Gruppo di Galois

In matematica, e più precisamente in algebra, un gruppo di Galois è un gruppo associato a un'estensione di campi. In particolare, vengono principalmente studiati i gruppi associati ad estensioni che sono di Galois.

La teoria di Galois si occupa dello studio delle estensioni di Galois tramite l'analisi dei rispettivi gruppi di Galois, come, ad esempio, i gruppi di Galois associati alle estensioni date da campi di spezzamento di polinomi separabili.

Definizione

Estensione

Sia $E$ una estensione di un campo $F$ . Un $F$ -automorfismo di $E$ è un automorfismo

\psi \colon E\to E,

che fissa gli elementi di $F$ , cioè tale che

\psi (x)=x,

per ogni $x$ in $F$ . Gli $F$ -automorfismi di $E$ formano un gruppo

G=\mathrm {Aut} (E/F).

Se $E/F$ è un'estensione di Galois allora il gruppo degli $F$ -automorfismi di $E$ è detto gruppo di Galois^[1] ed è indicato con

G=\mathrm {Gal} (E/F).

Polinomi

Se $p(x)$ è un polinomio separabile a coefficienti in un campo $F$ , il gruppo di Galois di $p$ è definito come il gruppo di Galois dell'estensione data dal campo di spezzamento $E$ di $p$ su $F$ .

Esempi

Negli esempi seguenti $\mathbb {C}$ , $\mathbb {R}$ , $\mathbb {Q}$ , sono rispettivamente i campi formati dai numeri complessi, reali e razionali. La notazione $F(a)$ indica il più piccolo campo contenente $F$ e $a$ .

Campi razionali, reali, complessi

$\mathrm {Gal} (\mathbb {C} /\mathbb {R} )$ ha due elementi, l'identità e la coniugazione complessa.
$\mathrm {Aut} (\mathbb {R} /\mathbb {Q} )$ è banale (cioè ha come solo elemento l'identità): si mostra infatti che ogni automorfismo di $\mathbb {R}$ è continuo (segue dal fatto che preserva l'ordine dei numeri reali) e fissa ogni elemento di $\mathbb {Q}$ e di conseguenza è l'automorfismo identico (poiché coincide con l'identità su un insieme denso di $\mathbb {R}$ ). Da ciò segue che l'estensione $\mathbb {R}$ su $\mathbb {Q}$ non è di Galois.
$\mathrm {Gal} (\mathbb {C} /\mathbb {Q} )$ è un gruppo infinito.

Campi finiti

Se $F$ è un campo finito con caratteristica $p>0$ , ovvero di ordine $p^{n}$ per qualche naturale $n$ , lo si può vedere come estensione di $\mathbb {F} _{p}$ (lo contiene come sottoanello fondamentale). Si ha che

$\mathrm {Gal} (F/\mathbb {F} _{p})=C_{n}=\langle f\rangle$

ovvero il gruppo ciclico di ordine $n$ , con $f$ endomorfismo di Frobenius. Infatti si vede che tale endomorfismo nel caso finito è un automorfismo del campo e che fissa ogni elemento di $F_{p}$ pertanto appartiene al gruppo di Galois dell'estensione. Inoltre l'ordine di tale gruppo è uguale al grado dell'estensione, cioè $n$ (si veda la costruzione dei campi finiti) e l'ordine nel gruppo dell'elemento $f$ è esattamente $n$ , pertanto esso è un generatore.

Radici e polinomi

$\mathrm {Gal} (\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q} )$ ha due elementi: l'identità e l'automorfismo che scambia ${\sqrt {2}}$ con $-{\sqrt {2}}$ .
Sia $L=\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}},\zeta _{3})$ , dove $\zeta _{3}$ è una radice terza primitiva dell'unità. Il gruppo $\mathrm {Gal} (L/\mathbb {Q} )$ è isomorfo al gruppo $S_{3}$ delle permutazioni di tre elementi. Il campo $L$ è il campo di spezzamento del polinomio $x^{3}-2$ su $\mathbb {Q}$ .