სამკუთხედი

ვიკიპედიის რედაქტორების გადაწყვეტილებით, სტატიას „სამკუთხედი“ მინიჭებული აქვს რჩეული სტატიის სტატუსი. სამკუთხედი ვიკიპედიის საუკეთესო სტატიების სიაშია.

სხვა მნიშვნელობებისთვის იხილეთ სამკუთხედი (მრავალმნიშვნელოვანი).

სამკუთხედი — უმარტივესი მრავალკუთხა გეომეტრიული ფიგურა (მრავალკუთხედი) სამი გვერდითა და სამი კუთხით; სიბრტყის ნაწილი, რომელიც ერთ წრფეზე არმდებარე სამი წერტილითა და მათი შემაერთებელი სამი მონაკვეთით შემოიფარგლება. სამკუთხედი შეიძლება იყოს მრავალი სახის, მაგრამ ყოველ მათგანს გააჩნია ექვსი ძირითადი ელემენტი: წვეროებით და გვერდებით შედგენილი სამი შიგა კუთხე და სამი გვერდი. ყოველი სამკუთხედი ამოზნექილი მრავალკუთხედია.

სამკუთხედის ტიპები

სამკუთხედების კლასიფიკაცია ხდება მათი გვერდების სიგრძეთა შედარებით:

ტოლგვერდა სამკუთხედში ყველა გვერდს ტოლი სიგრძე აქვს. ტოლგვერდა სამკუთხედი ასევე ტოლკუთხაა, ანუ მისი ყველა შიგა კუთხე ერთმანეთის ტოლია და 60°-ია. ასეთ სამკუთხედს წესიერი სამკუთხედიც ჰქვია.
ტოლფერდა სამკუთხედში მინიმუმ ორი გვერდი მაინც არის ერთმანეთის ტოლი. ტოლ გვერდებს ფერდები ეწოდებათ, მესამე გვერდს კი — ფუძე. ფუძესთან მდებარე კუთხეები ტოლფერდა სამკუთხედში ტოლია. ტოლგვერდა სამკუთხედი ასევე ტოლფერდაცაა, თუმცა არა პირიქით — ყველა ტოლფერდა სამკუთხედი ტოლგვერდა არ არის.
სხვადასხვაგვერდა სამკუთხედში ყველა გვერდი სხვადასხვა სიგრძისაა. მისი შიგა კუთხეებიც ერთმანეთისგან განსხვავდება.

სამკუთხედების კლასიფიკაცია ასევე შესაძლებელია მათი უდიდესი შიგა კუთხის მიხედვით:

მართკუთხა (სწორკუთხა) სამკუთხედის შიდა კუთხე 90°-ია (მართია). მართი კუთხის მოპირდაპირე გვერდს ჰიპოტენუზა ჰქვია, და ის მართკუთხა სამკუთხედის უდიდესი გვერდია. დანარჩენ ორ გვერდს კათეტები ეწოდება.
ბლაგვკუთხა სამკუთხედის ერთი შიგა კუთხე 90°-ს აღემატება (ბლაგვია).
მახვილკუთხა სამკუთხედის ყველა შიგა კუთხე 90°-ზე მცირეა (მახვილია).

ძირითადი ნიშნები

სამკუთხედის ნებისმიერ გარე კუთხე (შიგა კუთხის მოსაზღვრე კუთხე) მისი ორი არამოსაზღვრე შიგა კუთხის ჯამის ტოლია. ევკლიდურ გეომეტრიაში ნებისმიერი სამკუთხედის გვერდები და კუთხეები უნდა აკმაყოფილებდეს შემდეგ პირობებს:

სამკუთხედის შიგა კუთხეების ჯამი 180°-ია.
ნებისმიერი ორი გვერდის სიგრძეთა ჯამი მეტია მესამე გვერდის სიგრძეზე (სამკუთხედის უტოლობა).

