Granica ciągu

Sekwencja określona przez obwody boków foremnych figur, ma granicę równą obwodowi okręgu, tj. $2\pi r.$ Odpowiednia sekwencja dla wielokątów opisanych na okręgu ma taką samą granicę.

Granica ciągu – wartość, w której dowolnym otoczeniu znajdują się prawie wszystkie (tzn. wszystkie poza co najwyżej skończenie wieloma) wyrazy danego ciągu. Inaczej – wartość, dowolnie blisko której leżą wszystkie wyrazy ciągu o dostatecznie dużych wskaźnikach.

n	n sin(1/n)
1	0,841471
2	0,958851
...
10	0,998334
...
100	0,999983

Dodatnia liczba całkowita $n$ staje się coraz większa, wartość $n\cdot \sin {\big (}{\tfrac {1}{n}}{\big )}$ staje się coraz bliższa $1.$ Mówimy, że granica ciągu $n\cdot \sin {\big (}{\tfrac {1}{n}}{\big )}$ jest równa $1.$

Granica (właściwa) i zbieżność

Wykres ciągu zbieżnego $a_{n}$ w kolorze niebieskim. Widzimy, że gdy $n$ wzrasta, wartości ciągu zbliżają się do granicy 0.

Niech $(a_{n})$ będzie nieskończonym ciągiem liczb rzeczywistych lub zespolonych. Liczbę $g$ nazywa się granicą ciągu $(a_{n}),$ jeżeli^[1]:

\forall _{\varepsilon >0}\;\exists _{N}\;\forall _{n>N}\;|a_{n}-g|<\varepsilon ,

gdzie symbol $|\cdot |$ oznacza wartość bezwzględną liczby rzeczywistej, bądź moduł liczby zespolonej.

W interpretacji geometrycznej powyższa nierówność dla liczb zespolonych oznacza w istocie, że wybrane jw. wyrazy $a_{n}$ leżą w kole $K(g,\varepsilon ),$ z kolei dla liczb rzeczywistych oznacza ona, że leżą one w przedziale $(g-\varepsilon ,\ g+\varepsilon ),$ który jest odpowiednikiem koła dla osi liczbowej.

Powyższy formalny warunek można więc wysłowić następująco:

dla dowolnej dodatniej liczby

\varepsilon

istnieje taki wskaźnik

N,

że dla wszystkich wskaźników

n

większych od

N

wyrazy

a_{n}

leżą w kole o środku

g

i promieniu

\varepsilon .

Granicę ciągu $(a_{n})$ oznacza się $\lim \limits _{n\to \infty }a_{n}$ i czyta się: „limes $a\;n$ przy $n$ dążącym do nieskończoności” lub po prostu $\lim a_{n}$ i czyta się: „limes $a\;n$ ”, a fakt, że $g$ jest granicą ciągu $(a_{n}),$ niekiedy oznacza się $a_{n}{\xrightarrow {n\to \infty }}g$ lub $a_{n}\to g$ i czyta się: „ciąg $a_{n}$ dąży do $g$ ” lub „ciąg $a_{n}$ jest zbieżny do $g$ ” (można dodać: „przy $n$ dążącym do nieskończoności”).

Ciągi mające granice nazywa się zbieżnymi, a pozostałe – rozbieżnymi. Do badania ciągów rozbieżnych stosuje się pojęcie granicy górnej i dolnej, czyli największej i najmniejszej spośród wszystkich granic jego podciągów zbieżnych. Ciąg liczb rzeczywistych jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jego granice górna i dolna są sobie równe. Przydatne jest też pojęcie punktu skupienia. Jest ono uogólnieniem pojęcia granicy, bowiem każda granica jest punktem skupienia, ale nie na odwrót.

Niekiedy, dla odróżnienia od granicy niewłaściwej opisanej w kolejnej sekcji, granicę ciągu zbieżnego do pewnej liczby rzeczywistej lub zespolonej (nazywanej wtedy „skończoną”, w przeciwieństwie do dwóch lub jednej „liczb nieskończonych”) nazywa się granicą właściwą.

Granice niewłaściwe

Główny artykuł: Granica niewłaściwa funkcji.

Dla niektórych rozbieżnych ciągów nieskończonych wprowadza się pojęcie granicy niewłaściwej. Chodzi o ciągi, których wyrazy rosną lub maleją nieograniczenie; o takich ciągach mówi się także, że dążą one do nieskończoności.

