Inpedantzia elektriko

Inpedantzia elektrikoa edo inpedantzia bakarrik korronte elektriko sinusoidal baten aurkako eraginaren neurri bat da. Inpedantzia elektrikoaren kontzeptua Ohmen legea korronte aldizkatzaileko (KAko) zirkuituen analisirako orokortzeko erabiltzen da (KAari ingelesez alternating current deitzen zaio eta bere laburpena AC da). Erresistantze elektrikoa ez bezala, zirkuitu elektriko baten inpedantzea zenbaki konplexua izan daiteke. Oliver Heaviside-k asmatu zuen inpedantze hitza 1886ko uztailean.

Inpendantziaren (Z) unitatea Nazioarteko Unitate Sisteman ohma ($\Omega \,$) da.

Historia

Johann Victor Wietlisbachek, 1879an Maxwell zubia analizatzean, zenbaki konplexuak erabili zituen zirkuituen analisian. Wietlisbachek KA korronteak eta tentsioak funtzio esponentzial gisa irudimenezko adierazleekin adierazterakoan, ekuazio diferentzialak erabiltzea saihestu zuen. Wietlisbachek eskatutako tentsioa korrontea zenbaki konplexu batez (inpedantzia) biderkatuz eman zela aurkitu zuen, nahiz eta ez zuen berezko parametro orokor bezala identifikatu.

Inpedantzia terminoa Oliver Heavisidek sortu zuen 1886ko uztailean. Heavisidek bere kalkulu operatiboan erresistentzia eragilea (inpedantzia) zenbaki konplexua zela onartu zuen. 1887an, Ohm-en legearen pareko KA bat zegoela erakutsi zuen.

Arthur Kennellyk inpedantziari buruzko artikulu eraginkor bat argitaratu zuen 1893an. Kennelly, irudimenezko funtzio esponentzialak erabiliz baino modu zuzenagoan, zenbakien irudikapen konplexu batera iritsi zen. Kennellyk John Ambrose Flemingek 1889an garatutako inpedantziaren irudikapen grafikoari jarraitu zion (erresistentzia, erreakzioa eta inpedantzia triangelu zuzen baten aldeen luzerak bezala erakutsiz). Horrela, inpedantziak bektorialki batu zitezkeen. Kennelly konturatu zen inpedantziaren irudikapen grafiko hori, zuzenean, zenbaki konplexuen (Argand diagrama) irudikapen grafikoaren antzekoa zela; beraz, inpedantzia kalkulatzeko problemak, aljebraikoki, zenbakien irudikapen konplexu batekin hurbil zitezkeen. Urte horretan bertan, Kennellyren lana Charles Proteus Steinmetzek KA zirkuitu guztietara orokortu zuen. Steinmetzek inpedantziak zenbaki konplexuen bidez ez ezik, tentsioak eta korronteak ere irudikatu zituen. Kennellyk ez bezala, Steinmetzek KZ legeen KA baliokideak adierazi ahal izan zituen Ohm eta Kirchhoffen legeak bezala. Steinmetzen lanak eragin handia izan zuen teknika ingeniarien artean zabaltzeko.

Inpedantzeak zirkuituetan laukizuzentxo edo (erresistantzeak AEBetan eta Japonian bezala) horztun marratxoekin irudika daitezke.

Egoera egonkorra KAko zirkuituetan

Orokorrean, erresistoreak, kondentsadoreak eta induktoreak dituen zirkuitu bateko (hau da, era linealean lan egiten duten osagaiez osatuta dagoen zirkuitu bateko) tentsio eta korronteen ebazpenak ekuazio diferentzial arrunteko sistema lineal baten ebazpenak dira. Tentsio eta/edo korronte iturriak zirkuituan sinusoidalak eta maiztasun konstante eta berekoak badira, tentsio eta korronte guztiak KAko egoera egonkorra deitutako egoerara hurbiltzen direla froga daiteke. Egoera horretan zirkuituko tentsio eta korronte guztiak sinusoidalak dira eta haien anplitude, maiztasun eta fase aurrerapena konstanteak.

v(t) denboraz aldatzen den Vp anplitude konstante, f maiztasun (frekuentze) konstante eta φ fase aurrerapen konstanteko funtzio sinusoidala izanik.

$v(t)=V_{\mathrm {p} }\cos \left(2\pi ft+\phi \right)=\Re \left(V_{\mathrm {p} }e^{j2\pi ft}e^{j\phi }\right)$

bertan j unitate imaginarioa (${\sqrt {-1}}$) eta $\Re (z)$ z zenbaki konplexuaren zati erreala direla.

