dæ\ãdt 389

• yêdüeÔ dü+K´\T eT÷˝≤\T>± >∑\ es¡Z düMTø£sD¡ ≤\qT kÕ~Û+#·T≥

` ø±s¡D≤+ø£ |ü<‹Δä ` dü+|üPs¡í es¡Z |ü<‹Δä (dü÷Á‘·eTT ñ|üj÷Ó –+∫)
• es¡Z düMTø£sD¡ $#·øDå£ Ï <ë«sê eT÷˝≤\ dü«uÛ≤e\qT ‘Ó\TdüTø=ì dü+ã+<Ûë\T @s¡Œs¡#T· ≥
• ì‘·´J$‘· dü+|òTü ≥q\ Ä<Ûës¡yTÓ qÆ es¡Z düMTø£sD¡ ≤\ kÕ<Ûqä
(iv) ÁX‚&TÉÛ \T (11 |”]j·T&ÉT)¢
• n+ø£ÁX‚&çÛ ìs¡«#·q+
• n+ø£ÁX‚&˝çÛ À n e |ü<eä TT, yÓTT<ä{Ï n |ü<ë\ yÓTT‘·+Ô ø£qT>=qT≥.
• >∑TDÁX‚&Ûç |ü]#·j·T+
• >∑TDÁX‚&˝çÛ À n e |ü<eä TT ø£qT>=qT≥.
III. sπ U≤>∑D‘Ï +· (33 |”]j·T&ÉT)¢
(i) düs÷¡ |ü Á‹uÛTÑ C≤\T (18 |”]j·T&ÉT)¢
• düs÷¡ |ü |ü{≤\T, düs«¡ düe÷q‘·«+q≈£î düs÷¡ |ü‘≈· î£ eT<Û´ä >∑\ ‘˚&Ü
• düs÷¡ |ü Á‹uÛTÑ » <Ûsä êà\T
• (ìs¡÷|üD) ˇø£ Á‹ãT»+˝À ˇø£ uÛTÑ C≤ìøÏ düe÷+‘·s+¡ >± ^dæq sπ K $T–*q s¬ +&ÉT uÛTÑ C≤\qT y˚sT¡ y˚sT¡
_+<äTe⁄\˝À K+&ç+∫q, Ä $T–*q s¬ +&ÉT uÛTÑ C≤\T ˇπø ìwüŒ‹Ô˝À $uÛõÑ +|üã&É‘êsTT.
• (Áù|s¡D) ˇø£ Á‹uÛTÑ »+˝À @yÓH’ ê s¬ +&ÉT uÛTÑ C≤\qT ˇπø ìwüŒ‹Ô˝À $uÛõÑ +#·T düsfi¡ sπ̄ U≤, eT÷&Ée uÛTÑ C≤ìøÏ
düe÷+‘·s¡+>± qT+&ÉTqT.
• (Áù|s¡D) s¬ +&ÉT Á‹uÛTÑ C≤\˝À nqTs¡÷|ü ø√D≤\T düe÷q+>± e⁄+fÒ yê{Ï nqTs¡÷|ü uÛTÑ C≤\ ìwüŒ‘·T\Ô T
düe÷qeTT>± e⁄+{≤sTT eT]j·TT Ä s¬ +&ÉT Á‹ãTC≤\T düs÷¡ bÕ\T (ø√.ø√.ø√)
• (Áù|s¡D) ˇø£ Á‹uÛTÑ »eTT˝Àì uÛTÑ C≤\T, s¬ +&Ée Á‹uÛTÑ »+˝Àì nqTs¡÷|ü uÛTÑ C≤\T nqTbÕ‘·eTT˝À e⁄+fÒ Ä
s¬ +&ÉT Á‹uÛTÑ C≤\T düs÷¡ bÕ\T (uÛTÑ .uÛTÑ .uÛTÑ )
• (Áù|s¡D) ˇø£ Á‹uÛTÑ »eTT˝Àì ˇø£ ø√DeTT, y˚s=ø£ Á‹uÛTÑ »eTT˝Àì ˇø£ ø√D≤ìøÏ düe÷qyÓT,Æ Ä ø√D≤\qT
ø£*– e⁄qï uÛTÑ C≤\T nqTbÕ‘·+˝À e⁄+fÒ Ä s¬ +&ÉT Á‹uÛTÑ C≤\T düs÷¡ bÕ\T (uÛTÑ .ø√.uÛTÑ )
• (ìs¡÷|üD) s¬ +&ÉT düs÷¡ |ü Á‹uÛTÑ C≤\ yÓX’ Ê\´\ ìwüŒ‹Ô yê{Ï nqTs¡÷|ü uÛTÑ C≤\ esêZ\ ìwüŒ‹ÔøÏ düe÷qeTT.