Liczby rzeczywiste

Zobacz też: rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych.

Jeżeli $(a_{n})$ jest ciągiem liczb rzeczywistych i wszystkie jego wyrazy o indeksach większych od odpowiednio dużego $N$ są większe od dowolnej z góry wybranej liczby, to mówi się, że ciąg ma granicę niewłaściwą w $+\infty ,$ bądź że jest rozbieżny do $+\infty .$

Jeżeli zaś są mniejsze od dowolnej z góry wybranej liczby, to mówi się, że ma on granicę niewłaściwą w $-\infty ,$ lub że jest rozbieżny do $-\infty .$

Formalnie można to zapisać tak:

ciąg

(a_{n})

o wyrazach rzeczywistych ma

granicę niewłaściwą w $+\infty$ , jeżeli $\forall _{M\in \mathbb {R} }\;\exists _{N}\;\forall _{n>N}\;a_{n}>M,$
granicę niewłaściwą w $-\infty$ , jeżeli $\forall _{M\in \mathbb {R} }\;\exists _{N}\;\forall _{n>N}\;a_{n}<M.$

Liczby zespolone

Zobacz też: rozszerzony zbiór liczb zespolonych.

Jeżeli $(a_{n})$ jest ciągiem liczb zespolonych i wszystkie jego wyrazy o indeksach większych od odpowiednio dużego $N$ są większe co do modułu od dowolnej z góry wybranej liczby rzeczywistej, to mówi się, że ciąg ma granicę niewłaściwą w $\infty ,$ bądź że jest rozbieżny do $\infty .$

Formalnie:

ciąg

(a_{n})

o wyrazach zespolonych ma

granicę niewłaściwą w $\infty$ , jeżeli $\forall _{M\in \mathbb {R} }\;\exists _{N}\;\forall _{n>N}\;|a_{n}|>M.$ Tutaj $|a_{n}|$ oznacza moduł liczb zespolonych.

Geometrycznie można to ująć w następujący sposób:

ciąg

(a_{n})

ma granicę niewłaściwą, jeśli dla dowolnie dużego koła o środku w $0$ prawie wszystkie wyrazy ciągu $a_{n}$ leżą na zewnątrz tego koła.

Wprowadzoną powyżej definicję rozbieżności ciągów zespolonych można bez zmian zastosować dla ciągów rzeczywistych, zastępując jedynie moduł liczby zespolonej $|a_{n}|$ wartością bezwzględną liczby rzeczywistej. W praktyce jednak tej definicji nie stosuje się, bowiem traci się wówczas możliwość rozróżniania kierunku (zwrotu) rozbieżności ciągu.

Przykłady

Wykres ciągu, którego wyrazy dążą do granicy $a.$
Niezależnie od wyboru $\varepsilon >0,$ istnieje taki indeks $N_{0},$ począwszy od którego wyrazy ciągu leżą wyłącznie w przedziale $(a-\varepsilon ,a+\varepsilon ).$
Wybierając mniejszy $\varepsilon _{1}>0$ można wskazać niemniejszy od $N_{0}$ indeks $N_{1},$ a wszystkie wyrazy ciągu o indeksach większych od niego znajdować się będą wewnątrz przedziału $(a-\varepsilon _{1},a+\epsilon _{1}).$
Dla każdego $\varepsilon >0$ jest tylko skończona liczba wyrazów ciągu poza przedziałem o szerokości $2\varepsilon$ o środku w punkcie $a.$

Granicą ciągu $(1,2,5,13)$ jest liczba $13.$ W ogólności granicą ciągu skończonego jest jego ostatni wyraz.
Granicą ciągu $a_{n}={\tfrac {1}{n}}$ jest $0.$
Dla dowolnego $\varepsilon$ wystarczy za $N$ wziąć dowolną liczbę naturalną większą od ${\tfrac {1}{\varepsilon }}.$ ^[a] Wówczas dla dowolnego wskaźnika $n>N$ otrzymuje się $n>{\tfrac {1}{\varepsilon }},$ czyli ${\tfrac {1}{n}}<\varepsilon .$