სამკუთხედის კუთხეებსა და გვერდებს შორის არსებობს გარკვეული კავშირი. მაგ., თუ ვუდარებთ ორ გვერდს და მათ მოპირდაპირე ორ კუთხეს, მაშინ უდიდესი გვერდის პირდაპირ უდიდესი კუთხე მდებარეობს. საზოგადოდ, სამკუთხედში უფრო დიდი გვერდის პირდაპირ უფრო დიდი კუთხე იმყოფება. ამას ეფუძნება ის, რომ მართკუთხა სამკუთხედში ჰიპოტენუზა უდიდესი გვერდია (მართლაც, მართკუთხა სამკუთხედში უდიდესი კუთხე მართი კუთხეა), ბლაგვკუთხა სამკუთხედში კი — ბლაგვი კუთხის მოპირდაპირე გვერდი.

ორ სამკუთხედს ტოლი ეწოდება, თუ მათ აქვთ ერთი და იგივე ძირითადი ელემენტები (სამი გვერდი და სამი კუთხე). იმისათვის რომ ტოლი სამკუთხედების ტოლობაში დავრწმუნდეთ, არაა საჭირო მათი თითოეული ელემენტის შედარება. უმჯობესია გამოვიყენოთ სამკუთხედების ტოლობის ნიშნები:

თუ ერთი სამკუთხედის ორი გვერდი და მათ შორის მდებარე კუთხე ტოლია მეორე სამკუთხედის ორი გვერდის და მათ შორის მდებარე კუთხის, მაშინ ეს სამკუთხედები ტოლია.
თუ ერთი სამკუთხედის ერთი გვერდი და მასთან მდებარე ორი კუთხე ტოლია მეორე სამკუთხედის ერთი გვერდის და მასთან მდებარე ორი კუთხის, მაშინ ეს სამკუთხედები ტოლია.
თუ ორ სამკუთხედს ერთი და იგივე სიგრძის გვერდები აქვს, მაშინ ეს სამკუთხედები ტოლია.

თუ გვინდა ორი მართკუთხა სამკუთხედის ტოლობის ჩვენება, უნდა გავითვალისწინოთ, რომ მათ თითო კუთხე მართი და, შესაბამისად, ტოლი აქვთ. ამასთანაა დაკავშირებული მართკუთხა სამკუთხედების ტოლობის ნიშნები:

თუ ერთი მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზა და მახვილი კუთხე, შესაბამისად, ტოლია მეორე მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზის და მახვილი კუთხის, მაშინ ეს სამკუთხედები ტოლია.
თუ ერთი მართკუთხა სამკუთხედის კათეტი და მისი მოპირდაპირე კუთხე, შესაბამისად, ტოლია მეორე მართკუთხა სამკუთხედის კათეტის და მისი მოპირდაპირე კუთხის, მაშინ ეს სამკუთხედები ტოლია.
თუ ერთი მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზა და კათეტი, შესაბამისად, ტოლია მეორე მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზის და კათეტის, მაშინ ეს სამკუთხედები ტოლია.

თუ მოცემული ორი ABC და A₁B₁C₁ სამკუთხედისთვის სრულდება:

\angle A=\angle A_{1},

\angle B=\angle B_{1}

და

\angle C=\angle C_{1},

მაშინ მათ ეწოდება მსგავსი სამკუთხედები და ვწერთ:

\triangle ABC\sim \triangle A_{1}B_{1}C_{1}.

უნდა გავითვალისწინოთ, რომ ჩანაწერში წვეროების მიმდევრობაში დგას ტოლი კუთხეების შესაბამისი წვეროები. თუ

\triangle ABC\sim \triangle A_{1}B_{1}C_{1},

მაშინ

$A\!$ და $A_{1},\!$
$B\!$ და $B_{1},\!$
$C\!$ და $C_{1},\!$

შესაბამისი წვეროების წყვილებია. შესაბამისი წვეროებისგან შედგენილ გვერდებს შესაბამისი გვერდები ეწოდება.

მსგავს სამკუთხედებში შესაბამისი გვერდების შეფარდება მუდმივი სიდიდეა, რომელსაც მსგავსების ან პროპორციულობის კოეფიციენტი ეწოდება. მაგ., თუ

\triangle ABC\sim \triangle MNK,

მაშინ არსებობს მსგავსების კოეფიციენტი $k\neq 0,$ რომლისთვისაც

{AB \over MN}={BC \over NK}={AC \over MK}=k.