• (Áù|s¡D) ˇø£ \+ã Á‹uÛTÑ »eTT˝À \+ãø√DeTT ø£*–q os¡¸eTT qT+&ç ø£sêíìøÏ \+ãeTT ^dæq, Ä\+u≤ìøÏ
Çs¡TyÓ|’ ⁄ü ˝≤ @s¡Œ&çq Á‹uÛTÑ C≤\T Ç∫Ãq Á‹uÛTÑ C≤ìøÏ düs÷¡ bÕ\T eT]j·TT n$ ˇø£<ëìø=ø£{Ï düs÷¡ bÕ\T.
• (ìs¡÷|üD) ˇø£ \+ãø√D Á‹uÛTÑ »eTT˝À ø£seí¡ TT MT~ es¡eZ TT $T–*q s¬ +&ÉT uÛTÑ C≤\ esêZ\ yÓTT‘êÔìøÏ
düe÷qyÓTqÆ , yÓTT<ä{Ï uÛTÑ C≤ìøÏ m<äTs¡T>± e⁄+&˚ ø√DeTT \+ãø√DeTT eT]j·TT Ä Á‹uÛTÑ »eTT \+ãø√D
Á‹uÛÑT»eTT ne⁄‘·T+~.
• (ìsêàD+) <ä‘Ô· sπ U≤ K+&É+qT ø√]q ìwüŒ‹Ô˝À $uÛõÑ +#·T≥ (ÁbÕ<∏$ä Tø£ nqTbÕ‘· dæ<ëΔ+‘·+ ñ|üj÷Ó –+∫)
• (ìsêàD+) <ä‘Ô· Á‹uÛTÑ C≤ìøÏ Ç∫Ãq ùdÿ\T Á|üø±s¡eTT düs÷¡ |ü Á‹uÛTÑ C≤ìï ì]à+#·&+É .
(ii) eè‘êÔìøÏ düŒs¡Ùsπ K\T eT]j·TT #Û<˚ qä sπ U≤\T (15 |”]j·T&ÉT)¢
• eè‘·Ô düŒs¡Ùsπ K≈£î, #Û<˚ qä sπ K≈£î >∑\ uÛ<Ò +ä
• #Û̊<qä sπ K\#˚ @s¡Œ&ÉT C≤´\T eè‘·eÔ TT\ô|’ _+<äTe⁄≈£î »s¡T>∑T‘·Tqï|ü&ÉT @s¡Œ&˚ dü+<äsꓤ\ <ë«sê düŒs¡Ùsπ KqT
‘Ó\TdüTø=qT≥.
• (ìs¡÷|üD) ˇø£ eè‘·ÔeTTô|’ >∑\ @<Ó’Hê _+<äTe⁄ >∑T+&Ü ^j·Tã&çq düŒs¡ÙπsK, Ä düŒs¡Ù_+<äTe⁄ e<ä›
yê´kÕsêúìøÏ \+ãeTT>± ñ+≥T+~.
• (ìs¡÷|üD) eè‘êÔìøÏ u≤Vü≤´_+<äTe⁄ >∑T+&Ü ^j·Tã&çq düŒs¡Ùsπ K\ bı&Ée⁄\T düe÷qeTT.
• (ìsêàDeTT) eè‘·+Ô ô|’ >∑\ <ä‘Ô· _+<äTe⁄ qT+&ç, Ä eè‘êÔìøÏ düŒs¡Ùsπ KqT ^j·T&É+
• #Û̊<qä sπ K‘√ @s¡Œ&˚ eè‘·Ô K+&ÉeTT
• eè‘·KÔ +&ÉeTT jÓTTø£ÿ yÓX’ Ê\´eTT ø£qT>=qT≥ (n\Œeè‘·KÔ +&É+, n~Ûø£ eè‘·Ô K+&ÉeTT)
IV. ìs¡÷|üø£ C≤´$T‹ (12 |”]j·T&ÉT)¢
• sπ Fj·T düMTø£sD¡ ≤\ sπ U≤∫Á‘ê\ |ü⁄q]«eTs¡Ù <ë«sê ìs¡÷|üø£ sπ U≤>∑D‘Ï · uÛ≤yê\qT @s¡Œs¡T#·T≥
• s¬ +&ÉT _+<äTe⁄\T P( x1 , y1 ) eT]j·TT Q( x2 , y2 ) eT<Û´ä <ä÷s¡eTT PQ = ( x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 390 10 e ‘·s>¡ ‹∑ >∑D‘Ï +·

