Kata Pada bab ini, kita akan mempelajari pembagian besaran berdasarkan arah

Kunci dan besarnya. Besaran yang dimaksud adalah besaran skalar dan besaran
vektor. Vektor inilah yang akan kita pelajari secara khusus.
Setelah mempelajarinya, kalian akan mampu mendefinisikan,
Vektor menuliskan, dan menggambarkan vektor, serta menjumlahkan dua vektor
Resultan vektor atau lebih menggunakan metode segitiga, jajargenjang, dan poligon, serta
Penjumlahan vektor
Penguraian vektor
secara analisis. Bukan hanya itu saja, kemampuan menjumlahkan dua
Dot product vektor yang segaris atau membentuk sudut, secara grafis dan
Cross product menggunakan rumus kosinus juga perlu dikuasai. Kita juga akan
mempelajari cara menguraikan sebuah vektor dalam bidang datar menjadi
dua komponen yang saling tegak lurus. Sebagai materi pengayaan, kalian
akan dibekali dengan materi perkalian titik dua buah vektor dan perkalian
silang dua buah vektor.

A Pengertian Vektor

Gelombang tsunami dengan volume air yang besar, dalam

hitungan menit dapat menempuh jarak yang jauh hingga mencapai
puluhan kilometer. Dalam fisika, apabila benda dapat menempuh jarak
yang jauh dalam waktu singkat maka benda dikatakan mempunyai
kecepatan dan percepatan besar. Dengan percepatan dan massa yang
besar menyebabkan gelombang tsunami mempunyai gaya yang besar.
Akibatnya, energi yang dimilikinya juga besar. Energi inilah yang
menyebabkan gelombang tsunami mampu memorakporandakan kota
yang begitu indah dalam sekejap mata.
Dari cerita terjadinya tsunami tersebut, kalian dapat menemukan
beberapa konsep fisika, antara lain volume, massa, jarak, waktu,
kecepatan, percepatan, gaya, dan energi. Untuk mengetahui lebih jauh
tentang konsep fisika pada peristiwa tsunami, berdiskusilah dengan
teman sebangku kalian untuk menjawab pertanyaan-pertanyaan pada
Eureka berikut.

Eureka
Jika kalian mempunyai rekaman terjadinya tsunami, tontonlah bersama teman-teman kalian. Kemudian, jawablah pertanyaan- pertanyaan b
Apakah air tersebut mempunyai volume dan massa? Bagaimanakah jarak yang ditempuh air dalam waktu yang singkat?
Apakah air yang sedang mengalir mempunyai kelajuan? Apakah air mengalir mempunyai arah? Dari kelajuan dan arah air ini, besaran apak

32 Fisika Kelas X
 3. Saat air sedang mengalir dan menghantam bangunan,
besaran apakah yang mendasarinya?
4. Selain besaran fisika yang telah disebutkan, adakah besaran
fisika lain yang dapat kalian temukan dari peristiwa tsunami ini?
Coba kalian jelaskan.
5. Dari hasil diskusi, kalian telah menemukan beberapa besaran,
baik besaran pokok maupun besaran turunan. Cobalah kalian
kelompokkan besaran-besaran tersebut berdasarkan besar dan
arahnya. Besaran yang hanya punya besar saja menjadi satu
kelompok, dan besaran yang mempunyai besar sekaligus arah
juga menjadi satu kelompok.
Tuliskan hasil diskusi dan kumpulkan kepada guru kalian.

Dari hasil diskusi pada Eureka, kalian telah mengelompokkan

besaran- besaran fisika ke dalam dua kelompok berdasarkan besar dan
arahnya. Kelompok besaran itu adalah kelompok besaran yang hanya
mempunyai besar saja, tetapi tidak mempunyai arah, dan kelompok
besaran yang mempunyai besar dan arah.
Dalam fisika, besaran yang hanya mempunyai besar saja dan
tidak memiliki arah disebut besaran skalar. Sementara besaran yang
mempunyai besar dan arah disebut besaran vektor atau sering disebut
vektor. Permasalahannya sekarang, bagaimanakah cara kita menyatakan
vektor? Pada subbab ini, kita akan membahas cara menuliskan dan
menggambarkan sebuah vektor. Namun sebelum kita mempelajari materi
tersebut, ada baiknya kalian perhatikan uraian berikut.
Ketika kalian melihat rekaman terjadinya tsunami, kalian melihat
banyak orang berlarian untuk menghindari gelombang. Ada pula orang
yang mengendarai sepeda motor dengan kelajuan tinggi. Karena panik,
pengemudi sepeda motor tersebut mungkin bergerak dengan kelajuan
70 km/jam atau lebih. Ketika duduk di kelas VII SMP/MTs, kalian
telah mengenal konsep kelajuan dan kecepatan.
Dalam fisika, kecepatan merupakan besaran vektor yang
mempunyai besar dan arah. Sedangkan kelajuan adalah nilai atau besar
dari kecepatan, sehingga tidak mempunyai arah. Ini berarti kecepatan
merupakan besaran vektor, sedangkan kelajuan merupakan besaran
skalar. Selain kecepatan, masih banyak besaran lain yang termasuk
vektor. Contohnya, perpindahan, percepatan, gaya, momentum, usaha,
dan kuat arus.
Besaran-besaran fisika mempunyai simbol masing-masing sebagai
ciri khasnya. Seperti halnya besaran fisika, vektor juga mempunyai simbol
atau notasi yang membedakannya dari besaran skalar. Untuk mengetahui
bentuk notasi vektor dan cara menggambarkan vektor dalam fisika,
pelajari materi berikut.

Vektor 33
 1. Notasi dan Gambar Vektor
Ketika terjadi tsunami, banyak orang berlarian dari pantai menuju
tempat aman untuk menghindari terjangan gelombang air. Orang-orang
itu bergerak dan mengalami perpindahan. Perpindahan termasuk
besaran vektor. Bagaimanakah kita menyatakan dan menggambarkan
perpindahan orang tersebut dengan vektor?

globalchange.com
Gambar 2.1 Orang-orang berlarian menjauhi pantai akan
mengalami perpindahan.