ასე რომ, სამკუთხედების ტოლობა სამკუთხედების მსგავსების კერძო შემთხვევაა მსგავსების კოეფიციენტით 1.

სამკუთხედების მსგავსების დასადგენად გამოიყენება სამკუთხედების მსგავსების ნიშნები:

თუ ერთი სამკუთხედის ორი კუთხე, შესაბამისად, ტოლია მეორე სამკუთხედის ორი კუთხის, მაშინ ეს სამკუთხედები მსგავსია.
თუ ერთი სამკუთხედის ორი გვერდი, შესაბამისად, პროპორციულია მეორე სამკუთხედის ორი გვერდის და ამ გვერდებით შედგენილი კუთხეები ტოლია, მაშინ ეს სამკუთხედები მსგავსია.
თუ ერთი სამკუთხედის გვერდები, შესაბამისად, პროპორციულია მეორე სამკუთხედის გვერდების, მაშინ ეს სამკუთხედები მსგავსია.

რადგან მართკუთხა სამკუთხედებს თითო კუთხე მართი და, შესაბამისად, ტოლი აქვთ, მათთვის სამკუთხედების მსგავსების პირველი ორი ნიშანი შემდეგია:

მართკუთხა სამკუთხედები მსგავსია, თუ მათ თითო მახვილი კუთხე ტოლი აქვთ.
მართკუთხა სამკუთხედები მსგავსია, თუ ერთი მათგანის კათეტები მეორეს კათეტების პროპორციულია.

სამკუთხედის ერთ-ერთი გვერდის პარალელური წრფით დანარჩენი ორი გვერდის გადაკვეთისას მოცემული სამკუთხედის მსგავსი სამკუთხედი „ჩამოიჭრება“.

სამკუთხედების მსგავსებასთანაა დაკავშირებული მისი ერთი თვისება: ნებისმიერ სამკუთხედში რომელიმე გვერდის პარალელური და დანარჩენი ორი გვერდის გადამკვეთი წრფით მიღებული სამკუთხედი მოცემული სამკუთხედის მსგავსია.

მსგავსი სამკუთხედების პერიმეტრების (ისევე, როგორც მედიანების, ბისექტრისების და სიმაღლეების) შეფარდება მსგავსების კოეფიციენტის ტოლია, ფართობების შეფარდება კი - მსგავსების კოეფიციენტის კვადრატის.
მართკუთხა სამკუთხედების უმნიშვნელოვანესი თვისებაა, რომ ჰიპოტენუზის კვადრატი კათეტების კვადრატების ჯამის ტოლია. ეს დებულება პითაგორას თეორემის სახელითაა ცნობილი. ზოგადად:

თუ სამკუთხედის ერთი გვერდის კვადრატი დანარჩენი ორი გვერდის კვადრატების ჯამის ტოლია, ეს სამკუთხედი მართკუთხაა (პითაგორას თეორემის შებრუნებული თეორემა).
თუ სამკუთხედის ერთი გვერდის კვადრატი დანარჩენი ორი გვერდის კვადრატების ჯამზე მეტია, ეს სამკუთხედი ბლაგვკუთხაა.
თუ სამკუთხედის უდიდესი გვერდის კვადრატი დანარჩენი ორი გვერდის კვადრატების ჯამზე ნაკლებია, ეს სამკუთხედი მახვილკუთხაა.

სამკუთხედის პერიმეტრი, მასთან დაკავშირებული მონაკვეთები, წერტილები და წრეწირები

პერიმეტრი

სამკუთხედის პერიმეტრი ეწოდება მისი გვერდების სიგრძეთა ჯამს. ABC სამკუთხედისთვის P-თი აღნიშნავენ: P=AB+BC+AC. საჭიროებისამებრ, p-თი აღნიშნავენ ნახევარპერიმეტრს:

p={P \over 2}={AB+BC+AC \over 2}

აღსანიშნავია, რომ მსგავსი სამკუთხედების პერიმეტრების შეფარდება მსგავსების კოეფიციენტის ტოლია — მსგავსი სამკუთხედების პერიმეტრები ისე შეეფარდება, როგორც შესაბამისი გვერდები.