Przykładowo dla $\varepsilon ={\tfrac {1}{1000}}$ wszystkie wyrazy ciągu $a_{1001},\,a_{1002},\,a_{1003},\,\dots$ oddalone są od zera o nie więcej niż ${\tfrac {1}{1000}}.$
Granicą ciągu $b_{n}={\tfrac {n}{n+1}}$ jest $1.$
Dla dowolnego $\varepsilon$ wystarczy za $N$ wziąć dowolną liczbę naturalną większą od ${\tfrac {1}{\varepsilon }}-1.$ Wtedy dla dowolnego indeksu $n>N$ zachodzi $n>{\tfrac {1}{\varepsilon }}-1,$ czyli ${\tfrac {1}{n+1}}<\varepsilon ,$ skąd ${\tfrac {n}{n+1}}>1-\varepsilon .$

Przykładowo dla $\varepsilon ={\tfrac {1}{1000}}$ wszystkie wyrazy ciągu $a_{1000},\,a_{1001},\,a_{1002},\,\dots$ są oddalone od jedynki nie więcej niż o ${\tfrac {1}{1000}}.$
Ciąg $a_{n}=n$ jest rozbieżny, ale ma granicę niewłaściwą $+\infty .$
Ciąg $a_{n}=n(-1)^{n}$ jest rozbieżny i nie ma granicy niewłaściwej $+\infty$ ani $-\infty ,$ ale traktowany jako ciąg liczb zespolonych ma granicę niewłaściwą $\infty$ (w sensie definicji dla ciągów zespolonych); podciąg $a_{2n}$ jest zbieżny do $+\infty ,$ natomiast podciąg $a_{2n-1}$ jest zbieżny do $-\infty .$
Ciągi $a_{n}=(-1)^{n}$ oraz $b_{n}=(-1)^{n}+{\tfrac {(-1)^{n+1}}{n}}$ są rozbieżne i nie mają żadnej granicy – ani właściwej, ani niewłaściwej, przy czym ich granicami dolną i górną są odpowiednio $-1$ oraz $1;$ w obu przypadkach liczby te są punktami skupienia tych ciągów.
Ciąg $a_{n}=\{n\pi \},$ gdzie $\{\cdot \}$ oznacza część ułamkową liczby, ma granicę dolną $0$ i górną $1,$ każdy punkt przedziału $[0,1]$ jest punktem skupienia.
Ciąg liczb zespolonych $a_{n}=i^{n}$ nie ma granicy (ani właściwej ani niewłaściwej), ma jednak 4 punkty skupienia.
Ciąg liczb zespolonych $a_{n}={\tfrac {n}{17}}\cdot e^{i\cdot n/17}$ ma granicę niewłaściwą $\infty .$

Własności

Wykres ciągu Cauchy’ego $(x_{n})$ oznaczono niebieskim kolorem (indeks na osi odciętych, wartość na osi rzędnych). Widzimy, że sekwencja wydaje się zbiegać do punktu granicznego, ponieważ wyrazy ciągu zbliżają się do siebie wraz ze wzrostem $n.$ W liczbach rzeczywistych każdy ciąg Cauchy’ego zbiega się do pewnej granicy.

Ciąg ma najwyżej jedną granicę (właściwą).
Jeśli ciąg ma granicę właściwą, to jest on ograniczony^[b]^[2]. Jeśli ciąg liczb rzeczywistych bądź zespolonych ma granicę niewłaściwą, to jest nieograniczony.
Dowolny nieskończony podciąg ciągu zbieżnego jest zbieżny do tej samej granicy.
Jeśli ciągi $(a_{n})$ i $(b_{n})$ są zbieżne oraz $a_{n}\leqslant b_{n}$ dla każdego naturalnego $n,$ to $\lim a_{n}\leqslant \lim b_{n}.$
Twierdzenie o trzech ciągach: jeśli ciągi $(a_{n})$ i $(c_{n})$ są zbieżne do wspólnej granicy $g,$ przy czym $a_{n}\leqslant b_{n}\leqslant c_{n}$ dla każdego naturalnego $n,$ to ciąg $(b_{n})$ również jest zbieżny i to do granicy $g.$
Jeśli ciągi $(a_{n}),\,(b_{n})$ $(a_{n}),\,(b_{n})$ są ciągami zbieżnymi odpowiednio do $a$ $a$ oraz do $b,$ $b,$ to wykonalne są działania:
- $\lim \,(a_{n}+b_{n})=a+b,$
- $\lim \,(a_{n}-b_{n})=a-b,$
- $\lim \,(a_{n}\cdot b_{n})=a\cdot b,$
- $\lim {\frac {a_{n}}{b_{n}}}={\frac {a}{b}},$ o ile tylko $b\neq 0$ oraz $b_{n}\neq 0$ dla każdego $n.$
Twierdzenie Bolzana-Weierstrassa: z każdego rzeczywistego lub zespolonego ciągu ograniczonego można wybrać podciąg zbieżny.
Każdy ciąg liczb rzeczywistych monotoniczny i ograniczony ma granicę^[c]^[d].