Perhatikan Gambar 2.1. Misalkan kita menganggap orang-orang

tersebut berlarian pada jarak yang lurus, pantai kita beri tanda A, dan
tempat berhentinya diberi tanda B. Vektor perpindahan orang-orang
tersebut dapat dituliskan dengan dua cara, yaitu:
a. Vektor disimbolkan dengan dua huruf besar atau satu huruf yang di
atasnya diberi tanda anak _. .
panah.
Conto h: vektor perpindahan dari A ke B dapat ditulis sebagai AB , a ,
atau A. .
b. Vektor disimbolkan dengan dua huruf besar atau satu huruf yang
ditebalkan.
Contoh: vektor perpindahan dari A ke B dapat ditulis AB, a, atau
A. Jika kalian menggunakan dua huruf, maka huruf pertama (A)
Gambar 2.2 Sebuah vektor merupakan titik asal vektor atau disebut juga pangkal vektor.
digambarkan sebagai anak Sementara huruf belakang (B) merupakan arah vektor atau titik
panah atau garis berarah.
terminal atau
ujung vektor.
Kalian telah bisa menyatakan suatu vektor dengan notasi vektor.
Vektor digambarkan sebagai anak panah. Panjang anak panah
menyatakan besar vektor, dan arah anak panah menyatakan arah
vektor. Dari cerita di depan, misalnya jarak pantai ke tempat aman
sejauh 4 km, dengan 1 cm mewakili 1 km, vektor perpindahan orang
dari pantai (A) menuju tempat aman (B) dapat digambarkan seperti
gambar 2.2.
Gambar tersebut menyatakan sebuah vektor AB dengan titik A
sebagai titik tangkap vektor (pangkal vektor), dan titik B menyatakan
ujung vektor (titik term i nal). Ve ktor pada gambar tersebut dapat dituliskan
_ .. .
a
dalam bentuk notasi AB , , A atau AB, a, A.

34 Fisika Kelas X
 c.
. . c.
d. . b
b d

x
. _.
d x0
d -x
 Uji Kompetensi
Apakah pengertian besaran skalar dan besaran vektor? Berikan masing-masing 8 contoh.
Dari pernyataan-pernyataan berikut, peryataan manakah yang mengandung besaran vektor? Dari p
Ani berjalan ke selatan sejauh 50 meter.
Budi membawa sekeranjang sampah yang beratnya 1 N.
Andi mengendarai sepedanya dengan kelajuan 30 km/ jam.
Arus sebesar 1 ampere mengalir dari salah satu ujung penghantar ke ujung lainnya.
Perhatikan vektor-vektor pada gambar berikut

Dari vektor-vektor tersebut, pasangan vekto

sejajar dan berlawanan?

B Penguraian Vektor

Penguraian vektor adalah suatu cara menyatakan sebuah vektor

dengan dua vektor lain. Untuk membantu kalian dalam memahami
cara menguraikan vektor, perhatikan uraian berikut.
Suatu hari Andi memanjat dinding rumahnya dengan
menggunakan tangga bambu. Andi meletakkan tangga dengan
kemiringan tertentu. Perhatikan Gambar 2.4. Sebelum mulai
memanjat, Andi memerhatikan bayangan tangga pada dinding dan
tanah. Bayangan tersebut ternyata mirip dengan penguraian vektor
yang sedang dipelajari di sekolahnya.
Gambar 2.4 Tangga yang Dari cerita tersebut, apa yang kalian dapatkan? Pada prinsipnya,
bersandar di dinding menguraikan vektor sama dengan mencari bayangan vektor pada dua
mempunyai bayangan di benda atau lebih yang saling tegak lurus satu sama lain. Penguraian vektor
dinding dan tanah.
dapat digambarkan pada bidang kartesius. Pada bidang kartesius, sebuah
vektor dapat diuraikan pada sumbu x dan sumbu y.
.
Dari cerita tersebut, jika panjang tangga dinyatakan dengan P ,
garis yang sejajar dinding rumah sebagai sumbu y, dan tanah sebagai
_. sumbu x,
. P .
maka tangga tersebut memiliki bayangan pada sumb u x dan pada sumbu
Py Py
.
y. Jika bayangan pada sumbu x dinyatakan dengan Px dan bayangan pada
.
sumbu y dinyatakan dengan Py , dan sudut kemiringan tangga dinyatakan
. dengan , maka tangga dan bayangannya dapat digambarkan seperti
Px _.
Gambar 2.5 Sebuah vektor
Gambar
Dari 2.5.
gambar tersebut, kita dapat mencari panjang P . dan P. . Kalian
. x
P
dapat diuraikan
komponen pada menjadi
sumbu x (P ) dan
.x . segitiga
masih ingat rumus sinus dan kosinus dari . siku-siku? Dari rumus
komponen pada sumbu y ( P ).
y
sinus dan kosinus, kita dapat mencari Px dan Py dengan rumus:
 .
P
.x
. P
y
P x
P.y

.
P Px  P22y

Py
Px x 2 y 2

⎛ Py ⎞
⎜P⎟
⎝ x⎠
 Uji Kompetensi
Sebuah mobil bergerak lurus sejajar trotoar dengan kecepatan 40 km/jam. Jika tro
Andi menarik sebuah kotak dengan tali. Tali itu membentuk sudut
30° terhadap tanah. la menarik kotak tersebut dengan gaya

dan tentukan komponen-komponen vektor gaya tersebut pada sumbu x dan y.

3. Seorang siswa menggelindingkan sebuah bola dari pojok lantai ruangan berukuran panjang 7 m,
sumbu x dan y (sisi-sisi lantai).