• <ä‘sπÔ· U≤K+&É+qT ø√]q ìwüŒ‹Ô˝À $uÛõÑ +#˚ _+<äTe⁄ ìs¡÷|üø±\T ø£qT>=qT≥ (n+‘·s¡ ìwüŒ‹Ô m : n)
• ìs¡÷|üø£ ‘·\+ô|’ @s¡Œ&˚ Á‹uÛTÑ » yÓX’ Ê\´eTT ø£qT>=qT≥.
• s¬ +&ÉT _+<äTe⁄\qT ø£*ù| sπ U≤yê\T
V. Á‹ø√D$T‹ (23 |”]j·T&ÉT)¢
(i) Á‹ø√D$T‹ (15 |”]j·T&ÉT)¢
• \+ãø√D Á‹uÛTÑ »eTT˝À n\Œø√D≤ìøÏ Á‹ø√D$T‹ ìwüŒ‘·T\Ô T nq>± sine, cosine, tangent, cosecant,
secant eT]j·TT cotangent.
• 300, 450, 600 ø√D≤\≈£î (ìs¡÷|üD\‘√) Á‹ø√D$Trj·T $\Te\T ø£qT>=qT≥.
• Á‹ø√D$T‹ ìwüŒ‘·T\Ô eT<Û´ä dü+ã<Û+ä ` |üPs¡ø£ ø√D≤\≈£î Á‹ø√D$Trj·T ìwüŒ‘·T\Ô T
• Á‹ø√D$T‹ düs¡«düMTø£s¡D≤\T
(i) sin A + cos A = 1, (ii) 1 + tan A = sec A,
2 2 2 2
(iii) cot2A + 1 = cosec2A.
(ii) Á‹ø√D$T‹ ` ø=ìï nqTes¡HÔ ê\T (8 |”]j·T&ÉT)¢
• }s¡ú«ø√DeTT eT]j·TT n<Ûä:ø√DeTT (ìeTïø√D+)
• m‘·T\Ô T ` <ä÷sê\≈£î dü+ã+~Û+∫q ì‘·´J$‘· düsfi¡ d¯ eü Tdü´\T
• ˇø£ düeTdü´˝À ¬s+&ÉT \+ãø√D Á‹uÛÑTC≤\≈£î $T+#·≈£î&ÜqT, }s¡ú« ˝Ò<ë ìeTïø√D≤\T 300, 450
eT]j·TT 600 \≈£î |ü]$T‘·eTj˚T´ Áyê‘· düeTdü´\ kÕ<Ûqä .
VI. øπ Áå ‘·$T‹ (10 |”]j·T&ÉT)¢
(i) ñ|ü]‘·\ yÓX’ Ê˝≤´\T eT]j·TT |òTü q|ü]e÷D≤\T
• @yÓH’ ê s¬ +&ÉT |òTü Hê\ ø£\sTTø£‘√ @s¡Œ&˚ q÷‘·q |òTü Hê\ jÓTTø£ÿ ñ|ü]‘·\ yÓX’ Ê\´eTT, |òTü q|ü]e÷D≤\qT
ø£qT>=qT≥