მედიანა

მედიანა ეწოდება მონაკვეთს, რომელიც სამკუთხედის ნებისმიერ წვეროს აერთებს მისი მოპირდაპირე გვერდის შუაწერტილთან. სამკუთხედის სამივე მედიანა ერთ წერტილში იკვეთება და ეს წერტილი თითოეულ მედიანას ყოფს პროპორციით 2:1 წვეროს მხრიდან. მედიანით სამკუთხედი ორ ტოლდიდ (ტოლი ფართობის მქონე) სამკუთხედად იყოფა. მართკუთხა სამკუთხედში მართი კუთხის წვეროდან გავლებული მედიანა ჰიპოტენუზის ნახევარია, ხოლო ჰიპოტენუზისადმი გავლებული მედიანა ამ სამკუთხედზე შემოხაზული წრეწირის რადიუსის ტოლია .

ბისექტრისა

სამკუთხედის შიგა კუთხის ბისექტრისის მონაკვეთს კუთხის წვეროდან მის მოპირდაპირე გვერდამდე სამკუთხედის ბისექტრისა ეწოდება. ნებისმიერი სამკუთხედის სამივე ბისექტრისა ერთ წერტილში იკვეთება, რომელიც ყოველთვის სამკუთხედის შიგნით მდებარეობს. სამკუთხედის ბისექტისათა გადაკვეთის წერტილი ამ სამკუთხედში ჩახაზული წრეწირის ცენტრია.

სიმაღლე

სამკუთხედის სამივე სიმაღლის შემცველი წრფეები ერთ წერტილში იკვეთება.

სამკუთხედის სიმაღლე ეწოდება მონაკვეთს, რომელიც სამკუთხედის ნებისმიერ წვეროს აერთებს მის მოპირდაპირე გვერდათან ან მოპირდაპირე გვერდის გაგრძელებასთან და მისი მართობულია. სამკუთხედის სამივე სიმაღლის შემცველი წრფეები ერთ წერტილში იკვეთება და ეს წერტილი:

მახვილკუთხა სამკუთხედში სამკუთხედის შიგნითაა.
მართკუთხა სამკუთხედში მართი კუთხის წვეროა.
ბლაგვკუთხა სამკუთხედში სამკუთხედის გარეთაა.

ტოლფერდა სამკუთხედში ფუძეზე დაშვებული სიმაღლე ამავდროულად მედიანაცაა და ბისექტრისაც. ტოლგვერდა სამკუთხედის ყველა სიმაღლე მედიანაცაა და ბისექტრისაც. აქედან გამომდინარეობს, რომ მართკუთხა სამკუთხედში 30°-იანი კუთხის მოპირდაპირე კათეტი ჰიპოტენუზის ნახევარია.

შემოხაზული წრეწირი

წრეწირს, რომელიც მოცემული სამკუთხედის სამივე წვეროზე გადის, სამკუთხედზე შემოხაზული წრეწირი ეწოდება, თავად სამკუთხედს კი — წრეწირში ჩახაზული სამკუთხედი. სამკუთხედის სამივე გვერდის შუამართობები ერთ წერტილში იკვეთება და ეს წერტილი სამკუთხედზე შემოხაზული წრეწირის ცენტრია. სიბრტყეზე განლაგებულ ნებისმიერ სამკუთხედზეა შესაძლებელი წრეწირის შემოხაზვა. სამკუთხედზე შემოხაზული წრეწირის დიამეტრი ამ სამკუთხედის ერთ-ერთი გვერდისა და ამ გვერდის მოპირდაპირე კუთხის სინუსის შეფარდების ტოლია. აგრეთვე, თუ სამკუთხედის გვერდებია a, b და с, ფართობი — S, მასზე შემოხაზული წრეწირის რადიუსი კი — R,

R={abc \over 4S}.