C Vektor Satuan
.
. P (x,y) Vektor satuan adalah vektor yang telah diuraikan ke dalam sumbu
x ( iˆ ), y ( ˆj ), dan z ( kˆ ) yang besarnya satu satuan. Vektor satuan
Py

. digunakan untuk menjelaskan arah suatu vektor di dalam suatu koordinat,

P baik koordinat dua dimensi, at au tiga dimensi. Dalam koordinat dua
.
ˆj dimensi (x,y), suatu vektor misal P dapat dinyatakan dengan notasi:
.
. P  Px i ˆˆPy j
iˆ Px
Gambar 2.6 Komponen-.
komponen vektor
. Px danˆ Vektor tersebut dapat digambarkan pada koordinat dua dimensi lengkap
Py , serta vektor satuan i
dengan komponen- komponen dan vektor satuannya. Seperti Gambar 2.6.
dan ˆj . .
Besar vektor P dapat dicari dengan persamaan,
.
P Px  P22y

Sementara itu, dalam sistem koordinat tiga dimensi (x,y,z), suatu

vektor dapat dinyatakan dengan notasi:
.
P .
ˆ
P  Px i ˆˆPy j  Pz k
ˆ
ˆ K eterangan:
. .
ˆ
P
P. x
= komponen pada sumbu x
. pada sumbu y
P
P.. y = komponen
Pz = komponen P pada sumbu z
iˆ = vektor satuan pada arah sumbu x
. .
Gambar 2.7vektor
Komponen-
.
komponen , ,
dan P P x y
ˆj = vektor satuan pada arah sumbu y
satuan iˆ , j , dan ˆk .
Pz serta vektor ˆ
kˆ = vektor
satuan pada arah
sumbu z
.
P Px  Py 222Pz

.
R î ˆj
kˆ
 .
AC
_.
AB
.
BC

. _.2 . 2
2 AB  BC
AC
AB 2  BC 2
a. Penjumlahan Vektor dengan Metode Segitiga
Bagaimanakah cara kita menggambarkan hasil penjumlahan
vektor dengan metode segitiga? Perhatikan kembali ilustrasi dan
Gambar 2.8. Ilustrasi dan gambar 2.8 di depan merupakan salah
satu contoh dari penjumlahan vektor dengan metode segitiga.
.
Gambar a ., b , c. ,
. 2.9 Vektor
c.d . dan d .
. d
Jika
a sepert
dik. n iGam
.
etaa bar
hui
vek,
b
tor
,
bagaimanakah (1)
cara
menggam bar
.
penjumlahan
a + c?
Untuk menggambarkan
hasil a + c , kita dapat
mengikuti langkah
berikut.
.
1. Ga
mb
arla
h
vek
tor

2.
cGambarlah
d engan vektor
titik
.
tangkap atau
pangkalnya
berada di
ujung
vektor a . (3)

3. Gambar lah sebuah

. vektor
dimulai
dari ti tik
.
tangkap
atau
pangkal
vektor a dan berakhir
Vektor ini merupakan
vektor hasil a + c
penjumlahan
.
atau disebut resultan
vektor
y
a m
n
g

Vektor 41
 gan (4)

Gambar 2.10
R. Langkah-
langkah
Ketiga langkah tersebut dapat kalian lihat menggamba
Gambar 2.11
Langkah
pada Gambar 2.10. rkan resultan
menjumlahka
penjumlahan
n vektor
b. Penjumlahan Vektor dengan Metode vektor
dengan
dengan
Jajargenjang metode
metode
jajargenjang.
segitiga.
Sek arang kita akan mencoba untuk
. .
menggambarkan penjumlahan vektor a + (
bi
c dengan metode jajargenjang. Coba 1
as
kalian lihat kembali (1)
an
v ektor. pada Gambar 2.9 di depan. Untuk ya
.
menggambarkan resultan di
a + c dengan metode jajargenjang,
(
2
) g
kalian dapat mengikuti langkah u
berikut.
na
. ka
1) Ga (2)

mba n
rlah
vekt u
or a nt
u
2) Gambarlah vektor c dengan titik t angkap atau pangkalnya k
. m
berimpit dengan titik tangkap vekto r a .
. en
3) Buatlah garis yang sejajar vektor a ju
.
(3)

m
vektor c , kemudian buatlah garis yang sejajar vektor c yang la
dimulai dari ujung vektor . h
a sehingga membentuk ka
sebuah jajargenjang. n
4) Buatlah sebuah vektor yang dimulai sama dengan d
metode ua
dari titik tangkap kedua b
vektor dan berakhir di perpotongan poligon.
garis pada lang kah nomor 3. Vektor . ua
. Metode
h
ini merupakan resultan dari segitiga
penjumlahan a + c . ve
kt
Keempat langkah tersebut dapat kalia n
lihat pada Gambar 2.11. . or
Jika kita perhatikan, resultan vektor ( R ) dari sa
ja
hasil dengan metode .
segitiga dan jajargenjang mempunyai besar dan S
arah yang sama. Pada prinsipnya, kita bisa ed
menggunakan metode segitiga dan jajargenjang an
untuk menyelesaikan penjumlahan beberapa g
buah vektor. Namun, untuk menyelesaikannya ka
kita memerlukan waktu yang lama. n
Untuk menyelesaikan penjumlahan lebih m
dari dua vektor, kita dapat menggunakan et
metode poligon. o
c. Penjumlahan Vektor dengan Metode de
Poligon p
Pada prinsipnya, menggambarkan ol
penjumlahan vektor dengan metode segitiga ig
o
42 Fisika Kelas X
 n n untuk menjumlahkan lebih dari su
digu dua vektor. a
Perhatikan kembali Gambar 2.9 a
naka di depan. Sekarang kita aik an b
. b
m encoba menggambarkan c
. . . resultan a d
penjumlahan dari + c +b + c
d dengan metode poligon. Untuk itu,
perhatikan langkah-langkah .
(3)
berikut. 3) J
u
. m
1) Gambarlah vektor a . l
. a
2) Gambarlah vektor c d engan
titik tangkap atau pangkalnya . h
k
berada di ujung vekto r a . a
. n
3) Gambarlah vektor b dengan titik
tangkap atau pangkalnya . s
(4)
berada di ujung vekto r c . e
. m
4) Gambarlah vektor d d engan u
titik tangkap atau pangkalnya . a
berada di ujung vektor b . k
5) Gambarlah sebuah vektor yang o
dimulai dari titik tangkap atau m
. . p
pangkal vektor dan berakhir di a d . Ve ktor ini o
ujung vektor . . . n
. e
(
5 merupakan resultan dari penjumlahan vektor a n
)
+c+b+d. v
e
Kelima langkah tersebut dapat kalian lihat k
Gambar 2.12 pada gambar 2.12. t
Langkah- o
langkah dalam d. Penjumlahan Vektor dengan Metode Analisis r
menggambarka
n penjumlahan Untuk menggambarkan p
vektor dengan penjumlahan vektor dengan metode .
metode poligon.
analisis, kita harus bisa a
d
menggambarkan penguraian vektor a
terlebih dahulu. Vektor dapat diuraikan
ke dalam komponen-komponennya, s
u
baik komponen pada sumbu x maupun m
sumbu y. b
Dari Gambar 2.9, kita akan mencoba untuk u
.
menggambarkan x
. .
penjumlahan a+ c + b dengan metode (
analitis. Untuk itu, 
pelajarilah langkah-langkahnya sebagai R
x
berikut.
1) Gambarlah bidang koordinat )
.
kartesius. Kemudian, gambar
. . d
vektor , b dan c pada bidang koordinat a
(
1 a n
)
tersebut dengan s
e
pangkal vektor2)berad a di pusat koordinat. m
.
Uraikan
komponen sumbu.a,x.dan
vektor b d an c ke dalam
. . u
. .. . a