V zenbaki konplexua hurrengo eran irudikatzen badugu:

$V=V_{\mathrm {p} }e^{j\phi }\,$

V v(t)ren fasore irudikapena dela esaten da eta zenbaki konplexu konstantea da. Egoera egonkorrean dagoen KAko zirkuitu batean tentsio eta korronte guztiak fasorez irudika daitezke, iturri guztiak maiztasun berekoak izanez gero. Hau da, tentsio eta korronte guztiak zenbaki konplexu konstanteen bidez irudika daitezke. KZeko zirkuituen analisian, tentsio eta korronte guztiak zenbaki errealez irudikatzen dira. Beraz, bidezkoa dirudi zenbaki errealen ordez zenbaki konplexuak erabiliz KZeko zirkuituen analisian erabiltzen diren arauak KAko zirkuituen analisian ere erabil daitezkeela suposatzea (KZari ingelesez direct current deitzen zaio eta bere laburpena DC da).

Inpedantze elektrikoaren definizioa

Zirkuitu bateko osagai baten inpedantzea haren muturren arteko tentsioa irudikatzen duen fasorea zati hartatik igarotzen duen korrontea irudikatzen duen fasorearen zatidura da:

$Z_{\mathrm {R} }={\frac {V_{\mathrm {r} }}{I_{\mathrm {r} }}}$

Kontuan hartu behar da Z fasore biren arteko erlazioa bada ere, Z bera fasore bat ez dela. Hau da, Z ez da denboraz aldatzen den funtzio sinusoidala.

KZeko zirkuituetan, Ohm-en legearen arabera, erresistantzea erresistorearen muturren arteko KZeko tentsioa zati erresistoretik igarotzen den KZeko korrontearen zatidura da:

$R={\frac {V_{\mathrm {R} }}{I_{\mathrm {R} }}}$

goiko $V_{\mathrm {R} }$ eta $I_{\mathrm {R} }$ KZeko balio (erreal konstante)ak direla.

Fasoreak erabiliz Ohm-en legea KAko zirkuituetarako orokortzen den legez, KZeko zirkuituen analisiaren beste emaitza batzuk ere orokortu ahal dira KAko zirkuituetarako; beste batzuen artean tentsio zatiketa, korronte zatiketa, Théveninen teorema, eta Nortonen teorema.

Inpedantze elektriko osoa hurrengoa da:

$z_{e}={\sqrt {r_{e}^{2}+x_{e}^{2}}}$ , $\phi =\arctan {\frac {x_{e}}{r_{e}}}$

bertan

$r_{e}=z_{e}\cos \phi \,$ inpedantze elektriko konplexuaren zati erreala da, inpedantze elektriko efektiboa deitua, eta

$x_{e}=z_{e}\sin \phi \,$ inpedantze elektriko konplexuaren zati imaginarioa da, inpedantze elektriko erreaktiboa deitua.

Osagai batzuen inpedantzea

Erresistore batena:

$Z_{\mathrm {resistor} }={\frac {V_{\mathrm {r} }}{I_{\mathrm {r} }}}$ $=R\,$

Kondentsadore batena:

$Z_{\mathrm {capacitor} }={\frac {V_{\mathrm {c} }}{I_{\mathrm {c} }}}={\frac {1}{j\omega C}}.$

Induktore batena:

$Z_{\mathrm {inductor} }=j\omega L\,$

Desbideratze batzuk ikusteko, begira gailu batzuen inpedantzeak (desbideratzeak).

Erreaktantzea

Begira Erreaktantze artikulu nagusia

Erreaktantze hitzaren esan nahia inpedantzearen zati imaginarioa da. Eredu batzuk:

Erresistore baten inpedantzea R da (bere erresistantzea) eta bere erreaktantzea 0.

Kondentsadore baten inpedantzea j (-1/ωC) da eta bere erreaktantzea -1/ωC.

Induktore baten inpedantzea j ω L da eta bere erreaktantzea ω L.

Azpimarratu behar da kondentsadore edo induktore baten inpedantzea f maiztasunaren (frekuentzearen) funtzioa eta kantitate imaginarioa dela – hala ere, kondentsadoreen edo induktoreen eraginez tentsioen eta korronteen fasoreen (eta haiek irudikatzen dituzten funtzio sinusoidalen) arteko fase aldaketak benetako fenomeno fisikoak dira. Aurrerago erresistore baten inpedantzea konstantea eta erreala dela ikusi da; beste era batera ikusita, kondentsadoreek eta induktoreek ez bezala, erresistoreek ez dute eragintzen tentsioen eta korronteen arteko fase aldaketarik.

