National Taiwan University - Calculus 2 Indefinite Integral Practice

1. ∫ sin2 x cos2 x dx

1 − cos(2x) 1 + cos(2x) 1
∫ sin x cos x dx = ∫ dx = ∫ sin2 (2x) dx
2 2
2 2 4
1 1 − cos(4x) x 1
= ∫ dx = − sin(4x) + C
4 2 8 32

x5
2. ∫ √ dx
1 − x3
3

x5 u−1
√
∫ 3 dx = ∫ √ du (u = 1 − x3 , du = −3x2 dx)
1−x 3 3 3
u
1 1
= ∫ u2/3 − u−1/3 du
3 3
1 1
= (1 − x3 )5/3 − (1 − x3 )2/3 + C
5 2

3. ∫ tan3 x dx

∫ tan x dx = ∫ tan x sec x dx − ∫ tan x dx (u = tan x, du = sec xdx)

3 2 2

1
= ∫ u du − ln ∣ sec x∣ = tan2 x − ln ∣ sec x∣ + C
2

x3
4. ∫ √ dx
4 + x2
√
x3 x 4 + x2 1
∫ √ dx = ∫ 8 tan3 θ sec θ dθ (tan θ = , sec θ = , sec2 θ dθ = dx)
4 + x2 2 2 2
= ∫ 8(u2 − 1) du (u = sec θ, du = tan θ sec θdθ)
8 8
= u3 − 8u + C = sec3 θ − 8 sec θ + C
3 3
1 √
= (4 + x2 )3/2 − 4 4 + x2 + C
3

1
 −1
ecos x
5. ∫ √ dx
1 − x2

−1
−1
ecos x
∫ √ dx = ∫ −eu du (u = cos−1 x, du = √ dx)
1 − x2 1 − x2
= −eu + C = −ecos +C
−1 x

6. ∫ x3 e−x dx
2

u
∫ xe
3 −x2
dx = ∫ e−u du (u = x2 , du = 2xdx)
2
−u −u −1 −u
= e −∫ e du
2 2
−u −u 1 −u
= e − e +C
2 2
−x2 −x2 1 −x2
= e − e +C
2 2

7. ∫ tan−1 x dx

x
∫ tan x dx = x tan x − ∫ 1 + x2 dx (u = 1 + x , du = 2xdx)
−1 −1 2

1
= x tan−1 x − ∫ du
2u
1
= x tan−1 x − ln ∣1 + x2 ∣ + C
2

1
8. ∫ √ √ dx
x+ 6 x

1 6u5 √
∫ √ √ dx = ∫ u +u
du (u = 6 x, x = u6 , dx = 6u5 du)
x+ x
6 3

6u4
=∫ 2 du
u +1
6
= ∫ 6u2 − 6 + 2 du
u +1
= 2u3 − 6u + 6 tan−1 u + C
√ √ √
= 2 x − 6 6 x + 6 tan−1 ( 6 x) + C

2
 9. ∫ tan4 x dx

∫ tan x dx = ∫ (sec x − 1) dx = ∫ sec x − 2 sec x + 1 dx

4 2 2 4 2

= ∫ (tan2 x + 1) sec2 x − 2 sec2 x dx + ∫ 1 dx (u = tan x, du = sec2 xdx)

1
= ∫ (u2 + 1) − 2 du + ∫ 1 dx = u3 − u + x + C
3
1
= tan3 x − tan x + x + C
3

10. ∫ x sin2 x dx

1 − cos 2x 1 1
∫ sin x dx = ∫ dx = x − sin 2x + C
2
2 2 4
1 1 1 1
∫ x sin x dx = x( 2 x − 4 sin 2x) − ∫ 2 x − 4 sin 2x dx
2

1 1 1
= x2 − x sin 2x − cos 2x + C
4 4 8

11. ∫ (9 − 4x2 )3/2 dx

3 3
∫ (9 − 4x ) dx = ∫ (3 cos θ) ⋅ 2 cos θ dθ
2 3/2

√
2x 9 − 4x2 2
(sin θ = , cos θ = , cos θ dθ = dx)
3 3 3
81 1 + cos 2θ 2
=∫ ( ) dθ
2 2
81 81 cos 2θ 81 cos2 2θ
=∫ ( + + ) dθ
8 4 8
81 81 cos 2θ 81 81 cos 4θ
=∫ ( + + + ) dθ
8 4 16 16
243 81 sin 2θ 81 sin 4θ
= θ+ + +C
16 8 64
243 −1 2x 81 81
= sin ( ) + cos θ sin θ + cos θ sin θ(1 − 2 sin2 θ) + C
16 3 4 16
243 −1 2x 45 √ √
= sin ( ) + x 9 − 4x2 − x3 9 − 4x2 + C
16 3 8

3
 cos 2x sec x
12. ∫ dx
sin x + sec x

cos 2x sec x cos 2x

∫ sin x + sec x dx = ∫ cos x sin x + 1 dx
cos 2x 1
=∫ 1 dx (u = sin 2x + 1, du = cos 2x dx)
2 sin 2x + 1
2
1 1
=∫ du = ln ∣u∣ + C = ln ∣ sin 2x + 1∣ + C
u 2