მართკუთხა სამკუთხედზე შემოხაზული წრეწირის რადიუსი ჰიპოტენუზის ნახევარია, მისი ცენტრი კი — ჰიპოტენუზის შუაწერტილი. ტოლგვერდა სამკუთხედზე შემოხაზული წრეწირის რადიუსი გამოითვლება ფორმულით

R={a \over {\sqrt {3}}},

სადაც a ამ სამკუთხედის გვერდია, R — მასზე შემოხაზული წრეწირის რადიუსი.

ჩახაზული წრეწირი

წრეწირს, რომელიც მოცემული სამკუთხედის სამივე გვერდს ეხება, სამკუთხედში ჩახაზული წრეწირი ეწოდება, თავად სამკუთხედს კი — წრეწირზე შემოხაზული სამკუთხედი. სამკუთხედის სამივე ბისექტრისა ერთ წერტილში იკვეთება და ეს წერტილი სამკუთხედში ჩახაზული წრეწირის ცენტრია. სიბრტყეზე განლაგებულ ნებისმიერ სამკუთხედში შეიძლება წრეწირის ჩახაზვა. სამკუთხედში ჩახაზული წრეწირის რადიუსი ამ სამკუთხედის ფართობისა და ნახევარპერიმეტრის შეფარდების ტოლია. ანუ, თუ სამკუთხედის ნახევარპერიმეტრია p, ფართობი — S, მასში ჩახაზული წრეწირის რადიუსის სიგრძე კი — r,

r={S \over p}.

თუ მართკუთხა სამკუთხედის კათეტების სიგრძეებია a და b, ჰიპოტენუზისა კი — c, ჩახაზული წრეწირის რადიუსის სიგრძე იქნება

{a+b-c \over 2}.

ტოლგვერდა სამკუთხედში ჩახაზული წრეწირის რადიუსი გამოითვლება ფორმულით

r={a \over 2{\sqrt {3}}},

სადაც a ამ სამკუთხედის გვერდის სიგრძეა, r — მასში ჩახაზული წრეწირის რადიუსის სიგრძე.

დამოკიდებულებები სამკუთხედში

სინუსების თეორემა: სამკუთხედის გვერდები მოპირდაპირე კუთხეების სინუსების პროპორციულია.

${\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}$

კოსინუსების თეორემა: სამკუთხედის ნებისმიერი გვერდის კვადრატი უდრის დანარჩენი ორი გვერდის კვადრატების ჯამს გამოკლებული ამ გვერდებისა და მათ შორის მდებარე კუთხის კოსინუსის გაორკეცებული ნამრავლი.

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \,\gamma$

სამკუთხედის კუთხეების ჯამი: α + β + γ = 180° (π)

სადაც a, b და c სამკუთხედის გვერდებია, α, β და γ — ამ გვერდების მოპირდაპირე კუთხეები შესაბამისად.

სხვა დამოკიდებულებები

სიბრტყეზე მდებარე სამკუთხედისთვის სამართლიანია შემდეგი ტოლობები:

${a \over b}={a_{L} \over b_{L}},$

$l_{c}={{\sqrt {ab(a+b+c)(a+b-c)}} \over {a+b}}={\sqrt {ab-a_{L}b_{L}}},$

$m_{c}={1 \over 2}{\sqrt {2(a^{2}+b^{2})-c^{2}}},$

$h_{c}={2{\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}} \over c},$

$\operatorname {ctg} A={b^{2}+c^{2}-a^{2} \over 4S},$

$\operatorname {ctg} A+\operatorname {ctg} B+\operatorname {ctg} C={a^{2}+b^{2}+c^{2} \over 4S},$

$\operatorname {tg} A+\operatorname {tg} B+\operatorname {tg} C=\operatorname {tg} A\operatorname {tg} B\operatorname {tg} C,$

$\operatorname {ctg} B\operatorname {ctg} C+\operatorname {ctg} C\operatorname {ctg} A+\operatorname {ctg} A\operatorname {ctg} B=1.$