Ciąg liczbowy rzeczywisty lub zespolony jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągiem Cauchy’ego^[e].

Zbieżność w przestrzeniach metrycznych

Pojęcie granicy ciągu można wprowadzić w dowolnej przestrzeni metrycznej. Wystarczy w definicji granicy zastąpić wartość bezwzględną (moduł) różnicy dwóch liczb odległością według metryki danej przestrzeni. Niech $(X,d)$ będzie przestrzenią metryczną. Ciąg $(a_{n})$ elementów tej przestrzeni jest zbieżny do $g\in X,$ jeśli:

\forall {\varepsilon >0}\;\exists N\;\forall {n>N}:\;d(a_{n},g)<\varepsilon .

Warunkiem równoważnym zbieżności ciągu $(a_{n})$ jest żądanie, by ciąg $(d_{n})$ gdzie $d_{n}:=d(a_{n},g)$ był zbieżny do zera^[1].

Zbieżność w przestrzeni metrycznej można wyrazić:

ciąg

x_{n}

jest zbieżny do

g,

jeśli w dowolnej kuli o środku w

g

mieszczą się prawie wszystkie wyrazy ciągu

x_{n}.

Jeśli ciąg (w przestrzeni metrycznej) jest zbieżny, to jest ciągiem Cauchy’ego (w przypadku ciągów liczbowych rzeczywistych lub zespolonych zachodzi również twierdzenie odwrotne, to znaczy powyższe warunki są równoważne).

Przykłady

Zbiór $\mathbb {R}$ jako przestrzeń metryczna z metryką $d(a,b):=|a-b|.$ Podobnie ze zbiorem $\mathbb {C}$
Zbiór $\mathbb {Q}$ liczb wymiernych jako przestrzeń metryczna z metryką $d(a,b):=|a-b|.$ W tej przestrzeni np. ciąg $a_{n}:=(1+{\tfrac {1}{n}})^{n}$ nie jest zbieżny, chociaż jest rosnący i ograniczony.
Przestrzeniach liniowa z normą $\|\cdot \|,$ jeśli przyjąć jako metrykę $d(a,b)=\|a-b\|.$
Przestrzeń, której elementami są punkty płaszczyzny o współrzędnych całkowitych, z odległością naturalną. W tej przestrzeni metrycznej ciąg jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy od pewnego wskaźnika począwszy jest stały.

Zbieżność w przestrzeniach topologicznych

Pojęcie granicy ciągu można wprowadzić w jeszcze ogólniejszych przestrzeniach topologicznych przez zastąpienie kul otoczeniami.

Niech $(X,\tau )$ będzie przestrzenią topologiczną. Ciąg $(x_{n})$ elementów tej przestrzeni jest zbieżny do $x\in X,$ jeśli

\forall _{U\in \tau }\;\left(x\in U\Rightarrow \exists _{N}\;\forall _{n>N}\;x_{n}\in U\right).

co można wyrazić:

dla dowolnego otoczenia $U$ punktu $x$ istnieje taki wskaźnik $N,$ że dla wszystkich wskaźników $n>N$ wyrazy $a_{n}$ leżą w otoczeniu $U,$

lub inaczej:

w dowolnym otoczeniu $U$ punktu $x$ mieszczą się prawie wszystkie wyrazy ciągu $x_{n}.$

W przestrzeniach Hausdorffa (którymi są m.in. przestrzenie liczb rzeczywistych lub zespolonych) każdy ciąg może być zbieżny do najwyżej jednego punktu^[f].

