TLE... | Roue Sur une roue de voiture de masse m de rayon a et de moment d'inertie autour de son axe de rotation A, Jig = }rna?, con place une chatne permettant de progresser sur la neige. On assimile cette chaine & 10 points matériels de masse {hy rSpartis sur la périphérie de la roue. Déterminer la masse totale de la roue équipée de la chaine et son moment dinertie par rapport 3 A. ie eas fibk.- BA Ae AO geal 400 of sd oa Glial dgaate 7 On peat A Damp XA. of anasaule Take ex plane pa. appt Ault. det bat. Bie, tile raante She oe wh malin. clos g Lea ss i Pot Bialibhe ee Te £ =a _ Ao es - Wan ye wae ec hme £ og i bent Jae pn ee ee, (a ste a A, tonal etd ey 4... OE. HAL... ad id © df PMY. 0A, ereTB... 2 Une fraise de dentiste est assimilée a un cylindre de rayon a = 1,0,10~? m et de masse m = 10.10-* kg et de moment d'inertie par rapport & son axe Ja = dma et tournant & 100000 tours par minute, Calculer son moment cinétique Tleheal sath que pa nappent a. zs de as Lanna Mion ji ® : Cs sidleid deine La ma. * 28 Eject Me dh cdl dds. OE f % 60 i uy ; ea bye EA Lywen de.TUB... 3 Caloul de moments On considére un point matériel M(m) soumis & une force F = F-@ constante. 1L. Exprimer les moments de la force suivants : Mo(F), Ma(F), Ma(F), Mo(F), Mn(F). 2. Exprimer les moments suivants par rapport aux axes orientés : Moo,2.)(F*), Miccz(F). Mun,2.)(F) a 00a A D OAlomenk de dee sod)... HAE... FLiae..2, HM. PD 2 Ooo (les aappala de. Ppt e. ptt. Bove. RIL ED WCE) ek FL ca. Oe. fle. CE).22 EL 08. HOE) <0. FOR AR) xB AMA Eline Sg emit lead As han que 4, Sadan on. @..On pajele Te Natt pksldonke ua a eR ise ae iihog LP). 2. EL con. Bo ii eee La (Es. Wha El & Se Pade Jads 85 Ex 1 Céne Un point matériel A de masse m est relié au point fixe O par un fil inextensible de longueur OA = £ et de masse négligeable. I! décrit un céne d'axe vertical et de demi-angle o & la vitesse angulaire © constante. On néglige tout frottement. 1L. en utilisant la relation fondamentale de la dynamique, établir la relation entre 0, a et &. 2. en utilisant le théoreme du moment cinétique, établir la relation entre 0, a et £. 3. Discuter suivant les valeurs de 92. Hone bial a asker Hf den. ate. itt ay de. aa 2. os 4 (ten Wl de i fu anne va badd. Posh on MWt,0P). =t.ma.. ey a Bal b nagen ora RO Doina pigee i im, (FT). = heed er aioe da. pai... A depp i un af 3 . a dee 5 “ AM. ‘AUS. St5 Roe eo arose gee > 2 Hawent in ¢ 4s. 8000. CO. ame Sy rf pets sBie ty Ligiionieag Pra, ba tease wea ee oh = Lea a. ty ot La at ie. i 5 : (oe) sta LO. cet. dind..bet..in, £9. 0hn a. Fe Py 2 ‘ ee oe any sal Se CBA MAG. to "i a PED aA daed ih: e Saat elt 4 i alas x ARM, a ; O =A. 4 Tad. Tee che (Ag nou Sul ee 2 La Od© IMe.ah.. ne ule il wie Ge ort eae RON a tan) ies ee 64 Min af ee Ce ee . fet we Sa QS ys Bick ae Baas Moved we or hb oe we ca i MAEx b Oscillation dun solide Un solide 5 est constitué de deux tiges homogénes rigidement liées l'une 3 l'autre AO et OB faisant entre elles un angle droit. Chaque tige a pour masse 1 et pou longueur 2 S peut tourner autour d'un axe horizontal A = (Oz) passant par O. La liaison en © est une liaison pivot parfaite. Un ressort de masse négligeable de constant de raideur k est accroché & Mune des extrémité en A, l'autre extrémité C