Tarea n°1.

Antenas y enlaces de microondas – Ingeniería civil eléctrica.

Nombre: Julio Riquelme Besstel

Profesor: Ricardo Bustos
Fecha: 26/05/2020

1
Índice:

1) Problema 1………..3

2) Problema 2………..10

Apartado a) ……….10
Apartado b) ...……..12
Apartado c) ……….13
Apartado d) ……… 14

2
Problema 1):

Para el cálculo de la ganancia de una antena dipolo λ/2, se debe tener en cuenta la siguiente relación:

𝑃𝑖𝑠𝑜𝑡𝑟ó𝑝𝑖𝑐𝑎
𝐺=
𝑃𝑎𝑛𝑡𝑒𝑛𝑎

Donde:

(𝑃𝑎𝑛𝑡𝑒𝑛𝑎 )(𝐺 ) = 𝑃𝑖𝑠𝑜𝑡𝑟ó𝑝𝑖𝑐𝑎 … (1)

La expresión de densidad de potencia incidente para una antena viene dada por:

|𝐸(𝑟)|2𝑒𝑓𝑓
𝑃𝑖𝑛𝑐𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒 = … (2)
120𝜋

A su vez la densidad de potencia incidente de una antena isotrópica que encierra en una esfera de
radio r es:

𝑃𝑖𝑠𝑜𝑡𝑟ó𝑝𝑖𝑐𝑎
𝑃𝑖𝑛𝑐𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒 = … (3)
4𝜋𝑟 2

En el cálculo de ganancia se considera la máxima dirección de propagación (𝜃 = 𝜋/2), y debido a

que una antena isotrópica siempre radia la misma intensidad de radiación en todas las direcciones del
espacio. Se puede establecer una igualdad entre (2) y (3):

|𝐸(𝑟)|2𝑒𝑓𝑓 𝑃𝑖𝑠𝑜𝑡𝑟ó𝑝𝑖𝑐𝑎
=
120𝜋 4𝜋𝑟 2

|𝐸(𝑟)|2𝑒𝑓𝑓 𝑟 2
𝑃𝑖𝑠𝑜𝑡𝑟ó𝑝𝑖𝑐𝑎 = … (4)
30

3
Combinando las ecuaciones (1) y (4):

|𝐸(𝑟)|2𝑒𝑓𝑓 𝑟 2
(𝑃𝑎𝑛𝑡𝑒𝑛𝑎 )(𝐺) =
30

|𝐸(𝑟)|2𝑒𝑓𝑓 𝑟 2
𝐺=
30(𝑃𝑎𝑛𝑡𝑒𝑛𝑎 )

Para el caso dipolo λ/2, se tiene que:

60𝐼𝑒𝑓𝑓
|𝐸(𝑟)|𝑒𝑓𝑓 =
𝑟

2
𝑃𝑎𝑛𝑡𝑒𝑛𝑎 = 𝐼𝑒𝑓𝑓 𝑅𝑟𝑎𝑑

Para una antena dipolo λ/2 se tiene que 𝑅𝑟𝑎𝑑 = 73.13[Ω], luego reemplazando todos los datos para
obtener la ganancia de la antena:

2
602 𝐼𝑒𝑓𝑓 𝑟2
𝐺= 2 = 1.64
30𝑟 2 𝐼𝑒𝑓𝑓 (73.13)

Para calcular la ganancia en decibeles se efectúa el siguiente cálculo:

𝐺[𝐷𝑏𝑖] = 10 log(𝐺 ) [𝑑𝑏𝑖 ]

𝐺 = 10 log(1.64) = 2.148[𝑑𝑏𝑖 ]

4
Para el cálculo de la directividad en una antena se tenía la siguiente fórmula:

𝑃𝑖𝑠𝑜𝑡𝑟ó𝑝𝑖𝑐𝑎
𝐷= … (5)
𝑃𝑎𝑛𝑡𝑒𝑛𝑎

Donde sus componentes:

𝑃𝑖𝑠𝑜𝑡𝑟ó𝑝𝑖𝑐𝑎 = 𝑃𝑜 4𝜋𝑟 2 … (6)