(nq>± düeT|òüTqeTT, Bs¡È|òüTqeTT, Áø£eTdü÷ú|üeTT, Áø£eT X¯+KTe⁄, >√fi¯eTT eT]j·TT ns¡ú>√fi¯eTT\˝À
@yÓH’ ê s¬ +&ç+{Ï‘√ @s¡Œ&˚$)
• s¬ +&ÉT |òTü Hêø£è‘·T\‘√ @s¡Œ&˚ ˝ÀVü≤|ü⁄ |òTü Hê\qT ø£]–+∫ @s¡Œ&˚ q÷‘·q |òTü Hêø£è‘·T\ |òTü q|ü]e÷D≤ \qT
ø£qT>=qT≥.
VII. <ä‘êÔ+X¯ ìs¡«Vü≤D (25 |”]j·T&ÉT)¢
(i) kÕ+K´ø£ XÊgeTT (15 |”]j·T&ÉT)¢
• n+ø£>D∑ ‘Ï · dü>≥∑ T, eT<Û´ä >∑‘+· , u≤VüQfi¯øe£ TT jÓTTø£ÿ |ü⁄q]«eTs¡Ù (neØZøè£ ‘· <ä‘êÔ+X¯+‘√ bÂq:|ü⁄q´$uÛ≤»q+)
• eØZøè£ ‘· <ä‘êÔ+X¯+q≈£î n+ø£>D∑ ‘Ï · dü>≥∑ T, eT<Û´ä >∑‘e· TT eT]j·TT u≤VüQfi¯øe£ TT\ uÛ≤eq\T
• eØZøè£ ‘· / neØZøè£ ‘· <ä‘êÔ+X¯eTT\≈£î n+ø£>D∑ ‘Ï · dü>≥∑ T, eT<Û´ä >∑‘e· TT eT]j·TT u≤VüQfi¯øe£ TT\qT $$<Ûä
|ü<äΔ‘·T\˝À ø£qT>=qT≥.
• øπ +ÁBj·T kÕúq $\Te\qT $$<Ûä dü+<äsꓤ\˝À $ìjÓ÷–+#·T≥ eT]j·TT dü+∫‘· bÂqí|⁄ü q´πsU≤ ∫Á‘ê\T
(ii) dü+uÛ≤e´‘· (10 |”]j·T&ÉT)¢
• dü+uÛ≤e´‘· uÛ≤eeTT, ìs¡«#·qeTT\ |ü⁄q]«eTs¡Ù
• ì‘·´J$‘· dü+|òüT≥q\≈£î dü+ã+~Û+∫q dü+uÛ≤e´‘· düeTdü´\T (@ø£ dü+|òüT≥q\qT dü$T‘·T\ uÛ≤eq‘√
>∑DÏ+#·T≥)
• |üPs¡ø£ |òTü ≥q\≈£î dü+ã+~Û+∫q uÛ≤eq\T.
nqTã+<Û+ä
>∑D‘Ï · qeT÷Hê $<ÛëHê\T (8 |”]j·T&ÉT)¢
• >∑D‘Ï +· ˝À qeT÷Hê $<ÛëHê\ uÛ≤eq
• ì‘·´J$‘· dü+|òTü ≥q\ Ä<Ûës¡+>± >∑D‘Ï · qeT÷Hê\ s¡÷|üø\£ Œq
(ñ<ë: u≤s¡Te&û,¶ yêsTT<ë\T #Ó*+¢ #·T≥ yÓTTˆˆq$).

