빈 제품

수학에서 빈 제품, 즉 무효 제품 또는 빈 제품은 어떤 요소도 곱하지 않은 결과물이다. 빈 합계(숫자를 추가하지 않음)가 관습 0에 의한 것이거나 부가적인 정체성에 의한 것과 마찬가지로, 그것은 관례에 의한 것이거나(해당되는 곱셈 연산에 대한 정체성이 있다고 가정)에 의한 것이다.^[1][2][3][4] 숫자가 함축되면 빈 제품이 하나가 된다.

빈 제품이라는 용어는 산술 연산을 논할 때 위의 의미로 가장 많이 쓰인다. 그러나 이 용어는 컴퓨터 프로그래밍의 이론적 교차점, 범주형 제품 및 제품을 논할 때 가끔 사용된다. 이 용어는 아래에 설명되어 있다.

무효산출물

정의

a₁, a, a₃, ...를 숫자의 순서가 되게 하고, let let as a, a₂, a, all...

${\displaystyle P_{m}=\prod _{i=1}a_{i}=a_{1}{1}\cdots a_{m}}}$

수열의 첫 번째 m 원소의 산물이다. 그러면

${\displaystyle P_{m}=P_{m-1}a_{m}}}$

모든 m = 1, 2, ...에 대해

합계 $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle m}$의 상한 값이 합계 지수 하한보다 작으면 인덱스가 '뒤로 이동'해야 한다. 즉, 0 항목 위로 실행되므로 $P{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$은 1 ${\displaystyle$ 1$}$로 정의된다$.$

인자가 0인 "제품"을 허용하면 많은 수학 공식에서 고려해야 할 경우의 수가 감소한다. 그러한 "제품"은 알고리즘뿐만 아니라 유도 증명에서도 자연스러운 출발점이다. 이러한 이유로, "빈 제품은 하나"라는 관습은 수학이나 컴퓨터 프로그래밍에서 흔히 행해지는 관습이다.

빈 제품 정의 관련성

빈 제품의 개념은 숫자 0과 빈 집합이 유용한 것과 같은 이유로 유용하다. 숫자 0과 빈 집합은 꽤 재미없는 개념을 나타내는 것처럼 보이지만, 그들의 존재는 많은 과목의 훨씬 더 짧은 수학적 표현을 허용한다.

예를 들어, 빈 제품 0! = 1(영(0의 요인) 및⁰ x = 1은 테일러 시리즈 표기법을 단축한다(x = 0에 대한 자세한 내용은 0부터 0까지의 검정력 참조). 마찬가지로, M이 n × n 행렬이라면⁰, M은 n × n 아이덴티티 행렬로, 선형 지도를 0회 적용하면 아이덴티티 맵 적용과 동일한 효과가 있다는 사실을 반영한다.

또 다른 예로, 산술의 기본 정리는 모든 양의 정수는 프라임의 산물로서 독특하게 쓰여질 수 있다고 말한다. 그러나 0, 1인자만 있는 제품을 허용하지 않으면 정리(및 그 증명)가 길어진다.^[5][6]

수학에서 빈 제품을 사용하는 더 많은 예는 이항정리(모든 x에 대해⁰ x = 1을 가정하고 함축한다), 스털링 숫자, 쾨니히의 정리, 이항형식, 이항계열, 차이 연산자, 포하머 기호에서 찾을 수 있다.

로그 및 지수

로그는 제품을 합계에 매핑하므로:

${\displaystyle \ln \prod _{i}x_{i}=\sum _{i}\ln x_{i}}}$

그들은 빈 상품을 빈 금액에 매핑한다.

반대로, 지수함수 맵은 다음과 같은 제품을 요약한다.

${\displaystyle e^{\sum _{i}x_{i}}=\prod _{i}e^{x_{i}}}}$

그리고 빈 금액을 빈 제품에 매핑한다.

귀무리 카르테시안 제품

데카르트 제품의 일반적인 정의를 고려하십시오.

${\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}=\left\{g:I\to \bigcup _{i\in I}X_{i}\mid \forall i\g(i)\in X_{i}\right\}.}$

내가 비어 있는 경우, 그러한 g는 빈 $함수{\displaystyle {}_{}}$ f$∅{\$$\times {\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle \$$times$$\varnote \$$varnoth$ $\}$의 고유한 하위 집합으로$$, 함수 ${\displaystyle \to }$ →${\displaystyle \varnothing }$$${\$displaysty \varnothernothernothernothernothernothernothernothernothernothernothernothernothernothernother.$$\varnothing {\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle \varnothing }$= ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle \varnoth$ \$varnothing$\varnothing \$varnothing }$이(가)

${\displaystyle \prod _{\varnothing _{}=\varnothing \varnothing \rift\{f_{\varnothing \}}}$

따라서 세트가 없는 데카르트 제품의 카디널리티는 1이다.

