Гиперболические функции

Гиперболи́ческие фу́нкции — семейство элементарных функций, выражающихся через экспоненту и тесно связанных с тригонометрическими функциями.

Определение

$\operatorname {sh} x$

$\operatorname {ch} x$

Гиперболические функции задаются следующими формулами:

• гиперболический синус:

$\operatorname {sh} x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}$

(в англоязычной литературе обозначается $\sinh x$)

• гиперболический косинус:

$\operatorname {ch} x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}$

(в англоязычной литературе обозначается $\cosh x$)

• гиперболический тангенс:

$\operatorname {th} x={\frac {\operatorname {sh} x}{\operatorname {ch} x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}$

(в англоязычной литературе обозначается $\tanh x$)

• гиперболический котангенс:

$\operatorname {cth} x={\frac {1}{\operatorname {th} x}}={\frac {\operatorname {ch} x}{\operatorname {sh} x}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}$

(в англоязычной литературе обозначается $\coth x$)

• гиперболический секанс:

$\operatorname {sch} x={\frac {1}{\operatorname {ch} x}}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}$

Гиперболический секанс иногда также обозначается как $\operatorname {sech} x$.

• гиперболический косеканс:

$\operatorname {csch} x={\frac {1}{\operatorname {sh} x}}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}$

Геометрическое определение

Определение гиперболических функций через гиперболу

Параметризация гиперболического синуса (анимация).

Ввиду соотношения $\operatorname {ch} ^{2}t-\operatorname {sh} ^{2}t=1$ гиперболические функции дают параметрическое представление гиперболы $x^{2}-y^{2}=1$ ($x=\operatorname {ch} t$, $y=\operatorname {sh} t$). При этом аргумент $t=2S$, где $S$ — площадь криволинейного треугольника $OQR$, взятая со знаком «+», если сектор лежит выше оси $OX$, и «−» в противоположном случае. Очевидно, что и гиперболические функции определяются через этот параметр, например, уравнения гиперболического синуса в параметрической форме: $x=t,y=f(t)$, где $f(t)$ — ордината точки гиперболы, соответствующей вершине криволинейного треугольника площадью $S=t/2$. Это определение аналогично определению тригонометрических функций через единичную окружность, которое тоже можно построить подобным образом.

Свойства

Связь с тригонометрическими функциями

Гиперболические функции выражаются через тригонометрические функции от мнимого аргумента.

$\operatorname {sh} x=-i\sin(ix),\quad \operatorname {ch} x=\cos(ix),\quad \operatorname {th} x=-i\operatorname {tg} (ix)$.

$\operatorname {sh} (ix)=i\sin x,\quad \operatorname {ch} (ix)=\cos x,\quad \operatorname {th} (ix)=i\operatorname {tg} x$.

Функция Гудермана связывает тригонометрические функции и гиперболические функции без привлечения комплексных чисел.

Важные соотношения

1. $\operatorname {ch} ^{2}x-\operatorname {sh} ^{2}x=1.$

Доказательство

$\operatorname {ch} ^{2}x-\operatorname {sh} ^{2}x=\left({\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}\right)^{2}={\frac {(e^{x}+e^{-x})^{2}-(e^{x}-e^{-x})^{2}}{4}}={\frac {e^{2x}+2+e^{-2x}-e^{2x}+2-e^{-2x}}{4}}={\frac {2+2}{4}}=1$