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 391

$<ë´Á|eü ÷D≤\T
$<ë´s¡Tú\T ˇø£ ‘·s¡>∑‹˝À @$T #˚j·T>∑\>±*, @+ ‘Ó*dæ j·≠+&Ü˝À düŒwüº+>± $e]+#˚ Á|üe#·Hê\qT Ä ‘·s¡>∑‹
jÓ≠ø£ÿ ª$<ë´Á|üe÷D≤\Tμ n+{≤e≠. á $<ë´ Á|üe÷D≤\qT øÏ+~ $uÛ≤>±\T>± eØZø£]+#·&ÉyÓTÆq~.
>∑DÏ‘·+˝Àì $$<Ûä bÕsƒê´+XÊ\T (Content) <ë«sê øÏ+<ä dü÷∫+∫q $<ë´Á|üe÷D≤\T kÕ~Û+#ê*.
1. düeTkÕ´ kÕ<Ûäq >∑DÏ‘· uÛ≤eq\T, |ü<äΔ‘·T\qT ñ|üjÓ÷–+#·&É+ <ë«sê >∑DÏ‘· düeTdü´\qT
kÕ~Û+#·&+É .
(n) düeTdü´\˝À s¡ø±\T
|üõ˝Ÿ‡, |ü<ädüeTdü´\T, |ü≥düeTdü´\T, <ä‘êÔ+X¯ ne>±Vü≤q ` $X‚¢wüD `
|ü{øºÏ \£ T` Á>±|ò,t |ü<‹Δä Á|üø±s¡+ #˚j≠· düeTdü´\T yÓ≠<ä\>∑T s¡øs£ ø¡ ±\T>±
>∑DÏ‘· düeTdü´\T+{≤s≠.
düeTkÕ´ kÕ<Ûäq ` k˛bÕHê\T
• düeTdü´\qT #·<äe&É+.
• <ä‘êÔ+X¯+˝Àì düe÷#ês¡+ yÓ≠‘êÔìï $&çuÛ≤>±\T>± >∑T]Ô+#·&É+.
• nqTã+<Ûä $&ç uÛ≤>±\qT y˚s¡T#˚j·T&É+.
• düeTdü´ $&ç uÛ≤>±\qT y˚s¡T#˚j·T&É+.
• düeTdü´˝À Ç$T&çj·≠qï >∑DÏ‘· uÛ≤eq\qT ne>±Vü≤q #˚düTø√e&É+.
• ˝…ø£ÿ#˚j·≠ |ü<äΔ‹ $<ÛëHêìï m+|æø£ #˚j·T&É+.
• m+|æø£ #˚dæq |ü<äΔ‹ Á|üø±s¡+ düeTdü´qT kÕ~Û+#·&É+
(Ä) dü+øÏ¢wüº‘·
düeTdü´ jÓ≠ø£ÿ dü+øÏ¢wüº‘· nqTq~ øÏ+~ n+XÊ\ô|’ Ä<Ûës¡|ü&ç ñ+≥T+~.
• nqTdü+<Ûëq+ #˚jT· &É+ (Ç~ nqTdü+<Ûëq+ $uÛ≤>∑+˝À ìs¡«∫+#·Hq ’Ó ~)
• düeTdü´˝À ñqï k˛bÕHê\ dü+K´.
•
düeTdü´˝Àñqï Á|üÁøÏj·T\ dü+K´.
• düeTkÕ´ kÕ<Ûäq≈£î Çe«ã&çq dü+<äs¡“¤ düe÷#ês¡+ @ y˚Ts¡≈£î ñqï~?
• düeTdü´ kÕ~Û+#˚ |ü<äΔ‹ jÓ≠ø£ÿ düVü≤»‘·«+
2. ø±s¡D≤\T #Ó|üŒ&É+ ` ìs¡÷|üD #˚j·T&É+
• <äX¯\ yêØ>± ñqï k˛bÕHê\≈£î ø±s¡D≤\T $e]+#·&É+.
• >∑DÏ‘· kÕ<Ûës¡D°ø£s¡D\qT eT]j·≠ Á|üø£*Œq\qT ns¡ú+ #˚düTø√e&É+
eT]j·≠ #˚j·T>∑\>∑&É+.

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ

 392 10 e ‘·s>¡ ‹∑ >∑D‘Ï +·

• |ü<äΔ‹ì ns¡ú+ #˚düTø√e&É+ eT]j·≠ dü]#·÷&É&É+.

