Caratteristica (algebra)

In matematica, la caratteristica di un anello è definita come il più piccolo numero naturale $n$ diverso da zero tale che l'elemento

{\begin{matrix}\underbrace {1+1+\dots +1} \\n\mathrm {~volte} \end{matrix}}

è uguale a zero. Se questo minimo non esiste, cioè se $1+1+\ldots +1$ è sempre diverso da zero, la caratteristica è $0$ per definizione.

Molti risultati importanti dell'algebra lineare o della geometria algebrica richiedono che l'anello o il campo usato nella teoria abbia caratteristica zero. La presenza di una caratteristica diversa da zero può portare a fenomeni che si scontrano con l'intuizione geometrica. Altri risultati richiedono che l'anello o il campo non abbia caratteristica $2$ .

Proprietà

Caratteristica di un elemento

Più generalmente, la caratteristica di un elemento $a$ è il più piccolo $k$ tale che

{\begin{matrix}\underbrace {a+a+\dots +a} \\k\end{matrix}}

sia uguale a zero. Secondo questa definizione, si può definire la caratteristica dell'anello come il minimo comune multiplo delle caratteristiche dei suoi elementi.

Se l'anello è un dominio di integrità, ogni elemento diverso da zero ha la stessa caratteristica.

Numero primo

Nei domini di integrità, la caratteristica è $0$ oppure un numero primo: l'unica eccezione è l'anello banale (fatto di un elemento solo $0=1$ ) che è l'unico dominio con caratteristica $1$ .

Anello finito

Un anello con un numero finito di elementi ha sempre caratteristica diversa da zero.

Sottoanelli, morfismi

Se $A$ è un sottoanello di $B$ , ha la stessa caratteristica di $B$ .

Più in generale, se $A$ e $B$ sono anelli e $A\to B$ è un omomorfismo di anelli, allora la caratteristica di $B$ divide quella di $A$ .

Endomorfismo di Frobenius

Se la caratteristica di un anello $A$ è un numero primo $p$ , allora

(x+y)^{p}=x^{p}+y^{p},

per tutti gli elementi $x,y$ in $A$ . La mappa

f:x\mapsto x^{p},

è quindi un endomorfismo di anelli, chiamato endomorfismo di Frobenius. Questo è iniettivo se $A$ è un dominio d'integrità.

Esempi

Campi razionali, reali, complessi

I campi $\mathbb {Q}$ , $\mathbb {R}$ e $\mathbb {C}$ dei numeri razionali, reali e numeri complessi hanno caratteristica zero.

Anelli finiti

Un anello con un numero finito di elementi ha caratteristica diversa da zero. Ad esempio, l'anello $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ delle classi di resto modulo $n$ , ha caratteristica $n$ .

Numeri p-adici

I numeri p-adici formano un campo di caratteristica zero, benché la loro costruzione usi una famiglia di anelli di caratteristica $p^{k}$ con $k$ tendente a infinito.

Caratteristica di un campo

Come detto sopra, la caratteristica di un campo $K$ è zero o un numero primo. Il campo minimale fra tutti quelli che contengono l'unità $1$ è un sottocampo di $K$ che dipende dalla caratteristica: se questa è zero, è isomorfo al campo $\mathbb {Q}$ dei numeri razionali. Se è $p$ , è isomorfo ad un campo finito.