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##Introducción

• Experimento: pocedimiento bien definido donde se miden una o más magnitudes (variables)
• $X, Y,\dots$ variables
• $(x,y,\dots)$ resultado (del experimento)
• $\Omega ={\mbox{Conjunto de resultados posibles}} \quad$ espacio de probabilidad
• $A, B,\dots$ eventos = conjuntos de resultados
• $\mathcal F$ conjunto de eventos posibles o válidos
• $P:\mathcal F \rightarrow [0,1]$ probabilidad
• $(\Omega, \mathcal F, P) $ espacio de probabilidad del experimento

• $P(\Omega)=1$
• $A\cap B=\emptyset ; \Rightarrow ; P(A\cup B) = P(A)+P(B) $
• $A_1\supset A_2\supset\dots \Rightarrow P(\cap_{n\geq 1}A_n)=\lim_{n\rightarrow \infty} P(A_n) $

#####Comentarios

• Si $\Omega$ es finito o contable se usa $\mathcal F= 2^\Omega$. Si $\Omega =\mathbb R$ se usa $\mathcal F=\mathcal B_{\mathbb R}$, los conjuntos de Borel de $\mathbb R$ (i.e. intevalos, puntos, uniones contables de estos y algunos más). Si $\Omega =\mathbb R^n$, $\mathcal F =\mathcal B_{\mathbb R^n}$, boreleanos de $\mathbb R^n$ (rectángulos n-dimensionales, puntos, uniones contables de estos y algunos más), y si $\Omega \subset \mathbb R^n$, $\mathcal F={B\cap\Omega:B\in\mathcal B_{\mathbb R^n}} $.
• Probabilidad clásica (o probabilidad uniforme): Si la probabilidad es proporcional al tamaño (cardinal, longitud, área, volumen, etc.) del evento entonces $P(A)= \frac{Tam(A)}{Tam(\Omega)}$.
• Si $P(A)=1 $ para un $A\in\mathcal F$, se dice que $P$ está concentrada en $A$.

Ejemplo: Experimento: lanzar dados $1$ y $2$, y registrar el resultado $D_1,D_2$. $\Omega ={(1,1),(1,2),\dots,(1,6),(2,1),\dots,(6,6) } $ $\mathcal F=2^\Omega $, todo conjunto de resultados es evento $A= {(4,6),(5,5),(6,4)},$, resultados con suma igual a 10 $P(A) =\frac{#(A)}{#(\Omega)}=\frac{3}{36}=\frac{1}{12} $, (probabilidad uniforme) Otra posibilidad: $,,\Omega=\mathbb R $, $\mathcal F =\mathcal B_{\mathbb R}$ y $P$ concentrada en $E$: $P(A)=\frac{#(A\cap E)}{#(E)} $, $A\in \mathcal F$, con $E={(1,1),(1,2),\dots,(6,6)}$.

Ejemplo: Experimento: lanzar una tiza uniformemente a la pizarra y medir la posición $X,Y$ de la marca dejada. $\Omega=[0,l]\times[0,a] $, $,(a< l) $ $\mathcal F={B\cap\Omega:B\in\mathcal B_{\mathbb R^2}}$ $A={(x,y)\in\Omega:x>y}$, puntos bajo la diagonal $P(A)=\frac{Area(A)}{Area(\Omega)}=\frac{al-a^2/2}{al}=1-a/(2l) $, (probabilidad uniforme) Otra posibilidad: $,,\Omega=\mathbb R^2, \mathcal F =\mathcal B_{\mathbb R^2}$ y $P$ concentrada en $E$: $P(A)=\frac{Area(A\cap E)}{Area(E)} $, $A\in \mathcal F$, con $E=[0,l]\times[0,a]$.

####Variable Aleatoria Real

$X:\Omega\rightarrow\mathbb{R}$, es una función de $\Omega$ a $\mathbb R$. Interesan los eventos $X^{-1}(B)={\omega\in \Omega:X(\omega)\in B}$, por tanto deben estar en $\mathcal F, \forall B\in \mathcal B_{\mathbb R}$. También se denotan como ${X\in B}$ y su probabilidad como $P(X\in B) $.