étant maintenue fixe, Lorsque l'ensemble est en équilibre dans le champ de pesanteur supposé vertical et uniforme AO est horizontale et OB verticale. ‘On donne le moment dinertie d'une tige de masse m et de longueur 2¢ par rapport & un axe perpendiculaire ala tige et qui passe par une extrémité est J = $mé? 1. Que vaut le moment d'inertie Ja, de l'ensemble des deux tiges par rapport a I'axe A 2. Déterminer l'allongement du ressort lorsque le systéme est 3 I’équilibre. On souhaite étudier les oscillations autour de la position d'équlibre. L’angle @ restant petit on pourra considérer que la fore exercée par le ressort sur le solide reste verticale pendant tout le mouvement, 3. Déterminer I'équation différentielle vérifie par 0. Montrer que le mouvement est sinusoidal et donner I'expression de la période en fonction dem, 9, k et 4. Application numérique : calculer la période sachant que m = 100 g, €= 10cm et k = 12 N/m @. Tatak E dhanenlie Lt ensentteder.2 Kges f ; Le. manent. lm ‘al ame grander, addiive ae Tsien mantel re Wag aie Rappake..A oh 4. E gill cand nd bene: sabide Ss 1 ‘f ae setts qd tee Bilan da. hekon eabiph 2, 3. .Réa dlian.,..de... da Tcen suk 2M extage..end)... Tin par bl SS. Aan, aiedicih eu.O......2a ull, ale paide..de.8 a tla de dey.p 5 elo 4 ue feof oe aa iipachetnl Le pai da i 4. get. Gann Jas. 2m 3a Tg Ohaus Penis de. gall All... Le de L “5 assests Ene wae berg ge d dus hee an ; Mey Cee mah a. Tige ce i hake de guile a el, Coc Ob, ales sack nb oy A) : iM CB ence 2 Oia Vigil Wee neet de, hapel dicamal A Pigththn, Pte (he 5 Db ey b de L La 7 2h. i pa Lee Po indee Bt fail oe dan t Ab... 2 My (Rv are Spee On. mie ih - ms apline & dans “il suppor alti pax hapa. 4 One BD equtbhe Ou nak gem °. ete [Fee ee] Decide be @ chides paler snail akiona rs 4 : , On..wa cagpla gue Wet TD Be Ba ple aapal a Uf ate 4...Evaiot dé ia pax napal..d Bid lly £B.) z mqlca. 8 iy CP, miles oe = KCL bee ag Lage de Tn¢.a..& oe i “ill Ye Ta, % ee a gba d= k Cae p), he de pls Loe e dey alin 8 gulls a, mg diind 4 aa a fie yea “Libel see Cabo kuby ioe : TAC en..ah 2 3k Moa.G.< aS of eee ee ie gt Lom at On. ee, Lege ani on eee de tk a mt free t Ing ; OF fissile Ps) WucSir lf coo to ae, : fe af j : . st aa L (pau des pela tn af Teoh ae re + Bea eke... Tbe th AT wd 3 Gd BDA Neal bcd ae yi Tee fhe 208 a Gs Oba AN= b: G44 StS,Ex 3 Moments des forces et éauilisre. Soit un fil inextensible et sans masse, fixé en A a un socle horizontal AB de longueur a et passant par B par une poulie parfaite de trés petites dimensions. En un point M tel que AM = a est accrochée une rassée ponctuelle m. Au bout du fil est aussi accrochée une masse men N. ey & 1, Etablir le bilan des forces qui s'exercent, sur le point “Mf eo exper leurs moments en A. Le seul angle devant intervenir dans ces expressions sera @ = (AB, AM). 2. Trouver une condition sur m et m' pour qu'une position d’équilibre existe, Exprimer quand il existe I'angle & équilibre 8, en fonction de m et m’. @ Kila. des doce _.eb Tnicoh on. Gbaadhoie.;...Kb.=AT...2...08T Kinal howl iE Quin dbus ROE Bids 5 “4 [my (P).ctm gq a.ca® eb ip ft te Jone Fae [oun fp hgh fel bons Léa, & ne nek PG) 8 5 Aa 64h prog de z daw be kase (u,eo). Tyne A Tell i = Te.cad.& - Tg and ky Ts = Tyee (EB) ge Ts..ata fe Be, Te = (2).