Vektor 43
 komponen pada sumbu y (
 R y ).
Ketiga langkah tersebut dapat kalian
pelajari pada Gam bar 2.13.
. .
Dari Gambar  d  Ry
2.13, kita bisa
. Rx a
menuliskan dalam . n
bentuk persamaan: =
.
(2)
 ax  c x
. . .
a y  by  c y =
R
x
.


Dari dua persamaan tersebut, besar

dan arah resultan vektor dapat dicari
Gambar 2.13
Langkah- dengan persamaan:
langkah dalam
  R 
 R
2 2
menggambarka R= x y
n penjumlahan
vektor dengan
metode analitis.

tan = R y

R x

42 Fisika Kelas X
 ⎛  Ry ⎞
= tan 1 ⎜ ⎟
2. Hitun eng
⎝ Rx ⎠ gl an
 a men
h ggu
2. Pengurangan Vektor b nak
Pada prinsipnya, pengurangan vektor sama es an
dengan penjumlahan vektor. Di kelas VII Gambar 2.14. Penjumlahan ar met
.
SMP/MTs, Kalian telah mempelajari sifat vektor a+ b dengan re ode
metode segitiga.
operasi aljabar. Pada operasi aljabar berlaku sifat su yan
pengurangan yaitu a - b = a + (-b). Sifat lta g
pengurangan aljabar juga berlaku pada n berb
d eda
pengurangan vektor. Oleh karena itu, kita dapat
ar aka
menuliskan pengurangan vektor sebagai berikut.
.. . . i n
a = (b ) o men
a p gha
 er silka
b
as n
Dari sifat tersebut, kita dapat i resu
melihat bahwa pengurangan pada
p ltan
pr insipnya s ama dengan
. . e yan
penjumlahan. Pada pengurangan nj g
vektor tersebut, u berb
– b vektor b dengan besar sama, namun arahnya berlawanan. Perhatikan m eda
operasi penjumlahan dengan metode segitiga pada Gambar 2.14.
. . - ?
Untuk menggambarkan vektor a  b dengan metode la Bag
segitiga, . h aim
sama saja dengan menggambarkan penjumlahan vektor a
denga n . a ana
. n kah
vektor – b . Dari gambar 2.14, kita dapat a
Gambar 2.15 Pengurangan
d penj
. .
vektor a - b dengan
.
menggambarkan  b metode segitiga
a elas
n an
seperti gambar 2.15.
p kali
Untuk menambah pemahaman kalian
e an?
tentang penjumlahan dan pengurangan vektor,
n Ku
kerjakan Ekspedisi berikut.
g mpu

E
ur lkan

kspedisi a
n
hasi
l
Salinlah
poligon, vektor-vektor berikut pada buku kalian. jajargenjang,
dan analitis resultan
. . . . g pek
dari a  c  d a a d erja
. . . . n an
dan - - c - .
metode segitiga, te kali
rs an
e kep
b ada
ut Bap
. ak
Kemudian jawablah
3. Apak atau
pertanyaan-
a Ibu
pertanyaan berikut.
h Gur
1. Gambarkan dengan
d u.
Vektor 45
3. Penjumlahan Dua Buah Vektor
yang Membentuk Sudut
Untuk menggambarkan penjumlahan dua
buah vektor yang membentuk sudut, kita bisa
menggunakan langkah-langkah penjumlahan Gambar
vektor dengan metode jajargenjang. Sedangkan 2.16
Resultan
untuk menentukan resultan dari dua vektor yang dua vektor
arahnya sembarang dan membentuk sudut, kita yang
dapat menggunakan rumus kosinus. Perhatikan membentuk
sudut
Gambar 2.16. sudut .

42 Fisika Kelas X
 a2  b2  2ab cos 
a2  b2  2ab cos 

. _.
a. O A
b OB_ .
. .
a b
a. b.

.
P1 (60ˆi + 80ˆj)
.
P2
(100ˆi + 50ˆj)

Vektor 45
 3.Berdasarkan gambar vektor di samping,
. . .
gambarlah vektor P , Q dan R dengan
metode segitiga, jajargenjang, poligon,
dan anal.itis jika:
.
P = a  ..
b-c
.. ..
Q = a - d.  .e
. .. b  e
R=cd

E Perkalian Vektor

Operasi vektor tidak hanya terbatas pada penjumlahan dan

pengurangan vektor saja, operasi perkalian juga berlaku pada vektor.
Perkalian vektor yang akan kita pelajari ada tiga macam, antara lain
perkalian vektor dengan skalar, perkalian titik (dot product), dan
perkalian silang (cross product). Apakah perbedaan dari ketiga
perkalian vektor tersebut? Untuk lebih jelasnya, pelajarilah uraian di
bawah ini.
1. Perkalian Vektor dengan Skalar
Untuk memahami sifat perkalian vektor dan skalar,
perhatikan sebuah sepeda motor yang melaju dengan
kecepatan tertentu, seperti tampak pada Gambar 2.17.
Misalkan motor bergerak dengan kecepatan 15 m/s ke utara.
Setelah beberapa waktu, motor telah mengalami
perpindahan.
Di kelas VII SMP/MTs, kalian telah mempelajari