𝜋 2𝜋
𝑃𝑎𝑛𝑡𝑒𝑛𝑎 = ∮ 𝑃𝑜 𝑓 2 (𝜃, 𝜑)𝑑𝑠 = ∫ ∫ 𝑃𝑜 𝑓 2 (𝜃, 𝜑)𝑟 2 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝜑𝑑𝜃 … (7)
0 0

Reemplazando (6) y (7) en (5):

𝑃𝑜 4𝜋𝑟 2 4𝜋
𝐷= 𝜋 2𝜋 = 𝜋 2𝜋 … (8)
∫0 ∫0 𝑃𝑜 𝑓 2 (𝜃, 𝜑)𝑟 2 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝜑𝑑𝜃 ∫0 ∫0 𝑓 2 (𝜃, 𝜑)𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝜑𝑑𝜃

Para el caso de una antena dipolo λ/2 se tiene que su factor de directividad es:

𝜋
cos ( 𝑐𝑜𝑠𝜃)
𝑓(𝜃, 𝜑) = 2 … (9)
𝑠𝑒𝑛𝜃

Reemplazando (9) en (8) se tiene que:

4𝜋 4𝜋
𝐷= 2 = 2
𝜋 𝜋
𝜋 2𝜋 cos ( 2 𝑐𝑜𝑠𝜃) 𝜋 cos ( 2 𝑐𝑜𝑠𝜃)
∫0 ∫0 ( 𝑠𝑒𝑛𝜃 ) 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝜑𝑑𝜃 2𝜋 ∫0 ( 𝑠𝑒𝑛𝜃 ) 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝜃

5
 2
𝐷=
2 𝜋
𝜋 cos ( 2 𝑐𝑜𝑠𝜃)
∫0 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝜃

Desarrollando la integral en Matlab resulta:

𝜋 cos 2
𝜋
( 𝑐𝑜𝑠𝜃)
∫ 2
𝑑𝜃 = 1.21
0 𝑠𝑒𝑛𝜃

Luego la directividad D:

2
𝐷= ≈ 1.65
1.21

Luego la directividad en decibeles es:

𝐷[𝑑𝑏𝑖] = 10 log (1.65) = 2.174[𝑑𝑏𝑖 ]

Como 𝐷 = 𝐺 se puede asumir que no hay pérdidas en la antena.

6
El diagrama de radiación en veces viene dado por la siguiente figura:

7
El diagrama de radiación en decibeles viene dado por la siguiente figura:

Aproximadamente en 1.57 radianes (𝜃 = 90°) se encuentra la dirección de máxima radiación de

potencia, y a los 0.63 radianes (𝜃 = 36.19°), la radiación de potencia disminuye a la mitad.

8
Para el cálculo del ancho del beam, es necesario localizar el punto donde 𝑓 (𝜃) = 0.5 en veces, para
esto:

Para comprobar que el punto escogido cumple con la condición impuesta:

√𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑓(𝜃)

√0.412 + 0.32 = 𝑓 (𝜃)

0.5 = 𝑓(𝜃)

Luego el ángulo en grados para el punto escogido:

0.3
𝜃 = tan−1 ( ) ≈ 36.19°
0.41

Luego el ancho del beam:

𝜃3𝑑𝑏 = 2𝜃 = (2)(36.19°) = 72.38°

9
Problema 2):

Apartado a):

Para el cálculo del campo eléctrico en distancia lejana de una antena dipolo corto, primero se debe
tener en cuenta el campo eléctrico presente en un dipolo elemental:

′)
𝑗60𝜋𝐼 (𝑧)𝑠𝑒𝑛(𝜃)𝑒 𝑗(𝑤𝑡−𝑘𝑜𝑟
𝑑𝐸𝜃 =
λr ′

Para distancias lejanas, el punto desde donde se mide la distancia puede ser despreciado. Pues en
cualquier lugar de la antena la distancia medida con respecto a la ésta será muy similar, por lo cual se
generaliza la función:

𝑗60𝜋𝐼 (𝑧)𝑠𝑒𝑛(𝜃)𝑒 𝑗(𝑤𝑡−𝑘𝑜 𝑟)

𝑑𝐸𝜃 = … (1)
λr

Para un dipolo corto, se tiene que su distribución de corriente viene dada por:

|𝑧|
𝐼 (𝑧) = 𝐼𝑜 (1 − ) … (2)
𝐿

Si se reemplaza la ecuación (2) en (1):

|𝑧|
𝑗60𝜋𝐼𝑜 (1 − 𝐿 ) 𝑠𝑒𝑛(𝜃)𝑒 𝑗(𝑤𝑡−𝑘𝑜𝑟)
𝑑𝐸𝜃 =
λr

10
Para el cálculo del campo eléctrico en distancia lejana de una antena dipolo corto, se deben sumar
todos los elementos diferenciales de campo eléctrico presentes en los dipolos elementales que
componen la antena dipolo corto, esto es:

𝑗60𝜋𝐼𝑜 𝑠𝑒𝑛(𝜃)𝑒 𝑗(𝑤𝑡−𝑘𝑜 𝑟) 𝐿 |𝑧|

𝐸𝜃 = ∫ (1 − ) 𝑑𝑧
λr −𝐿 𝐿

Resolviendo y evaluando la integral en Matlab, queda que el campo eléctrico en distancia lejana de
la antena es:

𝑗60𝜋𝐼𝑜 𝑠𝑒𝑛(𝜃)𝑒 𝑗(𝑤𝑡−𝑘𝑜𝑟) 𝑉

𝐸𝜃 = 𝐿 [ ] 𝜃̂
λr 𝑚

Para el cálculo del campo magnético se debe tener en cuenta la siguiente relación:

𝐸𝜃
= 120𝜋
𝐻𝜑

Entonces el campo magnético en distancia lejana es:

𝐸𝜃 𝑗60𝜋𝐼𝑜 𝑠𝑒𝑛(𝜃)𝑒 𝑗(𝑤𝑡−𝑘𝑜 𝑟)

𝐻𝜑 = = 𝐿
120𝜋 120πλr

𝑗𝐼𝑜 𝑠𝑒𝑛(𝜃)𝑒 𝑗(𝑤𝑡−𝑘𝑜 𝑟) 𝐴

𝐻𝜑 = 𝐿 [ ] 𝜑̂
2λr 𝑚

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Apartado b):

Para una antena se tiene que, la resistencia de radiación viene dada por:

80𝜋 2 𝑑𝑧 2
𝑅𝑟𝑎𝑑 =
λ2

Para este caso, se tiene que 𝑑𝑧 = 2𝐿, y además se tiene en cuenta la siguiente relación:

𝑓𝑜 λ = c
𝑐
λ=
𝑓𝑜

Luego, la resistencia de radiación es:

𝑓𝑜 𝜋𝐿 2 𝜋𝐿 2
𝑅𝑟𝑎𝑑 = 320 ( ) [Ω] = 320 ( ) [Ω]
𝑐 λ

 La resistencia resultante tenderá a ser muy pequeña, esto debido a que 2𝐿 ≪ λ

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Apartado c):

La longitud efectiva para cualquier antena viene dada por:

𝐿
∫−𝐿 𝐼 (𝑧)𝑑𝑧
𝐿𝑒𝑓𝑓 =
𝐼𝑜

Para dipolo corto se tenía que:

|𝑧|
𝐼 (𝑧) = 𝐼𝑜 (1 − )
𝐿

Luego el largo efectivo para la antena dipolo corto:

𝐿 |𝑧|
∫−𝐿 𝐼𝑜 (1 − 𝐿 ) 𝑑𝑧
𝐿𝑒𝑓𝑓 =
𝐼𝑜

𝐿
|𝑧|
𝐿𝑒𝑓𝑓 = ∫ (1 − ) 𝑑𝑧
−𝐿 𝐿

𝐿
𝑧
𝐿𝑒𝑓𝑓 = 2 ∫ (1 − ) 𝑑𝑧
0 𝐿

Resolviendo y evaluando esta integral en Matlab se tiene que:

𝐿
𝑧
𝐿𝑒𝑓𝑓 = 2 ∫ (1 − ) 𝑑𝑧 = 𝐿
0 𝐿

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Apartado d):

La potencia entregada al receptor de la antena en condiciones ideales de adaptación es:

𝑃𝑟 = 𝑃𝑖𝑛𝑐 𝑆𝑒𝑓𝑓

𝑃𝑟
𝑆𝑒𝑓𝑓 = … (3)
𝑃𝑖𝑛𝑐

A su vez si no hay pérdidas en la antena, la potencia disponible viene dada por:

𝑉𝑖𝑛𝑑,𝑚𝑎𝑥 2
( 2 )
𝑃𝑟 = … (4)
𝑅𝑟𝑎𝑑

Luego el voltaje inducido viene dado por:

𝑉𝑖𝑛𝑑,𝑚𝑎𝑥 = 𝐸𝑖𝑛𝑐,𝑚𝑎𝑥 𝐿𝑒𝑓𝑓 … (5)

Se tenía de los apartados anteriores que 𝐸𝑖𝑛𝑐,𝑚𝑎𝑥 , 𝐿𝑒𝑓𝑓 , 𝑅𝑟𝑎𝑑 vienen dados por:

320𝜋 2 𝐿2
𝑅𝑟𝑎𝑑 = … (6)
λ2

𝐿𝑒𝑓𝑓 = 𝐿 … (7)

60𝜋𝐼𝑜
𝐸𝑖𝑛𝑐,𝑚𝑎𝑥 = 𝐿 … (8)
λr

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Reemplazando (8) y (7) en (5):

60𝜋𝐼𝑜 2
𝑉𝑖𝑛𝑑,𝑚𝑎𝑥 = 𝐿 … (9)
λr

Luego reemplazando (9) y (6) en (4) se obtiene:

60𝜋𝐼𝑜 2 2
( )
2λr 𝐿 602 𝜋 2 𝐼𝑜2 𝐿4 λ2
𝑃𝑟 = =
320𝜋 2 𝐿2 320π2 𝐿2 22 λ2 𝑟 2
λ2

45𝐼𝑜2 𝐿2
𝑃𝑟 = … (10)
16𝑟 2

Para la potencia incidente se tiene que:

𝐸𝑖𝑛𝑐,𝑚𝑎𝑥 2
( 2 )
𝑃𝑖𝑛𝑐 = … (11)
120𝜋

Reemplazando (8) en (11):

60𝜋𝐼𝑜 2
( 𝐿) 602 𝜋 2 𝐼𝑜2 𝐿2
𝑃𝑖𝑛𝑐 = 2λr =
120𝜋 (120𝜋)4λ2 r 2

15𝜋𝐼𝑜2 𝐿2
𝑃𝑖𝑛𝑐 = … (12)
2λ2 r 2

15
Finalmente reemplazando (10) y (12) en (3) se obtiene:

45𝐼𝑜2 𝐿2
2 (45𝐼𝑜2 𝐿2 )(2λ2 r 2 )
𝑆𝑒𝑓𝑓 = 16𝑟2 2 =
15𝜋𝐼𝑜 𝐿 (16𝑟 2 )(15𝜋𝐼𝑜2 𝐿2 )
2
2λ r 2

90λ2
𝑆𝑒𝑓𝑓 =
240𝜋

λ2 90
𝑆𝑒𝑓𝑓 = ( )
4𝜋 60

λ2
𝑆𝑒𝑓𝑓 = (1.5) … (13)
4𝜋

Se tiene que la superficie efectiva de captación de una antena cualquiera viene dada por:

λ2
𝑆𝑒𝑓𝑓 = (𝐺 ) … (14)
4𝜋

Al comparar (13) con (14), se observa que 𝐺 = 1.5. La cual corresponde a la ganancia de una antena
dipolo corto, por lo tanto, se comprueba satisfactoriamente la ecuación (14).

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