€.-Te.a(2).€6 z Ue pede ch ak perlule = nti op va que aLextnce..0..M. gp 2 (20 e eee ea = le Leg wee by bbe - : ga On ROAR OA..n. NE. comma yen Tsrt. PAS Poux. dedi Le Naud... ANE A. a 6X ae :bilan.Ex! Cuvette sphérique Déposons 3 Tinstant ¢ = 0, sans vitesse initiale, une bille MI de masse m, en un point Mp d'une cuvette sphérique de centre O et de rayon r. Nous supposons que &y = (Orr, OMo) est faible (My est voisin de l'axe vertical descendant Oz). La bille effectue un glissement (dont les frottements sont négligeables) dans le plan Oy. Etablir ‘expression de (t) = (Wz, Z;) en fonction de t (od WZ, est unitaire suivant OM). itt ft hit al le ES ‘oh te Va A t, Ld ee MN a Hey, af Tél it, d 2 al nt d ix e..n,oailion..d E tle = zl clon dn ey << Sh UM. vat ques 6.TMC... pr. 2agyn axe Ga) gan... Pids P.- . / SS , TNoy-s — f He, «(Ota De Call sedaid) JAM? 106 Ou = i Ato. = MK | Woe, nag ano | be baa. de Lk dos. n mad, Signe. O.: fy i wg) vp at eudey ‘ TD non erate os ail ©. "Weacebion de, at = “ ne. € pelamend L all Heamal, ane “ fi ge "4 ch [it eo] : a! fiat Kis de z pane..paa 0.Ex + Oscilisteur 8 deux ressorts On considére un pendule constitué d'une tige de longueur & rigide de masse négligeable. Elle peut tourner librement ‘sans frottement autour d’un axe (A) passant par son extrémité supérieure O. A I'extrémité inférieure M est fixée une masse m que l'on suppose ponctuelle. par ailleurs, ce point M est relié & deux ressorts identiques (k, fo) eux-mémes accrochés 8 des points symétriques A et B de fagon que lorsque l'ensemble est en équilibre la tige OM est verticale. On écarte trés légerement le systéme de cette position d’équilibre. En appliquant le théoreme du moment cinétique en O, |F montrer que le mouvement > &, est harmonique. Calculer la 4] & f a période des oscillations. — 4 ' A 8 4 PALA 3 iL ~~ 5 On ind. L vol motboiel 1 de. nan. 2 fae IS adea., on. counibea qus Ut lal SA (oe A. 2...2.8. BOW...OM...UB, aura cound Ener qs. Tae diglace. th mu zeash bbe A f BATE. bads Pe og. in, (P ) = Ong A nin ey a. Remak. das Fei (LL) ex = oh RtR = kL) loak 2. Re @kU by ey Lee Doin 2 UA eDoin® Ae re Lin 8 adie td p = th Linn o. m, (F) = Otkdluntx Leads ~, +i 4 lege nuA...Ms muvank Qer) 35...A0n. mowed ou.Otn INC..tH,.0.... Man... dows. fof. be ow bat anal 0. BeatieEx b Tice soudée 8 un plateau tournant Une tige OP rigide est soudée 8 un plateau tournant & vitesse angulaire constante w. Cette tige forme un angle constant « avec I'axe vertical (Oz) = (A)). Un point matériel de masse m pouvant glisser sans frottement est en équilibre relatif sur la tige. 1. En utilisant la relation fondamentale de la dynamique dans le référentiel terrestre supposé galiléen préciser la position ae d'équilibre relatif. Donner ensuite les composantes Ri, Rz et Ry de la réaction F dans la base (2%, @, &) liée 3 la tige. 2. Ecrire le théorme du moment cinétique en H, puis en O. Vérifier ainsi les résultats précédents. 1 devil om eae de rayon HT d d'axe (A), a Qe @ thinéane dic. moment ane que 0 6).. Hw.e......0b.WTz..aind..te.. > ame > v “a ¢ ~ eld AMA AT sO HT 0d. 63. te NA ew). C3, a > => ad > => - = ° Do NAA Docc OMA AK cb feo OH x mM Mid keV ly oy ar > 0. NRE AN MY AIC oo OHS... Mle. LP se a 5 ea ea BATE. a Pte Ay AP). . ond.e mind... —>. rica >>. >. rey my Mo B= QR A. My CP). 