dok. PIM
konsep kecepatan. Kecepatan adalah perpindahan per selang
waktu. Dari pengertian kecepatan ini, kita bisa menghitung
Gambar 2.17 Pengendara sepeda
perpindahan yang dialami motor dengan motor yang bergerak dengan
persamaan: kecepatan tertentu akan mengalami
. . perpindahan.
s =v t
Dari penjelasan sebalumnya, kita tahu bahwa kecepatan merupakan
besaran vektor, sedangkan waktu merupakan besaran skalar. Berdasarkan
persamaan tersebut, perkalian kecepatan dengan waktu menghasilkan
perpindahan yang termasuk besaran vektor. Jadi kesimpulannya, hasil
kali antara vektor dengan skalar adalah vektor.
Perkalian vektor dengan skalar mempu nyai arti yang se derhana. Hasil
kali suatu skalar k dengan sebuah vektor A. dituliskan k A . didefinisikan
sebagai sebuah vektor baru yang besarnya adalah besa r k
dikalikan dengan. besar A . Sementara arah vek tor ini searah
. vektor A
.
jika k positif,
dan berlawanan dengan arah vektor A jika k negatif.
Selain dilakukan perkalian dengan skalar, vektor dapat pula dibagi
dengan skalar. Bagaimanakah cara membagi vektor dengan skalar?
Perhatikan sebuah bus yang bergerak sejauh 500 m ke selatan dalam
waktu 20 sekon. Berapakah kecepatan bus tersebut? Seperti kejadian di
depan, kita dapat mencari kecepatan bus tersebut dengan rumus
kecepatan. Kecepatan bus tersebut adalah 25 m/s ke selatan.
 .
A
B. .
A
.
B
. .
A B
. . . .
AB A B

. .
A A

ˆiˆi ˆjˆj kˆkˆ iˆ  iˆ ˆj  kˆ  kˆ

iˆ  ˆj ˆj kˆ  iˆ
ˆj 
kˆ
 .
A
.. .
A BAixˆi ˆˆBAy jˆjABz ˆkkˆ B A. B.
B x y z

. .
A Ax iˆ  Ay ˆj  Az kˆ Bx iˆ  By ˆj  Bz kˆ
B . . . . . .
. . Ax Bx  Ay By  Az
A
B Bz

. . ..
A. B AB
.
A B
.
A
. . .
A A B

. . .
A B C
. .
A.  B.

.
C
. . .
A B C .
C

iˆ  iˆ  ˆj  ˆj  kˆ  kˆ
.

kˆ  i ˆ  ˆ j
C
0
..
iˆ  ˆj  kˆ ˆj  kˆ  iˆ
AB

ˆj  i ˆ 
kˆ  ˆj  iˆ  kˆ   ˆj
kˆ iˆ
 . . .
A B A
. .
A Ax iˆ  Ay ˆj  Az kˆ B
. . .
B Bx iˆ  By ˆj  Bz kˆ AB

. .
A  B  ( Ax i  Ay j  Az k)  (Bx i  By j  Bz ˆk) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
. .
A  B  Ax Bx (i  Ax
ˆ (iˆ  ˆj )  (iˆ  kˆ ) y Bx ( ˆj  iˆ) y B y ( ˆj ) 
iˆ)  By ˆj
Ay Bz ( ˆj  kˆ )  Az Bx (kˆ x iˆ)z  Az BAy (kˆ  ˆj )  Az Bz (kˆ  kˆ )
A B A
. . ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ
A  B  0  ( Ax B y )k  ( Ax Bz ) j  ( Ay Bx )k  0  ( Ay Bz )i  ( Az Bx ) j  ( Az B y )i  0

..
A  B  ( Ay Bz  Az By )iˆ ( Az Bx  Ax Bz ˆ) j  ( Ax By  Ay Bˆx )k

. .
A
B

..
AB
..
AB
 2.

L
M

. , . dan . dengan besar masing-masing

Tiga vektor yaitu K L M
14 m, 9 m, dan 11 m ditunjukkan pada gambar. Tentukan hasil
operasi berikut.
a. .. d. ..
KL KL
b. .. e. ..
LM LM
c. .. f. ..
KM KM

Inti Sari
Vektor adalah
1. besaran yang mempunyai besar dan arah. Sebuah vektor digambarkan Sedangkan untuk koordinat ruang (3 di-
sebagai garis berarah atau anak panah. .
mensi), P dinyatakan dalam bentuk persa- maan:
P = Px i  Py j  Pz k
. . titik dua buah vektor dapat di- definisikan sebagai:
Perkalian
2. Besar dari vektor P dapat dirumuskan ˆˆ ˆ
sebagai:
5.
. 2 2
P= P P
xy ¸.
AB = AB cos
3. Arah vektor dapat dicari dengan rumus:
P 6. Perkalian silang dua buah vektor dapat
⎛P⎞
tan = y maka = tan–1 ⎜ y ⎟ didefinisikan sebagai berikut.
P ⎜⎝ P ⎟⎠
x x ...
AB=C
am koordinat bidang
4. (2 dimensi), vektor dapat dinyatakan dalam vektor satuan sebagai berikut.
.. ..
Px iˆ  Py ˆj A  B = A B sin

T elaah Istilah
Besaran skalar Besaran fisika yang hanya mem- Dot product Perkalian titik dua buah vektor yang
punyai besar/nilai saja menghasilkan skalar
Besaran vektor Besaran fisika yang mempunyai Resultan Hasil penjumlahan vektor
besar atau nilai dan arah
Vektor satuan Vektor pada sumbu koordinat
Cross product Perkalian silang dua buah vektor yang besarnya satu satuan
yang menghasilkan vektor baru
 Ulangan Harian

Pilihlah jawaban yang paling tepat

A a. d.
1. Kelompok besaran di bawah ini yang
termasuk besaran vektor adalah . . . .
a. kelajuan, kuat arus, gaya
b. energi, usaha, banyak mol zat
c. kecepatan, momentum, kuat arus
listrik
d. tegangan, intensitas cahaya, gaya b. e.
e. gaya, percepatan, waktu
2. Seseorang menarik meja ke arah barat
dengan gaya 60 N. Jika 1 cm mewakili
gaya 15 N, gambar vektor gaya tersebut
yang benar adalah . . . .
a.
b.
c. c.
d.
e.
3. Pada perlombaan tarik tambang,
kelompok A menarik ke arah timur
dengan gaya 700 . .
N. Kelompok B menarik ke barat dengan 5. Gambar resultan dari
.
gaya 665 N. Kelompok yang memenangi acd
perlombaan adalah kelompok . . . .
dengan
a. A dengan resultan gaya 25 N metode poligon yang benar adalah . . . .
b. A dengan resultan gaya 35 N
c. B dengan resultan gaya 25 N a.
d. B dengan resultan gaya 35 N
e. B dengan resultan gaya 45 N
Perhatikan gambar vektor-vektor berikut
untuk menjawab soal no 7 sampai no 10.
b.