1. Чётность/нечётность:
   1. $\operatorname {sh} (-x)=-\operatorname {sh} x.$
   2. $\operatorname {ch} (-x)=\operatorname {ch} x.$
   3. $\operatorname {th} (-x)=-\operatorname {th} x.$
   4. $\operatorname {cth} (-x)=-\operatorname {cth} x.$
   5. $\operatorname {sch} (-x)=\operatorname {sch} x.$
   6. $\operatorname {csch} (-x)=-\operatorname {csch} x.$
2. Формулы сложения:
   1. $\operatorname {sh} (x\pm y)=\operatorname {sh} x\,\operatorname {ch} y\pm \operatorname {sh} y\,\operatorname {ch} x.$
   2. $\operatorname {ch} (x\pm y)=\operatorname {ch} x\,\operatorname {ch} y\pm \operatorname {sh} y\,\operatorname {sh} x.$
   3. $\operatorname {th} (x\pm y)={\frac {\operatorname {th} x\pm \operatorname {th} y}{1\pm \operatorname {th} x\,\operatorname {th} y}}.$
   4. $\operatorname {cth} (x\pm y)={\frac {1\pm \operatorname {cth} x\,\operatorname {cth} y}{\operatorname {cth} x\pm \operatorname {cth} y}}.$
3. Формулы двойного аргумента:
   1. $\operatorname {sh} 2x=2\operatorname {ch} x\,\operatorname {sh} x={\frac {2\,\operatorname {th} x}{1-\operatorname {th} ^{2}x}}.$
   2. $\operatorname {ch} 2x=\operatorname {ch} ^{2}x+\operatorname {sh} ^{2}x=2\operatorname {ch} ^{2}x-1=1+2\operatorname {sh} ^{2}x={\frac {1+\operatorname {th} ^{2}x}{1-\operatorname {th} ^{2}x}}.$
   3. $\operatorname {th} 2x={\frac {2\operatorname {th} x}{1+\operatorname {th} ^{2}x}}.$
   4. $\operatorname {cth} 2x={\frac {1}{2}}(\operatorname {th} x+\operatorname {cth} x).$
   5. $\operatorname {th} x={\frac {\operatorname {ch} 2x-1}{\operatorname {sh} 2x}}={\frac {\operatorname {sh} 2x}{1+\operatorname {ch} 2x}}.$
   6. $\operatorname {ch} 2x\pm \operatorname {sh} 2x=(\operatorname {sh} x\pm \operatorname {ch} x)^{2}.$
4. Формулы кратных аргументов:
   1. $\operatorname {sh} 3x=4\operatorname {sh} ^{3}x+3\operatorname {sh} x.$
   2. $\operatorname {ch} 3x=4\operatorname {ch} ^{3}x-3\operatorname {ch} x.$
   3. $\operatorname {th} 3x={\frac {3+\operatorname {th} ^{2}x}{1+3\operatorname {th} ^{2}x}}.$
   4. $\operatorname {sh} 5x=16\operatorname {sh} ^{5}x+20\operatorname {sh} ^{3}x+5\operatorname {sh} x.$
   5. $\operatorname {ch} 5x=16\operatorname {ch} ^{5}x-20\operatorname {ch} ^{3}x+5\operatorname {ch} x.$
   6. $\operatorname {th} 5x=\operatorname {th} x{\frac {\operatorname {th} ^{4}x+10\operatorname {th} ^{2}x+5}{5\operatorname {th} ^{4}x+10\operatorname {th} ^{2}x+1}}.$
5. Произведения:
   1. $\operatorname {sh} x\,\operatorname {sh} y={\frac {\operatorname {ch} (x+y)-\operatorname {ch} (x-y)}{2}}.$
   2. $\operatorname {sh} x\,\operatorname {ch} y={\frac {\operatorname {sh} (x+y)+\operatorname {sh} (x-y)}{2}}.$
   3. $\operatorname {ch} x\,\operatorname {ch} y={\frac {\operatorname {ch} (x+y)+\operatorname {ch} (x-y)}{2}}.$
   4. $\operatorname {th} x\,\operatorname {th} y={\frac {\operatorname {ch} (x+y)-\operatorname {ch} (x-y)}{\operatorname {ch} (x+y)+\operatorname {ch} (x-y)}}.$
6. Суммы:
   1. $\operatorname {sh} x\pm \operatorname {sh} y=2\operatorname {sh} {\frac {x\pm y}{2}}\operatorname {ch} {\frac {x\mp y}{2}}.$
   2. $\operatorname {ch} x+\operatorname {ch} y=2\operatorname {ch} {\frac {x+y}{2}}\operatorname {ch} {\frac {x-y}{2}}.$
   3. $\operatorname {ch} x-\operatorname {ch} y=2\operatorname {sh} {\frac {x+y}{2}}\operatorname {sh} {\frac {x-y}{2}}.$
   4. $\operatorname {th} x\pm \operatorname {th} y={\frac {\operatorname {sh} (x\pm y)}{\operatorname {ch} x\,\operatorname {ch} y}}.$
7. Формулы понижения степени:
   1. $\operatorname {ch} ^{2}{\frac {x}{2}}={\frac {\operatorname {ch} x+1}{2}}.$
   2. $\operatorname {sh} ^{2}{\frac {x}{2}}={\frac {\operatorname {ch} x-1}{2}}.$
8. Разложение на множители:
   1. $2(1+\operatorname {ch} x)=(1+{e^{x}})(1+{e^{-x}})=1+{e^{x}}+1+{e^{-x}}$
   2. $2(1-\operatorname {ch} x)=(1-{e^{x}})(1-{e^{-x}})=1-{e^{x}}+1-{e^{-x}}$
9. Производные:

Функция $f(x)$	Производная $f'(x)$	Примечание
$\mathrm {sh} \ x$	$\mathrm {ch} \ x$	Доказательство $(sh(x))'=\left({\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}\right)'={\frac {1}{2}}\cdot (e^{x}-e^{-x})'={\frac {1}{2}}\cdot (e^{x}-e^{-x}\cdot (-1))={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}=ch(x)$
$\mathrm {ch} \ x$	$\mathrm {sh} \ x$	Доказательство $(ch(x))'=\left({\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}\right)'={\frac {1}{2}}\cdot (e^{x}+e^{-x})'={\frac {1}{2}}\cdot (e^{x}+e^{-x}\cdot (-1))={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}=sh(x)$
$\mathrm {th} \ x$	${\frac {1}{\mathrm {ch} ^{2}\ x}}$	Доказательство $(th(x))'=\left({\frac {sh(x)}{ch(x)}}\right)'={\frac {(sh(x))'\cdot ch(x)-sh(x)\cdot (ch(x))'}{ch^{2}(x)}}={\frac {ch(x)\cdot ch(x)-sh(x)\cdot sh(x)}{ch^{2}(x)}}={\frac {ch^{2}(x)-sh^{2}(x)}{ch^{2}(x)}}={\frac {1}{ch^{2}(x)}}$
$\mathrm {cth} \ x$	$-{\frac {1}{\mathrm {sh} ^{2}\ x}}$	Доказательство $(cthx)'=\left({\frac {ch(x)}{sh(x)}}\right)'={\frac {(ch(x))'\cdot sh(x)-ch(x)\cdot (sh(x))'}{sh^{2}(x)}}={\frac {sh(x)\cdot sh(x)-ch(x)\cdot ch(x)}{sh^{2}(x)}}={\frac {sh^{2}(x)-ch^{2}(x)}{sh^{2}(x)}}=-{\frac {1}{sh^{2}(x)}}$
$\mathrm {sch} \ x$	$-{\frac {sh(x)}{ch^{2}(x)}}$	Доказательство $(sch(x))'=\left({\frac {1}{ch(x)}}\right)'={\frac {(1)'\cdot ch(x)-1\cdot (ch(x))'}{ch^{2}(x)}}=-{\frac {sh(x)}{ch^{2}(x)}}$
$\mathrm {csch} \ x$	$-{\frac {ch(x)}{sh^{2}(x)}}$	Доказательство $(csch(x))'=\left({\frac {1}{sh(x)}}\right)'={\frac {(1)'\cdot sh(x)-1\cdot (sh(x))'}{sh^{2}(x)}}=-{\frac {ch(x)}{sh^{2}(x)}}$

1. Интегралы:

   См. также: Список интегралов от гиперболических функций, Список интегралов от обратных гиперболических функций

   1. $\int \operatorname {sh} x\,dx=\operatorname {ch} x+C.$
   2. $\int \operatorname {ch} x\,dx=\operatorname {sh} x+C.$
   3. $\int \operatorname {th} x\,dx=\ln \operatorname {ch} x+C.$
   4. $\int {\frac {1}{\operatorname {ch} ^{2}x}}\,dx=\operatorname {th} x+C.$
   5. $\int {\frac {1}{\operatorname {sh} ^{2}x}}\,dx=-\operatorname {cth} x+C.$
   6. $\operatorname {sh} x=\int \limits _{0}^{x}\operatorname {ch} tdt.$
   7. $\operatorname {ch} x=1+\int \limits _{0}^{x}\operatorname {sh} tdt.$
   8. $\operatorname {th} x=\int \limits _{0}^{x}{\frac {dt}{\operatorname {ch} ^{2}t}}.$
2. Представление через гиперболический тангенс половинного угла:
   1. $\operatorname {sh} x={\frac {2\operatorname {th} {\frac {x}{2}}}{1-\operatorname {th} ^{2}{\frac {x}{2}}}}$
   2. $\operatorname {ch} x={\frac {1+\operatorname {th} ^{2}{\frac {x}{2}}}{1-\operatorname {th} ^{2}{\frac {x}{2}}}}$
   3. $\operatorname {th} x={\frac {2\operatorname {th} {\frac {x}{2}}}{1+\operatorname {th} ^{2}{\frac {x}{2}}}}$
   4. $\operatorname {cth} x={\frac {1+\operatorname {th} ^{2}{\frac {x}{2}}}{2\operatorname {th} {\frac {x}{2}}}}$
   5. $\operatorname {sch} x={\frac {1-\operatorname {th} ^{2}{\frac {x}{2}}}{1+\operatorname {th} ^{2}{\frac {x}{2}}}}$
   6. $\operatorname {csch} x={\frac {1-\operatorname {th} ^{2}{\frac {x}{2}}}{2\operatorname {th} {\frac {x}{2}}}}$

