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太原理工大学 线性代数 试卷（A）

适用专业：2018 级理工、文、经管等专业 考试日期：2019.6.22 时间：120 分钟 共 4 页

题 号 一 二 三 四 总 分
得 分
学号

一、本题共 15 小题，（1-10 题为选择题, 11-15 题为填空题, 每小题 2 分）共 30 分。

(密封线外不要写姓名、学号、班级、密封线内不准答题，违者按零分计)

1．设 D 为 n 阶行列式，则 D = aij 展开式中 a1,n a 2,n −1 a3,n − 2  a n ,1 项前乘以（ ）。

n ( n −1)
n ( n +1)
A、 (−1) ； B、+1； C、 (−1) ； D、 (−1) 2
。
.
姓名

2. 设向量组  ,  , 线性无关，  ,  , 线性相关，则 （ ）

A、  必可由  , , 线性表示； B、  必不可由  , , 线性表示；

C、  必可由  ,  , 线性表示； D、  必不可由  ,  , 线性表示。

3 0 0
 
系 专业班级

3．设矩阵 A =  0 1 2  ，与矩阵 A 合同的矩阵是 （ ）。

0 2 1
 
1 0 0 1 0 0  1 0 0
     
A、  0 1 0  ； B、  0 1 0  ； C、  0 − 1 0  ； D、以上都不对。
0 0 1  0 0 −1  0 0 − 1
     

4．设 1 = (1, 1, 1),  2 = (1, 0, − 1) ，向量  与  1 及  2 都正交，则  = （ ）。

A、 (1, − 2, − 1) ； B、 (1, − 1, 1) ； C、 (1, 2, 1) ； D、 (1, − 2, 1) 。

学院

5． 已知1 , 2 ,  3 是线性方程 Ax = b 的解，那么 （ ）

A、 31 − 2 2 +  3 ， 是 Ax = b 的解；
B、 41 − 2 2 − 3 3 ，是 Ax = b 的解；
C、 51 + 2 2 − 6 3 ，是 Ax = b 的解；
D、1 + 2 2 +  3 ， 是 Ax = b 的解。

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6．设 A, B, C 是 n 阶矩阵，若 AB = C ，且 B 是可逆矩阵，则 （ ）。

A、 C 的行向量组与 A 的行向量组等价；
B、 C 的列向量组与 A 的列向量组等价；
C、 C 的行向量组与 B 的行向量组等价；
D、 C 的列向量组与 B 的列向量组等价。

7．设三阶矩阵 A 的特征值为 −1 ，1，2，且 B = A 2 − 5 A ,则 B 的特征值为 （ ）。

A、 12, − 4, − 3 ； B、 6, − 4, − 6 ； C、 6, − 4, 5 ； D、 − 1, 6, 9 。

a b b
 
8．设 A =  b a b  ， A * 为 A 的伴随矩阵， A * 的秩是 1，则必有（ ）。
b b a
 
A、 a = b 或 a + 2b = 0 ； B、 a = b 或 a + 2b  0 ；
C、 a  b 且 a + 2b = 0 ； D、 a  b 且 a + 2b  0 。

9．设 A 是三阶实对称矩阵， E 是三阶单位矩阵，若 A 2 + A = 2 E ,且 A = 4 ，则

二次型 x T Ax 的规范形为 （ ）

A、 y12 + y 22 + y32 ； B、 y12 + y 22 − y32 ；

C、 y12 − y 22 − y32 ； D、 − y12 − y 22 − y 32 。

10．二次型 f ( x1 , x 2 , x3 ) = x12 + x 22 + 3x32 − 2 x1 x 2 ，若 f ( x1, x 2, x3 ) = 1 ，则曲面是 （ ）

A、椭圆柱面； B、椭球面； C、单叶双曲面； D、双叶双曲面。

11．设三阶矩阵 A 的行列式 A = 2 , 则 A A2 = （ ）。

12． 已知向量组 1  2  3 线性无关，向量组 1 +  2 , 1 + 2 2 +  3 ,  1 −  3 线性相关，

则 =（ ）。

13. 设 A = ( 1  2  3 ) 为三阶矩阵，若  1  2 线性无关，且  3 = − 1 + 2 2 ，

则线性方程组 Ax = 0 的通解 （ ）。

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 2 1 1 1 0 0 
   
A =  1 x 1  与 B =  0 1 0  相似，则 (x , y ) =
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14. （ ）。
1 1 2 0 0 y
   

1 0 0 0
 
0 2 0 0
15. 已知 A =   , A 的逆矩阵 A −1 为 （ ）。
0 0 4 2
 
学号

0 0 3 2 


二、本题共 2 小题，共 24 分。
(密封线外不要写姓名、学号、班级、密封线内不准答题，违者按零分计)

16．（12 分） 设 A, B 是三阶矩阵， B T 是 B 的转置矩阵，满足 AB = A + B T ，

3 0 1
 
姓名

且 B = 1 1 0 , 求 A 。
0 1 4
 

 x1 + x 2 − 2 x3 + 3 x 4 = 0

17．（12 分）解方程组  2 x1 + x 2 − 6 x3 + 4 x 4 = −1 ．
3 x + 2 x − 8 x + 7 x = −1
 1 2 3 4
系 专业班级

三、本题共 2 小题，共 24 分。

 3 2 0
 
18．（12 分） 设矩阵 A =  2 3 0  ，求 A 的特征值与特征向量，并求正交矩阵 P ，
 0 0 4
 
−1
使得 P AP 为对角矩阵。

19．（12 分）
学院

已知向量  1 = (1, 2, 3, 4) T ,  2 = (−1,1, 0, 2) T ,  3 = (0,1, 2,1) T ,  4 = (1, 6, 8,11) T ，

求向量组  1 ,  2 ,  3 ,  4 的秩及极大无关组；并将向量  = (1, − 2, 0, − 5) T 表示极大

无关组的线性组合。

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四、本题共 2 小题，共 22 分。

2 3 2 4
5 2 1 2
20．（12 分） 计算行列式 。
3 1 1 2
1 4 3 5
21．（10 分）

设 A 是 m n 阶矩阵，且 R( A) = n ，证明： AT A 为对称矩阵，且为正定矩阵。

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