აქ:

a, b, c — სამკუთხედის გვერდების სიგრძეები, A, B, C — ამ გვერდების მოპირდაპირე კუთხეები, შესაბამისად

l_c — с გვერდის მოპირდაპირე წვეროს ბისექტრისის სიგრძე

a_L, b_L — მონაკვეთების სიგრძეები, რომლებსაც l_c ბისექტრისა c გვერდზე მოკვეთს

m_c — c გვერდის მოპირდაპირე წვეროს მედიანის სიგრძე

h_c — c გვერდის მოპირდაპირე წვეროდან დაშვებული სიმაღლის სიგრძე

p — სამკუთხედის ნახევარპერიმეტრი

S — სამკუთხედის ფართობი

ფართობი

სამკუთხედის ფართობის გამოთვლის სხვადასხვაგვარი გზები არსებობს:

სამკუთხედის ფართობი მისი ერთ-ერთი გვერდის სიგრძის და ამ გვერდისადმი დაშვებული სიმაღლის სიგრძის ნამრავლის ნახევარია.

სამკუთხედის ფართობი მისი რაიმე ორი გვერდისა და ამ გვერდებს შორის კუთხის სინუსის ნამრავლის ნახევარია.
- კერძოდ, მართკუთხა სამკუთხედის ფართობი მისი კათეტების სიგრძეების ნამრავლის ნახევარია.
- კერძოდ, ტოლგვერდა სამკუთხედის ფართობია

{a^{2}{\sqrt {3}} \over 4},

სადაც a ამ სამკუთხედის გვერდის სიგრძეა.

ჰერონის ფორმულა: თუ სამკუთხედის გვერდების სიგრძეებია a, b და с, ფართობი — S, ნახევარპერიმეტრი — p, სამკუთხედის ფართობი

S={\sqrt {p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}}={1 \over 4}{\sqrt {(a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)}}={\frac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}.

სამკუთხედის ფართობი მისი ნახევარპერიმეტრისა და მასში ჩახაზული წრეწირის რადიუსის სიგრძის ნამრავლის ტოლია.
თუ სამკუთხედის გვერდების სიგრძეებია a, b და с, მასზე შემოხაზული წრეწირის რადიუსის სიგრძე — R, სამკუთხედის ფართობი

S={abc \over 4R}.

$S={a^{2}\sin B\sin C \over 2\sin A}={a^{2}\sin B\sin(180^{\circ }-\angle A-\angle B) \over 2\sin A}={c^{2} \over 2(\operatorname {ctg} A+\operatorname {ctg} B)},$

სადაც a და c სამკუთხედის გვერდების სიგრძეებია, A და C — მათი მოპირდაპირე კუთხეები, B — მესამე კუთხე.

ლიტერატურა

გ. გოგიშვილი, თ. ვეფხვაძე, ი. მებონია, ლ. ქურჩიშვილი – გეომეტრია (მეცხრე კლასის სახელმძღვანელო). თბილისი, „ინტელექტი“ 2004.
ბ. ღვაბერიძე, ფ. დვალიშვილი, ალ. მოსიძე, კ. გელაშვილი, გ. სირბილაძე – მათემატიკა: გეომეტრია.
ა. პოგორელოვი — გემოეტრია 7–11. მეექვსე გამოცემა. გამომცემლობა „განათლება“, თბილისი 1995.
ს. თოფურია, გ. აბესაძე, გ. ოზბეგაშვილი, ვ. ხოჭოლავა, ზ. მეტრეველი - მათემატიკა, II ნაწილი. გეომეტრია (თეორია და ამოცანათა კრებული). მესამე გამოცემა. გამომცემლობა „განათლება“, თბილისი 1991.

რესურსები ინტერნეტში

სამკუთხედის ფართობი - 7 სხვადასხვა გზა
ანიმაციური დემონსტრაცია სამკუთხედის აგების ფარგლისა და სახაზავის გამოყენებით.
დამტკიცება იმის, რომ სამკუთხედის კუთხეების ჯამი 180 გრადიუსია
სამკუთხედის კალკულატორი - აგებს სამკუთხედს მოცემული სამი ელემენტით (გვერდებით, კუთხეებით, ფართობით, სიმაღლით და მისთ.).
ინტერაქტიული აპლეტი საკლასო ჩვენებისთვის.