4. Gambar resultan dari . c.

. dengan
a
b
metode jajargenjang yang benar adalah
....

50 Fisika Kelas X
 . . . .
7. Gambar resultan dari c 
 
a b d
d. dengan metode analisis yang benar adalah
....
a.

e.

b.
6. Gambar resultan dari .
. . dengan
acd
metode poligon yang benar adalah . . . .
a.

b.
c.

c.

d.
d.

e.
 .
vektor Badalah . . . .
e. a. (4 iˆ –5 ˆj +8 kˆ )m
b. (2 iˆ +3 ˆj + kˆ )m B A
c. (8 iˆ – ˆj +4 kˆ )m
d. (6 iˆ –3 ˆj +5 kˆ )m ..
AB
e. (8 iˆ –6 ˆj +5 kˆ )m
12. Momentum merupakan hasil kali massa
dengan kecepatan. Sebuah kelereng mempu-
nyai massa 10 gram bergerak dengan persa-
.
maan kecepatan v = (3iˆ  3ˆj ) m/s. Besar
8. Sebuah mobil bergerak dengan
kecepatan 50 km/jam membentuk sudut
30° terhadap sumbu x positif. Besar momentum yang dimiliki kelereng tersebut
komponen vektor kecepatan tersebut adalah . . . kg m/s
pada sumbu x dan sumbu y berturut-turut a. 3
adalah . . . . b. 3 2
a. 25 km/jam dan 25 2 km/jam c. 3  10–2
b. 25 km/jam dan 25 3 km/jam d. 3 2  10–2
c. 25 3 km/jam dan 25 km/jam e. 3 2  10–3
d. 25 3 km/jam dan 25 2 km/jam 13. Usaha dirumuskan sebagai perkalian titik
antara gaya dengan perpindahan.
e. 25 3 km/jam dan 25 3 km/jam Seseorang m emindahkan sebuah benda
9. Seseorang akan menyeberangi sungai .
dengan perahu. Orang itu mengarahkan dengan gaya
F = (iˆ  2 ˆj  3kˆ ) N, sehingga mengalami
perahu tegak lurus arah arus sungai.
Jika vektor. kecepatan arus dinyatakan .
dengan v = 5 iˆ m/s dan kecepatan
a perpindahan s = (3iˆ  3 ˆj ) m. Usaha yang
dilakukan orang tersebut adalah . . . .
. a. 9 N m
ˆ b. 10 N m
perahu dinyatakan dengan vp = 12 j
m/s, resultan kecepatan yang dialami c. 15 N m
d.
e. 18
20 N
Nmm
perah u dinyatakan dengan . . . m/s.
a. v.R = 13 iˆ
b. v = 13 ˆj 14. Momen gaya dirumuskan sebagai
.
= 5 iˆ +12 perka- lian silang antara gaya dengan
c. v. R ˆj ˆ vektor po- sisi. Vektor posisi sebuah
titik dinyatakan
ˆj
d. .
R
v .
dengan r =4 iˆ. +3 kˆ dikenai gaya dengan
R = 12 i +5 ˆ
e. v. R = 5 iˆ +13 j persamaan =2 iˆ +3 ˆj +6 kˆ .Momen
10. Dua buah gaya masing-masing 10 N dan F
15 N membentuk sudut 60 . Besar resultan gaya di titik tersebut dinyatakan dengan
kedua gaya tersebut adalah . . . . persamaan . . . .
a. 21,8 N a. .. = 8iˆ  18ˆj
b. 21,7 N b.  = 9iˆ  18 ˆj  12kˆ
.
 = 15iˆ  18 ˆj  9kˆ
c. 20,8 N
c.
d. 20,7 N
 .
d.  =  9iˆ  18 ˆj  12kˆ
.
 = 9iˆ  18 ˆj  12kˆ
e. 20,6 N
. e.
11. vDiketahui
ekto r
. . A  (5iˆ  2ˆj  k) m. 15. Pada gerak melingkar, momentum sudut
ˆ
Jika besar 2 A  adalah 74 m, maka (. L ) dirumuskan sebagai perkalian silang
B .
.
antara vektor posisi ( r ) dengan 4. Diketahui ˆ ˆ ˆ
momentum . = 2 i + 3 j + 6 k dan B =
. . A
linear ( p ). Jika diketahui r = (2ˆi  4k) ˆ 6 iˆ + 2 ˆj + 3 kˆ . Tentukan:
. = (2k) , momentum sudutnya . .
dan
adalah p ˆ a. besar vektor
.... ˆ _. _. A dan B
2 b. A  B
j ..
A B
a. ˆ c. _. _.
b. - d. AB
4i
ˆ
c. 4iˆ  4k 5. Seorang siswa melempar sebuah lembing
d. - 4ˆj dengan membentuk sudut 45° terhadap
e. 4iˆ  8kˆ tanah. Jika kecepatan lembing tersebut
adalah l5 m/s, nyatakanlah vektor
kecepatan tersebut dalam vektor satuan.
B Jawablah soal-soal berikut dengan 6. Buktikanlah persamaan-persamaan beri-
kut.
benar. pesawat bergerak ke barat
1. Sebuah ....
sepanjang 25 km dan berbelok a. A + B = B+ A
membentuk sudut 60 _ . _ . _. _.
dari arah utara sepanjang 45 km. Tentukan
b. A B =B A
A. B .= - B .A .
besar vektor perpindahan pesawat
tersebut. c.
2. Perhatikan gambar vektor 7. Tentukanlah besa r sudut yang dibentuk
.
berikut.
.
. c. a ntara F1 = (3iˆ  2 ˆj  kˆ ) N dan
vektor .
dalam bidang x, y lengkap dengan komponen-
komponennya.
. b. Hitunglah besar resultan penjumlahan ketiga
d
vektor tersebut dengan metode analisis.
Dari gambar di atas, gambarkan dengan
metode jajargenjang dan poligon operasi
vektor di bawah
. ini.
. . .
a. a. + b. . d. a. + b.– . .
b. a – d e. d – a – c
. .
c . . . .
c. a + c + d f. a + b – c + d
3. Tiga buah vektor mempunyai
.
persamaan
. .
p = 7iˆ  5ˆj,q = ˆi  2 j dan r = 2iˆ  3ˆj .
a. Gambarkan vektor-vektor tersebut
 F2 = (4iˆ  3kˆ ) N.
8. Dapatkah duabuahvektor yang
mempunyai besar yang berlainan
dijumlahkan sehingga
resultannya sama dengan nol?
Bagaimana pula dengan tiga
vektor?
9. Tiga orang astronot melakukan
perja- lanan dari Cape
Canaveral menuju bulan,
kemudian kembali lagi dan
tercebur di Samudra Pasifik.
Seorang kapten kapal laut di
Cape mengucapkan selamat
kepada ketiga astronot dan
kemudian berlayar ke Samudra
Pasifik untuk menjemput
mereka. Dari perjalanan
astronot dan kapten kapal
tersebut, manakah yang
mempunyai per- pindahan
lebih besar? Jelaskan alasan
jawaban kalian.
10. Tunjukkanlah bahwa jika arah
semua komponen-komponen
sebuah vektor dibalik, maka
vektor itu pun berbalik arah
juga.
 Latihan
Ulangan
Ulangan
AkhirTengah
Semester
Semester I