Przykłady

Zbiór $\mathbb {R}$ z topologią, w której bazą jest zbiór przedziałów otwartych $(a,b),\ \ a,b\in \mathbb {R} .$ Podobnie ze zbiorem $\mathbb {C} ,$ tutaj bazą może być zbiór kół otwartych postaci $\{z\in \mathbb {C} :|z-g|<r\},\ \ g\in \mathbb {C} ,\ r\in \mathbb {R}$ lub prostokątów postaci $\{z\in \mathbb {C} :a<\operatorname {Re} z<b\wedge c<\operatorname {Im} z<d\},\ \ a,b,c,d\in \mathbb {R} .$
Dowolna przestrzeń z topologią antydyskretną. Tutaj każdy ciąg jest ciągiem zbieżnym.
(Uzwarcenie prostej. 1 sposób) Przestrzeń topologiczna $\mathbb {R}$ uzupełniona o dwa elementy $-\infty ,+\infty$ z bazą otoczeń uzupełnioną o zbiory postaci $(a,\infty )\cup \{+\infty \}$ oraz $(-\infty ,a)\cup \{-\infty \},\ a\in \mathbb {R} .$ Są to otoczenia otwarte punktów odpowiednio $-\infty$ i $+\infty .$ Wówczas zbieżność ciągu do punktu $+\infty$ w sensie definicji topologicznej odpowiada rozbieżności ciągu do granicy niewłaściwej $+\infty .$ Analogicznie dla zbieżności do punktu $-\infty .$ W wyniku rozbudowy przestrzeni topolicznej $\mathbb {R}$ do $\mathbb {R} \cup \{-\infty \}\cup \{+\infty \}$ powstaje przestrzeń homeomorficzna z odcinkiem domkniętym oznaczana zazwyczaj ${\overline {\mathbb {R} }}.$
(Uzwarcenie płaszczyzny) Przestrzeń topologiczna $\mathbb {C}$ uzupełniona o element $\infty$ z bazą otoczeń w postaci kół uzupełnioną o zbiory postaci $\{z\in \mathbb {C} :|z-g|>r\}\cup \{\infty \},g\in \mathbb {C} ,r\in \mathbb {R}$ (zewnętrza kół) lub z bazą w postaci prostokątów uzupełnioną o zbiory postaci $\{z:\operatorname {Re} z<a\vee \operatorname {Re} z>b\vee \operatorname {Im} z<c\vee \operatorname {Im} z>d\}\cup \{\infty \},a,b,c,d\in \mathbb {R}$ (zewnętrza prostokątów). Są to otoczenia otwarte punktu $\infty .$ Wówczas zbieżność ciągu zespolonego do punktu $\infty$ w sensie definicji topologicznej odpowiada rozbieżności ciągu do granicy niewłaściwej $\infty .$ W wyniku rozbudowy przestrzeni topolicznej $\mathbb {C}$ do $\mathbb {C} \cup \{\infty \}$ powstaje przestrzeń homeomorficzna ze sferą oznaczana zazwyczaj $\mathbb {C} ^{*}$ lub ${\widehat {\mathbb {C} }}.$
(Uzwarcenie prostej. 2 sposób) Przestrzeń topologiczna $\mathbb {R}$ uzupełniona element $\infty$ z bazą otoczeń uzupełnioną o zbiory postaci $(-\infty ,a)\cup (b,+\infty )\cup \{\infty \}$ $a,b\in \mathbb {R} .$ Są to otoczenia otwarte punktu $\infty .$ Wówczas zbieżność ciągu do punktu $\infty$ w sensie definicji topologicznej odpowiada rozbieżności ciągu do granicy niewłaściwej $\infty .$ W wyniku rozbudowy przestrzeni topolicznej $\mathbb {R}$ do $\mathbb {R} \cup \{\infty \}$ powstaje przestrzeń homeomorficzna z okręgiem oznaczana zazwyczaj $\mathbb {R} ^{*}$ lub ${\widehat {\mathbb {R} }}.$

Historia

Zenon z Elei znany jest ze sformułowania paradoksów, które wykorzystują przejścia graniczne. Leucyp z Miletu, Demokryt z Abdery, Antyfont z Ramnus, Eudoksos z Knidos i Archimedes z Syrakuz wynaleźli metodę wyczerpywania, która wykorzystuje ciąg przybliżeń umożliwiający wyznaczenie powierzchni bądź objętości; ostatniemu z nich znane było również sumowanie, które dziś nazywane jest szeregiem geometrycznym.