Неравенства

Для всех $x\in \mathbb {R}$ выполняется:

1. $0\leq \operatorname {ch} x-1\leq |\operatorname {sh} x|<\operatorname {ch} x$
2. $|\operatorname {th} x|<1$

Разложение в степенные ряды

$\operatorname {sh} \,x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}$

$\operatorname {ch} \,x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}$

$\operatorname {th} \,x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\ldots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\quad |x|<{\frac {\pi }{2}}$

$\operatorname {cth} \,x={\frac {1}{x}}+{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}+{\frac {2x^{5}}{945}}+\ldots ={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\quad 0<|x|<\pi$ (Ряд Лорана)

$\operatorname {sch} \,x={\frac {1}{\operatorname {ch} \,x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{2n}\,x^{2n}}{(2n)!}}$

Здесь $B_{2n}$ — числа Бернулли, $E_{2n}$ — числа Эйлера.

Графики

sh(x), ch(x), th(x), cth(x)

sh, ch и th

csch, sech и cth

Аналитические свойства

Гиперболический синус и гиперболический косинус аналитичны во всей комплексной плоскости, за исключением существенно особой точки на бесконечности. Гиперболический тангенс аналитичен везде, кроме полюсов в точках $z=i\pi (n+1/2)$, где $n$ — целое. Вычеты во всех этих полюсах равны единице. Гиперболический котангенс аналитичен везде, кроме точек $z=i\pi n$, вычеты его в этих полюсах также равны единице.

Обратные гиперболические функции

Основная статья: Обратные гиперболические функции

Иначе называются ареа-функциями: к названиям соответствующих гиперболических функций добавляется префикс «ареа-» — от лат. «area» — «площадь». Главные значения ареа-функций определяются следующими выражениями.

• $\operatorname {arsh} x=\ln(x+{\sqrt {x^{2}+1}})$ — обратный гиперболический синус, ареа-синус.
• $\operatorname {arch} x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right);x\geq 1$ — обратный гиперболический косинус, ареа-косинус.
• $\operatorname {arth} x=\ln {\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{1-x}}={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+x}{1-x}};|x|<1$ — обратный гиперболический тангенс, ареа-тангенс.
• $\operatorname {arcth} x=\ln {\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x-1}}={\frac {1}{2}}\ln {\frac {x+1}{x-1}};|x|>1$ — обратный гиперболический котангенс, ареа-котангенс.
• $\operatorname {arsch} x=\ln {\frac {1+{\sqrt {1-x^{2}}}}{x}};0<x\leq 1$ — обратный гиперболический секанс, ареа-секанс. Заметим, что решение $y=-\ln {\frac {1+{\sqrt {1-x^{2}}}}{x}}$ также удовлетворяет уравнению $\operatorname {sch} y=x$, однако главные значения ареа-функций являются однозначными функциями.
• $\operatorname {arcsch} x=\ln {\frac {1+\operatorname {sgn} x{\sqrt {1+x^{2}}}}{x}}=\left\{{\begin{array}{l}\ln {\frac {1-{\sqrt {1+x^{2}}}}{x}},\quad x<0\\\ln {\frac {1+{\sqrt {1+x^{2}}}}{x}},\quad x>0\end{array}}\right.$ — обратный гиперболический косеканс, ареа-косеканс.