• ‘ê]ÿø£ #·s¡Ã\qT |üØøÏå+#·&É+.
• düeTkÕ´ ìs¡÷|üD˝Àì Áø£e÷ìï ns¡ú+ #˚düTø√e&É+.
• Ä>∑eTq, ì>∑eTq |ü<äΔ‘·T\˝À ‘ê]ÿø£‘·qT $ìjÓ÷–+#·&É+.
• >∑DÏ‘· Á|üø£\Œq\qT |üØøÏå+#·&É+
3. e´ø£Ô|üs¡#·&É+ • >∑DÏ‘· uÛ≤eq\qT, yêø±´\qT #·<äe>∑\>∑&É+ ` sêj·T>∑\>∑&É+.
ñ<ë : 3+4=7
n1+n2= n2+n1
Á‹uÛÑT»e≠˝Àì e∂&ÉTø√De≠\ yÓ≠‘·Ô+ = 180°
• >∑DÏ‘· e´ø°Ôø£s¡D\qT s¡÷bı+~+#·&É+.
• >∑DÏ‘·|üs¡yÓTÆq Ä˝À#·q\qT ‘·q dü«+‘·e÷≥˝À¢ $e]+#·&É+.
ñ<ë:#·‘·Ts¡Ádü+ nqTq~ Hê\T>∑T düe÷q uÛÑTC≤\T eT]j·TT Hê\T>∑T
düe÷q ø√D≤\T >∑\ dü+eè‘· |ü≥+.
• |ü<‹Δä ì $e]+#·&+É . ñ<ë: s¬ +&É+ø¬ \ dü+K´\qT ≈£L&É&+É ˝À yÓTT<ä{Ï
ˇø£≥¢kÕúq+ n+¬ø\qT ≈£L&É&É+/kÕúqe÷]Œ&çì >∑Ts¡TÔ≈£î ‘Ó#·TÃ≈£î+≥÷
• >∑DÏ‘· ‘ê]ÿø£‘·qT $e]+#·&É+.

4. nqTdü+<Ûëq+ • nqTã+<Ûä >∑D‘Ï · bÕsƒ´¡ $uÛ≤>±\qT ` uÛ≤eq\qT nqTdü+<Ûëq+ #˚jT· &É+.

ñ<ë: >∑TDø±sêìøÏ, ≈£L&çø£≈£î— yÓ≠‘·Ô+˝À uÛ≤>±ìøÏ ` ìwüŒ‹ÔøÏ `
uÛ≤>∑V‰ü sêìøÏ— neT]ø£\≈£î ` kÂwüe˜ e≠q≈£î— ø=\‘·\T eT]j·≠ ‘·\e≠/
n+‘·sêfi¯+
• <Ó’q+~q J$‘êìøÏ >∑DÏ‘êìøÏ nqTdü+<Ûëq+ #˚j·T&É+.
• y˚πs«s¡T düã®≈£îº\‘√ >∑DÏ‘êìï nqTdü+<Ûëq+ #˚j·T&É+.
• >∑DÏ‘·+˝ÀH˚ y˚πs«s¡T bÕsƒê´+XÊ\≈£î dü+ã+~Û+∫q uÛ≤eq\qT
nqTdü+<Ûëq+ #˚jT· &É+, ñ<ë: <ä‘êÔ+X¯ùdø£sD¡ eT]j·≠ n+ø£ >∑D‘Ï +· —
n+ø£>∑DÏ‘·+ eT]j·≠ Á|ü<˚X¯+.
• uÛ≤eq\qT, ãVüQfi¯ |ü<äΔ‘·T\≈£î nqTdü+<Ûëq+ #˚j·T&É+
5. <äèo´ø£s¡D eT]j·≠ • |ü{Ϻø£˝Àì düe÷#ês¡+, dü+U≤´πsK, |ü≥∫Á‘·+, ~eTà ∫Á‘·+, 2D-
ÁbÕ‹ì<Ûä´ |üs¡#·&É+ |ü{≤\T, 3D-|ü{≤\T eT]j·≠ |ü{≤\qT #·<äe&É+.
• |ü{Ϻø£\qT s¡÷bı+~+#·&É+, dü+U≤´πsKô|’ #·÷|ü&É+, |ü≥∫Á‘·e≠\T,
~eTà ∫Á‘·e≠\T, |ü{≤\qT ^j·T&É+.

Ä+Á<ÛÁä |ü<X˚ Ÿ Á|üuTÑÛ ‘·«+ yê]#˚ ñ∫‘· |ü+|æDÏ