Ejemplo: En el experimento de lanzar 2 dados, las variables aleatorias $D_1$ y $D_2$, de $\Omega$ en $\mathbb R$ están dadas por $D_1(\omega)=\omega_1$ y $D_2(\omega)=\omega_2$, donde $,\omega=(\omega_1,\omega_2)\in \Omega $. Con estas se puede definir la variable aleatoria suma, $S=D_1+D_2: \Omega\rightarrow\mathbb R$, dada por $S(\omega)=D_1(\omega)+D_2(\Omega)=\omega_1+\omega_2 $. $$${S=10}={(4,6),(5,5),(6,4)} ,, $$$ y $$$P(S=10)=\frac1{12}$$$

Ejemplo: En el experimento de lanzar una tiza a la pizarra tenemos también las variables coordenadas, $X,Y: \Omega \rightarrow\mathbb R$, dadas por $X(\omega)=\omega_1$ y $Y(\omega)=\omega_2$, $\omega =(\omega_1,\omega_2)\in \Omega$.

• $P(A\cup B) = P(A)+P(B)-P(A\cap B) $
• $P(A^c) = 1-P(A) $
• $A\subset B ; \Rightarrow ; P(A) \leq P(B) $
• $A\subset B ; \Rightarrow ; P(B \setminus A) = P(B)-P(A) $
• $A_1,A_2,\dots \mbox{ disjuntos}\Rightarrow P(\cup_{n\geq 1}A_n)=\sum_{n\geq 1}P(A_n) $

Principio Básico: Si los objetos de una colección se distinguen únicamente por dos características, las cuales tienen $m$ y $n$ posibles valores, entonces el número de objetos en la colección es $mn$.

Sea $G$ un conjunto con $m$ elementos, los esquemas de conteo más comunes son:

1. $A={(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_k):\alpha_i\in G, \forall i} \Rightarrow #(A)=m^k $

2. $A={(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_k):\alpha_i\in G, \alpha_i\neq\alpha_j, \forall i\neq j}\ \Rightarrow #(A)=m(m-1)(m-2)\cdots(m-k+1) $

3. $A={{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_k}:\alpha_i\in G, \forall i}\ \Rightarrow #(A)= {m\choose k} $

4. $A={(n_1, n_2,\dots, n_m): n_i\in {0,1,\dots,k}, \sum_{i=1}^m n_i=k }\ \Rightarrow #(A)= {m+k-1\choose k} $

Dado un cierto experimento, nos interesa que se cumpla el evento $B$ (la condición). Los resultados

Dada la probabilidad, $P:\mathcal B_{\mathbb R}\rightarrow [0,1] $ en $\mathbb R$, su función de distribución es $F:\mathbb R\rightarrow \mathbb R$, definida por $F(x)=P(]-\infty,x]) $.

• Si existe una función real $p$ tal que $F(x)=\sum_{u\le x}p(u) $ para todo $x\in\mathbb R$, se dice que $P$ tiene distribución discreta con función de probabilidad $,p$ (está claro que para que la suma converja $p$ debe ser igual a cero salvo en una cantidad contable de puntos a lo más).
• Si existe una función real $f$ tal que $F(x)=\int_{-\infty}^x f(u)du ,$ para todo $x\in \mathbb R$, se dice que $P$ tiene distribución continua con densidad $,f$.
• Si $F(x)=\sum_{u\le x}p(u) + \int_{-\infty}^x f(u)du ,$ se dice que $P$ tiene distribución mixta.

Dada una variable aleatoria real $X$ se puede definir una probabilidad asociada $P_X$ en $\mathbb R$, su distribución o ley, por $P_X:\mathcal B_{\mathbb R}\rightarrow [0,1], ,,P_X(B)=P(X\in B),, B\in \mathcal B_{\mathbb R}$.

$E[X]=\int_{-\infty}^\infty xdF_X(x) $ (integral de Riemann-Stieltjes)