от Уикипедия, свободната енциклопедия
Лъч през единичната хипербола
x
2
−
y
2
=
1
{\displaystyle \scriptstyle x^{2}\ -\ y^{2}\ =\ 1}
(
cosh
a
,
sinh
a
)
{\displaystyle \scriptstyle (\cosh \,a,\,\sinh \,a)}
a
{\displaystyle \scriptstyle a}
x
{\displaystyle \scriptstyle x}
x
{\displaystyle \scriptstyle x}
Хиперболичната функция е въведена по аналогия с познатите от елементарната геометрия тригонометрични функции , чрез замяна на реалния аргумент с чисто имагинерен . Тригонометричните функции се наричат още 'кръгови', тъй като за тях е в сила
cos
2
(
x
)
+
sin
2
(
x
)
=
1
{\displaystyle \cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)=1}
cosh
2
(
x
)
−
sinh
2
(
x
)
=
1
{\displaystyle \cosh ^{2}(x)-\sinh ^{2}(x)=1}
хипербола , като променливите са съответните означения за хиперболичен косинус и синус . Графиката на хиперболата се дават в табличен вид произволни стойности (-∞;-1) и (1;+∞). Графиката на тази функция никога не пресича О, Ox или Oy, в координатната система . Препоръчително е за x да се изберат 3 отрицателни числа и същите 3 числа обаче с положителен знак и в обратен ред. Примерно -3; -2; -1; 1; 2; 3.
sinh , cosh и tanh csch , sech и coth (a) cosh(x ) е средно аритметичното на ex и e−x (b) sinh(x ) е половината разлика на ex и e−x Хиперболичните функции са:
sinh
x
=
e
x
−
e
−
x
2
=
e
2
x
−
1
2
e
x
=
1
−
e
−
2
x
2
e
−
x
{\displaystyle \sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}-1}{2e^{x}}}={\frac {1-e^{-2x}}{2e^{-x}}}}
cosh
x
=
e
x
+
e
−
x
2
=
e
2
x
+
1
2
e
x
=
1
+
e
−
2
x
2
e
−
x
{\displaystyle \cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}+1}{2e^{x}}}={\frac {1+e^{-2x}}{2e^{-x}}}}
tanh
x
=
sinh
x
cosh
x
=
e
x
−
e
−
x
e
x
+
e
−
x
=
{\displaystyle \tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}=}
=
e
2
x
−
1
e
2
x
+
1
=
1
−
e
−
2
x
1
+
e
−
2
x
{\displaystyle ={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}={\frac {1-e^{-2x}}{1+e^{-2x}}}}
Хиперболичен котангенс:
x
≠
0
{\displaystyle x\not =0}
coth
x
=
cosh
x
sinh
x
=
e
x
+
e
−
x
e
x
−
e
−
x
=
{\displaystyle \coth x={\frac {\cosh x}{\sinh x}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}=}
=
e
2
x
+
1
e
2
x
−
1
=
1
+
e
−
2
x
1
−
e
−
2
x
{\displaystyle ={\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}={\frac {1+e^{-2x}}{1-e^{-2x}}}}
sech
x
=
1
cosh
x
=
2
e
x
+
e
−
x
=
{\displaystyle \operatorname {sech} \,x={\frac {1}{\cosh x}}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}=}
=
2
e
x
e
2
x
+
1
=
2
e
−
x
1
+
e
−
2
x
{\displaystyle ={\frac {2e^{x}}{e^{2x}+1}}={\frac {2e^{-x}}{1+e^{-2x}}}}
Хиперболичен косеканс:
x
≠
0
{\displaystyle x\not =0}
csch
x
=
1
sinh
x
=
2
e
x
−
e
−
x
=
{\displaystyle \operatorname {csch} \,x={\frac {1}{\sinh x}}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}=}
=
2
e
x
e
2
x
−
1
=
2
e
−
x
1
−
e
−
2
x
{\displaystyle ={\frac {2e^{x}}{e^{2x}-1}}={\frac {2e^{-x}}{1-e^{-2x}}}}
Хиперболичните функции могат да бъдат изведени и в комплексна форма:
sinh
x
=
−
i
sin
(
i
x
)
{\displaystyle \sinh x=-i\sin(ix)}
cosh
x
=
cos
(
i
x
)
{\displaystyle \cosh x=\cos(ix)}
tanh
x
=
−
i
tan
(
i
x
)
{\displaystyle \tanh x=-i\tan(ix)}
coth
x
=
i
cot
(
i
x
)
{\displaystyle \coth x=i\cot(ix)}
sech
x
=
sec
(
i
x
)
{\displaystyle \operatorname {sech} x=\sec(ix)}
csch
x
=
i
csc
(
i
x
)
{\displaystyle \operatorname {csch} x=i\csc(ix)}
където
i
{\displaystyle i}
имагинерната единица със свойство
i
2
=
−
1
{\displaystyle i^{2}=-1}
Комплексните форми в по-горните определения се извеждат от формулата на Ойлер .
Може да бъде доказано, че площта под кривата на cosh (x ) в краен интервал е винаги равна на дължината на дъгата, съответстваща на този интервал:[ 1]
площ
=
∫
a
b
cosh
(
x
)
d
x
=
∫
a
b
1
+
(
d
d
x
cosh
(
x
)
)
2
d
x
=
дължина на дъгата
{\displaystyle {\text{площ}}=\int _{a}^{b}{\cosh {(x)}}\ dx=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+\left({\frac {d}{dx}}\cosh {(x)}\right)^{2}}}\ dx={\text{дължина на дъгата}}}
Хиперболичният тангенс е решението на диференциалното уравнение
f
′
=
1
−
f
2
{\displaystyle f'=1-f^{2}}
краева задача :[ 2]
1
2
f
″
=
f
3
−
f
;
f
(
0
)
=
f
′
(
∞
)
=
0
{\displaystyle {\frac {1}{2}}f''=f^{3}-f;\quad f(0)=f'(\infty )=0}
Нормативен контрол