Erresistoreak, kondentsadoreak eta induktoreak elkartzen direnean KAko zirkuitu batean, osagai bakoitzeko inpedantzeak KZeko zirkuito bateko erresistantzeak elkartzen diren modu berberean elkartu ahal dira. Lortutako inpedantze baliokidea, orokorrean, kantitate konplexua da. Hau da, inpedantze baliokideak zati erreala eta imaginarioa ditu. Zati erreala R hizkiaz irudikatzen da eta zati imaginarioa X hizkiaz. Beraz:

$Z_{\mathrm {eq} }=R_{\mathrm {eq} }+jX_{\mathrm {eq} }\,$

$R_{\mathrm {eq} }$ inpedantzearen zati erresistiboa deitzen da $X_{\mathrm {eq} }$ inpedantzearen zati erreaktiboa deitzen den bitartean. Horregatik, ohikoa da kondentsadore edo induktore bati hitz egiterakoan hura erreaktantze edo (zirkuituaren) osagai erreaktibo deitzea. Gainera, kondentsadore baten inpedantzea, imaginarioz gain, negatiboa da; eta induktore batena, imaginarioz gain, positiboa. Hori dela eta, erreaktantze negatiboei batzuetan erreaktantze kapazitibo edo kapazitantze deitzen zaie, eta positiboei erreaktantze induktibo edo induktantze.

Osagai erreaktibo baten berezitasuna haren muturren arteko tentsio sinusoidala eta hartatik igarotzen den korronte sinusoidala 90ºtan desfasatuta egotean datza. Honen ondorioz osagaiak energia zirkuitutik hartu eta bertara itzuli egiten du aldizka. Hau da, erresistantze batean ez bezala, erreaktantze batean ez da eralgitzen energiarik.

Irakasgarria da erreaktantze kapazitiboaren balioa zehaztea muturreko maiztasunetan. Maiztasuna zerora hurbiltzen denean erreaktantze kapazitiboa muga barik handitzen da eta maiztasun oso apaleko iturri sinusoidalekin kondentsadore batek zirkuitu ireki baten eran egiten du lan. Maiztasuna asko handitzen denean erreaktantze kapazitiboa zerora hurbiltzen da eta kondentsadore batek ia zirkuitulabur baten moduan egiten du lan maiztasun oso garaiko iturri sinusoidalekin.

Erreaktantze induktiboa, alderantziz, zerora hurbiltzen da maiztasunarekin batera, eta maiztasuna handitzerakoan bera ere handitzen da; beraz, maiztasun oso apaleko iturri sinusoidalekin erreaktantze induktibo batek zirkuitulabur baten moduan egiten du lan, eta maiztasun oso garaikoekin zirkuitu ireki baten eran.

Inpedantze elkarketak

Seriean, paraleloan, edo triangelu edo izar konfiguraziotan lotutako inpedantzeak era berberean lotutako erresistantzeak bezala elkartzen dira. Ezberdintasun bakarra inpedantzeak elkartzerakoan erabil behar diren zenbakiak konplexuak izatean datza.

Seriean

Seriean dauden inpedantzeak elkartzea erraza da:

$Z_{\mathrm {eq} }=Z_{1}+Z_{2}=(R_{1}+R_{2})+j(X_{1}+X_{2})\!\$

Paraleloan

Paraleloan dauden inpedantzeak elkartzea, biderketa konplexuak direla medio, erresistantze edo kapazitantzearen moduko propietate bakunak elkartzea baina korapilatsuagoa da.

$Z_{\mathrm {eq} }=Z_{1}\|Z_{2}={\frac {Z_{\mathrm {1} }Z_{\mathrm {2} }}{Z_{\mathrm {1} }+Z_{\mathrm {2} }}}\!\$

Arrazionalizatu eta gero erresistantze eta erreaktantze baliokideak hurrengoak dira:

$Z_{\mathrm {eq} }=R_{\mathrm {eq} }+jX_{\mathrm {eq} }\!\$

$R_{\mathrm {eq} }={(X_{1}R_{2}+X_{2}R_{1})(X_{1}+X_{2})+(R_{1}R_{2}-X_{1}X_{2})(R_{1}+R_{2}) \over (R_{1}+R_{2})^{2}+(X_{1}+X_{2})^{2}}$

$X_{\mathrm {eq} }={(X_{1}R_{2}+X_{2}R_{1})(R_{1}+R_{2})-(R_{1}R_{2}-X_{1}X_{2})(X_{1}+X_{2}) \over (R_{1}+R_{2})^{2}+(X_{1}+X_{2})^{2}}$

Begira Serieko eta paraleloko zirkuituak ere.

Iturri orokorreko zirkuituak

Inpedantzea fasore biren arteko zatidura da, fasore bat denborazko funtzio sinusoidal baten anplitude konplexua dela. Iturri periodiko orokorragoekin ere, eta baita iturri ez-periodikoekin, erabili ahal da inpedantzearen kontzeptua, baina ez zuzenean. Denborako ia funtzio periodiko guztiak Fourier-en serie batzuez ordezkatu ahal dira; horren ondorioz, tentsio iturri periodiko orokor bat seriean elkartutako tentsio iturri sinusoidal batzuen (agian infinituen) elkartze batez ordezkatu ahal da. Era berean, korronte iturri periodiko orokor bat paraleloan elkartutako korronte iturri sinusoidal batzuen (agian infinituen) elkartze batez ordezkatu ahal da.