좀 더 친숙한 n투플 해석에 의하면

${\displaystyle \prod _{\varnothing }{}=\{()\}}$

즉, 빈 튜플이 들어 있는 싱글톤 세트. 두 가지 표현에서 모두 빈 제품은 카디널리티 1을 가지며, 0 입력에서 0 출력을 생성하는 모든 방법의 수는 1이다.

무효 범주형 제품

어떤 범주에서든 빈 패밀리의 생산물은 그 범주의 말단 객체다. 이것은 제품의 한계 정의를 사용하여 증명할 수 있다. n-폴드 범주형 제품은 n개의 객체를 가진 이산형 범주가 제공한 도표에 대한 한계로 정의할 수 있다. 그런 다음 빈 범주에 대해 한계로 빈 제품이 주어지는데, 이 범주가 존재하는 경우 이 범주의 말단 개체인 것이다. 이 정의는 위와 같은 결과를 주도록 전문적으로 기술되어 있다. 예를 들어 집합의 범주에서 범주형 제품은 통상적인 데카르트 제품이며, 터미널 객체는 싱글톤 집합이다. 그룹 범주에서 범주형 제품은 그룹의 카르테시안 제품이며, 터미널 개체는 하나의 요소를 가진 사소한 그룹이다. 빈 제품의 일반적인 산술적 정의를 얻기 위해서는 우리는 유한 집합의 범주에서 빈 제품의 분류를 취해야만 한다.

한 달에 한 번, 빈 가족의 공동 상속은 초기 대상이다. 무효 범주형 제품 또는 결합물은 주어진 범주에는 존재하지 않을 수 있다. 예를 들어, 필드 범주에는 둘 다 존재하지 않는다.

논리적으로

고전적 논리는 술어 미적분학에서 보편적 정량화에 일반화되어 있는 접속사의 작동을 정의하는데, 우리는 직관적으로 1과 0으로 참과 거짓을 식별하고 우리의 접속사가 통상적인 승수로 작용하기 때문에 논리 곱셈으로 널리 알려져 있다. 승수는 임의의 입력 수를 가질 수 있다. 입력이 0인 경우, 우리는 true와 동일한 빈 접속사를 가지고 있다.

이것은 논리의 또 다른 개념인 공허한 진리와 관련이 있는데, 이것은 우리에게 빈 물체 집합이 어떤 속성을 가질 수 있다는 것을 말해준다. 접속사(일반적으로 논리의 일부로서)가 1보다 작거나 같은 값을 처리하는 방식을 설명할 수 있다. 이는 접속사가 길수록 0으로 끝날 확률이 높다는 것을 의미한다. 커넥터는 단지 명제를 확인하고 명제 중 하나가 거짓으로 평가되는 즉시 0(또는 거짓)을 반환한다. 결합 제안의 수를 줄이면 수표를 통과하여 1과 함께 지낼 수 있는 기회가 많아진다. 특히, 0개의 시험이나 확인할 구성원이 있다면 그 어느 것도 실패할 수 없기 때문에 기본적으로 어떤 제안이나 구성원 재산에 관계없이 항상 성공해야 한다.

컴퓨터 프로그래밍에서

Python과 같은 많은 프로그래밍 언어는 숫자 목록과 임의의 수의 파라미터를 허용하는 함수의 직접적인 표현을 허용한다. 그러한 언어가 목록에 있는 모든 숫자의 곱을 반환하는 함수를 가지고 있다면, 대개 다음과 같이 작동한다.

>>> 수학.으르렁찌렁 찌르다([2, 3, 5]) 30 >>> 수학.으르렁찌렁 찌르다([2, 3]) 6 >>> 수학.으르렁찌렁 찌르다([2]) 2 >>> 수학.으르렁찌렁 찌르다([]) 1 

(참고하십시오. prod 다음에서 사용할 수 없음 math 버전 3.8 이전 모듈)

이 협약은 "목록 길이가 1일 경우" 또는 "목록 길이가 0일 경우"와 같은 특별한 경우를 특수 사례로 코딩하지 않아도 된다.

곱셈은 인픽스 연산자여서 이진 연산자여서 빈 제품의 표기법을 복잡하게 만든다. 일부 프로그래밍 언어는 다양한 기능을 구현하여 이를 처리한다. 예를 들어, 완전히 괄호화된 Lisp 언어의 접두사 표기법은 무효 함수에 대해 자연 표기법을 발생시킨다.

(* 2 2) 8로 평가(* 2 2) 4로 평가(* 2)로 평가) 2로 평가(* 2) 1로 평가 

참고 항목

• 반복된 이진 연산
• 빈 함수

참조

외부 링크

• 빈 제품에 대한 PlanetMath 기사