Exercice 5

Tracer le diagramme de la contrainte normale et de la contrainte tangentielle.

Résultats
Traçons le diagramme de la contrainte normale et de la contrainte tangentielle.

 Réactions aux appuis

 {
∑ F x =0
{
HA =0
∑ F y =0 ⟹ RA+ RB−P−6 q=0
∑ M F =0 −6 RB+ 3 P+18 q=0
A

{
HA =0
⟹ RA+ RB=P+ 6 q
3 P+18 q
RB=
6

{
HA =0
⟹ RA+ RB=100 +12=112 KN
300+36
RB= =56 KN
6

Or on a :

RA=112−RB
RA=112−56
RA=56 KN

Donc :

{
HA=0 KN
RA=56 KN
RB=56 KN

 Sections
 1er section : 0 ≤ x¿ 3 m
 { {
HA + N =0
∑ F x =0 RA−T −q . x=0
On a : ∑ F y =0 ⟹ −x
2

∑ M F =0 2
q+ RA . x−M =0
O

{
N=−HA
T =−qx + RA
⟹ 2
−x
M= q + RA . x
2

{
N=0 KN
T =−2 x +56 (KN )
2
M =−x + 56 x( KN . m)

X(m) 0 3
T(KN) 56 50

M(KN.m) 0 159

 2è section :
 { {
HA + N=0
∑ F x =0 RA−T −P−q . x=0
On a : ∑ F y =0 ⟹ −x
2

∑ M F =0 2
q+ RA . x−P( x −3)−M =0
O

{
N=−HA
T =−qx+ RA−P
⟹ 2
−x
M= q + RA . x −P ( x−3)
2

{
N =0 KN
⟹ T =−2 x +56−100
2
M =−x +56 x−100 x +300

{
N=0 KN
T =−2 x−44(KN )
2
M =−x −44 x+300 (KN . m)

X(m) 3 6
T(KN) 50 56

M(KN.m) 159 0

 Calcul et diagramme de la contrainte normale

 On a yG=
∑ Si avec At= A 1+ A 2+ A 3 etSi= Ai . yGi
At

 A 1=60 × 10=600 cm²

 A 2=10 × 30=300 cm²
 A 3=30× 10=300 cm²
 At=600+300+300=1200 cm²
 S 1= A 1 × yG 1=600 × 45=27000cm3
 S 2= A 2 × yG 2=300 × 25=7500 cm3
 S 3= A 3 × yG3=300 ×5=1500 cm3
S 1+ S 2+S 3 27000+7500+1500
 yG= = =30 cm
At 1200

On a Iz=Iz 1+ Iz 2+ Iz3
3 3
 Iz 1= b h + d 21 × A 1= 60 × 10 +¿ cm4
12 12
3 3
bh 10× 30
 Iz 2=
2
+ d 2 × A 2= + ¿ cm4
12 12
3 3
bh 30 ×10
 Iz 3=
2
+d 3 × A 3= +¿ cm4
12 12
 Iz=140000+ 30000+190000=360000 cm4=36.10−4 m4

Calcul de la contrainte normale

−Mmax × y
σ=
Iz

On à x=3m, M=159 KN.m ; alors

−159× y
σ= −4
36.10

σ =−44 , 17. y avec y en m

Diagramme de la contrainte normale

Calcul et diagramme de la contrainte tangentielle

Calcul de la contrainte en chaque point

T max × S z
τ=
I z×b

On a Tmax=56 KN

A ‘1’ on a :
τ 0=0 KN/mm²

A ‘2’ on a :
T max × S z 1
τ1= avec S z 1= A 1× d 1et b=60
I z ×b
56 × 600× 15
τ1= 4
=0,023 KN /mm ²
36.10 ×60

A ‘3’ on a :
 T max × S z 2
τ 2= avec S z 2= A 1× d 1 et b=30
I z ×b
56 × 600× 15
τ 2= 4
=0,047 KN /mm ²
36.10 ×30

A ‘4’ on a :
τ 3 =0 KN/mm²

T max × S z 4
A ‘5’ on a : τ 4= I z ×b
avec S z 4 =A 3× d 3 et b=30

56 ×300 ×(−25)
τ 4= =−0,039 KN /mm ²
36.104 × 30

A ‘6’ on a :
T max × S z 5
τ5= avec S z 5= A 3 × d 3 et b=10
Iz×b

56 × 300×(−25)
τ5= =−0,117 KN /mm ²
36.10 4 ×10

A’7’ on a :
 A 1=60 × 10=600 cm²
 A 2 =10 ×10=100 cm²
'

 At 1=600+100=700 cm²
 S 1'= A 1 × yG 1 '=600 × 25=15000 cm3
 S 2'= A 2 × yG 2 '=300× 5=1500 cm3
S 1' +S 2' 15000+1500
 yG1= = =23 , 57 cm
At 1 700

Alors
T max × S z 6
τ 6= avec S z 6 =At 1 ×d 1 ' et b=10
Iz×b

56 × 700 ×(23 ,57−30)

τ 6= =−0 , 07 KN /mm ²
36.10 4 × 10
A’8’ on a :
 A 3=30× 10=300 cm²
 A 2 =20 ×10=200 cm²
''

 At 2=200+300=500 cm²
 S 2'= A 2 ' ' × yG 2 ' ' '=600 ×10=6000cm3
 S 3 '= A 3 × yG3 '=300 ×15=4500 cm3
S 2' '+ S 3 ' 6000+4500
 yG1= = =21 cm
At 2 500

Alors
T max × S z 6
τ 6= avec S z 6 =At 1 ×d 1 ' et b=10
Iz×b

56 × 500 ×(21−30)
τ 6= =−0 , 07 KN /mm ²
36.10 4 × 10

Je compte sur toi Roro