talteori

Elementær talteori omfatter især tallenes multiplikative egenskaber, altså spørgsmål om fx delelighed og kongruens, primtal og sammensatte tal samt fuldkomne tal.

En hjørnesten er aritmetikkens fundamentalsætning, som er sætningen om entydig opløsning af naturlige tal i primfaktorer.

Af geometrisk oprindelse er spørgsmålet om at bestemme pythagoræiske talsæt, dvs. sæt af hele tal \((x,y,z)\), der kan være længder i en retvinklet trekant. Det fremgår af lertavler, skrevet før 1500 f.v.t., at babylonierne kunne frembringe sådanne talsæt, fx \(x = 13.500\), \(y = 12.709\) og \(z = 18.541\).

Fra den tidlige græske matematik kendes beviset for, at siden og diagonalen i et kvadrat er inkommensurable, altså at siden og diagonalen ikke samtidig kan være hele tal.

Ligeledes kendes fra græsk matematik Euklids algoritme til bestemmelse af den største fælles divisor for to tal, Euklids bevis for, at der er uendelig mange primtal, og undersøgelsen af de lige fuldkomne tal.

Den kinesiske restklassesætning fra 1. årh. e.v.t. har været anvendt i kalenderberegninger. Den udsiger, at hvert system af kongruenser \(x \equiv a_1\) (mod \(n_1\)), ... , \(x \equiv a_r\) (mod \(n_r\)), hvor tallene \(n_i\) er parvis primiske, har en løsning \(x\), og \(x\) er entydigt bestemt modulo produktet \(n_1 \cdots n_r\).

Den egentlige talteori går tilbage til 1600-tallet. Af tidlige, letforståelige resultater kan nævnes Fermats lille sætning, Eulers sætning om fremstilling af primtal som sum af to kvadrater, Bachets sætning og Wilsons sætning.

Fundamental betydning fik Fermats store sætning (som en inspirerende udfordring) og Gauss' reciprocitetssætning om kvadratiske rester.

Algebraisk talteori omhandler egenskaber ved talringe, dvs. ringe af algebraiske tal, og en række vigtige spørgsmål i talteori kan med fordel betragtes i relation til talringe. Fx kan Pells ligning, \(x^2−Dy^2 = 1\), undersøges ved at betragte ringen af tal af formen \(x+y\sqrt{D}\), hvor \(x\) og \(y\) er hele tal; med sådanne tal kan ligningen skrives

\[(x+y\sqrt{D})(x-y\sqrt{D})=1\]

Tilsvarende kan ligningen \(x^2+y^2 = p\) undersøges ved at betragte ringen af komplekse tal af formen \(x+yi\), hvor \(x\) og \(y\) er hele tal; med sådanne tal kan ligningen skrives

\[(x+iy)(x−iy) = p\]

Talringe opfører sig på flere måder ligesom ringen af hele tal. Idet de sædvanlige primtal kan defineres som de tal, der inden for de hele tal kun har trivielle divisorer (dvs. \(\pm 1\) og \(\pm\) tallet selv), kan man tilsvarende definere "primtallene" i en givet talring. Ethvert tal i talringen kan da opløses i "primfaktorer", men denne opløsning er ikke nødvendigvis entydig: Aritmetikkens fundamentalsætning gælder ikke for talringe i almindelighed. Teorien udvikledes i 1800-tallet, bl.a. af Peter Lejeune Dirichlet, som bestemte enhederne (dvs. de tal \(x\) i talringen, for hvilke også \(\frac{1}{x}\) tilhører talringen), og af Ernst Kummer og Richard Dedekind, som fandt resultater, der erstattede fundamentalsætningen.

Analytisk talteori omfatter resultater opnået med metoder fra matematisk analyse, fx kompleks funktionsteori. Hertil hører sætninger om primtallenes fordeling og Dirichlets sætning om primtal i differensrækker. Sammenhængen mellem primtallene og Riemanns zetafunktion \(\zeta(s)\) for reelle værdier af \(s\) blev opdaget allerede i 1737 af L. Euler. Til den analytiske talteori hører også David Hilberts løsning fra 1909 af Warings problem og Godfrey Harold Hardy og Srinivasa Aiyangar Ramanujans resultater fra 1917 om partitioner.

udnytter geometriske metoder, fx i spørgsmål vedrørende diofantiske approksimationer. Et hovedresultat her er Minkowskis gittersætning fra 1896: En punktmængde i \(R^n\), der er symmetrisk omkring begyndelsespunktet og konveks og har et volumen større end \(2^n\), indeholder foruden begyndelsespunktet mindst et punkt med heltalskoordinater.