Număr Lucas

Spirala Lucas, realizată cu sferturi de arc, reprezintă o bună aproximare a spiralei de aur când termenii ei sunt mari

A nu se confunda cu număr Pell–Lucas.

În matematică, numerele Lucas sau seria Lucas reprezintă un șir de numere întregi numit după matematicianul Édouard Lucas (1842–91), care a studiat atât acest șir, cât și numerele Fibonacci strâns legate. Numerele Lucas și numerele Fibonacci formează instanțe complementare ale seriei Lucas.^[1]^[2]^[3]

Numerele Lucas sunt definite asemenea numerelor Fibonacci sau a numerelor Pell: fiecare termen al seriei Lucas fiind egal cu suma celor doi termeni anteriori; ceea ce diferă sunt termenii inițiali ai seriei: $L_{n}=L_{n-1}+L_{n-2}$ , unde $L_{0}=2$ și $L_{1}=1$ .

Astfel primele câteva numere ale seriei Lucas sunt:

2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, ....^[4]

Uneori se consideră că primii doi termeni ai seriei sunt L₀ = 2 și L₁ = 1, ceea ce nu schimbă seria de la termenul 3 în sus.

Un număr Lucas care este și număr prim se numește prim Lucas. Primele 16 numere prime Lucas sunt:

2, 3, 7, 11, 29, 47, 199, 521, 2207, 3571, 9349, 3010349, 54018521, 370248451, 6643838879, 119218851371^[5]

Relația cu numerele Fibonacci

Prima identitate dintre numerele Fibonacci și numerele Lucas exprimată vizual

Datorită naturii similare, există mai multe identități între numerele Lucas $L_{n}$ și numerele Fibonacci $F_{n}$ . Printre acestea se numără următoarele:

$L_{n}=F_{n-1}+F_{n+1}=F_{n}+2F_{n-1}=F_{n+2}-F_{n-2}$
$L_{m+n}=L_{m+1}F_{n}+L_{m}F_{n-1}$
$L_{n}^{2}=5F_{n}^{2}+4(-1)^{n}$ , și pe măsură ce $n\,$ se apropie de +∞, raportul ${\frac {L_{n}}{F_{n}}}$ se apropie de ${\sqrt {5}}.$
$F_{2n}=L_{n}F_{n}$
$F_{n+k}+(-1)^{k}F_{n-k}=L_{k}F_{n}$
$L_{n+k}-(-1)^{k}L_{n-k}=5F_{n}F_{k}$ ; în particular, $F_{n}={L_{n-1}+L_{n+1} \over 5}$

Formula lor închisă este dată ca:

L_{n}=\varphi ^{n}+(1-\varphi )^{n}=\varphi ^{n}+(-\varphi )^{-n}=\left({1+{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}+\left({1-{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}\,,

unde $\varphi$ este raportul de aur. Alternativ, pentru $n>1$ mărimea termenului $(-\varphi )^{-n}$ este mai mică de 1/2, $L_{n}$ este cel mai apropiat număr întreg de $\varphi ^{n}$ sau, în mod echivalent, partea întreagă a lui $\varphi ^{n}+1/2$ , scrisă și ca $\lfloor \varphi ^{n}+1/2\rfloor$ .