Allmän linjär grupp

Den allmänna linjära gruppen av ordning $n$, betecknad GL(n) eller GL_n, är inom matematiken en av de s.k. klassiska Lie-grupperna. $GL(n)$ är den mest fundamentala av dessa, i bemärkelsen att den är gruppen som erhålls vid avlägsnandet av alla krav utom själva gruppaxiomen i sig — d.v.s. att det ska finnas en associativ kompositionsregel sådan att elementmängden är sluten under denna regel, ett enhetselement m.a.p. kompositionsregeln, samt att varje element ska ha en invers m.a.p. enhetselementet.

Representerad av matriser, över någon kropp $\mathbb {K}$, består gruppen således av alla inverterbara $n\times n$-matriser, under kompositionsregeln matrismultiplikation. Om den aktuella kroppen $\mathbb {K}$ inte är underförstådd utifrån sammanhanget betecknas det vanligtvis explicit som $GL(n,\mathbb {K} )$ eller $GL_{n}(\mathbb {K} )$. Verkande på ett $n$-dimensionellt $\mathbb {K}$-vektorrum $V$ utgör $GL(n)$ gruppen av automorfier på $V$, och betecknas då alternativt $GL(V)$ eller $Aut(V)$.

$GL(n)$ är även en algebraisk grupp, d.v.s. en grupp som också är en algebraisk varietet.

Viktiga undergrupper till $GL(n)$ är den speciella linjära gruppen $SL(n)$, bestående av alla $GL(n)$-element med determinant 1, samt den ortogonala gruppen $O(n)$, bestående av alla $GL(n)$-element $g$ som uppfyller $g^{t}=g^{-1}$.

Referenser

• Onishchik, A. L.; Vinberg, E. B. (1993). Lie Groups and Lie Algebras I: Foundations of Lie Theory. Springer-Verlag Berlin Heidelberg. ISBN 978-3-540-18697-7