Isaac Newton zajmował się szeregami w swoich dziełach dotyczących analizy szeregów nieskończonych (Analysis with infinite series, napisane w 1669 roku, najpierw krążyło jako manuskrypt, opublikowano w 1711 roku), metodzie fluksji i szeregach nieskończonych (Method of fluxions and infinite series, napisane w 1671 roku, wydane w tłumaczeniu angielskim w 1736 roku; oryginał łaciński wydano znacznie później) i traktacie o krzywych kwadratowych (Tractatus de Quadratura Curvarum, napisane w 1693 roku, a opublikowane w 1704 roku jako dodatek do jego Optiks), później rozważał on rozwinięcie dwumienne $(x+o)^{n},$ które linearyzuje, biorąc granice, tzn. przyjmując $o\to 0.$

Osiemnastowiecznym matematykom, takim jak Leonhard Euler, udawało się zsumować pewne szeregi rozbieżne dzięki „zatrzymaniu się w odpowiednim momencie”; nie interesowali się oni nadto tym, czy granica istnieje, o ile tylko mogła być ona obliczona. Pod koniec XVIII wieku Joseph Louis Lagrange w swojej pracy Théorie des fonctions analytiques (1797) stwierdził, że brak rygoru przeszkadza w rozwoju analizy. Carl Friedrich Gauss w dziele o szeregach hipergeometrycznych (1813) po raz pierwszy zbadał w sposób rygorystyczny pod jakimi warunkami szereg zbiega do granicy.

Współczesną definicję granicy (dla każdego $\varepsilon$ istnieje taki wskaźnik $N,$ że…) niezależnie podali:

Bernard Bolzano (Der binomische Lehrsatz, Praga 1816, wówczas niezauważona);
Augustin Louis Cauchy w jego Cours d’analyse (1821).

Zobacz też

Uwagi

↑ Można tu skorzystać z aksjomatu Archimedesa.
↑ Dowód: niech dany będzie ciąg $\{a_{n}\},$ zbieżny do $g\in \mathbb {R} .$ Niech $\varepsilon =1.$ Wtedy z definicji zbieżności istnieje takie $N,$ że dla każdego $n>N$ zachodzi $|a_{n}-g|<1.$ Z własności wartości bezwzględnej otrzymujemy:
$-1-|g|\leqslant -1+g<a_{n}<1+g\leqslant 1+|g|,$
co oznacza, że
$|a_{n}|<1+|g|.$
Połóżmy teraz $M=\max\{|a_{1}|,|a_{2}|,\dots |a_{N}|,1+|g|\}.$ Zbiór ten jest skończony, a zatem istnieje jedno wspólne ograniczenie wszystkich elementów $\{a_{n}\},$ co oznacza, że jest on ograniczony.
↑ Dowód: Niech $(a_{n})$ będzie ciągiem rosnącym (rozumowanie dla malejącego jest analogiczne). Z założenia zbiór $\{a_{n},n\in \mathbb {N} \}$ ma ograniczenie, a zatem posiada kres górny $a.$ Wybierzmy $\varepsilon >0.$ Z własności kresu górnego istnieje takie $N,$ dla którego zachodzi $a_{N}>a-\varepsilon .$ Dla $n>N,$ dzięki monotoniczności, mamy
$a_{n}\geqslant a_{N}>a-\varepsilon$
a jednocześnie
$a_{n}\leqslant a<a+\varepsilon ,$
co oznacza, że
$|a_{n}-a|<\varepsilon ,$
ale to dowodzi, że $a$ jest granicą ciągu $(a_{n}).$
↑ Warunek ten jest w istocie jedną z wersji aksjomatu ciągłości zbioru liczb rzeczywistych.
↑ Implikacja: jeśli ciąg jest ciągiem Cauchy’ego, to jest zbieżny oznacza, że zbiór liczb rzeczywistych i liczb zespolonych jest przestrzenią zupełną. Usunięcie z tych zbiorów jakiegokolwiek punktu powoduje utratę tej własności.
↑ W przestrzeniach, które nie są Hausdorffa, mogą istnieć ciągi zbieżne do większej liczby różnych punktów, wtedy granicą nazywa się zbiór takich punktów.