13. ∫ (ln x)2 dx

∫ (ln x) dx = x(ln x) − ∫ 2 ln x dx
2 2

= x(ln x)2 − 2 [x ln x − ∫ 1 dx]

= x(ln x)2 − 2x ln x + 2x + C

1 + e−x
14. ∫ dx
1 + e2x

1 + e−x ex + 1 u+1
∫ 1 + e2x dx = ∫ ex (1 + e2x ) dx = ∫ u2 (1 + u2 ) du (u = e , du = e dx)
x x

1 1 u+1 1 1
=∫ + 2− 2 du = ln ∣u∣ − − ln ∣u2 + 1∣ − tan−1 u + C
u u u +1 u 2
1
= x − e−x − ln ∣e2x + 1∣ − tan−1 (ex ) + C
2

x5
15. ∫ √ dx
1 − x4

x5 sin2 θ √
∫ √ dx = ∫ cos θ dθ (sin θ = x2 , cos θ = 1 − x4 , cos θdθ = 2xdx)
1 − x4 2 cos θ
1 1 1
= ∫ 1 − cos 2θ dθ = θ − sin 2θ + C
4 4 8
1 −1 2 1 2√
= sin (x ) − x 1 − x4 + C
4 4

4
 1
16. ∫ 4 dx
x +4

1 1
∫ x4 + 4 dx = ∫ (x2 + 2x + 2)(x2 − 2x + 2) dx
1
x + 14 −1
x + 14
= ∫ 28 + 28 dx
x + 2x + 2 x − 2x + 2
8 (x + 1) 8 (x − 1)
1 1 −1 1
=∫ + 8
+ + 8
dx
(x + 1)2 + 1 (x + 1)2 + 1 (x − 1)2 + 1 (x + 1)2 + 1
1 1 1
= ln ∣x2 + 2x + 2∣ + tan−1 (x + 1) − ln ∣x2 − 2x + 2∣
16 8 16
1
+ tan−1 (x − 1) + C
8

17. ∫ sec3 x dx

∫ sec x dx = ∫ sec x sec x dx = sec x tan x − ∫ sec x tan x dx

3 2 2

= sec x tan x + ∫ sec x dx − ∫ sec3 x dx

= sec x tan x + ln ∣ tan x + sec x∣ − ∫ sec3 x dx

1 1
∫ sec x dx = 2 sec x tan x + 2 ln ∣ tan x + sec x∣ + C
3

1
18. ∫ √ dx
6x − 9x2

1 1
∫ √ dx = ∫ √ dx
6x − 9x2 1 − (3x − 1)2
√
(sin θ = 3x − 1, cos θ = 6x − 9x2 , cos θdθ = 3dx)
cos θ
=∫ dθ
3 cos θ
θ 1
= + C = sin−1 (3x − 1) + C
3 3

5
19. ∫ ex cos 3x cos 5x dx

cos 8x + cos 2x
∫ e cos 3x cos 5x dx = ∫ e
x x
dx
2
∫ e cos 8x dx = e cos 8x + ∫ e (8 sin 8x) dx
x x x

= ex cos 8x + 8ex sin 8x − 64 ∫ ex cos 8x dx

8 x 1 x
∫ e cos 8x dx = 65 e sin 8x + 65 e cos 8x + C
x

2 x 1 x
∫ e cos 2x dx = 5 e sin 2x + 5 e cos 2x + C
x

4 x 1 x 1 x 1 x
∫ e cos 3x cos 5x dx = 65 e sin 8x + 130 e cos 8x + 5 e sin 2x + 10 e cos 2x + C
x

20. ∫ ln(x2 − x + 2) dx

∫ ln(x − x + 2) dx
2

2x2 − x
= x ln(x2 − x + 2) − ∫ dx
x2 − x + 2
x−4
= x ln(x2 − x + 2) − ∫ 2 + 2 dx
x −x+2
1 7
(x − ) −
= x ln(x2 − x + 2) − ∫ 2 +
2 2
2 dx
1 7
(x − ) +
√
2 4
√ √ √
⎛ 1 7 1 2 7 7 7 ⎞
x− = tan θ, (x − ) + = sec θ, dx = sec2 θ dθ
⎝ 2 2 2 4 2 2 ⎠
√
= x ln(x2 − x + 2) − 2x − ∫ tan θ − 7 dθ
√
= x ln(x2 − x + 2) − 2x − ln ∣sec θ∣ + 7θ + C
1 4(x2 − x + 2) √ 2 1
= x ln(x2 − x + 2) − 2x − ln ∣ ∣ + 7 tan−1 [ √ (x − )] + C
2 7 7 2
1 √ 2 1
= x ln(x2 − x + 2) − 2x − ln(x2 − x + 2) + 7 tan−1 [ √ (x − )] + C
2 7 2