Pilihlah jawaban yang paling tepat. 6. Sebuah kubus dengan rusuk 4,0 cm
A
memi- liki massa 120,45 g. Dengan
1. Pasangan besaran pokok, lambang, dan sa- menggunakan aturan angka penting,
tuan dalam SI yang benar adalah .... massa jenis kubus adalah . . . .
a. 1,88203 d. 1,88
Besaran Pokok Lambang Satuan b. 1,8820 e. 1,9
a massa w kilogram c. 1,882
b suhu t Kelvin
7. Dalam suatu percobaan, seorang siswa
c kuat arus listrik i ampere meng- ukur panjang ayunan matematis
d banyaknya molekul zat N mol menggu- nakan mistar dengan skala terkecil
e intensitas cahaya I watt 1 mm. Jika hasil pengukuran siswa adalah
2. Momentum merupakan hasil kali kecepa- 60,7 cm, maka hasil tersebut dituliskan
tan dengan massa. Sementara kecepatan dalam bentuk
adalah hasil bagi antara jarak dengan . . . cm.
waktu. Dengan demikian, satuan dari a. 60,7 ± 1 d. 60,7 ± 0,05
momentum adalah . . . . b. 60,7 ± 0,5 e. 60,7 ± 0,01
a. m/s2 d. kgm/s c. 60,7 ± 0,1
b. kgm/s2 e. m/kgs
8. Seorang siswa mengukur massa sebuah
c. kgm
bu- ku sebanyak 5 kali. Hasil
3. 72 km/jam sama dengan . . . . pengukurannya adalah 50,2 g; 50,3 g;
a. 120 m/s d. 12 m/s 49,9 gr; 50,1 gr; dan 50,2 g. Penulisan
hasil pengukuran siswa tersebut yang
b. 72 m/s e. 2 m/s benar adalah . . . .
c. 20 m/s a. (50,14 ± 0,5)g
4. Seseorang mengukur diameter pipa meng- b. (50,14 ± 0,05)g
gunakan mikrometer sekrup. Hasilnya c. (50,14 ± 0,67)g
ada- lah 20,00 mm. Jumlah angka penting d. (50,14 ± 0,07)g
dari hasil pengukuran tersebut adalah . . . . e. (50,14 ± 0,068)g
a. 1 d. 4
b. 2 e. 5 9. Pada pengukuran kedalaman botol
menggu- nakan jangka sorong, skala
c. 3
utama menun- jukkan angka 4,3 cm. Jika
5. Pasangan besaran berikut yang skala nonius yang berimpit dengan skala
mempunyai dimensi sama adalah . . . . utama menunjukkan skala 4, maka hasil
a. massa dan berat pengukuran tersebut, dan nilai
b. energi dan daya ketidakpastiannya adalah . . . .
c. energi dan usaha a. 4,7 cm dan 0,1 cm
d. kecepatan dan percepatan b. 4,7 cm dan 0,05 cm
c. 4,34 cm dan 0,5 cm
e. momentum dan gaya
d. 4,34 cm dan 0,05 cm
e. 4,34 cm dan 0,005 cm
10. Jika skala utama pada mikrometer sekrup jumlahan kedua gaya tersebut adalah ....
menunjukkan angka 5,5 dan skala putar a. 14 6 N d. 4 19 N
menunjukkan angka 35, maka hasil
pengu- kurannya adalah .... b. 14 3 N e. 4 38 N
a. 9,00 cm d. 5,85 mm c. 14 N
b. 9,00 cm e. 5,535 mm 16. Momentum merupakan hasil kali massa de-
c. 5,85 cm ngan kecepatan. Sebuah kelereng yang
mem- punyai massa 10 gram bergerak
11. Yang merupakan kelompok besaran dengan per- .
samaan kecepatan v  (2iˆ  3 ˆj  6kˆ ) m/s.
vektor adalah . . . .
a. kelajuan, gaya, percepatan
Besar momentum yang dimiliki kelereng
b. momentum, usaha, jarak tersebut adalah.....kgm/s.
c. perpindahan, kecepatan, massa a. 70 d. 0,07
d. perpindahan, gaya, kecepatan b. 7 e. 0,007
e. jumlah mol, suhu, kecepatan c. 0,7
12. Seorang anak menarik mobil-mobilan yang . .
17. Diketahui A.ˆ.i ˆ2 j ˆ.2k .dan Bˆ 2 j  4k .
ˆ H
a
s
i
l
d
a
r
i
A