Gainjartzearen teknika erabiliz, iturri guztiak banan-banan aktibatzen dira eta KAko zirkuituaren iturri bakoitzari dagokion ebazpenak haiei dagozkien maiztasuneko inpedantziak erabiliz lortzen dira. Zirkuituko tentsio eta korronteen guztizko ebazpenak iturri bakoitzarekin lortutako ebazpenak batuz lortzen dira.. Hala ere, argitu behar da zirkuituko guztizko tentsio eta korronteak fasoreez ezin direla irudikatu; fasoreak batu ahal izateko maiztasun bereko denbora funtziorenak izan behar direlako. Beraz, iturri bakoitzarekin lortutako tentsio eta korronte fasoreak batu baino lehen berriro eraldatu behar dira denbora domeinuko irudikapenera.

Metodo hau iturri ez-periodikoentzat ere orokortu ahal da, batuketa diskretuen ordez integralak erabiliz. Horretarako Fourier-en serieak erabili barik Fourier-en transformatua erabiliz.

Alderantzizko kantitateak

Erresistantze ez-erreaktibo baten alderantzizkoa konduktantze deitzen da. Era berean, inpedantze baten alderantzizkoa admitantze deitzen da. Konduktantzea admitantzearen zati erreala da, eta haren zati imaginarioari sutzeptantze deitzen zaio. Konduktantzea eta sutzeptantzea, orokorrean, ez dira erresistantzearen eta erreaktantzearen alderantzizkoak, inpedantzeak erresistiboak bakarrik edo erreaktiboak bakarrik direnean baino ez da jazotzen hori.

Antzeko inpedantzeak

Inpedantze elektromagnetikoa

Uhin elektromagnetikoen hedapena ingurune homogeneo batean aztertzerakoan ingurunearen inpedantze intrintsekoa hurrengoa da:

$\eta ={\sqrt {\frac {\mu }{\varepsilon }}}$

bertan μ eta ε ingurunearen permeabilitatea eta permitibitatea direla, hurrenez hurren.

Inpedantze akustikoa

Hemen ikusitako inpedantze elektrikoarekin egiten den bezalaxe, inpedantze akustikoa ere, bertan jarritako presioaren anplitude eta fasea eta lortzen den soinu jarioaren anplitudea eta fasea konparatuz, ingurumen batek zelan moteltzen duen soinua adierazten duen zenbaki konplexua legez definitu ahal da.

Datu garraiorako inpedantzea

Konputagailu programatzaileek ere datuak edo kontrol jarioa sistema baten gune batzuen (normalean hizkuntza ezberdinez idatzitako guneen) artean igaroarazteko erraztasuna edo zailtasuna zehazterakoan inpedantziez hitz egiten dute. Normalean programa edo hizkuntz/ingurumen batzuk parekatzeko inpedantze egokitasuna handia edo txikia dutela esateko erabiltzen da.

Benetako gailuen inpedantziak

Kontuan hartu behar da goiko ekuazioek gailu teorikoentzat bakarrik balio dutela. Benetako erresistoreak, kondentsadoreak eta induktoreak korapilatsuagoak dira eta euretariko bakoitza erresistore, kondentsadore eta induktore teorikoez osatutako sare bat legez modelizatu ahal da. Benetako gailuen RATED inpedantziak, izan, inpedantze nominalak dira, eta maiztasun tarte estu batean bakarrik dira zehatzak; maiztasunak zenbat eta garaiagoak izan zehaztasuna hainbat eta txikiagoa izaten dela. RATED tartearen barruan ere, baliteke induktore baten erresistentzia zero ez izatea. RATED maiztasunetatik gora, erresistoreak induktiboak bihurtzen dira (are gehiago energia handiko erresistoreak), eta kondentsadoreak eta induktoreak erresistiboagoak bihur daitezke. Litekeena da inpedantziaren eta maiztasunaren arteko erlazioa lineala ez izatea ere, gailuaren RATED tartearen kanpo.

Bibliografia

• Pohl R. W., Electrizitâtslehre, Berlin-Gottingen-Heidelberg: Springer-Verlag, 1960.
• Popov V. P., The Principles of Theory of Circuits, – M.: Higher School, 1985, 496 p. (In Russian).
• Küpfmüller K., Einführung in die theoretische Elektrotechnik, Springer-Verlag, 1959.

Ikus, gainera

• Uhin inpedantzia
• Erreaktantzia
• Induktantzia
• Inpedantzia nominala
• Inpedantzia mekanikoa
• Inpedantzia akustikoa

Kanpo estekak

• Explaining Impedance

• Datuak: Q179043
• Multimedia: Electrical impedance / Q179043