2 tag. Ke. alae 0. ose Sy > = wallace. da uel foomaburikpo@d de Be Ceo thy. €y hy (B)..< Re. Xe mind, Gn Ry te aint & >. >. —— | Who ().- OW AR Ay CR) Oy eco. Bs Mena )..€e Re ke. tard. BA $4.B.2. eM Nh nL,T™me¢ eel a. pal me laid dora. el. gellin.«. by... 0a. Lh eeBane. de fe... Be le panna a. hig, tnt fc ke “Le a 9 .RP! Cus de oir Un club de golf peut @tre modélisé en 2 parties : le manche et la téte de club qui sont liées entre elles. Le joueur tient le club avec ses mains & I'extrémité du manche, et la téte de club fixée & l'autre extrémité doit venir frapper la balle. Proposer une méthode permettant de déterminer expérimentalement le centre de gravité dun club de gol et son moment d'inertie | 2 Délemenaibon. de @ On malate L ‘wife pa Mag. bige Alted. é pisennbie’. “ « =>. On thyfe peut jude pavhin nb Ll b yeuk ahs Liou ~ | ¢é an equa ai g I abe oa A, Adana € a £ betas wll ag a = ad der F Jena x * ule. mole A@- 0 Oh anode L Ll en. hbo mt BUA. he périades..da d poh bor osutllebnas ns ME. 38 mg aL Brg ers Te = BengeEx S Volant dinertie On s‘intéresser 3 la régulation de la vitesse de rotation d'une machine tournante par un volant d'inertie, qui est un ‘anneau lié au rotor de masse 6levée et d’assez grand rayon. La machine tournante en question peut aussi bien étre un moulin 8 bIé, qu'un broyeur de cailloux, mais les volants d’inertie sont également utilisés en Formule 1 dans le KERS ("Finetic Energy Recovering System’). On modélise ici la machine tournante par un rotor de moment d'inertie J (par rapport & son axe de rotation) soumis & un couple moteur Ty constant et & un couple de frottement fuide P'y = ~aw od crest une constante et w la vitesse angulaire du rotor. 1. Justifier par un argument énergétique que a > 0. 2. Le rotor est initialement immobile. Donner I'évolution de sa vitesse angulaire w(t), en introduisant la vitesse finale wy et un temps caractéristique 7. 3. Des vibrations du dispositif se traduisent par un nouveau couple exercé sur le rotor que l'on prendra harmonique Tua(t) = ye0s (Mt). Pourquoi ne perd-on pas en généralité en considérant ce couple harmonique? Aprés un régime transitoire, la vitesse angulaire du rotor est elle-aussi harmonique de pulsation 2. Donner le temps caractéristique de la durée du transitoire. 4, Aprés la fin du transitoire, on cherche la vitesse angulaire de rotation w sous la forme ult) = wy + Acos (ut +9) Déterminer I'amplitude A. Il est recommandé de réécrire I'6quation différentielle en termes dw = w — wy et dutiliser la notation complexe. 5. En déduire l'intérét et l'inconvénient d'un volant d'inertie. rola fos j) Sue hal diner @famance..di eau ple. de Homenl - ER cated ba é ‘ Cas, alban a i W. wo. Lill i fg. db deaatielt, a>] @ Equakon. define wile A ali. wilh ’ Sypkime Sfaok mt re ba snerie.| diode "hake Bis. tLe sayy gabe » Leben “Ta Siar si fa Al p eee a pecule if mane lg re if iS i: yal Fe de Licata pool wht Wy (pled) gee an f3)vibe. ‘malas sin fabseannes canines — mM, ual ine nh de bake pt. = i pedi fh A iy fo ee ind aa. “ON. pul a woth nen “ oi COMME... MIR... AQMIANE. 2G POA. MM... u Diag 4 p hav au ae deere wast lm(HOM. dM. 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