B
d
a
n
A

B

b
e
r
t
u
r
u
t
-
t
u
r
u
t
diikatkan dengan tali. Tali tersebut
 mem- bentuk adalah . . . . dengan va = 3iˆ
b. a=-1b e.
sudut 30° a. 12 dan 4iˆ  m/s
1
terhadap 2a = b
4ˆj  2kˆ
2
tanah. Jika
c. a = 1 b
gaya yang b. 12 dan 4iˆ  2

4ˆj  2kˆ
diberikan 19. Pernyataan berikut yang
adalah 8 N, benar adalah . . . .
c. 12 dan 2iˆ  dan kecepatan . . . .
.
maka kompo- perahu . .
nen gaya 4ˆj  4kˆ dinyatakan . d. AB =
. BA
d. 4 dan 4iˆ 
pada arah dengan . .
horisontal dan
v p = 6ˆj m/s,
a. A . .
vertikal 4ˆj  2kˆ
berturut-turut e. ˆ 4 dan 4iˆ  4ˆj  besar kecepatan 
B
adalah. . . . 2k yang dialami
a. 8 3N dan =

8N A
b. 8 3 
18. D i B
N . .
.
da ketahui vekto
. .
.
n r P = 6iˆ  b. A
perahu e. AB =
8 N 12ˆj dan adalah . . .

BA
c. 4 3 B
3 m/s. =
N a. 3 
da 62 B
n A
4 N .
.
Q .
d. 4 c. A
 
3 B
3 aiˆ =
N b A

j. B
d 2 Jika b. 3 e
ked c. 3. 20. Dua buah
5 .
a ua partikel
n vek bergerak
tor 9
4 dari satu
sali . titik.
N ng Partikel
e. 4 tega pertama
N k bergerak
luru
s, dengan
d ma persa- .
ka . A 
5iˆ. 7 ˆj  k.ˆ dan
14. Diketahui maan kecepatan v = 2iˆ
a  4ˆj , sedangkan
B  2ˆj  4kˆ .
...
n a. a = - 1 b
d. Hasil p artikel kedua
4 dari 2 A .
bergerak dengan
3
B kecepatan
3 adalah . .
13. Seseorang mengarahkan ..
akan perahu a. j kˆ
menyeberang tegak lurus arah
. Jika
arus sungai.  b. 10iˆ 16ˆj  6kˆ
12iˆ
sungai dengan
perahu. vektor ke- cepatan c. 10iˆ 16ˆj  6kˆ
16ˆ
arus dinyatakan
Orang itu 6
d. 5iˆ v Jika
besar
16ˆj  = resultan
6kˆ kedua
 vektor
e. 5iˆ 2 44, maka
 9ˆj  i sudut
ˆ yang
5kˆ yang

dibentuk
oleh
4 kedua
ˆ partikel
j tersebut
adalah . .
. ..
a. 120
15. Dua buah b. 90
gaya yang
besarnya 6 N 30
dan 10 N c. 60
membentuk
sudut 60°. Latihan Ulangan 55
Tengah Semester I
Besar
resultan pen-
B Jawablah soal-soal berikut dengan benar. Momen-
4 tum kg m/s . . . ...
1. Sebutkan ketujuh besaran pokok lengkap Perpindah- . . ..
dengan lambang, satuan, dan dimensinya. 5 an ... [L]

2. Tentukan dimensi dari besaran-besaran Momen

6 gaya ... ... [M][L]2[T]2
be- rikut.
E=F ...
a. percepatan,
b. gaya 7 ... N/C
c. energi kinetik yang dirumuskan EK = 1 q
mv2 2
7. Seekor ikan louhan berada di aquarium
3. Tuliskan dengan notasi ilmiah dan awalan- berukuran panjang 1 m, lebar 0,80 m, dan
awalan hasil pengukuran berikut. tinggi 0,60 m. Nyatakan dan hitung besar
a. Jarak rata-rata bumi ke matahari vektor posisi ikan louhan dari sebuah
adalah 149.000.000.000 m. sudut di dasar aquarium ketika ikan
b. Bilangan Avogadro adalah louhan be- rada tepat di tengah-tengah
602.300.00 0.000.000.000.000.000 permukaan air.
mol/gram.
c. Nilai viskositas air pada suhu 0 C ada- 8. Kedudukan sebuah pesawat pada pu-
lah 1.010 NS/m2. k.ul 07.30 WIB dilaporkan pada posisi
d. Waktu paruh dari 84Po214 adalah P1 = (60iˆ80 ˆj ) km dari sebuah menara.
Selang 1 jam kemudian., kapal tersebut
0,00016 s. telah berada pada posisi P2  (100iˆ  50 ˆj )
km. Gambarkan vektor posisi pesawat
4. Hitunglah menggunakan aturan angka
pada pukul 07.30 WIB dan pukul 08.30
penting.
WIB. Berapakah besar perpindahan kapal
a. Luas bola berjejari 7 cm dalam selang waktu 1 jam tersebut?
b. Volume balok berukuran 30,0
cm 20,09 cm 25,2 cm 9. Tiga bua.h vektor dib.erikan dengan
c. Massa jenis benda yang volumenya 40 persa- maan, A = 2iˆ 3ˆj,B = iˆ 2ˆj
liter dan massanya 40 kg. dan
.
5. Budi melakukan pengukuran arus sebanyak C = 2iˆ  4 jˆ . Tentukan dan gambarkan
8 kali. Ia mendapatkan data sebagai berikut: hasil operasi penjumlahan berikut
2,5 A; 2,6 A; 2,8 A; 2,4 A; 2,5 A; 2,7 A; menggu- nakan metode analitis dan
2,8 A; dan 2,6 A. Bagaimana Budi harus metode poligon.
me- laporkan hasil pengukurannya? . .
a. A  2B
6. Lengkapilah tabel berikut. . .
b. B  2 A
. . .
c. A  B  C
Besaran Rumus 10. Dari v ekt or pada soal nomor 9, tentukan:
No Satuan Dimensi . .
a. AB Satuan Pokok
.1 b. BA
Kecepatan m/s ... ...

_.. . .
2 Percepatan . . . a=V ... c. {{AA.  B}
B }
t d. . C
C
.
3 Gaya ... F = ma . . .

56 Fisika Kelas X