Графики

arsh(x), arch(x), arth(x), arcth(x)

Связь между некоторыми обратными гиперболическими и обратными тригонометрическими функциями:

$\operatorname {Arsh} x=-i\operatorname {Arcsin} (-ix),$

$\operatorname {Arsh} (ix)=i\operatorname {Arcsin} x,$

$\operatorname {Arcsin} x=-i\operatorname {Arsh} (ix),$

$\operatorname {Arcsin} (ix)=-i\operatorname {Arsh} (-x),$

$\operatorname {Arccos} \ x=-i\ \operatorname {Arch} \ x,$

где i — мнимая единица.

Эти функции имеют следующее разложение в ряд:

$\operatorname {arsh} x=x-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{7}}{7}}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n+1}}{2n+1}},\quad \left\vert x\right\vert <1;$

$\operatorname {arch} x=\ln(2x)-\left(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-6}}{6}}+\ldots \right)=\ln(2x)-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{-2n}}{2n}},\quad x>1;$

$\operatorname {arth} x=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}},\quad |x|<1.$

В зарубежной литературе обратные гиперболические функции часто обозначают посредством знака минус первой степени: например, $\operatorname {Arth} \,x$ пишут как $\operatorname {tanh} ^{-1}x$ (причём $(\operatorname {tanh} \,x)^{-1}$ обозначает другую функцию — $\operatorname {cth} \,x$), и т. д.

История

Первое появление гиперболических функций историки обнаружили в трудах английского математика Абрахама де Муавра (1707, 1722). Современное определение и обстоятельное их исследование выполнил Винченцо Риккати в 1757 году («Opusculorum», том I), он же предложил их обозначения: $\operatorname {sh}$, $\operatorname {ch}$. Риккати исходил из рассмотрения единичной гиперболы (см. рисунок в разделе #Определение).

Независимое открытие и дальнейшее исследование свойств гиперболических функций было проведено Иоганном Ламбертом (1768), который установил широкий параллелизм формул обычной и гиперболической тригонометрии. Н. И. Лобачевский впоследствии использовал этот параллелизм, пытаясь доказать непротиворечивость неевклидовой геометрии, в которой круговая тригонометрия заменяется на гиперболическую.

В обозначениях гиперболических функций утвердился некоторый разнобой. Например, в Энциклопедии Брокгауза и Эфрона используются обозначения $\operatorname {sinhyp}$, $\operatorname {coshyp}$, в русскоязычной литературе закрепились обозначения $\operatorname {sh} ,\operatorname {ch}$, в англоязычной закрепились $\sinh ,\cosh$.

Применение

Гиперболические функции часто встречаются при вычислении различных интегралов. Некоторые интегралы от рациональных функций и от функций, содержащих радикалы, довольно просто вычисляются с помощью замен переменных с использованием гиперболических функций.

Аналогично тому, как матрицы вида ${\begin{pmatrix}\cos x&\sin x\\-\sin x&\cos x\end{pmatrix}}$ описывают повороты двумерного евклидова пространства, матрицы ${\begin{pmatrix}\mathop {\mathrm {ch} } \,x&\mathop {\mathrm {sh} } \,x\\\mathop {\mathrm {sh} } \,x&\mathop {\mathrm {ch} } \,x\end{pmatrix}}$ описывают повороты в простейшем двумерном пространстве Минковского. В связи с этим гиперболические функции часто встречаются в теории относительности.

Однородная бесконечно гибкая веревка или цепочка, свободно подвешенная за свои концы, приобретает форму графика функции $y=a\,\mathop {\mathrm {ch} } \,{\frac {x}{a}}$ (в связи с чем график гиперболического косинуса иногда называют цепной линией). Это обстоятельство используется при проектировании арок, поскольку форма арки в виде перевёрнутой цепной линии наиболее эффективно распределяет нагрузку.

Литература

• Бугров Я. С., Никольский С. М. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. — Москва: Наука, 1985. — С. 464.

• Шерватов В. Г. Гиперболические функции.. — Гостехиздат, 1954. — 58 с. — (Популярные лекции по математике). — 25 000 экз.
• А. Р. Янпольский. Гиперболические функции. — Москва, 1960. — 195 с.

Ссылки

• GonioLab: Интерактивная демонстрация тригонометрических и гиперболических функций на Java Web Start
• БСЭ: Знаки математические
• Обратные тригонометрические и гиперболические функции (англ.)